Формулите на съкратеното умножение (FSU) се използват за изграждане на числа и изрази до степен и умножаване на числа. Често тези формули позволяват изчисленията по-компактни и бързо.

В тази статия ние изброяваме основните формули на съкратеното умножение, групирали ги в таблица, считаме за примери за използване на тези формули, както и да се съсредоточат върху принципите на доказване на формулите на съкратеното умножение.

За първи път темата на FSU се разглежда в рамките на курса "Алгебра" за степен 7. Нека дадем под 7 от основните формули.

Формули на съкратено умножение

1. количество за квадратна формула: A + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2
2. формула на квадрата на разликата: A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2
3. куба формула Сума: A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B2 + B 3
4. формула Cuba Разлика: A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3
5. квадратна разлика формула: A 2 - B 2 \u003d A - B A + B
6. формула на кубчета: A 3 + B 3 \u003d A + B A2 - A B + B 2
7. кубична разлика формула: A 3 - B 3 \u003d A - B A 2 + A B + B 2

Буквите A, B, C в тези изрази могат да бъдат всякакви числа, променливи или изрази. За по-лесно използване е по-добре да научите седем основни формули на сърце. Минимизираме ги в таблицата и даваме по-долу по веригата.

Първите четири формула позволяват изчисляване на квадрата или количеството на куба или разликата в две изрази, съответно.

Петата формула изчислява разликата в квадратите на изразите чрез продукта на тяхната сума и разлика.

Шестата и седмата формула са съответно умножават сумата и разликата на изразите на непълна площад на разликата и непълна квадратна сума.

Формулата на съкратеното умножение понякога се нарича идентичност на съкратеното умножение. Това не е изненадващо, тъй като всяко равенство е идентичност.

При решаването на практически примери често се използват формули на съкратено умножение с пренаредени места в ляво и дясно части. Това е особено удобно, когато има разлагане на полином към множителите.

Допълнителни формули на съкратено умножение

Няма да бъдем ограничени до курс на 7 клас от алгебра и да добавим няколко формула до нашата маса до нашата маса.

Първо, помислете за формулата на Бинома Нютон.

a + B N \u003d C N0 · A N + CN1 · N-1 · B + CN2 · AN-2 · B 2 +. . + C N N - 1 · A · B N - 1 + CN N 'B N

Тук C n K е биномните коефициенти, които стоят под ред под номер n в триъгълника на Паскал. Биномиалните коефициенти се изчисляват по формулата:

C N K \u003d N! К! · (N - k)! \u003d N (N- 1) (N-2). . (n - (k - 1)) k!

Както виждаме, ФПС за квадрат и разликата и количеството куб е частно дело Формулите на Newton Binoma при n \u003d 2 и n \u003d 3tent.

Но какво, ако компонентите в сумата трябва да бъдат взети в степен, повече от две? Формулата на сумата от три, четири и повече компонента ще бъде полезна.

1 + А2 +. . + A N2 \u003d A 1 2 + A 2 2 +. . + A N2 + 2 A 1 A 2 + 2 A 1 A 3 +. . + 2 A 1 A N + 2 A2 A 3 + 2 A2 A4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Друга формула, която може да бъде полезна - формулата за формула за разликата в N-ти градурата на двата термина.

a N - B N \u003d A - B AN - 1 + AN-2B + N-3 B2 +. . + A 2 B N - 2 + B N- 1

Тази формула обикновено се разделя на две формули - съответно за дори и нечетни степени.

За дори индикатори 2М:

a 2 m - B 2 m \u003d А2 - В2 А2М - 2 + А2 М - 4 b2 + А2М - 6 b4 +. . + B 2 m - 2

За нечетни индикатори 2m + 1:

а2 М + 1 - В2 М + 1 \u003d А2 - В2 А2 М + А2 М - 1 В + А2М - 2 В2 +. . + b 2 m

Формулатата на квадратите и разликата в кубчетата, както се предполагат, са специални случаи на тази формула за n \u003d 2 и n \u003d 3, съответно. За разликата между кубчета Б също се заменя с - b.

Как да четем съкратените формули за умножение?

Ние даваме подходящата формулировка за всяка формула, но първо ще разберем принципа на четене на формули. Това е най-удобно да направите това например. Вземете първата формула на квадрата на сумата от две числа.

a + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B2.

