Trieda: 10

Prezentácia lekcie

Dozadu dopredu

Pozor! Náhľad snímky slúži iba na informačné účely a nemusí predstavovať všetky možnosti prezentácie. Ak vás táto práca zaujíma, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie:Študujte stav rovnováhy tiel, zoznámte sa s rôzne druhy rovnováha; Zistite, za akých podmienok je telo v rovnováhe.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie:Študujte dve podmienky rovnováhy, typy rovnováhy (stabilné, nestabilné, ľahostajné). Zistite, za akých podmienok sú telá stabilnejšie.
• Vývoj: Podporovať rozvoj kognitívneho záujmu o fyziku. Rozvoj zručností na porovnanie, zovšeobecnenie, zvýraznenie hlavnej veci, vyvodenie záverov.
• Vzdelávacie: Kultivovať pozornosť, schopnosť vyjadrovať svoj uhol pohľadu a brániť ju, rozvíjať komunikačné schopnosti žiakov.

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu s podporou počítača.

Vybavenie:

1. Disk „Práca a výkon“ z „Elektronických lekcií a testov“.
2. Tabuľka podmienok rovnováhy.
3. Výklopný hranol s olovnicou.
4. Geometrické pevné látky: valec, kocka, kužeľ atď.
5. Počítač, multimediálny projektor, interaktívna tabuľa alebo plátno.
6. Prezentácia.

Počas vyučovania

Dnes sa v lekcii naučíme, prečo žeriav nespadne, prečo sa hračka „Vanka-Vstanka“ vždy vráti do pôvodného stavu, prečo Šikmá veža v Pise nespadne?

I. Opakovanie a aktualizácia znalostí.

1. Sformulujte prvý Newtonov zákon. Aký štát hovorí zákon?
2. Na akú otázku odpovedá druhý Newtonov zákon? Vzorec a znenie.
3. Na akú otázku odpovedá Newtonov tretí zákon? Vzorec a znenie.
4. Čo sa nazýva výsledná sila? Ako sa nachádza?
5. Z disku „Pohyb a interakcia tiel“ dokončite úlohu číslo 9 „Výsledné sily s rôznymi smermi“ (pravidlo sčítania vektorov (2, 3 cvičenia)).

II. Učenie sa nového materiálu.

1. Čo sa nazýva rovnováha?

Rovnováha je stav pokoja.

2. Rovnovážné podmienky.(snímka 2)

a) Kedy je telo v pokoji? Podľa akého zákona sa to riadi?

Prvá rovnovážna podmienka: Telo je v rovnováhe, ak je geometrický súčet vonkajších síl pôsobiacich na telo rovný nule. ∑F = 0

b) Nechajte na dosku pôsobiť dve rovnaké sily, ako je znázornené na obrázku.

Bude v rovnováhe? (Nie, ona sa otočí)

V kľude je iba centrálny bod a ostatné sa pohybujú. To znamená, že na to, aby bolo telo v rovnováhe, je potrebné, aby súčet všetkých síl pôsobiacich na každý prvok bol rovný 0.

Druhá rovnovážna podmienka: Súčet momentov síl pôsobiacich v smere hodinových ručičiek sa musí rovnať súčtu momentov síl pôsobiacich proti smeru hodinových ručičiek.

∑ M v smere hodinových ručičiek = ∑ M proti smeru hodinových ručičiek

Moment sily: M = F L

L - rameno sily - najkratšia vzdialenosť od osi otáčania k priamke pôsobenia sily.

3. Ťažisko tela a jeho poloha.(snímka 4)

Ťažisko tela Je bod, prostredníctvom ktorého je výsledkom všetko paralelné sily gravitácia pôsobiaca na jednotlivé prvky tela (pre akúkoľvek polohu tela v priestore).

Nájdite ťažisko nasledujúcich tvarov:

4. Druhy rovnováhy.

a) (snímky 5-8)

Výkon: Rovnováha je stabilná, ak s malou odchýlkou ​​od rovnovážnej polohy existuje sila, ktorá má tendenciu vrátiť ju do tejto polohy.

Stabilná je poloha, v ktorej je jej potenciálna energia minimálna. (snímka 9)

b) Stabilita tiel umiestnených na osi alebo na podpornej línii.(snímky 10-17)

Výkon: Pre stabilitu telesa umiestneného na jednom bode alebo línii podpery je potrebné, aby bolo ťažisko pod bodom (čiarou) podpery.

c) Stabilita telies na rovnom povrchu.

(snímka 18)

1) Podperný povrch- nie je to vždy povrch, ktorý je v kontakte s telom (ale ten, ktorý je ohraničený čiarami spájajúcimi nohy stola, statívy)

2) Analýza snímky z „Elektronických hodín a testov“, disk „Práca a sila“, lekcia „Typy rovnováhy“.

Obrázok 1.

1. Ako sa líšia stoličky? (Oblasť podpory)
2. Ktorý je stabilnejší? (S väčšou plochou)
3. Ako sa líšia stoličky? (Poloha ťažiska)
4. Ktorý je najstabilnejší? (S nižším ťažiskom)
5. Prečo? (Pretože sa dá nakloniť do väčšieho uhla bez prevrátenia)

3) Experimentujte s vychyľujúcim sa hranolom

1. Na dosku položíme hranol s olovnicou a začneme ho postupne dvíhať cez jeden okraj. Čo vidíme?
2. Pokiaľ olovnica prechádza cez povrch ohraničený podperou, rovnováha je zachovaná. Akonáhle však vertikála, prechádzajúca ťažiskom, začne presahovať hranice nosnej plochy, stoh sa prevráti.

Analýza snímky 19-22.

Závery:

1. Telo s väčšou opornou plochou je stabilné.
2. Z dvoch telies tej istej oblasti je stabilné to, ktoré má nižšie ťažisko. dá sa nakloniť bez prevrátenia pod veľkým uhlom.

Analýza diapozitívy 23-25.

Ktoré lode sú najstabilnejšie? Prečo? (V prípade ktorých je náklad umiestnený v nákladnom priestore, nie na palube)

Ktoré autá sú najodolnejšie? Prečo? (Na zvýšenie stability automobilov v zákrutách je vozovka naklonená k zákrute.)

Závery: Rovnováha môže byť stabilná, nestabilná, ľahostajná. Stabilita tiel je tým väčšia, väčšia plocha podpery a pod ťažiskom.

