Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо трудно. Възможността за решаване на тях е абсолютно необходимо.

Квадратното уравнение е уравнението на Axe 2 + BX + C \u003d 0, където коефициентите А, В и С са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да проучите конкретни методи за вземане на решения, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Имат точно един корен;
3. Имат два различни корена.

Това е важна разлика квадратни уравнения От линейна, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корени имат уравнение? За това има чудесно нещо - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека квадратното уравнение на уравнение 2 + bx + c \u003d 0. След това дискриминацията е само числото D \u003d B 2 - 4AC.

Тази формула трябва да бъде известна на сърцето. Къде е поемала - сега няма значение. Друго е важно: дискриминантният знак може да се определи колко корени имат квадратно уравнение. А именно:

1. Ако D.< 0, корней нет;
2. Ако d \u003d 0, има точно един корен;
3. Ако D\u003e 0 ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминацията показва броя на корените, а изобщо не на техните знаци, както по някаква причина, много от тях обмислят. Обърнете внимание на примерите - и ще разберете всичко:

Задача. Колко корени са квадратни уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Отблъскваме коефициентите за първото уравнение и намират дискриминацията:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Така че, дискриминацията е положителна, така че уравнението има две различни корени. По същия начин разглобяването на второто уравнение:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4,5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминацията е отрицателна, без корени. Последното уравнение остава:
а \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Дискриминацията е нула - коренът ще бъде един.

Моля, обърнете внимание, че за всяко уравнение коефициентите са били разрешени. Да, дълго време, да, това е досадно - но няма да объркате коефициентите и не допускайте глупави грешки. Изберете себе си: скорост или качество.

Между другото, ако "запълвате ръката", след известно време вече не трябва да пишете всички коефициенти. Такива операции ще се изпълняват в главата ви. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло, не толкова.

Корените квадратно уравнение

Сега се обръщаме, всъщност, към решението. Ако дискриминацията D\u003e 0, корените могат да бъдат намерени чрез формули:

Основната формула на корените на квадратното уравнение

Когато D \u003d 0 можете да използвате някоя от тези формули - това ще бъде същия номер, който ще бъде отговорът. Накрая, ако d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ А \u003d 1; b \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Уравнението има два корена. Намери ги:

Второ уравнение:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ A \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Уравнението отново има два корена. Ние ги намираме

[начало (подравняване) и ((x) _ (1)) \u003d frac (2+ sqrt (64)) (2 ccot лява (-1 дясно)) \u003d - 5; ((x) _ (2)) \u003d frac (2- sqrt (64)) (2 ccot лява (-1 дясно)) \u003d 3. End (Elevel) \\ t

Накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ А \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Уравнението има един корен. Можете да използвате всяка формула. Например, първото:

Както може да се види от примери, всичко е много просто. Ако знаете формулата и да можете да помислите, няма да има проблеми. Най-често грешките се появяват по време на заместването във формулата на отрицателните коефициенти. Тук отново, рецепцията, описана по-горе, ще помогне: погледнете формулата буквално, бояйте всяка стъпка - и много скоро се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се, че квадратното уравнение е малко по-различно от това, което се дава в дефиницията. Например:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Лесно е да се види, че в тези уравнения няма никой от условията. Такива квадратни уравнения са още по-лесни от стандарта: те дори не трябва да обмислят дискриминантност. Така че, въвеждаме нова концепция:

AX2 + BX + C \u003d 0 уравнението се нарича непълно квадратно уравнение, ако b \u003d 0 или c \u003d 0, т.е. Коефициентът с променлива x или свободният елемент е нула.

Разбира се, е възможно напълно труден случай, когато и двете от тези коефициенти са нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението отнема формата 2 \u003d 0. Очевидно, такова уравнение има един корен: x \u003d 0 .

Разгледайте останалите случаи. Нека b \u003d 0 е 0, след това получаваме непълна квадратна уравнение на формата 2 + c \u003d 0. Преобразуваме го малко:

Тъй като коренът на аритметиката съществува само от не-отрицателно число, последното равенство има смисъл изключително при (-C / A) ≥ 0. Заключение:

1. Ако в непълно квадратно уравнение на формата 2 + С \u003d 0, неравенството (-С / А) се извършва ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (-C / A)< 0, корней нет.

