Диференциални уравнения на първия ред

Характеристики на диференциалните уравнения от първа поръчка

Когато решават уравненията от първия ред, функцията Y и променливата X трябва да се считат за равни. Това означава, че разтворът може да бъде във формата и във формата.

Диференциалните уравнения на първия ред позволяват спрямо деривата

Уравнения с разделителни променливи

Уравнения, водещи до уравнения с разделителни променливи

Единни уравнения

Уравнения, водещи до хомогенни

Обобщени хомогенни уравнения

Линейни диференциални уравнения

• Линейна на y.
• Линеен софтуер F (Y)
• Линеен с X.
• Линеен софтуер F (x)

Уравнения на Бернули

Уравнения на Riccati.

Уравнения на Якоби

Уравнения в пълно разлики

Като се има предвид това

Интегриране на множител

Ако диференциалното уравнение от първия ред не се дава на изброените типове, трябва да се опитате да намерите интегриращ мултипликатор, за да го намалите в уравнението в пълна разлика.

Уравнения, които не са решени спрямо производно Y '

Уравнения, които вземат решение спрямо дериватовия Y '

Първо трябва да се опитате да разрешите уравнението спрямо производно на Y '. Ако е възможно, уравнението може да бъде дадено на един от видовете, изброени по-горе.

Уравнения, позволяващи умноженията

Уравнения, които не съдържат x и y

Уравнения, които не съдържат x или y

Или

Уравнения, позволени спрямо Y

Уравнения Clero.

Уравнения на Лагранж

Уравнения, водещи до уравнението на Бернули

Диференциални уравнения на по-високи поръчки

Диференциални уравнения, които намаляват поръчката

Уравнения, които са разрешени директна интеграция

Уравнения, които не съдържат y

Уравнения, които не съдържат x

Уравнения, хомогенни спрямо y, y ', y' ', ...

Линейни инхоогенни уравнения със специална нехомогенна част

,
където - степени на полиноми и.

Уравнения на Euler.

Препратки:
V.V. Стешенов, курс на диференциални уравнения, "LCA", 2015.
Пчелен Gunter, R.O. Кузмин, събиране на задачи висша математика, "LAN", 2003.

Често само споменаването на диференциални уравнения води до неприятно чувство сред учениците. Защо се случва това? Най-често защото при изучаването на основите на материала има пропаст в знанието, поради което по-нататъшното изследване на дифури става просто изтезание. Нищо не е ясно какво да правите, как да решите къде да започнете?

Въпреки това, ние ще се опитаме да ви покажем, че дифура не е толкова трудна, колкото изглежда.

Основните понятия за теорията на диференциалните уравнения

От училище, ние знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерите неизвестен X. Всъщност диференциални уравнения Само малко по-различно от тях - вместо променлива х. Те трябва да намерят функция. y (x) което ще превърне уравнението в идентичността.

Диференциалните уравнения имат огромна приложна стойност. Това не е абстрактна математика, която няма връзка с света около нас. С помощта на диференциални уравнения са описани много реални естествени процеси. Например, флуктуациите на струните, движението на хармоничния осцилатор, чрез диференциални уравнения в задачите на механиката, се намират скоростта и ускорението на тялото. Също Д. Фокусът се използва широко в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (Д.) - Това е уравнение, съдържащо деривати y (x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения на първите и по-високи поръчки, дифура в частни деривати и така нататък.

Решението на диференциалното уравнение е функция, която я превръща в идентичност. Има общи и частни решения на ДУ.

Общото решение на DU е общият набор от решения, които превръщат уравнението в идентичността. Особено решение на диференциалното уравнение е решение, което отговаря първоначално за допълнителни условия.

Определя се редът на диференциалното уравнение най-висок ред В него са включени деривати.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравнения - Това са уравнения, съдържащи една независима променлива.

Разгледайте най-простото обичайно диференциално уравнение на първия ред. Той има формата:

Възможно е да се реши такова уравнение, просто чрез инжектиране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Уравнения с разделителни променливи

В общ Този тип уравнения изглежда така:

Нека да дадем пример:

Разрешаване на такова уравнение, трябва да разделите променливите, като го доведете до формата:

След това ще остане интегрирането на двете части и ще получи решение.

