Veta o zmene množstva pohybu hmotného bodu. Dynamika relatívneho pohybu. Zákon zachovania hybnosti
Veta o zmene množstva pohybu bodu
Pretože hmotnosť bodu je konštantná a jeho zrýchlenie, rovnica vyjadrujúca základný zákon dynamiky môže byť reprezentovaná vo forme
Rovnica súčasne vyjadruje vetu o zmene hybnosti bodu v diferenciálnej forme: derivácia času od hybnosti bodu sa rovná geometrickému súčtu síl pôsobiacich na bod.
Integrujme túto rovnicu. Nechajte hmotný bod m, pohybujúce sa pôsobením sily (obr. 15), má v súčasnosti t= 0 rýchlosť, momentálne t 1 - rýchlosť.
Obr. 15
Potom vynásobíme obe strany rovnosti a vezmeme z nich definitívne integrály... V tomto prípade vpravo, kde je integrácia včas, sú limity integrálov 0 a t 1 a vľavo, kde je rýchlosť integrovaná, budú hranicami integrálu zodpovedajúce hodnoty rýchlosti a
... Od integrálu 
rovná sa ,
potom ako výsledok dostaneme:
.
Integrály vpravo predstavujú impulzy pôsobiacich síl. Preto konečne budeme mať:
.
Rovnica vyjadruje vetu o zmene hybnosti bodu v konečnej podobe: zmena hybnosti bodu za určité časové obdobie sa rovná geometrickému súčtu impulzov všetkých síl pôsobiacich na bod počas rovnakého časového obdobia ( ryža. pätnásť).
Pri riešení problémov sa namiesto vektorovej rovnice často používajú rovnice v projekciách.
V prípade priamočiareho pohybu pozdĺž osi Oh veta je vyjadrená prvou z týchto rovníc.
Príklad 9. Nájdite zákon pohybu materiálny bod omše m pohybujúce sa pozdĺž osi NS pôsobením silovej konštanty v absolútnej hodnote F(Obr. 16) s počiatočnými podmienkami :, s 
.
Obrázok 16
Riešenie. Poďme komponovať Diferenciálnej rovnice pohyb bodu v priemete na os NS:. Po integrácii tejto rovnice nájdeme: 
... Konštanta je určená z počiatočných podmienok rýchlosti a je rovná. Konečne
.
Ďalej s prihliadnutím na to, že v = dx /dt dostávame sa k diferenciálnej rovnici: 
, ktorých integráciou získame
Konštanta je určená z počiatočných podmienok pre súradnicu bodu. Je to rovnocenné V dôsledku toho má pohybový zákon bodu tvar
Príklad 10... Hmotnostné zaťaženie R.(Obr. 17) sa začína pôsobením sily pohybovať z pokojového stavu pozdĺž hladkej horizontálnej roviny F = kt... Nájdite zákon o pohybe nákladu.
Obr. 17
Riešenie. Vyberme si pôvod súradnicového systému O v východisková pozícia zaťažte a nasmerujte os NS v smere pohybu (obr. 17). Potom sú počiatočné podmienky nasledujúce: X(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0. Na zaťaženie pôsobia sily F,P a reakčná sila lietadla N.... Projekcie týchto síl na os NS záležitosť FX = F = kt, R.X = 0, N x= 0, takže zodpovedajúcu pohybovú rovnicu možno zapísať nasledovne :. Oddelením premenných v tejto diferenciálnej rovnici a následnou integráciou dostaneme: v = gkt 2 /2P + C. jeden. Nahradenie pôvodných údajov ( v(0) = 0), zistíme to C. 1 = 0, a dostaneme zákon o zmene rýchlosti 
.
Posledný výraz je zase diferenciálna rovnica, ktorej integráciou nájdeme pohybový zákon hmotného bodu: 
... Tu zadávaná konštanta je určená z druhej počiatočnej podmienky NS(0) = 0. Je ľahké to vidieť. Konečne
Príklad 11. Na záťaž v pokoji na horizontálnej hladkej rovine (pozri obr. 17) na diaľku a od začiatku, začína pôsobiť v kladnom smere osi X moc F = k 2 (P/g)X, kde R - hmotnosť nákladu. Nájdite zákon o pohybe nákladu.
