IV. Архимедово Имот("C") ($ nîn): (n\u003e c).

Какъв би бил броят на CîR, има n n\u003e c.

В. Собствеността на непрекъснатост на валидните номера. Нека два непразни комплекта от AR и BìR са такива, че всеки елемент ноНяма повече ( а.£ б.) Всеки елемент bîb. Тогава принципът на непрекъснатост на дезекиндуодобрява такъв номер с това, което за всички ноИ bîb притежава състояние а.£ c £. б.:

("A" N, BìR) :( а.®А, bîb ® а.£ b) ($ cîr): (" а.Îa, bîb®. а.£ c £ б).

Ще идентифицираме зададената R с множество цифрови прави точки и реални числа Обадете се на точки.

Комплексни номера

Основни понятия

Първоначалните данни за броя принадлежи към ерата на каменната ера - палеометит. Това е "едно", "малко" и "много". Те бяха записани под формата на гълъбчета, възли и др. Развитието на трудовите процеси и появата на собственост принудил човек да измисли номера и техните имена. Първо се появяват естествени числа Н.Получени с резултатите от елементите. След това, заедно с необходимостта от сметка, хората имат нужда да измерват дължини, квадрати, обеми, време и други ценности, където трябваше да вземем под внимание части от използваната мярка. Възникнаха фракции. Официалното обосноваване на понятията за частично и отрицателно число е извършено през 19 век. Много цели числа Z. - Това са естествени числа, естествени с минус и нулев знак. Цял I. фракционни номера Формира комбинация от рационални числа Q,но беше недостатъчно да се изследват непрекъснато променящи се променливи. Отново показват несъвършенството на математиката: неспособността да се реши уравнението на формата х. 2 \u003d 3, във връзка с които се появяват ирационалните номера I.Комбиниране на набор от рационални числа Q.и ирационални числа I.- много валидни (или реални) номера R.. В резултат на това цифрова права линия беше попълнена: всеки действителен брой съответстваше на него. Но на комплекта R. Няма възможност за решаване на уравнението на формата х. 2 = – но 2. Следователно необходимостта от разширяване на концепцията за броя отново. Така в 1545 се появиха всеобхватни числа. Техният създател на J. Kardano ги нарича "чисто отрицателен". Името "Мимикс" представи французина Р. Декартен през 1637 г., през 1777 г., Ойулер предложи да използва първата буква на френския номер i. Да покаже въображаема единица. Този символ влезе в универсална употреба благодарение на К. Гаус.

През 17 - 18-ти век, обсъждането на аритметичния характер на различията, тяхното геометрично тълкуване продължава. Danchanin G. Coaseel, французин J. Argan и германски K. Gauss независимо един от друг предложиха да представят комплексен номер на точка координатна равнина.. По-късно се оказа, че е още по-удобно да се изобрази броя на самия точка и векторът, който отива до този момент от началото на координатите.

Само до края на 18-ти - началото на 19-ти век, сложните номера заемат достоен ход математически анализ. Първата им употреба - на теория диференциални уравнения и в теорията на хидродинамиката.

Определение 1.Интегриран номер наречен израз на изгледа къде х. и y. - действителни цифри и I. - въображаема единица ,.

Две сложни числа и равен Тогава и само когато,.

Ако номерът се нарича чисто въображаемиШпакловка Ако номерът е валиден номер, това означава, че комплектът R. Откъдето От - Много комплексни номера.

Конюгатинтегриран номер се нарича комплексен номер.

Геометричен образ на сложни числа.

Всеки интегриран номер може да бъде изобразен с точка. М.(х., y.) Самолет Окси.Чифт валидни номера са обозначени с координатите на радиуса-вектора . Множество кореспонденция може да бъде инсталирана между набора от вектори на равнината и много сложни числа :.

Определение 2.Действителната част х..

Обозначаване: х. \u003d Re. z.(от Латинска Реалис).

Определение 3.Въображаема част Интегрираният номер се нарича валиден номер y..

Обозначаване: y. \u003d Im. z.(от латински въображари).

Re. z. отложено на оста ( О)АЗ СЪМ. z. отложено на оста ( Oy.), След това векторът, съответстващ на интегрирания номер, е точката на радиуса-вектор М.(х., y.), (или М. (Re. z.АЗ СЪМ. z.)) (Фиг. 1).

Определение 4.Равнината, чиито точки са поставени в съответствие с много сложни числа, наречени комплексна равнина.. Ос на абсциса се нарича валидна осТъй като това са активни числа. Ординатната ос се нарича въображаема осТой е чисто въображаеми сложни числа. Посочват се много сложни числа От.

