Лекция 5. Теорема за промяната на кинетичната енергия

5. 1. Работна работа

Нека властта - равенство на всички системни сили, се прилага към точката p, a ( dX., dY., dz.) - елементарно движение на точката Р по неговата траектория Р 1 Р2 (фиг. 5.1). Елементарна работа д.НО Силите наричат \u200b\u200bскаларен продукт

Елементарната работа е скаларна стойност. Ако е ъгъл между силата и посоката на движение, изразът (5.1) може да бъде представен като

къде е проекцията на сила до посоката на елементарно движение (или посока на точката на скоростта).

Знакът за елементарна работа зависи от функцията на функцията. Ако - остър ъгъл, тогава, ако - тъп ъгъл, ако тогава.

Нека точката R. Завършва крайното движение от позицията до позицията, описваща дъгата. Заплашваха Arca от н. произволни малки участъци, обозначаващи дължината на зоната с номера к. през . След това елементарната работа на сила к."Сайтът ще бъде равен и всички начини от до - размера на работата в някои раздели

Получаваме точната стойност на работата, обръщайки се към границата, при условие че броят на областите н. Тя се увеличава за неопределено време, а дължината на всеки сайт намалява:

.

Този лимит се нарича криволинеен интеграл на първия вид дъга и е написан по следния начин.

. (5.3)

Резултатът от интеграцията е пълна работа. НО Сила Е. На последното движение по пътя по пътя.

5. 1. 1. Работата на тежестта

Нека бъде м. - Масова точка, г. - ускоряване свободно падане. Тогава

Изчисляване на работата съгласно формули (5.1) и (5.3), ние имаме

къде е височината на спускане.

При повдигане на точка, следователно.

5. 1. 2. Работа на линейната сила на еластичността

Нека материалната точка R. Се движи по оста О. (Фиг. 5.3) Под действието на пролетта, към която е прикрепена. Ако имаш , Пролетта се деформира и с малки циферблати на точката можем да приемем, че силата на еластичността се прилага отстрани на пружината. След това работата на силата на еластичността при движение х. 0 х. 1 ще бъде равни

. (5.5)

Работата на силата на еластичността е равна на половината от работата на коефициента на скованост към разликата в квадратите на първоначалното и крайното удължение (или компресиране) на пружината.

5. 1. 3. Елементарна работа на силите, прикрепени към твърдата

Помислете за движението на тялото в равнината. Нека бъде ОТНОСНО- произволно избрана точка на твърдото вещество (фиг. 5.4). Нека да се обадим на полюса си. Тогава движението на тялото в равнината може да бъде представено като сумата от най-простото: транслационно движение заедно с полюса и въртенето на тялото около полюса. След това скоростта на точката на относително фиксирана координатна система се определя като геометрична сума от две скорости.

къде - скоростта на полюса, векторът на ъгловата скорост на твърдото тяло, е скоростта на супера, t e. скоростта на точката, когато тя е опустошена около полюса.

Ние ще представляваме солидна като механична система, състояща се от Н. Отделни точки, взаимното разстояние между което не се променя.

Изчислете горната компенса в сила:

Тогава.

Елементарна работа, съгласно (5.1), ще бъде записана по следния начин.

Възползвайте се от свойствата на забавен продукт на векторите , пренапишете последния израз във формата

Нека бъде резултат от всички сили, външни и вътрешни (фиг.4), прикрепени в точката на тялото, т.е.

.

Тогава (а) ще бъдат записани така

Съгласно (3.1 и 3.2), главния вектор и главен момент вътрешните сили на системата са нула, ние получаваме

тук: - главен вектор, - основния момент на външните сили по отношение на точката ОТНОСНО.

Частни дела

А. Твърдо движение на твърдото вещество. Всички телесни точки имат едно и също движение (фиг. 5.5, а) и модул, и в посоката, след това от (5.6), получаваме (тук):

. (5.7)

Б. Въртене на твърда около стационарната ос. Нека оста z. минава през полюса ОТНОСНО(Фиг. 5.5b). Тогава,; От (5.6) получаваме

. (5.8)

Пример. Бобина м. и радиус R. се движи от постоянна сила Е.прикрепен в точката НО(Фиг. 5.6). Бобината се търкаля вдясно, без да се подхлъзва върху грубата повърхност.

Изчислете работата на всички външни сили, ако центърът на бобината се премести на разстояние, коефициентът на търкаляне на триене, силата на триене, R е радиус на ядрото на намотката, към която се прилага силата.

