Теоремата за промяната в количеството движение на точка

Тъй като масата на точка е постоянна и нейното ускорение, уравнението, изразяващо основния закон на динамиката, може да бъде представено във вид

Уравнението едновременно изразява теоремата за промяната в инерцията на точка в диференциална форма: времеви дериват от инерцията на точката е равна на геометричната сума на силите, действащи върху точката.

Нека интегрираме това уравнение. Нека точката на масата м, движещи се под действието на сила (фиг. 15), има в момента T= 0 скорост и в момента T 1 - скорост.

Фиг. 15

След това умножаваме двете страни на равенството по и вземаме от тях определени интеграли... В този случай вдясно, където интегрирането е във времето, границите на интегралите са 0 и T 1, а вляво, където е интегрирана скоростта, границите на интеграла ще бъдат съответните стойности на скоростта и ... Тъй като интегралът на е равно на , тогава в резултат получаваме:

.

Интегралите вдясно представляват импулсите на действащите сили. Следователно най -накрая ще имаме:

.

Уравнението изразява теоремата за промяната в инерцията на точка в нейния краен вид: промяната в инерцията на точка за определен период от време е равна на геометричната сума на импулсите на всички сили, действащи върху точката през същия период от време (ориз. 15).

При решаване на задачи вместо векторно уравнение често се използват уравнения в проекции.

В случай на праволинейно движение по оста Охтеоремата е изразена с първото от тези уравнения.

Пример 9.Намерете закона за движение материална точкамаси мсе движи по оста NSпод действието на сила, постоянна в абсолютна стойност F(Фиг. 16) с начални условия :, с .

Фиг. 16

Решение.Нека композираме диференциално уравнениедвижение на точка в проекция върху ос NS:. Интегрирайки това уравнение, намираме: ... Константата се определя от първоначалното условие за скоростта и е равна на. Най -накрая

.

Освен това, като се има предвид, че v = dx /dt, стигаме до диференциалното уравнение: , интегрирайки което получаваме

Константата се определя от първоначалното условие за координатата на точката. Равен е. Следователно законът за движение на точка има формата

Пример 10... Тегло натоварване R(Фиг. 17) започва да се движи от състояние на покой по гладка хоризонтална равнина под действието на силата F = kt... Намерете закона за движение на товара.

Фиг. 17

Решение.Нека изберем произхода на координатната система О v изходна позициянатоварване и насочване на оста NSпо посока на движение (фиг. 17). Тогава началните условия са следните: х(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0. Силите действат върху товара F,Pи реакционната сила на равнината н... Проекциите на тези сили върху оста NSматерия Fх = F = кт, Rх = 0, N x= 0, така че съответното уравнение на движение може да бъде записано, както следва :. Разделяйки променливите в това диференциално уравнение и след това интегрирайки, получаваме: v = gкт 2 /2P + ° С 1. Замяна на първоначалните данни ( v(0) = 0), намираме, че ° С 1 = 0 и получаваме закона за промяна на скоростта .

Последният израз от своя страна е диференциално уравнение, интегриращо което намираме закона за движение на материална точка: ... Постоянното влизане тук се определя от второто начално условие NS(0) = 0. Лесно е да се види това. Най -накрая

Пример 11.На товар в покой върху хоризонтална гладка равнина (виж фиг. 17) на разстояние аот началото, започва да действа в положителна посока на оста хсила F = k 2 (P/g)х, където R -тегло на товара. Намерете закона за движение на товара.

Решение.Уравнението за движение на разглеждания товар (материална точка) в проекция върху оста NS

Началните условия на уравнение (1) са следните: х(t = 0) = а, v ( t = 0) = 0.

Производната от времето на скоростта, влизаща в уравнение (1), се представя като

.

Замествайки този израз в уравнение (1) и отменяйки с ( P/g), получаваме

Разделяйки променливите в последното уравнение, откриваме, че. Интегрирайки последното, имаме :. Използвайки началните условия , получаваме и следователно,

, . (2)

Тъй като силата действа върху товара в положителна посока на оста NS, тогава е ясно, че трябва да се движи в същата посока. Следователно знакът плюс трябва да бъде избран в решение (2). Заменяйки по -нататък във втория израз (2) с, получаваме диференциално уравнение за определяне на закона за движение на товара. Откъдето, разделяйки променливите, имаме

.

Интегрирайки последното, откриваме: ... След като намерим константата, най -накрая получаваме

Пример 12.Топка Ммаси м(фиг. 18) пада без начална скоростчрез гравитация При падане топката изпитва съпротива, където – постоянен коефициент на съпротивление. Намерете закона за движение на топката.

Фиг. 18

Решение.Въвеждаме координатна система с начало в точката, в която се намира топката t = 0 чрез насочване на оста ввертикално надолу (фиг. 18). Диференциално уравнение на движение на топката в проекцията на оста втогава има формата

Първоначалните условия за топката са записани, както следва: y(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0.

