Въпрос 1.Какви ъгли се наричат ​​съседни?
Отговор.Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако имат една обща страна, а другите страни на тези ъгли са допълнителни полулинии.
На фигура 31 ъглите (a 1 b) и (a 2 b) са съседни. Те имат обща страна b, а страни a 1 и a 2 са допълнителни полулинии.

Въпрос 2.Докажете, че сумата от съседни ъгли е 180 °.
Отговор. Теорема 2.1.Сумата от съседни ъгли е 180 °.
Доказателство.Нека ъгълът (a 1 b) и ъгълът (a 2 b) са дадените съседни ъгли (виж фиг. 31). Лъч b минава между страни a 1 и a 2 от развития ъгъл. Следователно сумата от ъглите (a 1 b) и (a 2 b) е равна на удължения ъгъл, т.е. 180 °. Q.E.D.

Въпрос 3.Докажете, че ако два ъгъла са равни, тогава съседните до тях ъгли също са равни.
Отговор.

От теоремата 2.1 следва, че ако два ъгъла са равни, то съседните до тях ъгли са равни.
Да речем, че ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни. Трябва да докажем, че ъглите (a 2 b) и (c 2 d) също са равни.
Сумата от съседни ъгли е 180 °. От това следва, че a 1 b + a 2 b = 180 ° и c 1 d + c 2 d = 180 °. Следователно, a 2 b = 180 ° - a 1 b и c 2 d = 180 ° - c 1 d. Тъй като ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни, получаваме, че a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. По свойството на транзитивност на знака за равенство следва, че a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Въпрос 4.Какъв ъгъл се нарича прав (остър, тъп)?
Отговор.Ъгъл, равен на 90 °, се нарича прав ъгъл.
Ъгъл, по -малък от 90 °, се нарича остър ъгъл.
Ъгъл, по -голям от 90 ° и по -малък от 180 °, се нарича тъп.

Въпрос 5.Докажете, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.
Отговор.От теоремата за сумата от съседни ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Въпрос 6.Какви ъгли се наричат ​​вертикални?
Отговор.Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи страни на другия.

Въпрос 7.Докажете, че вертикалните ъгли са равни.
Отговор. Теорема 2.2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателство.Нека (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са зададените вертикални ъгли (фиг. 34). Ъгълът (a 1 b 2) е в съседство с ъгъла (a 1 b 1) и ъгъла (a 2 b 2). Следователно, чрез теоремата за сумата от съседни ъгли, заключаваме, че всеки от ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) допълва ъгъла (a 1 b 2) до 180 °, т.е. ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са равни. Q.E.D.

Въпрос 8.Докажете, че ако в пресечната точка на две прави линии един от ъглите е права линия, тогава другите три ъгъла също са прави линии.
Отговор.Да предположим, че линии AB и CD се срещат помежду си в точка O. Да предположим, че ъгъл AOD е 90 °. Тъй като сумата от съседни ъгли е 180 °, получаваме, че AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Ъгълът COB е вертикален спрямо ъгъла на AOD, така че те са равни. Тоест ъгълът на COB = 90 °. COA е вертикално спрямо BOD, така че те са равни. Тоест ъгълът на BOD = 90 °. По този начин всички ъгли са равни на 90 °, тоест всички са прави. Q.E.D.

Въпрос 9.Кои прави линии се наричат ​​перпендикулярни? Какъв знак се използва за обозначаване на перпендикулярността на правите линии?
Отговор.Две прави линии се наричат ​​перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Перпендикулярността на линиите се обозначава с \ (\ perp \). Записът \ (a \ perp b \) гласи: "Линията a е перпендикулярна на линия b".

Въпрос 10.Докажете, че през всяка точка на права линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Отговор. Теорема 2.3.През всяка права линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Доказателство.Нека a е дадена линия и A е дадена точка върху нея. Нека обозначим с 1 една от полуправите на правата а с начална точка А (фиг. 38). Нека оставим настрана ъгъла (a 1 b 1), равен на 90 ° от полулинията a 1. Тогава правата линия, съдържаща лъча b 1, ще бъде перпендикулярна на правата a.

