Znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov

Najprv si predstavme kritérium podobnosti pre pravouhlé trojuholníky.

Veta 1

Znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov: dva pravouhlé trojuholníky sú podobné, ak majú jeden rovnaký ostrý uhol (obr. 1).

Obrázok 1. Podobné pravouhlé trojuholníky

Dôkaz.

Uvažujme, že $ \ uhol B = \ uhol B_1 $. Pretože trojuholníky sú obdĺžnikové, potom $ \ uhol A = \ uhol A_1 = (90) ^ 0 $. Preto sú podobné v prvom znaku podobnosti trojuholníkov.

Veta je dokázaná.

Veta o výške v pravom trojuholníku

Veta 2

Výška pravouhlého trojuholníka od vrcholu pravý uhol, rozdeľuje trojuholník na dva podobné pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý je podobný tomuto trojuholníku.

Dôkaz.

Dajme nám pravouhlý trojuholník $ ABC $ s pravým uhlom $ C $. Nakreslíme výšku $ CD $ (obr. 2).

Obrázok 2. Ilustrácia vety 2

Dokážme, že trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ sú podobné trojuholníku $ ABC $ a že trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ sú si navzájom podobné.

Pretože $ \ angle ADC = (90) ^ 0 $, trojuholník $ ACD $ je obdĺžnikový. Trojuholníky $ ACD $ a $ ABC $ majú spoločný uhol $ A $, preto podľa vety 1 sú trojuholníky $ ACD $ a $ ABC $ podobné.

Pretože $ \ uhol BDC = (90) ^ 0 $, trojuholník $ BCD $ je obdĺžnikový. Trojuholníky $ BCD $ a $ ABC $ majú spoločný uhol $ B $, preto podľa vety 1 sú trojuholníky $ BCD $ a $ ABC $ podobné.

Uvažujme teraz o trojuholníkoch $ ACD $ a $ BCD $

\ [\ uhol A = (90) ^ 0- \ uhol ACD \] \ [\ uhol BCD = (90) ^ 0- \ uhol ACD = \ uhol A \]

Podľa vety 1 sú preto trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ podobné.

Veta je dokázaná.

Proporčný priemer

Veta 3

Výška pravouhlého trojuholníka, čerpaného z vrcholu pravého uhla, je proporcionálnym priemerom segmentov, na ktoré výška delí preponu tohto trojuholníka.

Dôkaz.

Podľa vety 2 vieme, že trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ sú podobné

Veta je dokázaná.

Veta 4

Noha pravouhlého trojuholníka je priemerom úmerným medzi preponou a segmentom prepony uzavretým medzi nohou a výškou vychádzajúcou z vrcholu uhla.

Dôkaz.

V dôkaze vety použijeme zápis z obrázku 2.

Podľa vety 2 vieme, že trojuholníky $ ACD $ a $ ABC $ sú podobné

Veta je dokázaná.

Znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov

Najprv si predstavme kritérium podobnosti pre pravouhlé trojuholníky.

Veta 1

Znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov: dva pravouhlé trojuholníky sú podobné, ak majú jeden rovnaký ostrý uhol (obr. 1).

Obrázok 1. Podobné pravouhlé trojuholníky

Dôkaz.

Uvažujme, že $ \ uhol B = \ uhol B_1 $. Pretože trojuholníky sú obdĺžnikové, potom $ \ uhol A = \ uhol A_1 = (90) ^ 0 $. Preto sú podobné v prvom znaku podobnosti trojuholníkov.

Veta je dokázaná.

Veta o výške v pravom trojuholníku

Veta 2

Výška pravouhlého trojuholníka, nakreslená z vrcholu pravého uhla, rozdeľuje trojuholník na dva podobné pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý je podobný tomuto trojuholníku.

Dôkaz.

Dajme nám pravouhlý trojuholník $ ABC $ s pravým uhlom $ C $. Nakreslíme výšku $ CD $ (obr. 2).

Obrázok 2. Ilustrácia vety 2

Dokážme, že trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ sú podobné trojuholníku $ ABC $ a že trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ sú si navzájom podobné.

Pretože $ \ angle ADC = (90) ^ 0 $, trojuholník $ ACD $ je obdĺžnikový. Trojuholníky $ ACD $ a $ ABC $ majú spoločný uhol $ A $, preto podľa vety 1 sú trojuholníky $ ACD $ a $ ABC $ podobné.