Решение. Бобината извършва плоско движение. Тъй като комбинацията се случва без приплъзване, тогава центърът за незабавен скорост е в точката на докосване на бобината със самолет, т.е. В точка R.(Фиг. 5.6). Ще изпратим осите хоризонтално вдясно. В съответствие с посоката на движение, ние ще вземем положителна посока на ъгъла на въртене срещу курса на часовниковата стрелка.

Нека центърът на бобината От Преместване. В този случай намотката се обръща към ъгъла. Тогава от

Вземане на точка R. За моментната ос на въртене изчисляваме елементарната работа съгласно формула (5.8):

(но)

Тук: линията на действие и mg. следователно прекоси оста на въртене; Освен това Н. - мощност на нормална реакция.

Да се \u200b\u200bопредели желаната работа остава да се вземе определен интеграл от (а) от 0 до С. НО. Получаване

5. 2. Поле за захранване. Функция за захранване. Потенциална енергия

Да предположим, че точката се движи в определено пространство и силата действа отстрани на пространството, което зависи от позицията на точката в това пространство, но не зависи от скоростта на точката. В този случай те казват, че в пространството силово полеОсвен това, че точката се движи в полето за захранване. Съответните концепции за системата DOT система са сходни.

Силите в зависимост от позицията на точките на тяхното прилагане, често има механика. Например, силата на еластичност, прикрепена към материалната точка, която се движи по хоризонталната права под действието на пружината. Най-важният пример Полето за захранване в природата е гравитационно поле: действието на слънцето на планетата на тази маса се определя във всяка точка на пространството по закон света пълно гравитация.

Полето за захранване се нарича потенциалАко има скаларна функция УлавянеВ зависимост само от координатите, точките на материалната система (може би и навреме), такава

Функцията се нарича функция на захранването.

Помислете за свойствата на функцията за захранване.

Елементарната работа (5.1) е свързана с функция за захранване, както следва.

По този начин, елементарната работа на мощността в полето за потенциално захранване е еднаква пълна разлика от функция за захранванеaI.

Пълна работа по парцела от точката към основния въпрос (Фиг. 5.1)

тези. . (5.10)

От получените изрази следва това

1. Работата на силата в полето за потенциално захранване за всеки затворен път е нула;

2. Работата на силата в полето за потенциално захранване зависи само от позицията на окончателното и първоначалното точки, но ролята на преместването на ролята не играе.

Потенциална енергия. Потенциална енергия Пс В текущата точка на мощност R.обърнете се към работата, която силите на терен, действащи върху материалната точка, когато се движи от точката R. В началната точка 1, т.е.

Пс\u003d или Пс=

Свързваме функцията за захранване Улавянес потенциална енергия. . \\ T

Примери за изчисляване на потенциалната енергия

1. Равномерно тегло на тежестта. Нека бъде м. - точка на точка; г. - ускоряване на тежестта. След това (фиг. 5.2)

2. Еластична пружинно поле. Нека материалната точка се движи по оста О. (Фиг. 5.3) Под действието на пролетта, към която е прикрепена. Ако пружината не се деформира, тогава вярвайки във формулата (5.5), ние получаваме

.

5. 3. Кинетична енергия

5. 3. 1. Кинетична енергийна система. Теорема Kenigue

Кинетична енергия материална точка Наречена половината от масата на точката на точката на квадрат на скоростта му, т.е. . Кинетичната енергия е скаларна положителна стойност. В системата SI, единицата за измерване на кинетичната енергия е джал: .

Кинетична енергия механична система Сумата на кинетичните енергии на всички точки, които са влезли в системата, се наричат:

(5.11)

Скоростта на точките на системата (5.1) се определя от относително фиксирана референтна система.

Съвместим с произхода на координатите с центъра на масата. Да предположим, че механичната система, заедно с координатната система, се движи правилно по отношение на фиксираната координатна система (фиг. 5.7). Точка е точка от системата.

След това, въз основа на теорема при добавянето на скорости, абсолютната скорост на точката R. К.. Системите ще бъдат написани така векторна сума на преносими и относителни скорости:

, (но)

където - скоростта на началото на подвижната координатна система (преносима скорост, т.е. среден център на масата); - Точка на скоростта R. К. по отношение на подвижната координатна система OHU.z. (относителна скорост).

Замествайки (а) във формула (5.11), ние получаваме

(5.12)

Тук - масата на цялата система.

Решава се радиус-векторът на центъра на масата в подвижната координатна система, съгласно (2.1), - От! . . От произхода на координатите ОТНОСНО Това е центърът на масовата система, след това, т.е. Втората сума в израза (5.12) е нула.

