Otázka 1. Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď. Dva rohy sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto rohov sú ďalšími polpriamkami.
Na obrázku 31 sú uhly (a 1 b) a (a 2 b) priľahlé. Majú stranu b spoločnú a strany a 1 a 2 sú ďalšie polpriamky.

Otázka 2. Dokážte, že súčet priľahlých uhlov je 180 °.
Odpoveď. Veta 2.1. Súčet priľahlých uhlov je 180 °.
Dôkaz. Nech uhol (a 1 b) a uhol (a 2 b) sú dané priľahlé uhly (pozri obr. 31). Ray b prechádza medzi stranami a 1 a 2 rozvinutého rohu. Preto je súčet uhlov (a 1 b) a (a 2 b) rovný predĺženému uhlu, t.j. 180 °. Q.E.D.

Otázka 3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom uhly, ktoré s nimi susedia, sú tiež rovnaké.
Odpoveď.

Z vety 2.1 z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, potom uhly, ktoré s nimi susedia, sú rovnaké.
Povedzme, že uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet priľahlých uhlov je 180 °. Z toho vyplýva, že a 1 b + a 2 b = 180 ° a c 1 d + c 2 d = 180 °. Preto a 2 b = 180 ° - a 1 b a c 2 d = 180 ° - c 1 d. Pretože uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, dostaneme, že a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Z vlastnosti prechodnosti znamienka rovnosti vyplýva, že a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Otázka 4. Aký uhol sa nazýva pravý (ostrý, tupý)?
Odpoveď. Uhol rovný 90 ° sa nazýva pravý uhol.
Uhol menší ako 90 ° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90 ° a menší ako 180 ° sa nazýva tupý.

Otázka 5. Dokážte, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.
Odpoveď. Z vety o súčte priľahlých uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Otázka 6. Aké uhly sa nazývajú zvislé?
Odpoveď. Dva rohy sa nazývajú zvislé, ak sú strany jedného rohu komplementárne polopriame strany druhého.

Otázka 7. Dokážte, že zvislé uhly sú rovnaké.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkaz. Nech (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú dané zvislé uhly (obr. 34). Uhol (a 1 b 2) susedí s uhlom (a 1 b 1) a s uhlom (a 2 b 2). Preto podľa vety o súčte priľahlých uhlov usudzujeme, že každý z uhlov (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dopĺňa uhol (a 1 b 2) až 180 °, t.j. uhly (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú rovnaké. Q.E.D.

Otázka 8. Dokážte, že ak je v priesečníku dvoch priamych čiar jeden z rohov rovný, potom sú ostatné tri rohy tiež rovné čiary.
Odpoveď. Predpokladajme, že sa priamky AB a CD stretnú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90 °. Pretože súčet priľahlých uhlov je 180 °, dostaneme, že AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Uhol COB je kolmý na uhol AOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB = 90 °. COA sú zvislé k BSK, takže sú si rovné. To znamená, že uhol BSK je 90 °. Všetky uhly sa teda rovnajú 90 °, to znamená, že sú v poriadku. Q.E.D.

Otázka 9. Ktoré priame čiary sa nazývajú kolmé? Aké znamenie sa používa na označenie kolmosti priamych čiar?
Odpoveď. Dve rovné čiary sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Kolmosť čiar je označená \ (\ perp \). Záznam \ (a \ perp b \) znie: "Priamka a je kolmá na priamku b".

Otázka 10. Dokážte, že cez akýkoľvek bod priamky môžete nakresliť priamku kolmú na ňu a iba jednu.
Odpoveď. Veta 2.3. Prostredníctvom každej priamky môžete nakresliť priamku kolmú na ňu a iba jednu.
Dôkaz. Nech a je daná priamka a A je daný bod na nej. Označme 1 jednu z polpriamok priamky a s počiatočným bodom A (obr. 38). Nechajme bokom uhol (a 1 b 1) rovný 90 ° od polomery a 1. Potom bude priamka obsahujúca lúč b 1 kolmá na priamku a.

Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, ktorá tiež prechádza bodom A a je kolmá na priamku a. C 1 označíme polpriamku tejto priamky, ktorá leží v rovnakej polrovine s lúčom b 1.
Uhly (a 1 b 1) a (a 1 c 1), každý rovnajúci sa 90 °, sú vynesené do jednej polroviny od polopriamky a 1. Ale z pol čiary a 1 možno v tejto polrovine vyčleniť iba jeden uhol rovný 90 °. Preto by nemala existovať žiadna ďalšia priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na priamku a. Veta je dokázaná.