III. Aplikácia poznatkov o stabilite tiel.

1. Aké špeciality je potrebné vedieť o rovnováhe tiel?
2. Projektanti a konštruktéri rôznych štruktúr ( výškové budovy, mosty, televízne veže atď.)
3. Cirkusoví umelci.
4. Vodiči a ďalší profesionáli.

(snímky 28-30)

1. Prečo sa Vanka-Vstanka pri akomkoľvek náklone hračky vracia do rovnovážnej polohy?
2. Prečo je šikmá veža v Pise naklonená a nespadá?
3. Ako cyklisti a motocyklisti udržiavajú rovnováhu?

Závery z hodiny:

1. Existujú tri typy rovnováhy: stabilná, nestabilná, ľahostajná.
2. Poloha tela je stabilná, v ktorej je jeho potenciálna energia minimálna.
3. Čím väčšia je oporná plocha a čím nižšie je ťažisko, tým väčšia je stabilita telies na rovnom povrchu.

Domáca úloha: § 54 – 56 (G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky)

Použité zdroje a literatúra:

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky. Fyzika. Stupeň 10.
2. Filmový pás „Stability“ 1976 (naskenovaný mnou na filmovom skeneri).
3. Disk „Pohyb a interakcia tiel“ z „Elektronických lekcií a testov“.
4. Disk „Práca a výkon“ z „Elektronických lekcií a testov“.

« Fyzika - stupeň 10 "

Pamätajte si, čo je to moment sily.
Za akých podmienok je telo v pokoji?

Ak je telo v pokoji vzhľadom na zvolený referenčný rámec, potom hovoria, že toto telo je v rovnováhe. Budovy, mosty, trámy spolu s podperami, časti strojov, kniha na stole a mnoho ďalších tiel odpočívajú napriek tomu, že na ne pôsobia sily z iných telies. Problém štúdia podmienok rovnováhy tiel má veľký význam. praktický význam pre strojárstvo, stavebníctvo, výrobu prístrojov a ďalšie technologické oblasti. Všetky skutočné telá pod vplyvom síl, ktoré na ne pôsobia, menia svoj tvar a veľkosť, alebo, ako sa hovorí, deformujú.

V mnohých prípadoch, s ktorými sa v praxi stretávame, sú deformácie telies počas ich rovnováhy bezvýznamné. V týchto prípadoch je možné deformácie zanedbať a výpočet je možné vykonať s ohľadom na telo absolútne pevné.

Pre stručnosť sa bude nazývať absolútne tuhé telo pevné telo alebo jednoducho telo... Po štúdiu rovnovážnych podmienok tuhého telesa nájdeme rovnovážné podmienky pre skutočné telesá v prípadoch, keď je možné ich deformácie ignorovať.

Nezabudnite na definíciu absolútne tuhého tela.

Nazýva sa odvetvie mechaniky, v ktorom sa študujú podmienky rovnováhy absolútne tuhých telies statika.

V statike sa berie do úvahy veľkosť a tvar telies, v tomto prípade je podstatná nielen hodnota síl, ale aj poloha bodov ich aplikácie.

Poďme najskôr pomocou Newtonových zákonov zistiť, za akých podmienok bude akékoľvek telo v rovnováhe. Za týmto účelom mentálne rozdeľujeme celé telo na veľký počet malých prvkov, z ktorých každý možno považovať za materiálny bod... Ako obvykle nazveme sily pôsobiace na telo zo strany iných telies, vonkajšie a sily, s ktorými na seba pôsobia prvky samotného tela, vnútorné (obr. 7.1). Sila 1,2 je teda sila pôsobiaca na prvok 1 zo strany prvku 2. Sila 2.1 pôsobí na prvok 2 zo strany prvku 1. Toto sú vnútorné sily; tieto tiež zahrnujú sily 1.3 a 3.1, 2.3 a 3.2. Je zrejmé, že geometrický súčet vnútorných síl je nulový, pretože podľa tretieho Newtonovho zákona

12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13 atď.

Statika - špeciálny prípad dynamika, pretože ostatné telesá, keď na ne pôsobia sily, sú špeciálnym prípadom pohybu (= 0).

Vo všeobecnosti na každý prvok môže pôsobiť niekoľko vonkajších síl. 1, 2, 3 atď. Máme na mysli všetky vonkajšie sily pôsobiace na prvky 1, 2, 3, .... Rovnakým spôsobom prostredníctvom „1,“ 2, „3 atď. Označujeme geometrický súčet vnútorných síl pôsobiacich na prvky 2, 2, 3, ... (tieto sily nie sú na obrázku zobrazené), tj

„1 = 12 + 13 + ...,“ 2 = 21 + 22 + ..., „3 = 31 + 32 + ... atď.

Ak je telo v pokoji, potom je zrýchlenie každého prvku nulové. Podľa druhého Newtonovho zákona bude preto geometrický súčet všetkých síl pôsobiacich na akýkoľvek prvok rovný nule. Preto môžeme napísať:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Každý z týchto tri rovnice vyjadruje stav rovnováhy prvku tuhého telesa.

Prvá podmienka rovnováhy tuhého telesa.

Poďme zistiť, aké podmienky musia vonkajšie sily pôsobiace na teleso spĺňať, aby bolo v rovnováhe. Za týmto účelom pridáme rovnice (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

V prvých zátvorkách tejto rovnosti je zapísaný vektorový súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na teleso a v druhej vektorový súčet všetkých vnútorných síl pôsobiacich na prvky tohto telesa. Ale, ako viete, vektorový súčet všetkých vnútorných síl systému je rovný nule, pretože podľa tretieho Newtonovho zákona každá vnútorná sila zodpovedá sile, ktorá je jej veľkosťou rovnaká a má opačný smer. Preto na ľavej strane poslednej rovnosti zostane iba geometrický súčet vonkajších síl pôsobiacich na telo:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

V prípade absolútne tuhého tela sa nazýva podmienka (7.2) prvá podmienka jeho rovnováhy.

Je to nevyhnutné, ale nie dostatočné.

Ak je teda teleso v rovnováhe, potom je geometrický súčet vonkajších síl, ktoré naň pôsobia, rovný nule.

Ak je súčet vonkajších síl rovný nule, potom je súčet priemetov týchto síl na súradnicové osi rovný tiež nule. Najmä pre projekcie vonkajších síl na os OX môžete napísať:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Rovnaké rovnice je možné napísať aj pre projekcie síl na osi OY a OZ.

Druhá podmienka rovnováhy tuhého telesa.

