Постановка на проблема в двуизмерния случай

Реконструкция на функция от няколко променливи от нейния тотален диференциал

9.1. Постановка на проблема в двуизмерния случай. 72

9.2. Описание на решението. 72

Това е едно от приложенията на криволинеен интеграл от втори вид.

Даден е израз за общия диференциал на функция от две променливи:

Намерете функция.

1. Тъй като не всеки израз на формата е тотален диференциал на някаква функция U(х,y), тогава е необходимо да се провери правилността на постановката на задачата, тоест да се провери необходимото и достатъчно условие за общия диференциал, който за функция от 2 променливи има формата. Това условие следва от еквивалентността на твърдения (2) и (3) в теоремата на предишния раздел. Ако посоченото условие е изпълнено, тогава проблемът има решение, тоест функцията U(х,y) можете да възстановите; ако условието не е изпълнено, тогава проблемът няма решение, тоест функцията не може да бъде възстановена.

2. Възможно е да се намери функция по нейния тотален диференциал, например, като се използва криволинеен интеграл от втория вид, като се изчисли от линия, свързваща неподвижна точка ( х 0 ,y 0) и променлива точка ( x; y) (Ориз. осемнадесет):

Така беше получено, че криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал dU(х,y) е равно на разликатафункционални стойности U(х,y) в края и началната точка на линията за интеграция.

Знаейки този резултат, вместо това трябва да го замените dUв криволинейния интегрален израз и изчислете интеграла по прекъснатата линия ( ACB), предвид нейната независимост от формата на интеграционната линия:

На ( AC): На ( СВ) :

(1)

Така се получава формула, с помощта на която функцията на 2 променливи се възстановява от нейния тотален диференциал.

3. Функцията може да бъде възстановена от нейния тотален диференциал само до постоянен член, тъй като д(U+ const) = dU... Следователно, в резултат на решаването на проблема, получаваме набор от функции, които се различават една от друга с постоянен член.

Примери (възстановяване на функция от две променливи от нейния тотален диференциал)

1. Намерете U(х,y), ако dU = (х 2 – y 2)dx – 2xydy.

Проверяваме състоянието на общия диференциал на функцията на две променливи:

Общото диференциално условие е изпълнено; следователно, функцията U(х,y) може да се възстанови.

Проверете: - вярно.

Отговор: U(х,y) = х 3 /3 – xy 2 + ° С.

2. Намерете такава функция, че

Проверяваме необходимите и достатъчни условия за общия диференциал на функцията на три променливи: ,,, ако е даден изразът.

В проблема, който се решава

всички условия за общия диференциал са изпълнени, следователно функцията може да бъде възстановена (проблемът е поставен правилно).

Ще възстановим функцията, използвайки криволинеен интеграл от втори вид, като я изчислим по някаква линия, свързваща фиксирана точка и променлива точка, тъй като

(това равенство се извежда по същия начин, както в двуизмерния случай).

От друга страна, криволинейният интеграл от втория вид на общия диференциал не зависи от формата на линията на интегриране; следователно, най -лесно е да се преброи по прекъсната линия, състояща се от сегменти, успоредни на координатните оси. В този случай, като фиксирана точка, можете да вземете точка с конкретни числови координати само за вас, като проследявате само така, че в тази точка и по цялата линия на интегриране да е изпълнено условието за съществуване на криволинеен интеграл (т.е. , че функциите и са непрекъснати). Имайки предвид тази забележка, в този проблем можете да вземете фиксирана точка, например точка M 0. Тогава на всяка от връзките на прекъснатата линия ще имаме

10.2. Изчисляване на повърхностния интеграл от първи вид. 79

10.3. Някои приложения на повърхностния интеграл от първи вид. 81

В тази тема ще разгледаме метод за възстановяване на функция от нейния пълен диференциал и ще дадем примери за проблеми с пълен анализ на решението.

Случва се така, че диференциалните уравнения (DE) от вида P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 могат да съдържат пълни диференциали на някои функции в лявата част. Тогава можем да намерим общия интеграл на DE, ако първо възстановим функцията от нейния тотален диференциал.