Разделяне на променливите в уравнение (1)

и интегрирайки, намираме :, къде. Или след намиране на константа

или . (2)

Оттук следва, че ограничаващата скорост, т.е. скоростта при, е равна на.

За да намерим закона за движение, заместваме v в уравнение (2) с dy /dt... След това, интегрирайки полученото уравнение, като се вземе предвид първоначалното условие, най -накрая намираме

.

Пример 13.Изследване на подводна топка с форма и маса м= = 1,5 × 10 5 Килограмазапочва да се гмурка с изключени двигатели, имащи хоризонтална скорост v NS 0 = 30 Госпожицаи отрицателна плаваемост R 1 = 0.01mg, където Е векторната сума на силата на плаваемостта Ви гравитацията mgдействащ на лодката (фиг. 20). Сила на водоустойчивост , кг / сек... Определете уравненията на движение на лодката и нейната траектория.

Тъй като масата на точка е постоянна и нейното ускорение, уравнението, изразяващо основния закон на динамиката, може да бъде представено във вид

Уравнението едновременно изразява теоремата за промяната в инерцията на точка в диференциална форма: времеви дериват от инерцията на точката е равна на геометричната сума на силите, действащи върху точката.

Нека интегрираме това уравнение. Нека точката на масата м, движещи се под действието на сила (фиг. 15), има в момента T= 0 скорост и в момента T 1 - скорост.

Фиг. 15

След това умножаваме двете страни на равенството по и вземаме определени интеграли от тях. В този случай вдясно, където интегрирането е във времето, границите на интегралите са 0 и T 1, а вляво, където е интегрирана скоростта, границите на интеграла ще бъдат съответните стойности на скоростта и ... Тъй като интегралът на е равен на , тогава в резултат получаваме:

.

Интегралите вдясно представляват импулсите на действащите сили. Следователно най -накрая ще имаме:

Уравнението изразява теоремата за промяната в инерцията на точка в нейния краен вид: промяната в инерцията на точка за определен период от време е равна на геометричната сума на импулсите на всички сили, действащи върху точката през същия период от време (ориз. 15).

При решаване на задачи вместо векторно уравнение често се използват уравнения в проекции.

В случай на праволинейно движение по оста Охтеоремата е изразена с първото от тези уравнения.

Въпроси за самодиагностика

Формулирайте основните закони на механиката.

Кое уравнение се нарича основно уравнение на динамиката?

Каква е мярката за инертността на твърдите тела по време на поступателно движение?

Зависи ли телесното тегло от местоположението на тялото на Земята?

Каква референтна система се нарича инерционна?

Към кое тяло е приложена инерционната сила на материална точка и какви са нейният модул и посока?

Обяснете разликата между понятията „инерция“ и „сила на инерцията“?

Към кои тела се прилага инерционната сила, как се насочва и по каква формула може да се изчисли?

Какъв е принципът на кинетостатиката?

Какви са модулите и посоките на тангенциалните и нормалните сили на инерция на материална точка?

Какво се нарича телесно тегло? Какво представлява единицата за маса SI?

Каква е мярката за инерцията на тялото?

Запишете основния закон на динамиката във векторна и диференциална форма?

Постоянна сила действа върху материална точка. Как се движи точката?

Какво ускорение ще получи точката, ако на нея действа сила, равна на двойно по -голяма от силата на гравитацията?

След сблъсъка на две материални точки с маси м 1 = 6 кг и м 2 = 24 кг, първата точка получи ускорение от 1,6 м / сек. Какво е ускорението, получено от втората точка?

При кое движение на материалната точка неговата тангенциална сила на инерция е равна на нула и при какво е нормално?

Какви формули се използват за изчисляване на модулите на въртящите и центробежните инерционни сили на точка, принадлежаща на твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос?

Как е формулиран основният закон за динамиката на точките?

Дайте формулирането на закона за независимост на действието на силите.

Запишете диференциалните уравнения на движение на материална точка във векторна и координатна форма.

Формулирайте същността на първата и втората основни задачи на динамиката на точките.

Дайте условията, от които се определят интеграционните константи на диференциалните уравнения на движение на материална точка.

Какви уравнения на динамиката се наричат ​​естествени уравнения на движение на материална точка?

Кои са двата основни проблема за динамиката на една точка, които се решават с помощта на диференциалните движения на материална точка?

Диференциални уравнения на движение на свободна материална точка.

Как се определят константите при интегриране на диференциалните уравнения на движение на материална точка?

Определяне на стойностите на произволни константи, които се появяват при интегриране на диференциалните уравнения на движение на материална точка.

Какви са законите свободно паданетяло?

Какви са законите, управляващи хоризонталните и вертикалните движения на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта в празнота? Каква е траекторията на неговото движение и под какъв ъгъл тялото има най -голям обхват на полет?

