Pohyb telesa v kruhu s konštantnou modulovou rýchlosťou je pohyb, pri ktorom telo opisuje rovnaké oblúky v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch.

Stanoví sa poloha tela na obvode vektor polomeru\ (~ \ vec r \) nakreslený zo stredu kruhu. Modul polomeru vektora sa rovná polomeru kružnice R(obr. 1).

Počas času Δ t pohyb tela z bodu A presne tak V, robí posun \ (~ \ Delta \ vec r \) rovný tetive AB a prejde dráhu rovnajúcu sa dĺžke oblúka l.

Vektor polomeru je otočený o uhol Δ φ ... Uhol je vyjadrený v radiánoch.

Rýchlosť \ (~ \ vec \ upsilon \) pohybu telesa po trajektórii (kruhu) smeruje tangenciálne k trajektórii. To sa nazýva lineárna rýchlosť... Modul lineárnej rýchlosti sa rovná pomeru dĺžky oblúka kruhu l do časového intervalu Δ t pre ktoré je tento oblúk odovzdaný:

\ (~ \ upsilon = \ frac (l) (\ Delta t). \)

Skalárne fyzikálne množstvo, číselne rovný pomeru uhla natočenia vektora polomeru k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto otočeniu došlo, sa nazýva tzv. uhlová rýchlosť:

\ (~ \ omega = \ frac (\ Delta \ varphi) (\ Delta t). \)

V SI je jednotkou uhlovej rýchlosti radiány za sekundu (rad / s).

Pri rovnomernom pohybe po kružnici sú uhlová rýchlosť a modul lineárnej rýchlosti konštantné hodnoty: ω = konštanta; υ = konšt.

Polohu telesa je možné určiť, ak modul polomeru vektora \ (~ \ vec r \) a uhol φ ktorý skladá s os Vôl(uhlová súradnica). Ak v počiatočnom okamihu t 0 = 0 uhlová súradnica je φ 0 a v danom okamihu t je to rovné φ , potom uhol natočenia Δ φ polomer-vektor v čase \ (~ \ Delta t = t - t_0 = t \) sa rovná \ (~ \ Delta \ varphi = \ varphi - \ varphi_0 \). Potom z posledného vzorca možno získať kinematická pohybová rovnica hmotný bod obvodovo:

\ (~ \ varphi = \ varphi_0 + \ omega t. \)

Umožňuje vám kedykoľvek určiť polohu tela t... Ak vezmeme do úvahy, že \ (~ \ Delta \ varphi = \ frac (l) (R) \), dostaneme \ [~ \ omega = \ frac (l) (R \ Delta t) = \ frac (\ upsilon) (R) \ Pravá šípka \]

\ (~ \ upsilon = \ omega R \) - vzorec pre vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou.

Časový interval Τ , počas ktorej telo vykoná jednu úplnú otáčku, sa nazýva obdobie rotácie:

\ (~ T = \ frac (\ Delta t) (N), \)

kde N- počet otáčok uskutočnených telesom za čas Δ t.

Počas času Δ t = Τ teleso ide po dráhe \ (~ l = 2 \ pi R \). teda

\ (~ \ upsilon = \ frac (2 \ pi R) (T); \ \ omega = \ frac (2 \ pi) (T). \)

Veľkosť ν , sa nazýva inverzná hodnota periódy, ktorá ukazuje, koľko otáčok telo vykoná za jednotku času rýchlosť otáčania:

\ (~ \ nu = \ frac (1) (T) = \ frac (N) (\ Delta t). \)

teda

\ (~ \ upsilon = 2 \ pi \ nu R; \ \ omega = 2 \ pi \ nu. \)

Literatúra

Aksenovič L.A. Fyzika na strednej škole: teória. Úlohy. Testy: Učebnica. príspevok pre inštitúcie zabezpečujúce príjem obs. prostredia, výchova / L. A. Aksenovič, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Minsk: Adukatsya i vyhavanne, 2004. - s. 18-19.

