5. Teorem o zmene kinetickej energie

5. 1. Práca práca

Nechať moc - rovnosť všetkých systémových síl sa aplikuje na bod p, a ( dx, d Y., dz.) - Základný pohyb bodu p pozdĺž svojej trajektórie P 1 P2 (Obr. 5.1). Základná práca d.ALE Sily volajú skalárny produkt

Základná práca je skalárna hodnota. Ak je to uhol medzi pevnosťou a smeru pohybu, expresia (5.1) môže byť reprezentovaná ako

kde je projekcia sily na smer základného pohybu (alebo smeru rýchlosti).

Znamenie základnej práce závisí od funkcie funkcie. Ak - ostrý uhol, potom, ak - tupý uhol, Ak potom.

Dať bod Ročník Dokončite konečný pohyb z polohy do polohy opisujúceho oblúk. Ohrozené Arca n. ľubovoľné malé úseky, označujúce dĺžku oblasti s číslom k. cez. Potom na základnej práci sily k."Stránka bude rovnaká, a všetky spôsoby, ako až - množstvo práce v niektorých častiach

Získame presnú hodnotu práce, obrátení na limit za predpokladu, že počet oblastí n. Zvyšuje sa neurčito a dĺžka každej lokality klesá:

.

Tento limit sa nazýva curvilinear neoddeliteľnou súčasťou prvého druhu oblúka a je napísaný takto.

. (5.3)

Výsledkom integrácie je kompletná práca. ALE Sily F. Na konečnom pohybe pozdĺž cesty pozdĺž cesty.

5. 1. 1. Gravitácia práce

Byť m. - hmotnostný bod, g. - zrýchlenie voľný pád. Potom

Výpočet práce podľa vzorcov (5.1) a (5.3), máme

kde je výška zníženia bodov.

Pri zdvíhaní bodu preto.

5. 1. 2. Práca lineárnej sily pružnosti

Majte materiálový bod Ročník Pohybuje pozdĺž osi Ohovárať (Obr. 5.3) Pod pôsobením pružiny, na ktorú je pripojená. Ak , Pružina je deformovaná a s malými čírami bodu môžeme predpokladať, že sila elasticitu sa aplikuje na boku pružiny. Potom prácu sily elasticity na pohybu x. 0 x. 1 bude rovná

. (5.5)

Práca sily elasticity sa rovná polovici práce koeficientu tuhosti na rozdiel v štvorcoch počiatočnej a konečnej predĺženia (alebo kompresie) pružiny.

5. 1. 3. Základná práca sily pripojených k pevnej látke

Zvážte pohyb tela v rovine. Byť O- ľubovoľne zvolený bod na pevnej látke (obr. 5.4). Zavolajme jej pól. Potom môže byť pohyb tela v rovine reprezentovaný ako súčet najjednoduchšieho: translačný pohyb spolu s pólom a otáčaním tela okolo pólu. Potom sa rýchlosť bodu relatívne fixného súradnice stanoví ako geometrický súčet dvoch rýchlostí.

kde - Pólová rýchlosť, vektor uhlovej rýchlosti pevného telesa, je rýchlosť EULER, t e. Rýchlosť bodu, keď je zdevastá okolo pólu.

Budeme reprezentovať tuhý ako mechanický systém pozostávajúci z N. Samostatné body, vzájomná vzdialenosť medzi ktorým sa nezmení.

Vypočítajte zainteresovaný bod

Potom.

Základná práca podľa (5.1) sa zaznamenávajú nasledovne.

Využívanie vlastností vtipného produktu vektorov , prepíšte posledný výraz vo forme

Nech je to výsledné všetky sily, vonkajšie a vnútorné (obr3) pripojené v mieste tela, t.j.

.

Potom (a) sa zaznamená

Podľa (3.1 a 3.2), hlavného vektora a hlavná chvíľa Vnútorné sily systému sú nula, dostaneme

tu: - hlavný vektor, - Hlavný moment vonkajších síl vzhľadom na bod O.

Súkromné \u200b\u200bprípady

A. Pevný pohyb pevnej látky. Všetky body tela majú rovnaký pohyb (obr. 5.5, A) a modul a v smere, potom od (5.6), dostaneme (tu):

. (5.7)

B. Otáčanie pevnej látky okolo stacionárnej osi. Nechať os z. prechádza cez pól O(Obr. 5.5b). Potom ,; Z (5.6) dostaneme

. (5.8)

Príklad. Hmot m. a polomer R. je poháňaná konštantnou silou F.v bode ALE(Obr. 5.6). Cievka sa valí doprava bez pošmyknutia na hrubom povrchu.

Vypočítajte prácu všetkých vonkajších síl, ak stred cievky sa presunie na vzdialenosť, koeficient valcovania, trecím silou, R je polomer jadra cievky, ku ktorému sa aplikuje sila.

Rozhodnutia. Cievka sa zaväzuje plochý pohyb. Vzhľadom k tomu, kombinácia nastane bez sklzu, potom sa centrum okamžitého otáčok nachádza v mieste dotyku cievky s rovinou, t.j. V mieste Ročník(Obr. 5.6). Pošleme os osi horizontálne doprava. V súlade so smerom pohybu budeme mať pozitívny smer uhla otáčania proti priebehu v smere hodinových ručičiek.