Riešenie. Pohybová rovnica uvažovaného zaťaženia (hmotného bodu) v priemete na os NS
Počiatočné podmienky rovnice (1) sú nasledujúce: X(t = 0) = a, v ( t = 0) = 0.
Časovú deriváciu rýchlosti v rovnici (1) reprezentujeme nasledovne:
.
Dosadením tohto výrazu do rovnice (1) a zrušením ( P/g), dostaneme
Oddelením premenných v poslednej rovnici zistíme, že. Integráciou druhého z nich máme :. Použitie počiatočných podmienok 
, získavame, a preto
, 
. (2)
Pretože sila pôsobí na zaťaženie v kladnom smere osi NS, potom je zrejmé, že sa musí pohybovať rovnakým smerom. Z tohto dôvodu by malo byť v roztoku zvolené znamienko plus (2). Nahradením ďalej v druhom výraze (2) výrazom získame diferenciálnu rovnicu na určenie zákona pohybu zaťaženia. Odtiaľ, oddeľujúce premenné, máme
.
Po ich integrácii nájdeme: 
... Po nájdení konštanty sa konečne dostávame
Príklad 12. Lopta M omše m(Obr. 18) padá bez počiatočnej rýchlosti pôsobením gravitácie. Pri páde lopta zažije odpor, kde – konštantný koeficient odporu. Nájdite zákon pohybu lopty.
Obr
Riešenie. Zavádzame súradnicový systém s počiatkom v mieste, kde sa nachádza guľa t = 0 nasmerovaním osi o zvisle nadol (obr. 18). Diferenciálna pohybová rovnica lopty v priemete na os o potom má formu
Počiatočné podmienky lopty sú napísané takto: r(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0.
Delenie premenných v rovnici (1)
a integráciou nájdeme :, kde. Alebo po zistení konštanty
alebo. (2)
Z toho teda vyplýva, že obmedzujúca rýchlosť, t.j. rýchlosť pri, je rovná.
Aby sme našli pohybový zákon, nahradíme v v rovnici (2) za D Y /dt... Potom integráciou výslednej rovnice berúc do úvahy počiatočné podmienky nakoniec nájdeme
.
Príklad 13. Výskumná ponorka sférického tvaru a hmotnosti m= = 1,5 × 10 5 Kg sa začína potápať s vypnutými motormi s horizontálnou rýchlosťou v NS 0 = 30 pani a negatívny vztlak R. 1 = 0.01mg, kde 
Je vektorový súčet vztlakovej sily Q a gravitácia mg pôsobiaci na čln (obr. 20). Sila odolnosti voči vode 
, kg / s... Určte pohybové rovnice lode a jej trajektóriu.
Diferenciálna pohybová rovnica hmotného bodu pôsobením sily F môže byť reprezentovaný v nasledujúcej vektorovej forme:
Od hmotnosti bodu m je akceptovaná ako konštanta, potom ju možno zadať pod znamienkom derivátu. Potom
Vzorec (1) vyjadruje vetu o zmene hybnosti bodu v diferenciálnej forme: prvá časová derivácia hybnosti bodu sa rovná sile pôsobiacej na bod.
V priemetoch na súradnicových osiach (1) môžu byť reprezentované ako
Ak sa obe strany (1) vynásobia dt, potom dostaneme inú formu tej istej vety - impulznú vetu v diferenciálnej forme:
tí. diferenciál hybnosti bodu sa rovná elementárnemu impulzu sily pôsobiacej na bod.
Po projekcii oboch strán (2) na súradnicové osi získame
Integráciou oboch strán (2) v rozsahu od nuly do t (obr. 1) máme
kde je momentálne rýchlosť bodu t; - rýchlosť pri t = 0;
S- impulz moci v priebehu času t.
