ДефиницияЗа функцията f (x, y), изразът dz \u003d f (x + dx, y + dy) - f (x, y) се нарича пълно увеличение .

Ако функцията f (x, y) има непрекъснати частни деривати, тогава

След това получаваме, прилагайки теоремата на Лагранж

Като Частните деривати са непрекъснати, можете да напишете равенства:

Определение. Изразът се нарича пълно увеличениефункции F (x, y) в някаква точка (x, y), където 1 и 2 са безкрайно малки функции с dx ® 0 и du ® 0, съответно.

Определение: Пълно разликафункциите z \u003d f (x, y) се наричат \u200b\u200bосновния линеен по отношение на dx и du от увеличаването на функцията dz в точката (x, y).

За функцията на произволен брой променливи:

Пример. Намерете пълна диференциална функция.

Пример. Намерете пълна диференциална функция

Геометрично значение пълна разлика.

Допирателна равнина и нормална повърхност.

нормално

допирателна равнина.

Нека n и n 0 са точките на тази повърхност. Ще прекараме директно NN 0. Извиква се самолетът, който преминава през точката n 0 допирателна равнина. Към повърхността, ако ъгълът между устройството nn 0 и тази равнина има тенденция да се нулира, когато разстоянието nn 0 има тенденция нула.

Определение. Нормалнокъм повърхността в точка N 0 е директната, преминаваща през точката n 0 перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

В някакъв момент повърхността има или само една допирателна равнина или изобщо не го има.

Ако повърхността е настроена от Z \u003d F (x, y) уравнение, където f (x, y) е функция, която е диференцирана в точката m 0 (x 0, y 0), допирателната равнина в точка N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) съществува и има уравнение:

Уравнението е нормално до повърхността в този момент:

Геометричен смисъл Пълната диференциална функция на двете променливи f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличаването на приложенията (координати z) на допирателната равнина до повърхността, когато се движи от точка (x 0, y 0 ) до точката (x 0 + dx, в 0 + du).

Както може да се види, геометричното значение на пълната диференциална функция на две променливи е пространствен аналог геометричен смисъл Диференциална функция на една променлива.

Пример Намерете уравненията на допирателната равнина и нормално на повърхността

В точка m (1, 1, 1).

Уравнението на допирателната равнина:

Нормално уравнение:

Частични производни с по-високи поръчки.

Да предположим, че има някои зададени х в космоса. Всяка точка от този комплект се определя от набор от номера, които са координатите на този момент. Ние казваме, че функцията N-променливи е настроена на зададения X, ако всяка точка Според известен закон се поставя един номер Z, т.е. .

Пример: Нека х 1, x 2, x 3 - дължина, ширина и дълбочина на басейна. След това откриваме повърхността на басейна.

N-променлива функция наречен непрекъснат в точка Ако функцията за лимит е в този момент равно на стойността Функции в граничната точка, т.е. .

Определение: Частна деривативна функция Съгласно променливата, те се наричат \u200b\u200bпроизводно от функцията Z по протежение на променлива, при условие че всички останали променливи остават постоянни.

Частна деривация.

Пример

За функцията на две променливи можете да въведете четири частични производни на втория ред, тогава

1. Четене: Две Z е два пъти.

Теорема Смесени производни, където те са непрекъснати, не зависят от процедурата за изчисляване на дериватите. Това е вярно за смесени производни на всякакъв ред и за функция на произволен брой променливи.

Ако функцията F (X, Y) е дефинирана в някои регион D, нейните частни деривати също ще бъдат дефинирани в една и съща област или част от нея.

Ще наричаме тези деривати производители за частни поръчки.

Деривати на тези функции ще бъдат частни деривати за втори ред.

Продължавайки да разграничите постигнатото равенство, ще получим частни деривати с по-високи поръчки.

Дефиниция Частни деривати Видове и т.н. Наречен смесени производни.

ТеоремаАко функцията f (x, y) и нейните частни производни се определят и непрекъснато в точката m (x, y) и обкръжението му, тогава съотношението е вярно :.