Otázka 11.Čo je kolmica na priamku?
Odpoveď. Kolmica na danú priamku je segment priamky kolmej na danú priamku, ktorá má na jednom konci svoj priesečník. Tento koniec segmentu sa nazýva základ kolmý.

Otázka 12. Vysvetlite, čo je opačný dôkaz.
Odpoveď. Metóda dôkazu, ktorú sme použili vo Vete 2.3, sa nazýva dôkaz rozporom. Tento spôsob dokazovania je, že najskôr urobíme predpoklad opačný k tomu, čo tvrdí veta. Potom uvažovaním, opierajúc sa o axiómy a osvedčené vety, dospejeme k záveru, ktorý je v rozpore buď so stavom vety, alebo s jedným z axióm, alebo skôr potvrdenej vety. Na tomto základe usudzujeme, že náš predpoklad bol nesprávny, čo znamená, že tvrdenie vety je pravdivé.

Otázka 13.Čo sa nazýva úsečka uhla?
Odpoveď. Bisektor uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu uhla, prechádza medzi jeho stranami a rozdeľuje uhol na polovicu.

Vo všeobecnosti je najviac trojuholník najjednoduchšia figúrka zo všetkých existujúcich mnohouholníkov. Je vytvorená pomocou troch bodov, ktoré ležia v 1. rovine, ale súčasne neležia na 1. priamke a sú spojené v pároch segmentmi. Trojuholníky sú odlišné typy, čo znamená, že sa vyznačujú rôzne vlastnosti... V závislosti od typu uhlov môže trojuholník patriť k 3 typom-s ostrým uhlom, obdĺžnikovým alebo tupým uhlom. Tupý trojuholník je trojuholník, ktorý má jeden tupý uhol. Zároveň sa takýto uhol nazýva tupý, ktorý má hodnotu viac ako deväťdesiat stupňov, ale menej ako sto osemdesiat stupňov.

Inými slovami, tupý trojuholník je najjednoduchší mnohouholník, ktorý obsahuje tupý uhol - niektoré jeho uhly sú v rozmedzí 90 - 180 stupňov.

Problém: Či je trojuholník tupý alebo nie, keď:

• uhol ABC je 65 stupňov;
• jeho uhol BCA je 95 stupňov;
• uhol CAB je 20 stupňov.

Riešenie: CAB a ABC majú menej ako 90 stupňov, ale BCA je viac ako 90 stupňov. To znamená, že takýto trojuholník je tupý.

Ako nájsť strany tupého rovnoramenného trojuholníka

Čo je to tupý trojuholník, sme zistili vyššie. Teraz musíte zistiť, ktorý trojuholník sa považuje za rovnoramenný.

Rovnomerný trojuholník je trojuholník, ktorý má 2 úplne rovnaké strany. Tieto strany sa nazývajú bočné, zatiaľ čo tretia strana trojuholníka sa nazýva základňa.

Vrcholy trojuholníka sú zvyčajne označené veľkými latinskými písmenami - to znamená A, B a C. Hodnoty jeho uhlov sú označené gréckymi písmenami, to znamená α, β, γ. Dĺžky protiľahlých strán trojuholníka sú napísané veľkými latinskými písmenami, to znamená a, b, c.

Jednoduchá úloha: Obvod tupého rovnoramenného trojuholníka je 25 cm, rozdiel medzi jeho dvoma stranami je 4 cm a jeden z vonkajších rohov trojuholníka je ostrý. Ako zistíte strany takého trojuholníka?

Riešenie: Uhol, ku ktorému prilieha ostrý uhol trojuholníka, je tupý. V trojuholníku takéhoto plánu môže byť tupým uhlom iba uhol, ktorý je oproti jeho základni. V súlade s tým je základňa sama veľká strana taký trojuholník. Ak vezmeme základ tohto trojuholníka ako x, potom na vyriešenie tohto problému použijete nasledujúci vzorec:

Odpoveď: základňa rovnoramenného tupého trojuholníka je 11 cm a jeho obe strany sú 7 cm.

VZORY, podľa ktorých nájdete strany tupého rovnoramenného trojuholníka

Použitý zápis:

• b je strana základne trojuholníka
• a - jeho rovnaké strany
• α - uhly na základni trojuholníka
• β je uhol zvieraný jeho rovnakými stranami
• √ - druhá odmocnina

1. Vzorce pre dĺžku základne (b):

• b = 2a sin (β / 2) = а√2–2cosβ
• b = 2a cos α

2. Vzorce dĺžky rovné strany trojuholník (a):

2sin (β / 2) √2-2cos β

Ako nájsť kosínus uhla v tupom trojuholníku, ak je známa jeho výška

Na začiatok nie je na škodu porozumieť základným pojmom, ktoré sa v tejto otázke používajú: čo sa nazýva výška trojuholníka a čo je kosínus uhla.

