От практическа гледна точка, използването на производно за намиране на най-голямата и най-малка функция на функцията е най-голям интерес. С какво е свързано? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването ... с други думи, в много области на живота трябва да решавате проблеми при оптимизиране на всички параметри. И това са задачите за намиране на най-голямата и най-малка функция на функцията.

Трябва да се отбележи, че най-голямата и най-малка стойност на функцията обикновено се търси в определен интервал X, който е или цялата функция за определяне на функцията или част от определената област. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкрайна празнина.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малки стойности на изрично определена функция на една променлива Y \u003d F (x).

Навигация.

Най-голямата и най-малка стойност на функцията е определенията, илюстрацията.

Накратко се фокусирайте върху основните дефиниции.

Най-голямата стойност на функцията Какво за всеки Справедливо неравенство.

Най-малката стойност на функцията y \u003d f (x) на интервала на x повикване такава стойност Какво за всеки Справедливо неравенство.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малка) стойност на функцията е най-голямата (малка) стойност на интервала, която се разглежда по време на абсцисата.

Стационарни точки - Това са стойностите на аргумента, в който се изтегля получената функция до нула.

Защо имаме стационарни точки при намирането на най-големите и най-малки ценности? Отговорът на този въпрос дава на теоремата за фермата. От тази теорема следва, че ако диференциалната функция има екстремум (местен минимален или местен максимум) в някакъв момент, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често отнема най-голямата (най-малката) стойност на интервала X в една от стационарните точки от тази празнина.

Също така често най-голямата и най-малка функция може да предприеме в точки, в които няма първото производно на тази функция, и самата функция е дефинирана.

Незабавно отговорете на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: "Можете ли винаги да определяте най-голямата (най-малка) функция"? Не винаги. Понякога границите на X Gap съвпадат с границите на функцията за определяне на функцията или интервала X са безкрайни. И някои функции на безкрайност и на границите на дефиницията могат да приемат безкрайно големи и безкрайно малки стойности. В тези случаи нищо не може да се каже за най-голямата и най-малка функционална стойност.

За яснота, дайте графична илюстрация. Погледнете рисунките - и много ще станат по-ясни.

На рязане

В първия чертеж функцията отнема най-голямото (максимално (min y) стойности в стационарни точки в сегмента [-6; 6].

Помислете за случая, изобразен във втория чертеж. Променете сегмента на. В този пример най-малката функция на функцията се постига в неподвижна точка и най-голямата - в точка с абсциса, съответстваща на правилната граница на интервала.

Фигура 2, граничните точки на сегмента [-3; 2] са абдсценките на точките, съответстващи на най-голямата и най-малка стойност на функцията.

Отворен интервал

В четвъртия чертеж функцията отнема най-големия (максимален (min y) стойности в стационарните точки в отворения интервал (-6; 6).

На интервала не можете да направите никакви заключения за най-голяма стойност.

На безкрайност

В примера, представен в седмия модел, функцията отнема най-високата стойност (максимум y) в неподвижна точка с абсциса х \u003d 1, а най-малкото стойност (min y) се постига върху правилната граница на интервала. На минус безкрайността, стойностите на функцията са асимптотично приближаващи се към y \u003d 3.

На интервала функцията не достига най-малката или най-голяма стойност. Когато X \u003d 2 се стреми къмдясно, стойностите на функцията са склонни да минус безкрайността (права X \u003d 2 е вертикална асимптота) и когато абсцисата се стреми към плюс на безкрайността, стойностите на Функцията асимптотичен подход y \u003d 3. Графична илюстрация на този пример е показана на Фигура № 8.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малка непрекъсната функция на сегмента.

Ние пишем алгоритъма, който ви позволява да намерите най-голямата и най-малка стойност на функцията на сегмента.

1. Намерете функция за определяне на функцията и проверете дали съдържа целия сегмент.
2. Ние откриваме всички точки, в които няма първото производно и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се използват в функциите с аргумента под знака на модула и в захранващите функции с фракционен рационален индикатор). Ако няма такива точки, след това отидете на следващия елемент.
3. Ние определяме всички стационарни точки, попадащи в сегмент. За това ние го приравняваме до нула, решават полученото уравнение и да избере правилните корени. Ако няма стационарни точки или никой от тях не попада в сегмента, тогава се обръщаме към следващия елемент.
4. Изчислете стойностите на функцията в избраните стационарни точки (ако има такива), в точки, в които няма първото производно (ако има такова), както и с x \u003d a и x \u003d b.
5. От получените стойности на функцията, изберете най-големия и най-малък - те ще бъдат съответно най-известните и най-малки стойности на функцията.