Как да се изчисли импулсът на променлива сила за ограничен период от време?

Какво се нарича количеството движение на материална точка?

Как да изразим елементарната работа на силата чрез елементарния път на точката на приложение на силата и как - чрез прирастването на дъговата координата на тази точка?

На какви премествания е работата на тежестта: а) положителна, б) отрицателна, в) равна на нула?

Как да се изчисли силата на сила, приложена към материална точка, въртяща се около фиксирана ос с ъглова скорост?

Формулирайте теорема за промяната в количеството движение на материална точка.

При какви условия инерцията на материалната точка не се променя? При какви условия проекцията му върху определена ос не се променя?

Дайте формулировката на теоремата за промяната в кинетичната енергия на материална точка в диференциална и крайна форма.

Какво се нарича ъгловият импулс на материална точка спрямо: а) център, б) ос?

Как е формулирана теоремата за промяната на ъгловия импулс на точка спрямо центъра и спрямо оста?

При какви условия ъгловият импулс на точка около оста остава непроменен?

Как се определят моментите на ъгловия импулс на материална точка спрямо центъра и спрямо оста? Каква е връзката между тях?

При кое местоположение на вектора на инерцията на материална точка неговият момент спрямо оста е равен на нула?

Защо траекторията на материална точка, движеща се под действието на централна сила, лежи в същата равнина?

Какво движение на точка се нарича праволинейно? Запишете диференциалното уравнение на праволинейното движение на материална точка.

Запишете диференциалните уравнения на равнинното движение на материална точка.

Какво движение на материална точка е описано от диференциалните уравнения на Лагранж от първи вид?

В какви случаи материалната точка се нарича несвободна и какви са диференциалните уравнения на движение на тази точка?

Дайте определения за стационарни и нестационарни, холономни и нехолономни връзки.

Какви връзки се наричат ​​двупосочни? Едностранно?

Каква е същността на принципа на освобождаване от облигации?

Каква е формата на диференциалните уравнения на движение на несвободна материална точка във формата на Лагранж? Какво се нарича множител на Лагранж?

Дайте формулировката на динамичната теорема на Кориолис.

Каква е същността на принципа на относителността на Галилео-Нютон?

Назовете движенията, при които силата на инерция на Кориолис е нула.

Какъв е модулът и каква посока имат транспортните и инерционните сили на Кориолис?

Каква е разликата между диференциалните уравнения на относителните и абсолютните движения на материална точка?

Как се определят преносимите и Кориолисовите сили на инерцията в различни случаи на прехвърлимо движение?

Каква е същността на принципа на относителност на класическата механика?

Какви референтни рамки се наричат ​​инерционни?

Какво е условието за относителната почивка на материалната точка?

В какви точки земната повърхностгравитацията има най -голямо и най -малката стойност?

Какво обяснява отклонението на падащите тела на изток?

В каква посока тялото, хвърлено вертикално нагоре, се отклонява?

С ускорение се спуска кофа в мината а= 4 m / s 2. Гравитация на кофата G= 2 kN. Определете якостта на опън на въжето, поддържащо кофата?

Две материални точки се движат по права линия с постоянни скорости 10 и 100 m / s. Може ли да се твърди, че към тези точки се прилагат еквивалентни системи от сили?

1) невъзможно е;

Същите сили се прилагат към две материални точки с тегло 5 и 15 кг. Сравнете числените стойности на ускорението на тези точки?

1) ускоренията са еднакви;

2) ускорението на точка с маса 15 kg е три пъти по -малко от ускорението на точка с маса 5 kg.

Могат ли динамичните проблеми да бъдат решени с помощта на уравнения на равновесието?

Количеството на движение на материална точкасе нарича векторно количество mV,равен на произведението на масата на точка от вектора на нейната скорост. Вектор mVприкрепен към движеща се точка.

Обемът на движение на систематасе нарича векторно количество Вравна на геометричната сума (основен вектор) на количествата на движение на всички точки на системата:

Вектор Ве свободен вектор. В единици SI модулът на импулса се измерва в kg m / s или N s.

По правило скоростите на всички точки на системата са различни (вижте например разпределението на скоростите на точките на търкалящо се колело, показано на фиг. 6.21) и следователно директно сумиране на векторите вдясно- ръката на равенството (17.2) е трудна. Нека намерим формула, с която стойността Вмного по -лесно е да се изчисли. От равенството (16.4) следва, че

Като вземем производната от времето от двете страни, получаваме Следователно, като вземем предвид равенството (17.2), откриваме, че

тоест инерцията на системата е равна на произведението на масата на цялата система от скоростта на нейния център на масата.

