Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je úplne zásadná.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru os 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia poznamenávame, že všetky kvadratické rovnice je možné podmienene rozdeliť do troch tried:

1. Nemajú korene;
2. Majú presne jeden koreň;
3. Majú dva odlišné korene.

Toto je dôležitý rozdiel. kvadratické rovnice z lineárneho, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako zistíte, koľko koreňov má rovnica? Je na tom úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica os 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom iba číslo D = b 2 - 4ac.

Tento vzorec musíte vedieť naspamäť. Odkiaľ pochádza - teraz je to jedno. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znaku diskriminátora môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. Menovite:

1. Ak D.< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje presne jeden koreň;
3. Ak D> 0, budú mať dva korene.

Vezmite prosím na vedomie: diskriminátor označuje počet koreňov, a nie ich znamienka, ako sa z nejakého dôvodu mnohí domnievajú. Pozrite sa na príklady - a vy sami všetkému porozumiete:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Zapíšte si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Diskriminant je teda pozitívny, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Diskriminant je negatívny, nie sú tam žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant je nula - bude jeden koreň.

Všimnite si toho, že pre každú rovnicu boli napísané koeficienty. Áno, je to dlhé, áno, je to nudné - ale nebudete zamieňať koeficienty a nerobiť hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť písať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po vyriešení 50 - 70 rovníc - vo všeobecnosti nie toľko.

Kvadratické korene

Teraz prejdeme k riešeniu. Ak je diskriminant D> 0, korene nájdete podľa vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\ [\ begin (zarovnanie) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (zarovnať) \]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Je možné použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte na príkladoch, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a dokážete počítať, nebudú žiadne problémy. Chyby sa najčastejšie vyskytujú pri nahrádzaní záporných koeficientov vo vzorci. Tu opäť pomôže vyššie popísaná technika: pozrite sa na vzorec doslova, popíšte každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že jeden z výrazov v týchto rovniciach chýba. Riešenie takýchto kvadratických rovníc je ešte jednoduchšie ako štandardných: dokonca ani nemusia vypočítať diskriminant. Predstavme teda nový koncept:

Rovnica osi 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient pri premennej x alebo voľnom prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar os 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Uvažujme o ostatných prípadoch. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru os 2 + c = 0. Trochu to transformujme:

Pretože aritmetická odmocnina existuje iba z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel iba pre (−c / a) ≥ 0. Záver:

1. Ak nerovnosť (−c / a) ≥ 0 platí v neúplnej kvadratickej rovnici tvaru os 2 + c = 0, budú dva korene. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (−c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminátor nebol požadovaný - v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú žiadne komplikované výpočty. V skutočnosti nie je ani potrebné pamätať si na nerovnosť (−c / a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a zistiť, čo stojí na druhej strane znamienka rovnosti. Ak tu kladné číslo- budú dva korene. Ak je negatívny, nebudú žiadne korene.

Teraz sa zaoberajme rovnicami tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých je voľný prvok rovný nule. Tu je všetko jednoduché: vždy budú dva korene. Polynóm stačí vylúčiť:

Bracketing a common factor

Produkt je nulový, ak je aspoň jeden z faktorov nulový. Odtiaľ sú korene. Na záver budeme analyzovať niekoľko takýchto rovníc:

Úloha. Vyriešte kvadratické rovnice:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - ( - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, tk. štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Tento video návod vysvetľuje, ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Riešenie kvadratických rovníc sa zvyčajne začína študovať v komplexnej škole, 8. ročník. Korene kvadratickej rovnice sa nachádzajú pomocou špeciálneho vzorca. Nech je daná kvadratická rovnica tvaru ax2 + bx + c = 0, kde x je neznáme, a, b a c sú koeficienty, ktoré sú reálne čísla... Najprv musíte určiť diskriminant podľa vzorca D = b2-4ac. Potom zostáva vypočítať korene kvadratickej rovnice pomocou známeho vzorca. Teraz sa pokúsme vyriešiť konkrétny príklad. Za počiatočnú rovnicu berieme x2 + x-12 = 0, t.j. koeficient a = 1, b = 1, c = -12. Na určenie diskriminátora je možné použiť dobre známy vzorec. Potom pomocou vzorca na nájdenie koreňov rovnice ich vypočítame. V našom prípade bude diskriminant 49. Skutočnosť, že hodnota diskriminátora je kladné číslo, nám hovorí, že táto kvadratická rovnica bude mať dva korene. Po niekoľkých jednoduchých výpočtoch dostaneme, že x1 = -4, x2 = 3. Kvadratickú rovnicu sme teda vyriešili výpočtom jej koreňov Video lekcia „Riešenie kvadratických rovníc (ročník 8). Hľadanie koreňov podľa vzorca “môžete online sledovať kedykoľvek zadarmo. Veľa šťastia!