Както виждате, дискриминацията не е имала нужда - в непълни квадратни уравнения няма сложни изчисления. Всъщност, дори не е необходимо да се помни неравенството (-C / A) ≥ 0. Това е достатъчно, за да се изрази стойността на x 2 и да видите какво стои от другата страна на знака за равенство. Ако има там положителен - Ще има два корена. Ако отрицателен - корените изобщо няма да бъдат.

Сега ще разберем с уравненията на формата 2 + BX \u003d 0, в която свободният елемент е нула. Всичко е просто тук: корените винаги ще бъдат две. Достатъчно е да се разложи полином към множителите:

Мултипликатор за скоба

Работата е нула, когато поне един от мултипликателите е нула. Оттук има корени. В заключение ще анализираме няколко такива уравнения:

Задача. Коравни квадратни уравнения:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Няма корени, защото Квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1.5.

В това видео урокът казва как да решават квадратното уравнение. Решението на квадратните уравнения обикновено започва да учи в средно училище, степен 8. Корените на квадратното уравнение се намират в специална формула. Нека квадратното уравнение определя Ax2 + BX + C \u003d 0, където X е неизвестен, А, В и С - коефициентите, които са валидни номера. За да започнем, е необходимо да се определи дискриминацията според формулата D \u003d B2-4AC. След това остава да се изчислят корените на квадратното уравнение съгласно добре познатата формула. Сега нека се опитаме да решим конкретен пример. Като първоначално уравнение, ние приемаме x2 + x-12 \u003d 0, т.е. Коефициентът a \u003d 1, b \u003d 1, c \u003d -12. Според известната формула можете да дефинирате дискриминацията. След това, с формулата за намиране на корените на уравнението, те ги изчисляват. В нашия случай дискриминацията ще бъде равна на 49. Фактът, че стойността на дискриминацията е положителен брой, ни казва, че това квадратно уравнение ще има два корена. След неусложнени изчисления, ние получаваме това x1 \u003d -4, x2 \u003d 3. По този начин, ние решават квадратно уравнение, изчислявайки корена на видео урока "на квадратните уравнения (степен 8). Ние откриваме корените по формулата "Можете да гледате онлайн по всяко време безплатно. Късмет!

Общо общо образование
- Kosinskaya Basic. общообразователно училище»

Урок за ИКТ

Разтвор на квадратни уравнения по формулата.

Разработчик:
Черевина Оксана Николаевна
Математически учител

Предназначение:
Консолидиране на разтвора на квадратните уравнения по формулата
допринася за развитието на желанието на учениците и необходимостта от обобщаване на изучените факти,
Развиват независимост и творчество.

Оборудване:
Математическа диктовка (презентация 1),
Карти с многостепенни задачи за независима работа,
Формули за таблици за решаване на квадратни уравнения (в ъгъла ", за да помогне на урока"),
Разпечатване "Древна задача" (брой ученици),
Галвата таблица на рейтинга на дъската.

Общ план:
Проверка на домашното
Математическа диктовка.
Устни упражнения.
Решаване на упражнения за консолидиране.
Независима работа.
Историческа справка.

По време на класовете.
Orgmoment.

Проверете домашното.
- Момчета, с какви уравнения се запознах с последните уроци?
- Какви начини мога да реша квадратни уравнения?
- Къщи, които трябва да разрешите 1 уравнение по два начина.
(Уравнението е дадено 2 нива, предназначени за слаби и силни студенти)
- Да проверим заедно с мен заедно. Както се справихте с задачата.
(На дъската, учителят на урока прави запис на решетката. Задачи)
Учениците проверяват и заключават: непълните квадратни уравнения са по-лесни за решаване на разлагането в мултипликатори или по обичайния начин, пълна с формула.
Учителят подчертава: нищо чудно, че методът за решаване на кв. Уравненията на формулата се наричат \u200b\u200bуниверсални.

Повторение.

Днес в урока ще продължим да се занимаваме с решенията на квадратните уравнения. Ще имаме необичаен урок, защото днес не само ще бъдете оценени, но и вие сами. За да спечелите добра оценка и успешно да се справите с независимата работа, трябва да спечелите възможно най-много точки. Един момент, мисля, че вече сте спечелили, справяйки се с домашното.
- И сега искам да си спомняте и отново повтаряме дефинициите и формулите, които изследваме по тази тема. (Отговорите на студентите се оценяват с 1 точка за правилния отговор и 0 точки - неправилни)
- И сега, момчета, ние ще изпълняваме математическа диктовка, внимателно и бързо прочетете задачата на компютърния монитор. (Презентация 1)
Учениците изпълняват работа и с помощта на ключовата оценка на техните дейности.