Nechajte centrum cievky Z Presunúť do. V tomto prípade sa cievka zmení na uhol. Potom, z

Bodu Ročník Pre okamžitú os rotácie vypočítavame základnú prácu podľa vzorca (5.8):

(ale)

Tu: riadok akcie a mg. prečiarknuté os rotácie; ďalej, kde N. - výkon normálnej reakcie.

Na určenie požadovanej práce zostáva prijať určitý integrálny od (a) od 0 do S. ALE. Prijať

5. 2. Pole Napájanie. Funkcia napájania. Potenciálna energia

Predpokladajme, že bod sa pohybuje v určitom priestore a sila pôsobí na strane priestoru, ktorá závisí od polohy bodu v tomto priestore, ale nezávisí od rýchlosti bodu. V tomto prípade hovoria, že v sepacite silové poleTiež, že bod sa pohybuje v poli Power. Zodpovedajúce koncepcie systému materiálu DOT sú podobné.

Sily v závislosti od pozície bodov ich aplikácie, často existujú v mechanike. Napríklad sila elasticity pripojenej k materiálu, ktorá sa pohybuje pozdĺž horizontálnej rovno pod pôsobením pružiny. Najdôležitejším príkladom Power pole v prírode je gravitačným poľom: akcia Slnka na planéte tejto hmoty je určená v každom mieste priestoru zákonom svetová plná gravitácia.

Power pole sa volá potenciálAk existuje skalárna funkcia U.V závislosti len na súradniciach, body materiálu (možno aj načas), tak

Funkcia sa nazýva funkcia napájania.

Zvážte vlastnosti funkcie napájania.

Základná práca (5.1) je spojená s funkciou výkonu nasledovne.

Touto cestou, základná práca sily v potenciálnom potenciách je rovnaká plný diferenciál z funkcie napájaniaaI.

Plná práca na pozemku z bodu k veci (Obr. 5.1)

tí. . (5.10)

Zo získaných výrazov to vyplýva

1. Práca sily v potenciálnom napájacom poli pre akúkoľvek uzavretú cestu je nula;

2. Práca sily v potenciálnom potenciách závisí len od pozície konečného a počiatočného body, ale úloha presunu úlohu sa nehrajú.

Potenciálna energia. Potenciálna energia Strhnúť V súčasnom Power Point Ročníkpozrite si časť Práca, ktorú pôsobia na polohe, keď sa pohybuje z bodu Ročník Vo východiskovej bode 1, t.j.

Strhnúť\u003d alebo Strhnúť=

Pripojujeme funkciu napájania U.s potenciálnou energiou. Mať

Príklady výpočtu potenciálnej energie

1. Jednotné množstvo gravitácie. Byť m. - bod bodu; g. - zrýchlenie gravitácie. Potom (obr. 5.2)

2. Elastické pruhové pole. Nechajte materiálový bod pohybovať pozdĺž osi Ohovárať (Obr. 5.3) Pod pôsobením pružiny, na ktorú je pripojená. Ak je pružina deformovaná, potom veriť vo vzorci (5.5), dostaneme

.

5. 3. Kinetická energia

5. 3. 1. 1. Kinetický energetický systém. Kenigue teorem

Kinetická energia materiálový bod Nazýva sa polovica množstva bodu bodu na štvorcový meradlo jeho rýchlosti, t.j. . Kinetická energia je skalárnou pozitívnou hodnotou. V systéme SI je jednotka merania kinetickej energie joule: .

Kinetická energia mechanický systém Súčet kinetických energií všetkých bodov, ktoré sú prihlásené, sa nazývajú:

(5.11)

Rýchlosť bodov systému (5.1) je určená relatívne fixným referenčným systémom.

Kompatibilný pôvod súradníc so stredom hmoty systému. Predpokladajme, že mechanický systém, spolu s súradnicovým systémom, sa riadne pohybuje v porovnaní s pevným súradnicovým systémom (obr. 5.7). Bod je bod systému.

Potom na základe teorem na pridávanie rýchlostí, absolútna rýchlosť bodu Ročník K.. Systémy budú napísané tak vektorové súčet prenosných a relatívnych rýchlostí:

, (ale)

kde - rýchlosť začiatku hnuteľného súradnicového systému (prenosná rýchlosť, t.j. Speed \u200b\u200bCenter hromadného systému); - Speed \u200b\u200bPoint Ročník K. vzhľadom na pohyblivý súradnicový systém Ohováraniez. (relatívna rýchlosť).

Nahradenie (a) vo vzorci (5.11), dostaneme

(5.12)

Tu - hmotnosť celého systému.

Nastaví sa polomer-vektor stredu hmotnostného systému v hnuteľnom súradnicovom systéme podľa (2.1), - Z! . . Od pôvodu súradníc O Potom je to centrum masového systému, potom, t.j. Druhá suma vo výraze (5.12) je nulová.

Kinetická energia systému (5.12) teda má

(5.13)

Táto rovnosť určuje kenigova veta.