Pretože $ \ uhol BDC = (90) ^ 0 $, trojuholník $ BCD $ je obdĺžnikový. Trojuholníky $ BCD $ a $ ABC $ majú spoločný uhol $ B $, preto podľa vety 1 sú trojuholníky $ BCD $ a $ ABC $ podobné.

Uvažujme teraz o trojuholníkoch $ ACD $ a $ BCD $

\ [\ uhol A = (90) ^ 0- \ uhol ACD \] \ [\ uhol BCD = (90) ^ 0- \ uhol ACD = \ uhol A \]

Podľa vety 1 sú preto trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ podobné.

Veta je dokázaná.

Proporčný priemer

Veta 3

Výška pravouhlého trojuholníka, čerpaného z vrcholu pravého uhla, je proporcionálnym priemerom segmentov, na ktoré výška delí preponu tohto trojuholníka.

Dôkaz.

Podľa vety 2 vieme, že trojuholníky $ ACD $ a $ BCD $ sú podobné

Veta je dokázaná.

Veta 4

Noha pravouhlého trojuholníka je priemerom úmerným medzi preponou a segmentom prepony uzavretým medzi nohou a výškou vychádzajúcou z vrcholu uhla.

Dôkaz.

V dôkaze vety použijeme zápis z obrázku 2.

Podľa vety 2 vieme, že trojuholníky $ ACD $ a $ ABC $ sú podobné

Veta je dokázaná.

Ciele lekcie:

1. zaviesť koncept proporcionálneho priemeru (geometrického priemeru) dvoch segmentov;
2. zvážte problém proporcionálnych segmentov pravouhlého trojuholníka: vlastnosť výšky pravouhlého trojuholníka vychádzajúceho z vrcholu pravého uhla;
3. formovať zručnosti študentov pri používaní preberanej témy v procese riešenia problémov.

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

Plán:

1. Organizačný moment.
2. Aktualizácia znalostí.
3. Štúdium vlastnosti výšky pravouhlého trojuholníka vychádzajúceho z vrcholu pravého uhla:
   – prípravná fáza;
   - úvod;
   - asimilácia.
4. Zavedenie konceptu priemeru úmerného dvom segmentom.
5. Zvládnutie konceptu priemeru úmerného dvom segmentom.
6. Dôkaz o následkoch:
   - výška pravouhlého trojuholníka, nakresleného z vrcholu pravého uhla, je priemerná proporcionálna medzi segmentmi, do ktorých je prepona delená touto výškou;
   - noha pravouhlého trojuholníka je priemerom úmerným medzi preponou a segmentom prepony uzavretým medzi nohou a výškou.
7. Riešenie problémov.
8. Zhrnutie.
9. Nastavenie domácej úlohy.

Počas vyučovania

I. ORGMOMENT

- Ahoj, posaďte sa. Sú všetci pripravení na lekciu?

Začíname

II. AKTUALIZÁCIA VEDOMOSTÍ

- S čím dôležitým matematický koncept stretli ste sa na predošlých hodinách? ( s konceptom podobnosti trojuholníkov)

- Pamätajme si, ktoré dva trojuholníky sa nazývajú podobné? (dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké, a strany jedného trojuholníka sú úmerné podobným stranám druhého trojuholníka)

- Čo používame na dokázanie podobnosti dvoch trojuholníkov? (

- Formulovať tieto znaky (sformulujte tri kritériá pre podobnosť trojuholníkov)

III. ŠTUDOVANIE VLASTNOSTÍ VÝŠKY RUČNÍKOVÉHO trojuholníka nakresleného Z vrchu PRAVÉHO UHLA

a) prípravná fáza

- Chlapci, pozrite sa na prvú snímku. ( Aplikácia) Tu sú dva pravouhlé trojuholníky - a. a - výšky, resp. .

Úloha 1.a) Zistite, či a sú podobné.

- Čo používame na dokázanie podobnosti trojuholníkov? ( znaky podobnosti trojuholníkov)

(prvé znamenie, pretože v probléme nie je nič známe o stranách trojuholníkov)

... (Dva páry: 1.∟B = ∟B1 (rovné čiary), 2.∟A = ∟A 1)

- Urobte záver. ( podľa prvého znaku podobnosti trojuholníkov ~)

Úloha 1.b) Zistite, či a sú podobné.