Математическа диктовка.

Коравното уравнение се нарича уравнение на формата ...
В квадратното уравнение 1-ви коефициент - ..., 2-ри коефициент - ..., свободен Дик - ... \\ t
Квадратното уравнение се нарича по-горе, ако ...
Напишете формула за изчисляване на дискриминацията на квадратно уравнение
Напишете формулата за изчисляване на корена на квадратното уравнение, ако коренът в уравнението е такъв.
С какво състояние квадратното уравнение няма корени?

(самостоятелен тест с компютър, за всеки правилен отговор - 1 точка).

Устни упражнения. (на гърба на дъската)
- Името Колко корена има всяко уравнение? (Задачата се оценява и на 1 точка)
1. (x - 1) (x +11) \u003d 0;
2. (x - 2) ² + 4 \u003d 0;
3. (2х - 1) (4 + x) \u003d 0;
4. (x - 0.1) x \u003d 0;
5. x² + 5 \u003d 0;
6. 9xQM - 1 \u003d 0;
7. x² - 3x \u003d 0;
8. x + 2 \u003d 0;
9. 16xQM + 4 \u003d 0;
10. 16xQM - 4 \u003d 0;
11. 0.07x² \u003d 0.

Решаване на упражнения за фиксиране на материала.

От уравненията, предложени на монитора, уравненията се извършват независимо (CD-7), когато се проверяват, учениците, завършили изчисленията, правилно вдигат ръце (1 точка); По това време по-слабите ученици решават на борда с едно уравнение и тези, които са се справили самостоятелно със задачата, се получават с 1 точка.

Независима работа в 2 версии.
Който отбеляза 5 и повече точки независима работа от номер 5.
Кой вкара 3 и по-малко - от №1.

Опция 1.

а) 3xqm + 6x - 6 \u003d 0, b) x² - 4x + 4 \u003d 0, c) x² - X + 1 \u003d 0.

№2. Продължаване на изчисляването на дискриминационния D на квадратното уравнение AXE² + BX + C \u003d 0, образуван от d \u003d B² - 4AC.

а) 5xqm - 7x + 2 \u003d 0,
D \u003d b² - 4ac
D \u003d (-7²) - 4 5 2 \u003d 49 - 40 \u003d ...;
б) x² - x - 2 \u003d 0,
D \u003d b² - 4ac
D \u003d (-1) ² - 4 1 (-2) \u003d ...;

Номер 3. Завърши решението на уравнението
3x² - 5x - 2 \u003d 0.
D \u003d b² - 4ac
D \u003d (-5) ² - 4 3 (-2) \u003d 49.
x \u003d ...

№4. Решават уравнение.

а) (x - 5) (x + 3) \u003d 0; б) x² + 5x + 6 \u003d 0

а) (x-3) ^ 2 \u003d 3x-5; b) (x + 4) (2x-1) \u003d x (3x + 11)

№6. Решете уравнение X2 + 2√2 x + 1 \u003d 0
№7. С каква стойност е уравнението x² - 2ah + 3 \u003d 0 има един корен?

Вариант 2.

№1. За всяко уравнение на формата AXE² + BX + C \u003d 0, посочете стойностите А, В, С.

а) 4xqm - 8x + 6 \u003d 0, b) x² + 2x - 4 \u003d 0, c) x² - X + 2 \u003d 0.

№2. Продължаване на изчисляването на дискриминационния D на квадратното уравнение AXE² + BX + C \u003d 0 с формула D \u003d B² - 4AC.

а) 5xqm + 8x - 4 \u003d 0,
D \u003d b² - 4ac
D \u003d 8² - 4 5 (- 4) \u003d 64 - 60 \u003d ...;

б) x² - 6x + 5 \u003d 0,
D \u003d b² - 4ac
D \u003d (-6) ² - 4 1 5 \u003d ...;

1№. Завърши решението на уравнението
x² - 6x + 5 \u003d 0.
D \u003d b² - 4ac
D \u003d (-6) ² - 4 1 5 \u003d 16.
x \u003d ...

№4. Решават уравнение.