Kruhový pohyb je špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu. Rýchlosť telesa v ktoromkoľvek bode zakrivenej trajektórie smeruje tangenciálne k nemu (obrázok 2.1). V tomto prípade sa rýchlosť ako vektor môže meniť vo veľkosti (veľkosti) aj v smere. Ak je modul rýchlosti zostáva nezmenená, potom hovorte o rovnomerný krivočiary pohyb.

Nechajte teleso pohybovať sa v kruhu konštantnou rýchlosťou z bodu 1 do bodu 2.

V tomto prípade teleso prejde dráhu rovnajúcu sa dĺžke oblúka ℓ 12 medzi bodmi 1 a 2 v čase t. V rovnakom čase sa vektor tradiusu R nakreslený zo stredu kružnice 0 do bodu otočí o uhol Δφ.

Vektor rýchlosti v bode 2 sa líši od vektora rýchlosti v bode 1 o smer o hodnotu ΔV:

;

Aby sme charakterizovali zmenu vektora rýchlosti hodnotou δv, zavedieme zrýchlenie:

(2.4)

Vektor v ktoromkoľvek bode trajektórie smeruje pozdĺž polomeru Rк stred kružnica kolmá na vektor rýchlosti V 2. Preto zrýchlenie , ktorý charakterizuje zmenu rýchlosti pri krivočiarom pohybe v smere tzv dostredivé alebo normálne... Pohyb bodu po kružnici s konštantnou modulovou rýchlosťou je teda zrýchlené.

Ak rýchlosť zmeny nielen smeru, ale aj veľkosti (veľkosti), teda okrem normálneho zrýchlenia predstaviť tiež dotyčnica (tangenciálna) zrýchlenie , ktorá charakterizuje zmenu rýchlosti v rozsahu:

alebo

Riadený vektor tangenciálne v akomkoľvek bode trajektórie (t. j. zhoduje sa so smerom vektora ). Uhol medzi vektormi a rovná sa 900.

Celkové zrýchlenie bodu pohybujúceho sa po zakrivenej trajektórii je definované ako vektorový súčet (obrázok 2.1.).

.

Vektorový modul
.

Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie

Keď sa hmotný bod pohne obvodovo vektor polomeru R nakreslený zo stredu kružnice O do bodu sa otáča o uhol Δφ (obrázok 2.1). Na charakterizáciu rotácie sú zavedené pojmy uhlová rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie ε.

Uhol φ možno merať v radiánoch. 1 rád je rovný uhlu, ktorý spočíva na oblúku ℓ, rovný polomeru R kruhu, t.j.

alebo ℓ 12 = Rφ (2.5.)

Derivujme rovnicu (2.5.)

(2.6.)

Hodnota dℓ / dt = V inst. Nazýva sa veličina ω = dφ / dt uhlová rýchlosť(merané v rad / s). Poďme zistiť súvislosť medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou:

Veličina ω je vektorová. Vektorový smer určený skrutkové (gimbal) pravidlo: zhoduje sa so smerom pohybu skrutky, orientovaný pozdĺž osi otáčania bodu alebo telesa a otočený v smere otáčania telesa (obrázok 2.2), t.j.
.

Uhlové zrýchlenievektorová veličina sa nazýva derivácia uhlovej rýchlosti (okamžité uhlové zrýchlenie)

, (2.8.)

Vektor sa zhoduje s osou rotácie a smeruje rovnakým smerom ako vektor , ak je rotácia zrýchlená a naopak, ak je rotácia pomalá.

Rýchlosťntelesá za jednotku času sa nazývajúrýchlosť otáčania .

Čas T jednej úplnej otáčky telesa sa nazývaobdobie rotácie ... V čomRopisuje uhol Δφ = 2π radiány

S tým povedané

, (2.9)

Rovnicu (2.8) môžeme napísať takto:

(2.10)

Potom tangenciálna zložka zrýchlenia

a  = R (2,11)

Normálne zrýchlenie a n možno vyjadriť takto:

berúc do úvahy (2.7) a (2.9)

(2.12)

Potom plné zrýchlenie.