Да предположим, че има друга линия, също преминаваща през точка А и перпендикулярна на права а. Нека c 1 означава полуправата на тази права, която лежи в същата полуплоскост с лъча b 1.
Ъглите (a 1 b 1) и (a 1 c 1), всеки равен на 90 °, са нанесени в една полуравнина от полулинията a 1. Но от полулинията а 1, само един ъгъл, равен на 90 °, може да бъде отделен в тази полуравнина. Следователно не трябва да има друга права линия, преминаваща през точка А и перпендикулярна на права а. Теоремата е доказана.

Въпрос 11.Какво е перпендикуляр на права?
Отговор.Перпендикуляр на дадена линия е отсечка от права, перпендикулярна на дадена, която има един от краищата си точка на пресичане. Този край на сегмента се нарича основаперпендикулярно.

Въпрос 12.Обяснете какво е обратното доказателство.
Отговор.Методът на доказване, който използвахме в теорема 2.3, се нарича доказателство чрез противоречие. Този начин на доказване е, че първо правим предположение, противоположно на това, което твърди теоремата. След това, като разсъждаваме, разчитайки на аксиомите и доказаните теореми, стигаме до заключение, което противоречи или на условието на теоремата, или на една от аксиомите, или на теоремата, доказана по -рано. На тази основа заключаваме, че нашето предположение е неправилно, което означава, че твърдението на теоремата е вярно.

Въпрос 13.Какво се нарича бисектриса на ъгъл?
Отговор.Бисектрисата на ъгъл е лъч, който излиза от върха на ъгъла, преминава между страните му и разделя ъгъла наполовина.

Като цяло триъгълникът е най -много най -простата фигураот всички съществуващи многоъгълници. Образува се с помощта на три точки, които лежат в 1 -ва равнина, но в същото време те не лежат на 1 -ва права линия, а са свързани по двойки по сегменти. Триъгълниците са различни видове, което означава, че те се характеризират с различни свойства... В зависимост от вида на ъглите, триъгълникът може да принадлежи към един от 3 вида-да бъде остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен. Тъп триъгълник е триъгълник, който има един тъп ъгъл. В същото време такъв ъгъл се нарича тъп, който има стойност повече от деветдесет градуса, но по -малко от сто и осемдесет градуса.

С други думи, тъп триъгълник е най -простият многоъгълник, който съдържа тъп ъгъл - някои от неговите ъгли са в диапазона от 90-180 градуса.

Проблем: Дали триъгълникът е тъп, когато:

• ъгълът ABC в него е равен на 65 градуса;
• ъгълът му BCA е 95 градуса;
• ъгълът на CAB е 20 градуса.

Решение: CAB и ABC са по -малко от 90 градуса, но BCA е повече от 90 градуса. Това означава, че такъв триъгълник е тъп.

Как да намерим страните на тъп равнобедрен триъгълник

Какво е тъп триъгълник, разбрахме по -горе. Сега трябва да разберете кой триъгълник се счита за равнобедрен.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, който има 2 абсолютно равни страни. Тези страни се наричат ​​странични, докато третата страна на триъгълника се нарича основа.

Върховете на триъгълник обикновено се означават с главни латински букви - тоест A, B и C. Стойностите на ъглите му съответно са обозначени с гръцки букви, тоест α, β, γ. Дължините на противоположните страни на триъгълника са с главни латински букви, тоест a, b, c.

Проста задача: Периметърът на тъп равнобедрен триъгълник е 25 см, разликата между двете му страни е 4 см, а един от външните ъгли на триъгълника е остър. Как намирате страните на такъв триъгълник?

Решение: Ъгълът, в съседство с който излиза острият ъгъл на триъгълника, е тъп. В триъгълник с такъв план тъп ъгъл може да бъде само ъгълът, който е срещу неговата основа. Съответно базата е самата тя голяма странатакъв триъгълник. Ако вземем основата на този триъгълник като x, тогава за решаването на този проблем трябва да използвате следната формула:

Отговор: основата на равнобедрен тъп триъгълник е 11 cm, а двете му страни са 7 cm.

ФОРМУЛИ, чрез които можете да намерите страните на тъп равнобедрен триъгълник

Използвани обозначения:

• b е страната на основата на триъгълника
• а - неговите равни страни
• α - ъгли в основата на триъгълника
• β е ъгълът, образуван от неговите равни страни
• √ - квадратен корен

1. Формули за основна дължина (б):

• b = 2а sin (β / 2) = а√2–2cosβ
• b = 2а cos α

2. Формули за дължина равни странитриъгълник (а):

2sin (β / 2) √2-2cos β

Как да намерим косинуса на ъгъл в тъп триъгълник, ако височината е известна

Като начало, не боли да се разберат основните термини, които се използват в този въпрос: какво се нарича височина на триъгълник и какво е косинус на ъгъл.