а) (x + 4) (x - 6) \u003d 0; b) 4xqm - 5x + 1 \u003d 0

№5. Дайте уравнението на площада и да го решите:

а) (x-2) ^ 2 \u003d 3x-8; b) (3x-1) (x + 3) + 1 \u003d x (1 + 6x)

№6. Решете уравнението x2 + 4√3 x + 12 \u003d 0

№7. С каква стойност и уравнението x² + 3ach + A \u003d 0 има един корен.

Резултата от урока.
Обобщаване според резултатите от най-стабилната таблица за оценка.

Историческа справка и задача.
Предизвикателствата на квадратни уравнения вече са открити в 499. В древна Индия публичните състезания бяха разпределени в решаването на трудни задачи. В една от старите индийски книги се казва: "Тъй като слънцето бледи със собствените си звезди, така учен човек Падане на славата на друга в народа, предлагайки и решаване на алгебрични задачи. " Често те са били в поетична форма. Ето една от задачите на известната математика на Индия 12-ти век Бхаскара:
Стелния пилинг маймуни
Заспите хората, които се забавляват,
Те са в квадратната част на осмата
В поляната се забавляваше.
12 на Лиана ...
Започна да скача, висящ.
Колко маймуни бяха
Казвате ли ми в този стак?

VII. Домашна работа.
Предлага се да се реши тази историческа задача и да я подреди на отделни листове с модел.

ПРИКАЧЕН ФАЙЛ

№ F.I.
Резултати от учениците
Домашна работа диктовка перорално упражнение фиксиращ материал
Работа в компютъра в борда
1 Иванов I.
2 Федоров Г.
3 Yakovleva Ya.
…

Максимален номер - 22-23 точки.
Минимум - 3-5 точки

3-10 точки - рейтинг "3",
11-20 точки - рейтинг "4",
21-23 точки - рейтинг "5" \\ t

Клас: 8

Помислете за стандартната (проучена математика, проучена) и нестандартни техники за решаване на квадратни уравнения.

1. Разлагане на лявата страна на квадратното уравнение на линейни мултипликатори.

Помислете за примери:

3) x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

6 (x 2 + x - x) \u003d 0 | : 6.

x 2 + x - x - \u003d 0;

x (x -) + (x -) \u003d 0;

x (x -) (x +) \u003d 0;

= ; – .

Отговор:; -.

За независима работа:

Решете квадратни уравнения, прилагайки метода на разлагане от лявата страна на квадратното уравнение на линейни мултипликатори.

а) x 2 - x \u003d 0; d) x 2 - 81 \u003d 0; g) x 2 + 6x + 9 \u003d 0;

b) x 2 + 2x \u003d 0; d) 4x 2 - \u003d 0; h) x 2 + 4x + 3 \u003d 0;

в) 3x 2 - 3x \u003d 0; e) x 2 - 4x + 4 \u003d 0; и x 2 + 2x - 3 \u003d 0.

а) 0; един

б) -2; 0.

в) 0; един

2. Методът за подчертаване на пълен квадрат.

Помислете за примери:

За независима работа.

Решете квадратни уравнения, използвайки пълен метод за изолиране.

3. Разтвор на квадратни уравнения по формулата.

aH2 + WK + C \u003d 0, (A | · 4A

4A 2 x 2 + 4AV + 4AS \u003d 0;

2Ch + 2Ch · 2b + в 2 - в 2 + 4AS \u003d 0;

2 \u003d в 2 - 4а; \u003d ±;

Разгледайте примери.

За независима работа.

Решете квадратните уравнения, като използвате формулата x 1.2 \u003d.

4. Разтвор на квадратни уравнения, използвайки теоремата на Vieta (пряка и обратна)

x 2 + PX + Q \u003d 0 - представеното квадратно уравнение

на теоремата на Виета.

Ако уравнението има два идентични корени на знака и зависи от коефициента.

Ако p, тогава .

Ако p, тогава .

Например:

Ако тогава уравнението има два различни на коренния знак, а коренът е по-голям в модула, ако p и ще бъде, ако p.

Например:

За независима работа.

Не решаване на квадратно уравнение, на обратната теорема на Виета, определете признаците на корените си:

a, B, K, L - различни корени;

в, d, z - отрицателен;

g, e, w, и m - положителни;

5. Решение на квадратните уравнения от метода "местно".

За независима работа.