Ние ще анализираме алгоритъма при решаването на пример за намиране на най-голямата и най-малка функция на функцията на сегмента.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малка функция

• на сегмента;
• на сегмента [-4; -1].

Решение.

Областта на дефиниране на място е много валидни числа, с изключение на нула, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете дериватна функция чрез:

Очевидно е, че деривативната функция съществува във всички точки на сегменти и [-4; -1].

Стационарни точки, които определяме от уравнението. Единственият валиден корен е x \u003d 2. Тази стационарна точка влиза в първия сегмент.

За първия случай, изчислете стойностите на функцията в края на сегмента и в неподвижна точка, т.е. при x \u003d 1, x \u003d 2 и x \u003d 4:

Следователно най-голямата стойност на функцията постигнато при x \u003d 1 и най-малката стойност - при x \u003d 2.

За втори случай, изчислете стойностите на функцията само в края на сегмента [-4; -1] (тъй като не съдържа единична стационарна точка):

Решение.

Да започнем с областта за дефиниране на полето. Квадратните треви в деномския денотация не трябва да добавя към нула:

Лесно е да се провери дали всички интервали от състоянието на задачата принадлежат към областта за дефиниране на място.

Функция за диференциация:

Очевидно е, че деривата съществува по време на дефиницията на функцията.

Намерете стационарни точки. Деривата се отнася до нула. Тази стационарна точка попада в интервалите (-3; 1] и (-3; 2).

И сега можете да съответствате на резултатите, получени във всеки елемент с функционална графика. Сините прекъснати линии показват асимптоти.

Това може да бъде завършено с находката за най-голямата и най-малка функция на функцията. Алгоритмите разглобяват в този член, дава възможност за получаване на резултати при минимум действие. Въпреки това е полезно първо да се определят пропуските в увеличаването и намаляването на функцията и само след това да се направят заключения за най-голямата и най-ниска стойност на функцията на всеки интервал. Това дава по-ясна картина и строга обосновка на резултатите.

На практика е необходимо да се използва дериват, за да се изчисли най-голямата и най-малка функционална стойност. Ние изпълняваме това действие, когато разберем как да сведем до минимум разходите, да увеличим печалбите, да изчислим оптималното натоварване върху производството и т.н., т.е. в случаите, когато трябва да определите оптималната стойност на всеки параметър. За да разрешите правилно такива задачи, е необходимо да се разбере добре каква е най-голямата и най-малка стойност на функцията.

Обикновено ние определяме тези стойности в определен интервал X, който на свой ред може да съответства на цялото поле за определяне на функцията или част от него. Това може да бъде като сегмент [А; б] и отворен интервал (А; В), (А; В], [А; В), безкраен интервал (А; В), (А; В], [А; В) или безкрайна междина - ∞ Шпакловка a, (- ∞; а], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

В този материал се изчислява как се изчислява най-голямата и най-малка стойност на изрично определена функция с една променлива y \u003d f (x) y \u003d f (x).

Основни дефиниции

Да започнем, както винаги, с формулирането на основни дефиниции.

Определение 1.

Най-голямата стойност на функцията y \u003d f (x) в някаква празнина е maxy \u003d f (x 0) x ∈ x, което с всяко значение xx ∈ x, x ≠ x 0 прави неравенството f (x) ≤ f ( x 0).

Определение 2.

Най-малката стойност на функцията y \u003d f (x) в някаква междина е minx ∈ xy \u003d f (x 0), която, с всяка стойност x ∈ x, x ≠ x 0 прави неравенството f (x f (x) ≥ F (x 0).

Тези дефиниции са доста очевидни. Още по-лесно е да се каже така: най-голяма стойност на функцията е най-много голямо значение В известния интервал при абсцийско X 0 и най-малката е най-малката стойност при същия интервал при x 0.

Определение 3.

Стационарните точки са стойностите на аргумента на функцията, при които производно е насочено към 0.

Защо трябва да знаем какви депа точки? За да отговорите на този въпрос, трябва да запомните теоремата за фермата. От това следва, че стационарната точка е такава точка, в която се намира екстремум на диференцируемата функция (т.е. неговия местен минимум или максимум). Следователно функцията ще отнеме най-малката или най-важна на някакъв интервал в една от стационарните точки.

Друга функция може да отнеме най-голямата или най-малка стойност в тези точки, в които самата функция е определена и първото му производно не съществува.