Výraz vo forme (3) sa často nazýva veta o hybnosti v konečnej (alebo integrálnej) forme: zmena hybnosti bodu za akékoľvek časové obdobie sa rovná impulzu sily za rovnaké časové obdobie.
V priemetoch na súradnicové osi môže byť táto veta reprezentovaná nasledovne:
V prípade hmotného bodu sa veta o zmene hybnosti v žiadnej z foriem v podstate nelíši od diferenciálnych pohybových rovníc bodu.
Veta o zmene objemu pohybu systému
Množstvo pohybu systému je vektorové množstvo Q sa rovná geometrickému súčtu (hlavnému vektoru) pohybových veličín všetkých bodov systému.
Zvážte systém pozostávajúci z n materiálne body. Zostavme diferenciálne pohybové rovnice pre tento systém a sčítajme ich termín po termíne. Potom dostaneme:
Posledný súčet je vlastnosťou vnútorných síl rovný nule. Okrem toho,
Nakoniec nachádzame:
Rovnica (4) vyjadruje vetu o zmene hybnosti systému v diferenciálnej forme: časová derivácia hybnosti sústavy sa rovná geometrickému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu.
Nájdeme ďalšie vyjadrenie vety. V tejto chvíli nechajte t= 0 je množstvo pohybu systému Q 0, a v čase t 1 stáva sa rovnocenným Q 1. Potom vynásobte obe strany rovnosti (4) dt a integráciou získame:
Alebo kde:
(S-impulz sily)
pretože integrály vpravo dodávajú impulzy vonkajších síl,
rovnica (5) vyjadruje vetu o zmene hybnosti systému v integrálnej forme: zmena hybnosti systému za určité časové obdobie sa rovná súčtu impulzov vonkajších síl pôsobiacich na systém počas rovnakého časového obdobia.
V projekciách na súradnicových osiach budeme mať:
Zákon zachovania hybnosti
Z vety o zmene hybnosti systému možno vyvodiť nasledujúce dôležité dôsledky:
1. Nech je súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu rovný nule:
Potom z Rovnice (4) vyplýva, že v tomto prípade Q = konšt.
Preto ak je súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém rovný nule, potom vektor hybnosti systému bude konštantný v 10 module a smere.
2.01 Nech sú vonkajšie sily pôsobiace na systém také, aby sa súčet ich priemetov na nejakú os (napríklad Ox) rovnal nule:
Potom z ekv. (4 ') vyplýva, že v tomto prípade Q = konšt.
Preto ak je súčet priemetov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nejakú os nulový, potom je priemet hybnosti systému na túto os konštantnou hodnotou.
Tieto výsledky vyjadrujú zákon zachovania hybnosti systému. Vyplýva z nich, že vnútorné sily nedokážu zmeniť celkovú hybnosť systému.
Pozrime sa na niekoľko príkladov:
· Mám z toho pocit. Ak budeme pušku a guľku považovať za jeden systém, potom bude tlak práškových plynov pri výstrele vnútornou silou. Táto sila nemôže zmeniť celkové množstvo pohybu systému. Pretože však práškové plyny, pôsobiace na guľku, jej dodávajú určité množstvo pohybu dopredu, musia súčasne poskytovať rovnaké množstvo pohybu aj puške. obrátený smer... To spôsobí pohyb pušky dozadu, t.j. takzvaný spätný ráz. K podobnému javu dochádza pri streľbe zo zbrane (rollback).
· Práca o t a grebn o in a n a (vrtuľa). Skrutka prenáša pohyb na určitú hmotnosť vzduchu (alebo vody) pozdĺž osi skrutky a vrhá túto hmotu späť. Ak považujeme odhodenú hmotnosť a lietadlo (alebo loď) za jeden systém, potom sily interakcie medzi vrtuľou a médiom ako vnútorné nemôžu zmeniť celkovú hybnosť tohto systému. Preto pri vrhaní hmoty vzduchu (vody) dozadu lietadlo (alebo loď) dosiahne zodpovedajúcu rýchlosť vpred, takže celková hybnosť uvažovaného systému zostane rovná nule, pretože pred začiatkom pohybu bola nulová.