след това се нарича точка m 0 точка на минимум.

Теорема (необходимите условия на екстремум) Ако функцията F (x, y) в точката (x 0, y 0) има екстремум, след това в този момент или двете му частни деривати на първия ред са нула, или поне един от тях не съществува.

Тази точка (x 0, y 0) ще се нарича критична точка.

Теорема (достатъчно условия на екстрема) Останете в близост до критичната точка (x 0, y 0), функцията f (x, y) има непрекъснати частни деривати към втори ред приобщаващ. Помислете за изразяването:

1) ако d (x 0, y 0)\u003e 0, след това в точката (x 0, y 0) функцията f (x, y) има екстремум ако

2) - 0, след това в точката (x 0, y 0) функцията f (x, y) няма екстремум

В случай D \u003d 0, заключението за наличието на екстремум не може да се извърши.

За функцията на една променлива y. = е.(х.) в точка х. 0 геометричното значение на диференциала означава увеличаването на началните допирателни, извършени към графиката на функцията в точката с абсциса х. 0 При преминаване към точка х. 0 +  х.. И диференциалната функция на две променливи в този план се увеличава приложениядопирателна самолетпроведени на повърхността, посочена от уравнението z. = е.(х., y.) , в точка М. 0 (х. 0 , y. 0 ) при преминаване към точка М.(х. 0 +  х., y. 0 +  y.). Ние даваме дефиницията на допирателната равнина на някаква повърхност:

Df. . Самолет, преминаващ през точката R. 0 Повърхност С., Наречен допирателна равнина.в този момент, ако ъгълът между този самолет и последователното преминаване през две точки R. 0 и R.(Всяка повърхностна точка С.) има тенденция към нула, когато точката R.се стреми към тази повърхност до точката R. 0 .

Оставете повърхността С.публикувано от уравнение z. = е.(х., y.). След това може да се покаже, че тази повърхност има в точката Пс. 0 (х. 0 , y. 0 , z. 0 ) допиращ самолет тогава и само ако функцията z. = е.(х., y.) разлика в този момент. В този случай допирателната равнина се дава от уравнението:

z. – z. 0 = +
(6).

§Five. Дериват в посока, градиентна функция.

Функции на частични деривати y.= е.(х. 1 , х. 2 .. х. н. ) чрез променливи х. 1 , х. 2 . . . х. н. Изразява скоростта на промените в посоката на координатините оси. Например, има промяна на скоростта на функцията х. 1 - това е, предполага се, че точката, която принадлежи към областта за дефиниране на полето, се движи само успоредно на оста О. 1 И всички други координати остават непроменени. Въпреки това, може да се приеме, че функцията може да варира в друга посока, която не съвпада с посоката на която и да е осите.

Помислете за функцията на три променливи: улавяне= е.(х., y., z.).

Поправка на точка М. 0 (х. 0 , y. 0 , z. 0 ) и някои насочени права (ос) л.преминаване през тази точка. Нека бъде M (х., y., z.) - произволна точка на това право и  М. 0 М. - разстояние от М. 0 преди М.

улавяне = е. (х., y., z.) – е.(х. 0 , y. 0 , z. 0 ) - увеличаването на функцията в точката М. 0 .

Намерете съотношението на увеличаването на функцията към дължината на вектора
:

Df. . Функция улавяне = е. (х., y., z.) към л. в точка М. 0 Наречена граница на връзката на функцията за нарастване към дължината на вектора М. 0 М. в желанието на последния до 0 (или това, с неограничено приближение М.да се М. 0 ):

(1)

Това производно характеризира скоростта на промяна на функцията в точката М. 0 в посока л..

Нека оста л. (вектор М. 0 М.) форми с оси Вол., Oy., Оз.ъгли
съответно.

Означаваме x-x 0 \u003d
;

y - Y 0 \u003d
;

z - z 0 \u003d
.

Тогава вектор М. 0 M \u003d (х. - х. 0 , y. - y. 0 , z. - z. 0 )=
и ръководството му:

;

;

.