Първият въпрос, който се случва при изучаването на тази тема: във всички случаи можем да определим най-голямата или най-малка стойност на функцията на даден сегмент? Не, не можем да направим това, когато границите на посочената пропаст ще съвпадат с границите на дефиницията, или ако се занимаваме с безкраен интервал. Също така се случва, че функцията в даден сегмент или безкрайност ще бъде безкрайно малка или безкрайно голяма стойност. В тези случаи не е възможно да се определи най-голямата и / или най-малката стойност.

По-разбираеми тези моменти ще бъдат след образ на графиците:

Първият чертеж ни показва функция, която взема най-големите и най-малки стойности (m a x Y и m i n y) в стационарни точки, разположени на сегмента [- 6; 6].

Различаваме подробно случая, посочен във втората диаграма. Промяна на стойността на сегмента до [1; 6] И ние получаваме, че най-голямата стойност на функцията ще бъде постигната в точката с абсцисата на правилната граница на интервала и най-малката - в стационарната точка.

В третия чертеж на абсцисата точки са граничните точки на сегмента [- 3; 2]. Те съответстват на най-голямата и най-малка стойност на определената функция.

Сега погледнете четвъртия чертеж. В него функцията отнема m a x y (най-голямата стойност) и m i n y (най-малката стойност) в стационарните точки в отворения интервал (- 6; 6).

Ако вземем интервала [1; 6) може да се каже, че най-малката стойност на функцията върху нея ще бъде постигната в неподвижна точка. Тя ще бъде неизвестна като най-голяма стойност. Функцията може да отнеме най-високата стойност при x, равна на 6, ако x \u003d 6 принадлежи на интервала. Този случай е изтеглен на графика 5.

На графика 6 най-малката стойност на тази функция придобива на правилната граница на интервала (- 3; 2] и ние не можем да направим някои заключения за най-голяма стойност.

На фигура 7 виждаме, че функцията ще има m a x Y в неподвижна точка, имаща абсциса, равна на 1. Най-малката функция ще достигне на границата на интервала от дясната страна. На минус безкрайността стойностите на функцията ще бъдат асимптотично приближаване към y \u003d 3.

Ако вземем интервала x ∈ 2; + ∞, ние ще видим, че зададената функция няма да приеме най-малката или най-голямата стойност. Ако x се стреми за 2, стойностите на функцията ще се стремят към минус на безкрайността, тъй като директен x \u003d 2 е вертикална Asimptota.. Ако абсцисата има склонност плюс безкрайност, тогава стойностите на функцията ще бъдат асимптотично се приближиха y \u003d 3. Този случай е показан на фигура 8.

В този момент представяме поредица от действия, които трябва да бъдат изпълнени за намиране на най-голямата или най-малка стойност на функцията на някой сегмент.

1. За да започнем, откриваме областта за дефиниране на място. Проверете дали се съдържа в състоянието на сегмента.
2. Сега изчисляваме точките, съдържащи се в този сегмент, в който няма първото производно. Най-често те могат да бъдат намерени в функциите, чийто аргумент се записва под знака на модула, или в функции на захранването, чийто индикатор е частично рационално число.
3. След това разберете кои стационарни точки ще попаднат в даден сегмент. За да направите това, е необходимо да се изчисли функционалното производно, след това да го приравните на 0 и да решите уравнението, което води до края, след което е възможно да се изберат подходящите корени. Ако не успеем в една стационарна точка или няма да попаднат в даден сегмент, тогава отиваме на следващата стъпка.
4. Ние определяме какви стойности ще получат функцията в посочените стационарни точки (ако има такива), или в тези точки, в които няма първото производно (ако има такова), или изчисляване на стойностите за x \u003d a и x \u003d b .
5. 5. Оказахме редица функции на функцията, от които сега трябва да изберете най-много и най-малкото. Това ще бъдат най-големите и най-малки ценности на функциите, които трябва да намерим.

Нека да видим как правилно да приложим този алгоритъм при решаване на задачи.

Пример 1.

Състояние: Посочва се функцията y \u003d x 3 + 4 x 2. Определят най-голямата и най-малка стойност на сегментите [1; 4] и [- 4; - един].

Решение:

Нека започнем с местоположението на дефиницията на тази функция. В този случай той ще има много валидни номера, с изключение на 0. С други думи, D (Y): X ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; +. И двата сегмента, посочени в състоянието, ще бъдат в областта на дефиницията.

Сега изчислете деривативната функция според разрушенията на диференциране:

y "\u003d x 3 + 4 x 2" \u003d x 3 + 4 "· x 2 - x 3 + 4 · x 2" х 4 \u003d 3 х 2 x 2 - (x 3 - 4) · 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

Научихме, че произведената функция ще съществува във всички точки на сегменти [1; 4] и [- 4; - един].