Mestská vzdelávacia inštitúcia
„Kosinskaya main komplexná škola»

Lekcia využívajúca IKT

Riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca.

Vývojár:
Cherevina Oksana Nikolaevna
učiteľ matematiky

Cieľ:
opravte riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca,
prispieť k rozvoju túžby a potreby študentov zovšeobecniť študované skutočnosti,
rozvíjať nezávislosť a kreativitu.

Vybavenie:
matematický diktát (prezentácia 1),
karty s viacúrovňovými priradeniami pre nezávislú prácu,
tabuľka vzorcov na riešenie kvadratických rovníc (v rohu „Ako pomôcť s lekciou“),
výtlačok „problému starého času“ (počet študentov),
tabuľka bodového hodnotenia na tabuli.

Celkový plán:
Kontrola domácich úloh
Matematický diktát.
Ústne cvičenia.
Riešenie posilňovacích cvičení.
Nezávislá práca.
Historický odkaz.

Počas vyučovania.
Organizačný moment.

Kontrola domácich úloh.
- Chlapci, s akými rovnicami sme sa stretli v minulých lekciách?
- Aké metódy je možné použiť na riešenie kvadratických rovníc?
- Doma ste museli 1 rovnicu vyriešiť dvoma spôsobmi.
(Rovnica bola daná v 2 úrovniach, určená pre slabých a silných študentov.)
- Skúsme to so mnou. ako ste zvládli úlohu?
(na tabuľu si učiteľ pred hodinou poznačí riešenie domácej úlohy)
Žiaci skontrolujú a dospejú k záveru: neúplné kvadratické rovnice je jednoduchšie vyriešiť faktorizáciou alebo obvyklým spôsobom, doplniť ich vzorcom.
Učiteľ zdôrazňuje: nie nadarmo je spôsob riešenia výstižný. rovnice podľa vzorca sa nazývajú univerzálne.

Opakovanie.

Dnes v lekcii sa s vami budeme naďalej zaoberať riešením kvadratických rovníc. Naša lekcia bude nezvyčajná, pretože dnes budem hodnotiť nielen vás, ale aj vás samotných. Ak chcete získať dobrú známku a samostatnú prácu, musíte získať čo najviac bodov. Jeden bod za druhým, myslím si, že ste už zarobili tým, že ste si urobili domácu úlohu.
- A teraz chcem, aby ste si zapamätali a znova zopakovali definície a vzorce, ktoré sme na túto tému študovali. (Odpovede študentov sú hodnotené 1 bodom za správnu odpoveď a 0 bodmi za nesprávnu)
- A teraz, chlapci, dokončíme matematický diktát, pozorne a rýchlo si prečítajte úlohu na monitore počítača. (Prezentácia 1)
Študenti dokončia prácu a pomocou kľúča vyhodnotia svoj výkon.

Matematický diktát.

Kvadratická rovnica je rovnicou tvaru ...
V kvadratickej rovnici je 1. koeficient ..., 2. koeficient ..., voľný výraz je ...
Kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná, ak ...
Napíšte vzorec na výpočet diskriminátora kvadratickej rovnice
Napíšte vzorec na výpočet koreňa kvadratickej rovnice, ak je koreň v rovnici jeden.
Za akých podmienok nemá kvadratická rovnica korene?

(autotest pomocou PC, za každú správnu odpoveď - 1 bod).

Ústne cvičenia. (na zadnej strane tabule)
- Koľko koreňov má každá rovnica? (úloha je tiež odhadovaná na 1 bod)
1. (x - 1) (x +11) = 0;
2. (x - 2) ² + 4 = 0;
3. (2x - 1) (4 + x) = 0;
4. (x - 0,1) x = 0;
5x2 + 5 = 0;
6. 9x² - 1 = 0;
7x2 - 3x = 0;
8x + 2 = 0;
9,16x² + 4 = 0;
10,16x² - 4 = 0;
11.0.07x² = 0.