(4).

(4) - формула за изчисляване на производителя в посоката.

Помислете за вектора, чиито координати са частни изпълнени функции улавяне= е.(х., y., z.) в точка М. 0 :

град. улавяне - Градиентна функция улавяне= е.(х., y., z.) в точка M (х., y., z.)

Градиентни свойства:

Изход: Градиентна дължина на функцията улавяне= е.(х., y., z.) - Има най-достъпната стойност в този момент M (х., y., z.) и посоката на вектора град. улавянесъвпада с посоката на вектора, който излиза от точката М., по протежение на която функцията се променя по-бързо. Това е, посоката на градиентната функция град. улавяне - Има посока на дефиницията на функцията.

Геометричното значение на пълната диференциална функция на двете променливи f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличаването на приложенията (z координати) от допирателната равнина до повърхността, когато се движи от точка (x 0, Y 0) до точката (x 0 + dx, в 0 + du).

Частични производни с по-високи поръчки. . \\ TАко функцията F (X, Y) е дефинирана в някои регион D, нейните частни деривати също ще бъдат дефинирани в една и съща област или част от нея. Ще наричаме тези производни на частни деривативи от първа поръчка.

Дериватите на тези функции ще бъдат частични деривати на втория ред.

Продължавайки да разграничите постигнатото равенство, ще получим частни деривати с по-високи поръчки. Определение. Частни деривати Видове и т.н. Наречени смесени производни. Теорема на Шварц:

Ако частните производни на по-високи поръчки f.m.p. Непрекъснати, след това смесени производни на една поръчка, които се различават само по процедурата за диференциация.

Тук n е символична степен на дериват, която се заменя с реална степен след изграждането на израза в него.

14. Уравнението на допирателната равнина и нормално на повърхността!

Нека n и n 0 са точките на тази повърхност. Ще прекараме директно NN 0. Извиква се самолетът, който преминава през точката n 0 допирателна равнина. Към повърхността, ако ъгълът между устройството nn 0 и тази равнина има тенденция да се нулира, когато разстоянието nn 0 има тенденция нула.

Определение. Нормалнокъм повърхността в точка N 0 е директната, преминаваща през точката n 0 перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

В някакъв момент повърхността има или само една допирателна равнина или изобщо не го има.

Ако повърхността е зададена от уравнението z \u003d F (x, y), където f (x, y) е функция, която е диференцирана в точката m 0 (x 0, y 0), допирателна равнина. В точка N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) съществува и има уравнение:

Уравнението е нормално на повърхността в този момент.:

Геометричен смисъл Пълната диференциална функция на двете променливи f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличаването на приложенията (координати z) на допирателната равнина до повърхността, когато се движи от точка (x 0, y 0 ) до точката (x 0 + dx, в 0 + du).

Както може да се види, геометричното значение на пълната диференциална функция на две променливи е пространственият аналог на геометричния смисъл на диференциалната функция на една променлива.

16. Скаларното поле и неговите характеристики. Линей ulni, производни в посоката, градиент на скаларното поле.

Ако всяка точка на място е поставена в съответствие с скаларната стойност, скаларното поле се появява (например, температурно поле, поле на електрическо потенциално). Ако се въведат картозвените координати, то също е обозначено или Полето може да бъде плоско, ако централно (сферичен) ако цилиндричен, ако

Повърхности и линия: Свойствата на скаларните полета могат да се изследват визуално с помощта на ниски повърхности. Тези повърхности в пространството, на които е необходима постоянна стойност. Тяхното уравнение: . В плоско скаларно поле, нивото линиите наричат \u200b\u200bкривите, на които полето е постоянна стойност: В някои случаи Ниво линиите могат да дегенерират до точката, така и повърхностните повърхности до точката и кривите.

