S rôznymi základmi a ukazovateľmi. Pravidlá množenia stupňov s rôznymi základmi. Vlastnosti stupňov s racionálnymi ukazovateľmi
Aký je titul?
Stupeň Zavolajte na prácu niekoľkých identických faktorov. Napríklad:
2 × 2 × 2
Hodnota tohto výrazu je 8
2 × 2 × 2 \u003d 8
Ľavá časť tejto rovnosti môže byť kratšia - najprv nahrávanie opakovaného multiplikátora a uveďte, koľkokrát sa opakuje. Opakovací multiplikátor v tomto prípade je 2. Opakuje sa trikrát. Z tohto dôvodu si zapíšete tie dve:
2 3 = 8
Tento výraz je takto čítaný: " dvaja do tretieho stupňa je osem " alebo " tretí stupeň čísla 2 je 8 ".
Krátka forma multiplikačného nahrávania rovnakých multiplexov sa používa častejšie. Preto je potrebné pripomenúť, že ak je iné číslo zapísané na niektoré číslo, potom sa vynásobí niekoľko identických faktorov.
Napríklad, ak je uvedený expresia 5 3, treba mať na pamäti, že táto expresia je ekvivalentná s 5 × 5 × 5 záznamom.
Číslo, ktoré sa opakuje stupeň stupňa. V vyjadrení 5 3 je základom titulu číslo 5.
A číslo, ktoré je napísané vyššie uvedené číslo 5 indikátor stupňa. V vyjadrení 5 3 je indikátor stupňa číslo 3. Indikátor stupňa ukazuje, koľkokrát sa nadácia opakuje. V našom prípade sa základňa 5 opakuje trikrát.
Prevádzka množenia rovnakých multiplikátorov sa nazýva do stupňa.
Napríklad, ak potrebujete nájsť produkt štyroch identických multiplikátorov, z ktorých každý je 2, potom hovoria, že číslo 2 do štvrtého stupňa:
Vidíme, že číslo 2 vo štvrtom stupni je číslo 16.
Všimnite si, že v tejto lekcii považujeme stupeň s prirodzeným indikátorom. Toto je typ stupňa, ktorého ukazovateľ je prirodzené číslo. Pripomeňme, že prirodzene nazývané celé čísla, ktoré sú viac nula. Napríklad 1, 2, 3 a tak ďalej.
Všeobecne platí, že stanovenie stupňa s prirodzeným indikátorom je nasledovné:
Stupeň a. S prirodzeným indikátorom n. - Toto je vyjadrenie formulára n.rovná práci n. multiplikátorov, z ktorých každý je rovnaký a.
PRÍKLADY:
Mal by byť pozorný, keď je číslo postavené. Často nepozornosť osoba znásobuje základ titulu na indikátor.
Napríklad číslo 5 do druhého stupňa je produktom dvoch faktorov, z ktorých každý je 5. Tento produkt sa rovná 25
Teraz si predstavte, že sme nepozorní násobiť základ 5 na indikátore 2
Ukázalo sa, že chyba, pretože číslo 5 do druhého stupňa nie je rovné 10.
Okrem toho by sa malo uviesť, že stupeň čísla s indikátorom 1, je tu toto číslo:
Napríklad číslo 5 v prvom stupni je číslo 5
V súlade s tým, ak číslo nemá indikátor, potom je potrebné predpokladať, že indikátor sa rovná jednej.
Napríklad čísla 1, 2, 3 sú uvedené bez indikátora, takže ich ukazovatele budú rovné jednej. Každý z týchto čísel môže byť zaznamenaný s indikátorom 1
A ak budete stavať 0 do akéhokoľvek stupňa, potom sa objaví 0. Naozaj, bez ohľadu na to, koľkokrát sa nevnímal, nič sa nestane. PRÍKLADY:
A výraz 0 0 nedáva zmysel. Ale v niektorých častiach matematiky, najmä analýzy a teórie sady, výraz 0 0 môže zmysel.
Pre školenie, vyriešime niekoľko príkladov na výstavbe čísel do titulu.
Príklad 1. Vyhodnoťte číslo 3 v druhom stupni.
Číslo 3 druhého stupňa je produktom dvoch faktorov, z ktorých každý je 3
3 2 \u003d 3 × 3 \u003d 9
Príklad 2. Vyhodnoťte číslo 2 do štvrtého stupňa.
Číslo 2 vo štvrtom stupni je produktom štyroch multiplikátorov, z ktorých každý je 2
2 4 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 \u003d 16
Príklad 3. Vyhodnoťte číslo 2 do tretieho stupňa.
Číslo 2 do tretieho stupňa je dielom troch faktorov, z ktorých každý je 2
2 3 \u003d 2 × 2 × 2 \u003d 8
Do stupňa 10
Ak chcete zvýšiť číslo 10 do cieľa, stačí pridať počet nuly po jednotke rovnajúcej sa stupňa.
Napríklad v druhom stupni postavili číslo 10. Po prvé, napíšte sám číslo 10 a zadajte číslo 2 ako indikátor
10 2
Teraz položte znamenie rovnosti, zapíšte si zariadenie a po tomto zariadení píšete dve nule, pretože počet nuly by sa malo rovnať titulu
10 2 = 100
Znamená to, že číslo 10 do druhého stupňa je číslo 100. Je to spôsobené tým, že číslo 10 do druhého stupňa je produktom dvoch faktorov, z ktorých každý je 10
10 2 \u003d 10 × 10 \u003d 100
Príklad 2.. Číslo 10 do tretieho stupňa.
V tomto prípade, po jednotke, tri nula bude stáť:
10 3 = 1000
Príklad 3.. Stanovte číslo 10 vo štvrtom stupni.
V tomto prípade, po jednotke, štyri nula bude stáť:
10 4 = 10000
Príklad 4.. Vytvorte číslo 10 do prvého stupňa.
V tomto prípade, po jednotke, jedna nula bude stáť:
10 1 = 10
Predstavujú čísla 10, 100, 1000 vo forme stupňa so základňou 10
Ak chcete reprezentovať čísla 10, 100, 1000 a 10 000 vo forme stupňa s bázou 10, musíte zaznamenať základňu 10 a ako indikátor, uveďte číslo rovnajúce sa počtu nuly zdrojového čísla.
Predstavte si číslo 10 vo forme stupňa s bázou 10. Vidíme, že v ňom jedno nula. Takže číslo 10 vo forme stupňa so základňou 10 bude prezentované ako 10 1
10 = 10 1
Príklad 2.. Predstavte si číslo 100 vo forme stupeň základne 10. Vidíme, že číslo 100 obsahuje dve nule. Takže číslo 100 vo forme stupňa s bázou 10 bude prezentované ako 10 2
100 = 10 2
Príklad 3.. Predstavte si číslo 1000 vo forme stupňa so základňou 10.
1 000 = 10 3
Príklad 4.. Predstavte si číslo 10 000 vo forme stupňa so základňou 10.
10 000 = 10 4
Negatívny
Keď je postavený stupeň záporného čísla, je potrebné vstúpiť do zátvoriek.
Napríklad postavte záporné číslo -2 do druhého stupňa. Číslo -2 do druhého stupňa je produktom dvoch faktorov, z ktorých každý je rovný (-2)
(-2) 2 \u003d (-2) × (-2) \u003d 4
Ak by sme nezadali zátvorky čísla -2, stalo sa to, že vypočítame výraz -2 2, ktorý nerovná sa štyri. Expresia -2² bude -4. Ak chcete pochopiť, prečo sme hovorili nejaké chvíle.
Keď sme predložili kladný počet mínus, čím sa vykonávame prevádzka opačnej hodnoty.
Predpokladajme, že číslo 2 je uvedené, a je potrebné nájsť svoje opačné číslo. Vieme, že opak čísla 2 je číslo -2. Inými slovami, aby ste našli opačné číslo pre 2, stačí, aby mínus pred týmto číslom. Inset mínus pred číslom sa už uvažuje v matematike s plnohodnotnou prevádzkou. Táto operácia, ako je uvedené vyššie, sa nazýva operácia transakcie opačnej hodnoty.
V prípade výrazu -2 2 existujú dve operácie: operácia berie opačnú hodnotu a cvičenie. Cvičenie je vyššia priorita operácia, ako prevziať opačnú hodnotu.
Výraz -2 2 sa teda vypočíta v dvoch etapách. Najprv sa vykonáva operácia cvičenia. V tomto prípade bolo do druhého stupňa postavené kladné číslo.
Potom bola prijatá opačná hodnota. Táto opačná hodnota bola nájdená pre hodnotu 4. a opačná hodnota pre 4 je -4
−2 2 = −4
Konzoly majú najvyššiu prioritu vykonania. Preto v prípade výpočtu expresie (-2) 2 je opačná hodnota najprv dokončená, a potom sa do druhého stupňa postaví negatívne číslo. Výsledkom je pozitívna odpoveď 4, pretože produkt záporných čísel je kladné číslo.
Príklad 2.. Vybudovať číslo -2 do tretieho stupňa.
Číslo -2 do tretieho stupňa je práca troch multiplikátorov, z ktorých každý je rovný (-2)
(-2) 3 \u003d (-2) × (-2) × (-2) \u003d -8
Príklad 3.. Zostavte číslo -2 vo štvrtom stupni.
Číslo -2 vo štvrtom stupni je produkt štyroch multiplikátorov, z ktorých každý je rovný (-2)
(-2) 4 \u003d (-2) × (-2) × (-2) × (-2) \u003d 16
Je ľahké vidieť, že keď je postavený stupeň záporného čísla, buď pozitívna odpoveď je buď negatívna. Znamenie o odpovedi závisí od indikátora počiatočného stupňa.
Ak je indikátor jasný, odpoveď bude pozitívna. Ak je indikátor nepárny, odpoveď bude záporná. Ukážte ho na príklad čísla -3
V prvom a v treťom prípade bol indikátor zvláštny číslo, takže odpoveď sa stala negatívny.