Overme, že podmienka (7.2) je potrebná, ale nie dostačujúca na rovnováhu tuhého telesa. Aplikujme na dosku ležiacu na stole v rôznych bodoch dve rovnaké sily a opačne smerujúce sily, ako je znázornené na obrázku 7.2. Súčet týchto síl je nulový:

+ (-) = 0. Doska sa však bude stále otáčať. Rovnakým spôsobom otáčajú volantom bicykla alebo auta dve rovnako veľké a opačne smerujúce sily (obr. 7.3).

Aké ďalšie podmienky pre vonkajšie sily, okrem rovnosti ich súčtu na nulu, musia byť splnené, aby bolo pevné teleso v rovnováhe? Použime vetu o zmene kinetickej energie.

Nájdeme napríklad stav rovnováhy tyče, zavesenej na vodorovnej osi v bode O (obr. 7.4). Toto jednoduché zariadenie, ako poznáte z kurzu fyziky na základnej škole, je pákou prvého druhu.

Nechajte sily 1 a 2 pôsobiť na páku kolmú na tyč.

Na páku pôsobí okrem síl 1 a 2 aj zvislá sila nahor normálnej reakcie 3 zo strany osi páky. Keď je páka v rovnováhe, súčet všetkých troch síl je nulový: 1 + 2 + 3 = 0.

Vypočítajme prácu vykonanú vonkajšími silami, keď je páka otočená o veľmi malý uhol α. Body pôsobenia síl 1 a 2 budú prechádzať cestami s 1 = BB 1 a s 2 = CC 1 (oblúky BB 1 a CC 1 v malých uhloch α možno považovať za priamočiare segmenty). Práca A 1 = F 1 s 1 sily 1 je kladná, pretože bod B sa pohybuje v smere pôsobenia sily a práca A 2 = -F 2 s 2 sily 2 je záporná, pretože bod C sa pohybuje v smere proti smeru sily 2. Force 3 nefunguje, pretože bod jeho aplikácie sa nepohybuje.

Prejdené dráhy s 1 a s 2 je možné vyjadriť uhlom natočenia páky a, meraným v radiánoch: s 1 = α | BO | a s 2 = α | CO |. S ohľadom na to prepíšeme výrazy tak, aby fungovali:

А 1 = F 1 α | BO |, (7,4)
A 2 = -F 2 α | CO |.

Polomery VO a CO kruhových oblúkov popísané bodmi pôsobenia síl 1 a 2 sú kolmice spustené dole od osi otáčania na priamke pôsobenia týchto síl.

Ako už viete, rameno sily je najkratšia vzdialenosť od osi otáčania k čiare pôsobenia sily. Plece sily označíme písmenom d. Potom | IN | = d 1 - rameno sily 1 a | CO | = d 2 - rameno sily 2. V tomto prípade majú formu výrazy (7.4)

A 1 = F1 ad1, A2 = -F2 ad2. (7,5)

Zo vzorcov (7.5) je zrejmé, že práca každej zo síl sa rovná súčinu momentu sily uhlom natočenia páky. Preto výrazy (7.5) pre prácu možno prepísať ako

А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7,6)

a celú prácu vonkajších síl je možné vyjadriť vzorcom

A = A 1 + A2 = (M 1 + M 2) a. α, (7,7)

Pretože moment sily 1 je kladný a rovná sa M 1 = F 1 d 1 (pozri obr. 7.4) a moment sily 2 je záporný a rovný M 2 = -F 2 d 2, potom pre prácu A vy môže napísať výraz

A = (M 1 - | M 2 |) α.

Keď sa telo začne pohybovať, jeho kinetická energia sa zvýši. Na zvýšenie kinetickej energie musia vonkajšie sily vykonávať prácu, to znamená v tomto prípade A ≠ 0 a podľa toho M 1 + M 2 ≠ 0.

Ak je práca vonkajších síl rovná nule, potom sa kinetická energia tela nemení (zostáva rovná nule) a telo zostáva nehybné. Potom

M 1 + M 2 = 0. (7.8)

Rovnica (7 8) je druhá podmienka rovnováhy tuhého telesa.

Keď je tuhé teleso v rovnováhe, súčet momentov všetkých vonkajších síl, ktoré naň pôsobia vzhľadom na akúkoľvek os, je nulový.

V prípade ľubovoľného počtu vonkajších síl sú podmienky rovnováhy pre absolútne tuhé teleso nasledujúce:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Druhú rovnovážnu podmienku je možné odvodiť zo základnej rovnice dynamiky rotačný pohyb pevné telo. Podľa tejto rovnice, kde M je celkový moment síl pôsobiacich na teleso, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε je uhlové zrýchlenie. Ak je tuhé teleso nehybné, potom ε = 0, a teda M = 0. Druhá rovnovážna podmienka má teda tvar M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Ak telo nie je úplne pevné, potom pôsobením vonkajších síl, ktoré naň pôsobia, nemusí zostať v rovnováhe, aj keď súčet vonkajších síl a súčet ich momentov vzhľadom na akúkoľvek os sú rovné nule.

Aplikujme napríklad na konce gumovej šnúry dve sily rovnakej veľkosti a smerujúce pozdĺž šnúry dovnútra opačné strany... Pôsobením týchto síl nebude šnúra v rovnováhe (šnúra je natiahnutá), aj keď súčet vonkajších síl je rovný nule a nula je súčet ich momentov okolo osi prechádzajúcej akýmkoľvek bodom šnúry .

Táto prednáška sa zameriava na nasledujúce problémy:

1. Rovnovážné podmienky pre mechanické systémy.

2. Stabilita rovnováhy.

3. Príklad stanovenia rovnovážnych polôh a štúdium ich stability.

Štúdium týchto otázok je nevyhnutné na štúdium oscilačných pohybov mechanického systému vzhľadom na rovnovážnu polohu v disciplíne „Časti strojov“, na riešenie problémov v odboroch „Teória strojov a mechanizmov“ a „Odolnosť materiálov“.

Dôležitým prípadom pohybu mechanických systémov je ich oscilačný pohyb. Oscilácie sú opakujúce sa pohyby mechanického systému vzhľadom na určitú jeho polohu, ktoré sa v čase vyskytujú viac -menej pravidelne. Práca sa zameriava na oscilačný pohyb mechanický systém relatívne k polohe rovnováhy (relatívnej alebo absolútnej).

Mechanický systém môže vibrovať dostatočne dlho iba v blízkosti stabilnej rovnovážnej polohy. Preto pred zostavením rovníc oscilačného pohybu je potrebné nájsť rovnovážné polohy a skúmať ich stabilitu.