Производно в посока и градиент на скаларното поле:

Нека един вектор с координати - скаларно поле. Производството в посоката характеризира промяната в тази посока и се изчислява чрез производна формула в посоката, скаларният продукт на вектора и вектора с координати което се нарича градиентна функция и е посочена. Комуникация Където ъгълът между и след това векторът показва посоката на бързото увеличаване на полето и неговият модул е \u200b\u200bравен на производа в тази посока. Тъй като градиентните компоненти са частични производни, не е трудно да се получат следните градиентни свойства:

17. Крайности f.m.p. сляп екстремум f.m., необходими и достатъчно условия за неговото съществуване. Най-голямата I. най-малката стойност F.p.p. В Огран. затворена площ.

Нека функцията z \u003d ƒ (x; y) са дефинирани в някакъв регион d, точка n (x0; y0)

Точка (x0; u0) се нарича максимална точка на функцията z \u003d ƒ (x; y), ако има такъв D-квартал на точката (x0; u0), която е за всяка точка (x; y) , различни от (Ho; UH), от този квартал, неравенство ƒ (x; y)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ (x0; u0). Стойността на функцията в максималната точка (минимум) се нарича максимална (минимална) функция. Максималните и минималните характеристики се наричат \u200b\u200bнеговите крайности. Обърнете внимание, че по дефиницията екстремумната точка на функцията се крие вътре в функцията за определяне на функцията; Максимум и минимум имат локален (местен) характер: стойността на функцията в точката (x0; u0) се сравнява със своите стойности в точки близо до (x0; u0). В региона, функцията може да има няколко екстрема или няма нито един.

Изисква се (1) и достатъчни (2) условия на съществуване:

(1) Ако в точка N (x0; Y0), диференциалната функция z \u003d z \u003d z \u003d z \u003d ƒ (x; y) има екстремул, тогава частните му производни в тази точка са нула: ul "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ y ( x0; Y0) \u003d 0. Коментар. Функцията може да има екстремум в точки, където поне един от частичните производни не съществува. Точката, в която частните производни на първия ред на функцията z ≈ ≈ ƒ (x; y) са нула, т.е. f "x \u003d 0, f" y \u003d 0, се нарича стационарна точка на функцията z.

Стационарни точки и точки, в които най-малко едно частно дериват не съществува, се наричат \u200b\u200bкритични точки

(2) Да предположим в неподвижна точка (HO; UH) и част от околностите му, функцията ƒ (x; y) има непрекъснати частни деривати към втори ред приобщаващ. Изчислете в точката (x0; u0) стойностите a \u003d f "" xx (x0; y0), b \u003d ƒ "" xy (x0; u0), c \u003d ƒ "" oy (x0; u0). Обозначаваме Тогава:

1. Ако Δ\u003e 0, тогава функцията ƒ (x; y) в точката (x0; u0) има екстремум: максимум, ако a< 0; минимум, если А > 0;

2. Ако Δ.< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. В случай Δ \u003d 0 екстремум в точката (x0; u0) може да не е. Необходими са допълнителни изследвания.

$ E Подгрупа Mathbb (R) ^ (n) $. Казва се, че $ f $ има местен максимум В точка $ x_ (0) в e $, ако има такъв квартал от $ u $ точки $ x_ (0) $, че за всички $ x в U $, неравенството е $ f, ляво (x \\ t leqslant f, ляво (x_ (0) вдясно) $.

Местен максимален, наречен стриктно Ако кварталът от $ U $ може да бъде избран така, че за всички $ x в U $, различен от $ x_ (0) $, има $ f, ляво (x]< f\left(x_{0}\right)$.

Дефиниция
Нека $ f $ е действителната функция на отворен комплект $ e подмножество mathbb (r) ^ (n) $. Казва се, че $ f $ има местен минимум В точка $ x_ (0) в e $, ако има такъв квартал от $ u $ точки $ x_ (0) $, че за всички $ x в U $, неравенство от $ f, ляво (x \\ t Right) geqslant f остави (x_ (0) вдясно) $.

Местният минимум се нарича строг, ако кварталът от $ U $ може да бъде избран така, че за всички $ x в U $, различен от $ x_ (0) $, има $ f, оставени (x]\u003e f \\ t Наляво (x_ (0) вдясно) $.