Те казват: квадрата на сумата от две изрази a и b равен на сумата Площад на първия израз, два пъти работата на изразите и квадрата на втория израз.

Всички други формули се четат по подобен начин. За площада на разликата A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2 Ние пишем:

площад на разликата в две изрази А и В е равна на сумата на квадратите на тези изрази минус два пъти продукта от първия и втория израз.

Нека четем формулата A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B2 + B3. Кубът на сумата от две изрази А и Б е равен на сумата на кубчетата на тези изрази, утроираната работа на квадрата на първия израз на втория и троен продукт на квадрата на втория израз върху първия израз .

Отидете на четенето на формулата за разликата на кубчета А - ВЗ \u003d А 3 - 3 А2 В + 3 А В2 - В3. Разликата куб от две изрази А и Б е равна на куба от първия израз минус утроираната работа на квадрата на първия израз на втория, плюс утроирания продукт на квадрата на втория израз на първия израз, минус куб на втория израз.

Петата формула A 2 - B 2 \u003d A - B A + B (разликата на квадратите) се чете така: разликата в квадратите на две изрази е равна на продукта на разликата и сумата от две изрази.

Изрази от тип A 2 + A B + B 2 и A 2 - A B + B 2 за удобство се наричат \u200b\u200bнепълен квадрат на сумата и непълен квадрат на разликата.

Имайки това предвид, формулата на сумата и разликата в кубчетата ще се чете така:

Сумата на кубчетата от две изрази е равна на размера на сумата на тези изрази на непълния квадрат на тяхната разлика.

Разликата на кубчетата от две изрази е равна на продукта на тези изрази на непълен квадрат на тяхната сума.

Доказателство за ФСУ

Докажете FSU е доста проста. Въз основа на мултипликационни свойства, ние ще умножим частите на формулите в скоби.

Например, помислете за формулата на квадрата на разликата.

a - B 2 \u003d А2 - 2 А В + В2.

За да изградите израз във втора степен, трябва да се умножите сама по себе си.

a - B 2 \u003d A - B A - b.

Компютърни скоби:

a - B A - B \u003d А2 - А В - В + В2 \u003d А2 - 2 А В + В2.

Формулата е доказана. Останалите FSU се доказват по подобен начин.

Примери за прилагане на FSU

Целта на използването на формулите на съкратеното умножение е бързо и кратко умножение и изграждане на изрази в степен. Това обаче не е целият обхват на прилагането на FSU. Те са широко използвани за намаляване на изразите, намаляване на фракциите, разлагане на полиноми върху мултипликатори. Даваме примери.

Пример 1. FSU.

Опростяваме експресията 9 Y - (1 + 3 Y) 2.

Приложете формулата на сумата на квадратите и получавате:

9 Y - (1 + 3 Y) 2 \u003d 9 Y - (1 + 6 Y + 9 Y2) \u003d 9 Y - 1 - 6 Y - 9 Y2 \u003d 3 Y - 1 - 9 Y2

Пример 2. FSU.

Редукционна фракция 8 х 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4.

Забелязваме, че изразът в числителя е разликата в кубчетата, а в знаменателя - разликата в квадратите.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Намалете и получите:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Също така, FSA помага за изчисляване на стойностите на изразите. Основното нещо е да може да забележи къде да приложите формулата. Покажете го на примера.

Издигнат номер 79 в квадрат. Вместо обемисти компютри, пишете:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Изглежда, че комплексното изчисление се извършва бързо само с помощта на формулите на съкратената таблица за умножение и умножение.

Друга важна точка е освобождаването на квадрата на кофата. Изразът 4 x 2 + 4 x - 3 може да бъде превърнат във форма 2 х 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 х + 1 2 - 4. Такива трансформации са широко използвани в интеграцията.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Формулите или съкратените правила за умножение се използват в аритметика, или по-скоро - в алгебра, за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули се получават от правилата, съществуващи в алгебрата, за да умножат няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста оперативно решение на различни математически задачи и също така помага за опростяване на изразите. Правилата за алгебрични трансформации ви позволяват да извършите някои манипулации с изрази, след което е възможно да се получи израз от дясната страна в лявата част на равенството или да се преобразува дясната част на равенството (за получаване на Израз, която стои в лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да се знае формулите, използвани за съкратено умножение, както и те често се използват в решаването на проблеми и уравнения. По-долу са включени основните формули, включени в този списък и тяхното име.