Rovnovážné podmienky pre mechanické systémy.

Podľa zásady možných posunov (základná statická rovnica) na to, aby bol mechanický systém, na ktorý sú kladené ideálne, stacionárne, pridržiavacie a holonomické obmedzenia, v rovnováhe, je potrebné a dostatočné, aby boli všetky zovšeobecnené sily rovná nule v tomto systéme:

kde zodpovedá generalizovanej sile j - generalizovaná súradnica;

s- počet generalizovaných súradníc v mechanickom systéme.

Ak pre študovaný systém boli diferenciálne pohybové rovnice zostavené vo forme Lagrangeových rovníc druhého druhu, potom na určenie možných rovnovážnych polôh stačí zovšeobecniť sily na nulu a výsledné rovnice vyriešiť vzhľadom na zovšeobecnené súradnice.

Ak je mechanický systém v potenciálnom silovom poli v rovnováhe, potom z rovníc (1) získame nasledujúce rovnovážné podmienky:

Preto má v rovnovážnej polohe potenciálna energia extrémnu hodnotu. Nie každá rovnováha definovaná vyššie uvedenými vzorcami sa dá v praxi realizovať. V závislosti od správania systému pri odchýlke od rovnovážnej polohy sa hovorí o stabilite alebo nestabilite tejto polohy.

Stabilné vyváženie

Definícia pojmu stability rovnovážnej polohy bola uvedená v neskorý XIX storočia v dielach ruského vedca A.M. Lyapunova. Uvažujme o tejto definícii.

Na zjednodušenie výpočtov sa ďalej dohodneme na zovšeobecnených súradniciach q 1 , q 2 ,...,q s počítať z rovnovážnej polohy systému:

kde

Rovnovážna poloha sa nazýva stabilná, ak je určená ľubovoľne malým počtommôžete nájsť také odlišné číslo že v prípade, keď počiatočné hodnoty zovšeobecnené súradnice a rýchlosti nepresiahnu:

hodnoty generalizovaných súradníc a rýchlostí počas ďalšieho pohybu systému neprekročia .

Inými slovami, rovnovážna poloha systému q 1 = q 2 = ...= q s = Volá sa 0 udržateľné ak je možné vždy nájsť také dostatočne malé počiatočné hodnotypri ktorom pohyb systémuneopustí žiadne dané ľubovoľne malé susedstvo rovnovážnej polohy... V prípade systému s jedným stupňom voľnosti je možné stabilný pohyb systému vizualizovať vo fázovej rovine (obr. 1).Pre stabilnú rovnovážnu polohu je pohyb reprezentujúceho bodu začínajúci v danej oblasti [ ] , v budúcnosti neprekročí túto oblasť.

Obr

Rovnovážna poloha sa nazýva asymptoticky stabilný , ak sa systém časom priblíži k rovnovážnej polohe, tzn

Stanovenie podmienok stability pre rovnovážnu polohu je dosť komplikovaný problém, preto sa obmedzujeme na najjednoduchší prípad: štúdium rovnovážnej stability konzervatívnych systémov.

Stanovia sa dostatočné podmienky pre stabilitu rovnovážnych polôh pre takéto systémy Lagrangeova - Dirichletova veta : rovnovážna poloha konzervatívneho mechanického systému je stabilná, ak v rovnovážnej polohe má potenciálna energia systému izolované minimum .

Potenciálna energia mechanického systému je určená s konštantou. Túto konštantu volíme tak, aby v rovnovážnej polohe bola potenciálna energia rovná nule:

P (0) = 0.

Potom pre systém s jedným stupňom voľnosti bude podmienkou dostatočná podmienka existencie izolovaného minima spolu s nevyhnutnou podmienkou (2)

Pretože v rovnovážnej polohe má potenciálna energia izolované minimum a P (0) = 0 , potom v nejakom konečnom susedstve tejto polohy

П (q) = 0.

Volajú sa funkcie, ktoré majú konštantný znak a sú rovné nule iba pre nulové hodnoty všetkých ich argumentov jednoznačný... V dôsledku toho, aby bola rovnovážna poloha mechanického systému stabilná, je nevyhnutné a dostatočné, aby v blízkosti tejto polohy bola potenciálna energia pozitívnou určitou funkciou zovšeobecnených súradníc.

Pre lineárne systémy a pre systémy, ktoré je možné redukovať na lineárne pre malé odchýlky od rovnovážnej polohy (linearizované), môže byť potenciálna energia reprezentovaná vo forme kvadratickej formy generalizovaných súradníc.

kde - generalizované koeficienty tuhosti.

Zovšeobecnené koeficientysú konštantné čísla, ktoré je možné určiť priamo z expanzie potenciálnej energie v sérii alebo z hodnôt druhých derivátov potenciálnej energie vzhľadom na generalizované súradnice v rovnovážnej polohe:

Zo vzorca (4) vyplýva, že generalizované koeficienty tuhosti sú vzhľadom na indexy symetrické

Pre Aby boli splnené dostatočné podmienky pre stabilitu rovnovážnej polohy, musí byť potenciálna energia pozitívnou a definitívnou kvadratickou formou jej generalizovaných súradníc.

V matematike existuje Silvesterovo kritérium poskytnutie potrebných a dostatočných podmienok pre pozitívnu definitivitu kvadratických foriem: kvadratická forma(3) bude kladne definitívny, ak je determinant zložený z jeho koeficientov a všetkých jeho hlavných diagonálnych molárov kladných, t.j. ak koeficienty splní podmienky

.....

Najmä pre lineárny systém s dvoma stupňami voľnosti bude mať formu potenciálna energia a podmienky silvestrovského kritéria

Podobným spôsobom je možné študovať polohy relatívnej rovnováhy, ak je namiesto potenciálnej energie zavedená potenciálna energia redukovaného systému.

NS Príklad určovania rovnovážnych polôh a skúmania ich stability

Obr

Zvážte mechanický systém pozostávajúci z trubice AB ktorý pivot OO 1 spojené s horizontálnou osou otáčania, a loptička, ktorá sa pohybuje rúrkou bez trenia a je spojená s bodom A rúrka s pružinou (obr. 2). Určme rovnovážné polohy systému a odhadnime ich stabilitu pre nasledujúce parametre: dĺžka trubice l 2 = 1 m , dĺžka tyče l 1 = 0,5 m . dĺžka nedeformovanej pružiny l 0 = 0,6 m, pružina c= 100 N / m. Hmotnosť trubice m 2 = 2 kg, prúty - m 1 = 1 kg a lopta - m 3 = 0,5 kg. Vzdialenosť OA rovná sa l 3 = 0,4 m.