V druhom a štvrtom prípade bol indikátor dokonca číslo, takže odpoveď sa stala pozitívny.
Príklad 7. Vyhodnoťte číslo -5 do tretieho stupňa.
Číslo -5 do tretieho stupňa je práca troch chýb, z ktorých každý je -5. Indikátor 3 je nepárne číslo, takže môžeme vopred povedať, že odpoveď bude negatívna:
(-5) 3 \u003d (-5) × (-5) × (-5) \u003d -125
Príklad 8. Vyhodnoťte číslo -4 vo štvrtom stupni.
Číslo -4 vo štvrtom stupni je produktom štyroch multiplikátorov, z ktorých každý je -4. V rovnakej dobe, index 4 sa dokonca používa, takže môžeme vopred povedať, že odpoveď bude pozitívna:
(-4) 4 \u003d (-4) × (-4) × (-4) × (-4) \u003d 256
Hľadanie hodnôt výrazov
Pri hľadaní hodnôt výrazov, ktoré neobsahujú zátvorky, bude cvičenie vykonať predovšetkým, ďalšie množenie a rozdelenie v poradí podľa ich nasledujúceho, a potom pridávanie a odčítanie v poradí podľa ich nasledujúceho.
Príklad 1.. Nájdite hodnotu výrazu 2 + 5 2
Po prvé, vyhladzuje sa. V tomto prípade je druhý stupeň postavený číslom 5 - Ukazuje sa 25. Potom sa tento výsledok zloží s číslom 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Príklad 10.. Nájdite hodnotu expresie -6 2 × (-12)
Po prvé, vyhladzuje sa. Všimnite si, že číslo -6 nie je prijaté v držiaku, preto sa číslo 6 postaví do druhého stupňa, potom bude mínus dodaný pred výsledkom:
-6 2 × (-12) \u003d -36 × (-12)
Vyplňte príklad, vynásobte -36 na (-12)
-6 2 × (-12) \u003d -36 × (-12) \u003d 432
Príklad 11.. Nájdite hodnotu výrazu -3 × 2 2
Po prvé, vyhladzuje sa. Výsledný výsledok sa líši podľa čísla -3
-3 × 2 2 \u003d -3 × 4 \u003d -12
Ak výraz obsahuje konzoly, musíte najprv vykonávať akcie v týchto zátvorkách, potom extinguisu, potom množenie a rozdelenie, a potom pridávanie a odčítanie.
Príklad 12.. Nájdite hodnotu expresie (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5
Najprv vykonajte akcie v zátvorkách. Vnútri konzoly, aplikujeme predtým študované pravidlá, a to najprv vzpriamene číslo 3 do druhého stupňa, potom vykonáme násobenie 1 × 3, potom pridávame výsledky erekcie čísla 3 a množením 1 × 3. Ďalej odčítanie a pridávanie sa vykonáva v poradí podľa nich. Oddejme tento postup na vykonávanie účinku nad počiatočným výrazom:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 \u003d 12 - 15 + 5 \u003d 2
Príklad 13.. Nájdite hodnotu expresie 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Najprv postavil číslo do stupňa, potom vykonávať násobenie a stanoviť získané výsledky:
2 × 5 3 + 5 x 2 3 \u003d 2 × 125 + 5 x 8 \u003d 250 + 40 \u003d 290
Identické transformácie
V nadmerných stupňoch sa môžu vykonávať rôzne identické transformácie, čím sa ich zjednodušuje.
Predpokladajme, že je potrebné vypočítať výraz (2 3) 2. V tomto príklade sa do druhého stupňa postavili dva v treťom stupni. Inými slovami, stupeň je postavený do iného stupňa.
(2 3) 2 Toto je produkt dvoch stupňov, z ktorých každý je 2 3
Zároveň je každý z týchto stupňov produktom troch faktorov, z ktorých každý je 2
Dostal kus 2 × 2 x 2 x 2 x 2 x 2, ktorý je 64. znamená hodnotu expresie (2 3) 2 alebo rovné 64 ° C
Tento príklad môže byť značný na zjednodušenie. Na tento účel môžu indikátory expresie (2 3) 2 množiť a písať tento produkt nad základňou 2
Dostal 2 6. Dvaja v šiestom, ide o prácu šiestich multiplikátorov, z ktorých každý je 2. Tento produkt sa rovná 64
Táto vlastnosť funguje vďaka tomu, že 2 3 je produkt 2 × 2 × 2, ktorý sa zase opakuje dvakrát. Potom sa ukázalo, že základňa 2 sa opakuje šesťkrát. Odtiaľ môžete zapísať, že 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 je 2 6
Všeobecne platí, že z akéhokoľvek dôvodu a. s ukazovateľmi m. a n. Vykonáva sa nasledujúca rovnosť:
(n.) m \u003d n × m
Táto identická konverzia sa nazýva vzpriamený. To možno nájsť takto: "Pri zostavovaní stupňa do určitej miery je základom nezmenený a ukazovatele sú predĺžené" .
Po vynásobení ukazovateľov sa zmení inú mieru, ktorej hodnota možno nájsť.
Príklad 2.. Nájdite hodnotu výrazu (3 2) 2
V tomto príklade je základňa 3 a čísla 2 a 2 sú indikátormi. Pravidlá pre cvičenie používame do stupňa. Základňa bude ponechaná nezmenená a ukazovatele na zmenu:
3 4. A číslo 3 vo štvrtom stupni je 81
Zvážte zostávajúce transformácie.
Násobenie stupňov
Na násobenie stupňov, musíte každý stupeň vypočítať oddelene a vynásobte výsledky.
Napríklad vynásobte 2 2 až 3 3.
2 2 Toto je číslo 4 a 3 3 je číslo 27. Alternatívne čísla 4 a 27, dostaneme 108
2 2 × 3 3 \u003d 4 × 27 \u003d 108
V tomto príklade boli základy stupňov odlišné. V prípade, že sú základy rovnaké, môžete napísať jednu základňu a ako indikátor na zapísanie súčtu indikátorov počiatočných stupňov.
Napríklad vynásobte 2 2 až 2 3
V tomto príklade sú základy v stupňoch rovnaké. V tomto prípade môžeme napísať jednu základňu 2 a zapíšeme množstvo stupňov 2 2 a 2 3 ako indikátor. Inými slovami, je možné opäť nechať žiadne zmeny a zložiť počiatočné stupne. Bude to vyzerať takto:
2 5. Číslo 2 v piatom stupni je 32
Táto vlastnosť funguje vďaka tomu, že 2 2 je produkt 2 x 2 a 2 3 je produkt 2 x 2 × 2. Potom sa získa práca piatich identických multiplikátorov, z ktorých každý je 2. Tento produkt je známy ako 2 5
Všeobecne a. a ukazovatele m. a n. Vykonáva sa nasledujúca rovnosť:
Táto identická konverzia sa nazýva hlavný majetok stupňa. To možno nájsť takto: " Strhnúťrupmate The Times s rovnakými základňami, základňa sa nezmení a indikátory sú zložené " .
Všimnite si, že táto transformácia môže byť použitá ľubovoľným počtom stupňov. Hlavná vec je, že základňa je rovnaká.
Nájdite si napríklad hodnotu výrazu 2 1 × 2 2 × 2 3. Foundation 2.
Niektoré úlohy sú dostatočné na vykonanie vhodnej transformácie bez výpočtu konečného stupňa. Toto je určite veľmi vhodné, pretože nie je tak ľahko vypočítať.
Príklad 1.. Predstavujú výraz 5 8 × 25
Táto úloha je potrebné vykonať tak, že namiesto výrazu 5 8 × 25 sa ukázalo na jeden stupeň.
Číslo 25 môže byť reprezentované ako 5 2. Potom dostaneme nasledujúci výraz:
V tomto vyjadrení je možné aplikovať hlavnú vlastnosť titulu - základňa 5 by mala byť nezmenená a indikátory 8 a 2-násobne:
Napíšte rozhodnutie kratšie:
Príklad 2.. Predstavujú výraz vo forme titulu 2 9 × 32
Číslo 32 môže byť zastúpené ako 2 5. Potom získame výraz 2 9 × 2 5. Ďalej môžete použiť založenie majetku stupňa - základňa 2 sa nezmení a pridajte indikátory 9 a 5. V dôsledku toho bude nasledujúce riešenie:
Príklad 3.. Vypočítajte produkt 3 × 3 pomocou základnej vlastnosti titulu.
Každý dobre vie, že tri, aby sa vynásobili tri, sa rovná deviatim, ale úloha si vyžaduje počas rozhodnutia využiť hlavný majetok titulu. Ako to spraviť?
Pamätáme si, že ak sa číslo dostane bez indikátora, indikátor by sa mal považovať za rovnakú jednotku. Tam bola továreň 3 a 3 vo forme 3 1 a 3 1
3 1 × 3 1
Teraz používame hlavnú vlastnosť titulu. Základňa 3 zostane nezmenená a indikátory 1 a 1-násobne:
3 1 × 3 1 \u003d 3 2 \u003d 9
Príklad 4.. Vypočítajte produkt 2 × 2 × 3 2 × 3 3 pomocou základnej vlastnosti titulu.
Produkt je 2 x 2 nahradením 2 1 x 2 1, potom 2 1 + 1 a potom 2 2. Výroba 3 2 × 3 3 Nahraďte 3 2 + 3 a potom 3 5
Príklad 5.. Vykonávať násobenie x × x.
Ide o dva identické písmenové faktory s ukazovateľmi 1. Pre jasnosť, píšeme tieto ukazovatele. Ďalej nadácia x. Poďme nemení a ukazovatele stanovia:
Byť na palube, netlačte násobenie stupňov s rovnakými základňami, ako je to podrobné, ako sa tu vykonáva. Takéto výpočty sa musia vykonať v mysli. Podrobný záznam bude s najväčšou pravdepodobnosťou otravný učiteľ a zníži toto hodnotenie. Tu je uvedený podrobný záznam tak, že materiál je čo najprístupnejší na pochopenie.