Линейни диференциални уравнения на първия ред

Такива уравнения гледат:

Тук p (x) и q (x) са някои функции на независима променлива, а y \u003d y (x) е желаната функция. Нека да дадем пример за такова уравнение:

Разрешаване на такова уравнение, най-често използвайте метода на изменение на произволна константа или представлява желаната функция под формата на продукт от две други функции y (x) \u003d u (x) v (x).

За да се решат такива уравнения, е необходима определен подготовката и да ги вземе "от умението" ще бъде доста трудно.

Пример за решаване на DU с разделителни променливи

Така че разгледахме най-простите типове. Сега ще анализираме решението на един от тях. Нека бъде уравнение с разделителни променливи.

Първо, пренапишете деривата в по-позната форма:

След това разделяме променливите, т.е. в една част на уравнението ще съберем всички "Igraki", а в другия - "ИК":

Сега остава да се интегрират и двете части:

Ние се интегрираме и получаваме общо решение Това уравнение:

Разбира се, решението на диференциалните уравнения е вид изкуство. Трябва да сте в състояние да разберете как се отнася вида на уравнението, а също така научете как да видите кои трансформации трябва да бъдат направени с това, за да доведе до едно или друго нещо, да не говорим за способността да се разграничават и интегрират. И за да успее в решаването на ду, практиката е необходима (както във всичко). И ако имате този момент Няма време да се справяме с това как диференциалните уравнения или задачата cauchy станаха като кост в гърлото или не знаете как да направите предварително представяне, свържете се с нашите автори. За кратко време ще ви предоставим готов и подробно решение, за да се справим с подробностите, за които можете по всяко време, удобно за вас. Междувременно ви препоръчваме да гледате видеоклип "Как да решавате диференциални уравнения":

Определение.Изглед уравнение

, неизвестна функция и нейните деривати диференциално уравнение н.- Поръчка.

Определение. Изглед уравнение

обвързване на независима променлива , неизвестна функция и нейното производно се нарича диференциалното уравнение на първата поръчка.

Редът на диференциалното уравнение се нарича заповед на старши деривативна входяща в това уравнение.

Определение. Общо решение Диференциално уравнение (2) в зоната, наречена функция , където от - произволна постоянна, удовлетворяваща следните условия:

1) за всеки номер от Функцията е решение на уравнение (2);

2) ако , тогава има такъв номер, който решението отговаря на първоначалното състояние .

Ако общото решение се получи в имплицитен вид , тя се нарича общ интеграл и – частно интегрирано уравнение (8).

Ако диференциалното уравнение (8) може да бъде разрешено относително , тя ще бъде под формата:

Диференциално уравнение (9) се нарича разрешено спрямо деривата.

Уравнение (9) понякога е написано във формата:

където – функции на две променливи.

Cauchy теорема. (Теорема на съществуването и уникалността на решаването на диференциалното уравнение (9)). Ако в уравнение (9) функцията и нейното частно производно на софтуер се определя и непрекъснато в равнинната площ ( Xoy.) и - произволна точка, след това съществува, и единственият, решението на това уравнение, отговарящо на първоначалното състояние .

Задачата за намиране на решение на уравнение (9) с дадено първоначално условие задача на Cauchy..

Определение. Частно решение Диференциално уравнение (9) повиква всяка функция , който се получава от общото решение, ако произволната константа дава определена стойност.

Определение.Диференциалното уравнение I на поръчката се нарича уравнение с разделени променливиАко може да бъде написано във формата

или , (12)

където – задайте функции.

За да разрешите уравнението (11) Разделяме променливите:

Или разделят двете части (12) на :

от

Определение. Уравнението или (13) се нарича уравнение с разделени променливи.

Определение. Функцията се нарича униформа Функцията на нулевото измерване, ако зависи само от връзката, т.е. .

