Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 0. Toto je jedna zo základných osí geometrie euklidu. Je to táto geometria, ktorá študuje školákov. Geometria určuje veda, ktorá študuje priestorové formy reálneho sveta.

Čo podnietilo staroveké Grécie na rozvoj geometrie? Potreba merať polia, lúky - časti zemského povrchu. Zároveň sa starí Gréci vzali, že povrch Zeme je horizontálny, byt. Berúc do úvahy tento predpoklad, axiómy euklidu, vrátane súčtu vnútorných rohov trojuholníka v 180 0, boli vytvorené.

Pod Axiomom znamená ustanovenie, ktoré nevyžaduje dôkazy. Ako potrebujete pochopiť? Je vyjadrená želaním, ktorá vyhovuje človeku, a ďalej je potvrdené ilustráciami. Ale všetko, čo nie je overená - fikcia, čo nie je v skutočnosti.

Podnik povrchový povrch Horizontálne, staroveké Gréci automaticky prijali tvar zemského bytu, ale je to iná - sférická. Neexistujú žiadne horizontálne roviny a rovné čiary v prírode, pretože gravitačné twists priestor. Priame riadky a horizontálne lietadlá sú k dispozícii len v ľudskom mozgu.

Preto geometria euklidu, vysvetlenie priestorových foriem fiktívny svetje simulačná kópia, ktorá nemá originál.

Jeden z axiom euklidu uvádza, že súčet vnútorných rohov trojuholníka je 180 0. V skutočnosti, v skutočnom priestore twist, alebo na sférickom povrchu Zeme, súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy väčšia ako 180 0.

Tvrdíme sa tak. Akýkoľvek poludník na svete sa pretína s rovníkom v uhle 90 0. Ak chcete získať trojuholník, musíte sa odkloniť od poludníka do iného poludníka. Súčet rohov trojuholníka medzi meridiánmi a stranou rovníka bude 180 0. Ale stále to bude roh pólu. Výsledkom je, že súčet všetkých uhlov bude viac ako 180 0.

Ak sú strany prekrížené v uhle 90 °, potom súčet vnútorných uhlov takéhoto trojuholníka bude 270 0. Dva meridián, pretínajúci sa s rovníkom v pravom uhle v tomto trojuholníku, bude paralelne so sebou, a na póle, pretínajúce sa navzájom v uhle 90 °, sa stáva kolmou. Ukazuje sa, dvaja paralelné čiary V tej istej rovine nielen pretína, ale môžem byť na póle kolmé.

Samozrejme, strany takéhoto trojuholníka nebudú priame čiary, ale konvexným, opakujúcim sa sférický tvar glóbus. Ale len taký skutočný svet priestoru.

Geometria reálneho priestoru, berúc do úvahy jeho zakrivenie uprostred XIX storočia. Vyvinutý nemecký matematik B. Riman (1820-1866). Ale nehovoria školské školy.

Tak, geometria EUCLIDOVA, pričom tvar zemského plochu s horizontálnym povrchom, ktorý nie je naozaj nie, je simulárny. Nootik - Riemann Geometria, ktorá berie do úvahy zakrivenie priestoru. Súčet vnútorných rohov trojuholníka je väčšia ako 180 0.

Trojuholník je polygón s tromi stranami (tri uhol). Najčastejšie sú strany označované malými písmenami zodpovedajúcimi veľké písmenáktoré označujú opačné vrcholy. V tomto článku sa zoznámili s typmi týchto geometrické číslaVeta, ktorá určuje, čo je súčet rohov trojuholníka rovná.

Typy rohov

Rozlišujú sa nasledujúce typy mnohouholníkov s tromi vrcholmi:

• akútny skutok, v ktorom sú všetky rohy ostré;
• obdĺžnikové, ktoré majú jeden priamy uhol, s jej formuláciami, sa nazývajú kategórie a strana, ktorá je umiestnená naproti priamemu rohu, sa nazýva hyptootense;
• hlúpy, keď jeden;
• isovceles, v ktorých sú dve strany rovnaké, a sú nazývané bokou a tretí - základňa trojuholníka;
• rovnako tak, že majú všetky tri rovnaké strany.