Podobný účinok sa dosahuje pôsobením vesiel alebo lopatkových kolies.
Reaguje. V rakete (raketa) plynné produkty spaľovacie hnacie plyny sa vysúvajú vysokou rýchlosťou z otvoru v chvoste rakety (z dýzy prúdového motora). Tlakové sily pôsobiace v tomto prípade budú vnútornými silami a nemôžu zmeniť celkovú hybnosť systému plynov s raketovými pohonnými hmotami. Ale pretože unikajúce plyny majú určité množstvo pohybu nasmerované dozadu, raketa dostane zodpovedajúcu rýchlosť vpred.
Veta o momente osi.
Zvážte hmotný bod hmotnosti m pohybujúci sa silou F... Nájdeme pre to vzťah medzi momentom hybnosti vektorov mV a F relatívne k nejakej pevnej osi Z.
m z (F) = xF - уF (7)
Podobne pre množstvo m (mV) ak vytiahnete m zátvorka bude
m z (mV) = m (xV - yV)(7`)
Keď vezmeme časové deriváty oboch strán tejto rovnosti, zistíme
Na pravej strane výsledného výrazu je prvá zátvorka 0, pretože dx / dt = V a dу / dt = V, druhá zátvorka podľa vzorca (7) sa rovná
m z (F), pretože podľa základného zákona dynamiky:
Nakoniec budeme mať (8)
Výsledná rovnica vyjadruje vetu o okamihoch okolo osi: časová derivácia momentu hybnosti bodu vzhľadom na nejakú os sa rovná momentu pôsobiacej sily vzhľadom na rovnakú os. Podobná veta platí aj pre momenty súvisiace s akýmkoľvek stredom O.
Množstvo pohybu systému ako vektorová veličina je určené vzorcami (4.12) a (4.13).
Veta. Derivácia hybnosti systému vzhľadom na čas sa rovná geometrickému súčtu všetkých vonkajších síl, ktoré naň pôsobia.
V projekciách karteziánskych osí získavame skalárne rovnice.
Môžete napísať vektor
(4.28)
a skalárne rovnice
Ktoré vyjadrujú vetu o zmene hybnosti systému v integrálnej forme: zmena hybnosti systému za určité časové obdobie sa rovná súčtu impulzov za rovnaké časové obdobie. Pri riešení problémov sa často používajú rovnice (4.27)
Zákon zachovania hybnosti
Zmeniť vetu kinetický moment
Veta o zmene hybnosti momentu bodu vzhľadom na stred: časová derivácia momentu hybnosti bodu vzhľadom na stacionárny stred sa rovná vektorovému momentu pôsobiacemu na bod sily vzhľadom na ten istý stred.
Alebo 
(4.30)
Porovnaním (4,23) a (4,30) vidíme, že momenty vektorov a sú príbuzné rovnakou závislosťou ako vektory a samotné (obr. 4.1). Ak premietneme rovnosť na os prechádzajúcu stredom O, dostaneme
(4.31)
Táto rovnosť vyjadruje vetu o hybnosti momentu bodu okolo osi.
|
(4.32)
Ak premietneme výraz (4,32) na os prechádzajúcu stredom O, potom získame rovnosť charakterizujúcu vetu o zmene momentu hybnosti vzhľadom na os.
(4.33)
Náhradou (4.10) za rovnosť (4,33) môžeme zapísať diferenciálnu rovnicu rotujúceho tuhého telesa (kolesá, nápravy, hriadele, rotory atď.) Do troch foriem.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Preto je vhodné použiť vetu o zmene momentu hybnosti na štúdium pohybu tuhého telesa, ktorý je v technológiách veľmi rozšírený, a jeho rotácie okolo pevnej osi.
Zákon zachovania momentu hybnosti systému
1. Pustite výraz (4,32).
Potom z rovnice (4.32) vyplýva, že t.j. ak súčet momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém vzhľadom na toto centrum je rovná nule, potom moment hybnosti systému vzhľadom na tento stred bude číselne a v smere bude konštantný.