Teorem. Kinetická energia systému sa rovná množstvu kinetickej energie, ktorá by mala materiálový bod, ktorý sa nachádza v strede hmôt systému a majú hmotnosť, rovný hmotnosť A kinetická energia pohybu systému vzhľadom na stred hmoty.

5. 3. 2. Kinetická pevná energia

Pevná látka je špeciálnym prípadom mechanického systému a je považovaný za kontinuálne distribuovanú hmotu, potom sa všetky množstvá zahrnuté do expresie pre kinetickú energiu systému prenesú na integrály. Takže pre tuhý telový vzorec (5.11) bude mať formu

. (5.14)

1. Kinetická energia pevnej látky, postupne sa pohybuje.

Zároveň je rýchlosť rýchlosti všetkých bodov tela rovnaká (obr. 5.8). Depozícia vo vzorci (5.14) Pre znamenie integrálu, dostaneme

. (5.15)

Kinetická energia pevnej látky, postupne, je polovica telesnej hmotnosti telaM. Na námestí jeho rýchlosti.

2. Kinetická energia pevnej látky, otáčajúca sa okolo stacionárnej osi

Rýchlostný modul V. Akýkoľvek bod pevného telesa otáčajúceho okolo stacionárnej osi sa rovná tam, kde - modul uhlovej rýchlosti telesa pevného telesa - vzdialenosť od bodu na os otáčania z. (Obr. 5.9). Nahradenie vo vzorci (5.14), dostaneme

tu - moment pevnej zotrvačnosti vzhľadom na os z..

Kinetická energia pevnej látky, otáčajúcej sa okolo pevnej osi, sa rovná polovici produktu momentu zotrvačnosti tela v porovnaní s osou otáčania na štvorcový rohovú rýchlosť tela.

3. Kinetická pevná energia s plochým - paralelným pohybom

S plochým paralelným pohybom sa rýchlosť akéhokoľvek tela pozostáva z geometrického súčtu rýchlosti Pólovej a bodovej rýchlosti pri otáčaní okolo pólu. Nechajte telo pohybovať v rovine Oxy, potom

|| . Pre pól vyberte stred hromadného tela, potom vo vzorci (5.13), rýchlosť je rýchlosť bodu k. telá počas otáčania vzhľadom na pól (stred hmôt) a rovnaké kde vzdialenosť k.- oh ukazuje na pól. Potom (5.13) prepíšte

Mať na pamäti, že - Moment zotrvačnosti tela v porovnaní s osou z.pól Z, posledný výraz môže byť prepracovaný ako

, (5.17)

s plochým rovnobežným pohybom tela je kinetická energia zložená z kinetickej energie translačný pohyb spolu so stredom hmoty a kinetickej energie z otáčania okolo osi prechádzajúceho cez stred hmoty a kolmú rovinu pohybu.

5. 4. Veta o zmene kinetickej energie

5. 4. 1. Veta o zmene kinetického energetického bodu

Nájdite spojenie medzi prácou a zmenou rýchlosti. Nechajte hmotnosť materiálu m. Pohybuje pozdĺž osi Ohovárať Podľa pôsobenia sily, ako je napríklad stlačený alebo zrútený jar, stanovený na začiatku súradníc - bod O (Obr. 5.10). Pobytová rovnica má formulár

Vynásobte obe časti tejto rovnice, a vzhľadom na to dostať sa

. (5.19)

V pravej časti tejto rovnosti vymeňte V X. a znásobiť dt. Pravé a ľavé časti. Potom

. (5.20)

V tomto formulári má rovnosť veľmi vizuálny význam: keď sa bod posunie dx, Napájanie robí prácu, čo vedie k veľkosti kinetický energetický bod charakterizujúci pohyb bodu a najmä modul jeho rýchlosti. Ak je bod posunutý z pozície v polohe, a jeho rýchlosť sa zmení, až potom, integrácia (5.20), máme

. (5.21)

Zvažujem to , konečne nájsť

. (5.22)

Zmena kinetickej energie materiálu bodu akýmkoľvek spôsobom pohybu sa rovná fungujúcej sily pôsobiacej na bode na rovnakom pohybe.

Po vykonaní všetkých predchádzajúcich postupov

,

tu je oblúk, pozdĺž ktorej sa bod pohybuje (obr. 5.11).

5. 4. 2. Veta o zmene systému kinetického energetického systému

Nech sa bod systému presunul do hmotnosti tak, aby ich rádiusové vektory v inerciálnom referenčnom systéme dostali prírastok. Zistíme, ako sa kinetická energia zmenila T. Systémy.

Podľa (5.11), kinetická energia systému

.

Vypočítať diferenciál kinetickej energie systému a transformujeme výsledný výraz

tu

Berúc do úvahy , Kde - zrýchlenie bodu A a je rovnaké vonkajšie a vnútorné sily pripojené k bodu, prepísať poslednú rovnosť vo forme

Touto cestou,

. (5.23)

Táto rovnosť vyjadruje teorem o zmene kinetickej energie mechanického systému v diferenciálnej forme: rozdiel kinetickej energie systému sa rovná základnej práci všetkých síl systému.

Súkromný prípad . Pre absolútne pevné telo je množstvo práce všetkých vnútorných síl systému nula:

.