Така кинетичната енергия на системата (5.12) има

(5.13)

Това равенство определя теоремата на Кениг.

Теорема. Кинетичната енергия на системата е равна на количеството кинетична енергия, което би имало материална точка, разположена в центъра на масите на системата и да има маса, равна маса Системи и кинетична енергия на системното движение по отношение на центъра на масата.

5. 3. 2. Кинетична твърда енергия

Твърдото вещество е специален случай на механична система и се счита за непрекъснато разпределена маса, след това всички количества, включени в експресията за кинетичната енергия на системата, се прехвърлят към интегралите. Така, за твърдо тяло (5.11) ще бъде под формата

. (5.14)

1. Кинетичната енергия на твърдата, която се движи постепенно.

В същото време скоростта на скоростта на всички точки на тялото е еднаква (фиг. 5.8). Отлагане във формула (5.14) за знака на интеграла, ние получаваме

. (5.15)

Кинетичната енергия на твърдото, която се движи постепенно, е половината от телесната маса на тялотоМ. На площада на скоростта му.

2. Кинетичната енергия на твърдото, въртяща се около стационарната ос

Модул за скорост В. Всяка точка на твърдо тяло, въртяща се около стационарната ос, е равна на където - модулът на ъгловата скорост на твърдото тяло - разстоянието от точката до оста на въртене z. (Фиг. 5.9). Заместване във формула (5.14), ние получаваме

тук - момент на твърда инерция спрямо оста z..

Кинетичната енергия на твърдото вещество, въртяща се около фиксираната ос, е равна на половината от продукта на момента на инерция на тялото спрямо оста на въртене до квадрата на скоростта на тялото на тялото.

3. Кинетична твърда енергия с плоско - паралелно движение

С плоско паралелно движение, скоростта на всяка точка на тялото се състои от геометрична сума на скоростта на полюса и точката, когато се върти около полюса. Нека тялото се движи плоско в самолета Окси, тогава

|| . За полюса, изберете центъра на масовото тяло, след това във формула (5.13), скоростта е скоростта на точката к. телата по време на ротацията му спрямо полюса (центъра на масите) и равни където разстоянието к.- о, точка до полюс. След това (5.13) пренаписване

Като се има предвид това - момента на инерцията на тялото спрямо оста z.полюс Отпоследният израз може да бъде пренаписан като

, (5.17)

с плоско равномерно движение на тялото кинетичната енергия се сгъва от кинетичната енергия на траннографското движение заедно с центъра на масата и кинетичната енергия от въртене около оста, преминаваща през центъра на масата и перпендикулярна равнина на движението.

5. 4. Теорема за промяна на кинетичната енергия

5. 4. 1. Теорема за промяната в кинетичната енергия

Намерете връзката между работата и промяната в скоростта. Нека материалната точка на точката м. Се движи по оста О. При действието на силата, като например компресирана или срутена пружина, фиксирана в началото на координатите - точка ОТНОСНО (Фиг. 5.10). Уравнението на точката на движение има формата

Умножете двете части на това уравнение и, като се има предвид това ,

. (5.19)

В дясната част на това равенство, замени V X. и се умножават dt. Дясно и ляво. Тогава

. (5.20)

В тази форма равенството има много визуално значение: когато точката се измества dX., властта прави работа, което води до величина кинетична енергия характеризирайки движението на точката и по-специално модула на неговата скорост. Ако точката е изместена от позицията и скоростта му се променя до, тогава, интегрирайки (5.20), имаме

. (5.21)

Като се има предвид това най-накрая намирам

. (5.22)

Промяната на кинетичната енергия на материалната точка по какъвто и да е начин на движение е равна на действието на силата, действаща върху точката на същото движение.

След като извършихме всички предишни процедури, получаваме

,

ето една дъга, по която точката се движи (фиг. 5.11).

5. 4. 2. Теорема за промяната в кинетичната енергийна система

Нека точката на системата се премести на масата, така че техните радиус вектори в инерционната референтна система да получат увеличаване. Откриваме как се е променило кинетичната енергия T. Системи.

Съгласно (5.11), кинетичната енергия на системата

.

Изчислете диференциалността на кинетичната енергия на системата и ние трансформираме произтичащия израз

тук

Като се има предвид това , когато - ускорението на точката А и е равни външните и вътрешните сили, прикрепени към точката, пренапишете последното равенство под формата на

По този начин,

. (5.23)

Последното равенство изразява теорема за промяната в кинетичната енергия на механичната система в диференциална форма: диференциалът на кинетичната енергия на системата е равен на елементарната работа на всички сили на системата.