Височината на триъгълник се счита за перпендикуляр, който е изтеглен от върха му до права линия, която съдържа обратната странатози триъгълник. Косинус - известен тригонометрична функция, което е една от основните функции на тригонометрията.

За да намерите косинуса на ъгъл в тъп триъгълник с върхове A, B и C, при условие, че височината е известна, трябва да намалите височината от B към AC страната. Точката, в която височината се пресича със страната на АС, трябва да бъде обозначена с D и да вземе предвид триъгълника ABD, който е правоъгълен. В даден триъгълник, AB, която е страната на първоначалния триъгълник, е хипотенузата. Катетите са височината BD на първоначалния триъгълник, както и сегментът AD, който принадлежи на AC страната. В този случай косинусът на ъгъла, съответстващ на върха A, е равен на съотношението AD към AB, тъй като катетът AD е в съседство с ъгъла при върха A в триъгълник ABD. В случая, когато е известно в какво съотношение AC страната е разделена на височината BD и каква е тази височина, тогава се намира косинусът на ъгъла, съответстващ на върха A.

1. Определете вида на триъгълника (остроъгълен, тъпоъгълен или правоъгълен) със страни 8, 6 и 11 cm (фиг. 126). (1)

Решение. Нека обозначим по -големия ъгъл на триъгълника през?. Очевидно той лежи срещу страната на 11 см, тъй като в триъгълник по -големият ъгъл лежи срещу по -голямата страна. Според теоремата за косинусите 112 = 82+ 62– 2? 8? 6? Cos ?;

Възможно беше да се разсъждава по друг начин. Имаше ли ъгъл? е равен на 90 °, тогава голямата страна по питагорейската теорема ще бъде равна

Удължаването на страната с 1 см автоматично увеличава противоположния ъгъл - става тъп.

Отговор: тъп.

2. Основата на триъгълника е 6 см, един от ъглите в основата е 105 °, другият 45 °. Намерете дължината на страната, противоположна на ъгъла 45 ° (фиг. 127). (1)

Решение. Нека триъгълникът ABC е AC = 6 cm,? A = 45 °,? C = 105 °. Нека обозначим дължината на страната BC с x. Трябва да я намерим. Ще използваме теоремата за синусите, според която:

Като се има предвид, че сумата от ъглите в триъгълника е 180 °, получаваме:? В = 180 ° -? A -? C = 180 ° - 45 ° - 105 ° = 30 °.

3. Намерете площта на триъгълник със страни 2 ,? 5 и 3 (фиг. 128). (1)

Решение. Можете да използвате формулата на Херон:

В нашия случай:

Полупериметър:

Ще бъде по -лесно да се реши този проблем. По теоремата за косинусите:

Тъй като площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете страни по синуса на ъгъла между тях, тогава:

4. В триъгълник ABC, където? ACB = 120 °, се изчертава средната CM. Намерете дължината му, ако AC = 6, BC = 4 (фиг. 129). (2)

Решение. Използваме формулата за дължината на медианата

Имаме a = BC = 4, b = AC = 6. Остава да намерим c = AB. Прилагаме косинусовата теорема към триъгълника ACB: c2 = AB2 = AC2 + BC2– 2AC? Пр.н.е.? cos (? ASV) = 62+ 42– 2? 6? 4? cos 120 ° = 36 + 16–48? (- 1/2) = 76.

5. Намерете дължините на страните AB и AC на остроъгълен триъгълник ABC, ако BC = 8, а дължините на височините, паднали по страните AC и BC, са съответно 6, 4 и 4 (фиг. 130). (2)

Решение. Единственият ъгъл на триъгълника, който е останал „недокоснат“, е ъгъл В.

От правоъгълен триъгълникВоенноморските сили трябва:

И сега, според теоремата за косинуса, приложена към триъгълника ABC, получаваме:

Отговор: AB =? 41; AC = 5.