V dôsledku toho môže byť teorem na zmenu kinetickej energie (5.23) pre pevnú látku napísané ako

Zmena kinetickej energie pevnej látky s akýmkoľvek elementárnym pohybom sa rovná elementárnej práci vonkajších síl pôsobiacich na tele.

Ak sa obidve časti (5.24) integrujú medzi dvoma pozíciami - počiatočné a konečné, v ktorých, resp. Kinetická energia a dostaneme

. (5.25)

Príklad 1.. Hmoty disku m.\u003d 5 kg a polomer je poháňaný konštantnou silou pripojenou v bode ALE(Obr. 5.6). Disk sa valí na hrubý povrch doprava bez sklzu. Určite stredové stredisko Z Cievky v okamihu, keď sa pohybuje na vzdialenosť, klzný koeficient trenia, polomer zotrvačnosti disku

Rozhodnutia. Disk robí rovný pohyb. Píšeme teorem o zmene kinetickej energie pre pevné

Vypočítajte kinetickú energiu disku. V počiatočnom okamihu času bol disk v pokoji, t.j. . Kinetická energia v konečnej polohe disku

Predstavujeme koncepciu ďalších významných dynamických charakteristík pohybu kinetickej energie. Kinetická energia materiálu bodu je skalárna hodnota rovnajúca sa polovici produktu z bodu bodu za štvorca jeho rýchlosti.

Jednotka merania kinetickej energie je rovnaká ako práca (v C - 1 J). Nájdite závislosť, ktorú tieto dve hodnoty sú spojené.

Zvážte materiálový bod s hmotnosťou, ktorá sa pohybuje z polohy, kde má rýchlosť do polohy, kde je jeho rýchlosť

Aby sme získali požadovanú závislosť, obrátime sa na vyjadrené právo dynamiky rovnice navrhovania oboch častí na dotyčnicu na trajektóriu m, smerujeme na pohyb, získavame

Vo formulári budú zahrnuté tu tangenciálne zrýchlenia

V dôsledku toho to nájdeme

Vynásobte obe časti tejto rovnosti a predložili diferenciálne označenie. Potom si všimol, že kde - základná práca sily získavame vyjadrenie teorem o zmene kinetického energetického bodu v diferenciálnej forme:

Integrácia súčasných častí tejto rovnosti v rámci zodpovedajúcich hodnôt premenných v bodoch sa nakoniec nájdu

Rovnica (52) vyjadruje teorem o zmene kinetickej energie bodu v konečnej forme: zmena kinetickej energie bodu na niektorých jej pohybe sa rovná algebraickému množstvu práce všetkých silov, ktoré pôsobia na bod na rovnakom pohybe.

Prípad bez voľného pohybu. Bez voľného pohybu bodu do pravej strany rovnosti (52), fungovanie zadaných (aktívnych) sily a prevádzky komunikačnej reakcie zadá. Obmedzujeme sa na posúdenie pohybu bodu na pevnom hladku (bez nuly trenia) povrchu alebo krivky. V tomto prípade bude N (pozri obr. 233) odozva reagovať normálnou na trajektóriu cesty a. Potom podľa vzorca (44), fungovanie reakcie pevného hladkého povrchu (alebo krivky) počas akéhokoľvek pohybu bodu bude nula a získavame z rovnice (52)

V dôsledku toho, keď sa pohybuje pozdĺž pevného hladkého povrchu (alebo krivky), zmena kinetickej energie bodu sa rovná súčtu práce na tomto pohybe spojenej s bodom aktívnych síl.

Ak povrch (krivka) nie je hladký, práca trecej sily sa pridá do práce aktívnych síl (pozri § 88). Ak sa povrch (krivka) pohybuje, potom absolútny pohyb bodu m nemusí byť kolmý na N a potom sa operácia reakcie n nebude nulová (napríklad prevádzka reakcie plošiny výťahu).

Riešenie úloh. Veta na zmenu kinetickej energie [vzorec (52)] umožňuje, s vedomím, ako zmení jeho rýchlosť, keď sa bod zmení, určuje činnosť súčasných síl (prvá úloha reproduktora), alebo, poznávanie prevádzky Aktuálne sily, určujú, ako sa bod bodu zmení pri pohybe (druhá úloha zmien reproduktora). Pri riešení druhej úlohy, keď sú sily uvedené, je potrebné vypočítať ich operáciu. Ako je možné vidieť z vzorcov (44), (44), môže sa to uskutočniť len vtedy, keď sú sily konštantné alebo závisia len od polohy (súradnicu) pohybujúceho sa miesta, ako napríklad sily elasticity alebo hrobu (pozri § 88).

Vzorec (52) sa teda môže priamo použiť na vyriešenie druhého problému dynamiky, keď úloha v počte údajov a požadovaných hodnôt zahŕňa: súčasné sily, pohyb bodu a jeho počiatočnú a konečnú rýchlosť (tj Hodnoty) a sila musia byť trvalé alebo závislé body len na pozícii (súradnice).

Veta v diferenciálnom formulári [vzorec (51)] môže byť samozrejme použitý pre všetky existujúce sily.