Vlastnosť

Prideliť hlavné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre každý typ trojuholníka:

• naopak, väčšina strán je vždy väčší uhol a naopak;
• oproti rovnakej veľkosti strán rovnaké uhly, a naopak;
• akýkoľvek trojuholník má dva ostré rohy;
• vonkajší uhol v porovnaní s akýmkoľvek vnútorným uhlom, ktorý nesúvisí s ním;
• množstvo dvoch uhlov je vždy menej ako 180 stupňov;
• vonkajší uhol sa rovná súčtu ostatných dvoch uhlov, ktoré nie sú s ním prepojené.

Veta na súčet rohov trojuholníka

Theorem tvrdí, že ak pridáte všetky uhly daného geometrického tvaru, ktorý sa nachádza na euklidovskej rovine, potom ich množstvo bude 180 stupňov. Pokúsme sa dokázať túto teorem.

Dovoľte nám, aby sme mali svojvoľný trojuholník s vrcholmi CMN.

Prostredníctvom vrcholu bude CN prenášať (stále nazývaný Direct Euclidea Direct). Na to poznamenávame bod a takým spôsobom, že bod K a A rôznej strany Priameho MN. Získame rovnaké uhly AMN a KNM, ktoré sú ako vnútorné, ležia v najbližšom a sú tvorené sekvenčným mn, spolu s priamym CN a RA, ktoré sú rovnobežné. Z toho vyplýva, že súčet rohov trojuholníka umiestneného na vrchole M a H sa rovná veľkosti uhla CMA. Všetky tri uhol predstavujú množstvo, ktorá sa rovná množstvu uhlov CMA a MCN. Vzhľadom k tomu, tieto uhly sú vnútorné jednostranné vzhľadom na paralelný priamy CN a RA s postupným cm, ich množstvo je 180 stupňov. Theorem sa dokáže.

Corollary

Z vyššie uvedeného teorem nasleduje nasledujúci dôsledok: Akýkoľvek trojuholník má dva ostré rohy. Aby ste to dokázali, predpokladajme, že táto geometrická hodnota má len jeden ostrý uhol. Môže sa tiež predpokladať, že žiadny z rohov nie je akútny. V tomto prípade musí existovať aspoň dva uhol, ktorých veľkosť je rovná alebo viac ako 90 stupňov. Ale potom bude súčet uhlov väčší ako 180 stupňov. A to nemôže byť, pretože podľa teorem je súčet rohov trojuholníka 180 ° - nič viac a nie menej. To je potrebné dokázať.

Vlastnosť vonkajších rohov

Aký je súčet rohov trojuholníka, ktoré sú externé? Odpoveď na túto otázku možno získať použitím jedného z dvoch spôsobov. Prvým z nich je, že je potrebné nájsť množstvo rohov, ktoré sa užívajú jeden v každom vrcholetexe, to znamená tri uhly. Druhá znamená, že potrebujete nájsť súčet všetkých šiestich rohov na vrcholoch. Začať s prvou možnosťou. Takže trojuholník obsahuje šesť vonkajších rohov - s každým vrcholom.

Každý pár má rovnaké uhly, pretože sú vertikálne:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Okrem toho je známe, že vonkajší uhol v trojuholníku je rovnaký ako súčet dvoch interných, ktoré nie sú s ním prepojené. Teda,

∟1 \u003d ∟A + ∟С, ∟2 \u003d ∟A + ∟V, ∟3 \u003d ∟в + ∟С.

Ukazuje sa, že množstvo vonkajších uhlov, ktoré sa užívajú jeden jedným vrcholom, sa rovná:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟A + ∟С + ∟A + ∟V + ∟V + ∟∟ \u003d 2 x (∟A + ∟V + ∟С).