Roztok tohto príkladu je výhodne napísaný takto: \\ t
Príklad 6.. Vykonávať násobenie x. 2 × X.
Druhý indikátor výroby sa rovná jednej. Pre jasnosť, aby ste to napísali. Ďalej bude základňa nezmenená a ukazovatele stanovia:
Príklad 7.. Vykonávať násobenie y. 3 y. 2 y.
Obrázok tretej rastliny je rovná jednej. Pre jasnosť, aby ste to napísali. Ďalej bude základňa nezmenená a ukazovatele stanovia:
Príklad 8.. Vykonávať násobenie aA 3 A 2 A 5
Ukazovateľ prvého faktora sa rovná jednej. Pre jasnosť, aby ste to napísali. Ďalej bude základňa nezmenená a ukazovatele stanovia:
Príklad 9.. Predstavte si stupeň 3 8 ako produkt stupňov s rovnakými základňami.
V tejto úlohe musíte urobiť výrobok stupňov, z ktorých základy budú rovné 3, ktorého súčet bude 8. Môžete použiť akékoľvek indikátory. Predstavte si, že titul 3 8 vo forme práce stupňov 3 5 a 3 3
V tomto príklade sa opäť opierali o základnú vlastnosť titulu. Koniec koncov, expresia 3 5 × 3 3 môže byť napísaná ako 3 5 + 3, odkiaľ 3 8.
Samozrejme, bolo možné prezentovať titul 3 8 ako produkt iných stupňov. Napríklad vo forme 3 7 × 3 1, pretože tento výrobok je tiež rovný 3 8
Zastúpenie stupňa vo forme produktu stupňov s rovnakými základňami je z väčšej časti kreatívnej práce. Preto sa nemusíte báť experimentu.
Príklad 10.. Predložiť titul x. 12 vo forme rôznych diel stupňov so základmi x. .
Používame hlavnú vlastnosť titulu. Predstaviť si x. 12 vo forme prác so základmi x. a ich súčet sa rovná 12
Pre jasnosť boli zaznamenané návrhy s množstvom ukazovateľov. Najčastejšie môžu byť preskočené. Potom sa kompaktné riešenie objaví:
Cvičenie
Ak sa chcete prevziať do stupňa práce, musíte stavať v určenom stupni každý násobiteľ tejto práce a vynásobte získané výsledky.
Napríklad sme postavili prácu 2 × 3 v druhom stupni. Túto prácu berieme do zátvoriek a označujeme ako indikátor 2
V druhom stupni sa v druhom stupni postavili každý multiplikátor práce 2 × 3 a variabilné výsledky získané:
Princíp fungovania tohto pravidla je založený na určení titulu, ktorý bol uvedený na začiatku.
Vytvorte produkt 2 × 3 v druhom stupni prostriedku na opakovanie tohto produktu dvakrát. A ak ho opakujete dvakrát, potom môžete získať nasledovné:
2 × 3 × 2 × 3
Od permutácie miest faktorov sa práca nemení. To umožňuje skupinám rovnaké multiplikátory:
2 × 2 × 3 × 3
Opakovacie multiplikátory môžu byť nahradené krátkymi záznamami - pozemok s indikátormi. Produkt 2 x 2 sa môže nahradiť o 2 2 a produkt 3 × 3 môže byť nahradený o 3 2. Potom sa expresia 2 × 2 × 3 × 3 označuje výraz 2 2 × 32.
Byť abs Zdrojová práca. Zvýšiť tento produkt do titulu n. , musíte stavať multiplikátory samostatne a. a b. V určenom stupni n.
Táto nehnuteľnosť je platná pre ľubovoľný počet multiplikátorov. Platia aj nasledujúce výrazy:
Príklad 2.. Nájdite hodnotu expresie (2 × 3 × 4) 2
V tomto príklade musíme v druhom stupni stavať 2 × 3 × 4. Ak to chcete urobiť, musíte stavať v druhom stupni každý násobiteľ tejto práce a vynásobiť získané výsledky:
Príklad 3.. Vybudovať tretí titul a × B × C
Vstúpte do zátvoriek túto prácu a označujeme číslo 3 ako indikátor
Príklad 4.. Vyhodnoťte tretí stupeň práce 3 xYZ.
Vstúpte do zátvoriek túto prácu a naznačujeme 3 ako indikátor 3
(3xYZ.) 3
Do tretieho stupňa každý multiplikátor tejto práce:
(3xYZ.) 3 = 3 3 x. 3 y. 3 z. 3
Číslo 3 do tretieho stupňa sa rovná číslu 27. Zvyšok opustí nezmenený:
(3xYZ.) 3 = 3 3 x. 3 y. 3 z. 3 = 27x. 3 y. 3 z. 3
V niektorých príkladoch môže byť násobenie stupňov s rovnakými ukazovateľmi nahradený na základe základov s jedným indikátorom.
Napríklad vypočítame hodnotu výrazu 5 2 × 3 2. Vytvorte každé číslo v druhom stupni a premenné získané výsledky:
5 2 × 3 2 \u003d 25 × 9 \u003d 225
Ale každý stupeň nemôžete vypočítať samostatne. Namiesto toho môže byť tento produkt stupňov nahradený produktom s jedným indikátorom (5 × 3) 2. Ďalej vypočítajte hodnotu v zátvorkách a zostavte výsledok získaný v druhom stupni:
5 2 × 3 2 \u003d (5 x 3) 2 \u003d (15) 2 \u003d 225
V tomto prípade sa opäť použije pravidlo stavby na stupeň práce. Koniec koncov, ak (a × B.) N. = n × b n T. n × b n \u003d (A × b) n . To znamená, že ľavá a pravá časť rovnosti sa zmenila na miestach.
Vzpriamený
Táto transformácia sme považovali za príklad, keď sa snažili pochopiť podstatu identických transformácií stupňov.
Ak je titul zvýšený do stupňa, základňa sa nezmení a ukazovatele sa predĺžia:
(n.) m \u003d n × m
Napríklad expresia (2 3) 2 je erekcia stupňa do určitej miery v treťom stupni, ktorá je vybudovaná do druhého stupňa. Ak chcete nájsť význam tohto výrazu, základňa môže byť ponechaná nezmenená a vynásobená indikátory:
(2 3) 2 \u003d 2 3 x 2 \u003d 2 6
(2 3) 2 \u003d 2 3 x 2 \u003d 2 6 \u003d 64
Toto pravidlo je založené na predchádzajúcich pravidlách: Montáž práce a hlavného majetku stupňa.
Poďme sa vrátiť k výrazu (2 3) 2. Expresia v zátvorkách 2 3 je produktom troch identických faktorov, z ktorých každý je rovný 2. Potom v expresii (2 3) 2, môže byť stupeň vnútri konzoly nahradený kusom 2 x 2 x 2.
(2 × 2 × 2) 2
A toto je stavba práce, ktorú sme študovali skôr. Pripomeňme, že pre výstavbu práce práce, musíte stavať v určenom stupni každý násobiteľ tohto produktu a vynásobte výsledky:
(2 × 2 × 2) 2 \u003d 2 2 x 2 x 2 2
Teraz sa zaoberáme základným majetkom. Základňa sa nechala nezmenená a sklopujeme indikátory:
(2 x 2 x 2) 2 \u003d 2 2 x 22 × 22 \u003d 2 2 + 2 + 2 \u003d 2 6
Používa sa na príjem 2 6. Hodnota tohto stupňa je 64
(2 x 2 x 2) 2 \u003d 2 2 x 22 x 22 \u003d 2 2 + 2 + 2 \u003d 2 6 \u003d 64
Titul môže vybudovať aj prácu, ktorých faktory sú tiež stupne.
Nájdite si hodnotu výrazu (2 2 × 3 2) 3. Tu musia byť indikátory každého faktora vynásobené celkovým ukazovateľom 3. Ďalej nájdete hodnotu každého stupňa a vypočítajte prácu:
(2 2 x 3 2) 3 \u003d 2 2 × 3 x 32 × 3 \u003d 2 6 × 3 6 \u003d 64 × 729 \u003d 46656
Približne to isté sa stane, keď je práca postavená. Povedali sme, že keď sa práca postavila do stupňa práce, každý multiplikátor tejto práce je zabudovaný do určeného stupňa.
Ak chcete napríklad vybudovať produkt 2 × 4 do tretieho stupňa, musíte zaznamenať nasledujúci výraz:
Bolo však predtým povedané, že ak je číslo udelené bez indikátora, indikátor by sa mal považovať za rovnakú jednotku. Ukazuje sa, že multiplikátory práce 2 x 4 majú pôvodne ukazovatele rovnajúce sa 1. Takže, expresia 2 1 × 4 1 \u200b\u200bbola postavená v treťom stupni. A toto je erekcia stupňa.
Riešenie prepíšem pomocou miery titulu. Musíme mať rovnaký výsledok:
Príklad 2.. Nájdite hodnotu výrazu (3 3) 2
Základňa sa nezmení a indikátory sa striedajú:
3 6. Číslo 3 V šiestom stupni je číslo 729
Príklad 3.xy.)³
Príklad 4.. Vykonať cvičenie v výraze ( bradavica)⁵
Do piateho stupňa každý multiplikátor práce:
Príklad 5.sekera.) 3
Do tretieho stupňa každý multiplikátor práce:
Keďže do tretieho stupňa bolo postavené záporné číslo -2, bolo vzaté do zátvoriek.