Úloha 98. Množstvo nákladu KG, opustené rýchlosťou bodu A, ktorý je vo výške (obr. 235), má bod v mieste pádu s rýchlosťou, aby sa určilo, čo sa rovná prevádzke vzduchu pôsobiaceho zaťaženie, keď je sila odporu vzduchu

Rozhodnutia. Z hľadiska jeho pohybu, výkonnosť p a silu rezistencie vzduchu R. od vety o zmene kinetickej energie, vzhľadom na záťažový materiál, máme

Z tejto rovnosti, pretože podľa vzorca nájdeme

Úloha 99. Za podmienok úlohy 96 (pozri [§ 84) určiť, ktorá cesta prejde náklad zastavovať (pozri obr. 223, kde - počiatočná pozícia nákladu a - konečné).

Rozhodnutia. Pre náklad, rovnako ako v tomto probléme 96, sily P, N, F. na určenie brzdnej dráhy, vzhľadom na to, že podmienky tohto problému zahŕňajú konštantnú silu F, používame teorem zmeny kinetickej energie

V posudzovanom prípade rýchlosť nákladu v čase zastavenia). Okrem toho, pretože sily p a n sú kolmé na pohyb, na konci dostaneme z miesta, kde nájdeme

Podľa výsledkov problému 96 rastie čas brzdenia úmerne počiatočná rýchlosťa brzdná dráha, ako sme našli, je úmerná štvorcovi počiatočnej rýchlosti. Pokiaľ ide o pozemnú dopravu, ukazuje, ako nebezpečenstvo sa zvyšuje s rastúcou rýchlosťou.

Úloha 100. Hmotnosť p je suspendovaná na dĺžke dĺžky závitu, spolu s nákladom, odchyľuje sa od vertikálu do uhla (obr. 236, A) a uvoľnite bez počiatočnej rýchlosti. Pri jazde do nákladu, silu rezistencie R, ktorá je približne nahradením svojej priemernej hodnoty na nájdenie rýchlosti nákladu v tom čase, keď je závit vytvorený s vertikálnym uhlom

Rozhodnutia. Vzhľadom na podmienky úlohy budeme používať opäť teorem (52):

Hmotnosť gravitácie p, reakcia závitu rezistencie, reprezentovaná jeho priemernou hodnotou R. pre silu p s použitím vzorca (47) pre silu N, keď konečne získavame, pre pevnosť, pretože vzorec ( 45) bude (dĺžka s oblúkom sa rovná polomeru práce L na centrálnom uhle). Okrem toho, za podmienok problému, v dôsledku rovnosti (a) dáva:

V neprítomnosti odporu, získame odtiaľ dobre známy Galilea vzorec platný, samozrejme a pre rýchlosť voľne klamného nákladu (obr. 236, b).

V posudzovanom probléme potom zavedením rovnomerného označenia - priemerná sila odporu na jednotkovú hmotnosť zaťaženia)

Úloha 101. Ventilový pružina má dĺžku ventilu v stave podslúženia. S plne otvoreným ventilom, dĺžkou cm a výškou zdvíhacieho ventilu CM (obr. 237). Hmotnostný ventil jarného tuhosti KG. Zanedbávanie účinku gravitácie a rezistenčných síl, určiť rýchlosť ventilu v čase jeho uzavretia.

Rozhodnutie, použite rovnicu

Za podmienok úlohy, práca vykonala len silu pružnosti pružiny. Potom bude vzorca (48)

V tomto prípade

Okrem toho, nahradenie všetkých týchto hodnôt na rovnicu (A), budeme konečne dostať

Úloha 102. Nákladný náklad ležiaci na strede elastického lúča (obr. 238), ktorý ho prosí na hodnotu (štatistické štatistické vychýlenie lúča) zanedbávanie hmotnosti nosníkov, určuje, čo bude jeho maximálna deformácia rovná, ak náklad padá na lúč z výšky N.

Rozhodnutia. Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe, používame na vyriešenie rovnice (52). V tomto prípade je počiatočná rýchlosť nákladu a jeho konečná rýchlosť (v čase vychýlenia maximálneho lúča) nulová a rovnica (52)

Práca je vyrábaná silou gravitácie P na pohybe a silou pružnosti lúča F na pohybe v rovnakom čase ako pre Balkán, že tieto hodnoty nahrádzame do rovnosti (A), získavame

Ale s rovnováhou nákladu na lúč, gravitácia sa vyrovnáva silou elasticity, preto môže byť predchádzajúca rovnosť zastúpená ako

Riešenie kvadratická rovnica a vzhľadom na to, že podľa podmienok tejto úlohy by sa mali nájsť

Je zaujímavé poznamenať, že keď sa preto ukáže, ak je zaťaženie umiestnené na strede horizontálneho lúča, potom sa jeho maximálna deformácia pri znižovaní nákladu bude rovná dvojitému statickému. V budúcnosti začne náklad s lúčmi, aby sa oscilácie v blízkosti rovnovážnej pozície. Pod vplyvom odporu budú tieto oscilácie vyblednuté a systém je vyvážený v polohe, v ktorej je deformácia lúča rovná

Úloha 103. Určite počiatočnú rýchlosť originálu vertikálne, počiatočná rýchlosť musí byť informovaná, že stúpa z povrchu Zeme do špecifikovanej výšky H (obr. 239) Sila príťažlivosti, aby sa zvážila zmena v pomere k štvorcovej vzdialenosti od stredu Zeme. Odolnosť proti vzduchu voči zanedbávaniu.