Определение 5.Модулинтегриран номер z. = (х., y.) Тя се нарича дължина на вектора:, т.е. .

Определение 6.Аргумент Интегрираният номер се нарича ъгъл между позитивната посока на ос ( О.) и вектор: .

§1.1. Действителни номера
Първият познат с валидни числа се случва в курс за училище математика. Всеки валиден номер е представен от крайна или безкрайна десетична фракция.

Валидни (реални) номера са разделени на два класа: клас на рационален и клас на ирационални номера. Рационално наречени номера, които имат изглед къде м. и н. - цели взаимно прости номера, но
. (Много рационални номера са обозначени с писмото Q.). Останалите валидни числа се наричат ирационално. Рационалните числа са представени от крайна или безкрайна периодична фракция (същото като обикновени фракции), тогава ирационалните ще бъдат тези и само тези действителни числа, които могат да бъдат представени от безкрайни непериодични фракции.

Например, номерът
- рационално и
,
,
и т.н. - Ирационални номера.

Действителните номера могат също да бъдат разделени на алгебрични корените на полином с рационални коефициенти (те включват по-специално всички рационални числа - корените на уравнението
) - и на трансцендента - всички останали (например номера
други).

Комплектите от естествено, цяло число, валидни номера са посочени съответно: Н.Z., R.
(Първоначални букви на думите Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Изображение на реални числа на числова ос. Интервали

Геометрично (за яснота) действителните цифри са изобразени от точки на безкрайните (в двете посоки) на права линия, наречени числен оси. За тази цел точката се предприема на директната линия (началото на референтната точка 0), е показана положителната посока от стрелката (обикновено вдясно) и се избира единицата на мащаба, която се осквернява в двете и в двете страни Указания от точка 0. Така са изобразени цели числа. За да изобрази номера с един десетичен знак, е необходимо да се разделят всеки сегмент за десет части и др. По този начин всеки действителен брой е представен от точка на числовата ос. Назад, всяка точка
съответства на валиден брой, равен на дължината на сегмента
И взети със знака "+" или "-", в зависимост от това дали точката е вдясно или вляво от началото на справка. По този начин се установява взаимно ценна кореспонденция между набора от всички валидни номера и набор от всички точки на числената ос. Използват се термини "валидни" и "точка на числена ос" синоними.

Символ Ще обозначим действителния номер и точката, която съответства на нея. Положителни номера Има в дясната точка 0, отрицателна - отляво. Ако
след това върху цифровата ос лежи вляво от точката . Нека точката
съответства на номера, тогава номерът се нарича координатна точка, пишете
Шпакловка По-често самата точка е обозначена с една и съща буква като номера. Точка 0 - началото на координатите. Оста означават и писмото (Фиг.1.1).

Фиг. 1.1. Брой ос.
Комбинация от всички числа лежи между тях номера на данни и се нарича интервал или пропаст; Свършва и може да му принадлежи и може да не принадлежи. Твърдят го. Нека бъде
. Комбинация от числа, отговарящи на състоянието
, се нарича интервал (в тесен смисъл) или отворен интервал, обозначен със символа
(Фиг.1.2).

Фиг. 1.2. Интервал
Съвкупността от номерата, така че това
наречен затворен интервал (сегмент, сегмент) и обозначен
Шпакловка Цифровата ос се казва така:

Фиг. 1.3. Затворен интервал
От отворената пропаст тя се различава само в две точки (края) и. Но тази разлика е фундаментална, съществена, както ще видим в бъдеще, например, когато изучаваме свойствата на функциите.

Пропускане на думите "Много от всички номера (точки) х. Такова, че "и т.н., ние отбелязваме по-нататък:

и
, обозначава
и
полуотворени, или полудувани интервали (понякога: полу-интервали);

или
Означава:
или
И обозначава
или
;

или
Средства
или
И обозначава
или
;

, обозначава
много от всички валидни номера. Икони
Символи на "безкрайност"; Те се наричат \u200b\u200bнеразбираеми или идеални числа.

§1.3. Абсолютна стойност (или модул) на валиден номер
Определение. Абсолютна стойност (или модул) номерата се наричат \u200b\u200bтози номер, ако
или
ако
. Определен символ за абсолютна стойност . Така,

Например,
,
,
.

Геометрично означава разстояние а. преди началото на координатите. Ако имаме две точки и след това разстоянието между тях може да бъде представено като
(или
). Например,
Това разстояние
.

Имоти абсолютни стойности.

1. От определението следва това

,
, т.е.
.

2. Абсолютната сума на сумата и разликата не надвишава размера на абсолютните стойности: \\ t
.

1) ако
T.
. 2) ако
тогава. ▲.