Местният екстрем съчетава концепциите за местен минимум и местен максимум.

Теорема (необходимото състояние на екстремум диференцируема функция)
Нека $ f $ е действителната функция на отворен комплект $ e подмножество mathbb (r) ^ (n) $. Ако в точка $ x_ (0) в E $ функцията $ f има локален екстремум и в този момент, след това $$ текст (d) f, ляво (x_ (0) дясно) \u003d 0. $$ Равенство Zero Диференциалът е еквивалентен на факта, че всички са нулеви, т.е. $$ DisplaySley FRAC (частичен е) (частичен x_ (i)) left (x_ (0) вдясно) \u003d 0. $$

В едноизмерния случай е. Donote с $ phi остави (t] led) \u003d f left (x_ (0) + th] $, където $ h $ е произволен вектор. Функцията $ PHI $ се дефинира с достатъчно малки стойности на модуло от $ t $. В допълнение, според, тя е диференцирана, а $ (phi) "ляво (t] \u003d tex) \u003d текст (d) f, ляво (x_ (0) + th] h $.
Нека $ f $ имат местен максимум на $ 0 $ точка. Това означава, че функцията $ phi $ с $ t \u003d 0 $ има локален максимум и според теоремата на фермата, $ (phi), ляво (0 дясно) \u003d 0 $.
Така че, имаме, че $ df ляво (x_ (0) вдясно) \u003d 0 $, т.е. Функции $ F $ в точка $ x_ (0) $ е нула на всеки вектор $ h $.

Дефиниция
Точки, в които диференциалът е нула, т.е. Такива, в които всички частни деривати са нулеви, се наричат \u200b\u200bстационарни. Критични точки Функциите на $ f $ се наричат \u200b\u200bтакива точки, в които $ f $ не е диференциран или равен на нула. Ако точката е неподвижна, тя все още не следва, че в този момент функцията има екстремул.

Пример 1.
Нека $ f остави (x, y dide) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. След това $ DisplessSley FRAC (частичен е) (частичен x) \u003d 3 ccot x ^ (2) $, $ \\ t (частичен) (частичен y) \u003d 3 cdot y ^ (2) \\ t ) $, so $ лява (0.0 дясно) $ е неподвижна точка, но в този момент функцията няма екстремул. Наистина, $ f, ляво (0.0 дясно) \u003d 0 $, но е лесно да се види, че във всеки квартал на лявата точка (0.0 дясно) $ функция приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2.
Функцията е $ f, ляво (x, y дясно) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ Старт - неподвижна точка, но е ясно, че в този момент няма екстремум.

Теорема (достатъчно състояние на екстрема).
Нека функцията $ f $ двойно непрекъснато е диференцирана на отворен комплект $ e подмножество matebb (r) ^ (n) $. Нека $ x_ (0) в e $ - стационарна точка и $$ displaySyle Q_ (x_ (0)) ляво (h] equive sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1) ) ^ n frac (частичен ^ (2) е) (частичен x_ (i) paidial x_ (j)) наляво (x_ (0) вдясно) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Тогава

1. ако $ q_ (x_ (0)) $ -, след това функцията $ f $ на $ x_ (0) $ има местен екстремум, а именно, най-малко, ако формулярът е определен положително, и максималната, ако формулярът се дефинира отрицателно;
2. ако квадратичен вид $ Q_ (x_ (0)) $ несигурен, след това функцията $ f $ в точка $ x_ (0) $ няма екстремум.