Rozhodnutia. Vzhľadom na telo ako materiálový bod s hmotnosťou používame rovnicu

Práca tu vykonáva silu F. potom vzorcom (50), vzhľadom na to, že v tomto prípade, kde R je polomerom zeme, dostaneme

Vzhľadom k tomu, v najvyššom bode, so zistenou hodnotou práce, rovnica (A) dáva

Zvážte súkromný prípad:

a) nechať n byť veľmi malý v porovnaní s R. Potom - hodnota blízka nule. Vytvorenie čísla a menovateľa

Tak, pri malom n dospejeme na Galilean vzorec;

b) Na to, čo počiatočná rýchlosť, opustený orgán nadobudne účinnosť v nekonečnom, zdieľaní čitateľa a denominátora na A, dostaneme

Ak zvážime určitý bod systému s hmotnosťou , s rýchlosťou , Potom bude pre tento bod

,

kde ja. - Základné práce pôsobiace na mieste vonkajších a vnútorných síl. Vypracovaním takýchto rovníc pre každý z bodov systému a sklopenie vzadu, dostaneme

,

. (2)

Rovnosť vyjadruje teorem o zmene kinetickej energie systému v diferenciálnej forme.

Ak sa dosiahol získaný expresia, ktorý sa pripisuje základnému obdobiu, počas ktorého sa vyskytla pohyb pohybu, je možné získať druhú formuláciu pre diferenciálnu formu teorem: časový derivát z kinetickej energie mechanického systému sa rovná súčet kapacít všetkých vonkajších () a vnútorných () silách, tj

Diferenciálne formy teorem na zmenu kinetickej energie sa môžu použiť na zostavenie diferenciálne rovnice Pohyb, ale to je dosť zriedka, pretože existujú pohodlnejšie techniky.

Integrácia oboch častí rovnosti (2) v rámci limitov zodpovedajúcich pohybu systému z určitej počiatočnej polohy, kde sa kinetická energia rovná pozícii, kde sa hodnota kinetickej energie stane rovnaká , bude mať

Výsledná rovnica vyjadruje teorem zmeny v kinetickej energii v konečnej forme: zmena kinetickej energie systému v niektorých jeho pohybe sa rovná súčtu práce na tomto pohybe všetkých vonkajších a vnútorných síl pripojených k systému.

Na rozdiel od predchádzajúcich terén nie sú vylúčené vnútorné sily v rovniciach. V skutočnosti, ak interakčné sily medzi bodmi a systémami (pozri obr.51), potom. Ale súčasne sa môže bod pohybovať smerom k K a bod je smerom k. Práca každého zo síl potom pozitívne a množstvo práce nebude null. Príkladom je fenomén návratu. Vnútorné sily (tlakové sily), konajúc na projektil a na valcovanie, tu pozitívnu prácu. Súčet týchto prác, nie rovná nule a mení kinetickú energiu systému z hodnoty na začiatku výstrelu až do konca.

Ďalší príklad: dva body spojené pružinou. Keď sa vzdialenosť zmení medzi bodkami, sa vykoná elastická sila pripojená k bodom. Ale ak sa systém skladá z absolútne pevných telies a spojenie medzi nimi je nemenné, nie elastické, ideálne, potom fungovanie vnútorných síl bude nula a nemôžu byť brané do úvahy a nepreukazovať ich vôbec na výpočet schémy.

Zvážte dve dôležité súkromné \u200b\u200budalosti.

1) Nemenný systém. Nemenný Zavoláme systém, v ktorom sa vzdialenosti medzi bodmi aplikácie vnútorných síl nezmenia, keď sa systém pohybuje. Týmto systémom je najmä absolútne pevné telo alebo nerentabilný závit.

Fig.51

Nechajte dva body a nemenný systém (PI.51), konajú sa na seba s silkami a () v okamihu, keď je rýchlosť a. Potom časom dt. Tieto body urobia základný pohyb a , smerované pozdĺž vektorov a. Segment Takakak je však nemenný, potom podľa známej kinematickej vety projekcie vektorov a , a preto sa pohyby a smer segmentu budú rovnaké, t.j. . Potom základná práca silí a bude rovnaká v module a je oproti znameniu a v množstve bude nula. Tento výsledok je spravodlivý pre všetky vnútorné sily v každom systéme.

Odtiaľ to dospejeme pre nemenný systém je množstvo práce všetkých vnútorných síl nula a rovnice majú vzhľad

2) Systém s dokonalými pripojeniami. Zvážte systém, na ktorom sa časom nezmenia spojenia. Rozdelime všetky vonkajšie a domáce sily na body systému aktívny a reakcie pripojení. Potom

,

kde - základná práca konajúca k-yU Body systému externých a vnútorných aktívnych síl, A je základná práca reakcií uložených v rovnakom bode externých a vnútorných pripojení.