Berúc do úvahy skutočnosť, že množstvo uhlov sa rovná 180 stupňom, môže sa argumentovať, že ∟A + ∟V + ∟c \u003d 180 °. To znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Ak sa použije druhá možnosť, suma šiestich rohov bude, v tomto poradí, viac ako dvakrát. To znamená, že súčet vonkajších rohov trojuholníka:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Správny trojuholník

Aký je súčet uhlov obdĺžnikového trojuholníka, ktoré sú ostré? Odpoveď na túto otázku, opäť vyplýva z teorem, ktorá tvrdí, že rohy v trojuholníku v množstve sú 180 stupňov. A naše vyhlásenie zvuky (nehnuteľnosť), takže: v obdĺžnikový trojuholník Ostré rohy v množstve dávajú 90 stupňov. Dokážeme jeho pravdivosť.

Dajte nám daj trojuholník KMN, ktorého ∟n \u003d 90 °. Je potrebné dokázať, že ∟k + ∟m \u003d 90 °.

Takže podľa teorem na súčet uhlov ∟K + ∟M + ∟n \u003d 180 °. V našom stave sa hovorí, že ∟n \u003d 90 °. Tak sa ukáže, ∟K + ∟M + 90 ° \u003d 180 °. To znamená, že ∟K + ∟M \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. To je to, čo by sme mali ukázať.

Okrem vyššie uvedených vlastností obdĺžnikového trojuholníka môžete pridať nasledovné:

• uhly, ktoré ležia proti katétom, sú ostré;
• trojuholníková hypotenuse je viac ako ktorákoľvek z katéstie;
• množstvo katéstie je pomernenutých;
• kataka trojuholníka, ktorý leží oproti uhlu 30 stupňov, je dvakrát menej ako menej hypotenusov, to znamená, že sa rovná jej polovicu.

Ako iná vlastnosť tohto geometrického tvaru môžete vybrať Pythagora teorem. Tvrdí, že v trojuholníku s uhlom 90 stupňov (obdĺžnikové) je súčet štvorcov katézie rovná námesti hyptootenuse.

Súčet uhlov zvýšeného trojuholníka

Skôr sme povedali, že polygón s tromi vrcholmi obsahujúcimi dve rovnaké strany je rovnako nazývané. Táto vlastnosť tohto geometrického tvaru je známa: uhly na jeho báze sú rovnaké. Dokážeme to.

Vezmite si trojuholník KMN, ktorý je rovnako chápať, kniha je jej základom.

Musíme dokázať, že ∟k \u003d ∟ Povedzme, že ma je bisector nášho trojuholníka KMN. Trojuholník ICA, berúc do úvahy prvý znak rovnosti, sa rovná trojuholníku MNA. Podľa tohto stavu sa podľa stavu dostane km \u003d nm, ma je spoločná strana, ∟1 \u003d ∟2, pretože ma je bisector. Pomocou skutočnosti rovnosti týchto dvoch trojuholníkov je možné argumentovať, že ∟k \u003d ∟. Teorem je teda dokázaná.

Máme však záujem o to, čo je súčet rohov trojuholníka (ekvilibrovaná). Keďže v tejto súvislosti nemá svoje vlastné funkcie, budú odpudzované z teorem diskutovanej skôr. To znamená, že môžeme tvrdiť, že ∟K + ∟M + ∟n \u003d 180 °, alebo 2 x ∟K + ∟m \u003d 180 ° (od ∟k \u003d ∟n). Nebudeme preukázať túto vlastnosť, pretože teorem na súčet rohov trojuholníka bolo overené skôr.

Okrem vlastností rohov trojuholníka existujú aj také dôležité obvinenia:

• v ktorom bola vynechaná pre základňu, je súčasne medián, bisector uhol, ktorý sa nachádza medzi rovnaké strany, ako aj jej základy;
• medián (Bisector, Heights), ktoré boli vykonané na stranách takéhoto geometrického tvaru, sú rovnaké.