Пример 1

Помислете за уравнението P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Лявата му страна съдържа диференциала на някаква функция U (x, y) = 0... За това трябва да бъде изпълнено условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Общият диференциал на функцията U (x, y) = 0 има формата d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Като се вземе предвид условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, получаваме:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Като трансформираме първото уравнение от получената система от уравнения, можем да получим:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Можем да намерим функцията φ (y) от второто уравнение на получената по -рано система:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ ydy

Ето как намерихме необходимата функция U (x, y) = 0.

Пример 2

Намерете общото решение за DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Решение

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Нека проверим дали условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е изпълнено:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( - 2 x y) ∂ x = - 2 y

Нашето условие е изпълнено.

Въз основа на изчисленията можем да заключим, че лявата страна на оригиналния DE е общият диференциал на някаква функция U (x, y) = 0. Трябва да намерим тази функция.

Тъй като (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y е общият диференциал на функцията U (x, y) = 0, тогава

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Интегрираме първото уравнение на системата върху x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Сега диференцираме резултата, получен по отношение на y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Преобразувайки второто уравнение на системата, получаваме: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Означава, че
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

където C е произволна константа.

Получаваме: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Общият интеграл на първоначалното уравнение е x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Нека разгледаме друг метод за намиране на функция от известен общ диференциал. Той включва прилагането на криволинеен интеграл от неподвижна точка (x 0, y 0) към точка с променливи координати (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

В такива случаи стойността на интеграла не зависи по никакъв начин от пътя на интегрирането. Като интеграционен път можем да вземем полилиния, чиито връзки са разположени успоредно на координатните оси.

Пример 3

Намерете общото решение на диференциалното уравнение (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Решение

Нека проверим дали условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е изпълнено:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Оказва се, че лявата страна на диференциалното уравнение е представена от общия диференциал на някаква функция U (x, y) = 0. За да се намери тази функция, е необходимо да се изчисли криволинейният интеграл от точката (1 ; 1) преди (x, y)... Нека вземем като път на интегриране полилиния, чиито сегменти ще преминават по права линия y = 1от точка (1, 1) до (x, 1) и след това от точка (x, 1) до (x, y):

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1, 1) (x, 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Получихме общо решение на диференциално уравнение от формата x y - x y 2 + C = 0.

Пример 4

Намерете общото решение на диференциалното уравнение y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Решение

Нека проверим дали условието ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x е изпълнено.

Тъй като ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, условието няма да бъде изпълнено. Това означава, че лявата страна на диференциалното уравнение не е общият диференциал на функцията. Това е разделимо диференциално уравнение и други решения са подходящи за решаването му.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Диференциална се нарича уравнение на формата

P(x, y)dx + В(x, y)dy = 0 ,

където лявата страна е общият диференциал на някаква функция от две променливи.

Нека обозначим неизвестната функция на две променливи (това е, което трябва да намерим, когато решаваме уравнения в пълни диференциали) през Fи скоро ще се върнем при нея.

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание: от дясната страна на уравнението трябва да има нула, а знакът, свързващ двата члена от лявата страна, трябва да е плюс.

Второ, трябва да се спазва известно равенство, което е потвърждение, че даденото диференциално уравнение е уравнение в тотални диференциали. Тази проверка е задължителна част от алгоритъма за решаване на уравнения в тотални диференциали (тя е във втория параграф на този урок), така че процесът на намиране на функция Fдоста отнема време и е важно за начална фазагледайте да не губим време.

Така че неизвестната функция, която трябва да бъде намерена, се обозначава с F... Сумата от частичните диференциали по всички независими променливи дава общия диференциал. Следователно, ако уравнението е общо диференциално уравнение, лявата страна на уравнението е сумата от частичните диференциали. Тогава по дефиниция

dF = P(x, y)dx + В(x, y)dy .

Припомняме формулата за изчисляване на общия диференциал на функция от две променливи:

Решавайки последните две равенства, можем да напишем

.

Първото равенство е диференцируемо по отношение на променливата "игра", второто - по отношение на променливата "x":

.

което е условието, че даденото диференциално уравнение наистина е уравнение в тотални диференциали.