Ako vidíme, zmena kinetickej energie systému závisí od práce a aktívnych síl a reakcií odkazov. Je však možné zaviesť koncepciu takýchto "ideálnych" mechanických systémov, v ktorých prítomnosť dlhopisov neovplyvňuje zmenu kinetickej energie systému počas pohybu. Pre takéto spojenia by sa malo zjavne implementovať:

Ak sa v prípade dlhopisov, ktoré sa nemenia časom, množstvo práce všetkých reakcií v základnom pohybe systému je nula, potom sa takéto pripojenia nazývajú ideálne. Pre mechanický systém, ktorý je prekrytý len non-čas dokonalým spojením, budeme mať samozrejme

Zmena kinetickej energie systému s ideálnym, non-časovými zmenami s ktorýmkoľvek z jeho pohybu rovnajúca sa súčtu práce na tomto kroku pripojenej k externému a internému systému aktívne sily.

Mechanický systém sa nazýva konzervatívny(Zdá sa, že energia sa zdá byť posmievaná, nemení sa) Ak pre neho prebieha energetická integrálna

alebo (3)

to je zákon zachovania mechanickej energie: keď sa systém pohybuje v potenciálnej oblasti, jeho mechanická energia (súčet potenciálu a kinetického) zostáva nezmenený, konštantný.

Mechanický systém bude konzervatívny, ak sú sily pôsobiace na to potenciálne, ako je sila gravitácie, silu pružnosti. V konzervatívnych mechanických systémoch, pomocou energetického integrálu je možné skontrolovať správnosť prípravy diferenciálnych rovníc pohybu. Ak je systém konzervatívny a stav (3) nie je splnený, znamená to, že pri príprave pohybových rovníc sa vykoná chyba.

Integrálna energia môže byť použitá na overenie správnosti kompilácie rovníc a iným spôsobom, bez výpočtu derivátu. Ak to chcete urobiť, po číselnej integrácii pohybových rovníc vypočítajte hodnotu celkovej mechanickej energie pre dve rôzne časy, napríklad počiatočnú a konečnú. Ak je rozdiel hodnôt porovnateľný s chybami výpočtu, bude to označiť správnosť použitých rovníc.

Všetky predchádzajúce teoréky umožnili vylúčiť vnútorné sily z rovníc pohybu, ale všetky vonkajšie sily, vrátane tých, ktoré sú etablované neznámych reakcií vonkajších vzťahov, sa zachovali v rovniciach. Praktická hodnota kinetickej energetickej zmeny teorem je, že s non-čas-meniacim sa ideálnym spojením, odstráni z pohybových rovníc všetko Alternatívne neznáme reakcie pripojení.

Táto veta stanovuje kvantitatívny vzťah medzi prevádzkou sily (príčiny) a kinetickej energiou materiálu bodu (dôsledkom).

Kinetický energetický materiál nazývaná skalárna hodnota rovná polovici produktu z bodu na štvorec jej rýchlosti

. (43)

Kinetická energia charakterizuje mechanický účinok sily, ktorý sa môže zmeniť na iné druhy energie, napríklad na tepelné.

Práca silyna tomto pohybe sa nazýva charakteristika Účinkyktorý vedie k zmene rýchlostného modulu.

Základná práca sily Určené ako skalárny produkt silového vektora na základnom vektore pohybu v bode jeho aplikácie

, (44)

kde
- Základný pohyb.

Modul základnej práce je určený vzorcom

kde  - uhol medzi pevnostným vektorom a vektorom elementárneho pohybu; - projekcia vektora na dotyčnicu.

Plná práca na nejakom konečnom pohybe je určená integrálom

. (46)

Z (46) Z toho vyplýva, že kompletná práca sa môže vypočítať v dvoch prípadoch, keď sila konštantná alebo závisí od pohybu.

Pre F.\u003d Const
.

Pri riešení úloh je často vhodné použiť analytickú metódu pre výpočet sily

kde F. x. , F. y. , F. z. - Projekcie sily na súradnicové osi.

Dokážeme, že táto veta.

Teorem: Zmena kinetickej energie materiálu bodu na niektoré z jeho pohybu sa rovná prevádzke sily pôsobiacej na bode, na rovnakom pohybe.

Nechajte materiálový bod m m. pohybujúce sa pod akciou sily F. Z polohy m 0 do polohy m 1.

OUD:
. (47)

Zavádzame substitúciu
a navrhujeme (47) na Tangent

. (48)

Rozdeľujeme sa (48) premenných a integrujeme

V dôsledku toho sa dostaneme

. (49)

Rovnica (49) dokazuje teorem formulovanú vyššie.

Vhodné je použitie teoret, keď medzi zadanými a požadovanými parametrami existuje bod bodu, jeho počiatočná a konečná rýchlosť, sila a pohyb.

Výpočet práce charakteristických síl.

1. Právomoc Vypočíta sa ako produkt modulu sily na premiestnenie bodu jeho vertikálnej aplikácie

. (50)

Pri pohybe je práca pozitívna, pri pohybe nadol - negatívne.

2. Jarná elastická sila F.=-cx. rovný

, (51)

kde x. 0 - Počiatočné predĺženie (kompresia) pružiny;

x. 1 - Konečné rozšírenie (kompresné) pružiny.