Pre rotačný pohyb s konštantným uhlovým zrýchlením  možno kinematickú rovnicu zapísať analogicky s rovnicou (2.1) - (2.3) pre posuvný pohyb:

,

.

Pri popise pohybu bodu po kružnici budeme pohyb bodu charakterizovať uhlom Δφ , ktorý popisuje vektor polomeru bodu v čase Δt... Uhlový pohyb v nekonečne krátkom čase dt označené dφ.

Uhlové posunutie je vektorová veličina. Smer vektora (alebo) sa určuje podľa pravidla gimbalu: ak otočíte gimbal (skrutku s pravým závitom) v smere pohybu bodu, gimbal sa bude pohybovať v smere vektora uhlového posunutia. Na obr. 14 bod M sa pri pohľade na rovinu pohybu zdola pohybuje v smere hodinových ručičiek. Ak otočíte gimbal týmto smerom, vektor bude smerovať nahor.

Smer vektora uhlového posunu je teda určený výberom kladného smeru otáčania. Kladný smer otáčania je určený pravidlom pravého závitu. S rovnakým úspechom sa však podarilo zobrať kardan s ľavostranným závitom. V tomto prípade by smer vektora uhlového posunu bol opačný.

Pri zvažovaní takých veličín, ako je rýchlosť, zrýchlenie, vektor posunutia, otázka výberu ich smeru nevznikla: bola určená prirodzene z povahy samotných veličín. Takéto vektory sa nazývajú polárne. Nazývajú sa vektory podobné vektoru uhlového posunutia axiálne, alebo pseudo-vektory... Smer axiálneho vektora je určený výberom kladného smeru otáčania. Okrem toho axiálny vektor nemá žiadny bod aplikácie. Polárne vektory ktoré sme doteraz uvažovali sú aplikované na pohyblivý bod. Pre osový vektor môžete uviesť iba smer (os, os - lat.), pozdĺž ktorého je nasmerovaný. Os, pozdĺž ktorej smeruje vektor uhlového posunu, je kolmá na rovinu rotácie. Vektor uhlového posunu je zvyčajne znázornený na osi prechádzajúcej stredom kruhu (obr. 14), hoci ho možno nakresliť kdekoľvek, vrátane osi prechádzajúcej príslušným bodom.

V SI sa uhly merajú v radiánoch. Radián je uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice. Takže celkový uhol (360 0) je 2π radiány.

Pohyb bodu v kruhu

Uhlová rýchlosť- vektorová veličina, číselne rovný uhlu rotácia za jednotku času. Uhlová rýchlosť sa zvyčajne označuje gréckym písmenom ω. Podľa definície je uhlová rýchlosť časovou deriváciou uhla:

. (19)

Smer vektora uhlovej rýchlosti sa zhoduje so smerom vektora uhlového posunutia (obr. 14). Vektor uhlovej rýchlosti, podobne ako vektor uhlového posunutia, je axiálny vektor.

Rozmer uhlovej rýchlosti je rad / s.

Rotácia s konštantnou uhlovou rýchlosťou sa nazýva rovnomerná, pričom ω = φ / t.

Rovnomernú rotáciu možno charakterizovať periódou otáčania T, ktorou sa rozumie čas, za ktorý teleso vykoná jednu otáčku, to znamená, že sa otočí o uhol 2π. Keďže časový interval Δt = T zodpovedá uhlu natočenia Δφ = 2π, potom

(20)

Počet otáčok za jednotku času ν sa zjavne rovná:

(21)

Množstvo ν sa meria v hertzoch (Hz). Jeden hertz je jedna otáčka za sekundu alebo 2π rad/s.