Rovnostranný trojuholník

Je tiež nazývaný správny, toto je trojuholník, ktorý sú všetky strany rovnaké. A preto sú uhly rovnaké. Každý z nich je 60 stupňov. Dokážeme túto vlastnosť.

Predpokladajme, že máme trojuholník KMN. Vieme, že km \u003d nm \u003d kN. A to znamená, že podľa vlastnosti uhlov, ktoré sa nachádzajú na základni v rovnovážnom trojuholníku, ∟K \u003d ∟m \u003d ∟. Vzhľadom k tomu, teorem, súčet rohov trojuholníka je ∟K + ∟M + ∟n \u003d 180 °, potom 3 x ∟k \u003d 180 ° alebo ∟k \u003d 60 °, ∟M \u003d 60 °, ∟n \u003d 60 °. Schválenie sa teda dokazuje.

Ako je možné vidieť z vyššie uvedeného dôkazu na základe teorem, súčet uhlov ako súčet uhlov akéhokoľvek iného trojuholníka je 180 stupňov. Preukázať túto teorem, ktorá bude potrebná.

Existujú stále také vlastnosti charakteristické pre rovnostranný trojuholník:

• medián, bisector, výška v takomto geometrickom obrázku sa zhoduje a ich dĺžka sa vypočíta ako (a x √3): 2;
• ak opíšete okolo tohto kruhu polygónu, jeho polomer bude rovný (a x √3): 3;
• ak chcete zadať kruh do rovnostranného trojuholníka, jeho polomer bude (a x √3): 6;
• oblasť tohto geometrického tvaru sa vypočíta podľa vzorca: (A2 x √3): 4.

Hlúpy trojuholník

Podľa definície je jeden z jeho rohov medzi 90 až 180 stupňami. Berúc do úvahy skutočnosť, že druhý uhol tohto geometrického tvaru je ostrý, je možné dospieť k záveru, že nepresahujú 90 stupňov. V dôsledku toho teorem na súčet rohov trojuholníka pracuje pri výpočte množstva rohov v hlúpe trojuholník. Ukazuje sa, že môžeme bezpečne uplatniť, spoliehať sa na vyššie uvedenú teorem, že súčet uhlov hlúpy trojuholník približne 180 stupňov. Táto veta opäť nepotrebuje re-dôkaz.

Dôkaz:

• Dan Triangle ABC.
• Prostredníctvom vrcholu B strávime priame DK rovnobežne so základňou AC.
• Uhol cbk \u003d uhol c, ako je vnútorné bližšie pod paralelným DK a AC a zabezpečenie BC.
• Uhol dba \u003d uhol vnútorné bližšie pod DK paralelným AC a zaistením AB. Uhol DBK nasadený a rovný
• Uhol dbk \u003d uhol dba + uhol b + anle cbk
• Vzhľadom k tomu, podrobný uhol je 180 ^ circ, a uhol cbk \u003d anle c a uhol dba \u003d uhol A, dostanem sa 180 ^ circ \u003d uhol A + uhol B + uhol C.

Theorem sa dokáže

Dôsledky teorem na súčet rohov trojuholníka:

1. Súčet ostrých rohov obdĺžnikového trojuholníka sa rovná 90 °.
2. V ekvilibrovanom obdĺžnikovom trojuholníku je každý ostrý uhol rovnaký 45 °.
3. V udržiavací trojuholník Každý roh je rovnaký 60 °.
4. V každom trojuholníku, buď všetky rohy sú ostré, alebo dva uhly sú ostré a tretia je hlúpe alebo rovná.
5. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, nesúvisí s ním.

Veta na vonkajšom trojuholníku

Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch zostávajúcich uhlov trojuholníka, nie vedľa tohto vonkajšieho uhla.

Dôkaz:

• Dan Triangle ABC, kde je ALD externý uhol.
• Uhol BAC + Uhol ABC + Uhol BCA \u003d 180 ^ 0
• Z rovného rohu Uhol BCD + Uhol BCA \u003d 180 ^ 0
• Prijať Uhol BCD \u003d Uhol BAC + ABC.