Сега трябва да определим стационарни точки на функция. Ще го направим с уравнението x 3 - 8 x 3 \u003d 0. Той има само един валиден корен, равен на 2. Това ще бъде стационарна точка на функция и ще попадне в първия сегмент [1; четири].

Изчислете стойностите на функцията в края на първия сегмент и в този момент, т.е. За x \u003d 1, x \u003d 2 и x \u003d 4:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 Y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 \u003d 3 Y (4) \u003d 4 3 + 4 4 2 \u003d 4 1 4

Получихме, че най-голямата стойност на функцията m a x y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3 ще бъде постигнато при х \u003d 1, и най-малкият m i n y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3 - при X \u003d 2.

Вторият сегмент не включва единична стационарна точка, така че трябва да изчислим стойностите на функцията само в края на посочения сегмент:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

Това означава m a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 1) \u003d 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Отговор:За сегмент [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3, m i n y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3, за сегмента [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 1) \u003d 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Вижте фигура:

Преди ученето този методСъветваме ви да повторите как правилно да се изчисли едностранният лимит и границата на безкрайността, както и да научите основните методи за тяхното местоположение. За да намерите най-много и / или най-малката стойност на функцията на външен или безкраен интервал, изпълнете следните стъпки.

1. Първо трябва да проверите дали даден интервал ще бъде подгрупа от областта на дефиницията на тази функция.
2. Ние определяме всички точки, които се съдържат в желания интервал и в който няма първото производно. Обикновено те имат функции, в които аргументът се сключва в знака на модула, и в захранващите функции с фракционен рационален индикатор. Ако тези точки отсъстват, можете да преминете към следващата стъпка.
3. Сега определяме какви стационарни точки ще паднат в дадена междина. Първо, изравнете деривата на 0, решаване на уравнението и изберете правилните корени. Ако нямаме една стационарна точка или не попадат в даден интервал, след това незабавно отиват на по-нататъшни действия. Те се определят от гледна точка на интервала.

• Ако интервалът има формата [a; б), тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x \u003d a и едностранно лимит на границите X → b - 0 f (x).
• Ако интервалът има форма (a; b], тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x \u003d b и едностранната граница на lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалът има форма (a; b), тогава трябва да изчислим едностранните граници на lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалът има формата [a; + ∞), тогава е необходимо да се изчисли стойността в точката x \u003d a и границата на плюс на infinity lim x → + ∞ f (x).
• Ако интервалът изглежда (- ∞; B], изчисляваме стойността в точката x \u003d b и лимита за минус безкрайността на lim x → - ∞ f (x).
• Ако - ∞; b, тогава ние разглеждаме едностранното ограничение lim x → b - 0 f (x) и лимитът за минус безкрайност lim x → - ∞ f (x)
• Ако - ∞; + ∞, ние разглеждаме границите на минус и плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x), lim x → - f (x).

1. В крайна сметка е необходимо да се сключи въз основа на получените функции и ограничения. Има много възможности тук. Така че, ако едностранна граница е минус безкрайност или плюс безкрайност, веднага е ясно, че нищо не може да се каже за най-малката и най-голяма стойност на функцията. По-долу ще анализираме един типичен пример. Подробни описания ще ви помогнат да разберете какво. Ако е необходимо, можете да се върнете на фигури 4 - 8 в първата част на материала.

Пример 2.

Състояние: Дадена е функцията Y \u003d 3 E 1 x 2 + x - 6 - 4. Изчислява най-голямата и най-малка стойност в интервалите - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Решение

На първо място, откриваме областта за дефиниране на полето. В денотатора Фрач е квадратен три мелан, който не трябва да се свързва с 0:

x 2 + x - 6 \u003d 0 d \u003d 1 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 5 2 \u003d - 3 х 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 ⇒ d (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Получихме полето за определяне на функцията, към която принадлежат всички интервали в условието.

Сега изпълнете диференциацията на функцията и получавате:

y "\u003d 3 E 1 x 2 + x - 6 - 4" \u003d 3 · e 1 x 2 + x - 6 "\u003d 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6 '\u003d \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · х 2 + х - 6" (x 2 + x - 6) 2 \u003d - 3 · (2 \u200b\u200bх + 1) · Е 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следователно, дериватите съществуват по време на нейното определение.

Нека се обърнем към намирането на стационарни точки. Деривата се отнася до 0 при X \u003d - 1 2. Това е неподвижна точка, която е в интервалите (- 3; 1] и (- 3; 2).