Riešenie cvičení na konsolidáciu materiálu.

Z rovníc navrhnutých na monitore PC sa vykonávajú nezávisle (CD-7), pri kontrole študenti, ktorí dokončili výpočty, zdvihnú ruky správne (1 bod); v tomto čase slabší žiaci riešia na tabuli jednu rovnicu a tí, ktorí sa s úlohou vysporiadali sami, získavajú 1 bod.

Nezávislá práca v 2 verziách.
Kto získal 5 a viac bodov, začína samostatná práca s č. 5.
Kto skóroval 3 alebo menej - z čísla 1.

Možnosť 1.

a) 3x² + 6x - 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.

Č. 2 Pokračujte vo výpočte diskriminantu D kvadratickej rovnice ax² + bx + c = 0 pomocou vzorca D = b² - 4ac.

a) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-7²) - 4 5 2 = 49 - 40 = ...;
b) x² - x - 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1) ²-4 1 (-2) = ...;

Č. 3 Dokončite riešenie rovnice
3x² - 5x - 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5) ²-4 3 (-2) = 49.
x = ...

Č. 4. Vyriešte rovnicu.

a) (x - 5) (x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0

a) (x-3) ^ 2 = 3x-5; b) (x + 4) (2x-1) = x (3x + 11)

Č. 6. Vyriešte rovnicu x2 + 2√2 x + 1 = 0
Č. 7. Pri akej hodnote a má rovnica x² - 2ax + 3 = 0 jeden koreň?

Možnosť 2.

# 1. Pre každú rovnicu tvaru ax² + bx + c = 0 zadajte hodnoty a, b, c.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.

Č. 2 Pokračujte vo výpočte diskriminantu D kvadratickej rovnice ax² + bx + c = 0 pomocou vzorca D = b² - 4ac.

a) 5x² + 8x - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² - 4 5 ( - 4) = 64 - 60 = ...;

b) x² - 6x + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = ...;

3 #. Dokončite riešenie rovnice
x² - 6x + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = 16.
x = ...

Č. 4. Vyriešte rovnicu.

a) (x + 4) (x - 6) = 0; b) 4x² - 5x + 1 = 0

Č. 5. Vyrovnajte rovnicu a vyriešte ju:

a) (x-2) ^ 2 = 3x-8; b) (3x-1) (x + 3) + 1 = x (1 + 6x)

Č. 6. Vyriešte rovnicu x2 + 4√3 x + 12 = 0

Č. 7. Pri akej hodnote a má rovnica x² + 3ax + a = 0 jeden koreň.

Zhrnutie lekcie.
Zhrnutie výsledkov tabuľky s hodnotením skóre.

Historické pozadie a úloha.
Problémy s kvadratickými rovnicami sa vyskytovali už v roku 499. V starovekej Indii bola verejná súťaž o riešenie ťažkých problémov bežná. Jedna zo starovekých indických kníh hovorí: „Ako slnko zatieni hviezdy svojou brilantnosťou, tak vedec zatmie slávu toho druhého na verejných zhromaždeniach navrhovaním a riešením algebraických problémov. “ Často boli v poetickej forme. Tu je jedna z úloh slávneho indického matematika 12. storočia Bhaskara:
Hravé kŕdeľ opíc
Keď som jedol naplno, bavil som sa,
Ôsma časť na druhú
Zabával som sa na čistinke.
A 12 viníc ...
Pri obesení začali skákať.
Koľko opíc tam bolo
Poviete mi, v tomto balení?

VII. Domáca úloha.
Navrhuje sa vyriešiť tento historický problém a usporiadať ho na samostatné listy s kresbou.

PRÍLOHA

Nie. Celé meno
študentské aktivity SPOLU
Diktát domácej úlohy Ústne cvičenia Posilnenie materiálu
Práca s počítačom Práca na tabuli
1 Ivanov I.
2 Fedorov G.
3 Yakovleva J.
…

Maximálny počet je 22-23 bodov.
Minimálne - 3-5 bodov

3-10 bodov - skóre „3“,
11 - 20 bodov - skóre „4“,
21 - 23 bodov - skóre „5“

Trieda: 8

Zvážte štandardné (študované v školskom kurze matematiky) a neštandardné techniky na riešenie kvadratických rovníc.