Квадратно количество

За да се изчисли площта на сумата, е необходимо да се намери сумата, състояща се от площада на първия мандат, удвои продукта на първия мандат на втория и квадрат на втория. Под формата на израз това правило Той е написан, както следва: (A + C) ² \u003d A² + 2AS + C².

Квадратна разлика

За да се изчисли квадрата на разликата, е необходимо да се изчисли количеството, състоящо се от квадрата на първото число два пъти първия номер на втория (взет с противоположния знак) и квадрата на второто число. Под формата на изразяване това правило е както следва: (А - С) ² \u003d A² - 2AS + C².

Квадратни разлики

Формулата за разликата в двата номера, издигната в квадрата, е равна на сумата на сумата от тези числа в тяхната разлика. Под формата на изразяване това правило е както следва: A² - C² \u003d (A + C) · (A - с).

Сума на куба

За да се изчисли кубът на сумите на двата компонента, е необходимо да се изчисли сумата, състояща се от куба от първия термин, да се утрои работата на площада на първия мандат и вторият, утроен продукт на първия термин и. \\ T втората на площада, както и кубът на втория мандат. Под формата на изразяване това правило е както следва: (a + c) ³ \u003d a³ + 3a² + 3as² + c³.

Количеството кубчета

Съгласно формулата, тя е равна на размера на размера на условията на компонентите на техния непълна площад на разликата. Под формата на изразяване това правило е както следва: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).

Пример. Необходимо е да се изчисли обемът на формата, който се образува чрез добавяне на два кубчета. Известни са и само ценностите на техните партии.

Ако стойностите на страните са малки, след това извършват изчисления просто.

Ако дължината на страните се изразява в обемисти номера, тогава в този случай е по-лесно да се приложите формулата "сума на кубчета", която значително ще опрости изчисленията.

Cube разлика

Изразът за кубична разлика звучи така: като сумата от третата степен на първия мандат, утроира отрицателната работа на площада на първия член на второто, утроеше работата на първия член на площада на втория и отрицателен куб на втория мандат. Под формата на математически израз една разлика в кубто изглежда така: (a - c) ³ \u003d a³ - 3a² + 3AS² - с³.

Кубични различия

Комплектът за разлика в куб се различава от количеството на кубчета само един знак. Така разликата на кубчетата е формула, равна на продукта от разликата в данните между тяхната непълна квадратна сума. Разликата на кубчетата е както следва: А 3 - от 3 \u003d (А-С) (и 2 + AC + с2).

Пример. Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, която ще остане след изваждане от обема на синия куб на жълта очертана фигура на жълто, което също е куб. Известен е само величината на една малка и голяма куба.

Ако стойностите на страните са малки, изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителен брой, е необходимо да се приложи формулата, озаглавена "Разлики на кубчетата" (или "куб на разликата"), което значително ще опрости изчисленията.

Формули на съкратено умножение.

Изследване на формулите на съкратеното умножение: квадрата на сумата и квадрата на разликата в две изрази; Квадратни разлики в две изрази; Куба суми и разлика в кубчетата от две изрази; Количества и различия на кубчета от две изрази.

Използването на формули на съкратено умножение при решаването на примери.

Да се \u200b\u200bопростят изрази, разлагане на полиноми върху мултипликатори, привеждане на полиноми към стандартните формули на съкратеното умножение. Трябва да се известят съкратените формули за умножение.

Нека a, b r. Тогава:

1. Квадратът на сумата от две изрази е равен Квадратът на първия израз плюс усуканият продукт на първия израз на втория плюс площад на втория израз.

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2

2. Площад на разликата в две изрази е равен Квадрат на първия израз минус два пъти продукта от първия израз на втория плюс квадрата на втория израз.

(A - B) 2 \u003d А2 - 2АБ + В2

3. Квадратни разликидве изрази са равни на продукта на тези изрази и тяхната сума.

a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)

4. Сума на кубадве изрази са равни на куба от първия израз плюс утроен продукт на квадрата на първия израз на втория плюс утроирания продукт на първия израз на квадрата на втория плюс куб на втория израз.

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

5. Cube разликадве изрази са равни на куба от първия израз минус утроената работа на квадрата на първия израз на втория плюс утроираната работа на първия израз на площада на втория минус куб на втория израз.