Za výšku trojuholníka sa považuje kolmica, ktorá je nakreslená od jeho vrcholu k priamke, ktorá obsahuje opačná strana tento trojuholník. Cosine - známy goniometrická funkcia, ktorá je jednou z hlavných funkcií trigonometrie.

Aby ste našli kosínus uhla v tupom trojuholníku s vrcholmi A, B a C, za predpokladu, že je známa výška, musíte znížiť výšku z B na stranu AC. Bod, v ktorom sa výška pretína so stranou AC, musí byť označený ako D a brať do úvahy trojuholník ABD, ktorý je obdĺžnikový. V danom trojuholníku je AB, čo je strana pôvodného trojuholníka, prepona. Nohy sú výškou BD pôvodného trojuholníka, ako aj segmentu AD, ktorý patrí strane AC. V tomto prípade je kosínus uhla zodpovedajúceho vrcholu A rovný pomeru AD k AB, pretože noha AD susedí s uhlom vo vrchole A v trojuholníku ABD. V prípade, že je známe, v akom pomere je strana AC delená výškou BD a aká je táto výška, nájde sa kosínus uhla zodpovedajúceho vrcholu A.

1. Určte typ trojuholníka (ostrého uhla, tupého uhla alebo obdĺžnika) so stranami 8, 6 a 11 cm (obr. 126). (1)

Riešenie. Označme väčší uhol trojuholníka? Očividne leží oproti strane 11 cm, pretože v trojuholníku leží väčší uhol oproti väčšej strane. Kosinovou vetou 112 = 82+ 62– 2? 8? 6? Cos ?;

Uvažovať sa dalo aj inak. Mali ste uhol? bola rovná 90 °, potom by veľká strana podľa Pytagorovej vety bola rovnaká

Predĺženie strany o 1 cm automaticky zvýši opačný uhol - stane sa tupým.

Odpoveď: tupý.

2. Základňa trojuholníka je 6 cm, jeden z uhlov pri základni má 105 °, druhý 45 °. Nájdite dĺžku strany oproti uhlu 45 ° (obr. 127). (1)

Riešenie. Nech je trojuholník ABC AC = 6 cm ,? A = 45 ° ,? C = 105 °. Označme dĺžku BC strany x. Musíme ju nájsť. Použijeme vetu o sínusoch, podľa ktorej:

Ak vezmeme do úvahy, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 °, dostaneme: = 180 ° -? A -? C = 180 ° - 45 ° - 105 ° = 30 °.

3. Nájdite oblasť trojuholníka so stranami 2 ,? 5 a 3 (obr. 128). (1)

Riešenie. Môžete použiť Heronov vzorec:

V našom prípade:

Polovičný obvod:

Riešenie problému týmto spôsobom by bolo jednoduchšie. Podľa kozínovej vety:

Pretože plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dvoch strán vzhľadom na sínus uhla medzi nimi, potom:

4. V trojuholníku ABC, kde? ACB = 120 °, je nakreslený medián CM. Nájdite jeho dĺžku, ak AC = 6, BC = 4 (obr. 129). (2)

Riešenie. Na dĺžku mediánu používame vzorec

Máme a = BC = 4, b = AC = 6. Zostáva nájsť c = AB. Na trojuholník ACB použijeme kosínusovú vetu: c2 = AB2 = AC2 + BC2– 2AC? Pred Kr. cos (? ASV) = 62+ 42–2? 6? 4? cos 120 ° = 36 + 16–48? (- 1/2) = 76.

5. Zistite dĺžky strán AB a AC trojuholníka s ostrým uhlom ABC, ak BC = 8, a dĺžky výšok spadnutých do strán AC a BC sú 6, 4 a 4 (obr. 130). (2)

Riešenie. Jediný roh trojuholníka, ktorý zostal „nedotknutý“, je roh C.

Od správny trojuholník Námorníctvo by malo:

A teraz, kosínusovou vetou aplikovanou na trojuholník ABC, dostaneme:

Odpoveď: AB =? 41; AC = 5.