Алгоритъм за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Етап 1.Проверете дали уравнението е общо диференциално уравнение. За да се изрази беше общият диференциал на някаква функция F(x, y), е необходимо и достатъчно, че. С други думи, трябва да вземете частичната производна по отношение на хи частичната производна по отношение на yдруг термин и, ако тези производни са равни, тогава уравнението е уравнение в тотални диференциали.

Стъпка 2.Напишете система от частични диференциални уравнения, които съставляват функцията F:

Стъпка 3.Интегрирайте първото уравнение на системата - по х (y F:

,
y.

Алтернативен вариант (ако е по -лесно да се намери интеграла по този начин) е да се интегрира второто уравнение на системата - над y (хостава постоянна и се изважда от интегралния знак). По този начин функцията също се възстановява F:

,
къде е все още неизвестната функция на NS.

Стъпка 4.Разграничете резултата от стъпка 3 (намерения общ интеграл) по отношение на y(алтернативно - от х) и се приравнява на второто уравнение на системата:

,

и алтернативно на първото уравнение на системата:

.

От полученото уравнение определяме (алтернативно)

Стъпка 5.Интегрирайте и намерете резултата от стъпка 4 (намерете алтернативно).

Стъпка 6.Заместете резултата от стъпка 5 в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частична интеграция F... Произволна константа ° Спо -често се пише след знака за равенство - от дясната страна на уравнението. По този начин получаваме общото решение на диференциалното уравнение в тотални диференциали. Както вече споменахме, той има формата F(x, y) = ° С.

Примери за решения на диференциални уравнения в тотални диференциали

Пример 1.

Етап 1. общо диференциално уравнение хедин термин от лявата страна на израза

и частичната производна по отношение на yдруг термин
общо диференциално уравнение .

Стъпка 2. F:

Стъпка 3.На х (yостава постоянна и се изважда от интегралния знак). По този начин възстановяваме функцията F:

къде е все още неизвестната функция на y.

Стъпка 4. y

.

.

Стъпка 5.

Стъпка 6. F... Произволна константа ° С :
.

Каква грешка е най -вероятно възможна тук? Най -често срещаните грешки са да вземем частичния интеграл върху една от променливите за обичайния интеграл на продукта на функциите и да се опитаме да интегрираме по части или по заместваща променлива, а също така да вземем частичната производна на два фактора като производна на продукт на функции и потърсете производната по съответната формула.

Това трябва да се помни: когато се изчислява частичен интеграл по отношение на една от променливите, другата е константа и е извадена от интегралния знак, а когато се изчислява частична производна по отношение на една от променливите, другата също е константа и производната на израза се намира като производна на "ефективната" променлива, умножена по константа.

Между уравнения в тотални диференциали не са необичайни - примери с експонент. Това е следващият пример. Забележително е и факта, че в неговото решение се използва алтернативен вариант.

Пример 2.Решаване на диференциално уравнение

.

Етап 1.Нека проверим дали уравнението е общо диференциално уравнение ... За да направим това, намираме частичната производна по отношение на хедин термин от лявата страна на израза

и частичната производна по отношение на yдруг термин
... Тези производни са равни, което означава, че уравнението е общо диференциално уравнение .

Стъпка 2.Записваме системата от частични диференциални уравнения, които съставляват функцията F:

Стъпка 3.Нека интегрираме второто уравнение на системата - над y (хостава постоянна и се изважда от интегралния знак). По този начин възстановяваме функцията F:

къде е все още неизвестната функция на NS.

Стъпка 4.Резултатът от стъпка 3 (намереният общ интеграл) се диференцира по NS

и се приравнява на първото уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:
.

Стъпка 6.Резултатът от стъпка 5 се замества в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частична интеграция F... Произволна константа ° Спишем след знака за равенство. Така получаваме общото решение на диференциално уравнение в тотални диференциали :
.

Следният пример се връща от алтернативен варианткъм основната.

Пример 3.Решаване на диференциално уравнение

Етап 1.Нека проверим дали уравнението е общо диференциално уравнение ... За да направим това, намираме частичната производна по отношение на yедин термин от лявата страна на израза

и частичната производна по отношение на хдруг термин
... Тези производни са равни, което означава, че уравнението е общо диференциално уравнение .