2. Ak, tak. Ak je teda súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na systém relatívne k určitej osi rovný nule, potom moment hybnosti systému vzhľadom na túto os bude konštantný.
Tieto výsledky vyjadrujú zákon zachovania momentu hybnosti.
V prípade rotujúceho tuhého telesa rovnosť (4.34) znamená, že ak, potom. Odtiaľ sa dostávame k nasledujúcim záverom:
Ak je systém nemeniteľný (absolútne tuhé teleso), potom sa tuhé teleso následne otáča okolo pevnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou.
Ak je systém vymeniteľný, potom. S rastúcim (potom sa jednotlivé prvky systému vzďaľujú od osi otáčania) uhlová rýchlosť klesá, pretože , a s poklesom sa zvyšuje, takže v prípade variabilného systému je pomocou vnútorných síl možné zmeniť uhlovú rýchlosť.
Druhá úloha D2 testovacie práce je venovaná vete o zmene momentu hybnosti systému vzhľadom na os.
Problém D2
Rovnomerná vodorovná plošina (okrúhla s polomerom R alebo obdĺžniková so stranami R a 2R, kde R = 1,2 m) s hmotnosťou kg sa otáča uhlovou rýchlosťou okolo zvislej osi z, vzdialenej od stredu hmotnosti C plošiny o vzdialenosť OC = b (obr. D2.0 - D2.9, tabuľka.D2); rozmery pre všetky obdĺžnikové plošiny sú znázornené na obr. D2.0a (pohľad zhora).
V okamihu sa začne zaťaženie D s hmotnosťou kg pohybovať po plošinovom sklze (pôsobením vnútorných síl) podľa zákona, kde s je vyjadrené v metroch, t je v sekundách. Súčasne začne na plošiny pôsobiť dvojica síl v momente M (udanom v newtonometroch; pre M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Určte, zanedbávajúc hmotnosť hriadeľa, závislosť, t.j. uhlová rýchlosť platformy ako funkcia času.
Na všetkých obrázkoch je zaťaženie D zobrazené v polohe, v ktorej s> 0 (keď s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Pokyny.Úloha D2 - o aplikácii vety o zmene momentu hybnosti systému. Pri aplikácii vety na systém pozostávajúci z plošiny a zaťaženia je moment hybnosti systému vzhľadom na os z určený ako súčet momentov plošiny a zaťaženia. Je potrebné mať na pamäti, že absolútna rýchlosť nákladu je súčtom relatívnych a prenosných rýchlostí, t.j. ... Preto je množstvo pohybu tohto nákladu 
... Potom môžete použiť Varignonovu vetu (statiku), podľa ktorej; tieto momenty sa počítajú rovnako ako momenty síl. Priebeh riešenia je podrobnejšie vysvetlený v príklade D2.
Pri riešení problému je užitočné znázorniť na pomocnom výkrese pohľad na plošinu zhora (od konca z), ako sa to deje na obr. D2,0, a - D2,9, a.
Moment zotrvačnosti dosky s hmotnosťou m vzhľadom na os Cz, kolmej na dosku a prechádzajúcou jej ťažiskom, je: pre obdĺžnikovú dosku so stranami a
;
Pre okrúhlu vložku s polomerom R
| Číslo podmienky | b | s = F (t) | M |
| R R / 2 R R / 2 R R / 2 R R / 2 R R / 2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Príklad D2... Homogénna horizontálna platforma (obdĺžniková so stranami 2 l a l), ktorá má hmotnosť, je pevne pripevnená k zvislému hriadeľu a otáča sa s ním okolo osi z s uhlovou rýchlosťou (obr. D2a ). V okamihu začne na hriadeľ pôsobiť opačne nasmerovaný krútiaci moment M. ; súčasne náklad D omša v žľabe AB v bode S, sa začne pohybovať po žľabe (pôsobením vnútorných síl) podľa zákona s = CD = F (t).
Vzhľadom na to: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4 t 2 (s - v metroch, t - v sekundách), M= kt, kde k= 6 Nm / s. Určte: - zákon zmeny uhlová rýchlosť platformy.