Използваме разлагането от Формула Taylor (12.7 p. 292). Като се има предвид, че индивидуалните деривати на първата поръчка в точка $ x_ (0) $ са нула, ние получаваме $$ displessSyle f al left (x_ (0) + h] -f остави (x_ (0) \\ t ) \u003d Frac (1) (2) sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1) ^ n frac (частичен ^ (2) f) (частичен x_ (i) paidial x_ ( й)) наляво (x_ (0) + theta h ^ (i) h ^ (j), $ $, където $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, и $ epsilon лява (h] дясно) дясно 0 $ с $ h в дясно 0 $, тогава дясната страна ще бъде положителна с всеки вектор $ h $ достатъчно малка дължина.
Така че, стигнахме до факта, че в някои съседство от $ x_ (0) $ това е неравенството от $ f, ляво (x вдясно)\u003e f, ляво (x_ (0) дясно) $, ако само $ x Neq x_ (0) $ (сложим $ x \u003d x_ (0) + h $ \\ t Това означава, че в точка $ x_ (0) функция $ има стриктен местен минимум и по този начин доказва първата част от нашата теорема.
Да предположим сега, че $ Q_ (x_ (0)) $ е неопределена форма. След това има вектори $ h_ (1) $, $ h_ (2) $, като $ q_ (x_ (0)), ляво (h_ (1) вдясно) \u003d lambda_ (1)\u003e 0 $, $ q_ (x_ (0)) ляво (h_ (2) дясно) \u003d lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. След това получаваме $$ f, ляво (x_ (0) + th_ (1) вдясно) -f ъгъл (x_ (0) вдясно) \u003d frac (1) (2) оставен [t ^ (2) \\ t (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) epsilon лява (Th_ (1) дясно) право] \u003d frac (1) (2) t ^ (2) \\ t Ляво [lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) epsilon остави (th_ (1) дясно) право]. $ $ с достатъчно малък $ t\u003e 0 $ дясната част е положителен. Това означава, че във всеки квартал на точката $ x_ (0) $, $ f $ function взема стойностите на $ f оставени (x] $, големи от $ f, ляво (x_ (0) \\ t Дясно) $.
По същия начин, ние получаваме, че във всеки квартал на точката $ x_ (0) $ function $ f $ взема стойностите по-малко от $ f оставени (x_ (0) вдясно) $. Това, заедно с предишния, означава, че в точка $ x_ (0) $ function $ f $ няма екстремум.

Обмисли частно дело Тази теорема за функцията $ f остави (x, y дясно) $ две променливи, определени в някакъв квартал на точката $ left (x_ (0), y_ (0) $ и имащи непрекъснати частни деривати в това квартал и втори ред. Да предположим, че $ лява (x_ (0), y_ (0) вдясно) $ е неподвижна точка и обозначава $$ displaySyle a_ (11) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x) ^ (2)) наляво (x_ (0), y_ (0), a_ (12) \u003d frac (частично ^ (2) е) (частично x частичен y), ляво (X_ ( 0), y_ (0) вдясно), a_ (22) \u003d frac (частично ^ (2) f) (частично y ^ (2)) наляво (x_ (0), y_ (0) \\ t ) $$ Тогава предишната теорема ще вземе следната форма.

Теорема
Нека $ delta \u003d A_ (11) CDOT A_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Тогава:

1. ако $ delta\u003e 0 $, тогава функцията $ f има $ лява (x_ (0), y_ (0) вдясно) $ местен екстремум, а именно, ако $ a_ (11)\u003e 0 $, и максимум, ако $ a_ (11)<0$;
2. ако $ \\ t<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремни функции на много променливи:

1. Откриваме стационарни точки;
2. Ние намираме диференциал в 2-ри ред във всички стационарни точки
3. Използване на достатъчно условие за екстремни функции на много променливи, ние разглеждаме диференциала на втората поръчка във всяка стационарна точка

1. Разгледайте функцията на екстремум $ f лява (x, y dide) \u003d x ^ (3) + 8 cdot y ^ (3) + 18 cdot x - 30 cdot y $.
   Решение

