Skrátené multiplikačné vzorce (ACF) sa používajú na umocnenie a znásobenie čísel a výrazov. Tieto vzorce vám často umožňujú vykonávať výpočty kompaktnejšie a rýchlejšie.

V tomto článku uvedieme zoznam základných vzorcov pre skrátené násobenie, zoskupíme ich do tabuľky, zvážime príklady použitia týchto vzorcov a tiež sa pozastavíme nad zásadami dôkazov skrátených vzorcov pre násobenie.

Téma FSU sa po prvýkrát posudzuje v rámci kurzu „Algebra“ pre 7. ročník. Nasleduje 7 základných vzorcov.

Skrátené multiplikačné vzorce

1. vzorec pre druhú mocninu súčtu: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. vzorec pre druhú mocninu rozdielu: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. vzorec kocky súčtu: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. vzorec rozdielovej kocky: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. vzorec rozdielu štvorcov: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. vzorec pre súčet kociek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. vzorec pre rozdiel kociek: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Písmená a, b, c v týchto výrazoch môžu byť akékoľvek čísla, premenné alebo výrazy. Pre jednoduché použitie je najlepšie naučiť sa sedem základných vzorcov naspamäť. Zhrňme ich v tabuľke a predstavme si ich nižšie a obklopte ich rámom.

Prvé štyri vzorce vám umožňujú vypočítať druhou mocninu alebo kocku súčtu alebo rozdielu dvoch výrazov.

Piaty vzorec vypočíta rozdiel druhých mocnín výrazov ako súčin ich súčtu a rozdielu.

Šiesty a siedmy vzorec sú násobením súčtu a rozdielom výrazov neúplným štvorcom rozdielu a neúplným štvorcom súčtu.

Skrátený multiplikačný vzorec sa niekedy nazýva aj skrátené multiplikačné identity. To nie je prekvapujúce, pretože každá rovnosť je identita.

Pri riešení praktických príkladov sa často používajú skrátené multiplikačné vzorce s preusporiadanou ľavou a pravou stranou. To je obzvlášť užitočné, ak dochádza k faktorizácii polynómu.

Ďalšie skrátené vzorce násobenia

Neobmedzíme sa na kurz 7. triedy v algebre a do našej tabuľky FSU pridáme niekoľko ďalších vzorcov.

Najprv zvážte Newtonov binomický vzorec.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Tu C n k sú binomické koeficienty, ktoré sa objavujú v riadku n v pascalovom trojuholníku. Binomické koeficienty sa vypočítajú podľa vzorca:

C n k = n! k! (N - k)! = n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!

Ako vidíte, FSO pre štvorec a kocku rozdielu a súčtu je špeciálny prípad binomický Newtonov vzorec pre n = 2, respektíve n = 3.

Ale čo keď sú v súčte viac ako dva výrazy, ktoré sa majú zvýšiť? Užitočný bude vzorec pre druhú mocninu súčtu troch, štyroch alebo viacerých výrazov.

a 1 + a 2 +. ... + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ďalší vzorec, ktorý môže prísť vhod, je vzorec pre rozdiel medzi n-tou mocninou dvoch výrazov.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Tento vzorec je zvyčajne rozdelený do dvoch vzorcov - pre párne a nepárne stupne.

Pre párne indikátory 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

Pre nepárne exponenty 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdiel medzi kockami, uhádli ste, sú špeciálnymi prípadmi tohto vzorca pre n = 2 a n = 3. Pre rozdiel kociek sa b nahradí aj - b.

Ako čítať skrátené vzorce násobenia?

Pre každý vzorec uvedieme vhodné formulácie, ale najskôr porozumieme princípu čítania vzorcov. Najpohodlnejší spôsob, ako to urobiť, je príklad. Zoberme si úplne prvý vzorec pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Hovorí sa: štvorec súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtuštvorec prvého výrazu, zdvojnásobený súčin výrazov a štvorec druhého výrazu.

Všetky ostatné vzorce sa čítajú rovnakým spôsobom. Pre druhú mocninu rozdielu a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 napíšeme:

druhá mocnina rozdielu medzi týmito dvoma výrazmi a a b sa rovná súčtu druhých mocnín týchto výrazov mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu.