Изчислява стойността на функцията при x \u003d - 4 за пролуката (- ∞; - 4], както и границата за минус безкрайност:

y (- 4) \u003d 3 E 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 E 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

Тъй като 3 е 1 6 - 4\u003e - 1, следователно, maxyx ∈ (- ∞; - 4] \u003d Y (- 4) \u003d 3 E 1 6 - 4. Не ни дава възможност да определим уникално най-малката стойност на Функцията. Можем само да е заключение, че по-долу е лимит - 1, тъй като е именно тази стойност, че функцията се приближава асимптотично за минус безкрайност.

Характеристика на втория интервал е, че няма една стационарна точка и една строга граница. Следователно няма да можем да изчислим най-голямата или най-малката функционална стойност. След като сте определили границата за минус безкрайност и когато аргументът е проектиран до - 3 от лявата страна, ние получаваме само интервал на ценностите:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 \u003d 3 e 1 (- 3 - 0) \\ t + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 e + ∞ - 4 \u003d + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

Това означава, че стойностите на функцията ще бъдат разположени в интервала - 1; +.

За да намерите най-много функция в третата пропаст, ние определяме своята стойност в стационарната точка x \u003d - 1 2, ако x \u003d 1. Също така ще трябва да знаем едностранното лимит за случая, когато аргументът се стреми към - 3 от дясната страна:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 Y (1) \u003d 3 E 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (- 0) - 4 \u003d 3 e - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Оказа се, че най-голяма стойност ще приеме в неподвижна точка maxyx ∈ (3; 1] \u003d Y - 1 2 \u003d 3 E - 4 25 - 4. Що се отнася до най-малката стойност, тя не може да бъде определена. Всичко, което знаем - Това е наличието на ограничение отдолу до - 4.

За интервала (- 3; 2), ние ще вземем резултатите от предишното изчисление и отново ще изчислим това, което е равно на едностранното лимит, когато преследваме 2 от лявата страна:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (X + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 - 0 - 4 \u003d 3 e - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Така, m a x y x ∈ (- 3; 2) \u003d Y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4, а най-малката стойност не е възможна, а стойностите на функцията са ограничени до дъното - 4.

Въз основа на това, което направихме в две предишни изчисления, можем да твърдим, че на интервала [1; 2) Функцията ще отнеме най-голямата стойност при X \u003d 1 и е невъзможно да се намери най-малкото.

На интервала (2; + ∞) функцията няма да достигне най-голямата или най-малката стойност, т.е. Тя ще отнеме стойности от пропастта - 1; +.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 + 0 + 3) \\ t ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

Изчисляване на каква ще бъде стойността на функцията при x \u003d 4, ние откриваме, че m a x y x ∈ [4; + ∞) \u003d Y (4) \u003d 3 E 1 14 - 4, и определената функция на плюс на безкрайността ще бъде асимптотично приближаващ се към директен Y \u003d - 1.

Той е сравним с това, което сме се оказали във всяко изчисление, с графика на дадена функция. На фигурата асимптотите се показват с пунктирана линия.

Това е всичко, което искахме да кажем за намирането на най-големите и най-малки стойности на функцията. Последователностите на действията, които сме довели, ще помогнат да направят необходимите изчисления толкова бързо и просто. Но не забравяйте, че често е полезно първо да разберете какви периоди функцията ще намалее и при какво увеличение, след което можете да направите допълнителни заключения. Така че можете по-точно да определите най-голямата и най-малка стойност на функцията и да оправдаете получените резултати.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Понякога задачите на B15 се срещат "лоши" функции, за които е трудно да се намери дериват. Преди това беше само на сонди, но сега тези задачи са толкова често срещани, че вече не могат да бъдат пренебрегнати при подготовката за тази EGE.

В този случай работят други техники, една от които - монотон.

Функцията f (x) се нарича монотонно увеличаване на сегмента, ако за всякакви точки x 1 и x 2 от този сегмент се следва следното:

x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.) < f (x 2.).

Функцията f (x) се нарича монотонно намаляване на сегмента, ако за всички точки x 1 и x 2 от този сегмент се следва следното:

x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.)\u003e F ( x 2.).

С други думи, за нарастваща функция, толкова по-голям x, колкото повече f (x). За намаляване на функцията, обратният начин е: колкото повече x, the по-малко f (x).

Например, логаритъм монотонно се увеличава, ако базата е\u003e 1 и монотонно намалява, ако 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

Аритметичният квадрат (и не само квадрат) корен монотонно се увеличава по време на дефиницията област:

Индикативната функция се държи подобно на логаритъма: расте при\u003e 1 и намалява на 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

Накрая, степен с отрицателен индикатор. Можете да ги запишете като фракция. Имате точка на прекъсване, в която е счупена монотонността.