3.
.

, след това по собственост 2:
.
. По същия начин, ако изпратите
след това идват в неравенството
▲

4.
- от определението следва: разгледа случаите
и
.

5.
, при условие че
Също следва от определението.

6. Неравенство
,
Средства
. Това неравенство отговаря на точките, които са между тях
и
.

7. Неравенство
еквивалент на неравенството
. . Това е интервалът с центъра по дължината на дължината.
. Нарича се
квартални точки (номера). Ако
, кварталът се нарича пункция: това или
. (Фиг.1.4).

8.
Откъдето следва това неравенство
(
) Това е еквивалентно на неравенството
или
Шпакловка И неравенство
определя набора от точки, за които
. Това са точки, лежащи извън сегмента
, точно:
и
.

§1.4. Някои концепции, нотация
Представяме някои широко разпространени концепции, обозначения от теорията на комплектите, математически логика и други раздели на съвременната математика.

1 . Концепция Комплект Това е една от основните по математика, първоначалната, универсалната - и следователно не може да бъде определена. Тя може да бъде описана само (замени синоними): Това е колекция, набор от някои обекти, неща, комбинирани от всеки признаци. Тези обекти се наричат елементи комплекти. Примери: множество пясъци на брега, звездите във Вселената, учениците в публиката, корените на уравнението, точките на сегмента. Наболява, чиито елементи са същността на номера числени комплекти. За някои стандартни комплекти се въвеждат специални наименования, например, Н., Z., R -виж § 1.1.

Нека бъде А. - най-много I. х. Това е неговият елемент, след което пишат:
Шпакловка Прочети " х. принадлежи А.» (
включен знак за елементи). Ако обект х. Не са включени в А., след това пишете
Шпакловка Четене: " х. не принадлежи А." Например,
Н.; 8,51Н.Шпакловка Но 8,51. R..

Ако х. е общото наименование на елементите на комплекта А., след това пишете
. Ако е възможно да се запише определянето на всички елементи, след това напишете
,
и така нататък. Комплект, който не съдържа нито един елемент, се нарича празен набор и означава символ ; Например, набор от корените (валидни) уравнения
Има празни.

Много се обадиха крайАко се състои от крайнен брой елементи. Ако каквото и да е естествено число, нито да приемате, в различни А. Тогава има елементи повече от n А. Наречен безкраен Разнообразие: в него елементи безкрайно.

Ако всеки елемент от комплекта ^ A. Принадлежи и набор Б.T. наречена част или подмножество на комплекта Б. и пишете
Шпакловка Прочети " А. съдържащи се в Б.» (
Има знак за SET). Например, Н.Z.R.Ако имаш
, тогава те казват много А. и Б. равен и запис
. В противен случай пишете
. Например, ако
, но
много уравнения на корените
тогава.

Комбинация от елементи от двата комплекта А. и Б. Наречен Асоциация Комплекти и обозначени
(понякога
). Комбинацията от елементи, принадлежащи и А. и Б., Наречен пресичане Комплекти и обозначени
. Комбинация от всички елементи на комплекта ^ A.не се съдържа в Б., Наречен разлика Комплекти и обозначени
. Схематично, тези операции могат да бъдат изобразени като:

Ако има многократно съвпадение между групите от комплекти, се казва, че тези комплекти са еквивалентни и написани
. Много А.Еквивалент на набор естествени числа Н.\u003d извика счетоводство или изчислени. С други думи, комплектът се нарича отговорен, ако елементите му могат да бъдат номерирани, за да намерите в безкрайността последователност
Всички членове на които са различни:
за
И може да бъде написано във формата. Се наричат \u200b\u200bдруги безкрайни комплекти необезпечени. Злополуки, различни от най-много Н, Ще има, например, набори
, Z. Оказва се, че много рационални и алгебрични номера - произшествия и еквивалентни помежду си много от всички ирационални, трансцендентални, реални числа и точки от всеки интервал - неприятно. Казва се, че последният има силата на континуума (власт - генерализация на концепцията за количество (брой) от елементи за безкраен комплект).

2 . Нека има две изявления, две факти: и
. Символ
означава: "ако е вярно, тогава вярно и" или "от него следва", "имплицитно ядене на корена на уравнението има имот от английски език . \\ T - Съществуват.

Запис:

, или
означава: съществува (поне един) елемент . И запис
, или
означава: всеки има имот. По-специално, можем да напишем:
и.

От огромното разнообразие от всякакъв вид комплект От особен интерес са така наречените цифрови комплектиТова означава, че множествата, чиито елементи са числа. Ясно е, че за удобна работа с тях трябва да можете да ги запишете. С обозначения и принципи на записване на цифрови комплекти, ще започнем тази статия. И след това обмислете как цифровите комплекти са изобразени на координата.