Prečítajte si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu kociek týchto výrazov, trikrát štvorca prvého výrazu druhým a trikrát štvorca druhého výrazu prvým výrazom.

Pokračujeme v čítaní vzorca pre rozdiel medzi kockami a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok štvorca prvého výrazu a druhého plus tri násobok štvorca druhého výrazu a prvého výrazu mínus kocka druhého výrazu.

Piaty vzorec a 2 - b 2 = a - b a + b (rozdiel štvorcov) znie takto: rozdiel štvorcov dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu dvoch výrazov.

Výrazy ako 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 z praktického hľadiska sa nazývajú neúplný štvorec súčtu a neúplný štvorec rozdielu.

S ohľadom na to sa vzorce pre súčet a rozdiel kociek budú čítať nasledovne:

Súčet kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu súčtu týchto výrazov neúplným štvorcom ich rozdielu.

Rozdiel medzi kockami dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu medzi týmito výrazmi a neúplného štvorca ich súčtu.

Dôkaz o FSO

Je celkom ľahké dokázať FSO. Na základe vlastností násobenia vynásobíme časti vzorcov v zátvorkách.

Zoberme si napríklad vzorec pre druhú mocninu rozdielu.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Ak chcete povýšiť výraz na druhú mocninu, musíte ho sám vynásobiť.

a - b 2 = a - b a - b.

Poďme rozšíriť zátvorky:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Vzorec je osvedčený. Ostatné FSO sú dokázané podobným spôsobom.

Príklady aplikácie FSU

Účelom použitia skrátených vzorcov násobenia je rýchlo a výstižne znásobiť a umocniť výrazy. To však nie je celý rozsah pôsobnosti FSO. Široko sa používajú pri skrátení výrazov, redukcii zlomkov a faktorizácii polynómov. Tu je niekoľko príkladov.

Príklad 1. FSO

Zjednodušte výraz 9 r - (1 + 3 r) 2.

Použijeme vzorec na súčet štvorcov a dostaneme:

9 rokov - (1 + 3 roky) 2 = 9 rokov - (1 + 6 rokov + 9 rokov 2) = 9 rokov - 1 - 6 rokov - 9 rokov 2 = 3 roky - 1 - 9 rokov 2

Príklad 2. FSO

Znížte zlomok 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Všimnite si, že výraz v čitateľovi je rozdiel medzi kockami a menovateľ je rozdiel v štvorcoch.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Skracujeme a získavame:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSO tiež pomáhajú vypočítať hodnoty výrazov. Hlavnou vecou je vedieť si všimnúť, kde vzorec použiť. Ukážme to na príklade.

Vynásobme číslo 79. Namiesto ťažkopádnych výpočtov píšeme:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Zdá sa, že komplexný výpočet bol vykonaný rýchlo iba pomocou skrátených multiplikačných vzorcov a multiplikačnej tabuľky.

Ďalším dôležitým bodom je výber štvorca binomického čísla. Výraz 4 x 2 + 4 x - 3 je možné previesť na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. Takéto transformácie sa v integrácii široko používajú.

Ak si v texte všimnete chybu, vyberte ju a stlačte kombináciu klávesov Ctrl + Enter

Vzorce alebo skrátené pravidlá násobenia sa používajú v aritmetike alebo skôr v algebre na rýchlejší postup výpočtu veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sú odvodené z pravidiel existujúcich v algebre na násobenie niekoľkých polynómov.

Použitie týchto vzorcov poskytuje pomerne rýchle riešenie rôznych matematických problémov a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Algebraické transformačné pravidlá vám umožňujú vykonávať niektoré manipulácie s výrazmi, podľa ktorých môžete získať výraz na ľavej strane rovnosti na pravej strane alebo transformovať pravú stranu rovnosti (aby ste výraz získali na ľavej strane po znamienko rovnosti).

Je vhodné poznať vzorce používané na zníženie násobenia pamäťou, pretože sa často používajú na riešenie problémov a rovníc. Nasledujú hlavné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich názov.