Pojmy perióda otáčania a počet otáčok za jednotku času môžu byť zachované aj pre nerovnomerné otáčanie, čo znamená okamžitá hodnota T čas, za ktorý by teleso dokončilo jednu otáčku, ak by sa otáčalo rovnomerne s danou okamžitou hodnotou. uhlovej rýchlosti a ν, čo znamená počet otáčok, ktoré by teleso vykonalo za jednotku času za podobných podmienok.

Ak sa uhlová rýchlosť mení v priebehu času, potom sa rotácia nazýva nerovnomerná. V tomto prípade predstavte uhlové zrýchlenie rovnakým spôsobom ako bolo zavedené lineárne zrýchlenie pre priamočiary pohyb. Uhlové zrýchlenie je zmena uhlovej rýchlosti za jednotku času, vypočítaná ako derivácia uhlovej rýchlosti v čase alebo druhá derivácia uhlového posunu v čase:

(22)

Rovnako ako uhlová rýchlosť, aj uhlové zrýchlenie je vektorová veličina. Vektor uhlového zrýchlenia - axiálny vektor, v prípade zrýchlenej rotácie smeruje rovnakým smerom ako vektor uhlovej rýchlosti (obr. 14); v prípade spomalenej rotácie je vektor uhlového zrýchlenia nasmerovaný opačne ako vektor uhlovej rýchlosti.

Pri rovnako premenlivom rotačnom pohybe existujú vzťahy podobné vzorcom (10) a (11), ktoré opisujú rovnako premenlivý priamočiary pohyb:

ω = ω 0 ± εt,

.

Dobre viete, že v závislosti od tvaru trajektórie sa pohyb delí na priamočiary a krivočiary... V predchádzajúcich lekciách sme sa naučili pracovať s priamočiarym pohybom, konkrétne vyriešiť hlavný problém mechaniky pre tento typ pohybu.

Je však jasné, že v reálnom svete máme najčastejšie dočinenia s krivočiarym pohybom, kedy je trajektóriou zakrivená čiara. Príklady takéhoto pohybu sú trajektória telesa hodeného pod uhlom k horizontu, pohyb Zeme okolo Slnka a dokonca aj trajektória pohybu vašich očí, ktoré teraz sledujú tento obrys.

Táto lekcia bude venovaná otázke, ako sa rieši hlavný problém mechaniky v prípade krivočiareho pohybu.

Na začiatok si definujme, aké zásadné rozdiely má krivočiary pohyb (obr. 1) voči priamočiaremu a k čomu tieto rozdiely vedú.

Ryža. 1. Trajektória krivočiareho pohybu

Povedzme si, ako je vhodné opísať pohyb telesa krivočiarym pohybom.

Pohyb môžete rozdeliť do samostatných častí, z ktorých každý môže byť pohyb považovaný za priamočiary (obr. 2).

Ryža. 2. Rozdelenie krivočiareho pohybu na úseky priamočiareho pohybu

Nasledujúci prístup je však pohodlnejší. Tento pohyb predstavíme ako kombináciu viacerých pohybov po oblúkoch kružníc (obr. 3). Všimnite si, že takýchto delení je menej ako v predchádzajúcom prípade, navyše pohyb po kružnici je krivočiary. Okrem toho sú príklady pohybu v kruhu v prírode veľmi časté. Z toho môžeme vyvodiť záver:

Aby ste mohli opísať krivočiary pohyb, musíte sa naučiť, ako opísať pohyb pozdĺž kruhu, a potom reprezentovať svojvoľný pohyb vo forme súboru pohybov pozdĺž oblúkov kruhov.

Ryža. 3. Rozdelenie krivočiareho pohybu na pohyb po oblúkoch kružníc

Začnime teda štúdium krivočiareho pohybu štúdiom rovnomerného pohybu po kružnici. Pozrime sa, aké sú zásadné rozdiely medzi krivočiarym pohybom a priamočiarym pohybom. Na začiatok si pripomeňme, že v deviatom ročníku sme sa učili, že rýchlosť telesa pri pohybe po kružnici smeruje tangenciálne k trajektórii (obr. 4). Mimochodom, túto skutočnosť môžete pozorovať zo skúsenosti, ak sa pozriete na to, ako sa pri použití brúsneho kameňa pohybujú iskry.