Teorem. Súčet vnútorných rohov trojuholníka sa rovná dvom priamym rohom.

Urobte si nejaký druh trojuholníka AVS (obr. 208). Označujú svoje vnútorné uhly s číslami 1, 2 a 3. Dokáňame to

∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °.

Prerezať nejaký vrchol trojuholníka, napríklad v, priamej MN paralelne s AU.

Na vrchole sme dostali tri uhol: ∠4, ∠2 a ∠5. Ich množstvo je preto nasadený uhol, preto sa rovná 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 \u003d 180 °.

Ale ∠4 \u003d ∠1 je vnútorný prechod podkladových uhlov s paralelnými priamymi MN a reproduktormi a Secunt AV.

∠5 \u003d ∠3 je vnútorná zadná časť podkladových uhlov s paralelnými priamymi MN a reproduktormi a Južným Slnkom.

Takže, ∠4 a ∠5 môžu byť nahradené rovným ∠1 a ∠3.

V dôsledku toho ∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °. Theorem sa dokáže.

2. vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka.

V skutočnosti, v trojuholníku ABC (obr. 209) ∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3, ale aj ∠VD, vonkajší uhol tohto trojuholníka, nie susedí s ∠1 a ∠2, je tiež 180 ° ∠3.

Touto cestou:

∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3;

∠BCD \u003d 180 ° - ∠3.

V dôsledku toho ∠1 + ∠2 \u003d ∠BCD.

Odvodený majetok vonkajšieho uhla trojuholníka objasňuje obsah predtým preukázanej teorem na vonkajšom rohu trojuholníka, v ktorom bol argumentovaný len tým, že vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako každý vnútorný roh trojuholníka, nie súvisiace s ním; Teraz sa zistilo, že vonkajší uhol sa rovná súčtu oboch vnútorných uhlov, ktoré nesúvisí s ním.

3. Vlastnosť obdĺžnikového trojuholníka s uhlom 30 °.

Predpokladajme, že v obdĺžnikovom trojuholníku uhla B sa rovná 30 ° (obr. 210). Potom bude druhý ako jeho ostrý uhol 60 °.

Dokážeme, že reproduktory rečníkov sa rovná polovici hyptotenuse AV. Budeme pokračovať v reproduktoroch s vrchom priamy kútik C a odložte segment cm rovný segmentu AU. Bod m na pripojenie s bodom V. Výsledný trojuholník WMM sa rovná DRIGHT. Vidíme, že každý uhol trojuholníka AVM je rovný 60 °, preto tento trojuholník je rovnostranný.

Reproduktory reproduktorov sa rovná polovici AM, a pretože som rovný AB, potom sa rečníci budú rovní polovici hypotenus AV.

Výskum

Na tému:

"Je vždy súčet uhlov trojuholníka rovných 180 °?"

Vykonané:

Študent 7b trieda

Mbou inzen s №2

g. INZA, ULYANOVSK

MALYSHEV JAN.

vedecký poradca:

BOLSHAKOVA LYUDMILA YURYVNA

OBSAH

Úvod ................................................... ........................

Hlavná časť ................................................. .... 4

vyhľadajte informácie

experimenty

výkon

Záver ................................................... ......12.

Úvod

Tento rok som sa začal naučiť novú geometriu. Táto veda študuje vlastnosti geometrických tvarov. V jednom z lekcií sme študovali teorem o súčte rohov trojuholníka. A s pomocou dôkazov sme dospeli k záveru: súčet rohov trojuholníka je 180 °.

Myslel som, že takéto trojuholníky, ktoré majú množstvo rohov nebude 180 °?

Potom som sa nastavilCieľ :

Ak chcete zistiť, keď je súčet uhlov trojuholníka rovná 180 °?

Dať nasledujúceÚlohy :

Zoznámte sa s históriou geometrie;

Zoznámte sa s euklidovou geometriou, Roman, Lobachevsky;

Dokážte experimentálny spôsob, ako sa suma uhlov trojuholníka nemusí rovnať 180 °.