Навигация.

Записване на цифрови комплекти

Да започнем с приетите наименования. Както знаете, за определяне на комплекти се използват главни букви Латинска азбука. Числени комплекти като частно дело Комплектите са посочени и. Например, можете да говорите за цифрови комплекти A, H, W и т.н. От особено значение са от много естествени, цяло число, рационални, реални, интегрирани числа и т.н., за тях са приети:

• N - набор от всички естествени числа;
• Z - много цели числа;
• Q - Много рационални числа;
• J - Много ирационални номера;
• R е много валидни номера;
• C - Много сложни числа.

Ясно е, че не е необходимо да се определя набор, състоящ се, например, от две числа 5 и -7 като Q, това обозначение ще бъде подведено, тъй като буквата Q обикновено се обозначава с много рационални числа. За да обозначите посочения цифров комплект, по-добре е да използвате друго "неутрално" писмо, например, a.

Тъй като започнахме да говорим за наименованията, тук ще напомним на обозначението на празния комплект, т.е. комплектите, които не съдържат елементи. Той е обозначен със знака ∅.

Също така напомняваме за определянето на принадлежността и не-деликатността на елемента. За това, знаците ∈ - принадлежи и ∉ не принадлежат. Например, записването на 5∈N означава, че номер 5 принадлежи към набор от естествени числа, а 5,7 ∉z - десетичната фракция 5.7 не принадлежи към набора от цели числа.

И ние ще си припомним приетите наименования, за да включим един набор от друг. Ясно е, че всички елементи на зададената N са включени в зададената Z, като по този начин цифровият набор N е включен в Z, това е показано като n⊂z. Можете също да използвате Z⊃N запис, което означава, че наборът от всички цели числа Z включва настройката n. Връзката не е включена и не включва знаци според знаците и. Използват се и признаците на неспектно включване на формата ⊆ и ⊇, което означава, че е включено или съвпадащо и включва или съвпада.

Говорихме за наименованията, отиваме в описанието на цифровите комплекти. В същото време са засегнати само основните случаи, които най-често се използват на практика.

Да започнем с цифрови комплекти, съдържащи крайнен и малък брой елементи. Цифрените комплекти, състоящи се от краен брой елементи, са удобно описани чрез възникване на всичките им елементи. Всички елементи на елементите се записват чрез запетая и са сключени, което е в съответствие с общите правила за описание на комплекти. Например, комплект, състоящ се от три числа 0, -0.25 и 4/7, може да бъде описан като (0, -0.25, 4/7).

Понякога, когато броят на елементите на числения комплект е достатъчно голям, но елементите са обект на някои модели, да се опише точка. Например, набор от всички нечетни числа от 3 до 99 включително могат да бъдат написани като (3, 5, 7, ..., 99).

Така че ние гладко се приближихме от описанието на цифровите комплекти, чийто брой елементи е безкраен. Понякога те могат да бъдат описани с твърде много. Например, ние описваме набора от всички естествени числа: n \u003d (1, 2. 3, ...).

Също така използвайте описанието на цифрови комплекти, като посочите свойствата на неговите елементи. В същото време прилагат обозначението (X | свойства). Например, записът (n | 8 · n + 3, n∈n) поставя много от тези естествени числа, които остатъкът 3 дава остатъка при 8. Този комплект може да бъде описан като (11.19, 27, ...).

В определени случаи, числени набори с безкраен брой елементи са известни набори n, z, r и други подобни. или цифрови пропуски. И предимно цифрови комплекти са представени като асоциация Компонентите на техните индивидуални цифрови интервали и цифрови комплекти с ограничен брой елементи (които говорихме малко по-горе).

Покажете пример. Нека цифровият комплект съставлява номера -10, -9, -8.56, 0, всички номера на сегмента [-5, -1.3] и номера на отворения цифров лъч (7, + ∞). Поради определението за обединение на наборите, посоченият цифров комплект може да бъде написан като {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такъв запис всъщност означава комплект, съдържащ всички елементи на комплекти (-10, -9, -8.56, 0), [-5, -1.3] и (7, + ∞).

По същия начин, комбинирането на различни цифрови пропуски и комплекти от индивидуални числа, можете да опишете всеки цифров комплект (състоящ се от валидни номера). Тук става ясно защо такива видове цифрови пропуски са въведени като интервал, полу-интервал, сегмент, отворен цифров лъч и цифров лъч: всички в отделение със символите на набори от индивидуални номера ви позволяват да опишете всеки числени комплекти чрез тяхната асоциация.