Uvažujme pohyb telesa po oblúku kružnice (obr. 5).

Ryža. 5. Rýchlosť telesa pri pohybe v kruhu

Všimnite si, že v tomto prípade sa modul rýchlosti telesa v bode rovná modulu rýchlosti telesa v bode:

Vektor sa však nerovná vektoru. Máme teda vektor rozdielu rýchlostí (obr. 6):

Ryža. 6. Vektor rozdielu rýchlosti

Navyše k zmene rýchlosti došlo až po určitom čase. Dostávame teda známu kombináciu:

Nejde o nič iné ako o zmenu rýchlosti v priebehu času alebo o zrýchlenie telesa. Možno vyvodiť veľmi dôležitý záver:

Pohyb po zakrivenej dráhe sa zrýchľuje. Podstatou tohto zrýchlenia je plynulá zmena smeru vektora rýchlosti.

Znova si všimnite, že aj keď sa hovorí, že sa teleso pohybuje po obvode rovnomerne, znamená to, že modul rýchlosti telesa sa nemení. Takýto pohyb je však vždy zrýchlený, pretože sa mení smer rýchlosti.

V deviatom ročníku ste študovali, čo je zrýchlenie a ako je smerované (obrázok 7). Dostredivé zrýchlenie smeruje vždy do stredu kružnice, po ktorej sa teleso pohybuje.

Ryža. 7. Dostredivé zrýchlenie

Modul dostredivého zrýchlenia možno vypočítať pomocou vzorca:

Prechádzame k popisu rovnomerného pohybu tela po obvode. Dohodnime sa, že rýchlosť, ktorú ste použili pri popise translačného pohybu, sa teraz bude nazývať lineárna rýchlosť. A lineárnou rýchlosťou rozumieme okamžitú rýchlosť v bode trajektórie rotujúceho telesa.

Ryža. 8. Pohyb bodov na disku

Zvážte kotúč, ktorý sa otáča v smere hodinových ručičiek pre istotu. Na jeho polomere vyznačíme dva body a (obr. 8). Uvažujme o ich pohybe. Po určitú dobu sa tieto body budú pohybovať po kruhových oblúkoch a stanú sa bodmi a. Je zrejmé, že bod sa posunul viac ako bod. Z toho môžeme usúdiť, že čím ďalej od osi rotácie je bod, tým väčšia je lineárna rýchlosť, ktorou sa pohybuje.

Ak sa však pozriete pozorne na body, môžeme povedať, že uhol, o ktorý sa otočili vzhľadom na os rotácie, zostal nezmenený. Sú to uhlové charakteristiky, ktoré budeme používať na opis pohybu v kruhu. Všimnite si, že na popis pohybu pozdĺž kruhu môžete použiť rohu technické údaje.

Začnime naše úvahy o pohybe po kruhu najjednoduchším prípadom – rovnomerným pohybom po kruhu. Pripomeňme, že rovnomerný translačný pohyb je pohyb, pri ktorom telo robí rovnaké pohyby v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch. Analogicky môžete zadať definíciu rovnomerného pohybu pozdĺž kruhu.

Rovnomerný pohyb pozdĺž kruhu je pohyb, pri ktorom sa telo otáča v rovnakých uhloch počas ľubovoľných rovnakých časových intervalov.

Podobne ako pojem lineárna rýchlosť sa zavádza aj pojem uhlová rýchlosť.

Uhlová rýchlosť rovnomerného pohybu ( sa nazýva fyzikálna veličina rovnajúca sa pomeru uhla, o ktorý sa teleso otočilo, k času, počas ktorého k tomuto otáčaniu došlo.