Всички тези функции никога не са в чиста форма. Те добавят полиноми, фракции и други глупости, поради което става трудно да се обмисли производното. Какво се случва - сега ще разгледаме.

Координати на Vertex Parabola

Най-често функционалният аргумент се заменя с квадратна трептена Изглед Y \u003d AX 2 + BX + C. Графикът му е стандартна парабола, в която се интересуваме от:

1. Parabola клони - могат да се покачат (при\u003e 0) или надолу (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Горната част на параболата е екстремулна точка на квадратична функция, в която тази функция отнема най-малката (за a\u003e 0) или най-голямата (a< 0) значение.

Най-големият интерес е топ Параболия.Абсцисата, чиято се изчислява по формулата:

Така че открихме точката на екстрема на квадратична функция. Но ако първоначалната функция на Монотон, за нея, точката X 0 също ще бъде екстремулна точка. Така формулираме ключовото правило:

Екстремум точки на квадрат три стил и комплексна функцияВ който той влиза, съвпада. Затова можете да търсите x 0 за квадратни три изстрели и да отбележите функцията.

От горното разсъждение остава неразбираемо, което получаваме: максимум или минимум. Въпреки това, задачите са специално съставени така, че да няма значение. Съдия за себе си:

1. Сегментът липсва в състоянието на проблема. Следователно не е необходимо да се изчисляват f (a) и f (b). Остава да разгледа само екстремните точки;
2. Но само една точка са върхът на Parabola x 0, чиито координати са изчислени буквално устно и без никакви деривативи.

Така решението на проблема е рязко опростено и се свежда до две стъпки:

1. Открийте равноправното уравнение Y \u003d AX 2 + BX + C и го намерете върховете по формулата: x 0 \u003d -B / 2A;
2. Намерете стойността на функцията Източник в тази точка: F (x 0). Ако няма допълнителни условия, това ще бъде отговорът.

На пръв поглед този алгоритъм и неговата обосновка могат да изглеждат сложни. Умишлено не публикувам "гола" схема на решението, тъй като безсмисленото прилагане на тези правила е изпълнено с грешки.

Разгледайте реални задачи от проба ЕГЕ По математика - това е, че тази техника най-често се среща. В същото време ще видим, че по този начин много задачи B15 стават почти орални.

Под цената на основата квадратична функция y \u003d x 2 + 6x + 13. Графиката на тази функция е Parabola клона нагоре, тъй като коефициентът A \u003d 1\u003e 0.

Топ Parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Тъй като клоните на Parabola са насочени нагоре, в точка X 0 \u003d -3, функцията y \u003d x 2 + 6x + 13 отнема най-малката стойност.

Корен монотонно се увеличава, което означава х 0 - точката на минималната функция. Ние имаме:

Задача. Намерете най-малката функция на функцията:

y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логаритъма, квадратична функция: y \u003d x 2 + 2x + 9. диаграма - парабола клони нагоре, защото A \u003d 1\u003e 0.

Топ Parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Така че, в точката x 0 \u003d -1, квадратичната функция отнема най-малката стойност. Но функцията y \u003d log 2 x е монотонен, така че:

y min \u003d Y (-1) \u003d log 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Индикаторът е квадратичната функция y \u003d 1 - 4x - x 2. Препишете го в нормална форма: y \u003d -X 2 - 4x + 1.

Очевидно графикът на тази функция е Parabola, клони надолу (A \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

Функцията на източника е индикативна, тя е Monotonne, така че най-голямата стойност ще бъде в намерената точка x 0 \u003d -2:

Участващият читател вероятно ще забележи, че не сме отписали областта на допустимите ценности на корена и логаритъма. Но това не се изисква: вътре в функциите на които винаги са положителни.

Последствия от функцията за определяне на функцията

Понякога за решаването на проблема B15 не е достатъчно, за да намерим върха на парабола. Желаната стойност може да лъже в края на рязането, а не изобщо в точката на екстрема. Ако задачата изобщо не посочи сегмент, ние гледаме област на допустимите стойности функция на източника. А именно:

Обърнете внимание отново: нула може да бъде под корена, но в логаритъм или деномотър, никога. Нека видим как работи по конкретни примери:

Задача. Намерете най-голямата стойност на функцията:

Под корена квадратичната функция: y \u003d 3 - 2x - x 2. Неговата графика - Parabola, но клона надолу, защото a \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Ние изписваме областта на допустимите стойности (OTZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; един]

Сега намираме върха на Parabola:

x 0 \u003d -b / (2а) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

Точка X 0 \u003d -1 принадлежи към сегмента на OTZ - и това е добро. Сега разглеждаме стойността на функцията в точка X 0, както и в края на OTZ:

y (-3) \u003d Y (1) \u003d 0

Така че, те получиха числа 2 и 0. Ние сме помолени да намерим най-голямото - това е номер 2.