1. Rozklad ľavej strany kvadratickej rovnice na lineárne faktory.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

3) x 2 + 10x - 24 = 0.

6 (x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - = 0;

x (x -) + (x -) = 0;

x (x -) (x +) = 0;

= ; – .

Odpoveď:; -.

Za nezávislú prácu:

Vyriešte kvadratické rovnice lineárnym faktorovaním ľavej strany kvadratickej rovnice.

a) x 2 - x = 0; d) x 2 - 81 = 0; g) x 2 + 6x + 9 = 0;

b) x 2 + 2x = 0; e) 4x2 - = 0; h) x 2 + 4x + 3 = 0;

c) 3x 2 - 3x = 0; f) x 2 - 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x - 3 = 0.

a) 0; jeden

b) -2; 0

c) 0; jeden

2. Spôsob výberu úplného štvorca.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Za samostatnú prácu.

Vyriešte kvadratické rovnice pomocou metódy výberu celého štvorca.

3. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.

os 2 + v + c = 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4av + 4ac = 0;

2ax + 2ax2b + v 2 - v 2 + 4ac = 0;

2 = 2 - 4ac; = ±;

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Za samostatnú prácu.

Vyriešte kvadratické rovnice podľa vzorca x 1,2 =.

4. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety (priamej a inverznej)

x 2 + px + q = 0 - redukovaná kvadratická rovnica

podľa Vietovej vety.

Ak má táto rovnica dva rovnaké korene v znamienku a závisí to od koeficientu.

Ak p potom .

Ak p potom .

Napríklad:

Ak má potom rovnica dva korene s rôznym znamienkom a koreň s najväčšou absolútnou hodnotou bude ak p a bude, ak p.

Napríklad:

Za samostatnú prácu.

Bez vyriešenia kvadratickej rovnice pomocou inverznej Vietovej vety určte znaky jej koreňov:

a, b, k, l - rôzne korene;

c, d, h - negatívne;

d, f, g, i, m - pozitívne;

5. Riešenie kvadratických rovníc metódou „prenosu“.

Za samostatnú prácu.

Vyriešte kvadratické rovnice metódou preklopenia.

6. Riešenie kvadratických rovníc pomocou vlastností jeho koeficientov.

I. sekera 2 + bx + c = 0, kde a 0

1) Ak a + b + c = 0, potom x 1 = 1; x 2 =

Dôkaz:

sekera 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Podľa Vietovej vety

Podmienkou a + b + c = 0, potom b = -a - c. Potom dostaneme

Z toho vyplýva, že x 1 = 1; x 2 =. Q.E.D.

2) Ak a - b + c = 0 (alebo b = a + c), potom x 1 = - 1; x 2 = -

Dôkaz:

Podľa Vietovej vety

Podmienkou a - b + c = 0, t.j. b = a + c. Potom dostaneme:

Preto x 1 = - 1; x 2 = -.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.

a + b + c = 345 - 137 - 208 = 0

x 1 = 1; x 2 = =

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 = =

Odpoveď: 1;

Za samostatnú prácu.

Využitím vlastností koeficientov kvadratickej rovnice vyriešte rovnice

II. os 2 + bx + c = 0, kde a 0

x 1,2 =. Nech b = 2k, t.j. dokonca. Potom dostaneme

x 1,2 = = = =

Uvažujme o príklade:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

D 1 = (-7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1

x 1 = = 2; x 2 =

Odpoveď: 2;

Za samostatnú prácu.

a) 4x 2 - 36x + 77 = 0

b) 15x 2 - 22x - 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Odpovede:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

Uvažujme o príklade:

x 2 - 14x - 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 = -1; x 2 = 15.

Odpoveď: -1; 15.

Za samostatnú prácu.

a) x 2 - 8x - 9 = 0

b) x 2 + 6x - 40 = 0

c) x 2 + 18x + 81 = 0

d) x 2 - 56x + 64 = 0

7. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou grafov.

a) x 2 - 3x - 4 = 0

Odpoveď: -1; 4

b) x 2 - 2x + 1 = 0

c) x 2 - 2x + 5 = 0

Odpoveď: žiadne riešenia

Za samostatnú prácu.