Обърнете внимание, че векторът Q,подобно на основния вектор на силите в статиката, той е някакъв обобщен вектор, характерен за движението на цялото механична система... В общия случай на движение на системата, нейната инерция Вможе да се разглежда като характеристика на транслационната част от движението на системата заедно с центъра на масата. Ако по време на движението на системата (тялото) центърът на масата е неподвижен, тогава инерцията на системата ще бъде равна на нула. Такова например е количеството движение на тяло, въртящо се около неподвижна ос, преминаващо през центъра му на маса.

Пример.Определете степента на движение на механичната система (фиг. 17.1, а),състоящ се от товар Амаса t A - 2 кг, хомогенен блок Vс тегло 1 кг и колела дмаса m D - 4килограма. Товарни Асе движи със скорост V A - 2 m / s, колело дролки без подхлъзване, конецът е неразтеглив и безтегловност. Решение. Обемът на движение на системата от тела

Тяло Асе движи прогресивно и Q A = m A V A(числено Q A= 4 kg m / s, векторна посока Q Aсъвпада с посоката V A).Блокиране Vангажира въртеливо движениеоколо фиксирана ос, преминаваща през центъра на масата; следователно, Q B - 0. Колело дизпълнява равнинен паралел

трафик; неговият мигновен център на скоростите е в точката ДА СЕ, следователно, скоростта на центъра на масата (точки Д)е равно на V E = V A / 2 = 1 м / сек. Размер на движение на колелата Q D - m D V E - 4 kg m / s; вектор Q Dнасочени хоризонтално наляво.

Чрез рисуване на вектори Q Aи Q Dна фиг. 17.1, б, намираме количеството движение Всистеми съгласно формула (а). Като се вземат предвид посоките и числените стойности на величините, получаваме Q ~ ^ Q A + Q E= 4l / 2 ~ kg m / s, векторна посока Впоказано на фиг. 17.1, б.

Като се има предвид това a -dV / dt,уравнение (13.4) на основния закон на динамиката може да бъде представено като

Уравнение (17.4) изразява теоремата за промяната на инерцията на точка в диференциална форма: във всеки момент от времето производната от времето на инерцията на точка е равна на силата, действаща върху точката. (По същество това е друга формулировка на основния закон на динамиката, близка до тази, дадена от Нютон.) Ако няколко сили действат върху точка, тогава от дясната страна на равенството (17.4) ще има резултат от приложените сили до материална точка.

Ако и двете страни на равенството се умножат по dt,получаваме

Векторното количество от дясната страна на това равенство характеризира действието, упражнявано върху тялото от силата за елементарен период от време dtтази стойност се обозначава dSи се обади елементарен импулс на сила,т.е.

Пулс Ссила Fпрез краен интервал от време /, - / 0 се определя като границата на интегралната сума на съответните елементарни импулси, т.е.

В конкретен случай, ако силата Fпостоянна по модул и посока, тогава S = F (t| - / 0) и S- F (t l -/ 0). В общия случай модулът на импулс на сила може да се изчисли от неговите проекции върху координатните оси:

Сега, интегрирайки двете страни на равенството (17.5) за T= const, получаваме

Уравнение (17.9) изразява теоремата за промяната на инерцията на точка в крайната (интегрална) форма: промяната в инерцията на точка за определен период от време е равна на импулса на силата, действаща върху точката (или импулса на резултанта от всички сили, приложени към нея) за същия период от време.

При решаване на задачи уравненията на тази теорема се използват в проекции върху координатните оси

Сега помислете за механична система, състояща се от NSматериални точки. Тогава за всяка точка може да се приложи теоремата за промяната на импулса под формата (17.4), като се вземат предвид външните и вътрешните сили, приложени към точките:

Сумирайки тези равенства и като вземем предвид, че сумата от производни е равна на производната на сумата, получаваме

Тъй като по свойството на вътрешните сили HF k= 0 и по дефиниция на количеството движение ^ fn k V / c = В, тогава най -накрая намираме

Уравнение (17.11) изразява теоремата за промяната в инерцията на системата в диференциална форма: във всеки момент от времето производната от момента на инерцията на системата е равна на геометричната сума на всички външни сили, действащи върху системата.

Проектирайки равенство (17.11) върху координатните оси, получаваме

Умножаване на двете страни на (17.11) по dtи интегрирайки, получаваме

където 0, Q 0 -количеството движение на системата в съответните моменти от време и / 0.

Уравнение (17.13) изразява теоремата за промяната в инерцията на системата в интегрална форма: промяната в инерцията на системата за всеки момент е равна на сумата от импулсите на всички външни сили, действащи върху системата през същото време.

В проекциите върху координатните оси получаваме

От теоремата за промяната в инерцията на системата могат да се получат следните важни последици, които изразяват законът за запазване на инерцията на системата.