Príklad 6.. Vykonať cvičenie do stupňa výrazu (10 xy.) 2
Príklad 7.. Vykonajte titul v expresii (-5 x.) 3
Príklad 8.. Vykonať cvičenie v výraze (-3 y.) 4
Príklad 9.. Vykonávať cvičenie v výraze (-2 aBX.)⁴
Príklad 10.. Zjednodušiť výraz x. 5 × ( x. 2) 3
Moc x. 5, kým nezanecháme nezmenené, a vo výraze ( x. 2) 3 Vykonajte cvičenie do stupňa do tohto stupňa:
x. 5 × (x. 2) 3 \u003d X. 5 × X. 2 × 3. \u003d X. 5 × X. 6
Teraz vykonajte násobenie x. 5 × X. 6. Aby sme to urobili, používame hlavnú vlastnosť titulu - základ x. Poďme nemení a ukazovatele stanovia:
x. 5 × (x. 2) 3 \u003d X. 5 × X. 2 × 3. \u003d X. 5 × X. 6 = x. 5 + 6 = x. 11
Príklad 9.. Nájdite hodnotu výrazu 4 3 × 2 2 pomocou základnej vlastnosti titulu.
Hlavný majetok stupňa možno použiť, ak sú základy počiatočných stupňov rovnaké. V tomto príklade je základňa iná, preto sa na začiatku musí počiatočná expresia trochu zmeniť, a to, aby sa základy stupňov stali rovnakými.
Pozrime sa pozorne na 4 3. Základom tohto stupňa je číslo 4, ktoré môže byť reprezentované ako 2 2. Počiatočná expresia potom má formu (2 2) 3 x 22. Vystavením cvičenia na stupňu výrazu (2 2) 3 dostaneme 2 6. Počiatočná expresia trvá formu 2 6 x 22, vypočítaná, ktorá sa môže použiť pomocou hlavného vlastnosti stupňa.
Zapíšte riešenie tohto príkladu:
Rozhodovanie
Ak chcete, aby rozdelenie stupňov, musíte nájsť hodnotu každého stupňa, potom vykonať rozdelenie bežných čísel.
Napríklad rozdeľujeme 4 3 až 2 2.
Vypočítať 4 3, dostaneme 64. Vypočítať 2 2, dostaneme sa 4. Teraz rozdelíme 64 až 4, dostaneme 16
Ak sa pri rozdeľovaní stupňov základov, budú rovnakí, potom môže byť základná základňa nezmenená, az indikátora stupňa rozdelenia, indikátor stupňa deliča.
Napríklad nájdite hodnotu výrazu 2 3: 2 2
Základňa 2 bude ponechaná nezmenená, a zo stupňa rozdelenia, je predložený stupeň deliča:
Takže hodnota expresie 2 3: 2 2 je 2.
Táto nehnuteľnosť je založená na násobení stupňov s rovnakými základňami, alebo keď sme hovorili o hlavnom vlastníctve titulu.
Poďme sa vrátiť k predchádzajúcemu príkladu 2 3: 2 2. Tu rozdeľte, že je 2 3 a delič 2 2.
Rozdeľte rovnaké číslo na iné prostriedky na nájdenie takéhoto čísla, ktoré pri násobení deliča, poskytne delič v dôsledku toho.
V našom prípade rozdelené 2 3 až 2 2 prostriedky na nájdenie takej miery, že pri násobení rozdeľovača 2 2 bude dávať v dôsledku 2 3. Aký stupeň možno vynásobiť 2 2, aby ste získali 2 3? Je zrejmé, že len stupeň 2 1. Z hlavného vlastníctva titulu máme:
Uistite sa, že hodnota expresie 2: 2 2 je 2 1 môže byť priamo vypočítaná expresiou 2 3: 2 2. Ak to chcete urobiť, najprv nájdite hodnotu titulu 2 3, dostaneme 8. Potom nájdeme hodnotu titulu 2 2, dostaneme 4. Rozdeľujeme 8 až 4, získavame 2 alebo 2 1, pretože 2 \u003d 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Pri rozdelení stupňov s rovnakými základňami sa vykonáva táto rovnosť:
Môže sa to stať a aby nielen nadácie mohli byť rovnaké, ale aj ukazovatele. V tomto prípade bude odpoveď na odpoveď.
Nájdite napríklad hodnotu expresie 2 2: 2 2. Vypočítajte hodnotu každého stupňa a vykonajte rozdelenie výsledných čísel:
Pri riešení príkladu 2 2: 2 2, môžete tiež aplikovať pravidlo separácie stupňa s rovnakými základňami. Výsledkom je číslo na nulový titul, pretože rozdiel v stupňoch 2 a 2 2 je nula:
Prečo je číslo 2 na nulový titul rovný toho, aby sme zistili vyššie. Ak vypočítate 2 2: 2 2 obvyklým spôsobom, bez použitia pravidla rozdelenia titulu bude jednotka.
Príklad 2.. Nájdite hodnotu výrazu 4 12: 4 10
4 Odchádzame nezmenené, az indikátora predkladateľa dividend Stupeň deliča:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Príklad 3.. Súkromné x. 3: x. vo forme stupňa x.
Používame pravidlo deliacich stupňov. Základňa x. Nechajte sa nechať nezmenené, az indikátora dividendy podomlieť stupeň deliča. Indikátor deliča je rovný jednému. Pre jasnosť, napíšte:
Príklad 4.. Súkromné x. 3: x. 2 vo forme stupňa so základňou x.
Používame pravidlo deliacich stupňov. Základňa x.
Rozhodovacie tituly môžu byť zaznamenané vo forme frakcie. Takže predchádzajúci príklad môže byť napísaný takto:
Numerátor a menovateľ FRACI je povolený zaznamenávať v rozšírenej forme, a to vo forme diel tých istých multiplikátorov. Moc x. 3 môže písať ako x × x x x x a stupeň x. 2 x × x. . Potom dizajn x. 3 - 2 sa dá preskočiť a využiť rezanie frakcie. V čitateľovi av menovateľovi bude možné znížiť dva faktory x. . V dôsledku toho zostane jeden multiplikátor x.
Alebo ešte kratšie:
Je tiež užitočné, aby bolo možné rýchlo znížiť frakcie pozostávajúce z stupňov. Napríklad frakcia môže byť znížená x. 2. Zníženie zlomku x. 2 Potrebujete nuterátor a menovateľ frakcie na rozdelenie x. 2
Rozhodovacie stupne nie je možné podrobne namaľovať. Znížená redukcia môže byť krátka:
Alebo ešte kratšie:
Príklad 5.. Vykonať rozdelenie x. 12 : X. 3
Používame pravidlo deliacich stupňov. Základňa x. Nechajte nás nechať nezmenené, a zo stupňa rozdelenia stupňa deliča:
Rozhodnutie zapíšeme znížením zlomku. Rozhodovanie x. 12 : X. 3 Napíšte vo formulári. Ďalej zníži túto frakciu x. 3 .
Príklad 6.. Nájsť hodnotu výrazu
V čitateľovi budete vykonávať násobenie stupňov s rovnakými základňami:
Teraz aplikujte pravidlo detekcie stupňa s rovnakými základňami. Základňa 7 sa nechala nezmenená, a zo stupňa delenia deliča:
Vyplňte príklad, výpočet stupňa 7 2
Príklad 7.. Nájsť hodnotu výrazu
Vykonať titul v rozsahu do tej miery. Potrebné je potrebné s výrazom (2 3) 4
Teraz sa vykonáva v násobení stupňov čitateľa s rovnakými základňami.
Ako vynásobiť titul? Aké stupne sa môžu množiť a čo nie? Ako vynásobiť titul?
V algebre nájsť produkt stupňov v dvoch prípadoch:
1) Ak majú stupne rovnaké bázy;
2) Ak majú stupne rovnaké ukazovatele.
Pri násobení stupňov s rovnakými základňami je potrebné ponechať základňu pre to isté a indikátory sú zložené:
Pri násobení stupňov s rovnakými indikátormi sa môže celkový indikátor dosiahnuť rovnátka:
Zvážte, ako znásobiť stupne na konkrétnych príkladoch.
Jednotka nie je zapísaná v indikátore, ale keď sa vynásobí stupne - zohľadní:
Pri násobení môže byť počet stupňov. Treba pripomenúť, že pred nápisom náznak multiplikácie nemôže písať:
V vyjadrení sa konštrukcia rozsahu vykonáva najprv.
Ak je číslo potrebné na násobenie stupňa, musíte sa najprv zvýšiť do titulu a len neskôr - násobenie:
www.algebraclass.ru.
Pridávanie, odčítanie, násobenie a delenie
Pridanie a odčítanie stupňov
Samozrejme, čísla s titulom môžu byť presné ako iné hodnoty , pridaním ich po druhom so svojimi znakmi.
Takže suma A 3 a B2 je 3 + B2.
Súčet A 3 - BN a H5-D4 je 3 - BN + H 5 - D4.
Faktory identické tituly rovnakých premenných Môžu byť navrhnuté alebo odpočítané.
Množstvo 2A 2 a 3A 2 je teda 5A 2.
Je tiež zrejmé, že ak budete mať dve štvorce A alebo tri štvorce A alebo päť štvorcov a.
Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premennémusia byť vykonané ich pridávaním so svojimi znakmi.
Tak, súčet A 2 a A 3 je suma A 2 + A 3.
To je zrejmé, že štvorec čísla A a kocka čísla A, nie je rovná dvojitému štvorcovi A, ale dvojitá Kuba a.
Množstvo A3BN a 3A 5 B6 je 3 BN + 3A 5 B6.
Odčítanie Tituly sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako pridanie, okrem toho, že sa musia zodpovedajúcim spôsobom meniť príznaky odčítania.
Alebo:
2A 4 - (-6A 4) \u003d 8A 4
3H 2B 6 - 4H 2B 6 \u003d -H2b
5 (A - H) 6 - 2 (A - H) 6 \u003d 3 (A - H) 6
Násobenie stupňov
Čísla s titulom sa môžu vynásobiť inými hodnotami písaním jeden po druhom, s príznakom násobku alebo bez nej medzi nimi.
