Нека функцията е неотрицателна и непрекъсната на интервал. Тогава, според геометричното значение на определен интеграл, площта на криволинеен трапец, ограничена отгоре от графиката на тази функция, отдолу от ос, отляво и отдясно с прави линии и (виж фиг. 2 ) се изчислява по формулата

Пример 9.Намерете площта на фигура, ограничена от линия и ос.

Решение... Графика на функциите е парабола, чиито клони са насочени надолу. Нека го изградим (фиг. 3). За да определим границите на интегриране, намираме пресечните точки на линията (парабола) с оста (права линия). За целта решаваме системата от уравнения

Получаваме: , където , ; следователно, , .

Ориз. 3

Намираме площта на фигурата по формулата (5):

Ако функцията е неположителна и непрекъсната на сегмент, тогава площта на криволинеен трапец, ограничена отдолу от графиката на тази функция, отгоре с ос, наляво и надясно с прави линии и се изчислява по формулата

. (6)

Ако функцията е непрекъсната на сегмент и променя знака при краен брой точки, тогава площта на защрихованата фигура (фиг. 4) е равна на алгебричната сума от съответните определени интеграли:

Ориз. 4

Пример 10.Изчислете площта на фигурата, ограничена от оста и графиката на функцията at.

Ориз. 5

Решение... Нека направим чертеж (фиг. 5). Необходимата площ е сборът от площите и. Нека намерим всяка една от тези области. Първо, ние определяме границите на интеграция чрез решаване на системата Получаваме,. Следователно:

;

.

По този начин площта на засенчената фигура е

(кв. единици).

Ориз. 6

И накрая, нека криволинейният трапец е ограничен отгоре и отдолу от графиките на функциите, непрекъснати на интервал и,
а отляво и отдясно - прави линии и (фиг. 6). Тогава неговата площ се изчислява по формулата

. (8)

Пример 11.Намерете площта на фигурата, ограничена от линии и.

Решение.Тази фигура е показана на фиг. 7. Изчисляваме площта му по формулата (8). Решавайки системата от уравнения намираме,; следователно, , . На сегмента имаме:. Следователно във формула (8) вземаме х, и като -. Получаваме:

(кв. единици).

По-сложните задачи за изчисляване на площи се решават чрез разделяне на фигура на не пресичащи се части и изчисляване на площта на цялата фигура като сума от площите на тези части.

Ориз. 7

Пример 12.Намерете площта на фигурата, ограничена от линии,,.

Решение... Нека направим чертеж (фиг. 8). Тази фигура може да се разглежда като криволинеен трапец, ограничен отдолу от оста, отляво и отдясно - от прави линии и отгоре - от графиките на функциите и. Тъй като фигурата е ограничена отгоре от графиките на две функции, за да изчислим нейната площ, разделяме тази фигура с права линия на две части (1 е абсцисата на пресечната точка на линиите и). Площта на всяка от тези части се намира по формулата (4):

(кв. единици); (кв. единици). Следователно:

(кв. единици).

Ориз. осем

NS= j ( при)

Ориз. девет

В заключение отбелязваме, че ако криволинейният трапец е ограничен от прави линии и, ос и непрекъснат по кривата (фиг. 9), тогава неговата площ се намира по формулата

Обемът на тялото на революцията

Нека криволинеен трапец, ограничен от графиката на непрекъсната функция на сегмент, от ос, прави линии и, се върти около ос (фиг. 10). Тогава обемът на полученото тяло на въртене се изчислява по формулата

. (9)

Пример 13.Изчислете обема на тяло, получено чрез въртене около оста на извит трапец, ограничен от хипербола, прави линии и ос.

Решение... Нека направим чертеж (фиг. 11).

От постановката на проблема следва, че ,. По формула (9) получаваме

.

Ориз. десет

Ориз. единадесет

Обемът на тялото, получен чрез въртене около ос OUизвит трапец, ограничен от прави линии y = cи y = d, ос OUа графиката на непрекъсната функция върху отсечка (фиг. 12), се определя по формулата

. (10)

NS= j ( при)

Ориз. 12

Пример 14... Изчислете обема на тялото, получен чрез въртене около ос OUизвит трапец, ограничен от линии NS 2 = 4при, y = 4, x = 0 (фиг. 13).

Решение... В съответствие с условието на проблема намираме границите на интегриране:,. По формула (10) получаваме:

Ориз. 13

Дължина на дъгата с плоска крива

Нека кривата, дадена от уравнението, където, лежи в равнината (фиг. 14).