• 1. Ако геометричната ума на всички външни сили, действащи върху системата, е нула (LF k= 0), то от уравнение (17.11) следва, че в този случай В= const, т.е.векторът на инерцията на системата ще бъде постоянен по величина и посока.
• 2. Ако външните сили, действащи върху системата, са такива, че сумата от техните проекции върху която и да е ос е нула (например, I e kx = 0), то от уравнения (17.12) следва, че в този случай Q x =проекцията на инерцията на системата по тази ос остава непроменена.

Обърнете внимание, че вътрешните сили на системата не участват в уравнението на теоремата за промяната в инерцията на системата. Тези сили, макар и да влияят върху количеството движение на отделните точки на системата, не могат да променят размера на движението на системата като цяло. Като се има предвид това обстоятелство, при решаване на проблеми е препоръчително да се избере разглежданата система, така че неизвестни сили (всички или част от тях) да бъдат вътрешни.

Законът за запазване на инерцията е удобен за прилагане в случаите, когато скоростта на друга част от системата трябва да се определя от промяната на скоростта на една част от системата.

Задача 17.1. ДА СЕтегло на количката t x- 12 кг се движат по гладка хоризонтална равнина в точка Абезтеглов прът е прикрепен с помощта на цилиндрична панта Н.е.дължина / = 0,6 м с товар дмаса t 2 - 6 кг в края (фиг. 17.2). В момента / 0 = 0, когато скоростта на количката и () - 0,5 m / s, пръчка Н.е.започва да се върти около оста А,перпендикулярно на равнината на чертежа, съгласно закона φ = (m / 6) (3 ^ 2 - 1) rad ( / -в секунди). Определете: u = f.

§ 17.3. Теорема за движението на центъра на масата

Теоремата за промяната на инерцията на механична система може да бъде изразена в друга форма, която се нарича теорема за движението на центъра на масата.

Замествайки в уравнение (17.11) равенството Q = MV C,вземете

Ако масата Мсистемата е постоянна, тогава получаваме

където и със -ускорение на центъра на масата на системата.

Уравнение (17.15) изразява теоремата за движението на центъра на масата на системата: продуктът на масата на системата от ускорението на нейния център на масата е равен на геометричната сума на всички външни сили, действащи върху системата.

Проектирайки равенство (17.15) върху координатните оси, получаваме

където x c, y c, z c -координати на центъра на масата на системата.

Тези уравнения са диференциални уравнения на движение на центъра на масата в проекции върху оста на декартовата координатна система.

Нека обсъдим получените резултати. Нека първо припомним, че центърът на масата на системата е геометрична точка, понякога разположена извън геометричните граници на тялото. Силите, действащи върху механичната система (външна и вътрешна), се прилагат към всички материални точки на системата. Уравненията (17.15) дават възможност да се определи движението на центъра на масата на системата, без да се определя движението на отделните й точки. Сравнявайки уравнения (17.15) от теоремата за движението на центъра на масата и уравнения (13.5) от втория закон на Нютон за материална точка, стигаме до извода: центърът на масата на механична система се движи като материална точка, чиято маса е равна на масата на цялата система и сякаш всички външни сили, действащи върху системата, са приложени към тази точка.По този начин решенията, които получаваме, разглеждайки това тяло като материална точка, определят закона за движение на центъра на масата на това тяло.

По -специално, ако тялото се движи транслационно, тогава кинематичните характеристики на всички точки на тялото и неговия център на масата са еднакви. Ето защо транслационно движещо се тяло винаги може да се разглежда като материална точка с маса, еднаква масана цялото тяло.

Както се вижда от (17.15), вътрешните сили, действащи върху точките на системата, не влияят върху движението на центъра на масата на системата. Вътрешните сили могат да повлияят на движението на центъра на масата в случаите, когато външните сили се променят под тяхно влияние. Примери за това ще бъдат дадени по -долу.

От теоремата за движението на центъра на масата могат да се получат следните важни последици, които изразяват закона за запазване на движението на центъра на масата на системата.

1. Ако геометричната сума на всички външни сили, действащи върху системата, е нула (LF k= 0), то от уравнение (17.15) следва, че

че едновременно и с = 0 или V c = const, т.е. центъра на масата на тази система

се движи с постоянна скорост в абсолютна стойност и посока (в противен случай, равномерно и праволинейно). В конкретен случай, ако първоначално центърът на масата е бил в покой ( V c= 0), тогава той ще остане в покой; където

писта той знае, че позицията му в космоса няма да се промени, т.е. r c = const.

2. Ако външните сили, действащи върху системата, са такива, че сумата от техните проекции върху някаква ос (например оста NS)е нула (? F e kx= 0), то от уравнение (17.16) следва, че в този случай x с= 0 или V Cx = x c = const, тоест проекцията на скоростта на центъра на масата на системата върху тази ос е постоянна стойност. В конкретен случай, ако в началния момент Векс= 0, тогава във всеки следващ момент от време тази стойност ще бъде запазена и от това следва, че координатата x сцентърът на масата на системата няма да се промени, т.е. x c - const.