Riešenie. Zvážte mechanický systém skladajúci sa z plošiny a nákladu D. Aby sme určili w, použijeme vetu o zmene momentu hybnosti systému vzhľadom na os z:
(1)
Predstavme vonkajšie sily pôsobiace na systém: reakčné gravitačné sily a krútiaci moment M. Pretože sily a sú rovnobežné s osou z a reakcie prechádzajú touto osou, ich momenty okolo osi z sú rovné nule. . Potom za predpokladu, že smer momentu bude kladný (tj. Proti smeru hodinových ručičiek), získame 
a rovnica (1) bude mať túto formu.
Akýkoľvek mechanický systém pozostávajúci z akýchkoľvek telies môže fungovať ako systém, o ktorom sa hovorí vete.
Vyhlásenie vety
Množstvo pohybu (impulzu) mechanického systému sa nazýva množstvo rovnajúce sa súčtu množstiev pohybu (impulzov) všetkých telies zahrnutých v systéme. Impulz vonkajších síl pôsobiacich na telesá systému je súčtom impulzov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na telesá systému.
( kg m / s)
Veta o zmene množstva pohybu stavov systému
Zmena hybnosti systému za určité časové obdobie sa rovná impulzu vonkajších síl pôsobiacich na systém počas rovnakého časového obdobia.
Zákon zachovania hybnosti systému
Ak je súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu nulový, potom hybnosť (hybnosť) sústavy je konštantná hodnota.
,
získame výraz vety o zmene hybnosti systému v diferenciálnej forme:
Integrácia oboch strán výslednej rovnosti v ľubovoľnom časovom intervale medzi niektorými a získame výraz vety o zmene hybnosti systému v integrálnej forme:
Impulzný zákon o zachovaní (Zákon zachovania hybnosti) tvrdí, že vektorový súčet hybnosti všetkých telies v systéme je konštantná hodnota, ak je vektorový súčet vonkajších síl pôsobiacich na sústavu rovný nule.
(moment pohybu m 2 kg s −1)
Veta o zmene hybnosti momentu v strede
časová derivácia momentu hybnosti (momentu hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na nejaký pevný stred sa rovná momentu sily pôsobiacej na bod vzhľadom na ten istý stred.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Veta o zmene momentu hybnosti okolo osi
časová derivácia momentu hybnosti (momentu hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na akúkoľvek pevnú os sa rovná momentu sily pôsobiacej na tento bod vzhľadom na rovnakú os.
dk X /dt = M X (F ); dk r /dt = M r (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Zvážte vecný bod M omša m pohybujúci sa silou F (Obrázok 3.1). Napíšte a zostrojte vektor hybnosti (moment hybnosti) M 0 hmotného bodu vzhľadom na stred O :
Rozlišujeme vyjadrenie momentu hybnosti (moment hybnosti k 0) podľa času:
Ako DR /dt = V , potom krížový produkt V ⊗ m ⋅ V (kolineárne vektory V a m ⋅ V ) sa rovná nule. V rovnakom čase d (m ⋅ V) /dt = F podľa vety o hybnosti hmotného bodu. Preto to chápeme
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
kde r ⊗F = M 0 (F ) - vektorový moment sily F relatívne pevný stred O ... Vektor k 0 ⊥ lietadlo ( r , m ⊗V ) a vektor M 0 (F ) ⊥ lietadlo ( r ,F ), konečne máme
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Rovnica (3.4) vyjadruje vetu o zmene momentu hybnosti (momentu hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na stred: časová derivácia momentu hybnosti (momentu hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na nejaký pevný stred sa rovná momentu sily pôsobiacej na bod vzhľadom na ten istý stred.
Projektovaním rovnosti (3.4) na karteziánskej súradnicovej osi získame
dk X /dt = M X (F ); dk r /dt = M r (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Rovnosti (3.5) vyjadrujú vetu o zmene momentu hybnosti (momentu hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na os: časová derivácia momentu hybnosti (momentu hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na akúkoľvek pevnú os sa rovná momentu sily pôsobiacej na tento bod vzhľadom na rovnakú os.