6. V trojuholníku, ktorého jeden z rohov sa rovná rozdielu ostatné dva, dĺžka kratšej strany je 1 a súčet plôch štvorcov postavených na ostatných dvoch stranách je dvakrát viac oblasti popísané okolo trojuholníka kruhu. Zistite dĺžku väčšej strany trojuholníka (obr. 131). (2)

Riešenie: Označme podľa? najmenší uhol v trojuholníku a cez? najväčší uhol. Potom je tretí uhol? -? -?. Podľa stavu problému? -? =? -? -? (väčší uhol sa nemôže rovnať rozdielu medzi ostatnými dvoma uhlami). Z toho teda vyplýva, že 2? = ?; ? =? / 2. Preto je trojuholník obdĺžnikový. Noha BC, ktorá leží oproti menšiemu uhlu ?, Je rovnaká podľa podmienky 1, čo znamená, že druhá noha AB sa rovná ctg ?, A prepona AC sa rovná 1 / hriech ?. Súčet plôch štvorcov postavených na prepone a väčšej nohe je preto:

Stred kruhu ohraničeného pravouhlým trojuholníkom leží v strede prepony a jeho polomer je:

a oblasť je:

Použitím podmienky problému máme rovnicu:

Dĺžka dlhšej strany trojuholníka je

7. Dĺžky strán a, b, c trojuholníka sa rovnajú 2, 3 a 4. Nájdite vzdialenosť medzi stredmi kruhu a kruhu. (2)

Riešenie. Na vyriešenie problému nie je potrebná ani kresba. Postupne nachádzame: poloobvod

Vzdialenosť medzi stredmi kruhov:

8. V trojuholníku ABC je hodnota uhla BAC rovná? / 3, dĺžka výšky klesnutej z vrcholu C na stranu AB sa rovná 3 3 cm a polomer kruhu je ohraničený okolo trojuholníka ABC je 5 cm Nájdite dĺžky strán trojuholníka ABC (obr. 132). (3)

Riešenie: Nech CD je výška trojuholníka ABC spadnutého z vrcholu C. Sú možné tri prípady. Základňa D výškového CD spadá do:

1) na segmente AB;

2) pokračovať v segmente AB za bodom B;

3) do bodu B.

Podľa podmienok je polomer R kruhu opísaného okolo trojuholníka ABC 5 cm. Preto vo všetkých troch prípadoch:

Teraz je zrejmé, že bod D sa nezhoduje s bodom B, pretože BC? CD. Keď použijeme Pytagorovu vetu na trojuholníky ACD a BCD, zistíme to

Z toho vyplýva, že bod D leží medzi bodmi A a B, ale potom AB = AD + BD (1 + 6? 2) cm.

Odpoveď: AB = (6 × 2 + 1) cm, BC = 5 × 3 cm, AC = 2 cm.

9. V trojuholníkoch ABC a A1B1C1 je dĺžka strany AB rovnaká ako dĺžka strany A1B1, dĺžka strany AC sa rovná dĺžke strany A1C1, uhol BAC je 60 ° a uhol B1A1C1 je 120 °. Je známe, že pomer dĺžky B1C1 k dĺžke BC je rovný? N (kde n je celé číslo). Nájdite pomer dĺžky AB k dĺžke AC. Na aké hodnoty n má úloha aspoň jedno riešenie (obr. 133)? (3)

Riešenie: Nech sú ABC a A1B1C1 dané trojuholníky vo vyhlásení problému. Pri použití kosínusovej vety na trojuholníky ABC a A1B1C1 máme:

Pretože podľa stavu problému В1С1: ВС =? N, potom

Pretože A1B1 = AB a A1C1 = AC, potom vydelením čitateľa a menovateľa zlomku na ľavej strane rovnosti (1) AC2 a označujúceho AB: AC cez x dostaneme rovnosť:

odkiaľ je zrejmé, že hľadaný pomer dĺžky AB k dĺžke AC je koreňom rovnice

x2 (n - 1) - x (n + 1) + n - 1 = 0 (2)

Pretože В1С1> ВС, potom n> 1. Preto je rovnica (2) štvorcová. Jeho diskriminácia je (n + 1) 2– 4 (n - 1) 2 = - 3n2 + 10n - 3.

Rovnica (2) bude mať riešenie, ak - 3n2 + 10n - 3? 0, t.j. v -1/3? n? 3. Pretože n - prirodzené číslo väčšia ako 1, potom rovnica (2) má riešenia pre n = 2 a n = 3. Pre n = 3 má rovnica (2) koreň x = 1; pre n = 2 má rovnica korene

Odpoveď: pomer dĺžky AB k dĺžke AC je rovný

pre n = 2; sa rovná 1 pre n = 3; pre zostávajúcich n neexistuje riešenie.