Движение на тяло в окръжност с постоянна модулна скоросте движение, при което тялото описва едни и същи дъги през равни интервали от време.

Определя се позицията на тялото върху обиколката радиус вектор\ (~ \ vec r \), начертан от центъра на окръжността. Модулът на радиус вектора е равен на радиуса на окръжността Р(Фиг. 1).

През времето Δ ттялото се движи от точката Аточно V, прави изместване \ (~ \ Delta \ vec r \) равно на хордата АБ, и изминава път, равен на дължината на дъгата л.

Радиус векторът се завърта на ъгъл Δ φ ... Ъгълът се изразява в радиани.

Скоростта \ (~ \ vec \ upsilon \) на движение на тялото по траекторията (кръг) е насочена тангенциално към траекторията. Нарича се линейна скорост... Модулът на линейната скорост е равен на съотношението на дължината на дъгата на окръжността лкъм интервала от време Δ тза които се минава тази дъга:

\ (~ \ upsilon = \ frac (l) (\ Delta t). \)

Скаларна физическо количество, числово равно на съотношението на ъгъла на завъртане на радиус вектора към интервала от време, през който се е случило това завъртане, се нарича ъглова скорост:

\ (~ \ omega = \ frac (\ Delta \ varphi) (\ Delta t). \)

В SI единицата за ъглова скорост е радиани в секунда (rad / s).

При равномерно движение около кръг ъгловата скорост и модулът на линейната скорост са постоянни стойности: ω = const; υ = const.

Позицията на тялото може да се определи, ако модулът на радиус вектор \ (~ \ vec r \) и ъгълът φ която съставя с оста вол(ъглова координата). Ако в началния момент на времето т 0 = 0 ъгловата координата е φ 0 и в момента травно е φ , след това ъгълът на въртене Δ φ радиус-вектор във времето \ (~ \ Delta t = t - t_0 = t \) е равен на \ (~ \ Delta \ varphi = \ varphi - \ varphi_0 \). Тогава от последната формула може да се получи кинематично уравнение на движението материална точкапо периферията:

\ (~ \ varphi = \ varphi_0 + \ omega t. \)

Позволява ви да определите позицията на тялото по всяко време т... Като се има предвид, че \ (~ \ Delta \ varphi = \ frac (l) (R) \), получаваме \ [~ \ omega = \ frac (l) (R \ Delta t) = \ frac (\ upsilon) (R) \ Дясна стрелка \]

\ (~ \ upsilon = \ omega R \) - формулата за връзката между линейната и ъгловата скорост.

Времеви интервал Τ , по време на който тялото прави един пълен оборот, се нарича период на ротация:

\ (~ T = \ frac (\ Delta t) (N), \)

където н- броят на оборотите, направени от тялото за времето Δ т.

През времето Δ т = Τ тялото върви по пътя \ (~ l = 2 \ pi R \). следователно,

\ (~ \ upsilon = \ frac (2 \ pi R) (T); \ \ omega = \ frac (2 \ pi) (T). \)

Величината ν , се нарича обратната на периода, показваща колко оборота прави тялото за единица време скорост на въртене:

\ (~ \ nu = \ frac (1) (T) = \ frac (N) (\ Delta t). \)

следователно,

\ (~ \ upsilon = 2 \ pi \ nu R; \ \ omega = 2 \ pi \ nu. \)

литература

Аксенович Л. А. Физика в гимназията: теория. Задачи. Тестове: Учебник. надбавка за институции, предоставящи получаване на обс. среди, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Минск: Адукация и издаване, 2004. - С. 18-19.

Кръговото движение е специален случай на криволинейно движение. Скоростта на тялото във всяка точка от извитата траектория е насочена тангенциално към него (Фигура 2.1). В този случай скоростта като вектор може да варира както по величина (величина), така и по посока. Ако скоростният модул остава непроменен, тогава говорим за равномерно криволинейно движение.

Нека тялото се движи в кръг с постоянна скорост от точка 1 до точка 2.