Частно дело . За абсолютно твърдо тяло, количеството работа на всички вътрешни сили на системата е нула:

.

Следователно теоремата за промяната в кинетичната енергия (5.23) за твърдо вещество може да бъде написана като

Промяната в кинетичната енергия на твърдото вещество с всяко основно движение е равно на елементарната работа на външните сили, действащи върху тялото.

Ако двете части (5.24) се интегрират между две позиции - първоначални и крайни, в които, съответно, кинетична енергия и получаваме

. (5.25)

Пример 1.. Диск маса м.\u003d 5 кг и радиусът се задвижва от постоянна сила, прикрепена в точката НО(Фиг. 5.6). Дискът се търкаля върху грубата повърхност вдясно, без да се плъзга. Определят центъра за скорост От Намотките в момента, когато се движи на разстояние, коефициентът на плъзгащия се триене, радиусът на инерцията на диска

Решение. Дискът прави плоско движение. Пишаме теоремата за промяната в кинетичната енергия за твърдо

Изчислете кинетичната енергия на диска. В първоначалния момент на времето дискът беше в покой, т.е. . Кинетична енергия в крайното положение на диска

Въвеждаме концепцията за други големи динамични характеристики на движението на кинетичната енергия. Кинетичната енергия на материалната точка е скаларната стойност, равна на половината от продукта на точката на точката на квадрат на скоростта му.

Единицата за измерване на кинетичната енергия е същата като работата (в С - 1 Й). Намерете зависимостта, която тези две стойности са свързани.

Помислете за материална точка с маса, която се движи от позицията, където има скорост в положение, където скоростта му

За да получите желана зависимост, ние се обръщаме към изразяването на правото на динамиката на уравнението, проектиращо двата части на допирателна към точката на траекторията, насочена към движение, получаваме

Включени тук тангенциални точки за ускорение ще присъстват във формата

В резултат на това откриваме това

Умножете двете части на това равенство и подадете диференциалния знак. След това, забелязвайки, че къде - елементарната работа на силата получаваме изразяването на теоремата за промяната в кинетичната енергия в диференциалната форма:

Интегрирането сега и двете части на това равенство в съответните стойности на променливите в точките ще бъдат намерени накрая

Уравнение (52) изразява теорема за промяната в кинетичната енергия на точката в крайната форма: промяна в кинетичната енергия на точката в част от нейното движение е равна на алгебричното количество работа на всички сили, действащи на всички сили, действащи точката на същото движение.

Случай на свободно движение. С свободното движение на точката в дясната страна на равенството (52), работата на посочените (активни) сили и функционирането на комуникационната реакция ще влезе. Ние се ограничаваме до разглеждането на движението на точката върху фиксирано гладко (лишено триене) на повърхността или кривата. В този случай, N (виж Фиг. 233) отговор ще бъде насочен от нормален до траекторията на пътя и. След това, съгласно формула (44), работата на реакцията на фиксирана гладка повърхност (или крива) по време на всяко движение на точката ще бъде нула и получаваме от уравнение (52)

Следователно, когато се движи по фиксирана гладка повърхност (или крива), промяната в кинетичната енергия на точката е равна на сумата на работата по това движение, прикрепено към точката на активните сили.

Ако повърхността (кривата) не е гладка, работата на силата на триене ще бъде добавена към работата на активните сили (виж § 88). Ако повърхностната (кривата) се движи, тогава абсолютното движение на точката m не може да бъде перпендикулярно на п и след това работата на реакцията n няма да бъде нула (например, работата на реакцията на платформата на асансьора).

Решаване на задачи. Теоремата за промяната в кинетичната енергия [формула (52)] позволява, като знаят как променя скоростта си, когато точката се променя, определя функционирането на текущите сили (първата задача на оратора) или, знаейки работата на Текущите сили определят как се променя точката, когато се движи (втората задача на промените на оратора). При решаването на втората задача, когато силите са дадени, е необходимо да се изчисли тяхната работа. Както може да се види от формули (44), (44), това може да се извърши само когато силите са постоянни или зависят само от позицията (координата) на движеща се точка, като например силите на еластичност или гроб (виж § 88).

Така формулата (52) може да бъде пряко използвана за решаване на втория динамика проблем, когато задачата в броя на данните и желаните стойности включва: текущите сили, движението на точката и неговата първоначална и последна скорост (т.е. стойностите) и силата трябва да бъдат постоянни или зависими точки само на позиция (координати).

Теорема в диференциалната форма [формула (51)] може, разбира се, може да се използва за всички съществуващи сили.