- Aký znak podobnosti použijeme a prečo? (prvé znamenie, pretože v probléme nie je nič známe o stranách trojuholníkov)

- Koľko párov rovnaké uhly musíme nájsť? Nájdite tieto páry (Pretože trojuholníky sú obdĺžnikové, potom stačí jeden pár rovnakých uhlov: ∟A = ∟A 1)

- Urobte záver. (podľa prvého znaku podobnosti trojuholníkov usudzujeme, že tieto trojuholníky sú podobné).

Výsledkom konverzácie je, že snímka 1 vyzerá takto:

b) objavenie vety

Úloha 2.

- Zistite, či a sú podobné. Výsledkom rozhovoru sú odpovede, ktoré sa odrážajú na snímke.

- Obrázok tomu nasvedčoval. Použili sme túto mieru, keď sme odpovedali na otázky úloh? ( Nie, nepoužili sme)

- Chlapci, urobte záver: do ktorých trojuholníkov delí pravouhlý trojuholník výšku vytiahnutú z vrcholu pravého uhla? (záver)

-Ponúka sa otázka: budú tieto dva pravouhlé trojuholníky, do ktorých výška rozdeľuje pravouhlý trojuholník, navzájom podobné? Pokúsme sa nájsť páry rovnakých uhlov.

Výsledkom konverzácie je vytvorenie záznamu:

- A teraz urobme úplný záver. ( ZÁVER: výška pravouhlého trojuholníka, nakreslená z vrcholu pravého uhla, rozdeľuje trojuholník na dva Páči sa mi to

- To. sformulovali sme a dokázali vetu o vlastnosti výšky pravouhlého trojuholníka.

Vytvorme štruktúru vety a urobme kresbu. Čo je uvedené vo vete a čo je potrebné dokázať? Študenti píšu do zošita:

- Dokážme prvú položku vety pre nový výkres. Akú funkciu podobnosti použijeme a prečo? (Prvá, pretože vo vete nie je nič známe o stranách trojuholníkov)

- Koľko párov rovnakých uhlov musíme nájsť? Nájdite tieto páry. (V tomto prípade stačí jeden pár: ∟A-bežné)

- Urobte záver. Trojuholníky sú podobné. V dôsledku toho je zobrazená vzorka formulácie vety

- Druhý a tretí bod si doma zapíšte.

c) asimilácia vety

- Takže znova formuluj vetu (Výška pravouhlého trojuholníka, nakreslená z vrcholu pravého uhla, rozdeľuje trojuholník na dva Páči sa mi to pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý je podobný tomuto)

- Koľko párov podobných trojuholníkov v konštrukcii „v pravouhlom trojuholníku je výška čerpaná z vrcholu pravého uhla“ umožňuje táto veta nájsť? ( Tri páry)

Študentom je ponúknutá nasledujúca úloha:

IV. ÚVOD KONCEPCIE PRIEMERNÉHO PROPORCIONÁLNEHO DVEHO NOHY

- A teraz s vami preštudujeme nový koncept.

Pozor!

Definícia. Oddiel XY zavolal priemerný proporcionálny (geometrický priemer) medzi segmentmi AB a CD, ak

(napísať do zošita).

V. ZADANIE KONCEPCIE PRIEMERNÉHO PROPORCIONÁLNEHO DVOCH INTERAKCIÍ

- Teraz sa obrátime na nasledujúci snímok.

Cvičenie 1. Zistite dĺžku priemeru proporcionálnych segmentov MN a KP, ak MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Čo je dané problémom? ( Dva segmenty a ich dĺžky: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Čo potrebujete nájsť? ( Dĺžka priemeru je úmerná týmto segmentom)

- Aký je vzorec pre proporcionálny priemer a ako ho zistíme?

(Údaje nahradíme do vzorca a zistíme dĺžku priemernej rekvizity.)

Úloha číslo 2. Nájdite dĺžku segmentu AB, ak priemerný pomer k segmentom AB a CD je 90 cm a CD = 100 cm

- Čo je uvedené v probléme? (dĺžka segmentu CD = 100 cm a priemerný pomer k segmentom AB a CD je 90 cm)

- Čo musíte v probléme nájsť? ( Dĺžka segmentu AB)

- Ako problém vyriešime? (Zapíšeme vzorec pre priemer proporcionálnych segmentov AB a CD, vyjadríme z neho dĺžku AB a nahradíme problémové údaje.)