В този случай тялото ще измине път, равен на дължината на дъгата ℓ 12 между точки 1 и 2 за време t. През същото време традиусният вектор R, изтеглен от центъра на окръжността 0 до точката, ще се завърти през ъгъла Δφ.

Векторът на скоростта в точка 2 се различава от вектора на скоростта в точка 1 с посокапо стойността на ΔV:

;

За да характеризираме промяната на вектора на скоростта със стойността на δv, въвеждаме ускорение:

(2.4)

вектор във всяка точка от траекторията е насочена по радиуса Rк центърокръжност, перпендикулярна на вектора на скоростта V 2. Следователно ускорение , което характеризира промяната в скоростта по време на криволинейно движение в посоката, наречена центростремителна или нормална... По този начин движението на точка по окръжност с постоянна модулна скорост е ускорено.

Ако скоростта променя не само посоката, но и величината (величина), тогава в допълнение към нормалното ускорение въведе също допирателна (тангенциална)ускорение , което характеризира промяната в скоростта по големина:

или

Насочен вектор тангенциално във всяка точка от траекторията (т.е. съвпада с посоката на вектора ). Ъгъл между векторите и равно на 90 0.

Общото ускорение на точка, движеща се по извита траектория, се дефинира като векторна сума (Фигура 2.1.).

.

Векторен модул
.

Ъглова скорост и ъглово ускорение

Когато материална точка се движи по перифериятарадиус векторът R, изтеглен от центъра на окръжността O до точката, се завърта през ъгъла Δφ (фигура 2.1). За характеризиране на въртенето се въвеждат понятията ъглова скорост ω и ъглово ускорение ε.

Ъгълът φ може да бъде измерен в радиани. 1 радвам сее равен на ъгъла, който лежи върху дъгата ℓ, равен на радиуса R на окръжността, т.е.

или ℓ 12 = Рφ (2.5.)

Нека диференцираме уравнение (2.5.)

(2.6.)

Стойността dℓ / dt = V инст. Нарича се величината ω = dφ / dt ъглова скорост(измерено в rad/s). Нека получим връзката между линейната и ъгловата скорост:

Величината ω е векторна. Векторна посока определени винт (кардан) правило: съвпада с посоката на движение на винта, ориентиран по оста на въртене на точка или тяло и завъртян в посоката на въртене на тялото (фигура 2.2), т.е.
.

Ъглово ускорениевекторното количество се нарича производна на ъгловата скорост (моментално ъглово ускорение)

, (2.8.)

вектор съвпада с оста на въртене и е насочена в същата посока като вектора , ако въртенето е ускорено, и обратното, ако въртенето е бавно.

Скоростнтела за единица време се наричатскорост на въртене .

Времето T на един пълен оборот на тялото се наричапериод на ротация ... При коетоРописва ъгъла Δφ = 2π радиана

С това казано

, (2.9)

Уравнение (2.8) може да се запише, както следва:

(2.10)

Тогава тангенциалната компонента на ускорението

a  = R (2.11)

Нормалното ускорение a n може да се изрази по следния начин:

като се вземат предвид (2.7) и (2.9)

(2.12)

След това пълно ускорение.

За въртеливо движение с постоянно ъглово ускорение  кинематичното уравнение може да се запише по аналогия с уравнението (2.1) - (2.3) за транслационно движение:

,

.

Когато описваме движението на точка по окръжност, ще характеризираме движението на точка под ъгъл Δφ , който описва радиус вектора на точката във времето Δt... Ъглово движение за безкрайно малък период от време dtобозначено dφ.

Ъгловото изместване е векторна величина. Посоката на вектора (или) се определя според правилото на кардана: ако завъртите кардан (винт с дясна резба) в посоката на движение на точката, карданът ще се движи в посоката на вектора на ъгловото преместване. На фиг. 14 точка M се движи по посока на часовниковата стрелка, когато се гледа в равнината на движение отдолу. Ако завъртите кардана в тази посока, векторът ще бъде насочен нагоре.