Нека разгледаме примери, илюстриращи закона за движението на центъра на масата.

Примери. 1. Както бе отбелязано, движението на центъра на масата зависи само от външни сили; не е възможно да се промени позицията на центъра на масата от вътрешни сили. Но вътрешните сили на системата могат да предизвикат външни влияния. И така, движението на човек по хоризонтална повърхност се случва под действието на сили на триене между подметките на обувките му и пътната настилка. Силата на мускулите му (вътрешни сили) изтласква човек с крака от повърхността на пътя, поради което в точките на контакт с пътя възниква сила на триене (външна за човек), насочена по посока на него движение.

• 2. Колата се движи по същия начин. Вътрешните сили на натиск в двигателя му карат колелата да се въртят, но тъй като последните имат сцепление с пътя, получените сили на триене „изтласкват“ колата напред (в резултат на това колелата не се въртят, а се движат равномерно ). Ако пътят е абсолютно гладък, тогава центърът на масата на колата ще бъде неподвижен (при нулева начална скорост) и колелата, при липса на триене, ще се подхлъзнат, тоест ще извършат въртеливо движение.
• 3. Движението с помощта на витло, витло, гребла става поради отхвърлянето на определена маса въздух (или вода). Ако разглеждаме изхвърлената маса и движещото се тяло като една система, тогава силите на взаимодействие между тях, като вътрешни, не могат да променят общото количество движение на тази система. Всяка от частите на тази система обаче ще се движи, например, лодката напред, а водата, която се хвърля от греблата, назад.
• 4. В безвъздушно пространство, когато ракетата се движи, "изхвърлената маса" трябва да се "вземе със себе си": реактивният двигател придава движение на ракетата, като изхвърля обратно продуктите от горенето на горивото, с което ракетата се захранва.
• 5. При спускане с парашут е възможно да се контролира движението на центъра на масата на системата човек-парашут. Ако с мускулни усилия човек издърпа парашутните линии, така че формата на сенника му или ъгълът на атака на въздушния поток да се промени, това ще доведе до промяна във външното влияние на въздушния поток и по този начин ще повлияе на движението на цялата система.

Задача 17.2. VЗа задача 17.1 (вижте фиг. 17.2) определете: 1) закон за движение на колички NS (= /) ( /), ако е известно, че в началния момент от времето t 0 =Системата е в покой и координатата x 10 = 0; 2) ^ законът на промяната с времето на общата стойност на нормалната реакция N (N = N "+ N")хоризонтална равнина, т.е. N = f 2 (t).

Решение. Тук, както в задача 17.1, помислете за система, състояща се от количка и товар Д,в произволно положение под действието на външни сили, приложени към него (виж фиг. 17.2). Координатни оси Ооочертаем така, че оста х е хоризонтална, а оста впремина през точката А 0,т.е. местоположението на точката Ав момента t -t 0 - 0.

1. Определяне на закона за движение на количката. За да определим x, = /, (0, използваме теоремата за движението на центъра на масата на системата. Нека съставим диференциалното уравнение на нейното движение в проекция върху оста x:

Тъй като всички външни сили са вертикални, тогава T, F e kx = 0 и следователно

Интегрирайки това уравнение, откриваме, че Mx c = B,тоест проекцията на скоростта на центъра на масата на системата върху оста x е постоянна стойност. Тъй като в началния момент от времето

Чрез интегриране на уравнението Mx c= 0, получаваме

т.е. координира x сцентърът на масата на системата е постоянен.

Нека напишем израза Mx cза произволно положение на системата (виж фиг. 17.2), като се има предвид, че x A - x { , x D - x 2и x 2 - x ( - Азгрех f. В съответствие с формула (16.5), която определя координатата на центъра на масата на системата, в този случай Mx c - t (x ( + t 2 x 2 ".

за произволен момент във времето

за момента от време / () = 0, NS (= 0 и

В съответствие с равенството (b), координатата x сцентърът на масата на цялата система остава непроменен, т.е. xD ^,) = x c (t).Следователно, приравнявайки изрази (c) и (d), получаваме зависимостта на x координатата от времето.

Отговор: NS - 0,2 m, където T -за секунди.

2. Определение на реакцията Н.За определяне N = f 2 (t) съставяме диференциалното уравнение на движение на центъра на масата на системата в проекция върху вертикалната ос в(виж фиг. 17.2):

Следователно, обозначавайки N = N + N ",вземете

Съгласно формулата, определяща ординатата сцентърът на масата на системата, Mu s = t (y x + m 2 y 2,където y, = при С1,в 2= y D = Имама ~ 1 cos Ф "получаваме

Разграничаване на това равенство два пъти във времето (като се има предвид това при С1и в Астойностите са постоянни и следователно техните производни са равни на нула), откриваме

Замествайки този израз в уравнение (д), определяме желаната зависимост нот T.