Vi. ZÁVER NÁSLEDKOV

- Výborne, chlapci. Teraz sa vráťme k podobnosti trojuholníkov, ktoré sme dokázali vo vete. Znovu formuluj vetu. ( Výška pravouhlého trojuholníka, nakreslená z vrcholu pravého uhla, rozdeľuje trojuholník na dva Páči sa mi to pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý je podobný danému)

- Najprv použime podobnosť trojuholníkov a. Čo z toho vyplýva? ( Podľa definície podobnosti sú strany úmerné podobnostiam)

- Akú rovnosť dosiahneme pri použití hlavnej vlastnosti proporcie? ()

- Express CD a urobte záver (;.

Výkon: výška pravouhlého trojuholníka vychádzajúceho z vrcholu pravého uhla je proporcionálny priemer medzi segmentmi, do ktorých je prepona delená touto výškou)

- A teraz dokážte, že noha pravouhlého trojuholníka je priemerom úmerným medzi preponou a segmentom prepony uzavretým medzi nohou a výškou. Nájdeme z - ... segmentov, na ktoré je prepona rozdelená o túto výšku )

Noha pravouhlého trojuholníka je priemerom úmerným medzi ... (- ... prepona a segment prepony uzavretý medzi touto nohou a výškou )

- Kde použijeme naučené tvrdenia? ( Pri riešení problémov)

IX. DOMÁCIA ÚLOHA

d / s:Č. 571, č. 572 (a, d), samostatná práca v zošite, teória.

Lekcia 40. Proporcionálne segmenty čiar v pravom trojuholníku. C. b. a. h. C. bc. H. ac. A. B. Výška pravouhlého trojuholníka, ťahaného z vrcholu pravého uhla, rozdeľuje trojuholník na 2 podobné pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý je podobný tomuto trojuholníku. Znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov. Dva pravouhlé trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaký ostrý uhol. Segment XY sa nazýva proporcionálny priemer (geometrický priemer) pre segmenty AB a CD, ak ide o vlastnosť 1. Výška pravouhlého trojuholníka, odvodeného z vrcholu pravého uhla, je proporcionálnym priemerom medzi priemetmi nohy do prepony. Vlastnosť 2. Noha pravouhlého trojuholníka je priemerom úmerným medzi preponou a priemetom tejto nohy na preponu.

Geometria známka 8

„Riešenie problémov na Pytagorovej vete“ - rovnoramenný trojuholník ABC. Praktická aplikácia Pytagorovej vety. AVSD je štvoruholník. Štvorcová plocha. Nájsť lietadlo. Dôkaz. Základne rovnoramenného lichobežníka. Zamyslime sa nad Pytagorovou vetou. Oblasť štvoruholníka. Obdĺžnikové trojuholníky. Pytagorova veta. Námestie Hypotenuse sa rovná súčtuštvorce nôh.

„Nájdenie oblasti rovnobežníka“ - Základňa. Výška. Stanovenie výšky rovnobežníka. Známky rovnosti pravouhlých trojuholníkov. Oblasť rovnobežníka. Nájdite oblasť trojuholníka. Vlastnosti oblastí. Ústne cvičenia. Nájdite oblasť rovnobežníka. Výšky rovnobežníka. Nájdite obvod štvorca. Plocha trojuholníka. Nájdite plochu námestia. Nájdite oblasť obdĺžnika. Štvorcová plocha.

„Štvorec“ Grade 8 “- Čierny štvorec. Úlohy pre ústna práca po obvode námestia. Štvorcová plocha. Známky štvorca. Námestie je medzi nami. Štvorec je obdĺžnik so všetkými stranami rovnakými. Námestie. Taška so štvorcovou základňou. Ústne úlohy. Koľko štvorcov je uvedených na obrázku. Štvorcové vlastnosti. Bohatý obchodník. Úlohy na ústne práce na ploche štvorca. Obvod štvorca.

„Určenie osovej symetrie“ - Body ležiace na tej istej kolmici. Nakreslite dve rovné čiary. Konštrukcia. Vykreslite body. Promptný Postavy bez osová symetria... Oddiel. Chýbajúce súradnice. Obrázok. Tvary s viac ako dvoma osami symetrie. Symetria. Symetria v poézii. Stavať trojuholníky. Osi symetrie. Vytváranie segmentov. Vynesenie bodu. Tvary s dvoma osami symetrie. Ľudia. Trojuholníky. Proporcionalita.