По този начин посоката на вектора на ъгловото преместване се определя чрез избор на положителна посока на въртене. Положителната посока на въртене се определя от правилото за кардан на дясната резба. Въпреки това, със същия успех беше възможно да се вземе кардан с лява резба. В този случай посоката на вектора на ъгловото изместване би била противоположна.

При разглеждане на такива величини като скорост, ускорение, вектор на преместване не възниква въпросът за избора на тяхната посока: той се определя естествено от естеството на самите количества. Такива вектори се наричат ​​полярни. Наричат ​​се вектори, подобни на вектора на ъгловото изместване аксиален,или псевдовектори... Посоката на аксиалния вектор се определя чрез избор на положителна посока на въртене. Освен това аксиалният вектор няма точка на приложение. Полярни векторикоито разглеждахме досега се прилагат към движеща се точка. За аксиален вектор можете да посочите само посоката (ос, ос - лат.), по която е насочен. Оста, по която е насочен векторът на ъгловото преместване, е перпендикулярна на равнината на въртене. Обикновено векторът на ъгловото преместване се изобразява върху оста, минаваща през центъра на окръжността (фиг. 14), въпреки че може да се начертае навсякъде, включително и върху оста, минаваща през въпросната точка.

В SI ъглите се измерват в радиани. Радиан е ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността. Значи общият ъгъл (360 0) е 2π радиана.

Движение на точката в кръг

Ъглова скорост- векторно количество, числено равно на ъгълавъртене за единица време. Ъгловата скорост обикновено се обозначава с гръцката буква ω. По дефиниция ъгловата скорост е производната по време на ъгъла:

. (19)

Посоката на вектора на ъгловата скорост съвпада с посоката на вектора на ъгловото преместване (фиг. 14). Векторът на ъгловата скорост, подобно на вектора на ъгловото изместване, е аксиален вектор.

Размерът на ъгловата скорост е rad/s.

Въртенето с постоянна ъглова скорост се нарича равномерно, докато ω = φ / t.

Равномерното въртене може да се характеризира с периода на оборот T, който се разбира като времето, през което тялото прави един оборот, тоест завърта се под ъгъл 2π. Тъй като интервалът от време Δt = T съответства на ъгъла на завъртане Δφ = 2π, тогава

(20)

Броят на оборотите за единица време ν очевидно е равен на:

(21)

Величината ν се измерва в херци (Hz). Един херц е един оборот в секунда, или 2π rad/s.

Понятията за периода на оборот и броя на оборотите за единица време също могат да бъдат запазени за неравномерно въртене, което означава с моментната стойност на T времето, през което тялото би извършило един оборот, ако се върти равномерно с дадена моментна стойност на ъгловата скорост и с ν, което означава броя обороти, които тялото би направило за единица време при подобни условия.

Ако ъгловата скорост се променя с течение на времето, тогава въртенето се нарича неравномерно. В този случай въведете ъглово ускорениепо същия начин, както беше въведено линейното ускорение за праволинейно движение. Ъгловото ускорение е промяната в ъгловата скорост за единица време, изчислена като производна на ъгловата скорост във времето или втората производна на ъгловото преместване във времето:

(22)

Точно като ъгловата скорост, ъгловото ускорение е векторна величина. Вектор на ъглово ускорение - аксиален вектор, в случай на ускорено въртене е насочен в същата посока като вектора на ъгловата скорост (фиг. 14); в случай на забавено въртене, векторът на ъгловото ускорение е насочен срещу вектора на ъгловата скорост.

При еднакво променливо ротационно движение има отношения, подобни на формули (10) и (11), които описват еднакво променливо праволинейно движение:

ω = ω 0 ± εt,

.

Вие добре знаете, че в зависимост от формата на траекторията, движението се разделя на направои криволинейна... Научихме се как да работим с праволинейно движение в предишните уроци, а именно да решим основния проблем на механиката за този тип движение.

Ясно е обаче, че в реалния свят най-често имаме работа с криволинейно движение, когато траекторията е крива линия. Примери за такова движение са траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, движението на Земята около Слънцето и дори траекторията на движението на очите ви, които сега следват този контур.