Да решават квадратни уравнения, прилагане на "транзит".

6. Разтвор на квадратни уравнения, използвайки свойствата на нейните коефициенти.

I. AX 2 + BX + C \u003d 0, където 0

1) ако a + b + c \u003d 0, след това x 1 \u003d 1; x 2 \u003d.

Доказателство:

aX 2 + BX + C \u003d 0 |: a

x 2 + x + \u003d 0.

От теорема във Виетна

При условието a + b + c \u003d 0, след това b \u003d -a-s. След това получаваме

От това следва, че x 1 \u003d 1; x 2 \u003d. Q.E.D.

2) ако a - b + c \u003d 0 (или b \u003d a + с), след това x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -

Доказателство:

От теорема във Виетна

Под условието a - b + c \u003d 0, т.е. B \u003d a + s. След това получаваме:

Следователно, x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.

Разгледайте примери.

1) 345 x 2 - 137 х - 208 \u003d 0.

a + B + C \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0

x 1 \u003d 1; x 2 \u003d \u003d

2) 132 x 2 - 247 x + 115 \u003d 0.

a + B + C \u003d 132 -247 -115 \u003d 0.

x 1 \u003d 1; x 2 \u003d \u003d

Отговор: 1;

За независима работа.

Прилагане на свойствата на коефициентите на квадратното уравнение, решаване на уравнението

II. AX2 + BX + C \u003d 0, където 0

x 1.2 \u003d. Нека b \u003d 2k е, т.е. Дебел. Тогава получаваме

x 1.2 \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d

Помислете за пример:

3x 2 - 14x + 16 \u003d 0.

D 1 \u003d (-7) 2 - 3 · 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1

x 1 \u003d 2; x 2 \u003d.

Отговор: 2;

За независима работа.

а) 4x 2 - 36x + 77 \u003d 0

б) 15x 2 - 22x - 37 \u003d 0

c) 4x 2 + 20x + 25 \u003d 0

d) 9x 2 - 12x + 4 \u003d 0

Отговори:

III. x 2 + px + q \u003d 0

x 1.2 \u003d - ± 2 - q

Помислете за пример:

x 2 - 14x - 15 \u003d 0

x 1,2 \u003d 7 \u003d 7

x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 15.

Отговор: -1; 15.

За независима работа.

а) x 2 - 8x - 9 \u003d 0

b) x 2 + 6x - 40 \u003d 0

в) x 2 + 18x + 81 \u003d 0

d) x 2 - 56x + 64 \u003d 0

7. Разтвор на квадратното уравнение с помощта на графики.

а) x 2 - 3x - 4 \u003d 0

Отговор: -1; четири

b) x 2 - 2x + 1 \u003d 0

в) x 2 - 2x + 5 \u003d 0

Отговор: Няма решения

За независима работа.

Решаване на квадратни уравнения графично:

8. Разтвор на квадратни уравнения с циркулация и владетел.

aX2 + BX + C \u003d 0,

x 2 + x + \u003d 0.

x 1 и x 2 - корени.

Нека a (0; 1), c (0;

От последователната теорема:

S · one \u003d OA · OS.

Затова имаме:

x 1 · x 2 \u003d 1 · OS;

OS \u003d x 1 x 2

K (0), където \u003d -

F (0;) \u003d (0;) \u003d)

1) изградим точката s (-;) - центъра на кръга и точката А (0; 1).

2) Кръг с R \u003d SA радиус /

3) Абсценките на кръстовището на този кръг с оста са о, корените на първоначалното квадратно уравнение.

Възможни са 3 случая:

1) R\u003e SK (или R\u003e).

Кръгът пресича ос OH в точка (х 1; 0) и d (х 2; 0), където X 1 и X 2 са корени на квадратното уравнение, 2 + BX + C \u003d 0.

2) r \u003d sk (или r \u003d).

Кръгът се отнася до оста, при копнеж в 1 (x 1; 0), където X 1 е коренът на квадратното уравнение

aX2 + BX + C \u003d 0.

3) R.< SK (или R < ).

Кръгът няма общи точки с осите о, т.е. Няма решения.

1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

Център S (-;), т.е.

x 0 \u003d \u003d - \u003d 1,

в 0 \u003d \u003d - - 1.

(1; - 1) - център на кръга.

Кръг (и), където (0; 1).