Задача 98. Товарна маса KG, изоставена със скорост на точка А, която е на височина (фиг. 235), има точка в точката на падане със скоростта, за да определи какво е равно на работата на въздуха, действащи натоварването, когато силата на съпротивлението на въздуха е

Решение. По отношение на своето движение, силата на гравитацията p и силата на съпротивата на въздуха R. от теоремата за промяната в кинетичната енергия, като се има предвид товарният материал, имаме

От това равенство, защото според формулата, която намираме

Задача 99. При условията на задача 96 (вж. [§ 84), определете кой път ще премине товарното, за да спре (виж фиг, 223, където - първоначалната позиция на товара, и - крайна).

Решение. За товара, както в проблема 96, силите на P, N, F. за определяне на спирачния път, като се има предвид, че условията на този проблем включват постоянна сила F, ние използваме теоремата на промяната в кинетичната енергия

В разглеждания случай скоростта на товара по време на стоп). В допълнение, тъй като силите p и n са перпендикулярни за движение, в крайна сметка получаваме откъдето открием

Според резултатите от проблема 96, времето на спиране нараства пропорционално първоначална скорости пътната пътека, както открихме, е пропорционална на квадрата на първоначалната скорост. По отношение на наземния транспорт той показва как опасността се увеличава с нарастващата скорост.

Задача 100. Теглото на Р се суспендира на дължината на нишката дължина, заедно с товара, се отклонява от вертикала към ъгъла (фиг. 236, а) и освобождаване без начална скорост. При шофиране в товара, силата на съпротивата на R, което е приблизително заместване на средната му стойност, за да намери скоростта на товара по това време, когато нишката се образува с вертикалния ъгъл

Решение. Като се имат предвид условията на задачата, ние ще използваме отново теорема (52):

Теглото на гравитацията p, реакцията на резбата на съпротивлението, представена от неговата средна стойност на R. за сила р, използвайки формулата (47) за сила n, както най-накрая получаваме, за силата, тъй като формулата ( 45) ще бъде (дължината на дъгата е равна на радиуса на работа l върху централния ъгъл). В допълнение, при условията на проблема, в резултат на равенство (а) дава: \\ t

При липса на съпротива, ние получаваме оттук, известната формула на Галилея е валидна, очевидно и за скоростта на свободно падащи товари (фиг, 236, б).

В разглеждания проблем, след това чрез въвеждане на равномерно обозначение - средната сила на съпротивлението на единица тегло на товара), най-накрая получаваме

Задача 101. Клапанната пружина има дължина на клапана в състояние на долната повърхност. С напълно отворен клапан, cm дължина и височина на повдигане на клапата cm (Фиг. 237). Пролетна твърдост на масата KG. Пренебрегване на ефекта на силите на тежестта и съпротивлението, определя скоростта на клапана по времето на затвореното.

Решение, използвайте уравнението

При условията на задачата работата извършва само силата на еластичността на пролетта. Тогава формулата (48) ще бъде

В такъв случай

В допълнение, замествайки всички тези стойности към уравнение (а), най-накрая ще получим

Задача 102. Товарът лежи по средата на еластичния лъч (фиг. 238), просят го върху стойността (статистическа статистическа деформация), пренебрегвайки теглото на гредите, определя каква максимална деформация ще бъде равна, ако товарът падне върху лъч от височината на n.

Решение. Както и в предишната задача, ние използваме за решаване на уравнението (52). В този случай първоначалната скорост на товара и неговата крайна скорост (по време на максималното отклонение на лъча) е нула и уравнение (52)

Работата тук е направена от силата на гравитацията P върху движението и силата на еластичност на лъча f върху движението по едно и също време, както за Бална, замествам тези стойности в равенство (а), получаваме

Но с равновесието на товара върху лъча, тежестта се изравнява със сила на еластичност, следователно, предишното равенство може да бъде представено като

Решаване на него квадратно уравнение и като се има предвид, че при условията на задачата трябва да се намери

Интересно е да се отбележи, че когато се окаже, ако товарът е поставен върху средата на хоризонталния лъч, тогава максималната му деформация при понижаването на товара ще бъде равна на двойна статична. В бъдеще товарът ще започне с гредата, за да направи колебанията близо до равновесното положение. Под влиянието на съпротивата тези трептения ще бъдат избледнели и системата е балансирана в позиция, в която отклонението на лъча е равно на

Задача 103. Определете първоначалната скорост на оригиналната вертикално, първоначалната скорост трябва да бъде информирана, че тя се издига от повърхността на земята до определената височина h (фиг. 239) силата на привличането, за да се обмисли различното обратно в пропорционално на. \\ T квадрат на разстоянието от центъра на земята. Въздушна устойчивост на пренебрегване.