Отговор: Н- 176,4 + 1,13,

където φ = (π / 6) (3 / -1), T - за секунди, Н- в нютони.

Задача 17.3.Маса на електродвигателя t x с болтове към хоризонталната повърхност на основата (фиг. 17.3). На вала на двигателя под прав ъгъл спрямо оста на въртене, безтегловна щанга с дължина / е фиксирана в единия край, а точката на тежестта е монтирана в другия край на пръта А маса t 2. Валът се върти равномерно с ъглова скорост c. Намерете хоризонталното налягане на двигателя върху болтовете. Решение. Помислете за механична система, състояща се от двигател и точково тегло А, в произволна позиция. Нека изобразим външни сили, действащи върху системата: гравитационни сили P x, P 2, реакция на основата под формата на вертикална сила н и хоризонтална сила Р. Нека нарисуваме оста х хоризонтално.

За да се определи хоризонталното налягане на двигателя върху болтовете (и то ще бъде числено равно на реакцията R и насочени срещу вектора R ), съставяме уравнението на теоремата за промяната в инерцията на системата при проекция върху хоризонталната ос x:

За разглежданата система в нейното произволно положение, като се има предвид, че инерцията на тялото на двигателя е нула, получаваме Q x = - t 2 U A com. Като се има предвид това V A = a s /, f = w / (въртенето на двигателя е равномерно), получаваме Q x - - m 2 co / cos co /. Диференциране Q x във времето и замествайки в равенство (а), откриваме R- m 2 co 2 / sin co /.

Обърнете внимание, че именно такива сили са убедителни (вж. § 14.3); когато те действат, възникват принудителни вибрации на конструкциите.

Упражнения за самостоятелна работа

• 1. Какво се нарича количеството на движение на точка и механична система?
• 2. Как се променя количеството на движение на точка, равномерно движеща се по окръжност?
• 3. Какво характеризира импулса на сила?
• 4. Влияят ли вътрешните сили на системата върху нейната инерция? На движението на центъра на масата?
• 5. Как двойките сили, приложени към нея, влияят върху движението на центъра на масата на системата?
• 6. При какви условия центърът на масата на системата е в покой? се движи равномерно и по права линия?

7. В неподвижна лодка, при липса на воден поток, възрастен човек седи на кърмата, а дете - на носа на лодката. В коя посока ще се движи лодката, ако си разменят местата?

В този случай модулът за преместване на лодката ще бъде голям: 1) ако детето се премести при възрастен на кърмата; 2) ако възрастен отиде при дете на носа на лодката? Какви ще бъдат преместванията на центъра на масата на системата "лодка и двама души" по време на тези движения?

Състояща се от нматериални точки. Нека да изберем някоя точка от тази система M jс маса m j... Както знаете, тази точка се въздейства от външни и вътрешни сили.

Прилагаме към точката M jрезултат от всички вътрешни сили F j iи резултата от всички външни сили F j e(Фигура 2.2). За избраната материална точка M j(като за свободна точка) записваме теоремата за промяната на инерцията в диференциална форма (2.3):

Нека запишем подобни уравнения за всички точки на механичната система (j = 1,2,3, ..., n).

Фигура 2.2

Нека добавим всичко термин по термин нуравнения:

∑d (m j × V j) / dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑ (m j × V j) / dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Тук Jm j × V j = Q- количеството на движение на механичната система;
∑F j e = R e- основният вектор на всички външни сили, действащи върху механична система;
JF j i = R i = 0- основният вектор на вътрешните сили на системата (по свойството на вътрешните сили е равен на нула).

И накрая, за механична система получаваме

dQ / dt = R e. (2.11)

Изразът (2.11) е теорема за промяна на инерцията на механична система в диференциална форма (във векторно изражение): производната от времето на вектора на инерцията на механична система е равна на основния вектор на всички външни сили, действащи върху системата.

Проектирайки векторното равенство (2.11) върху декартовите координатни оси, получаваме изрази за теоремата за промяната на инерцията на механична система в координатния (скаларен) израз:

dQ x / dt = R x e;

dQ y / dt = R y e;

dQ z / dt = R z e, (2.12)

тези. производната от времето на проекцията на инерцията на механична система по която и да е ос е равна на проекцията по тази ос на основния вектор на всички външни сили, действащи върху тази механична система.

Умножаване на двете страни на равенството (2.12) с dt, получаваме теоремата в друга диференциална форма:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

тези. диференциалът на импулса на механична система е равен на елементарния импулс на главния вектор (сумата от елементарни импулси) на всички външни сили, действащи върху системата.

Интегриране на равенството (2.13) в рамките на промените във времето от 0 до T, получаваме теорема за промяната на инерцията на механична система в крайната (интегрална) форма (във векторен израз):

Q - Q 0 = S e,

тези. промяната в инерцията на механична система за ограничен период от време е равна на общия импулс на основния вектор (сумата от общите импулси) на всички външни сили, действащи върху системата през същия период от време.