Задача. Намерете най-малката функция на функцията:

y \u003d log 0.5 (6x - x 2 - 5)

Вътре в логаритъма струва квадратичната функция y \u003d 6x - x 2 - 5. Това е парабола клони надолу, но в логаритъма не може да бъде отрицателни номера, така че ние пишем ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Моля, обърнете внимание: Неравенството е строго, така че краищата не принадлежат към OTZ. Този логаритъм е различен от корена, където краищата на сегмента са доста подходящи.

Търсим върха на Parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

Горната част на парабола е подходяща за ODZ: X 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Но тъй като краищата на сегмента не ни интересуват, считайте стойността на функцията само в точка x 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0.5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0.5 4 \u003d -2

Концепцията за най-големите и най-малки стойности на функцията.

Концепцията за точкуване и най-малки стойности е тясно свързана с концепцията за критична функция на функцията.

Определение 1.

$ x_0 $ се нарича критична точка от функцията $ f (x) $, ако:

1) $ x_0 $ - вътрешната точка на дефиницията;

2) $ f "left (x_0] дясно) \u003d 0 $ или не съществува.

Сега въвеждаме дефинициите на най-голямата и най-малка функционална стойност.

Определение 2.

Функцията $ y \u003d f (x) $ дефинирана на $ x $ gap достига най-голямата си стойност, ако има $ x_0 в x $ точка, така че за всички $ x в x $ неравенство се извършва

Определение 3.

Функцията $ y \u003d f (x) $ дефинирана на $ x $ gap достига най-малката си стойност, ако има $ x_0 в x $ точка, така че за всички $ x в x $ неравенство се извършва

Теорема на Weierstrass непрекъснато на сегмента на функцията

Ние въвеждаме да започнем понятието за непрекъснато на сегмента на функцията:

Определение 4.

$ F лява функция (x] вдясно) се нарича непрекъснато на $$ секция, ако тя е непрекъсната във всяка точка от $ (a, b) $ интервал, и е непрекъснат вдясно при $ x \u003d a $ и наляво при $ x точка \u003d b $.

Ние формулираме теоремата за непрекъсната функция на сегмента на функцията.

Теорема 1.

Теорема на Weierstrass.

Непрекъснато $$ функция $ f, ляво (x] $ достига до този сегмент от най-голямата си и най-малка стойност, т.е. има точки $ alpha, beta в $ такъв, че за всички $ x в $ е Извършва неравенството е $ f (alpha) le f (x) le f (бета) $.

Геометричното тълкуване на теоремата е показано на фигура 1.

Тук функцията $ f (x) $ достига най-малкото си стойност в точка $ x \u003d alpha $ достига най-високата си стойност на $ x \u003d бета $.

Схемата за намиране на най-големите и най-малки стойности на функцията $ f (x) $ на сегмента $$

1) Намерете дериват от $ f (x) $;

2) Намерете точки, в които деривата $ f "остави (x] \u003d 0 $;

3) Намерете точки, в които дериватив $ f "(x) $ не съществува;

4) избират от тези, получени в параграфи 2 и 3 от тези, които принадлежат на сегмента на $$;

5) изчислете стойността на функцията в точките, получени в параграф 4, както и в края на сегмента на $$;

6) Изберете най-голямата и най-малка стойност от стойностите.

Задачи за намиране на най-големите и най-малки стойности на функцията на сегмента

Пример 1.

Намерете най-голямата и най-малка стойност на функцията на сегмента: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + $ 1

Решение.

1) $ f "лява (x] \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

2) $ f "лява (x] \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ 2 вляво, \\ t

5) Стойности:

\ \ \ \

6) Най-голямата от установените стойности е $ 33 $, най-малките от установените стойности са $ 1 $. Така получаваме:

Отговор: $ Max \u003d 33, min \u003d 1 $.

Пример 2.

Намерете най-голямата и най-малка стойност на функцията на сегмента: $ f оставена (x] \u003d x ^ 3-3x ^ 2-45x + $ 225

Решение.

Решението ще се извършва по следната схема по-горе.