Решение. Като се има предвид тялото като материална точка с маса, използваме уравнението

Работата тук изпълнява силата на F. след това с формула (50), като се има предвид, че в този случай, когато R е радиусът на земята, ние получаваме

Тъй като в най-високата точка, с установената стойност на работата, уравнението (a) дава

Разгледайте частно дело:

а) Нека n е много малък в сравнение с R. след това - стойността близо до нула. Правене на цифров и знаменател

Така, при малки n пристигаме в Галилея формула;

б) откриваме, при каква първоначална скорост, изоставеното тяло ще влезе в сила в безкрайността, споделяйки числителя и знаменателя при, получаваме

Ако разгледаме някаква точка от системата с маса , с скорост , Тогава за тази точка ще бъде

,

където I. - Елементарни произведения, действащи на външната и вътрешната сила. Чрез изготвяне на такива уравнения за всяка от точките на системата и ги сгъване отзад, ние получаваме

,

. (2)

Равенството изразява теорема за промяна на кинетичната енергия на системата в диференциална форма.

Ако полученият израз се приписва на елементарен период от време, през който е настъпило въпросното движение, е възможно да се получи втората формулация за диференциалната форма на теоремата: производно от кинетичната енергия на механичната система е равно на сумата на капацитета на всички външни () и вътрешни () сили, т.е.

За компилиране могат да се използват диференциални форми на теоремата за промяната в кинетичната енергия диференциални уравнения Движение, но става много рядко, защото има по-удобни техники.

Интегриране на двете части на равенство (2) в рамките, съответстващи на движението на системата от определена първоначална позиция, когато кинетичната енергия е равна на позицията, при която стойността на кинетичната енергия става еднаква , ще има

Полученото уравнение изразява теоремата на промяната в кинетичната енергия в крайната форма: промяната на кинетичната енергия на системата в част от нейното движение е равна на сумата на работата по това движение на всички външни и вътрешни сили, свързани със системата.

За разлика от предишните теореми, вътрешните сили в уравненията не са изключени. Всъщност, ако взаимодействието между точките и системите (виж фиг.51), тогава. Но в същото време, точката може да се придвижи към К, а точката е към. Работата на всеки от силите ще положи положителни и количеството работа няма да бъде нула. Пример за това е феноменът на връщане. Вътрешни сили (сили под налягане), действащи върху снаряда и за подвижните части, правят положителна работа тук. Сумата от тези работи, не е равна на нула и променя кинетичната енергия на системата от стойността в началото на изстрела до края на края.

Друг пример: две точки, свързани до пружината. Когато разстоянието се променя между точките, ще се извърши еластичната сила, прикрепена към точките. Но ако системата се състои от абсолютно твърди тела и връзката между тях е неизменна, а не еластична, идеална, тогава работата на вътрешните сили ще бъде нула и те не могат да бъдат взети под внимание и не ги показват изобщо на изчислението схема.

Обмислете две важни лични събития.

1) Непроменена система. Непроменим Ще се обадим на система, в която разстоянията между точките на прилагане на вътрешните сили не се променят, когато системата се движи. По-специално, такава система е абсолютно твърдо тяло или нерентабилна нишка.

Фиг.51.

Нека две точки и неизменната система (PIS.51), действащи един към друг със силите и () в момента на скоростта и. Тогава с течение на времето dt. Тези точки ще направят елементарно движение и , насочени по векторите и. Но сегментът Такакак е неизменно, след това според известната теорема за кинематика на проекцията на векторите и , и следователно движенията и посоката на сегмента ще бъдат равни един на друг, т.е. . Тогава елементарната работа на силите и ще бъде еднаква в модула и са противоположни на знака и в сумата ще даде нула. Този резултат е справедлив за всички вътрешни сили във всяко системно движение.

Оттук заключаваме това за неизменна система, количеството работа на всички вътрешни сили е нула и уравненията се появяват

2) Системата с перфектни връзки. Помислете за системата, на която връзките не се променят с течение на времето. Разделяме всички външни и вътрешни сили на точките на системата активен и реакции на връзките. Тогава

,

където - елементарната работа, действаща върху k-yU точка на система от външни и вътрешни активни сили, а е елементарната работа на реакциите, наложени върху една и съща точка на външни и вътрешни връзки.