Sum na druhú

Ak chcete vypočítať druhou mocninu súčtu, musíte nájsť súčet pozostávajúci zo štvorca prvého výrazu, dvojnásobku súčinu prvého výrazu za druhé a štvorca druhého. Ako výraz toto pravidlo sa píše nasledovne: (a + c) ² = a² + 2ac + c².

Rozdiel na druhú

Na výpočet štvorca rozdielu je potrebné vypočítať súčet pozostávajúci zo štvorca prvého čísla, dvojnásobku súčinu prvého čísla za druhé (brané s opačným znamienkom) a štvorca druhého čísla. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá nasledovne: (a - c) ² = a² - 2ac + c².

Rozdiel štvorcov

Vzorec pre rozdiel medzi dvoma číslami na druhú je rovný súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá nasledovne: a² - c² = (a + c) · (a - c).

Kocka súčtu

Na výpočet kocky súčtu dvoch výrazov je potrebné vypočítať súčet pozostávajúci z kocky prvého členu, trojitého súčinu druhej mocniny prvého členu a druhého, trojitého súčinu prvého pojmu a druhého na druhú, rovnako ako kocka druhého členu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Súčet kociek

Podľa vzorca sa rovná súčinu súčtu týchto výrazov s ich neúplným štvorcom rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá nasledovne: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).

Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrázku, ktorý je vytvorený pridaním dvoch kociek. Známe sú iba veľkosti ich strán.

Ak sú bočné hodnoty malé, potom sú výpočty jednoduché.

Ak sú dĺžky strán vyjadrené v ťažkopádnych číslach, potom je v tomto prípade jednoduchšie použiť vzorec „Súčet kociek“, ktorý výrazne zjednoduší výpočty.

Rozdielna kocka

Výraz pre kubický rozdiel je nasledujúci: ako súčet tretej mocniny prvého členu ztrojnásobte záporný súčin druhej mocniny prvého členu s druhým, strojnásobte súčin prvého členu so štvorcom druhého. , a záporná kocka druhého členu. Kocky rozdielu vo forme matematického výrazu vyzerá takto: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Rozdiel kociek

Vzorec pre rozdiel kociek sa líši od súčtu kociek iba v jednom znaku. Rozdiel medzi kockami je teda vzorec rovný súčinu rozdielu týchto čísel s ich neúplným štvorcom súčtu. Rozdiel kociek vo forme vyzerá nasledovne: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Príklad. Je potrebné vypočítať objem figúrky, ktorý zostane po odpočítaní žltej volumetrickej figúry od objemu modrej kocky, ktorá je tiež kockou. Známa je iba veľkosť strany malej a veľkej kocky.

Ak sú bočné hodnoty malé, potom sú výpočty pomerne jednoduché. A ak sú dĺžky strán vyjadrené vo významných číslach, potom stojí za to použiť vzorec s názvom „Rozdielové kocky“ (alebo „Rozdielna kocka“), ktorý výpočty výrazne zjednoduší.

Skrátené multiplikačné vzorce.

Štúdium skrátených multiplikačných vzorcov: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel štvorcov dvoch výrazov; kocka súčtu a kocka rozdielu dvoch výrazov; súčet a rozdiel kociek dvoch výrazov.

Aplikácia skrátených multiplikačných vzorcov pri riešení príkladov.

Na zjednodušenie výrazov, faktorizáciu polynómov a uvedenie polynómov do štandardnej formy sa používajú skrátené multiplikačné vzorce. Skrátené multiplikačné vzorce je potrebné poznať naspamäť.

Nech a, b R. Potom:

1. Štvorec súčtu týchto dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhá mocnina druhého výrazu.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Štvorcový rozdiel týchto dvoch výrazov ještvorec prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu za druhý plus štvorec druhého výrazu.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu medzi týmito výrazmi a ich súčtu.

a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)

4. Kocka súčtu dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu plus trikrát štvorcu prvého výrazu druhým plus tri krát súčinu prvého výrazu a štvorcu druhého plus kocke druhého výrazu.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Rozdielna kocka dva výrazy sa rovnajú kocke prvého výrazu mínus trojnásobok štvorca prvého výrazu a druhého plus tri krát súčin prvého výrazu a štvorca druhého mínus kocka druhého výrazu.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Súčet kociek dva výrazy sa rovnajú súčinu súčtu prvého a druhého výrazu s neúplným štvorcom rozdielu medzi týmito výrazmi.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Rozdiel kociek dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu s neúplným štvorcom súčtu týchto výrazov.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplikácia skrátených multiplikačných vzorcov pri riešení príkladov.