6. В триъгълник, един от ъглите на който е равно на разликатадругите две, дължината на по -късата страна е 1, а сумата от площите на квадратите, построени от другите две страни, е два пъти повече площописани около триъгълник на окръжност. Намерете дължината на по -голямата страна на триъгълника (фиг. 131). (2)

Решение: Нека да обозначим с? най -малкият ъгъл в триъгълник и през? най -голям ъгъл. Тогава третият ъгъл е? -? -?. По условието на проблема? -? =? -? -? (по -големият ъгъл не може да бъде равен на разликата между другите два ъгъла). Оттук следва, че 2? = ?; ? =? / 2. Следователно триъгълникът е правоъгълен. ВС кракът, който лежи срещу по -малкия ъгъл ?, е равен при условие 1, което означава, че вторият AB крак е равен на ctg ?, а AC хипотенузата е равна на 1 / sin ?. Следователно сумата от площите на квадратите, изградени върху хипотенузата и по -големия крак, е:

Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, се намира в средата на хипотенузата и радиусът му е:

а районът е:

Използвайки условието на задачата, имаме уравнението:

Дължината на по -дългата страна на триъгълника е

7. Дължините на страните a, b, c на триъгълника са равни на 2, 3 и 4. Намерете разстоянието между центровете на описаната окръжност и кръга. (2)

Решение. Дори не се нуждаете от рисунка, за да разрешите проблема. Намираме последователно: полупериметър

Разстояние между центровете на кръговете:

8. В триъгълник ABC стойността на ъгъла BAC е равна на? / 3, дължината на височината, паднала от върха C към страната AB, е равна на? 3 cm, а радиусът на окръжността, описан около триъгълника ABC е 5 см. Намерете дължините на страните на триъгълника ABC (фиг. 132). (3)

Решение: Нека CD е височината на триъгълника ABC, изпуснат от върха C. Възможни са три случая. Основа D на височина CD попада в:

1) на сегмента AB;

2) да продължи сегмент АВ отвъд точка В;

3) до точка Б.

По условие радиусът R на кръга, описан около триъгълника ABC, е 5 см. Следователно и в трите случая:

Сега е ясно, че точка D не съвпада с точка B, тъй като BC? CD. Прилагайки Питагоровата теорема към триъгълници ACD и BCD, откриваме, че

От това следва, че точка D лежи между точки A и B, но тогава AB = AD + BD (1 + 6? 2) cm.

Отговор: AB = (6 × 2 + 1) cm, BC = 5 × 3 cm, AC = 2 cm.

9. В триъгълници ABC и A1B1C1 дължината на страната AB е равна на дължината на страната A1B1, дължината на страната AC е равна на дължината на страната A1C1, ъгълът BAC е 60 ° и ъгълът B1A1C1 е 120 °. Известно е, че съотношението на дължината на B1C1 към дължината на BC е равно на? N (където n е цяло число). Намерете отношението на дължината AB към дължината на AC. За какви стойности на n проблемът има поне едно решение (фиг. 133)? (3)

Решение: Нека ABC и A1B1C1 са дадените триъгълници в постановката на задачата. Прилагайки теоремата за косинус към триъгълници ABC и A1B1C1, имаме:

Тъй като по условието на задача В1С1: ВС =? N, тогава

Тъй като A1B1 = AB и A1C1 = AC, тогава, разделяйки числителя и знаменателя на дробата от лявата страна на равенството (1) на AC2 и обозначавайки AB: AC през x, получаваме равенството:

откъдето е ясно, че желаното съотношение на дължината AB към дължината AC е коренът на уравнението

x2 (n - 1) - x (n + 1) + n - 1 = 0. (2)

Тъй като В1С1> ВС, то n> 1. Следователно, уравнението (2) е квадратно. Неговият дискриминант е (n + 1) 2–4 (n - 1) 2 = - 3n2 + 10n - 3.

Уравнение (2) ще има решение, ако - 3n2 + 10n - 3? 0, т.е.при -1/3? н? 3. Тъй като n - естествено числопо -голямо от 1, тогава уравнение (2) има решения за n = 2 и n = 3. За n = 3, уравнение (2) има корен x = 1; при n = 2 уравнението има корени

Отговор: съотношението на дължината AB към дължината на AC е равно на

за n = 2; е равно на 1 за n = 3; за останалите n няма решения.