Zvážte dôsledky vyplývajúce z vety (3.4) a (3.5).
Dôsledok 1. Zoberme si prípad, kde sila F počas celého pohybu bodu prechádza pevným stredom O (prípad centrálnej sily), t.j. kedy M 0 (F ) = 0. Potom z Vety (3.4) vyplýva, že k 0 = konšt ,
tí. v prípade centrálnej sily zostáva moment hybnosti (moment hybnosti) hmotného bodu vzhľadom na stred tejto sily konštantný vo veľkosti a smere (obrázok 3.2).
Obrázok 3.2
Zo stavu k 0 = konšt z toho vyplýva, že dráha pohybujúceho sa bodu je rovinná krivka, ktorej rovina prechádza stredom tejto sily.
Dôsledok 2. Nechaj byť M z (F ) = 0, t.j. sila prechádza osou z alebo je s ňou rovnobežná. V tomto prípade, ako je zrejmé z tretiny rovníc (3.5), k z = konšt ,
tí. ak je moment sily pôsobiacej na bod vzhľadom na akúkoľvek pevnú os vždy nulový, potom moment hybnosti (momentová hybnosť) bodu vzhľadom na túto os zostane konštantný.
Dôkaz vety o zmene hybnosti
Nechajte systém pozostávať z hmotných bodov s hmotnosťami a zrýchleniami. Všetky sily pôsobiace na telesá systému možno rozdeliť do dvoch typov:
Vonkajšie sily sú sily pôsobiace z telies, ktoré nie sú súčasťou uvažovaného systému. Výsledné vonkajšie sily pôsobiace na hmotný bod s číslom i označovať.
Vnútorné sily sú sily, s ktorými navzájom pôsobia telesá samotného systému. Sila, s ktorou do bodu s číslom i bodka s číslom je účinná k, budeme označovať, a silu akcie i-tretí bod k bod -. Očividne teda, potom
Pomocou zavedených označení napíšeme druhý Newtonov zákon pre každý z uvažovaných materiálnych bodov vo formulári
Zvažujem to 
a keď zhrnieme všetky rovnice druhého Newtonovho zákona, dostaneme:
Tento výraz je súčtom všetkých vnútorných síl pôsobiacich v systéme. Podľa tretieho Newtonovho zákona v tomto súčte každá sila zodpovedá takej sile, že je teda splnená 
Pretože celý súčet pozostáva z takýchto párov, potom sa samotný súčet rovná nule. Takže človek môže písať
Použitím zápisu hybnosti systému získame
Predstavujeme zmenu impulzu vonkajších síl 
, získame výraz vety o zmene hybnosti systému v diferenciálnej forme:
Každá z posledných získaných rovníc nám teda umožňuje tvrdiť: zmena hybnosti systému nastáva iba v dôsledku pôsobenia vonkajších síl a vnútorné sily na túto hodnotu nemôžu nijako vplývať.
Po integrácii oboch strán získanej rovnosti v ľubovoľnom časovom intervale medzi niektorými a získame vyjadrenie vety o zmene hybnosti systému v integrálnej forme:
kde a kde sú hodnoty hybnosti systému v časových momentoch, respektíve, a je impulzom vonkajších síl za určité časové obdobie. V súlade s vyššie uvedenými a zavedenými označeniami
Hmotný bod nech sa pohybuje pod vplyvom sily F... Je potrebné určiť pohyb tohto bodu vo vzťahu k pohybujúcemu sa systému Oxyz(pozri komplexný pohyb hmotného bodu), ktorý sa pohybuje známym spôsobom vzhľadom na stacionárny systém O 1 X 1 r 1 z 1 .
Základná rovnica dynamiky v stacionárnom systéme
Absolútne zrýchlenie bodu zapíšeme podľa Coriolisovej vety
kde a abs- absolútne zrýchlenie;
a rel- relatívne zrýchlenie;
a jazdný pruh- prenosné zrýchlenie;
a kor- Coriolisovo zrýchlenie.