Този урок ще бъде посветен на въпроса как се решава основният проблем на механиката в случай на криволинейно движение.

За начало нека дефинираме какви фундаментални разлики има криволинейното движение (фиг. 1) спрямо праволинейното и до какво водят тези разлики.

Ориз. 1. Траектория на криволинейното движение

Нека поговорим как е удобно да се опише движението на тяло в криволинейно движение.

Можете да разделите движението на отделни участъци, във всеки от които движението може да се счита за праволинейно (фиг. 2).

Ориз. 2. Разделяне на криволинейното движение на участъци от праволинейно движение

Следният подход обаче е по-удобен. Ще представим това движение като комбинация от няколко движения по дъги от окръжности (фиг. 3). Имайте предвид, че има по-малко такива подразделения, отколкото в предишния случай; освен това движението по окръжност е криволинейно. Освен това примерите за движение в кръг в природата са много чести. От това можем да заключим:

За да опишете криволинейно движение, трябва да се научите как да опишете движението по окръжност и след това да представите произволно движение под формата на набор от движения по дъги от окръжности.

Ориз. 3. Разделяне на криволинейно движение в движение по дъги от окръжности

И така, нека започнем изучаването на криволинейното движение с изследването на равномерното движение по окръжност. Нека да видим какви са основните разлики между криволинейното движение и праволинейното движение. Като начало нека припомним, че в девети клас изучавахме факта, че скоростта на тялото при движение в кръг е насочена тангенциално към траекторията (фиг. 4). Между другото, можете да наблюдавате този факт от опит, ако погледнете как се движат искрите при използване на точило.

Да разгледаме движението на тяло по дъга на окръжност (фиг. 5).

Ориз. 5. Скоростта на тялото при движение в кръг

Имайте предвид, че в този случай модулът на скоростта на тялото в точка е равен на модула на скоростта на тялото в точката:

Но векторът не е равен на вектора. И така, имаме вектор на разликата в скоростите (фиг. 6):

Ориз. 6. Вектор на разликата в скоростта

Освен това промяната в скоростта настъпи след известно време. Така получаваме позната комбинация:

Това не е нищо повече от промяна в скоростта за определен период от време или ускорение на тялото. Може да се направи много важен извод:

Движението по извита пътека се ускорява. Природата на това ускорение е непрекъсната промяна в посоката на вектора на скоростта.

Забележете отново, че дори да се каже, че тялото се движи равномерно по обиколката, това означава, че модулът на скоростта на тялото не се променя. Такова движение обаче винаги е ускорено, тъй като посоката на скоростта се променя.

В девети клас изучавахте какво е ускорението и как е насочено (Фигура 7). Центростремителното ускорение винаги е насочено към центъра на окръжността, по която се движи тялото.

Ориз. 7. Центростремително ускорение

Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:

Преминаваме към описанието на равномерното движение на тялото по обиколката. Нека се съгласим, че скоростта, която сте използвали, когато описвате транслационното движение, сега ще се нарича линейна скорост. А под линейна скорост разбираме моментната скорост в точката на траекторията на въртящото се тяло.

Ориз. 8. Движение на точки по диска

Помислете за диск, който се върти по посока на часовниковата стрелка за определеност. На радиуса му отбелязваме две точки и (фиг. 8). Нека разгледаме тяхното движение. За известно време тези точки ще се движат по кръговите дъги и ще се превърнат в точки и. Очевидно точката се е преместила повече от точката. От това можем да заключим, че колкото по-далеч от оста на въртене е точката, толкова по-голяма е линейната скорост, която се движи.

Въпреки това, ако се вгледате внимателно в точките и, можем да кажем, че ъгълът, под който те са се обърнали спрямо оста на въртене, остава непроменен. Това са ъгловите характеристики, които ще използваме, за да опишем движението в кръг. Имайте предвид, че за да опишете движението по окръжност, можете да използвате ъгълспецификации.