Výsledkom množenia A3 na B2 je teda 3 B2 alebo AAABB.
Alebo:
x -3 ⋅ a m \u003d m x -3
3A 6 Y 2 ⋅ (-2X) \u003d -6A 6 XY 2
a 2 B 3 Y2 ⋅ A 3 B 2 Y \u003d A 2 B3 Y2 A 3 B2 Y
Výsledok v poslednom príklade je možné objednať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať formu: a 5 b 5 y3.
Porovnávanie niekoľkých čísel (premenných) s stupňami, môžeme vidieť, že ak sa niektorí z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) so stupňom rovným suma Stupňov.
Takže 2 .A 3 \u003d AAAAA \u003d AAAAAA \u003d A 5.
Tu 5 je stupeň multiplikačného výsledku, rovný 2 + 3, súčtom stupňov komponentov.
Takže n .a m \u003d m + n.
Pre N, A sa berie ako multiplikátor toľkokrát, koľkokrát je titul n;
A m, berie ako multiplikátor toľkokrát, koľkokrát je titul m;
Preto times s rovnakými základňami sa môžu vynásobiť pridaním stupňov.
Takže 2 .A 6 \u003d A 2 + 6 \u003d A 8. A x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
Alebo:
4A N ⋅ 2A N \u003d 8A 2N
b 2 y3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y4
(B + H - Y) N ⋅ (B + H-Y) \u003d (B + H-Y) N + 1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y3) ⋅ (x-y).
Odpoveď: X 4 - Y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo je platné pre čísla, ktorých stupeň - negatívny.
1. Tak, A -2 .A -3 \u003d A -5. To môže byť napísané vo forme (1 / AA). (1 / AAA) \u003d 1 / AAAAA.
2. y -n .Y -M \u003d y -n-m.
3. A -n .a m \u003d m-n.
Ak sa A + B vynásobí A - B, výsledok sa rovná 2 - B2: to je
Výsledok množenia množstva alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná sume alebo rozdielu ich štvorcov.
Ak sa suma vynásobí a rozdiel dvoch čísel postavený do námestie, Výsledok sa bude rovnať množstvu alebo rozdielu týchto čísel štvrtý titul.
Tak, (a - y). (A + Y) \u003d 2 - y2.
(A 2 - Y2) ⋅ (A 2 + Y2) \u003d 4 - Y4.
(A 4 - Y 4) ⋅ (A 4 + Y 4) \u003d 8 - Y 8.
Rozhodovanie
Čísla s titulom môžu byť rozdelené, podobne ako iné čísla, pričom rozdeľte delič, alebo ich umiestnenie vo forme zlomku.
Tak, 3 B2 rozdelené B2, rovným 3.
Nahrávanie A 5 rozdelené 3 vyzerá ako $ frac $. Ale toto sa rovná 2. V mnohých číslach
+4, +3, +2, A +1, A 0, A -1, A -2, A -3, A -4.
akékoľvek číslo môže byť rozdelené do iného a stupeň sa rovná rozdiel Ukazovatele deliteľných čísel.
Pri rozdelení stupňov s rovnakou základňou sa ich indikátory odpočítajú..
Tak, y3: y2 \u003d y3-2 \u003d y1. To je, $ frac \u003d y $.
A n + 1: A \u003d n + 1-1 \u003d a n. To je, $ frac \u003d a ^ n $.
Alebo:
y 2m: y m \u003d y m
8A N + M: 4A M \u003d 2A N
12 (B + Y) N: 3 (B + Y) 3 \u003d 4 (B + Y) N-3
Pravidlo je tiež spravodlivé a pre čísla negatívny hodnoty stupňov.
Výsledok rozdelenia A -5 na A -3 sa rovná A -2.
Tiež $ frac: frac \u003d frac. \\ Frac \u003d frac \u003d frac $.
h2: H-1 \u003d H 2 + 1 \u003d H 3 alebo $ h ^ 2: frac \u003d h ^ 2. frac \u003d h ^ $ 3
Je potrebné veľmi dobre asimilovať násobenie a rozdelenie stupňov, pretože takéto operácie sú veľmi široko používané v algebre.
Príklady riešenia príkladov s frakciami obsahujúcimi čísla s stupňom
1. Znížiť tituly v $ $ $ Odpovedať: $ frac $.
2. Znížiť tituly v $ $ $. Odpoveď: $ frac $ alebo 2x.
3. Znížte stupne A2 / A 3 a A -3 / A -4 a uveďte na spoločný menovateľ.
a2 .A -4 je prvý číselník A -2.
a 3 .A -3 je 0 \u003d 1, druhý čitateľ.
a3 .A -4 je A -1, spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: A -2 / A -1 a 1 / A -1.
4. Znížte ukazovatele stupňov 2A 4 / 5A 3 a 2 / A 4 a prinášajú do spoločného mena.
Odpoveď: 2A 3 / 5A 7 a 5A 5 / 5A 7 alebo 2A 3 / 5A 2 a 5/5A 2.
5. Vynásobte (A 3 + B) / B 4 na (A - B) / 3.
6. Vynásobte (5 + 1) / x 2 na (B 2 - 1) / (X + A).
7. Vynásobte B4 / A -2 na H-3 / X a N / Y-3.
8. Rozdeľte 4 / y3 na 3 / y2. Odpoveď: A / Y.
Vlastnosti stupňa
Pripomíname vám, že v tejto lekcii rozumieme vlastnosti stupňov s prirodzenými indikátormi a nula. Stupne s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnosťami budú zvážené v lekciách pre 8 tried.
Pomer s prirodzeným indikátorom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s stupňami.
Číslo 1.
Práca stupňov
Pri násobení stupňov s rovnakými základňami zostane základňa nezmenená a indikátory stupňov sú zložené.
m · a n \u003d m + n, kde "A" je ľubovoľné číslo a "m", "n" - akékoľvek prirodzené čísla.
Táto vlastnosť titulov tiež pôsobí na prácu troch a viac stupňov.
b2 B2 · B3 · B4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d B 15
6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15
Všimnite si, že v určenom vlastníctve bolo len o násobených stupňoch s rovnakými základňami. . Nevzťahuje sa na ich pridávanie.
Nie je možné nahradiť sumu (3 3 + 3 2) o 3 5. Toto je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, a 3 5 \u003d 243
Vlastnosti číslo 2.
Súkromný titul
Pri rozdeľovaní stupňov s rovnakými základňami zostane základňa nezmenená a od indikátora rozdelenia odpočítateľného stupňa deliča.
2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Príklad. Riešiť rovnicu. Používame majetok súkromných titulov.
3 8: T \u003d 3 4
Odpoveď: T \u003d 3 4 \u003d 81
Používanie vlastností č. 1 a č. 2 môžete ľahko zjednodušiť výrazy a vykonať výpočty.
- Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5M + 6,4 M + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 5M + 6 + M + 2: 4 4M + 3 \u003d 4 6M + 8 - 4M - 3 \u003d 4 2M + 5
Príklad. Zistite hodnotu výrazu pomocou vlastností stupňa.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Upozorňujeme, že v nehnuteľnosti 2 to bolo len o deliacich stupňoch s rovnakými základňami.
Nie je možné nahradiť rozdiel (4 3 -4 2) o 4 1. To je pochopiteľné, ak vypočítate (4 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, 4 1 \u003d 4
Číslo 3.
Vzpriamený
Pri zostavovaní stupňa do titulu zostáva nadácia nezmenená a indikátory stupňov sú variabilné.
(a n) m \u003d n · m, kde "A" je ľubovoľné číslo a "m", "n" - akékoľvek prírodné čísla.
Upozorňujeme, že v opačnom poradí sa uplatňujú číslo 4, ako aj iné vlastnosti stupňov.
(a n · b n) \u003d (a · b) n
To znamená, že na násobenie stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné znásobiť zásady a indikátor stupňa sa nezmení.
2 4 · 5 4 \u003d (2 · 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
0,5 16 · 2 16 \u003d (0,5 · 2) 16 \u003d 1
V zložitejších príkladoch môžu existovať prípady, keď sa množenie a rozdelenie musí vykonávať nad stupňou s rôznymi základmi a rôznymi ukazovateľmi. V tomto prípade odporúčame konať nasledovne.
Napríklad 4 5 · 3 2 \u003d 4 3 · 4 2 · 3 2 \u003d 4 3 · (4 · 3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216
Príklad desatinnej frakcie.
4 21 · (-0,25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0,25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0,25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d štyri
Vlastnosti 5.
Súkromný titul (frakcia)
Ak chcete pozvať titul v súkromí, môžete do tohto stupňa postaviť samostatný a delider a prvý výsledok je rozdelený do druhého.
(A: B) n \u003d A N: B N, kde "A", "B" - akékoľvek racionálne čísla, b ≠ 0, n - akékoľvek prirodzené číslo.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Pripomíname vám, že súkromné \u200b\u200bmôže byť zastúpené ako zlomok. Preto sa na tému viac zameriavame na ďalšiu stránku.
Stupňov a koreňov
Operácie s stupňami a koreňmi. Stupeň s negatívnym ,
nulový a frakčný indikátor. O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel.
Operácie s stupňami.
1. Pri násobení stupňov s rovnakou základňou, ich indikátory zložia:
m. · n \u003d a m + n.
2. Pri rozdelení stupňov s rovnakým základom ich ukazovateľov odstrániť .
3. Stupeň práce dvoch alebo niekoľkých woggles sa rovná práci stupňov týchto faktorov.
4. Stupeň vzťahu (zlomený) sa rovná pomeru stupňov deliaci (numerator) a delič (menovateľ):
(a / B.) n \u003d a n / b n.