(А - В) 3 \u003d А 3 - 3А2 B + 3AB 2 - B 3

6. Количеството кубчетадве изрази са равни на сумата на сумата на първия и втория израз на непълния квадрат на разликата в тези изрази.

3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)

7. Кубични различия Две изрази са равни на продукта на първия и втория израз на непълен квадрат на сумата на тези изрази.

а 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Използването на формули на съкратено умножение при решаването на примери.

Пример 1.

Изчисли

а) използване на сумата от сумата от две изрази, ние имаме

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

б) използване на формулата на квадрата на разликата в две изрази, получаваме

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604

Пример 2.

Изчисли

Използване на формулата с размера на квадратите на две изрази, ние получаваме

Пример 3.

Опростяване на изразяването

(x - y) 2 + (x + y) 2

Използваме квадратните формули на сумата и квадрат на разликата в две изрази

(X - Y) 2 + (X + Y) 2 \u003d X 2 - 2H + в 2 + x 2 + 2H + Y2 \u003d 2x2 + 2Y2

Формули на съкратено умножение в една таблица:

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
(A - B) 2 \u003d А2 - 2АБ + В2
А2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(А - В) 3 \u003d А 3 - 3А2 B + 3AB 2 - B 3
3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
А 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)

Квадратни разлики

Ние извличаме формулата за разликата в квадратите от $ a ^ 2-b ^ 2 $.

За да направите това, запомнете следното правило:

Ако добавят към изразяването на едностранно и изваждат същото еднократно, тогава ще получим вярна идентичност.

Ние добавяме към нашия израз и изваждам $ ab $ от него:

Общо получаваме:

Това означава, че разликата в квадратите на два хоморала е равна на продукта от тяхната разлика за тяхната сума.

Пример 1.

Подарък под формата на продукт $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $

[(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2]

[(2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d ляво (2x-y дясно) (2x + y)]

Количеството кубчета

Ние извличаме формулата на количеството на кубчета $ a ^ 3 + b ^ $ 3.

Ще извърша общи фактори за скоби:

Ще донеса $ zo joy за скоби (A + b вдясно) $:

Общо получаваме:

Това означава, че сумата на кубчетата от два хоморала е равна на работата на тяхната сума на непълния квадрат на тяхната разлика.

Пример 2.

Подайте под формата на продукт $ (8X) ^ 3 + y ^ $ 3

Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:

[(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3]

Използвайки формулата на квадратната разлика, получаваме:

[(2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d лява (2x + y вдясно) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\ t

Кубични различия

Нека донесете формулата разликата от кубчета $ ^ 3-b ^ $ 3.

За това ще използваме същото правило, както по-горе.

Ние добавяме към изразяването и извадете от него. $ A ^ 2b \\ t (AB) ^ $ 2:

Ще извърша общи фактори за скоби:

Аз ще прехвърля $ zo zo \\ \\:

Общо получаваме:

Това означава, че разликата в кубчетата от два хоморала е равна на продукта от тяхната разлика на непълния квадрат на тяхната сума.

Пример 3.

Подарък под формата на продукт $ (8x) ^ 3-y ^ $ 3

Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:

[(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3]

Използвайки формулата на квадратната разлика, получаваме:

[(2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d ляво (2x-y дясно) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\ t

Пример за задачи за използване на формулите на разликата в квадратите и количеството и разликата на кубчетата

Пример 4.

Дезинтеграват.

а) $ ((A + 5)) ^ 2-9 $

c) $ -x ^ 3 + frac (1) (27) $

Решение:

а) $ ((A + 5)) ^ 2-9 $

[(((a + 5)) ^ 2-9 \u003d (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2]

Използвайки формулата на разликата в квадратите, получаваме:

[((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d ляво (a + 5-3 дясно) наляво (a + 5 + 3 вдясно) \u003d ляво (A + 2) (a +8)

Пишем този израз във формата:

Нанесете формулата на кубчета Cube:

c) $ -x ^ 3 + frac (1) (27) $

Пишем този израз във формата:

[- x ^ 3 + frac (1) (27) \u003d (ляво (FRAC (1) (3) дясно)) ^ 3-x ^ 3 \\ t

Нанесете формулата на кубчета Cube:

[(отляво (4) вдясно)) ^ 3-x ^ 3 \u003d ляво (FRAC (1) (3) -X вдясно), ляво (FRAC (1) ( 9) + frac (x) (3) + x ^ 2 дясно)