Príklad 1.

Vypočítajte

a) Použitím vzorca pre štvorec súčtu dvoch výrazov máme

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Použitím vzorca pre štvorec rozdielu dvoch výrazov dostaneme

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 = 9604

Príklad 2.

Vypočítajte

Použitím vzorca pre rozdiel medzi druhou mocninou týchto dvoch výrazov dostaneme

Príklad 3.

Zjednodušte výraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Vzorce používame na druhou mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrátené multiplikačné vzorce v jednej tabuľke:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Rozdiel štvorcov

Odvodíme vzorec pre rozdiel štvorcov $ a ^ 2-b ^ 2 $.

Ak to chcete urobiť, nezabudnite na nasledujúce pravidlo:

Ak k výrazu pripočítame ľubovoľný monomiál a odčítame ten istý monomiál, dostaneme správnu identitu.

Dodajme svojmu výrazu a odčítajme z neho monomické $ ab $:

Celkovo dostaneme:

To znamená, že rozdiel medzi druhou mocninou dvoch monomiálov sa rovná súčinu ich rozdielu ich súčtom.

Príklad 1

Reprezentovať ako produkt $ (4x) ^ 2-r ^ 2 $

\ [(4x) ^ 2-r ^ 2 = ((2x)) ^ 2-r ^ 2 \]

\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ vľavo (2x-y \ vpravo) (2x + y) \]

Súčet kociek

Odvodíme vzorec pre súčet kociek $ a ^ 3 + b ^ 3 $.

Vylúčte spoločné faktory:

Vylúčme $ \ left (a + b \ right) $ mimo hranatých zátvoriek:

Celkovo dostaneme:

To znamená, že súčet kociek dvoch monomiálov sa rovná súčinu ich súčtu neúplným štvorcom ich rozdielu.

Príklad 2

Reprezentovať ako produkt $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $

Tento výraz je možné prepísať nasledovne:

\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]

Použitím vzorca pre rozdiel štvorcov dostaneme:

\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ vľavo (2x + y \ vpravo) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]

Rozdiel kociek

Odvodíme vzorec pre rozdiel kociek $ a ^ 3-b ^ 3 $.

Na tento účel použijeme rovnaké pravidlo ako vyššie.

Pridajte k nášmu výrazu a odčítajte z neho monomény $ a ^ 2b \ a \ (ab) ^ 2 $:

Vylúčte spoločné faktory:

Vylúčme $ \ left (a-b \ right) $ mimo hranatých zátvoriek:

Celkovo dostaneme:

To znamená, že rozdiel medzi kockami dvoch monomiálov sa rovná súčinu ich rozdielu neúplným štvorcom ich súčtu.

Príklad 3

Reprezentovať ako produkt $ (8x) ^ 3-r ^ 3 $

Tento výraz je možné prepísať nasledovne:

\ [(8x) ^ 3-r ^ 3 = ((2x)) ^ 3-r ^ 3 \]

Použitím vzorca pre rozdiel štvorcov dostaneme:

\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ vľavo (2x-y \ vpravo) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]

Príklad problémov s použitím vzorcov pre rozdiel štvorcov a súčet a rozdiel kociek

Príklad 4

Faktorizovať.

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $

Riešenie:

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]

Použitím vzorca pre rozdiel štvorcov dostaneme:

\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ vľavo (a + 5-3 \ vpravo) \ vľavo (a + 5 + 3 \ vpravo) = \ vľavo (a + 2 \ vpravo) (a +8) \]

Napíšte tento výraz vo forme:

Použime vzorec kociek kuma:

c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $

Napíšte tento výraz vo forme:

\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3-x ^ 3 \]

Použime vzorec kociek kuma:

\ [(\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3 -x ^ 3 = \ left (\ frac (1) (3) -x \ right) \ left (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ vpravo) \]