1) $ f "лява (x] \u003d 3x ^ 2-6x-45 $;

2) $ f "лява (x] \u003d 0 $;

\ \ \

3) $ f "(x) $ съществува във всички точки на дефиницията;

4) $ -3 notin остави, 5 в $;

5) Стойности:

\ \ \

6) Най-голямата от установените стойности е $ 225, най-малките стойности са $ 50. Така получаваме:

Отговор: $ Max \u003d 225, min \u003d $ 50.

Пример 3.

Намерете най-голямата и най-малка стойност на функцията на сегмента [-2,2]: $ f, ляво (x] \u003d frac (x ^ 2-6x + 9) (x - 1) $

Решение.

Решението ще се извършва по следната схема по-горе.

1) $ f "лява (x] \u003d frac (лява (2x-6 дясно), ляво (x-1 вдясно) - (x ^ 2-6x + 9)) ((x- \\ t 1)) ^ 2) \u003d frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) $;

2) $ f "лява (x] \u003d 0 $;

[FRAC (x ^ 2-2x-3) (((x - 1)) ^ 2) \u003d 0 \\ t

3) $ f "(x) $ не съществува в точка $ x \u003d 1 $

4) $ 3 notin остави [-2.2 право], вляво [-2.2 право], в ляво [-2.2] $, но 1 не принадлежи на областите определение;

5) Стойности:

\ \ \

6) Най-голямата от установените стойности е $ 1 $, най-малките от установените стойности са $ -8 frac (1) (3) $. Така получаваме: Избройте)

Отговор: $ Max \u003d 1, min \u003d\u003d - 8 frac (1) (3) $.

В задачата B14 от Math EGE е необходимо да се намери най-малката или най-голяма стойност на функцията на една променлива. Това е доста тривиална задача на математически анализИ това е по тази причина да се научим да го решавате нормално, може би всеки завършил гимназия. Ще анализираме няколко примера, които учениците решиха диагностична работа В математиката, проведена в Москва на 7 декември 2011 година.

В зависимост от пропастта, която искате да намерите максималната или минималната стойност на функцията, един от следните стандартни алгоритми се използва за решаване на този проблем.

I. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малка стойност на функцията на сегмента:

• Намерете деривативна функция.
• Изберете от точки подозрителни към екстремум, тези, които принадлежат към тази област на сегмента и функцията.
• Изчисли стойностите функции (не е получено!) В тези точки.
• Сред получените стойности изберете най-голямата или най-малка, тя ще бъде желаната.

Пример 1. Намерете най-малката функция
y. = х. 3 – 18х. 2 + 81х. + 23 на сегмента.

Решение:ние действаме върху алгоритъма на намирането на най-малката стойност на функцията на сегмента:

• Областта на дефиниране на място не е ограничена: D (y) = R.
• Деривативната функция е: y ' = 3х. 2 – 36х. + 81. Определението на деривативната функция също не се ограничава до: \\ t D (y ') = R.
• Производни на нули: y ' = 3х. 2 – 36х. + 81 \u003d 0, тогава х. 2 – 12х. + 27 \u003d 0, откъде х. \u003d 3 I. х. \u003d 9, в нашата празнина влизат само х. \u003d 9 (една точка, подозрителна към екстрема).
• Ние намираме стойността на функцията в една точка, подозрителна към екстрема и по краищата на пропастта. За удобството на компютрите си представете функцията във формата: y. = х. 3 – 18х. 2 + 81х. + 23 = х.(х.-9) 2 +23:
  • y.(8) \u003d 8 · (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y.(9) \u003d 9 · (9-9) 2 +23 \u003d 23;
  • y.(13) \u003d 13 · (13-9) 2 +23 \u003d 231.

Така че, от получените стойности на най-малкия е 23. Отговор: 23.

II. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малка функционална стойност:

• Намерете областта на дефиницията на функцията.
• Намерете деривативна функция.
• Определете точките, подозрителни към екстремум (тези точки, в които деривативната функция е привлечена до нула, и точките, в които няма двупосочно терминално дериват).
• Отбележете тези точки и област за дефиниране на цифровите директни и дефиниране на символи дериватив (Не функции!) На произтичащите интервали.
• Определят стойностите функции (не са получени!) В точките на минимума (тези точки, при които знакът на деривативните промени от минус до плюс), най-малката от тези стойности ще бъде най-малката функционална стойност. Ако няма точки от минимум, функцията няма най-малка стойност.
• Определят стойностите функции (не са получени!) В точките на максимума (тези точки, при които знакът на деривативните промени от плюс до минус), най-голямата от тези стойности ще бъде най-голямата стойност на функцията. Ако максималните точки не са, функцията няма най-голяма стойност.

Пример 2. Намерете най-голямата стойност на функцията.