Poznamenajme si výraz pre potenciálnu energiu uvažovaného systému. Skladá sa z potenciálnej energie troch telies v rovnomernom gravitačnom poli a potenciálnej energie deformovanej pružiny.

Potenciálna energia telesa v gravitačnom poli sa rovná súčinu hmotnosti tela výškou jeho ťažiska nad rovinou, v ktorej je potenciálna energia považovaná za nulovú. Nech je potenciálna energia nulová v rovine prechádzajúcej osou otáčania tyče OO 1, potom pre gravitačné sily

Pre elastickú silu je potenciálna energia určená veľkosťou deformácie

Nájdeme možné rovnovážné polohy systému. Hodnoty súradníc v rovnovážnych polohách sú koreňmi nasledujúceho systému rovníc.

Podobný systém rovníc je možné zostaviť pre akýkoľvek mechanický systém s dvoma stupňami voľnosti. V niektorých prípadoch je možné získať presné riešenie systému. V prípade systému (5) také riešenie neexistuje, preto treba hľadať korene pomocou numerických metód.

Riešením systému transcendentálnych rovníc (5) získame dve možné rovnovážne polohy:

Na posúdenie stability získaných rovnovážnych polôh nájdeme všetky druhé deriváty potenciálnej energie vzhľadom na zovšeobecnené súradnice a z nich určíme zovšeobecnené koeficienty tuhosti.

Mechanické vyváženie

Mechanické vyváženie- stav mechanického systému, v ktorom je súčet všetkých síl pôsobiacich na každú z jeho častíc rovný nule a súčet momentov všetkých síl pôsobiacich na telo vzhľadom na ľubovoľnú os otáčania je tiež rovný nule .

V stave rovnováhy je telo v pokoji (vektor rýchlosti je nulový) vo vybranom referenčnom rámci sa pohybuje rovnomerne v priamke alebo sa otáča bez tangenciálneho zrýchlenia.

Definícia prostredníctvom energie systému

Pretože energia a sily sú prepojené základnými vzťahmi, je táto definícia ekvivalentná prvej. Definíciu v zmysle energie je však možné rozšíriť, aby sa získali informácie o stabilite rovnovážnej polohy.

Typy zostatkov

Uveďme príklad na systém s jedným stupňom voľnosti. V tomto prípade bude dostatočnou podmienkou rovnovážnej polohy prítomnosť lokálneho extrému v skúmanom bode. Ako je známe, podmienkou lokálneho extrému diferencovateľnej funkcie je rovnosť jej prvej derivácie s nulou. Na určenie, či je tento bod minimom alebo maximom, je potrebné analyzovať jeho druhú deriváciu. Stabilita rovnovážnej polohy je charakterizovaná nasledujúcimi možnosťami:

• nestabilná rovnováha;
• stabilná rovnováha;
• ľahostajná rovnováha.

Nestabilná rovnováha

V prípade, že je druhá derivácia záporná, potenciálna energia systému je v stave lokálneho maxima. To znamená, že rovnovážna poloha nestabilné... Ak je systém posunutý na krátku vzdialenosť, bude sa ďalej pohybovať v dôsledku síl pôsobiacich na systém.

Stabilné vyváženie

Druhá derivácia> 0: potenciálna energia v lokálnom minime, rovnovážna poloha stabilne(pozri Lagrangeovu vetu o stabilite rovnováhy). Ak je systém posunutý na krátku vzdialenosť, vráti sa späť do stavu rovnováhy. Rovnováha je stabilná, ak je ťažisko tela v najnižšej polohe v porovnaní so všetkými možnými susednými polohami.

Ľahostajná rovnováha

Druhá derivácia = 0: v tejto oblasti sa energia nemení a rovnovážna poloha je ľahostajný... Ak sa systém presunie na krátku vzdialenosť, zostane v novej polohe.

Stabilita v systémoch s veľkým počtom stupňov voľnosti

Ak má systém niekoľko stupňov voľnosti, môže sa ukázať, že v posunoch niektorých smerov je rovnováha stabilná a v iných je nestabilná. Najjednoduchším príkladom takejto situácie je „sedlo“ alebo „priechod“ (bolo by pekné umiestniť na toto miesto obrázok).

Rovnováha systému s niekoľkými stupňami voľnosti bude stabilná, iba ak je stabilná vo všetkých smeroch.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „mechanická rovnováha“ v iných slovníkoch:

mechanická rovnováha- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mechanická rovnováha vok. mechanisches Gleichgewicht, n rus. mechanické vyváženie, n pranc. équilibre mécanique, m ... Fizikos terminų žodynas

- ... Wikipedia

Fázové prechody Článok I ... Wikipedia

Stav termodynamického systému, v ktorom spontánne prichádza po dostatočne dlhom časovom období v podmienkach izolácie od životné prostredie, po ktorom sa parametre stavu systému v priebehu času nemenia. Izolácia ... ... Veľká sovietska encyklopédia

EQUILIBRIUM- (1) mechanický stav nehybnosti telesa, ktorý je dôsledkom R. síl, ktoré naň pôsobia (keď súčet všetkých síl pôsobiacich na teleso je rovný nule, to znamená, že nedáva zrýchlenie). Rozlišujte R.: a) stabilné, ak sa odchýlite od ... ... Veľká polytechnická encyklopédia

Mechanický stav systém, s k rumom sú všetky jeho body nehybné vzhľadom na daný referenčný rámec. Ak je tento referenčný rámec zotrvačný, potom sa nazýva R. absolútny, inak relatívny. V závislosti od správania sa tela po ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

Termodynamická rovnováha je stav izolovaného termodynamického systému, v ktorom je v každom bode pre všetky chemické, difúzne, jadrové a ďalšie procesy rýchlosť doprednej reakcie rovnaká ako v opačnom prípade. Termodynamické ... ... Wikipedia

Rovnováha je najpravdepodobnejším makrostátom látky, keď premenné bez ohľadu na výber zostaňte konštantní na celý popis systémy. Rozlišujte rovnováhy: mechanické, termodynamické, chemické, fázové atď.: Pozrite sa ... ... encyklopedický slovník pre metalurgiu

Obsah 1 Klasická definícia 2 Definícia prostredníctvom energie systému 3 Typy rovnováhy ... Wikipedia