Vo fyzike sa najčastejšie používa radiánová miera uhla. Napríklad uhol v sa rovná radiánom. Uhlová rýchlosť sa meria v radiánoch za sekundu:

Nájdite vzťah medzi uhlovou rýchlosťou otáčania bodu a lineárnou rýchlosťou tohto bodu.

Ryža. 9. Vzťah medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou

Pri otáčaní prechádza bod oblúkom dĺžky, pričom sa otáča pod uhlom. Z definície radiánovej miery uhla môžete napísať:

Ľavú a pravú stranu rovnosti delíme časovým intervalom, počas ktorého sa pohyb uskutočnil, potom použijeme definíciu uhlových a lineárnych rýchlostí:

Všimnite si, že čím ďalej je bod od osi rotácie, tým vyššia je jeho lineárna rýchlosť. A body umiestnené na samotnej osi rotácie sú nehybné. Príkladom toho je kolotoč: čím bližšie ste k stredu kolotoča, tým ľahšie sa na ňom udržíte.

Takáto závislosť lineárnej a uhlovej rýchlosti sa používa v geostacionárnych satelitoch (satelity, ktoré sú vždy nad tým istým bodom zemského povrchu). Vďaka takýmto satelitom sme schopní prijímať televízny signál.

Pripomeňme, že predtým sme zaviedli pojmy perióda a frekvencia rotácie.

Obdobie rotácie je doba jednej úplnej otáčky. Obdobie rotácie je označené písmenom a meria sa v sekundách v SI:

Frekvencia otáčania je fyzikálna veličina rovnajúca sa počtu otáčok, ktoré telo vykoná za jednotku času.

Frekvencia je označená písmenom a meria sa v opačných sekundách:

Sú spojené pomerom:

Existuje vzťah medzi uhlovou rýchlosťou a frekvenciou otáčania tela. Ak si pamätáme, že celá otáčka je rovnaká, je ľahké vidieť, že uhlová rýchlosť je:

Nahradením týchto výrazov do vzťahu medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou je možné získať závislosť lineárnej rýchlosti od periódy alebo frekvencie:

Zapíšme si tiež vzťah medzi dostredivým zrýchlením a týmito veličinami:

Poznáme teda vzťah medzi všetkými charakteristikami rovnomerného pohybu po kružnici.

Poďme si to zhrnúť. V tejto lekcii sme začali popisovať krivočiary pohyb. Pochopili sme, ako môžeme spojiť krivočiary pohyb s kruhovým pohybom. Kruhový pohyb je vždy zrýchlený a prítomnosť zrýchlenia určuje skutočnosť, že rýchlosť vždy mení svoj smer. Toto zrýchlenie sa nazýva dostredivé. Nakoniec sme si zapamätali niektoré charakteristiky kruhového pohybu (lineárna rýchlosť, uhlová rýchlosť, perióda a frekvencia rotácie) a našli sme medzi nimi vzťah.

Bibliografia

1. G. Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fyzika 10. - M .: Vzdelávanie, 2008.
2. A.P. Rymkevič. fyzika. Kniha problémov 10-11. - M.: Drop, 2006.
3. O. Ja. Savčenková. Úlohy z fyziky. - M.: Nauka, 1988.
4. A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. Kurz fyziky. T. 1. - M .: Štát. uch.-ped. vyd. min. školstvo RSFSR, 1957.

1. Ayp.ru ().
2. Wikipedia ().

Domáca úloha

Po vyriešení problémov pre túto lekciu sa budete môcť pripraviť na otázky 1 GIA a otázky A1, A2 skúšky.

1. Úlohy 92, 94, 98, 106, 110 - so. úlohy A.P. Rymkevič, vyd. 10
2. Vypočítajte uhlovú rýchlosť minútovej, sekundovej a hodinovej ručičky hodiniek. Vypočítajte dostredivé zrýchlenie pôsobiace na hroty týchto šípov, ak má každý šíp polomer jeden meter.