Стъпка 2.Записваме системата от частични диференциални уравнения, които съставляват функцията F:

Стъпка 3.Интегрираме първото уравнение на системата - На х (yостава постоянна и се изважда от интегралния знак). По този начин възстановяваме функцията F:

къде е все още неизвестната функция на y.

Стъпка 4.Резултатът от стъпка 3 (намереният общ интеграл) се диференцира по y

и се приравнява на второто уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:

Стъпка 6.Резултатът от стъпка 5 се замества в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частична интеграция F... Произволна константа ° Спишем след знака за равенство. Така получаваме общото решение на диференциално уравнение в тотални диференциали :
.

Пример 4.Решаване на диференциално уравнение

Етап 1.Нека проверим дали уравнението е общо диференциално уравнение ... За да направим това, намираме частичната производна по отношение на yедин термин от лявата страна на израза

и частичната производна по отношение на хдруг термин
... Тези производни са равни, което означава, че уравнението е уравнение в общите диференциали.

Стъпка 2.Записваме системата от частични диференциални уравнения, които съставляват функцията F:

Стъпка 3.Интегрираме първото уравнение на системата - На х (yостава постоянна и се изважда от интегралния знак). По този начин възстановяваме функцията F:

къде е все още неизвестната функция на y.

Стъпка 4.Резултатът от стъпка 3 (намереният общ интеграл) се диференцира по y

и се приравнява на второто уравнение на системата:

От полученото уравнение определяме:
.

Стъпка 5.Интегрираме резултата от стъпка 4 и намираме:

Стъпка 6.Резултатът от стъпка 5 се замества в резултата от стъпка 3 - във функцията, възстановена чрез частична интеграция F... Произволна константа ° Спишем след знака за равенство. Така получаваме общото решение на диференциално уравнение в тотални диференциали :
.

Пример 5.Решаване на диференциално уравнение

.

Етап 1.Нека проверим дали уравнението е общо диференциално уравнение ... За да направим това, намираме частичната производна по отношение на yедин термин от лявата страна на израза

и частичната производна по отношение на хдруг термин
... Тези производни са равни, което означава, че уравнението е общо диференциално уравнение .

някои функции. Ако възстановим функцията от нейния тотален диференциал, тогава намираме общия интеграл на диференциалното уравнение. По -долу ще говорим за метод за възстановяване на функция от нейния тотален диференциал.

Лявата страна на диференциалното уравнение е общият диференциал на някаква функция U (x, y) = 0ако условието е изпълнено.

Защото общ функционален диференциал U (x, y) = 0това е , следователно, когато условието е изпълнено, се твърди, че.

Тогава, .

От първото уравнение на системата получаваме ... Намираме функцията, използвайки второто уравнение на системата:

Така ще намерим необходимата функция U (x, y) = 0.

Пример.

Нека намерим общото решение на DE .

Решение.

В нашия пример. Условието е изпълнено, защото:

Тогава лявата страна на първоначалния DE е общият диференциал на някаква функция U (x, y) = 0... Трябва да намерим тази функция.

Защото е пълният диференциал на функцията U (x, y) = 0, означава:

.

Ние се интегрираме х 1 -во уравнение на системата и да се диференцира по отношение на yрезултат:

.

От второто уравнение на системата получаваме. Означава:

Където Се произволна константа.

По този начин и общият интеграл на даденото уравнение ще бъде .

Има и втори метод за изчисляване на функция от нейния общ диференциал... Състои се в вземане на криволинейния интеграл от неподвижна точка (x 0, y 0)до точка с променливи координати (x, y): ... В този случай стойността на интеграла е независима от пътя на интегриране. Удобно е да се вземе като път на интегриране полилиния, чиито връзки са успоредни на координатните оси.

Пример.

Нека намерим общото решение на DE .

Решение.

Проверяваме изпълнението на условието:

По този начин лявата страна на DE е общият диференциал на някаква функция U (x, y) = 0... Нека намерим тази функция, като изчислим криволинейния интеграл от точката (1; 1) преди (x, y)... Ние приемаме прекъсната линия като път на интегриране: първата част от прекъснатата линия ще мине по права линия y = 1от точка (1, 1) преди (x, 1), като втори участък от пътя вземаме отсечката права линия (x, 1)преди (x, y):

Това означава, че общото решение на системата за управление изглежда така: .

Пример.