Определение. Наречен е хомогенно диференциално уравнение изглед уравнение (14)

Въвеждаме нова неизвестна функция, поставяйки , или . Разграничаването, получаваме.

Заменяйте уравнението (14), ние го превръщаме в ума . Разделяне на променливи и интегриране, ще намерим

Оттук.

След като се извърши интеграцията, трябва да се върнете към функцията, като го поставите.

Пример. Решаване на уравнение.

Изразяването на деривата, ние получаваме или.

Слагам. Тогава. Замествайки в уравнението, получаваме. От къде.

Разделяме променливите.

След намерението на интеграция

или .

Накрая.

Определение. Линейното диференциално уравнение е уравнението на вида

Въвеменяваме две нови неизвестни функции и поставяне. Тъй като неизвестните функции са станали две, и условията за тези функции са само един (техният продукт трябва да отговаря на уравнението (15)), след това може да бъде наложено още едно условие на тези функции, отколкото ние го използваме по-долу.

Заместител в (15),

получаване

или (16)

Като функция изберете всяка функция, която отговаря на състоянието. (17)

Получаваме уравнение с разделянето на променливите, за да намерим. Интегрирайте това уравнение, като вярвайки в постоянна интеграция, равна на нула (последната законно, тъй като сме доволни от всяко решение на уравнение (17)):

Ние заменяме стойността, установена на уравнение (16):

Интегриране, ние намираме функция :. Алтернативни функции и получаваме общото решение на уравнението (15).

Определение.Уравнението Bernoulli се нарича уравнение на изгледа

където м. - всеки валиден номер. Това уравнение се решава със същото приемане като линейното уравнение.

Определение. Уравнението

тя се нарича уравнение на пълно разлика, ако лявата му страна е пълна разлика от някаква функция. В този случай уравнението (18) може да бъде пренаписано във формата. Общата интегрална уравнение (18) ще

Теорема. Нека функциите имат непрекъснати частни деривати в някакъв регион ( Д.) самолет ( Xoy.). За да може изразът да бъде пълен диференциал на някаква функция, е необходимо и достатъчно във всички точки на региона ( Д.Се извършва равенство

Нека бъде дадено уравнението (18), за което е изпълнено условието (20). Последният означава, че има такава функция

За да се реши уравнение (18), е необходимо, въз основа на равенства (21), да се намери функцията и да се запишат общия интеграл на уравнение (18) във формата (19).

Пример. Намерете уравнение на уравнение, удовлетворяващо състояние.

Ние имаме: ,.

Намерете и:

Така, т.е. Има такава функция

Да го намерят интензивно х. Първата от еквивала (22):

Тук неизвестна функция играе ролята на постоянна интеграция. Да се \u200b\u200bнамери неопределеност (23) от y.:

От друга страна, от (22) имаме от тези две равнина или.

Оттук. (24)

Подменяйки (24), ние получаваме, съгласно (19), като цяло интеграл на това уравнение.

Коментар.Тъй като съгласно (19) функцията се приравнява с произволна константа, след това при извършване на интеграция (24), постоянната интеграция не може да бъде написана.

Диференциалните уравнения на първия ред позволяват спрямо деривата

Как да решават диференциални уравнения на първия ред

Нека имаме диференциално уравнение за първи ред, разрешено спрямо деривата:
.
Разделянето на това уравнение, когато получим уравнението на формуляра:
,
където.

Освен това, ние разглеждаме дали тези уравнения не са един от следните типове. Ако не, след това пренапишете уравнението под формата на диференциали. За това пишем и умножаваме уравнението. Получаваме уравнение под формата на разлики:
.

Ако това уравнение не е уравнение в пълните разлики, ние вярваме, че в това уравнение е независима променлива и е функция от. Разделяме уравнението на:
.
Освен това изглеждаме, ако това уравнение не се отнася за един от видовете, изброени по-долу, като се вземат предвид това и промените места.

Ако типът не е намерен за това уравнение, тогава не виждаме дали простото уравнение на заместването не може да бъде по-лесно. Например, ако уравнението изглежда:
,
Че забелязваме това. След това направете заместване. След това уравнението ще поеме по-проста форма:
.