Ориз. четиринадесет

Определение. Под дължина на дъгата се разбира границата, към която клони дължината на прекъснатата линия, вписана в тази дъга, когато броят на връзките на прекъснатата линия клони към безкрайност, а дължината на най-голямата връзка клони към нула.

Ако функция и нейната производна са непрекъснати на сегмент, тогава дължината на дъгата на кривата се изчислява по формулата

. (11)

Пример 15... Изчислете дължината на дъгата на кривата, затворена между точките, за които .

Решение... От състоянието на проблема, който имаме ... По формула (11) получаваме:

.

4. Неправилни интеграли
с безкрайни граници на интеграция

При въвеждането на концепцията за определен интеграл се приемаше, че са изпълнени следните две условия:

а) граници на интеграция аи са крайни;

б) интегралната функция е ограничена върху отсечката.

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава интегралът се извиква неправилно.

Нека първо разгледаме неправилните интеграли с безкрайни граници на интегриране.

Определение. Тогава нека функцията е дефинирана и непрекъсната на интервалаи неограничен вдясно (фиг. 15).

Ако неправилният интеграл се сближи, тогава тази област е крайна; ако неправилният интеграл се разминава, тогава тази област е безкрайна.

Ориз. 15

Неправилен интеграл с безкрайна долна граница на интегриране се дефинира по подобен начин:

. (13)

Този интеграл се сближава, ако пределът от дясната страна на равенство (13) съществува и е краен; в противен случай интегралът се нарича дивергентен.

Неправилен интеграл с две безкрайни граници на интегриране се дефинира, както следва:

, (14)

където c е всяка точка от интервала. Интегралът се сближава само ако и двата интеграла от дясната страна на равенство (14) се сближават.

;

ж) = [изберете пълен квадрат в знаменателя:] = [замяна:

] =

Следователно, неправилният интеграл се сближава и неговата стойност е равна на.

Въведете функцията, за която искате да намерите интеграла

Калкулаторът предоставя ПОДРОБНО решение за определени интеграли.

Този калкулатор решава определения интеграл от f (x) с дадена горна и долна граница.

Примери за

Използване на степента
(квадрат и куб) и дроби

(x ^ 2 - 1) / (x ^ 3 + 1)

Корен квадратен

Sqrt (x) / (x + 1)

Кубичен корен

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

Използване на синус и косинус

2 * sin (x) * cos (x)

Арксинус

X * arcsin (x)

Аркосинус

X * arccos (x)

Приложение на логаритъм

X * log (x, 10)

Естествен логаритъм

Изложител

Tg (x) * sin (x)

Котангенс

Ctg (x) * cos (x)

Ирационални дроби

(sqrt (x) - 1) / sqrt (x ^ 2 - x - 1)

Арктангенс

X * arctg (x)

Аркотангенс

X * arсctg (x)

Хиберболичен синус и косинус

2 * sh (x) * ch (x)

Хиберболичен тангенс и котангенс

Ctgh (x) / tgh (x)

Хиберболичен арксинус и аркосинус

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

Хиберболична дъгова допирателна и дъгова котангенс

X ^ 2 * arctgh (x) * arcctgh (x)

Правила за въвеждане на изрази и функции

Изразите могат да се състоят от функции (обозначенията са дадени по азбучен ред): абсолютно (x)Абсолютна стойност х
(модул хили | х |) arccos (x)Функция - обратен косинус на х arccosh (x)Аркосинус хиперболичен от х arcsin (x)Арксинус на х arcsinh (x)Арксинус хиперболичен на х arctg (x)Функция - арктангенс на х arctgh (x)Арктангенс хиперболичен на х д дчисло, което е приблизително 2,7 exp (x)Функция - степен от х(като д^х) дневник (x)или ln (x)Естествен логаритъм на х
(Придобивам log7 (x), трябва да въведете log (x) / log (7) (или, например, for log10 (x)= дневник (x) / дневник (10)) пиЧислото е "Пи", което е приблизително 3,14 грях (x)Функция - Синус на х cos (x)Функция - Косинус на х синх (x)Функция - Синус хиперболичен от х пари (x)Функция - Косинус хиперболичен от х sqrt (x)Функция - корен квадратен от х sqr (x)или х ^ 2Функция - квадрат х tg (x)Функция - Тангенс на х tgh (x)Функция - Допирателна хиперболична от х cbrt (x)Функция - корен кубичен от х

Следните операции могат да се използват в изрази: Реални числа въведете във формуляра 7.5 , не 7,5 2 * х- умножение 3 / х- разделение х ^ 3- степенуване x + 7- допълнение х - 6- изваждане
Други функции: етаж (x)Функция - закръгляване хнадолу (пример етаж (4.5) == 4.0) таван (x)Функция - закръгляване хнагоре (пример таван (4.5) == 5.0) знак (x)Функция - Знак х erf (x)Функция за грешка (или интеграл на вероятността) laplace (x)Функция на Лаплас

Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В урока казах, че определен интеграл е число. И сега е време да заявим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определения интеграл е ОБЛАСТТА.