Както виждаме, промяната в кинетичната енергия на системата зависи от работата и активните сили и реакции на връзки. Възможно е обаче да се въведе концепцията за такива "идеални" механични системи, в които присъствието на облигации не засяга промяната в кинетичната енергия на системата по време на нейното движение. За такива връзки трябва очевидно да се изпълни:

Ако за облигации, които не се променят с времето, количеството работа на всички реакции в елементарното движение на системата е нула, тогава се наричат \u200b\u200bтакива връзки идеален. За механична система, която се наслаждава само от идеални връзки, които очевидно ще имаме

По този начин, промяната в кинетичната енергия на системата с идеални, неметражни връзки с някое от движението му, равно на сумата на работата по този ход, прикрепен към външната и вътрешната система активни сили.

Се нарича механична система консервативен(Енергията изглежда, че се подиграва, не се променя), ако се осъществява енергиен интеграл за него

или (3)

то е законът за опазване на механичната енергия: когато системата се движи в потенциално поле, нейната механична енергия (сумата на потенциала и кинетичната) остава непроменена, постоянна.

Механичната система ще бъде консервативна, ако силите, действащи върху него, са потенциално, като например силата на гравитацията, силата на еластичността. В консервативните механични системи, използвайки енергиен интеграл, е възможно да се провери коректността на приготвянето на диференциални уравнения на движение. Ако системата е консервативна, и състоянието (3) не е изпълнено, това означава, че е направена грешка при приготвянето на уравненията за движение.

Интегралната енергия може да се използва за проверка на коректността на съставянето на уравнения и по друг начин, без да се изчислява производно. За да направите това, след цифровата интеграция на уравненията за движение, изчислете стойността на общата механична енергия за две различни точки на времето, например, първоначалната и последната. Ако разликата в стойностите е сравнима с грешките при изчисляването, това ще покаже коректността на използваните уравнения.

Всички предишни теореми позволяват да се изключат вътрешните сили от уравненията на движението, но всички външни сили, включително тези безнадерени реакции на външните отношения, са запазени в уравнения. Практическата стойност на теоремата за промяна на кинетичната енергия е, че с идеални връзки, които не могат да се променят, тя ще елиминира от уравненията на движението всичко Алтернативно неизвестни реакции на връзките.

Тази теорема установява количествената връзка между дейността на силата (причината) и кинетичната енергия на материалната точка (последствие).

Кинетичен енергиен материал наречена скаларна стойност, равна на половината от продукта на точката на точка до квадрата на скоростта му

. (43)

Кинетичната енергия характеризира механичния ефект на силата, който може да се превърне в други видове енергия, например за термична.

Работа на властна това движение се нарича характеристика на мощностни действиякоето води до промяна в модула за скорост.

Елементарна работа на властта Определя се като скаларен продукт на вектор на силата на елементарен вектор на движение в точка от нейното прилагане

, (44)

където
- елементарно движение.

Модулът на елементарната работа се определя с формулата

където  - ъгъл между вектора на силата и вектора на елементарното движение; - проекция на вектора на захранването на допирателна.

Пълната работа по някакво крайно движение се определя от интеграла

. (46)

От (46) следва, че пълната работа може да бъде изчислена в два случая, когато силата постоянна или зависи от движението.

За Е.\u003d Const unce
.

Когато решават задачи, често е удобно да се използва аналитичният метод за изчисляване на сила

където Е. х. , Е. y. , Е. z. - прогнози за сила върху координирани оси.

Доказваме следната теорема.

Теорема: Промяната в кинетичната енергия на материалната точка на част от нейното движение е равна на функционирането на силите, действащи в точката, на същото движение.

Нека материалната точка m маса м. Преместване под действието на властта Е. От позицията m 0 до позицията m 1.

Oud:
. (47)

Въвеждаме подмяна
и ние ще проектираме (47) на допирателната

. (48)

Разделяме в (48) променливи и интегрирани

В резултат на това получаваме

. (49)

Уравнение (49) доказва формулираната по-горе теорема.

Удобно е да се използва теоретите, когато сред посочените и желаните параметри има точка от точка, неговата начална и крайна скорост, сила и движение.

Изчисляване на работата на характерните сили.

1. Работа на гравитацията Той се изчислява като продукт на силовия модул при преместване на точката на нейното вертикално приложение

. (50)

Когато се движите нагоре, работата е положителна, когато се движите надолу - отрицателна.

2. Пролетна еластична сила Е.=-cx. равен

, (51)

където х. 0 - Първоначални извори за удължаване (компресия);

х. 1 - окончателно разширение (компресиране) пружини.