Ако не помогне, опитайте се да намерите интегриращ мултипликатор.

Уравнения с разделителни променливи

;
.
Ние разделяме и интегрираме. Когато получаваме:
.

Уравнения, водещи до уравнения с разделителни променливи

Единни уравнения

Ние решаваме заместването:
,
където - функцията от. Тогава
;
.
Ние споделяме променливи и интегрираме.

Уравнения, водещи до хомогенни

Въвеждаме променливи и:
;
.
Постоянен и изберете, така че свободните членове да обжалват нула:
;
.
В резултат на това получаваме хомогенно уравнение в променливите и.

Обобщени хомогенни уравнения

Направете заместване. Получаваме хомогенно уравнение в променливите и.

Линейни диференциални уравнения

Има три метода за решаване на линейни уравнения.

2) Метод Бернули.
Търсим решение под формата на продукт от две функции и от променливата:
.
;
.
Една от тези функции, която можем да изберем произволен начин. Следователно, като избор без нулево решение на уравнението:
.

3) Метод на изменение на константа (лагранж).
Тук първо решават хомогенно уравнение:

Общо решение равномерно уравнение Той има формата:
,
къде е постоянната. След това сменим постоянната функция в зависимост от променливата:
.
Заместване на първоначалното уравнение. В резултат на това получаваме уравнението, от което определяме.

Уравнения на Бернули

Заместване на уравнението Бернули се дава на линейно уравнение.

Също така, това уравнение може да бъде решено от Bernoulli. Това означава, че търсим решение под формата на продукт от две функции в зависимост от променливата:
.
Заместник на оригиналното уравнение:
;
.
Като избор без нулево решение на уравнението:
.
Определяне, получаваме уравнението с разделителни променливи за.

Уравнения на Riccati.

Тя не е решена като цяло. Предаване

Уравнението на Riccati е дадено на ум:
,
където - постоянни; Шпакловка .
След това, за заместване:

Дава се на ум:
,
където.

На страницата са представени свойствата на уравнението на Riccati и някои конкретни случаи на нейните решения.
Диференциално уравнение Riccati \u003e\u003e\u003e

Уравнения на Якоби

Разрешен чрез заместване:
.

Уравнения в пълно разлики

Като се има предвид това
.
При извършване на това състояние изразът на лявата част на равенството е диференциал на някаква функция:
.
Тогава
.
От тук получаваме интеграл на диференциалното уравнение:
.

За да намерите функция, най-удобният начин е методът за последователно разделяне на диференциала. За тази употреба формули:
;
;
;
.

Интегриране на множител

Ако диференциалното уравнение от първия ред не се дава на изброените типове, можете да се опитате да намерите интегриращ мултипликатор. Интегриращият мултипликатор е такава функция, когато се умножи, за която диференциалното уравнение става уравнение в пълните разлики. Диференциалното уравнение на първата поръчка има безкраен брой интегриращи мултипликатори. Но, общи методи Няма интегриран мултипликатор.

Уравнения, които не са разрешени спрямо производно Y "

Уравнения, които вземат решение спрямо дериватовия Y "

Първо трябва да се опитате да разрешите уравнението спрямо деривата. Ако е възможно, уравнението може да бъде дадено на един от видовете, изброени по-горе.

Уравнения, позволяващи умноженията

Ако уравнението успее да се разложи на множителите:
,
Задачата се свежда до последователно решение на по-прости уравнения:
;
;

;
. Ние вярваме. Тогава
или .
След това интегрирайте уравнението:
;
.
В резултат на това получаваме израз на втората променлива чрез параметъра.

| Повече ▼ общи уравнения:
или
Също решават в параметрична форма. За да направите това, е необходимо да изберете такава функция, така че от уравнението източник е възможно да се изрази или чрез параметъра.
За да експресирате втората променлива чрез параметъра, интегрирайте уравнението:
;
.

Уравнения, позволени спрямо Y

Уравнения Clero.