Fázové prechody Tento článok je súčasťou série Termodynamika. Fázový koncept Fázová rovnováha Kvantový fázový prechod Sekcie termodynamiky Zásady termodynamiky Stavová rovnica ... Wikipedia

Časť mechaniky, v ktorej sa študujú podmienky rovnováhy telies, sa nazýva statika. Najľahší spôsob, ako zvážiť podmienky rovnováhy absolútne tuhého telesa, tj. Takého telesa, ktorého veľkosť a tvar možno považovať za nezmenené. Pojem absolútne tuhého telesa je abstrakciou, pretože všetky skutočné telesá sú vplyvom síl, ktoré na ne pôsobia, zdeformované do jedného alebo druhého stupňa, to znamená, že menia svoj tvar a veľkosť. Veľkosť deformácií závisí ako od síl pôsobiacich na telo, tak od vlastností samotného telesa - jeho tvaru a vlastností materiálu, z ktorého je vyrobený. V mnohých prípadoch praktického významu sú deformácie malé a použitie koncepcie absolútne tuhého tela je odôvodnené.

Model absolútne tuhého tela. Malé deformácie však nie sú vždy dostatočnou podmienkou na to, aby bolo telo považované za absolútne tuhé. Aby ste to objasnili, zvážte nasledujúci príklad. Dosku ležiacu na dvoch podperách (obr. 140a) možno považovať za absolútne tuhé teleso, napriek tomu, že vplyvom gravitácie sa mierne ohýba. V tomto prípade skutočne podmienky mechanickej rovnováhy umožňujú určiť reakčné sily podpery bez toho, aby sa zohľadnila deformácia dosky.

Ale ak rovnaká doska leží na rovnakých podperách (obr. 1406), potom je koncept absolútne tuhého tela nepoužiteľný. Skutočne nech sú extrémne podpery na tej istej horizontále a stredná je o niečo nižšia. Ak je doska úplne pevná, to znamená, že sa vôbec neohýba, potom vôbec netlačí na strednú podperu. Ak sa doska ohýba, potom tlačí na strednú podperu a tým je deformácia silnejšia. Podmienky

rovnováha absolútne tuhého telesa v tomto prípade neumožňuje určiť reakčné sily podpier, pretože vedú k dvom rovniciam pre tri neznáme veličiny.

Ryža. 140. Reakčné sily pôsobiace na dosku ležiacu na dvoch (a) a troch (b) podperách

Takéto systémy sa nazývajú staticky neurčité. Na ich výpočet je potrebné vziať do úvahy elastické vlastnosti telies.

Vyššie uvedený príklad ukazuje, že aplikovateľnosť modelu absolútne tuhého telesa v statike nie je ani tak určená vlastnosťami samotného tela, ako aj podmienkami, v ktorých sa nachádza. V uvažovanom príklade teda aj tenkú slamku možno považovať za absolútne pevné telo, ak leží na dvoch podperách. Ale ani veľmi tuhý nosník nemožno považovať za absolútne tuhé teleso, ak leží na troch podperách.

Rovnovážné podmienky. Rovnovážné podmienky absolútne tuhého telesa sú špeciálnym prípadom dynamických rovníc, keď nedochádza k akcelerácii, hoci historicky statika vznikla z potrieb stavebného zariadenia takmer o dve tisícročia skôr ako dynamika. V inerciálnom referenčnom rámci je tuhé teleso v rovnováhe, ak je vektorový súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na teleso a vektorový súčet momentov týchto síl rovný nule. Keď je splnená prvá podmienka, zrýchlenie ťažiska sa rovná nule. Keď je splnená druhá podmienka, nedochádza k uhlovému zrýchleniu otáčania. Preto ak v počiatočnom okamihu bolo telo v pokoji, potom zostane v pokoji ďalej.

V nasledujúcom texte sa obmedzíme na štúdium relatívne jednoduchých systémov, v ktorých všetky pôsobiace sily ležia v jednej rovine. V tomto prípade je podmienka vektora

scvrkáva sa na dva skalárne:

ak usporiadame osi roviny pôsobenia síl. Niektoré z vonkajších síl vstupujúcich do rovnovážnych podmienok (1) pôsobiacich na telo je možné špecifikovať, tj. Sú známe ich moduly a smery. Pokiaľ ide o reakčné sily väzieb alebo podpier obmedzujúcich možný pohyb tela, tieto spravidla nie sú vopred určené a samy podliehajú určeniu. Pri absencii trenia sú reakčné sily kolmé na kontaktnú plochu telies.

Ryža. 141. Stanovenie smeru reakčných síl

Sily reakcie. Niekedy vznikajú pochybnosti pri určovaní smeru sily väzbovej reakcie, ako napríklad na obr. 141, ktorý ukazuje tyč spočívajúcu v bode A na hladkom konkávnom povrchu pohára a v bode B na ostrom okraji pohára.

Ak chcete v tomto prípade určiť smer reakčných síl, môžete tyč mentálne trochu posunúť bez toho, aby ste prerušili jej kontakt s pohárom. Reakčná sila bude smerovať kolmo na povrch, po ktorom sa kontaktný bod kĺže. V bode A je teda reakčná sila pôsobiaca na tyčinku kolmá na povrch šálky a v bode B je kolmá na tyč.

Moment sily. Moment M sily vzhľadom na nejaký bod

O sa nazýva vektorový súčin vektora polomeru nakresleného od O do bodu pôsobenia sily vektorom sily

Vektor M momentu sily je kolmý na rovinu, v ktorej ležia vektory

Rovnica momentov. Ak na telo pôsobí niekoľko síl, potom je do tvaru zapísaná druhá rovnovážna podmienka spojená s momentmi síl

V tomto prípade by mal byť bod O, z ktorého sú nakreslené vektory polomeru, zvolený spoločný pre všetky pôsobiace sily.

Pre plochý systém Sily, vektory momentov všetkých síl sú nasmerované kolmo na rovinu, v ktorej sily ležia, ak sú momenty uvažované vzhľadom na bod ležiaci v tej istej rovine. Preto je vektorová podmienka (4) pre momenty redukovaná na jednu skalárnu podmienku: v rovnovážnej polohe je algebraický súčet momentov všetkých vonkajších pôsobiacich síl rovný nule. Modul momentu sily vzhľadom na bod O sa rovná súčinu modulu

sily vo vzdialenosti od bodu O k čiare, pozdĺž ktorej sila pôsobí. V tomto prípade sa momenty smerujúce k otáčaniu tela v smere hodinových ručičiek berú s jedným znakom, proti smeru hodinových ručičiek - s opačným. Voľba bodu, v ktorom sa berú do úvahy momenty síl, sa robí výlučne z dôvodu pohodlia: rovnica momentov bude jednoduchšia, čím viac síl bude mať momenty rovné nule.