5. Pri zostavovaní stupňa do stupňa sa ich ukazovatele vynásobia:
Všetky vyššie uvedené vzorce sa čítajú a vykonávajú sa v oboch smeroch zľava doprava a naopak.
Priblížiť sa (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .
Koreňové operácie. Vo všetkých nasledujúcich vzorcoch znamená symbol aritmetický koreň (Pozitívny výraz).
1. Koreň práce viacerých lone sa rovná produktu koreňov týchto faktorov:
2. Koreň zo vzťahu sa rovná postoji koreňov rozdelenia a deliča:
3. Keď je root postavený, stačí vybudovať tento titul predmet:
4. Ak zvýšite stupeň koreňa v moment a zároveň vybudovať číslo kŕmenia do M-stupňa, hodnota koreňov sa nezmení:
5. Ak znížite stupeň koreňa v ms a zároveň odstráňte koreň M-stupňa z čísla podávania, hodnota koreňov sa nezmení:
Rozšírenie koncepcie stupňa. Zatiaľ sme považovali za stupne len s prirodzeným indikátorom; Akcie s titulom a koreňmi však môžu viesť k negatívny, nulový a frakčný Ukazovatele. Všetky tieto ukazovatele stupňov vyžadujú dodatočnú definíciu.
S negatívnym ukazovateľom. Stupeň určitého čísla s negatívnym (celom) indikátorom je definovaný ako jednotka rozdelená stupňom rovnakého čísla s indikátorom rovnajúcou sa absolútnemu veliveru negatívneho indikátora:
T Heathe Formula m. : n. = m - n možno použiť nielen na m. viac ako n. ale tiež m. menej ako n. .
Priblížiť sa a. 4: a. 7 \u003d A. 4 — 7 \u003d A. — 3 .
Ak chceme vzorec m. : n. = m. — n. Bolo to spravodlivé m \u003d N. Musíme určiť nulový titul.
S nulovým indikátorom. Stupeň akéhokoľvek nonzerového čísla s nulou sa rovná 1.
Prip. 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Stupeň s frakčným indikátorom. Aby ste mohli vybudovať platné číslo A do stupňa m / n, je potrebné extrahovať koreň N-stupňa z M-stupňa tohto čísla A:
O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel. Existuje niekoľko takýchto výrazov.
kde a. ≠ 0 , neexistuje.
V skutočnosti, za predpokladu, že x. - Niektoré číslo, potom v súlade s definíciou operácie rozdelenia, máme: a. = 0· x.. a. \u003d 0, ktorá je v rozpore so stavom: a. ≠ 0
— akékoľvek číslo.
V skutočnosti, za predpokladu, že tento výraz je rovný nejakému číslu x.Podľa definície operácie rozdelenia máme: 0 \u003d 0 · x. . Ale táto rovnosť sa koná, keď akékoľvek číslo X.Podľa potreby.
0 0 — akékoľvek číslo.
Zvážte tri základné prípady:
1) x. = 0 – Táto hodnota nespĺňa túto rovnicu.
2) pre x. \u003e 0 dostaneme: x / X. \u003d 1, t.j. 1 \u003d 1, odkiaľ nasleduje
čo x. - akékoľvek číslo; Ale berúc do úvahy
náš prípad x. \u003e 0, odpoveď je x. > 0 ;
Rozhodovacie multiplikačné pravidlá s rôznymi základňami
Stupeň s racionálnym ukazovateľom
Funkcia výkonu IV.
§ 69. Násobenie a rozdelenie stupňov s rovnakými dôvodmi
Teorem 1. Aby bolo možné vynásobiť stupne s rovnakými základňami, postačuje pridať stupne, a dôvod opustiť prvý, to znamená
Dôkazov. Podľa definície stupňa
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Pozreli sme sa na prácu dvoch stupňov. V skutočnosti je preukázaná nehnuteľnosť je pravdivá pre ľubovoľný počet stupňov s rovnakými základňami.
Veta 2. Na rozdelenie titulov s rovnakými základňami, keď je rozdeľovací indikátor väčší ako indikátor rozdelenia, postačuje od indikátora deduktúry dividend a základňa je ponechaná na to isté, to znamená pre t\u003e P.
(a. =/= 0)
Dôkazov. Pripomeňme, že súkromné \u200b\u200bz rozdelenia jedného čísla na druhé sa nazýva číslo, ktoré pri násobení rozdeľovača dáva deliteľnú. Preto preukázať vzorec, kde a. \u003d / \u003d 0, nestará sa o to, čo preukázať vzorec
Ak t\u003e P. , potom t - P. bude prirodzené; V dôsledku toho teorem 1
Theorem 2 sa dokáže.
Malo by sa vyplatiť skutočnosť, že vzorec
sme dokazovaní len v predpoklade, že t\u003e P. . Preto sa preukázalo, napríklad také, napríklad také závery: \\ t
Okrem toho, s negatívnymi ukazovateľmi, ešte sme neboli zvažovaní a stále nevieme, aký zmysel môžem dať výraz 3 - 2 .
Veta 3. Vybudovať titul do určitej miery, skôr znásobiť ukazovatele, takže dôvod na stupeň titulu, t.j
Dôkazov. Pomocou stupňa stupňa a veta 1 tohto odseku dostaneme:
q.E.ED.
Napríklad (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64;
518 (orálne.) h. Z rovníc:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x. ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x. ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x. ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x. .
519. (S t n o.) Zjednodušte:
520. (U s TN.) Zjednodušte:
521. Tieto výrazy sú predložené vo forme stupňov s rovnakými základňami:
1) 32 a 64; 3) 8 5 a 16 3; 5) 4 100 a 32 50;
2) -1000 a 100; 4) -27 a -243; 6) 81 75 8 200 a 3 600 4 150.
Lekcia na tému: "Pravidlá pre násobenie a rozdelenie stupňov s rovnakými a rôznymi ukazovateľmi. PRÍKLADY"
Ďalšie materiály
Vážení užívatelia, nezabudnite opustiť svoje komentáre, recenzie, priania. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Tréningové príručky a simulátory v on-line obchode "Integral" pre triedu 7
Manuál pre učebnicu YU.N. Makarychev prospech k učebnicu A.G. Mordkovich
Účel lekcie: Naučíte sa vykonávať akcie s stupňom čísla.
Začať, pamätať na koncepciu "stupňa čísla". Vyjadrenie typu $ (A * A * LDOTS * A) _ (n) $ môže byť zastúpené ako $ A ^ N $.
Je to tiež pravda inverzná: $ a ^ n \u003d podklad (a * a * ldots * a) _ (n) $.
Táto rovnosť sa nazýva "rekordný záznam vo forme práce". Pomôže nám určiť, ako sa množiť a zdieľať tituly.
Pamätajte si:
a. - základom titulu.
n. - Ukazovateľ.
Ak n \u003d 1., Takže číslo ale Vzali raz a podľa toho: $ A ^ n \u003d $.
Ak n \u003d 0., potom $ A ^ 0 \u003d 1 $.
Prečo sa to stane, budeme môcť zistiť, keď sa oboznámeme s pravidlami množenia a rozdelenia stupňov.
Pravidlá multiplikácie
a) Ak sa stupne vynásobia rovnakou základňou.Na $ A ^ n * a ^ m $, zapíšte si titul vo forme práce: $ podhodnotenie (A * A * LDOTS * A) _ (N) * UPOZORNENIE (A * A * LDOTS * a) _ (m) $.
Obrázok ukazuje, že číslo ale zobral n + M. Raz, potom $ A ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.
Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Táto nehnuteľnosť je vhodná na použitie, čo na zjednodušenie práce pri zostavovaní čísla vo väčšej miere.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Ak sa stupne vynásobia rôznymi základmi, ale rovnaký indikátor.
Na $ A ^ n * b ^ n $, zapíšte si titul vo forme práce: $ podhodnotenie (A * A * LDOTS * A) _ (N) * UPOZORNENIE (B * B * LDOTS * b) _ (m) $.
Ak zmeníte multiplikátorské miesta a vypočítate výsledné páry, dostaneme: $ podhodnotenie ((A * B) * (A * B) * LDOTS * (A * B)) _ (n) $.
Takže $ A ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.
Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Pravidlá rozdelenia
a) Základom stupňa je rovnaký, rôzne ukazovatele.Zvážte rozdelenie stupňa s vysokou obrázku na rozdelenie stupňa s menším indikátorom.
Je to potrebné $ Frac (a ^ n) (a ^ m) $kde n\u003e M..
Píšeme titul vo forme zlomku:
$ Frac (podhodnotenie (A * A * LDOTS * A) _ (N)) (UPOZORNENIE (A * A * LDOTS * A) _ (M)) $.
Pre pohodlie bude divízia písať vo forme jednoduchej frakcie.Teraz zníži zlomok.
Ukazuje sa na: $ (A * A * LDOTS * A) _ (n-m) \u003d A ^ (n-m) $.
To znamená $ Frac (a ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.
Táto nehnuteľnosť pomôže vysvetliť situáciu s erekciou čísla na nulový titul. Predpokladajme, že n \u003d M., potom $ A ^ 0 \u003d A ^ (n-n) \u003d frac (a ^ n) (a ^ n) \u003d 1 $.
Príklady.
$ Frac (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.
$ Frac (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
b) Nadácia stupňa je odlišná, ukazovatele sú rovnaké.
Predpokladajme, že je to potrebné $ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Píšeme titul čísel vo forme zlomku:
$ Frac (podhodnotenie (a * a * ldots * a) _ (n)) (b * b * ldots * b) _ (n)) $.
Pre pohodlie si predstavte.
Pomocou vlastnosti frakcií, rozbijeme veľkú frakciu na prácu malých, dostaneme.
$ podhodnotenie (frac (a) (b) * frac (a) b) * ldots * frac (A) (b)) _ (n) $.