Това е, определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура... Например, разгледайте определен интеграл. Интегралната функция определя определена крива на равнината (тя винаги може да бъде начертана, ако желаете), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типична формулировка на задачата. Първата и най-важна точка от решението е изграждането на чертежа... Освен това чертежът трябва да бъде изграден ПРАВО.

При изграждането на чертеж препоръчвам следния ред: първопо-добре е да изградите всички линии (ако има такива) и само след- параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точково, техниката на конструиране точка по точка може да се намери в материал за справка.

Там можете да намерите и много полезен материал във връзка с нашия урок - как бързо да построите парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертеж (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да излюпвам извит трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента се намира графиката на функцията над оста, Следователно:

Отговор:

Всеки, който има затруднения при изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц, се обърне към лекцията Определен интеграл... Примери за решения.

След като задачата е завършена, винаги е полезно да погледнете чертежа и да прецените дали отговорът е реален. В този случай "на око" броим броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат набрани, изглежда като истината. Съвсем ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава явно някъде е допусната грешка - разглежданата цифра очевидно не се побира в 20 клетки, най-много десет. Ако отговорът е отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на форма, ограничена от линии и ос

Това е пример за независимо решение. Пълно решениеи отговора в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Нека изпълним чертежа:

Ако извитият трапец напълно разположени под оста, тогава неговата площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:

Внимание! Двата типа задачи не трябва да се бъркат:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакъв геометричен смисъл, то може да бъде отрицателно.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, използвайки определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо в току -що разгледаната формула се появява минус.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии.

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи върху дадена област, най-много ни интересуват точките на пресичане на линиите. Намерете пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.
По-добре е да не използвате този метод, ако е възможно.

Много по-изгодно и по-бързо е да се конструират линиите точка по точка, докато границите на интеграцията стават ясни, така да се каже, „от само себе си“. Техниката на нанасяне на точки по точка за различни диаграми е подробно разгледана в помощта. Графики и свойства елементарни функции ... Въпреки това, аналитичният метод за намиране на границите все още трябва да се използва понякога, ако например графиката е достатъчно голяма или точната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашия проблем: по-рационално е първо да се построи права линия и едва след това парабола. Нека изпълним чертежа:

Повтарям, че в случай на точкова конструкция, границите на интегриране най -често се установяват от „автомат“.

И сега работната формула:Ако на сегмент някаква непрекъсната функция по-голям или равенна някаква непрекъсната функция, тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста и, грубо казано, важно е кой график е НАГОРЕ(спрямо друга графика), и коя е ПОДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на отсечката параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

Необходимата фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинеен трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) - специален случайформули. Тъй като оста е дадена от уравнението, а графиката на функцията е разположена под оста, тогава

И сега няколко примера за независимо решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линии,.

В хода на решаването на задачи за изчисляване на площта с помощта на определен интеграл понякога се случва забавен инцидент. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но по невнимание ... зоната на грешната фигура е намерена, така на няколко пъти се прецака твоят смирен слуга. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите ,,,.

Първо, нека изпълним чертежа:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е засенчена в синьо(внимателно погледнете състоянието - от какво е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често възниква, че трябва да намерите площта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура, използвайки два определени интеграла. Наистина ли:

1) Линейна графика е разположена на сегмента над оста;

2) Графиката на хиперболата се намира на сегмента над оста.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да се добавят, следователно:

Отговор:

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията във формата "училище" и изпълним чертеж точка по точка:

От чертежа се вижда, че горната ни граница е "добра":.
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но кое? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да е това. Или корен. Ами ако начертахме графиката изобщо неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да прецизирате границите на интеграцията аналитично.

Намерете пресечните точки на правата и параболата.
За целта решаваме уравнението:

Следователно, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в замествания и знаци, изчисленията тук не са от най-лесните.