9. Разтвор на квадратни уравнения с номограма

За да разрешите, използвайте четирицифрени математически маси v.m. Брейди (Таблица XXII, стр. 83).

Номограмата позволява, без да се решава квадратното уравнение x 2 + px + q \u003d 0, за да се определят корените на уравнението чрез нейните коефициенти. Например:

5) z 2 + 4Z + 3 \u003d 0.

И двата корените са отрицателни. Затова ще заменим: z 1 \u003d - t. Получаваме ново уравнение:

t2 - 4T + 3 \u003d 0.

t 1 \u003d 1; T 2 \u003d 3

z 1 \u003d - 1; z 2 \u003d - 3.

Отговор: - 3; - един

6) Ако коефициентите p и q отиват извън мащаба на скалата, след това се извършва заместването z \u003d k · t и уравнението се решава с помощта на номограма: Z2 + pz + Q \u003d 0.

k 2 t2 + p · kt + q \u003d 0. |: k 2

да се \u200b\u200bвземат с изчислението, неравенството:

За независима работа.

в 2 + 6 - 16 \u003d 0.

в 2 + 6th \u003d 16, | + 9

в 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9

в 1 \u003d 2, в 2 \u003d -8.

Отговор: -8; 2.

За независима работа.

Решете геометрично уравнението на 2 - 6 - 16 \u003d 0.

Ние ви напомняме, че пълното квадратно уравнение е уравнението на формуляра:

Решението на пълните квадратни уравнения е малко по-сложно (много леко) от горното.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминантно!

Дори непълна.

Останалите пътища ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, да започнете, решението се нарича с помощта на дискриминантно.

1. Решението на квадратните уравнения с помощта на дискриминантна.

Решението на квадратните уравнения по този начин е много прост, най-важното е да помните последователността на действията и няколко формули.

Ако уравнението има 2 корени. Трябва да обърнете специално внимание на стъпка 2.

Дискриминационният D ви показва за броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата се свежда до. Така уравнението ще има цял корен.
• Ако, ние няма да можем да извлечем корена от дискриминацията в стъпка. Това показва, че уравнението няма корени.

Обърнете се към К. геометричен смисъл квадратно уравнение.

Функционалната графика е Parabola:

Нека да се върнем към нашите уравнения и да обмислим няколко примера.

Пример 9.

Решават уравнение

Етап 1 Прескачаме.

Стъпка 2.

Ние намираме дискриминантност:

Така уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10.

Решават уравнение

Уравнението е представено в стандартен формуляр, така че Етап 1 Прескачаме.

Стъпка 2.

Ние намираме дискриминантност:

Така уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11.

Решават уравнение

Уравнението е представено в стандартен формуляр, така че Етап 1 Прескачаме.

Стъпка 2.

Ние намираме дискриминантност:

Тя няма да може да извлече корена от дискриминацията. Корените на уравнението не съществуват.

Сега знаем как да напишем такива отговори на правилно.

Отговор:Няма корени

2. Разтвор на квадратни уравнения, използвайки теоремата на Vieta

Ако си спомняте, това е такъв вид уравнения, които се наричат \u200b\u200bпредставени (когато коефициентът А е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване на използването на теоремата на Vieta:

Сумата на корените посочен Квадратното уравнение е равно на и продуктът на корените е равен.

Просто трябва да вземете такава няколко числа, чийто продукт е равен на свободен член на уравнението, а сумата е вторият коефициент, взет с противоположния знак.

Пример 12.

Решават уравнение

Това уравнение е подходящо за решаване, използвайки теоремата на Vieta, защото .

Количеството на корените на уравнението е равно, т.е. Получаваме първото уравнение:

И работата е:

Ще решим и системата:

• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13.

Решават уравнение

Отговор:

Пример 14.

Решават уравнение

Уравнението е дадено и следователно:

Отговор:

Квадратични уравнения. Средно ниво

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнението на видовете, където неизвестното е някои числа, и.

Номерът се нарича старейшина или първи коефициент квадратно уравнение - втория коефициент, но - безплатен член.

Защото ако уравнението веднага стане линейно, защото изчезва.

В същото време и може да бъде нула. В този стол уравнението се нарича непълна.

Ако всички компоненти са налице, това е уравнението - пълен.

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения

Ще започнем с това, ще анализираме методите за решения на непълни квадратни уравнения - те са по-лесни.