V súlade s tým, $ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d (frac (a) (b)) ^ n $.
Príklad.
$ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (\\ frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d $ 8.
Zvážte tému transformných výrazov s stupňami, ale najprv poďme sa zastaviť pri viacerých transformáciach, ktoré sa môžu vykonávať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane sily. Naučíme sa odhaliť konzoly, prinesieme podobné výrazy, pracovať s základom a indikátorom stupňa, použite vlastnosti stupňov.
Aké sú výkonné výrazy?
V školskom roku používa len málo ľudí frázy "silné výrazy", ale tento termín sa neustále stretáva v zbierkach na prípravu na skúšku. Vo väčšine prípadov sú frázy označené výrazmi, ktoré obsahujú vo svojich záznamoch. Toto sa odrážame v našej definícii.
Definícia 1.
Výraz energie - Toto je výraz, ktorý obsahuje stupne.
Uveďte niekoľko príkladov výkonových výrazov, počnúc titulom s prirodzeným indikátorom a končiacim reálnym indikátorom.
Najjednoduchšie výkony môžu byť považované za stupeň čísla s prirodzeným indikátorom: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3, 3, 3 · A 2 - A + A 2, X 3 - 1, (A 2) 3. Ako aj stupne s nulovým indikátorom: 5 0, (A + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. A stupne s celkovým negatívnym stupňom: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Ľahko ťažšie pracovať s titulom, ktoré majú racionálne a iracionálne ukazovatele: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2, 2 3, 5 · 2 - 2 2 - 1, 5, 1 A 1 4 · A 1 2 - 2 · A - 1 6 · B 1 2, X π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.
Ako indikátor môže byť premenná 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 alebo logaritmus X 2 · l g x - 5 · x l g x.
S otázkou, akú mocenské výrazy sme prišli. Teraz sa budeme zaoberať ich konverziou.
Hlavné typy transformácií výkonových výrazov
Po prvé, budeme zvážiť základné transformácie totožnosti výrazov, ktoré možno vykonávať s výkonovými výrazmi.
Príklad 1.
Vypočítajte hodnotu výrazu napájania 2 3 · (4 2 - 12).
Rozhodnutie
Všetky transformácie budeme vykonané v súlade s postupom vykonávania akcií. V tomto prípade začneme s implementáciou činností v zátvorkách: nahradiť stupeň digitálnej hodnoty a vypočítajte rozdiel dvoch čísel. Mať 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 2 3 · (16 - 12) \u003d 2 3 · 4.
Stále musíme nahradiť titul 2 3 Jeho význam 8 a vypočítať prácu 8 · 4 \u003d 32. Tu je naša odpoveď.
Odpoveď: 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 32.
Príklad 2.
Zjednodušte výraz s titulom 3 · A 4 · B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7.
Rozhodnutie
Výraz, ktorý nám dáva, pokiaľ ide o úlohu, obsahuje podobné výrazy, ktoré môžeme viesť: 3 · A 4 · B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7 \u003d 5 · A 4 · B - 7 - 1.
Odpoveď: 3 · A 4 · B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7 \u003d 5 · A 4 · B - 7 - 1.
Príklad 3.
Pripravte si výraz s stupňom 9 - B3 π - 1 2 ako kus.
Rozhodnutie
Predstavte si číslo 9 ako titul 3 2 a aplikujte vzorec skrátenej násobenia:
9 - B3 π - 1 2 \u003d 3 2 - B3 π - 1 2 \u003d \u003d 3 - B3 π - 1 3 + B3 π - 1
Odpoveď: 9 - B3 ~ π - 1 2 \u003d 3 - B3 π - 1 3 + B3 π - 1.
A teraz sa obrátime na analýzu identických transformácií, ktoré môžu byť aplikované presne vo vzťahu k výrazným výrazom.
Pracovať so základom a indikátorom titulu
Titul v základni alebo indikátore môže mať aj čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7 a . Práca s takýmito záznamami je ťažké. Je oveľa jednoduchšie nahradiť výraz na základni stupňa alebo expresie v indikátore identicky rovnaká ako expresia.
Transformácie stupňa a indikátorov sa vykonávajú podľa pravidiel, ktoré nám sú známe oddelene od seba. Najdôležitejšou vecou je, že v dôsledku transformácie je výraz identický s pôvodnou.
Účelom transformácie je zjednodušiť počiatočný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme viedli vyššie, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7, môžete vykonávať akcie na prechod na titul 4 , 1 1 , 3 . Otvorené konzoly môžeme viesť podobné výrazy v dolnej časti (A · (A + 1) - A 2) 2 · (X + 1) a získajte silné vyjadrenie jednoduchšieho typu A2 · (x + 1).
Použite vlastnosti stupňov
Vlastnosti stupňov zaznamenaných vo forme rovnosti sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov s stupňami. Tu sú hlavné z nich A. a B. - Toto sú akékoľvek kladné čísla a R. a S. - Arbilné platné čísla:
Definícia 2.
- r · A S \u003d R + S;
- a R: A S \u003d R - S;
- (A · B) R \u003d A R · B R;
- (A: B) R \u003d A R: B R;
- (a r) s \u003d r · s.
V prípadoch, keď sa zaoberáme prirodzeným, celé číslo, pozitívne ukazovatele stupňa, obmedzenia na číslo A a B môžu byť oveľa menej prísne. Napríklad, ak zvážime rovnosť m · a n \u003d m + nkde M. a N. - prírodné čísla, bude to pravda pre všetky hodnoty a, pozitívne aj negatívne, ako aj pre A \u003d 0.
Je možné aplikovať vlastnosti titulov bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy stupňov pozitívne alebo obsahujú premenné, oblasť prípustných hodnôt je taká, že na ňom sú uvedené iba pozitívne hodnoty. V skutočnosti, v rámci školského programu o matematike, úlohou študenta je vybrať si príslušný majetok a jeho správnu aplikáciu.
Pri príprave na prijatie na univerzity sa môžu vyskytnúť úlohy, v ktorých neprístupné používanie vlastností bude viesť k zúženiu OTZ a ďalších ťažkostí s riešením. V tejto časti budeme analyzovať iba dva takéto prípady. Viac informácií o tejto otázke nájdete v téme "Transformácia výrazov pomocou vlastností stupňov".
Príklad 4.
Predstavte si výraz A 2, 5 · (A 2) - 3: A - 5, 5 vo forme stupňa A..
Rozhodnutie
Začať, používame cvičenie majetok a premeníme druhý faktor na ňom. (A 2) - 3 . Potom použite vlastnosti množenia a rozdelenia stupňov s rovnakou základňou:
a2, 5 · A - 6: A - 5, 5 \u003d A 2, 5 - 6: A - 5, 5 \u003d A - 3, 5: A - 5, 5 \u003d A - 3, 5 - (- 5, \\ t 5) \u003d A2.
Odpoveď: A 2, 5 · (A 2) - 3: A - 5, 5 \u003d A 2.
Transformácia výkonových výrazov podľa vlastnosti stupňov môže byť vyrobená zľava zľava doprava a v opačnom smere.
Príklad 5.
Nájdite hodnotu výrazu výkonu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.
Rozhodnutie
Ak aplikujeme rovnosť (A · b) r \u003d a r · b r, priamo doľava, potom dostaneme produkt formulára 3 · 7 1 3 · 21 2 3 a ďalších 21 1 3 · 21 2 3. Presunutie indikátorov pri násobení stupňov s rovnakými bázami: 21 1 3 · 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Existuje ďalší spôsob, ako vykonať konverziu:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 · 3 2 3,7 1 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 \u003d 3 1,7 1 \u003d 21
Odpoveď: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21
Príklad 6.
Výrazový výraz je uvedený A 1, 5 - A 0, 5 - 6Zadajte novú premennú T \u003d A 0, 5.
Rozhodnutie
Predstavte si titul A 1, 5 ako A 0, 5 · 3 . Použite vlastnosť stupňa do tohto stupňa (a r) s \u003d a r · Vpravo hore a získajte (A 0, 5) 3: A 1, 5 - A 0, 5 - 6 \u003d (A 0, 5) 3 - A 0, 5 - 6. V výslednom vyjadrení môžete jednoducho zadať novú premennú. T \u003d A 0, 5: T 3 - T - 6.
Odpoveď: T 3 - T - 6.
Transformácia frakcií obsahujúcich stupne
Zvyčajne sa zaoberáme dvomi variantmi výkonových výrazov s frakciami: expresia je frakcia so stupňom alebo obsahuje takúto frakciu. Tieto výrazy uplatňujú všetky hlavné transformácie frakcií bez obmedzení. Môžu byť znížené, viesť k novému denominátoru, pracovať samostatne s číslom a menovateľom. I ilustrujte to príkladmi.
Príklad 7.
Zjednodušte expresiu výkonu 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2.
Rozhodnutie
Zaoberáme sa zlomkou, takže vykonávame transformácie v čísla a v denominátori:
3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · X 2 - 3 - 3 · X 2 \u003d 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - X2 \u003d \u003d 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - X2 \u003d 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2
Poloha mínus pred frakciou, aby sa zmenil znak denominátora: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2
Odpoveď: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 \u003d - 12 2 + x 2
Frakcie obsahujúce stupne sú uvedené novým menovateľom presne tak, ako aj racionálnym frakciám. Ak to chcete urobiť, musíte nájsť ďalší multiplikátor a znásobiť nuterátor a menovateľ frakcie. Je potrebné vybrať ďalší faktor takým spôsobom, že sa nevzťahuje na nulu za akýchkoľvek hodnôt premenných z nepárnych premenných pre pôvodný výraz.
Príklad 8.
Dajte frakcie novým menovateľom: A) A + 1 A 0, 7 na denominátor A., b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y1 6 + 4 · y13 až denominátor x + 8 · y 1 2.