Práca gravitácie a elastická sila nezávisí od trajektórie pohybujúcich sa ich bodom aplikácie. Takéto sily, ktorých práca nezávisí od trajektórie potenciálne sily.

3. Práca trecej sily.

Keďže trecie sily je vždy zameraná na opačný smer pohybu, jeho práca sa rovná

Práca trecej sily je vždy negatívna. Sily, ktorých práca je vždy negatívna, sa nazývajú rozptýlený.

Integrovaný (konečný) formulár. Veta na zmenu kinetickej energie z materiálu: zmena kinetickej energie Mate-Rial Point na niektorých jeho pohybe sa rovná algebraickému množstvu práce všetkých síl pôsobiacich na tento bod na rovnakom pohybe.

Veta na zmenu kinetickej energie mechanického systému je formulovaná: zmena kinetickej energie mechanického systému, keď sa pohybuje z jednej pozície na druhú rovnú súčtu práce všetkého vonkajšieho a interného cus pripojeného k systému, na tomto pohybe:

V prípade nemenného systému je suma práce vnútorných síl na ľubovoľnom pohybe nulová (), potom

Zákon zachovania mechanickej energie.Pri pohybe mechanického systému v pôsobení síl, ktoré majú potenciál, zmeny v kinetickej energii systému sú určené závislosťami:

Kde

Súčet kinetickej a potenciálnej energie systému sa nazýva kompletná mechanická energia Systémy.

Touto cestou, pri pohybe mechanického systému v stacionárnom potenciálnom poľa zostane úplná mechanická energia systému nezmenená pri jazde.

Úloha. Mechanický systém pod činnosťou gravitačných síl prichádza v pohybe zo stavu odpočinku. Berúc do úvahy trenie klzného telesa 3, zanedbávanie iných odporových síl a hmoty závitov, údajné nerozumné, určujú rýchlosť a zrýchlenie tela 1 v okamihu, keď cesta prešla na ne sa rovná s. (Obr. 3.70).

V úlohe:

Rozhodnutia. Existujú aktívne sily na mechanickom systéme ,, Pomocou zásady oslobodenia od dlhopisov systému uvádzame reakciu sklopného pevného nosiča 2 a hrubého šikmého povrchu. Pokyny rýchlostí systému systému budú zobrazené, berúc do úvahy skutočnosť, že telo 1 klesá.

Úloha je riešená použitím teorem o zmene kinetickej energie mechanického systému:

kde T. a - kinetická energia systému v počiatočných a koncových pozíciách; - algebraické množstvo práce vonkajších síl pripojených k systému, na pohybe systému z počiatočnej polohy do finále; - suma práce vnútorných síl systému na rovnakom pohybe.

Pre posudzovaný systém pozostávajúci z absolútne pevných telies spojených nerentabilnými vláknami:

Ako B. počiatočná pozícia Systém potom odpočíval. Teda:

Kinetická energia systému je množstvo kinetických energií tel 1, 2, 3:

Kinetická energia nákladu 1, postupne sa pohybuje:

Kinetická energia bloku 2 vykonávania otáčania okolo osi Oz.kolmé na rovinu kreslenia:

Kinetická energia tela 3 v jeho progresívnom pohybe:

Touto cestou,

Výraz kinetickej energie obsahuje neznámu rýchlosť všetkých telies systému. Štart definícia je potrebná. Zbavte sa neznámych neznámych, čo robí rovnicu pripojení.

Vzťahy rovnice nie sú nič iné ako kinematický vzťah medzi rýchlosťami a pohybmi bodov systému. Pri zostavovaní vzťahov so vzťahmi budeme vyjadriť všetky neznáme rýchlosti a pohyb telies systému prostredníctvom rýchlosti a pohybu nákladu 1.

Rýchlosť akéhokoľvek bodu malého ráfika Radius sa rovná rýchlosti tela 1, ako aj produktu uhlovej rýchlosti telesa 2 a rotačného polomeru r:

Preto vyjadrite uhlovú rýchlosť tela 2:

Rýchlosť otáčania akéhokoľvek bodu okraja veľkej jednotky RADIUS na jednej strane sa rovná produktu uhlovej rýchlosti bloku a polomeru otáčania a na druhej strane - telová rýchlosť 3:

Subject hodnotu uhlovej rýchlosti, dostaneme:

Integrácia za počiatočných podmienok expresie (A) a (B), píšeme pomer pohybu systémových bodov:

Poznanie základných závislostí rýchlosti systémových bodov, späť na vyjadrenie kinetickej energie a náhradných rovníc (A) a (B) v ňom: \\ t

Moment zotrvačnosti tela 2 je:

Nahradenie hodnôt hmôt telies a moment zotrvačnosti tela 2, píšeme:

Určenie súčtu práce všetkých vonkajších systémových síl na daný pohyb.

Teraz, podľa teorem o zmene kinetickej energie mechanického systému, vyrovnať hodnoty T.a

Rýchlosť tela 1 dostaneme z výrazu (g)

Zrýchlenie tela 1 sa môže stanoviť prianím rovnosti (g).