Проектирайки векторното равенство (2.14) върху декартовите координатни оси, получаваме изрази за теоремата в проекции (в скаларен израз):

тези. промяната в проекцията на инерцията на механична система на която и да е ос за ограничен период от време е равна на проекцията на същата ос на общия импулс на главния вектор (сумата от общите импулси) на всички външни сили действащи върху механичната система през същия период от време.

Разгледаната теорема (2.11) - (2.15) предполага следните следствия:

1. Ако R e = ∑F j e = 0, тогава Q = const- имаме закона за запазване на вектора на инерцията на механична система: ако основният вектор R eна всички външни сили, действащи върху механична система, е равна на нула, тогава векторът на инерцията на тази система остава постоянен по величина и посока и равен на неговия начална стойност Q 0, т.е. Q = Q 0.
2. Ако R x e = ∑X j e = 0 (R e ≠ 0), тогава Q x = const- имаме закона за запазване на проекцията върху оста на инерцията на механичната система: ако проекцията на главния вектор на всички сили, действащи върху механичната система на която и да е ос, е нула, тогава проекцията на същата ос на вектор на инерцията на тази система ще бъде постоянен и равен на проекцията върху тази ос началния вектор на импулса, т.е. Q x = Q 0x.

Диференциалната форма на теоремата за промяната на инерцията на материална система има важни и интересни приложения в механиката на непрекъсната среда. Теоремата на Ойлер може да бъде получена от (2.11).

За материална точка основният закон на динамиката може да бъде представен като

Умножавайки двете страни на това отношение вляво векторно по радиусния вектор (фиг. 3.9), получаваме

(3.32)

От дясната страна на тази формула имаме момента на сила спрямо точката О. Преобразуваме лявата страна, като приложим формулата за производната на векторното произведение

Но като кръстосано произведение на паралелни вектори. След това получаваме

(3.33)

Първата производна от ъгловия импулс на точка спрямо всеки център е равна на момента на силата спрямо същия център.

Пример за изчисляване на ъгловия импулс на системата. Изчислете ъгловия импулс спрямо точка O на системата, състояща се от цилиндричен вал с маса M = 20 kg и радиус R = 0,5 m и низходящ товар с маса m = 60 kg (Фигура 3.12). Валът се върти около оста Oz с ъглова скорост ω = 10 s -1.

Фигура 3.12

; ;

За дадените входни данни ъгловият импулс на системата

Теорема за промяната на ъгловия импулс на системата.Прилагаме получените външни и вътрешни сили към всяка точка на системата. За всяка точка от системата можем да приложим теоремата за промяната на ъгловия импулс, например във формата (3.33)

Сумирайки всички точки на системата и като вземем предвид, че сумата от производни е равна на производната на сумата, получаваме

Според дефиницията на кинетичния момент на системата и свойството на външни и вътрешни сили

следователно, полученото съотношение може да бъде представено като

Първата производна на ъгловия импулс на системата спрямо всяка точка е равна на основния момент на външни сили, действащи върху системата спрямо същата точка.

3.3.5. Работа на сила

1) Елементарната работа на силата е равна на скаларното произведение на силата от диференциала, радиуса на вектора на точката на прилагане на силата (фиг. 3.13)

Фигура 3.13

Израз (3.36) може да бъде записан и в следните еквивалентни форми

където е проекцията на силата върху посоката на скоростта на точката на приложение на силата.

2) Работата на сила върху крайното изместване

Интегрирайки елементарната работа на силата, получаваме следните изрази за работата на силата върху крайното изместване от точка А до точка В

3) Работа с постоянна сила

Ако силата е постоянна, то от (3.38) следва

Работата на постоянна сила не зависи от формата на траекторията, а зависи само от вектора на изместване на точката на приложение на силата.

4) Работа на сила на тежестта

За силата на тежестта (фиг. 3.14) и от (3.39) получаваме

Фигура 3.14

Ако движението се извършва от точка В до точка А, тогава

Общо взето

Знакът „+“ съответства на движението надолу на точката на прилагане на сила, знакът „ -“ - нагоре.

4) Работа на еластична сила

Нека оста на пружината да бъде насочена по оста x (Фигура 3.15), а краят на пружината се движи от точка 1 до точка 2, след това от (3.38) получаваме

Ако сковаността на пружината е с, така че след това

А (3.41)

Ако краят на пружината се премести от точка 0 до точка 1, тогава в този израз заместваме ,, тогава работата на еластичната сила ще приеме формата

(3.42)

къде е удължението на пружината.

Фигура 3.15

5) Работата на силата, приложена към въртящото се тяло. Работа на момента.

На фиг. 3.16 показва въртящо се тяло, към което се прилага произволна сила. При въртене точката на прилагане на тази сила се движи в кръг.