Príklad rovnováhy. Na ilustráciu aplikácie podmienok rovnováhy absolútne tuhého telesa zvážte nasledujúci príklad. Ľahký rebrík sa skladá z dvoch identických častí, ktoré sú v hornej časti otočne spojené a v spodnej časti sú zviazané lanom (obr. 142). Určme, aká je ťažná sila lana, s akými silami pôsobia polovice rebríka v závese a akými silami tlačia na podlahu, ak v strede jedného z nich stojí osoba s hmotnosťou R.

Uvažovaný systém pozostáva z dvoch tuhých telies - polovíc rebríka a rovnovážne podmienky je možné uplatniť tak na systém ako celok, ako aj na jeho časti. Aplikovaním podmienok rovnováhy na celý systém ako celok je možné nájsť reakčné sily podlahy a (obr. 142). Pri absencii trenia sú tieto sily nasmerované vertikálne nahor a podmienka rovnosti vektorového súčtu vonkajších síl (1) na nulu má tvar

Rovnovážna podmienka momentov vonkajších síl vzhľadom na bod A je zapísaná takto:

kde je dĺžka rebríka, uhol zvieraný rebríkom s podlahou. Riešením sústavy rovníc (5) a (6) nájdeme

Ryža. 142. Vektorový súčet vonkajších síl a súčet momentov vonkajších síl v rovnováhe sa rovná nule

Samozrejme, namiesto rovnice momentov (6) vzhľadom na bod A by sa dala napísať momentová rovnica vzhľadom na bod B (alebo akýkoľvek iný bod). Výsledkom by bol systém rovníc ekvivalentný použitému systému (5) a (6).

Sila ťahu lana a interakčné sily v závese pre uvažovaný fyzický systém sú vnútorné, a preto ich nemožno určiť z rovnovážnych podmienok celého systému ako celku. Na určenie týchto síl je potrebné zvážiť rovnovážné podmienky pre jednotlivé časti systému. Kde

dobrým výberom bodu, vzhľadom na ktorý je zostavená rovnica momentov síl, je možné dosiahnuť zjednodušenie algebraický systém rovnice. Napríklad v tomto systéme je možné zvážiť stav rovnováhy momentov síl pôsobiacich na ľavú polovicu rebríka vzhľadom na bod C, v ktorom je umiestnený záves.

Pri tomto výbere bodu C sily pôsobiace v závese nevstúpia do tohto stavu a okamžite nájdeme napínaciu silu lana T:

odkiaľ, berúc do úvahy, že získame

Podmienka (7) znamená, že výslednica síl T a prechádza bodom C, to znamená, že je nasmerovaná po schodisku. Vyváženie tejto polovice rebríka je preto možné iba vtedy, ak sila, ktorá naň pôsobí v závese, smeruje aj pozdĺž rebríka (obr. 143) a jeho modul sa rovná modulu výsledných síl T a

Ryža. 143. Čiary pôsobenia všetkých troch síl pôsobiacich na ľavú polovicu rebríka prechádzajú jedným bodom

Absolútna hodnota sily pôsobiacej v závese na druhej polovici rebríka je na základe tretieho Newtonovho zákona rovnaká a jej smer je opačný k smeru vektora. Smer sily bolo možné určiť priamo z obr. . 143, pričom sa vezme do úvahy, že keď je telo v rovnováhe pôsobením troch síl, čiary, pozdĺž ktorých tieto sily pôsobia, sa v jednom bode pretínajú. Skutočne vezmite do úvahy priesečník akčných línií dvoch z týchto troch síl a vytvorte momentovú rovnicu vzhľadom na tento bod. Momenty prvých dvoch síl vzhľadom na tento bod sa rovnajú nule; preto musí byť moment tretej sily tiež nulový, čo je v súlade s bodom (3) možné iba vtedy, ak týmto bodom prechádza aj línia jeho pôsobenia.

Zlaté pravidlo mechaniky. Niekedy je problém so statikou možné vyriešiť bez toho, aby sme vôbec zvážili rovnovážné podmienky, ale pomocou zákona zachovania energie vo vzťahu k mechanizmom bez trenia: žiadny mechanizmus neprináša zisk v práci. Tento zákon

sa nazýva zlaté pravidlo mechaniky. Na ilustráciu tohto prístupu zvážte nasledujúci príklad: ťažké bremeno s hmotnosťou P je zavesené na závese bez závažia s tromi článkami (obr. 144). Aké napätie by mali vydržať body A a B spájajúce nite?

Ryža. 144. Na stanovenie ťažnej sily závitu v trojčlánkovom závese podopierajúcom bremeno o hmotnosti P

Pokúsme sa použiť tento mechanizmus na zdvihnutie bremena P. Po odviazaní vlákna v bode A ho vytiahnite nahor tak, aby bod B pomaly stúpal do diaľky. Táto vzdialenosť je obmedzená skutočnosťou, že napínacia sila vlákna T musí byť zostanú počas pohybu nezmenené. V tomto prípade, ako bude zrejmé z odpovede, sila T vôbec nezávisí od toho, ako veľmi je kĺb stlačený alebo natiahnutý. Perfektná práca. Výsledkom je, že zaťaženie P stúpne do výšky, ktorá, ako je zrejmé z geometrických úvah, sa rovná to je určené prácou vykonanou počas zdvíhania. Preto

Je zrejmé, že pre záves obsahujúci ľubovoľný počet rovnakých odkazov,

Nie je ťažké nájsť napínaciu silu vlákna, a v prípade, že je potrebné vziať do úvahy hmotnosť samotného závesu, práca vykonaná počas zdvíhania by sa mala rovnať súčtu zmien potenciálnych energií zaťaženie a záves. V prípade kĺbu rovnakých väzieb jeho ťažisko stúpa o Preto

Formulovaný princíp („ Zlaté pravidlo mechanika “) platí aj vtedy, keď v procese výtlaku nedochádza k žiadnej zmene potenciálnej energie a mechanizmus sa používa na transformáciu sily. Prevodovky, prevodovky, brány, pákové systémy a bloky - vo všetkých týchto systémoch možno premenenú silu určiť rovnaním práce premenených a použitých síl. Inými slovami, pri absencii trenia je pomer týchto síl určený iba geometriou zariadenia.