Работата на тежестта и еластичната сила не зависи от траекторията на преместването на техните точки на приложението. Такива сили, чиято работа не зависи от траекторията, се наричат потенциални сили.

3. Работа на силата на триене.

Тъй като силата на триене винаги е насочена към обратната посока на движение, работата му е равна на

Работата на силите на триене винаги е отрицателна. Се наричат \u200b\u200bсили, чиято работа винаги е отрицателна, се наричат разсеятелен.

Интегрална (финална) форма. Теорема за промяната в кинетичната енергия на материалната точка: промяната на кинетичната енергия на риалната точка на част от нейното движение е равна на алгебричната сума на работата на всички сили, действащи по този въпрос на същото движение.

Формулирана е теоремата за промяната в кинетичната енергия на механичната система: промяна на кинетичната енергия на механичната система, когато тя се движи от една позиция към друга, равна на сумата от работата на всички външни и вътрешни CUS, прикрепени към системата, върху това движение:

В случай на неизменна система, сумата на работата на вътрешните сили на всяко движение е нула (), след това

Законът за опазване на механичната енергия.При преместване на механичната система под действието на силите, които имат потенциал, промените в кинетичната енергия на системата се определят от зависимости:

Където

Сумата от кинетичната и потенциалната енергия на системата се нарича пълна механична енергия Системи.

По този начин, при преместване на механичната система в стационарното потенциално поле, пълната механична енергия на системата остава непроменена при шофиране.

Задача. Механичната система под действието на тежестните сили идва в движение от държавата на почивка. Като се има предвид триенето на тялото 3, пренебрегвайки други сили на съпротивата и масите на нишките, предполагаеми неразумни, определят скоростта и ускорението на тялото 1 в момента, когато пътят, който преминава към тях, става равен с. (Фиг. 3.70).

В задачата вземете:

Решение. Има активни сили на механичната система, Използвайки принципа на освобождаване от облигациите на системата, ние показваме реакцията на шарнирна фиксирана поддръжка 2 и груба наклонена повърхност. Ще бъдат изобразени указанията на скоростите на системата на системата, като се вземат предвид факта, че тялото 1 намалява.

Задачата се решава чрез прилагане на теорема за промяна на кинетичната енергия на механичната система:

където T. и - кинетичната енергия на системата в началните и крайните позиции; - алгебричното количество на работата на външните сили, свързано със системата, върху движението на системата от първоначалната позиция до окончателния; - размера на работата на вътрешните сили на системата на същото движение.

За разглежданата система, състояща се от абсолютно твърди тела, свързани с нерентабилни нишки:

Като Б. първоначална позиция След това системата почиваше. Следователно:

Кинетичната енергия на системата е количеството кинетични енергии на тел 1, 2, 3:

Кинетичната енергия на товара 1, която се движи постепенно, е равна на:

Кинетична енергия на блок 2, извършване на въртене около оста Оз.перпендикулярно на чертежа:

Кинетичната енергия на тялото 3 в прогресивното си движение:

По този начин,

Изразът на кинетична енергия съдържа неизвестна скорост на всички тела на системата. Стартиране на определението е необходимо с. Отървете се от неизвестни неизвестни, като направите уравнението на връзките.

Уравненията за отношения са нищо друго освен кинематичната връзка между скоростите и движенията на точките на системата. При съставянето на уравненията за връзки ще изразим всички неизвестни скорости и движение на телата на системата чрез скорост и движение на товара 1.

Скоростта на всяка точка на малкия радиус ръба е равна на скоростта на тялото 1, както и продукта на ъгловата скорост на тялото 2 и ротационния радиус r:

Следователно, изразяват ъгловата скорост на тялото 2:

Ротационната скорост на всяка точка на ръба на големия радиус единица, от една страна, е равна на продукта на ъгловата скорост на блока и радиуса на въртене, а от друга - скоростта на тялото 3:

Подразбира се стойността на ъгловата скорост, получаваме:

Интегриране при първоначалните условия на изразяване (а) и б), ние пишем съотношението на движенията на системните точки:

Познаване на основните зависимости от скоростите на системните точки, обратно към експресията на кинетична енергия и заместващи уравнения (а) и (б) в него:

Моментът на инерцията на тялото 2 е:

Заместване на стойностите на масите на телата и момента на инерцията на тялото 2, пишем:

Определяне на сумата от работата на всички външни системи за системи върху дадено движение.

Сега, според теоремата за промяната в кинетичната енергия на механичната система, изравнява стойностите T.и

Корпусна скорост 1 Ние получаваме от израза (g)

Ускоряването на тялото 1 може да се определи чрез директно използване на равенството (G).