Prepíšeme (25) s prihliadnutím (26)
Predstavíme notáciu 
- prenosná zotrvačná sila, 
- Coriolisova sila zotrvačnosti. Potom má tvar rovnica (27)
Základná rovnica dynamiky pre štúdium relatívneho pohybu (28) je zapísaná rovnako ako pre absolútny pohyb, len k silám pôsobiacim na bod je potrebné pripočítať translačné a Coriolisove sily zotrvačnosti.
Všeobecné vety o dynamike hmotného bodu
Pri riešení mnohých problémov môžete použiť vopred pripravené polotovary získané na základe druhého Newtonovho zákona. Takéto metódy riešenia problémov sú kombinované v tejto časti.
Veta o zmene množstva pohybu hmotného bodu
Predstavme si nasledujúce dynamické charakteristiky:
1. Množstvo pohybu hmotného bodu Je vektorová veličina rovná súčinu hmotnosti bodu vektorom jeho rýchlosti
.
(29)
2. Impulz sily
Impulz elementárnej sily Je vektorová veličina rovná súčinu vektora sily podľa elementárneho časového intervalu
(30).
Potom plný impulz
.
(31)
O F= const dostaneme S=Ft.
Celkový impulz za konečný časový úsek možno vypočítať iba v dvoch prípadoch, keď sila pôsobiaca na bod je konštantná alebo závisí od tohto času. V ostatných prípadoch je potrebné vyjadriť silu ako funkciu času.
Rovnosť rozmerov impulzu (29) a hybnosti (30) umožňuje vytvoriť medzi nimi kvantitatívny vzťah.
Zvážte pohyb hmotného bodu M pôsobením ľubovoľnej sily F po ľubovoľnej trajektórii.
O 
UD: 
.
(32)
Premenné oddelíme v (32) a integrujeme
.
(33)
V dôsledku toho s prihliadnutím na (31) získame
.
(34)
Rovnica (34) vyjadruje nasledujúcu vetu.
Veta: Zmena množstva pohybu hmotného bodu za určité časové obdobie sa rovná impulzu sily pôsobiacej na bod v rovnakom časovom intervale.
Pri riešení problémov treba na súradnicovú os premietať rovnicu (34)
Túto vetu je vhodné použiť, ak medzi danými a neznámymi veličinami existuje hmotnosť bodu, jeho počiatočná a konečná rýchlosť, sily a čas pohybu.
Veta o zmene hybnosti momentu hmotného bodu
M 
moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na stred sa rovná súčinu modulu hybnosti bodu ramenom, t.j. najkratšia vzdialenosť (kolmá) od stredu k čiare zhodujúca sa s vektorom rýchlosti
,
(36)
.
(37)
Vzťah medzi momentom sily (príčina) a momentom hybnosti (dôsledkom) je ustanovený nasledujúcou vetou.
Nechajte bod M danej hmotnosti m pohybuje silou F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Vypočítajme deriváciu (39)
.
(40)
Kombináciou (40) a (38) nakoniec dostaneme
.
(41)
Rovnica (41) vyjadruje nasledujúcu vetu.
Veta: Časová derivácia vektora momentu hybnosti hmotného bodu vzhľadom na nejaký stred sa rovná momentu sily pôsobiacej na bod relatívne k rovnakému stredu.
Pri riešení problémov treba na súradnicovú os premietať rovnicu (41)
V rovniciach (42) sa momenty veličín pohybu a sily vypočítajú vzhľadom na súradnicové osi.
Z (41) vyplýva zákon zachovania momentu hybnosti (Keplerov zákon).
Ak je moment sily pôsobiaci na hmotný bod vzhľadom na akýkoľvek stred rovný nule, potom moment hybnosti bodu vzhľadom na tento stred si zachová svoju veľkosť a smer.
Ak 
potom 
.
Veta a zákon o konzervácii sa používajú pri problémoch s krivočarým pohybom, najmä ak pôsobia centrálne sily.