Моля, обърнете внимание, че когато записвате цифров комплект, компонентите на нейните номера и цифрови пропуски са поръчани възходящи. Това не е задължително, но желателно състояние, тъй като поръчаният цифров комплект е по-лесен за представяне и изобразяване на директната координат. Също така имайте предвид, че тези записи не се използват цифрови интервали общи елементиТъй като такива записи могат да бъдат заменени чрез комбиниране на цифрови интервали без общи елементи. Например, комбинацията от цифрови комплекта с общи елементи [-10, 0] и (-5, 3) е полупроводи [-10, 3). Същото се отнася и за комбинацията от цифрови пропуски със същите гранични номера, например, Съюзът (3, 5] (5, 7] е комплект (3, 7], ние ще спрем отделно това, когато се научим Намерете пресичането и комбинирането на цифрови комплекти.

Изображение на цифрови зареждания на координата

На практика е удобно да се използват геометрични изображения на цифрови комплекти - техните изображения. Например, за неравенство в решениетоВ което е необходимо да се обмисли OTZ, трябва да представите цифрови комплекти, за да намерите тяхното пресичане и / или съюз. Така ще бъде полезно ще бъде добре в състояние да се справим с всички нюанси на изображението на числови набори от координата.

Известно е, че между точките в координатните и валидни номера има взаимно недвусмислено съответствие, което означава, че директният директ е геометричният модел на множество всички валидни числа R. По този начин, за да изобрази много валидни номера, е необходимо да се направи координатна директна с излюпването в нея:

И често дори не показват началото на справка и един сегмент:

Сега нека поговорим за образа на цифрови комплекти, които са някакъв краен брой индивидуални числа. Например, ще изобразявате цифров комплект (-2, -0,5, 1,2). Геометричният начин на този комплект, състоящ се от три номера -2, -0.5 и 1.2, ще бъдат три точки от координата на директно със съответните координати:

Имайте предвид, че обикновено за нуждите на практиката не е необходимо да се извършва тегленето със сигурност. Често е доста схематичен рисун, който предполага незадължителна поддръжка на мащаба, докато е важно само за поддържане на взаимното местоположение на точките спрямо един с друг: всяка точка с по-малка координатна координация трябва да бъде лявата част на точката с по-голяма степен координира. Предишният чертеж ще изглежда така:

Отделно, от всякакъв вид цифрови комплекти, цифрови интервали (интервали, полу-интервали, лъчи и др.) Са изолирани, които представляват техните геометрични образи, разбрахме подробно в раздела. Тук няма да повторим.

И остава да бъдеш спрян само върху образа на цифрови комплекти, които съчетават няколко цифрови интервали и комплекти, състоящи се от индивидуални числа. Тук няма нищо хитър: по отношение на смисъла на комбинирането в тези случаи, на директното координат, трябва да представите всички компоненти на набора от този цифров комплект. Като пример показваме образа на цифров комплект (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (Log 2 5, 5) ∪ (17, + ∞):

И ще се съсредоточим върху доста често срещаните случаи, когато цифровият комплект представлява целия набор от валидни номера, с изключение на една или повече точки. Такива комплекти често се задават от условията на тип X ≠ 5 или X ≠ -1, X ≠ 2, X ≠ 3.7 и други подобни. В тези случаи те са геометрично, представляват цялата директна координатна дирекция, с изключение на съответните точки. С други думи, от координатите директно трябва да "купите" тези точки. Те са изобразени с кръгове с празен център. За яснота ще покажете цифров комплект, съответстващ на условията (Това е много по същество):

Обобщавам. В идеалния случай информацията на предишните позиции следва да образува същия поглед върху записа и изображението на цифрови комплекти, както и разглеждане на индивидуалните цифрови пропуски: записът на цифров комплект трябва незабавно да даде своя имидж на координата на директни, и На образа на координата, трябва да сме готови да опишем съответния цифров, определен чрез комбинацията от индивидуални интервали и комплекти, състоящи се от индивидуални номера.

Библиография.

• Алгебра: проучвания. За 8 cl. Общо образование. Институции / [Ю. Н. Макарчев, Н. Г. Мнение, К. И. Нешков, С. Б. Суворов]; Ед. С. А. Теликовски. - 16-ти Ед. - м.: Просвещение, 2008. - 271 стр. : I Л. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордович А. Г. Алгебра. Степен 9. В 2 ч.л. 1. Урок за студенти от общи образователни институции / А. Мордович, П. В. Семенов. - 13-ти Ед., Дори. - m.: Mnemozina, 2011. - 222 г.: IL. ISBN 978-5-346-01752-3.