Vyriešte kvadratické rovnice graficky:

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou kompasu a pravítka.

sekera 2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 a x 2 sú korene.

Nech A (0; 1), C (0;

Podľa sekrétovej vety:

ОВ · ОД = ОА · ОS.

Preto máme:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

К (; 0), kde = -

F (0;) = (0;) =)

1) Zostrojte bod S ( -;) - stred kruhu a bod A (0; 1).

2) Nakreslite kruh s polomerom R = SA /

3) Axissa bodov priesečníka tejto kružnice s osou x sú korene pôvodnej kvadratickej rovnice.

Existujú 3 možné prípady:

1) R> SK (alebo R>).

Kruh pretína os x v bode B (x 1; 0) a D (x 2; 0), kde x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice os 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (alebo R =).

Kruh sa dotýka osi vola v úzkosti B 1 (x 1; 0), kde x 1 je koreň kvadratickej rovnice

sekera 2 + bx + c = 0.

3) R.< SK (или R < ).

Kruh nemá s osou vola žiadne spoločné body, t.j. žiadne riešenia.

1) x 2 - 2x - 3 = 0.

Stred S (-;), t.j.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = - 1.

(1; - 1) je stred kruhu.

Nakreslite kruh (S; AS), kde A (0; 1).

9. Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu

Na riešenie používajú štvorciferné matematické tabuľky V.M. Bradis (tabuľka XXII., S. 83).

Nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0 svojimi koeficientmi určiť korene rovnice. Napríklad:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

Oba korene sú negatívne. Preto vykonáme zmenu: z 1 = - t. Dostaneme novú rovnicu:

t 2 - 4t + 3 = 0.

ti = 1; t 2 = 3

z 1 = - 1; z 2 = - 3.

Odpoveď: - 3; - jeden

6) Ak sú koeficienty p a q mimo stupnice, potom sa vykoná substitúcia z = k · t a rovnica sa vyrieši pomocou nomogramu: z 2 + pz + q = 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k sa berie s očakávaním, že dôjde k nerovnostiam:

Za samostatnú prácu.

2 + 6r - 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, | + 9

y 2 + 6r + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Odpoveď: -8; 2

Za samostatnú prácu.

Vyriešte geometricky rovnicu y 2 - 6y - 16 = 0.

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnicou tvaru:

Riešenie úplných kvadratických rovníc je o niečo ťažšie (len trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

Pamätajte si, akúkoľvek kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť pomocou diskriminátora!

Dokonca neúplné.

Ostatné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najskôr sa naučte riešenie pomocou diskriminátora.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminátora.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom má rovnica 2 korene. Zvláštnu pozornosť musíte venovať kroku 2.

Diskriminačný D nám hovorí počet koreňov v rovnici.

• Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica bude mať teda celý koreň.
• Ak, potom nebudeme schopní extrahovať koreň z diskriminátora v kroku. To naznačuje, že rovnica nemá korene.

Obráťme sa na geometrický význam kvadratická rovnica.

Graf funkcií je parabola:

Vráťme sa k svojim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2.

Považujeme za diskriminačného:

Rovnica má teda dva korene.

Krok 3

Odpoveď:

Príklad 10

Vyriešte rovnicu

Rovnica je preto uvedená v štandardnom tvare Krok 1 preskočiť.

Krok 2.

Považujeme za diskriminačného:

Rovnica má teda jeden koreň.

Odpoveď:

Príklad 11

Vyriešte rovnicu

Rovnica je preto uvedená v štandardnom tvare Krok 1 preskočiť.

Krok 2.

Považujeme za diskriminačného:

Preto nebudeme schopní extrahovať koreň z diskriminátora. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz vieme, ako správne napísať takéto reakcie.

Odpoveď:Žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety

Ak si pamätáte, potom existuje tento typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď je koeficient a rovný):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica je rovnaká a súčin koreňov je rovný.

Stačí si vybrať dvojicu čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice, a súčet je druhý koeficient braný s opačným znamienkom.

Príklad 12

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože ...

Súčet koreňov rovnice je, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A výrobok sa rovná:

Poďme zostaviť a vyriešiť systém:

• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Odpoveď: ; .