   Ще намерим частни деривати на първия ред: $$ DisplessSley Frac (частичен е) (частичен x) \u003d 3 cdot x ^ (2) - 6 cdot y; $$$$ displaystyle \\ t Частично е) (частично y) \u003d 24 ccot y ^ (2) - 6 ccot x. $$ make и разрешават система: $$ displaySley започват (случаи) frac (частично е) (частично е) x) \u003d 0 frac (частичен f) (частичен y) \u003d 0 край (случаи) дясното начало (случаи) 3 cdot x ^ (2) - 6 cdot y \u003d 0 \\ t Cdot y ^ (2) - 6 cdot x \u003d 0 край (случаи) дясно начало (случаи) x ^ (2) - 2 cdot y \u003d 0 cdot y ^ (2) - x \u003d 0 Край (случаи) $ $ от второто уравнение Express $ x \u003d 4 cdot y ^ (2) $ - ние заместваме в 1-то уравнение: $$ displaySley ляво (4 cdot y ^ (2) \\ t Дясно) ^ (2) -2 cdot y \u003d 0 $$$$ 16 cdot y ^ (4) - 2 cdot y \u003d 0 $$$$ 8 cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ y \\ t
   1) $ y \u003d 0 Радница x \u003d 0, m_ (1) \u003d ляво (0, 0 дясно) $;
   2) $ DisplessSyle 8 cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 дясно y ^ (3) \u003d frac (1) (8) дясно y \u003d frac (1) (2) дясното радство x \u003d 1 , M_ (2) \u003d ляво (frac (1) (2), 1 дясно) $
   Проверете прилагането на достатъчно условия на екстремум:
   $$ DisplaySley FRAC (частичен ^ (2) f) (частичен x ^ (2)) \u003d 6 ccot x; Frac (частичен ^ (2) е) (частичен х частичен y) \u003d - 6; Frac (частично ^ (2) f) (частично y ^ (2)) \u003d 48 cdot y $$
   1) за точката $ m_ (1) \u003d ляво (0.0 дясно) $:
   $$ displaySyle a_ (1) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x ^ (2)) ляво (0,0 дясно) \u003d 0; B_ (1) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x частичен y) оставен (0.0 дясно) \u003d - 6; C_ (1) \u003d frac (частично ^ (2) е) (частично y ^ (2)) ляво (0.0 дясно) \u003d 0; $$
   $ A_ (1) cdot b_ (1) - c_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) за $ m_ (2) точка $:
   $$ displaySyle a_ (2) \u003d frac (частично ^ (2) е) (частичен x ^ (2)) (частичен x ^ (2)) наляво (1, frac (1) (2) дясно) \u003d 6; B_ (2) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x частичен y) вляво (1, frac (1) (2) дясно) \u003d - 6; C_ (2) \u003d frac (частично ^ (2) f) (частично y ^ (2)) ляво (1, frac (1) (2) дясно) \u003d 24; $$
   $ A_ (2) cdot b_ (2) - c_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, това означава, в точка $ m_ (2) $ има екстремум, а от $ a_ (2)\u003e 0 $, това е минимум.
   Отговор: Точка $ \\ t
   

2. Разгледайте функцията на екстремум $ f \u003d y ^ (2) + 2 cdot x cdot y - 4 cdot x - 2 cdot y - $ 3.
   Решение

   Намерете стационарни точки: $$ DisplaySley Frac (частичен е) (частичен x) \u003d 2 cdot y - 4; $$$$ displaySyle \\ t (частичен е) (частичен y) \u003d 2 ccot Y + 2 cdot x - 2. $$
   Ще разрешим и системата: $$ DisplaySley Начална (случаи) FRAC (частичен x) (частичен x) \u003d 0 frac (частичен е) (частичен y) \u003d 0 край (случаи \\ t ) Започнете (случаи) 2 cdot y - 4 \u003d 0 cdot y + 2 cdot x - 2 \u003d 0 край (случаи) дясното начало (случаи) y \u003d 2 \\ t x \u003d 1 край (случаи) дясното радост x \u003d -1 $$
   $ M_ (0) left (-1, 2 дясно) $ - стационарна точка.
   Проверете изпълнението на достатъчно състояние на екстрема: $$ displaySyle a \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x ^ (2)) ляво (-1.2 дясно) \u003d 0; B \u003d frac (частично ^ (2) е) (частичен x частичен y) оставен (-1.2 дясно) \u003d 2; C \u003d frac (частично ^ (2) е) (частично y ^ (2)) ляво (-1.2 дясно) \u003d 2; $$
   $ A cdot b - c ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Отговор: Отсъстват крайностите.
   