Нека дефинираме общото решение на DE.

Решение.

Защото , което означава, че условието не е изпълнено, тогава лявата страна на диференциалното уравнение няма да бъде пълният диференциал на функцията и трябва да използвате втория метод на решение (това уравнение е диференциално уравнение с разделими променливи).

В стандартния формуляр $ P \ наляво (x, y \ надясно) \ cdot dx + Q \ наляво (x, y \ надясно) \ cdot dy = 0 $, при което лявата страна е общият диференциал на някаква функция $ F \ left (x, y \ right) $, се нарича общо диференциално уравнение.

Уравнението в общите диференциали винаги може да бъде пренаписано като $ dF \ наляво (x, y \ надясно) = 0 $, където $ F \ наляво (x, y \ надясно) $ е функция, такава че $ dF \ наляво (x, y \ вдясно) = P \ вляво (x, y \ вдясно) \ cdot dx + Q \ вляво (x, y \ вдясно) \ cdot dy $.

Интегрираме двете страни на уравнението $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $: $ \ int dF \ left (x, y \ right) = F \ left (x, y \ right) $; интегралът на нулевата дясна страна е равен на произволна константа $ C $. По този начин общото решение на това уравнение в неявна форма е $ F \ left (x, y \ right) = C $.

За да бъде това диференциално уравнение уравнение в тотални диференциали, е необходимо и достатъчно, че условието $ \ frac (\ частично P) (\ частично y) = \ frac (\ частично Q) (\ частично x) $ е изпълнено. Ако посоченото условие е изпълнено, тогава има такава функция $ F \ left (x, y \ right) $, за която можете да напишете: $ dF = \ frac (\ частично F) (\ частично x) \ cdot dx + \ frac (\ частично F) (\ частично y) \ cdot dy = P \ наляво (x, y \ надясно) \ cdot dx + Q \ наляво (x, y \ надясно) \ cdot dy $, откъдето получаваме две отношения: $ \ frac (\ частично F) (\ частично x) = P \ наляво (x, y \ надясно) $ и $ \ frac (\ частично F) (\ частично y) = Q \ наляво (x, y \ надясно) $.

Интегрираме първото отношение $ \ frac (\ частично F) (\ частично x) = P \ наляво (x, y \ надясно) $ над $ x $ и получаваме $ F \ наляво (x, y \ надясно) = \ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + U \ left (y \ right) $, където $ U \ left (y \ right) $ е произволна функция на $ y $.

Нека го изберем така, че второто отношение $ \ frac (\ частично F) (\ частично y) = Q \ наляво (x, y \ надясно) $ да бъде изпълнено. За да направим това, диференцираме получената връзка за $ F \ наляво (x, y \ надясно) $ с $ y $ и приравняваме резултата на $ Q \ наляво (x, y \ надясно) $. Получаваме: $ \ frac (\ частично) (\ частично y) \ наляво (\ int P \ наляво (x, y \ надясно) \ cdot dx \ надясно) + U "\ наляво (y \ надясно) = Q \ наляво (x, y \ надясно) $.

Допълнителното решение е както следва:

• от последното равенство намираме $ U "\ left (y \ right) $;
• интегрирайте $ U "\ left (y \ right) $ и намерете $ U \ left (y \ right) $;
• заместваме $ U \ наляво (y \ надясно) $ в равенството $ F \ наляво (x, y \ надясно) = \ int P \ наляво (x, y \ надясно) \ cdot dx + U \ наляво (y \ надясно) $ и накрая получаваме функцията $ F \ left (x, y \ right) $.

\

Намерете разликата:

Интегрираме $ U "\ left (y \ right) $ над $ y $ и намираме $ U \ left (y \ right) = \ int \ left (-2 \ right) \ cdot dy = -2 \ cdot y $.

Намираме резултата: $ F \ наляво (x, y \ надясно) = V \ наляво (x, y \ надясно) + U \ наляво (y \ надясно) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Пишем общото решение под формата $ F \ вляво (x, y \ вдясно) = C $, а именно:

Намерете конкретно решение $ F \ наляво (x, y \ надясно) = F \ наляво (x_ (0), y_ (0) \ надясно) $, където $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Конкретно решение е: $ 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y = 102 $.