Rozhodnutie
a) Vyberieme nám multiplikátor, ktorý nám umožní priniesť nový menovateľ. 0, 7 · A 0, 3 \u003d A 0, 7 + 0, 3 \u003d A,preto ako ďalší multiplikátor A 0, 3. Plocha prípustných hodnôt premennej A obsahuje mnoho všetkých pozitívnych platných čísel. V tejto oblasti A 0, 3 Prístup k nule.
Vykonajte násobenie čitateľa a menovateľ frakcie A 0, 3:
a + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A 0, 7 · A 0, 3 \u003d A + 1 · A 0, 3 A
b) venovať pozornosť menovateľovi:
x2 3 - 2 · X 1 3 · Y1 6 + 4 · 1 3 \u003d X 1 3 2 - X13 · 2 · Y1 6 + 2 · Y 1 6 2
Vynásobte tento výraz na x 1 3 + 2 · y 1 6, získavame sumu kocky x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. X + 8 · y 1 2. Toto je náš nový menovateľ, ku ktorému musíme priniesť pôvodnú frakciu.
Tak sme našli ďalší multiplikátor x 1 3 + 2 · y 1 6. Na plochu prípustných hodnôt premenných X. a y. Výraz x 1 3 + 2 · y 1 6 sa nezníži na nulu, takže môžeme znásobiť nuterátor a menovateľ frakcie:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2
Odpoveď: a) A + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A, B) 1 x 2 3 - 2 · X 1 3 · Y1 6 + 4 · Y13 \u003d X 1 3 + 2 · Y 1 6 x + 8 · y 1 2.
Príklad 9.
Znížte frakciu: a) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3, b) A 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2.
Rozhodnutie
a) Používame najväčší spoločný menovateľ (uzol), na ktorý sa môže znížiť čitateľ a menovateľ. Pre čísla 30 a 45 je to 15. Môžeme tiež znížiť x 0, 5 + 1 a na x + 2 · x 1 1 3 - 5 3.
Dostaneme:
30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1)
b) Tu je prítomnosť rovnakých multiplikátorov zrejmá. Budete musieť vykonať niektoré konverzie, aby ste získali rovnaké multiplikátory v čitateľovi a menovateľovi. Ak to chcete urobiť, položte denominátor pomocou štvorcového rozdielu vzorec:
1 4 - B14 A 1 2 - B12 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 2 - B 1 2 2 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 + B 1 4 · A 1 4 - B 1 4 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4
Odpoveď:a) 30 · x 3 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · X 33 · (x 0, 5 + 1), b) A 1 4 - B1 4 A 1 2 - B1 2 \u003d 1 A 1 4 + B14.
Základné účinky s frakciami zahŕňajú prináša nové menovateľ a rezanie frakcií. Obe činnosti sa vykonávajú v súlade s viacerými pravidlami. Pri prvom pridávaní a odčítaní frakcií sa frakcie podávajú spoločným menovateľom, potom sa s číslicami uskutočňujú účinky (pridanie alebo odčítanie). Dennominátor zostáva rovnaký. Výsledkom našich činov je nová frakcia, ktorej čitateľ je produktom nuterátorov a menovateľ je produktom denominátorov.
Príklad 10.
Vykonajte účinky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 12.
Rozhodnutie
Začnime s odčítaním frakcií, ktoré sú umiestnené v zátvorkách. Dávame im všeobecný menovateľ:
x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1
Prihlásiť sa čísla:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - X1 2 - 1 · X 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · X 1 2 - 1 · 1 x 1 2 \u003d X 1 2 + 1 2 - X 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · X 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2
Teraz vynásobíme frakcie:
4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2
Znížíme sa na titul x 1 2., Získame 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1.
Okrem toho je možné zjednodušiť expresiu výkonu v denominátori, pomocou štvorcového vzorca: štvorce: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 \u003d 4 x 1 2 2 - 1 2 \u003d 4 x - 1.
Odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 x - 1
Príklad 11.
Zjednodušte expresiu výkonu X 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3.
Rozhodnutie
Môžeme znížiť zlomok (x 2, 7 + 1) 2. Získame frakciu x 3 4 x - 5 8 · x 2, 7 + 1.
Pokračujeme v transformovaní stupňov x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Teraz môžete použiť obranu stupňov s rovnakými bázami: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 1 1 8 · 1 x 2, 7 + 1.
Choďte z poslednej práce na frakciu x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Odpoveď: X 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Multiplery s negatívnymi indikátormi Vo väčšine prípadov sú vhodnejšie preniesť z numeratora k denominátorovi a dozadu, zmenu označenia indikátora. Táto akcia vám umožňuje zjednodušiť ďalšie riešenie. Uveďte príklad: Expresia výkonu (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 môže byť nahradený x 3 · (x + 1) 0, 2.
Transformácia výrazov s koreňmi a stupňami
Existujú významné výrazy v úlohách, ktoré obsahujú nielen stupne s frakčnými ukazovateľmi, ale aj korene. Takéto výrazy sú žiaduce priviesť len do koreňov alebo len do stupňov. Prenos k stupňom je uprednostňovaný, pretože sú ľahšie pracovať s nimi. Takýto prechod je obzvlášť výhodný, keď premenné OTZ pre pôvodný výraz umožňuje vymeniť korene podľa stupňov bez toho, aby sa potreba otočila na modul alebo rozdeliť OTZ do niekoľkých medzier.
Príklad 12.
Pripravte sa výraz x 1 9 · x · x 3 6 ako titul.
Rozhodnutie
Plocha prípustných variabilných hodnôt X. Dvoma nerovnosťami x ≥ 0. a x · x 3 ≥ 0, ktoré nastaví mnoho [ 0 , + ∞) .
Na tejto množine máme právo prejsť z koreňov do stupňov:
x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Použitie vlastností stupňov zjednodušuje výsledný výraz výkon.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3
Odpoveď: X 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 3.
Transformácia stupňov s premennými v indikátore
Údaje o konverzii jednoducho jednoducho produkujú, ak sú kompetentne používajú vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 \u003d 0.
Môžeme nahradiť titul v ukazovateľoch, ktorého existuje súčet nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to môže byť vykonané s prvým a posledným termínom ľavej časti výrazu:
5 2 · X · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 x · 7 - 1 \u003d 0, 5 · 5 2 · X - 3 · 5 x 7 x - 2 · 7 2 · x \u003d 0.
Teraz zdieľajte obe časti rovnosti 7 2 · x. Tento výraz na premennej OTZ X prijíma iba pozitívne hodnoty:
5 · 5 - 3 · 5 x 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0 7 2 · x, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x 7 2 · X - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0.
Znížujeme frakcie s stupňmi, dostaneme: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 \u003d 0.
Nakoniec, pomer stupňov s rovnakými ukazovateľmi je nahradený stupňami vzťahov, čo vedie k rovnici 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0, čo zodpovedá 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0.
Predstavujeme novú premennú T \u003d 5 7 x, ktorá znižuje riešenie počiatočnej indikatívnej rovnice k roztoku štvorcovej rovnice 5 · T2 - 3 · T - 2 \u003d 0.
Transformácia výrazov s stupňami a logaritmami
V úlohách sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce stupeň a logarithm. Príkladom takýchto výrazov môže byť: 1 4 1 - 5 · log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · Log 5 3. Transformácia takýchto výrazov sa uskutočňuje s použitím vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne detailnili v téme "Transformácia logaritmických výrazov".
Ak všimnete chybu v texte, vyberte ho a stlačte kláves CTRL + ENTER
Formulárne stupne Používané v procese skratky a zjednodušiť zložité výrazy pri riešení rovníc a nerovností.
Číslo c. je n.Malý stupeň a. kedy:
Operácie s stupňami.
1. Vynásobte titul rovnakým základom, ich indikátory zložia:
m.· A n \u003d a m + n.
2. V deliacich stupňoch na rovnakom základe sa ich ukazovatele odpočítajú:
3. Stupeň práce 2 alebo viacerých multiplikátorov sa rovná produktu týchto faktorov:
(ABC ...) n \u003d a n · B n · c n ...
4. Stupeň frakcie sa rovná pomeru stupňov rozdelenia a deliča:
(A / b) n \u003d a n / b n.
5. Stupeň do tej miery, ukazovatele stupňov sú predĺžené:
(a m) n \u003d m n.
Každý vyššie uvedený vzorec je pravdivý v smeroch zľava doprava a naopak.
napríklad. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 32 · 52/15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.
Koreňové operácie.
1. Koreň práce viacerých faktorov sa rovná produktu koreňov týchto faktorov:
2. Koreň vzťahu sa rovná postoji rozdelenia a deliča koreňov:
3. Keď je root postavený, je v tomto stupni spravodlivo vybudovaný.
4. Ak zvýšite stupeň koreňa n. Raz a zároveň stavať n.Stupeň podávania, hodnota koreňa sa nezmení:
5. Ak sa zmenšíte v koreňovom stupni n. raz a zároveň extrahuje koreň n.Stupeň z podceného čísla, hodnota koreňa sa nezmení:
S negatívnym ukazovateľom.Stupeň určitého čísla s nesporným (celom) indikátorom sa stanoví ako jednotka rozdelená stupňom rovnakého čísla s indikátorom rovnajúcou sa absolútnej hodnote nepozitívneho ukazovateľa:
Vzorec m.: a n \u003d a m - n možno použiť nielen na m.> n. ale tiež m.< n..
napríklad. a. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.
Na vzorec m.: a n \u003d a m - n sa stal spravodlivým m \u003d N.Je potrebná prítomnosť nulového stupňa.
S nulovým indikátorom.Stupeň ľubovoľného čísla, ktorý nie je rovný nule, s nulovým indikátorom sa rovná jednej.
napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stupeň s frakčným indikátorom.Vytvorenie platného čísla ale v stupni m / N., je potrebné extrahovať koreň n.stupeň od m.Stupeň tohto čísla ale.