Срок: 0

Навигация (само числа)

0 от 4 задачи приключиха

Информация

Попълнете този тест, за да тествате знанията си за темите на "местните екстремни функции на много променливи".

Вече сте преминали теста по-рано. Не можеш да го пуснеш отново.

Тестът е натоварен ...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете това:

Резултати.

Правилни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Вкарахте 0 от 0 точки (0)

Вашият резултат е записан в таблицата на лидерите

1. С отговора
2. С маркер

Задача 1 от 4

1 .

Брой точки: 1

Разгледайте функцията $ f $ за крайности: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 cdot y ^ (2)) $

Дясно


Погрешно


1. Задача 2 от 4

   2 .

   Брой точки: 1

   Има ли екстремум във функцията $ f \u003d 4 + sqrt (((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

   Дясно

Допирателна равнина и нормална повърхност.

допирателна равнина.

Нека n и n 0 са точките на тази повърхност. Ще прекараме директно NN 0. Извиква се самолетът, който преминава през точката n 0 допирателна равнина. Към повърхността, ако ъгълът между устройството nn 0 и тази равнина има тенденция да се нулира, когато разстоянието nn 0 има тенденция нула.

Определение. Нормалнокъм повърхността в точка N 0 е директната, преминаваща през точката n 0 перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

В някакъв момент повърхността има или само една допирателна равнина или изобщо не го има.

Ако повърхността е настроена от Z \u003d F (x, y) уравнение, където f (x, y) е функция, която е диференцирана в точката m 0 (x 0, y 0), допирателната равнина в точка N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) съществува и има уравнение:

Уравнението е нормално до повърхността в този момент:

Геометричен смисъл Пълната диференциална функция на двете променливи f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличаването на приложения (z координати) от допирателната равнина до повърхността, когато се движи от точка (x 0, y 0 ) до точката (x 0 + , 0 + ).

Както може да се види, геометричното значение на пълната диференциална функция на две променливи е пространственият аналог на геометричния смисъл на диференциалната функция на една променлива.

Пример. Намерете уравненията на допирателната равнина и нормално на повърхността

в точка m (1, 1, 1).

Уравнението на допирателната равнина:

Нормално уравнение:

20.4. Приблизителни изчисления, като се използва пълноценна разлика.

Оставете функцията F (x, y) да се различава в точката (x, y). Намерете пълното увеличение на тази функция:

Ако заменим израз в тази формула

ще получим приблизителна формула:

Пример. Изчислете приблизителната стойност, базирана на стойността на функцията, \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 1.

От посочения израз, ние дефинираме x \u003d 1.04 - 1 \u003d 0.04, y \u003d 1.99 - 2 \u003d -0.01,

z \u003d 1.02 - 1 \u003d 0.02.

Намерете стойността на функцията U (x, y, z) \u003d

Намерете частни деривати:

Пълната диференциална функция u е равна:

Точната стойност на този израз: 1,049275225687319176.

20.5. Частични производни с по-високи поръчки.

Ако функцията F (x, Y) е дефинирана в някои регион D, частните му производни ще бъдат дефинирани в същия район или част.

Ще наричаме тези деривати производители за частни поръчки.

Деривати на тези функции ще бъдат частни деривати за втори ред.

Продължавайки да разграничите постигнатото равенство, ще получим частни деривати с по-високи поръчки.

Определение. Частни деривати Видове и т.н. Наречен смесени производни.

Теорема. Ако функцията f (x, y) и нейните частни деривати се определят и непрекъснато в точката m (x, y) и околностите му, тогава съотношението е вярно:

Тези. Частните деривати с по-високи поръчки не зависят от процедурата за диференциация.

По същия начин се определят диференциалите на по-високите поръчки.

…………………

Тук n е символична степен на дериват, която се заменя с реална степен след изграждането на израза в него.