Príklad 13

Vyriešte rovnicu

Odpoveď:

Príklad 14

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáme, sú niektoré čísla a.

Číslo sa nazýva najstaršie resp prvé šance kvadratická rovnica, - druhý koeficient, ale - voľný člen.

Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmiznúť.

Navyše sa môže rovnať nule. Na tejto stoličke sa rovnica nazýva neúplné.

Ak sú na mieste všetky termíny, to znamená, že rovnica - úplné.

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc

Na začiatok budeme analyzovať metódy na riešenie neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Rozlišujú sa nasledujúce typy rovníc:

I., v tejto rovnici sú koeficient a intercept rovnaké.

II. , v tejto rovnici je koeficient.

III. , v tejto rovnici je voľný výraz rovný.

Teraz sa pozrime na riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Štvorcové číslo nemôže byť záporné, pretože keď vynásobíte dve záporné alebo dve kladné čísla, výsledkom bude vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá žiadne riešenia;

ak, máme dva korene

Tieto vzorce nie je potrebné si zapamätať. Hlavnou vecou je zapamätať si, že to nemôže byť menej.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Príklad 15

Odpoveď:

Nikdy nezabudnite na negatívne korene!

Príklad 16

Štvorec čísla nemôže byť záporný, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Aby sme stručne zaznamenali, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej množiny.

Odpoveď:

Príklad 17

Táto rovnica má teda dva korene: a.

Odpoveď:

Vytiahnite spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Vypočítajte ľavú stranu rovnice a nájdite korene:

Odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc

1. Diskriminant

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Nezabudnite, že akúkoľvek kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť pomocou diskriminátora! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreňa diskriminátora v koreňovom vzorci?

Ale diskriminujúca osoba môže byť negatívna.

Čo robiť?

Zvláštnu pozornosť je potrebné venovať kroku 2. Diskriminant nám naznačuje počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom nie je extrahovaný koreň diskriminátora. To naznačuje, že rovnica nemá korene.

Prečo je rozdielny počet koreňov?

Obráťme sa na geometrický význam kvadratickej rovnice. Graf funkcií je parabola:

V špeciálnom prípade, ktorý je kvadratickou rovnicou ,.

A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou (osou) osi x.

Parabola nesmie os vôbec pretínať alebo ju pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo v dvoch bodoch.

Koeficient je navyše zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

4 príklady riešenia kvadratických rovníc

Príklad 18

Odpoveď:

Príklad 19

Odpoveď:.

Príklad 20

Odpoveď:

Príklad 21

Takže neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď:.

2. Vieta veta

Vietovu vetu je veľmi jednoduché použiť.

Len potrebuješ zdvihnúť taká dvojica čísel, ktorej súčin sa rovná voľnému členu rovnice, a súčet je druhý koeficient, braný s opačným znamienkom.

Je dôležité mať na pamäti, že Vietovu vetu je možné použiť iba v redukované kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad 22

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože ... Ostatné koeficienty :; ...

Súčet koreňov rovnice je:

A výrobok sa rovná:

Vyberieme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a skontrolujeme, či je ich súčet rovnaký:

• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

A teda sú korene našej rovnice.

Odpoveď:; ...

Príklad 23

Riešenie:

Vyberme také dvojice čísel, ktoré prinášajú súčin, a potom skontrolujte, či je ich súčet rovnaký:

a: sčítať.

a: sčítať. Aby ste to dosiahli, stačí len zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj prácu.

Odpoveď:

Príklad 24

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, čo znamená, že súčin koreňov je záporné číslo. To je možné iba vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Preto súčet koreňov je rozdiel ich modulov.

Vyberme také dvojice čísel, ktoré prinášajú súčin, a ktorých rozdiel je rovný:

a: ich rozdiel je rovnaký - nezapadá;

a: - nezapadá;

a: - nezapadá;

a: - sedí. Zostáva len pamätať na to, že jeden z koreňov je negatívny. Pretože ich súčet musí byť rovnaký, koreň musí byť v absolútnej hodnote záporný :. Kontrolujeme:

Odpoveď:

Príklad 25

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, čo znamená, že súčin koreňov je negatívny. A to je možné iba vtedy, ak je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a potom určme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene sú vhodné pre prvú podmienku:

Odpoveď:

Príklad 26

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že najmenej jeden z koreňov je záporný. Ale pretože ich produkt je pozitívny, potom sú oba korene so znamienkom mínus.