Можете да изберете вида на тези уравнения:

I. В това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. В това уравнение коефициентът е равен.

III. В това уравнение свободният елемент е равен.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Номерът, издигнат в квадрата, не може да бъде отрицателен, защото с умножаване на два отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Следователно:

ако уравнението няма решения;

ако сме научили два корена

Тези формули не трябва да запомнят. Основното нещо, което трябва да помните, че може да не е по-малко.

Примери за решения на квадратни уравнения

Пример 15.

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Пример 16.

Квадратът на броя не може да бъде отрицателен, което означава уравнението

няма корени.

За да запишете накратко, че задачата няма решения, използвайте празна икона.

Отговор:

Пример 17.

Така че това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Ще обобщя фабриката за скоби:

Продуктът е нула, ако поне един от мултипликателите е нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

Така че, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решават уравнение.

Решение:

Разстелете лявата част на фабричното уравнение и намерете корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения

1. Дискриминантност

Разрешаване на квадратни уравнения по този начин лесно, най-важното е да запомните последователността на действията и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминантна! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминацията в коренната формула?

Но дискриминацията може да бъде отрицателна.

Какво да правя?

Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминацията ни показва за броя на корените на уравнението.

• Ако уравнението има корен:
• Ако уравнението има същия корен и в действителност един корен:

  Такива корени се наричат \u200b\u200bдвойно.

• Ако коренът на дискриминацията не се отстранява. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо е възможно различен брой корени?

Нека се обърнем към геометричното значение на квадрата уравнение. Функционалната графика е Parabola:

В конкретен случай, което е квадратно уравнение.

И това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с оста на абсцисата (ос).

Parabola може да не прекоси ос или да го прекоси в един (когато върхът на параболата се намира на оста) или две точки.

Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на Парабола. Ако клоновете на Parabola са насочени нагоре и ако е надолу.

4 Примери за решения на квадратни уравнения

Пример 18.

Отговор:

Пример 19.

Отговор:.

Пример 20.

Отговор:

Пример 21.

Така че няма решения.

Отговор:.

2. Теорема във Виета

Използването на теоремата на Vieta е много лесно.

Просто се нуждаем само вдигни Такива числа, чийто продукт е равен на свободен член на уравнението, и сумата е вторият коефициент, взет с противоположния знак.

Важно е да се помни, че теоремата на Vieta може да се използва само в намалени квадратни уравнения ().

Помислете за няколко примера:

Пример 22.

Решават уравнение.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решаване, използвайки теоремата на Vieta, защото . Останалите коефициенти:; .

Количеството на корените на уравнението е:

И работата е:

Ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен и проверим дали сумата им е равна:

• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква.

и са решението на системата:

По този начин корените на нашето уравнение.

Отговор:; .

Пример 23.

Решение:

Ще изберем такива двойки числа, които са дадени в работата, и след това проверяват дали тяхната сума е равна:

и: в сумата, която дават.

и: в сумата, която дават. За да смените само за да промените признаците на предполагаемите корени: и, защото работата.

Отговор:

Пример 24.

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен, което означава продукта на корените - отрицателно число. Това е възможно само ако един от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно количеството на корените е равни разликите на техните модули.

Ние ще изберем такива чифтове, които са дадени в работата, а разликата е равна на:

и: тяхната разлика е еднаква - не е подходяща;

и: - не е подходящо;

и: - не е подходящо;

и: - подходящ. Остава само да си спомня, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да бъде еднаква, тогава отрицателен трябва да бъде по-малък корен модул :. Проверка:

Отговор:

Пример 25.

Решават уравнение.

Решение:

Уравнението е дадено и следователно:

Свободният елемент е отрицателен и следователно продуктът на корените е отрицателен. И това е възможно само когато един корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Ние ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен, а след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно е, че само корените са подходящи за първото условие и:

Отговор:

Пример 26.

Решават уравнение.

Решение:

Уравнението е дадено и следователно:

Количеството на корените е отрицателно, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като работата им е положителна, това означава и двете корени с минус знак.

Ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е:

Очевидно корените са числа и.

Отговор:

Съгласен съм, е много удобно - да измисляте корени орално, вместо да обмисляме този гаден дискриминант.

Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често!

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори констатацията на корените.

За да ви помогне да го използвате, трябва да въведете действия в автоматизма. И за това, клевети повече пети от примери.