HLAVNÁ ČASŤ

Geometria vznikla a vyvinula v súvislosti s potrebami praktické aktivity muž. Počas výstavby dokonca aj primitívnych štruktúr je potrebné vypočítať, koľko materiálu pôjde do konštrukcie, vypočítajte vzdialenosti medzi bodmi vo vesmíre a rohoch medzi rovinami. Rozvoj obchodu a navigácie vyžadoval zručnosti na navigáciu času a priestoru.

Pre rozvoj geometrie urobil veľa vedcov Staroveké Grécko. Prvý dôkaz geometrických faktov je spojený s menomFalez Miletsky.

Jeden z najviac slávne školy Tam bol Pythagorean, pomenovaný po jeho zakladateľovi, autorom dôkazov mnohých terénPythagora.

Geometria, ktorá sa študuje v škole, nazývanom Euclidove, pomenovanýEuclida - staroveký grécky vedci.

Euclid žil v Alexandrii. Napísal slávnu knihu "Začiatok". Sekvencia a závažnosť robili tento produkt so zdrojom geometrických znalostí v mnohých krajinách po celom svete počas viac ako dvoch tisícročí. Až nedávno boli takmer všetky školské učebnice vo veľkej miere podobné "začiatku".

Ale v 19. storočí sa ukázalo, že axiómy EUCLIDEASE nie sú univerzálne a sú za žiadnych okolností správne. Hlavné objavy geometrického systému, v ktorom nie sú axiómy euklidu správne, boli vyrobené spoločnosťou Georg Riemann a Nikolai Lobachevsky. Hovoria o tom, ako tvorcovia non-dieťa geometrie.

A tu, spoliehať sa na učenie EUCLID, RIEMANN A LOBACHEVSKY, skúsme odpovedať na otázku: je množstvo uhlov trojuholníka vždy 180˚?

Experimenty

Zvážte trojuholník z hľadiska geometrieEuclidea.

Ak to chcete urobiť, vezmite si trojuholník.

Naplňte svoje rohy červenými, zelenými a modrými farbami.

Strávime priamku. Toto je podrobný uhol, je to 180 ˚.

Vyberte rohy nášho trojuholníka a dajte ich do rozloženého rohu. Vidíme, že súčet troch uhlov je 180 °.

Jedným z etáp vývoja geometrie bola eliptická geometriaRiemann. Zvláštnym prípadom tejto eliptickej geometrie je geometria na gule. V geometrii Riemann je súčet rohov trojuholníka väčší ako 180 °.

Takže to je guľa.

Vnútri tejto gule je trojuholník tvorený meridiánmi a rovníkom. Urobte si tento trojuholník, maľujte jeho rohy.

Odrezať a aplikovať na riadok. Vidíme, že súčet troch uhlov je väčšia ako 180 °.

V geometriiLobachevsky Súčet rohov trojuholníka je menšia ako 180 °.

Táto geometria sa považuje na povrchu hyperbolického paraboloidu (toto je konkávny povrch pripomínajúci sedlo).

Príklady paraboloidov možno nájsť v architektúre.

A dokonca aj "pringle" čipy -ample paraboloid.

Skontrolujte súčet rohov na modeli hyperbolického paraboloidu.

Na povrchu je vytvorený trojuholník.

Vezmite tento trojuholník, prepravujte svoje rohy, odrežte ich a dajte ich na priamku. Teraz vidíme, že súčet troch uhlov je nižšia ako 180 °.

VÝKON

Dokázali sme teda, že súčet rohov trojuholníka nie je vždy rovná 180 °.

Môže to byť viac a menej.

Záver

Na záver chcem povedať, že je zaujímavé pracovať na tejto téme. Naučil som sa veľa nových vecí pre seba a v budúcnosti by som sa rád dozvedel túto zaujímavú geometriu.

Informačné zdroje

ru.wikipedia.org.

e-osnova.ru.

vestishki.ru.

yun.moluch.ru.