„Definícia podobných trojuholníkov“ - mnohouholníky. Proporcionálne segmenty čiar. Pomer plôch podobných trojuholníkov. Dva trojuholníky sa nazývajú podobné. Podmienky. Zostrojte trojuholník z daných dvoch uhlov a úsečku na vrchole. Povedzme, že musíte určiť vzdialenosť od stĺpika. Tretí znak podobnosti trojuholníkov. Postavme nejaký druh trojuholníka. ABC. Trojuholníky ABC a ABC sú na troch stranách rovnaké. Stanovenie výšky objektu.

„Riešenie Pytagorovej vety“ - Časti okien. Najjednoduchší dôkaz. Hammurabi. Diagonálne. Kompletný dôkaz. Dôkaz na odčítanie. Pytagorejci. Dôkaz metódou rozšírenia. História vety. Priemer. Dôkaz metódou komplementu. Epsteinov dôkaz. Kantor. Trojuholníky. Nasledovníci. Aplikácie Pythagorovej vety. Pytagorova veta. Vyhlásenie vety. Perigalov dôkaz. Aplikácia vety.

Dnes pozývame vašu pozornosť na ďalšiu prezentáciu o úžasnom a tajomnom predmete - geometrii. V tejto prezentácii vám predstavíme novú nehnuteľnosť geometrických tvarov najmä s konceptom proporcionálnych úsečiek v pravouhlých trojuholníkoch.

Najprv si musíte pamätať, čo je to trojuholník? Toto je najjednoduchší mnohouholník pozostávajúci z troch vrcholov spojených tromi úsečkami. Obdĺžnikový trojuholník sa nazýva trojuholník, v ktorom jeden z uhlov má 90 stupňov. Podrobnejšie ste sa s nimi už zoznámili v našom predchádzajúcom učebné materiály predstavený vašej pozornosti.

Keď sa vrátime k našej dnešnej téme, v poradí označíme, že výška pravouhlého trojuholníka, nakreslená z uhla 90 stupňov, ho rozdeľuje na dva trojuholníky, ktoré sú si navzájom podobné aj s originálom. Všetky obrázky a grafy, ktoré vás zaujímajú, sú uvedené v navrhovanej prezentácii a odporúčame vám ich kontaktovať spolu s popísaným vysvetlením.

Grafický príklad vyššie uvedenej tézy je možné vidieť na druhom snímku. Na základe prvého znaku podobnosti trojuholníkov sú trojuholníky podobné, pretože majú dva rovnaké uhly. Ak špecifikujete podrobnejšie, potom výška znížená na preponu s ním zviera pravý uhol, to znamená, že už existujú rovnaké uhly a každý z vytvorených uhlov má tiež jeden spoločný uhol ako počiatočný. Výsledkom sú dva uhly, ktoré sú si navzájom rovnaké. To znamená, že trojuholníky sú podobné.

Označme tiež, čo znamená pojem „proporcionálny priemer“ alebo „geometrický priemer“? Toto je určitý segment XY pre segmenty AB a CD, keď sa rovná druhej odmocnine súčinu ich dĺžok.

Z toho tiež vyplýva, že noha pravouhlého trojuholníka je geometrický priemer medzi preponou a priemetom tejto nohy na preponu, to znamená druhú nohu.

Ďalšou z vlastností pravouhlého trojuholníka je, že jeho výška nakreslená pod uhlom 90 ° je priemerným pomerom medzi priemetmi nôh na preponu. Ak sa obrátite na prezentáciu, ktorá vám bola predložená, a ďalšie materiály, uvidíte, že existuje dôkaz o tejto téze vo veľmi jednoduchej a prístupnej forme. Dávnejšie sme už dokázali, že výsledné trojuholníky sú si navzájom podobné a s pôvodným trojuholníkom. Potom pomocou pomeru nôh týchto geometrických útvarov prídeme na to, že výška pravouhlého trojuholníka je priamo úmerná druhej odmocnine súčinu segmentov, ktoré boli vytvorené v dôsledku zníženia výšky z pravého uhla pôvodného trojuholníka.

Posledná v prezentácii naznačila, že noha pravouhlého trojuholníka je geometrickým priemerom prepony a jej segmentom umiestneným medzi nohou a výškou nakresleným z uhla 90 stupňov. Tento prípad by sa mal zvážiť zo strany, že uvedené trojuholníky sú si navzájom podobné a nohu jedného z nich získate preponou druhého. Podrobnejšie sa s tým však zoznámite štúdiom navrhovaných materiálov.