На сегмента, съгласно съответната формула:

Е, в заключение на урока ще разгледаме две по-трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,

Решение: Начертайте тази фигура на чертежа.

За да изградите чертеж точка по точка, трябва да знаете външен видсинусоиди (и като цяло е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои стойности на синусите, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица... В редица случаи (както в този) е позволено да се построи схематичен чертеж, върху който по принцип трябва да се изобразят правилно графиките и границите на интегриране.

Няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: - "x" се променя от нула на "pi". Взимаме допълнително решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

(1) Как да интегрираме синуси и косинуси в нечетни степени може да се види в урока Интеграли от тригонометрични функции ... Това е типична техника, отщипваме един синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формата

(3) Нека променим променливата, след това:

Нови преразпределения на интеграцията:

Който е наистина лош със замени, моля, отидете на урока Метод на подмяна в неопределен интеграл ... За кого алгоритъмът за заместване в определен интеграл не е много ясен, посетете страницата Определен интеграл. Примери за решения... Пример 5: Решение:, следователно:

Отговор:

Забележка:забележете как е взет интегралът от допирателната в куба, тук следствие от главното тригонометрична идентичност.

Да разгледаме извит трапец, ограничен от оста Ox, кривата y = f (x) и две прави линии: x = a и x = b (фиг. 85). Нека вземем произволна стойност на x (но не a и не b). Нека му дадем инкремент h = dx и разгледаме ивица, ограничена от прави AB и CD, оста Ox и дъгата BD, принадлежаща на разглежданата крива. Тази лента ще се нарича елементарна лента. Площта на елементарна лента се различава от площта на правоъгълника ACQB с криволинеен триъгълник BQD, а площта на последния е по-малка от площта на правоъгълника BQDM със страни BQ = h = dx ) QD = Ay и площ, равна на hAy = Ay dx. С намаляваща страна h, страната Du също намалява и едновременно с h клони към нула. Следователно площта на BQDM е безкрайно малка от втори ред. Площта на елементарна лента е увеличението на площта, а площта на правоъгълника ACQB, равна на AB-AC == / (x) dx>, е диференциала на площите. Следователно намираме самата област, като интегрираме нейния диференциал. В рамките на разглежданата фигура независимата променлива l: варира от a до b, така че необходимата площ 5 ще бъде равна на 5 = \ f (x) dx. (I) Пример 1. Нека изчислим площта, ограничена от параболата y - 1 -x *, правите X = - Fj-, x = 1 и оста O * (фиг. 86). Фиг. 87. Фиг. 86.1 Тук f (x) = 1 - n?, Границите на интегриране са a = - и t = 1, следователно 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Пример 2. Изчислете площта, ограничена от синусоидата y = sinXy по оста Ox и правата линия (фиг. 87). Прилагайки формула (I), получаваме Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf Пример 3. Изчислете площта, ограничена от дъгата на синусоидата ^ y = sin jc, приложена между две съседни пресечни точки с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Имайте предвид, че от геометрични съображения е ясно, че тази област ще бъде два пъти повече площпредишния пример. Нека обаче направим изчисленията: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o Наистина нашето предположение се оказа вярно. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоида и ^ от оста Ox за един pe-x период (фиг. 88). Предварителните съображения ни позволяват да приемем, че площта ще бъде четири пъти по-голяма от тази в пр. 2. След изчисленията обаче получаваме "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. Този резултат изисква изясняване. За да изясним същността на въпроса, ние също така изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y = sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2i. Прилагайки формула (I), получаваме 2l $ 2l sin xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2. Така виждаме, че тази област е отрицателна. Сравнявайки го с площта, изчислена в пр. 3, установяваме, че тяхната абсолютни стойностиса едни и същи, но знаците са различни. Ако приложим свойството V (виж глава XI, § 4), тогава получаваме 2l I 2l J sin xdx = J sin * dx [sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Това, което се случи в този пример, не е случайно . Винаги площта под оста Ox, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава чрез изчисляване на отрицателни интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме зони без знаци. Следователно отговорът в току-що анализирания пример ще бъде следният: необходимата площ е равна на 2 + | -2 | = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на OAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата y - = - x + \. Площ на криволинеен трапец. Търсената област OAV се състои от две части: OAM и MAV. Тъй като точка А е пресечната точка на параболата и правата, ще намерим нейните координати чрез решаване на системата от уравнения 3 2 Y = mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; = ~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първи квадрат. ОАМ и след това мн. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Qam- ^ x)