Нека започнем нашето разглеждане на движението по окръжност с най-простия случай - равномерно движение по окръжност. Припомнете си, че равномерното транслационно движение е движение, при което за всякакви равни интервали от време тялото прави едни и същи движения. По аналогия можете да дадете определение за равномерно движение по окръжност.

Равномерното движение по окръжност е движение, при което тялото се върти под еднакви ъгли за равни интервали от време.

Подобно на концепцията за линейна скорост, се въвежда понятието за ъглова скорост.

Ъгловата скорост на равномерно движение (се нарича физическа величина, равна на отношението на ъгъла, под който се е обърнало тялото, към времето, през което е извършено това завъртане.

Във физиката най-често се използва радианната мярка на ъгъла. Например, ъгълът в е равен на радиани. Ъгловата скорост се измерва в радиани в секунда:

Нека намерим връзката между ъгловата скорост на въртене на точка и линейната скорост на тази точка.

Ориз. 9. Връзка между ъглова и линейна скорост

При завъртане една точка преминава дъга с дължина, докато се завърта под ъгъл. От дефиницията на радианската мярка на ъгъла можете да напишете:

Разделяме лявата и дясната страна на равенството на интервала от време, през който е извършено движението, след което използваме определението за ъглова и линейна скорост:

Обърнете внимание, че колкото по-далеч е една точка от оста на въртене, толкова по-висока е нейната линейна скорост. А точките, разположени по самата ос на въртене, са неподвижни. Пример за това е въртележката: колкото по-близо сте до центъра на въртележката, толкова по-лесно ви е да останете на нея.

Такава зависимост на линейната и ъгловата скорост се използва при геостационарни спътници (сателити, които винаги са над една и съща точка земна повърхност). Благодарение на такива спътници ние сме в състояние да приемаме телевизионни сигнали.

Припомнете си, че по-рано въведохме понятията за период и честота на въртене.

Периодът на въртене е времето на един пълен оборот.Периодът на въртене се обозначава с буква и се измерва в секунди в SI:

Честотата на въртене е физическа величина, равна на броя обороти, които тялото прави за единица време.

Честотата се обозначава с буква и се измерва в обратни секунди:

Те са свързани чрез съотношението:

Има връзка между ъгловата скорост и честотата на въртене на тялото. Ако си спомним, че пълният оборот е равен, лесно е да видим, че ъгловата скорост е:

Замествайки тези изрази във връзката между ъгловата и линейната скорост, е възможно да се получи зависимостта на линейната скорост от периода или честотата:

Нека запишем и връзката между центростремителното ускорение и тези количества:

По този начин знаем връзката между всички характеристики на равномерното движение около кръг.

Нека обобщим. В този урок започнахме да описваме криволинейно движение. Разбрахме как можем да свържем криволинейното движение с кръговото движение. Кръговото движение винаги е ускорено, а наличието на ускорение определя факта, че скоростта винаги променя посоката си. Това ускорение се нарича центростремително. Накрая си спомнихме някои характеристики на кръговото движение (линейна скорост, ъглова скорост, период и честота на въртене) и открихме връзката между тях.

Библиография

1. Г. Я. Мякішев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Соцки. Физика 10. - М .: Образование, 2008.
2. А.П. Римкевич. Физика. Проблемна книга 10-11. - М .: Дропла, 2006.
3. О. Я. Савченко. Задачи по физика. - М .: Наука, 1988.
4. A.V. Перушкин, В.В. Крауклис. Курс по физика. Т. 1. - М .: Държава. уч.-пед. изд. мин. образование на РСФСР, 1957г.

1. Ayp.ru ().
2. Уикипедия ().

Домашна работа

След като решите задачите за този урок, ще можете да се подготвите за въпроси 1 GIA и въпроси A1, A2 от изпита.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задачи на A.P. Римкевич, изд. 10
2. Изчислете ъгловата скорост на минутната, секундната и часовата стрелка на часовника. Изчислете центростремителното ускорение, действащо върху върховете на тези стрелки, ако всяка стрелка има радиус от един метър.