Такова уравнение има общо решение

Уравнения на Лагранж

Решение, което търсим параметрична форма. Предполагаме къде се намира параметърът.

Уравнения, водещи до уравнението на Бернули

Тези уравнения се дават на уравнението на Bernoulli, ако търсите техните параметри, като въведете параметъра и правите заместване.

Препратки:
V.V. Стешенов, курс на диференциални уравнения, "LCA", 2015.
Пчелен Gunter, R.O. Кузмин, събиране на задачи по висша математика, "LAN", 2003.

Най-простият D.U.1 е уравнението на вида, както е известно от хода на интегралното мнение, функцията y. Разположена интеграция

Определение. Уравнението за преглед се нарича диференциално уравнение с разделени променливи. Тя може да бъде написана във формата

Ние интегрираме двете части на уравнението, получаваме така наречения общ интеграл (или общо решение).

Пример.

Решение. Пишем уравнение във формата
Ние интегрираме двете части на уравнението:

(Общо интегрално диференциално уравнение).

Определение.Изложението се нарича уравнение с разделителни променливи, Ако функциите могат да бъдат представени като част от функциите

има уравнение

За да се реши такова диференциално уравнение, е необходимо да се донесе на вида на диференциалното уравнение с разделени променливи, за които разделяме уравнението за работата
Наистина, разделяйки всички членове на уравнението
,

- Диференциално уравнение с разделени променливи.

Да го разреши достатъчно, за да се интегрира

Когато решавате диференциално уравнение с разделителни променливи, можете да бъдете ръководени от следното алгоритъм (правило) разделяне на променливи.

Първа стъпка. Ако диференциалното уравнение съдържа производно Тя трябва да бъде написана под формата на диференциални отношения:

Втората стъпка. Ударно уравнение на. \\ T
след това групира термини, включващи диференциална функция и диференциална независима променлива
.

Трета стъпка.Изразявания, получени при
, да представи под формата на работа на два фактора, всеки от които съдържа само една променлива (
). Ако след това уравнението ще отнеме много, разделяйки го на работата
Получаваме диференциално уравнение с разделени променливи.

Четвърта стъпка. Интегриране на уравнението, получаваме цялостното решение на първоначалното уравнение (или неговия общ интеграл).

Помислете за уравнения

№ 2.

№ 3.

Диференциално уравнение № 1 е диференциално уравнение с разделителни променливи по дефиниция. Разделяме уравнението за работата
Получаваме уравнението

Интегриране, get.

или

Последното съотношение е общ интеграл на това диференциално уравнение.

В диференциалното уравнение № 2, заменете
умножавам се от
,

общо решение на диференциалното уравнение.

Диференциално уравнение номер 3 не е уравнение с разделителни променливи, тъй като, като го напишете във формата

или
,

виждаме, че изразяването
под формата на работа на два фактора (един -

само от y, другият - само с х.) Невъзможно е да се представи. Обърнете внимание, че понякога трябва да извършвате алгебрични трансформации, за да видите, че това диференциално уравнение е с разделителни променливи.

Пример номер 4.. Уравнението се дава чрез превръщане на уравнението, което прави общ множител вляво
Разделяме лявата и дясната част на уравнението на работата
получаване

Ние интегрираме двете части на уравнението:

от
- Общ интеграл на това уравнение. (но)

Имайте предвид, че ако е написана постоянна интеграция
Общият интеграл на това уравнение може да има друга форма:

или
- общ интеграл. б)

По този начин общият интеграл на същото диференциално уравнение може да има различни форми. Във всеки случай е важно да се докаже, че общият интеграл отговаря на това диференциално уравнение. За да направите това, трябва директно да изтриете х.двете части на равенството определят общ интеграл, като се има предвид това y. Има функция от х.. След изключение от Получаваме същите диференциални уравнения (източник). Ако общ интеграл
(изглед ( но)

Ако общ интеграл
(Преглед (б))

Получаваме същото уравнение, както в предишния случай (а).

Сега разглеждаме прости и важни класове на уравненията от първа поръчка, които се движат към уравнения с разделителни променливи.