Но не и мащабиране: дискриминацията не може да се използва! Само теоремата на Виета!

5 примера за теоремата на Виета за независима работа

Пример 27.

Задача 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

На теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме избора на работата:

Не се вписва, защото сумата;

: Сума - това, от което се нуждаете.

Отговор:; .

Пример 28.

Задача 2.

И отново, нашата любима теорема на Виета: в сумата трябва да се окаже, а работата е еднаква.

Но тъй като не трябва да бъде, но променете признаците на корените: и (в сумата).

Отговор:; .

Пример 29.

Задача 3.

Хм ... и къде е какво?

Необходимо е да се прехвърлят всички термини в една част:

Размерът на корените е равен, работата.

Така че, спрете! Уравнението не е дадено.

Но теоремата Vieta е приложима само в горните уравнения.

Така че първо трябва да донесете уравнението.

Ако не работите, хвърлете тази идея и вземете решение по различен начин (например чрез дискриминантно).

Позволете ми да ви напомня, че донесете квадратното уравнение - това означава да направите старши коефициент на:

Тогава количеството на корените е равни и работата.

Тук е по-лесно да се приберете просто: в края на краищата, прост номер (съжалявам за тавтологията).

Отговор:; .

Пример 30.

Задача 4.

Свободният член е отрицателен.

Какво е специално в това?

И факта, че корените ще бъдат различни знаци.

И сега по време на подбора, ние не проверяваме количеството на корените, но разликата между техните модули: тази разлика е еднаква и работата.

Така корените са равни и, но един от тях с минус.

Теоремата на Виета ни казва, че количеството на корените са равни на втория коефициент с противоположния знак, т.е.

Така минус ще бъде в по-малък корен: и оттогава.

Отговор:; .

Пример 31.

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо?

Право, донесете уравнението:

Отново: ние избираме множителите на броя и разликата им трябва да бъде равна:

Корените са равни и, но един от тях с минус. Какво? Тяхната сума трябва да бъде еднаква, това означава, че минусът ще бъде по-голям корен.

Отговор:; .

Обобщение

1. Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата Vieta, можете да намерите корените по избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или няма подходяща двойка множители на свободен елемент, което означава, че няма цели корени и е необходимо да се реши друг метод (например чрез дискриминантно).

3. Метод за разпределение на пълен квадрат

Ако всички термини, съдържащи неизвестно, да представят под формата на компонентите на съкратеното умножение на сумата от сумата или разликата, след това след подмяна на променливите, може да бъде представена уравнение под формата на непълно квадратно уравнение от тип може да бъде представен .

Например:

Пример 32.

Решете уравнение :.

Решение:

Отговор:

Пример 33.

Решете уравнение :.

Решение:

Отговор:

В общ Трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо не напомня?

Това е дискриминацията! Това е, формулата на дискриминацията и има.

Квадратични уравнения. Накратко за най-важното нещо

Квадратно уравнение- Това е уравнението на вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, е свободен член.

Пълно квадратно уравнение - уравнение, при което коефициентите не са равни на нула.

Намаленото квадратно уравнение - уравнение, в което коефициентът, т.е.

Непълна квадратна уравнение - уравнение, при което коефициентът и свободният елемент са нула: \\ t

• ако коефициентът уравнението е:
• ако е свободен елемент, уравнението има формата:,
• ако уравнението има формата :.

1. Алгоритъм решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълен квадрат уравнение на вида, където:

1) изразяват неизвестното:

2) Проверка на знака на изразяване:

• ако уравнението няма решения,
• ако уравнението има два корена.

1.2. Непълен квадрат уравнение на вида, където:

1) Ще обобщя фабриката за скоби:

2) Продуктът е нула, ако поне един от мултипликателите е нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълна квадратна уравнение на вида, където:

Това уравнение винаги има само един корен :.

2. алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения на вида, където

2.1. Решение с помощта на дискриминантна

1) даваме уравнението на стандартния формуляр:,

2) Изчислете дискриминацията по формулата: която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако уравнението има корен, който е във формулата:
• ако уравнението има корен, който е по формулата:
• ако уравнението няма корени.

2.2. Решение, използвайки теоремата на Vieta

Сумата от корените на намаленото квадратно уравнение (уравнение на формата, където) е еднаква и продуктът на корените е равен, т.е. , но.

2.3. Решаване на пълен квадратен метод за разпределение