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Očividne sú počty a korene.

Odpoveď:

Súhlasíte, je veľmi výhodné prísť s koreňmi ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora.

Skúste použiť Vietovu vetu tak často, ako to len bude možné!

Vietina veta je však potrebná na uľahčenie a urýchlenie hľadania koreňov.

Aby ste to využili so ziskom, musíte tieto akcie uviesť do automatiky. A za týmto účelom sa rozhodnite pre ďalších päť príkladov.

Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminátora! Iba Vieta veta!

5 príkladov o Vietovej vete pre nezávislú prácu

Príklad 27

Úloha 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle, výber začíname kúskom:

Nie je vhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď:; ...

Príklad 28

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vieta veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin je rovnaký.

Ale pretože by nemalo byť, ale, meníme znaky koreňov: a (celkom).

Odpoveď:; ...

Príklad 29

Úloha 3.

Hmm ... Kde to je?

Je potrebné preniesť všetky podmienky do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná produktu.

Tak prestaň! Rovnica nie je daná.

Vietova veta je však použiteľná iba vo vyššie uvedených rovniciach.

Najprv teda musíte priniesť rovnicu.

Ak sa nemôžete dovolať, zahoďte tento podnik a vyriešte to iným spôsobom (napríklad prostredníctvom diskriminátora).

Pripomínam vám, že priniesť kvadratickú rovnicu znamená, aby sa vedúci koeficient rovnal:

Potom je súčet koreňov rovnaký a súčin.

Tu sa dá ľahko vyzdvihnúť: koniec koncov - prvočíslo (ospravedlňujeme sa za tautológiu).

Odpoveď:; ...

Príklad 30

Úloha 4.

Voľný termín je záporný.

Čo je na tom také zvláštne?

A skutočnosť, že korene budú mať rôzne znaky.

A teraz počas výberu nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel ich modulov: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a jeden z nich je s mínusom.

Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, to znamená.

To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a, pretože.

Odpoveď:; ...

Príklad 31

Úloha 5.

Akú prvú vec treba urobiť?

Správne, uveďte rovnicu:

Opäť: vyberáme faktory čísla a ich rozdiel by mal byť:

Korene sú rovnaké a jeden z nich je s mínusom. Ktoré? Ich súčet by mal byť rovnaký, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď:; ...

Zhrňte

1. Vietova veta sa používa iba v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene selekciou, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo neexistuje ani jeden vhodný pár multiplikátorov voľného výrazu, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad prostredníctvom diskriminátora).

3. Spôsob výberu úplného štvorca

Ak sú všetky výrazy obsahujúce neznáme zastúpené vo forme výrazov zo skrátených multiplikačných vzorcov - štvorca súčtu alebo rozdielu -, potom po zmene premenných môže byť rovnica reprezentovaná ako neúplná kvadratická rovnica typu.

Napríklad:

Príklad 32

Vyriešte rovnicu :.

Riešenie:

Odpoveď:

Príklad 33

Vyriešte rovnicu :.

Riešenie:

Odpoveď:

IN všeobecný pohľad transformácia bude vyzerať takto:

To znamená:.

Nevyzerá to na nič?

Toto je diskriminácia! Správne, dostali sme diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáme, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný výraz.

Úplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sú koeficienty nie sú rovné nule.

Znížená kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, tj.

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient a alebo voľný výraz c rovnajú nule:

• ak je koeficient, rovnica má tvar :,
• ak je voľný výraz, rovnica má tvar :,
• ak a, rovnica má tvar :.

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrime neznáme :,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak rovnica nemá žiadne riešenia,
• ak, potom má rovnica dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vytiahnite spoločný faktor zo zátvoriek :,

2) Produkt sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Rovnica má preto dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy iba jeden koreň :.

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc tvaru kde

2.1. Diskriminačné riešenie

1) Uvedieme rovnicu do štandardného tvaru :,

2) Diskriminant vypočítame podľa vzorca :, ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom má rovnica korene, ktoré sa nachádzajú podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru, kde) je rovnaký a súčin koreňov je rovnaký, t.j. , ale.

2.3. Kompletné štvorcové riešenie