Z tohto hľadiska zvážte príklad so schodiskom diskutovaným vyššie. Samozrejme, nie je vhodné používať rebrík ako zdvíhací mechanizmus, to znamená, aby ste osobu zdvihli priblížením polovíc rebríka k sebe. To nám však nemôže zabrániť v použití opísanej metódy na nájdenie napínacej sily na lane. Stotožňuje sa práca vykonaná vtedy, keď sa spoja časti rebríka, zmena potenciálnej energie osoby na schodisku a z geometrických dôvodov spájajúca pohyb dolného konca rebríka so zmenou výške zaťaženia (obr. 145), dostaneme, ako by sa dalo očakávať, výsledok uvedený vyššie:

Ako už bolo uvedené, výtlak by mal byť zvolený tak, aby v procese mohol byť považovaný za konštantu pôsobiacej sily. Je ľahké vidieť, že v prípade príkladu so závesom táto podmienka neobmedzuje pohyb, pretože napínacia sila závitu nezávisí od uhla (obr. 144). Naopak, pri probléme rebríka by mal byť posun zvolený malý, pretože napínacia sila lana závisí od uhla a.

Stabilita rovnováhy. Rovnováha je stabilná, nestabilná a ľahostajná. Rovnováha je stabilná (obr. 146a), ak pôsobiace sily pri malých premiestneniach tela z rovnovážnej polohy majú tendenciu ho vracať späť a nestabilné (obr. 1466), ak ho sily odvedú ďalej z rovnovážnej polohy.

Ryža. 145. Pohyby dolných koncov rebríka a pohyb bremena, keď sa polovice rebríka priblížia k sebe

Ryža. 146. Stabilná (a), nestabilná (b) a ľahostajná (c) rovnováha

Ak sú pri malých výtlakoch sily pôsobiace na telo a ich momenty stále vyrovnané, potom je rovnováha ľahostajná (obr. 146c). V ľahostajnej rovnováhe sú rovnovážné aj susedné polohy tela.

Uvažujme o príkladoch skúmania stability rovnováhy.

1. Stabilná rovnováha zodpovedá minimu potenciálnej energie tela vo vzťahu k jeho hodnotám v susedných polohách tela. Túto vlastnosť je často vhodné použiť na nájdenie rovnovážnej polohy a na štúdium povahy rovnováhy.

Ryža. 147. Stabilita rovnováhy tela a poloha ťažiska

Voľne stojaci zvislý stĺp je v stabilnej rovnováhe, pretože v malých sklonoch jeho ťažisko stúpa. Stáva sa to, kým zvislý priemet ťažiska nepresiahne podpornú oblasť, to znamená, že uhol odchýlky od zvislice neprekročí určitú maximálnu hodnotu. Inými slovami, oblasť stability siaha od minima potenciálnej energie (vo zvislej polohe) po najbližšie maximum (obr. 147). Keď sa ťažisko nachádza presne nad hranicou nosnej oblasti, stĺpik je tiež v rovnováhe, ale nestabilný. Horizontálne ležiaci stĺp zodpovedá oveľa širšej oblasti stability.

2. Existujú dve okrúhle ceruzky s polomerom a Jedna z nich je umiestnená horizontálne, druhá je na nej vyvážená v horizontálnej polohe tak, aby osi ceruziek boli navzájom kolmé (obr. 148a). V akom pomere medzi polomermi je rovnovážna rovnováha? V akom maximálnom uhle je možné hornú ceruzku nakloniť od horizontály? Koeficient trenia ceruziek proti sebe je

Na prvý pohľad sa môže zdať, že rovnováha hornej ceruzky je všeobecne nestabilná, pretože ťažisko hornej ceruzky leží nad osou, okolo ktorej sa môže otáčať. Tu však poloha osi otáčania nezostáva nezmenená, takže tento prípad vyžaduje špeciálny výskum... Pretože je horná ceruzka vyvážená horizontálne, ťažiská ceruziek ležia na tejto vertikále (obr.).

Odchýlime hornú ceruzku pod určitým uhlom od horizontály. Pri absencii trenia v pokoji by sa skĺzlo okamžite dole. Aby sme zatiaľ nemysleli na možné pošmyknutie, budeme trenie považovať za dostatočne veľké. V tomto prípade sa horná ceruzka „prevalí“ nad dolnou bez skĺznutia. Opor z polohy A sa presunie do novej polohy C a bod, v ktorom horná ceruzka pred vychýlením spočívala na spodnej,

sa presunie do polohy B. Pretože nedochádza k skĺznutiu, dĺžka oblúka sa rovná dĺžke segmentu

Ryža. 148. Horná ceruzka je horizontálne vyvážená na spodnej ceruzke (a); študovať stabilitu rovnováhy (b)

Ťažisko hornej ceruzky sa presunie do polohy. Ak zvislica pretiahnutá prechádza doľava nový bod podpera C, potom má gravitácia tendenciu vrátiť hornú ceruzku do rovnovážnej polohy.

Vyjadrime tento stav matematicky. Keď nakreslíme zvislú čiaru cez bod B, vidíme, že podmienka musí byť splnená

Odvtedy z podmienky (8) získavame

Pretože gravitačná sila bude mať tendenciu vracať hornú ceruzku do rovnovážnej polohy iba vtedy, keď je stabilná rovnováha hornej ceruzky na spodnej strane možná iba vtedy, ak je jej polomer menší ako polomer spodnej ceruzky.

Úloha trenia. Na zodpovedanie druhej otázky je potrebné zistiť, aké dôvody obmedzujú prípustný uhol odchýlky. Po prvé, pri veľkých uhloch vychýlenia môže vertikála preložená cez ťažisko hornej ceruzky prechádzať napravo od podporného bodu C. Z podmienky (9) je zrejmé, že pre daný pomer polomerov ceruzky je maximálna deformácia uhol

Sú rovnovážné podmienky tuhého telesa vždy dostatočné na určenie reakčných síl?

Ako je možné prakticky určiť smer reakčných síl bez trenia?

Ako môžete použiť zlaté pravidlo mechaniky pri analýze rovnovážnych podmienok?

Ak záves zobrazený na obr. 144, spojte nie body A a B so závitom, ale body L a C, aká bude potom jeho ťažná sila?

Ako súvisí stabilita rovnováhy systému s jeho potenciálnou energiou?

Aké podmienky určujú maximálny uhol vychýlenia telesa ležiaceho v rovine v troch bodoch, aby sa nestratila jeho stabilita?