Geometrický obraz a trigonometrická forma komplexných čísel. Obraz reálnych čísel na číselnej osi. Intervaly platného čísla geometrického obrazu platných čísel
Expresívne geometrické znázornenie systému racionálne čísla Možno získať nasledovne.
V nejakej priamke, "numerická os", všimli sme segment od asi 1 (obr. 8). Dĺžka jedného segmentu je teda nastavená, ktorá vo všeobecnosti môže byť vybraná ľubovoľne. Pozitívne a negatívne celé čísla sú potom zobrazené sadu ekvivalentných bodov na číselnej osi, je to kladné čísla, ktoré majú byť správne a negatívne - vľavo od bodu 0. Ak chcete zobraziť čísla s menovateľom N, rozdeľujeme sa segmentov dĺžky jednotky na n rovnaké časti; \\ T Body rozdelenia zobrazia frakcie s menovateľom N. Ak tak urobíme pre n hodnoty zodpovedajúce všetkým prirodzeným číslam, každé racionálne číslo bude zobrazené určitým bodom numerickej osi. Tieto body súhlasíme s tým, že nazývame "racionálne"; Všeobecne platí, že termín "racionálne číslo" a "racionálny bod" sa použije ako synonymá.
V kapitole I, § 1 sa stanovil pomer nerovnosti najjemnejšieho páru racionálnych bodov, potom sa prirodzene pokúsil zhrnúť aritmetický pomer nerovnosti takým spôsobom, aby sa zachoval tento geometrický poriadok pre posudzované body. Je možné, ak budete mať nasledujúcu definíciu: hovoria, že racionálne číslo je menejako racionálne číslo v (Abols ako číslo A (B\u003e A) rozdiel v pozitívne. Z tu nasleduje (s a medzi A a B sú tie, ktoré sú súčasne\u003e a a segment (alebo vyrezať) a označuje [A, B] (a súbor iba medziľahlých bodov - interval (alebo rozdiel), označený (A, B)).
Vzdialenosť ľubovoľného bodu a od začiatku 0, považovaná za kladné číslo, sa nazýva absolútna hodnota A je označený symbolom
Koncepcia "absolútna hodnota" je definovaná nasledovne: ak je A≥0, potom | A | \u003d A; Ak.
| A + IN | ≤ | A | + | V |,
ktorý je spravodlivý bez ohľadu na označenie A a V.
Skutočnosť zásadného významu je vyjadrený nasledujúcim návrhom: racionálne body sa nachádzajú na číselnom priamom mieste všade. Význam tohto schválenia je jedným vo vnútri akéhokoľvek intervalu, bez ohľadu na to, aké malé je, obsahuje racionálne body. Aby ste sa uistili, že vyjadrené schválenie je len dostatočné na to, aby ste si vybrali číslo n, že interval bude menší ako tento interval (A, B); Potom aspoň jeden z bodov druhov bude vo vnútri tohto intervalu. Takže, neexistuje žiadny takýto interval na numerickej osi (dokonca aj najmenší, ktorý si možno predstaviť), vo vnútri by neboli žiadne racionálne body. Nasleduje ďalší dôsledok: V každom intervale je nekonečný súbor racionálnych bodov. V skutočnosti, ak v určitom intervale, bol obsiahnutý len konečný počet racionálnych bodov, potom vo vnútri intervalu tvoreného dvoma susednými bodmi, racionálne body by už neboli, a to je v rozpore s tým, čo sa práve dokázalo.
Koncepty "SET", "prvok", "patriaci prvok súboru" - primárnych pojmov matematiky. Veľa- akékoľvek stretnutie (agregát) všetkých subjektov .
A je podmnožinou sady,ak každý prvok nastaveného A je prvok set, t.j. Aìv û (med þ huming).
Dva súbory sú rovnakéAk sa skladajú z rovnakých prvkov. Hovoríme o teoretickej a viacnásobnej rovnosti (nie je zamieňať s rovnosťou medzi číslami): A \u003d v û Aìv ù.
Kombinácia dvoch sád Skladá sa z prvkov patriacich aspoň jednej zo súprav, t.j. zámok û Hîaú.
Križovatka Skladá sa zo všetkých prvkov súčasne patriaci do nastavenej A a nastavenej na: zámok û hîra ù med.
Rozdiel pozostáva zo všetkých prvkov a nepatrí, t.j. xî A v û hîra ùh.
Karteziánska práca C \u003d A'V SETS A A B nazýval mnoho možných párov ( x, W.) Kde prvý prvok h. Každý pár patrí k druhému prvku w. vo vlastníctve V.
Podskupina F DESKARTOVA WORKS A'V sada mapovania a v súbore Ak je podmienka splnená: (" h.Îa) ($! Pár ( kh.u.) Îf). Zároveň napíšu: A.
Termíny "Displej" a "Funkcia" - Synonymá. Ak ("xîa) ($! Horúce): ( x, W.) Îf, potom prvok w.Î V zavolaný cesta h. Pri zobrazení F a napíšte to takto: w.\u003d F ( h.). Element h. Zároveň je súčasný (jeden z možných) prvky.
Zvážiť mnoho racionálnych čísel q - Mnohé z všetkých celých čísel a mnohých všetkých frakcií (pozitívnej a negatívnej). Každé racionálne číslo je znázornené ako súkromné, napríklad 1 \u003d 4/3 \u003d 8/6 \u003d 12/9 \u003d .... Reprezentácie takýchto mnohých, ale len jeden z nich je nekonzistentný .
V mesak racionálne číslo môže byť slobodné vo forme frakcií p / q, kde Pîz, QÎn, číslo p, q- vzájomne jednoduché.
Vlastnosti nastaveného Q.:
1. Výzvou vzhľadom na aritmetické operácie.Výsledok pridávania, odčítania, násobenia, erekcie v prirodzenom stupni, rozdelenie (okrem rozdelenia podľa 0) racionálne čísla je racionálne číslo:; ; \\ T 
.
2. Originality: (" x, W.ÎQ, x¹)®( x.
A: 1) a\u003e B, B\u003e C þ A\u003e C;2) A. -b..
3. Hustota. Medzi dvoma racionálnymi číslami x, W. Existuje tretie racionálne číslo (napríklad, c \u003d. ):
("x, W. ÎQ, x.<y.) ($ CÎQ): ( h.
Na set Q sa môže vykonať 4 aritmetické akcie, riešiť systémy lineárnych rovníc, ale štvorcové rovnice druhov x 2 \u003d A, AÎN nie sú vždy rozpúšťateľné v set Q.
Teorem. Neexistuje žiadne číslo xîqKtoré námestie je 2.
g Predpokladá sa, že taká frakcia h.\u003d p / q, kde čísla p a q sú vzájomne jednoduché a h. 2 \u003d 2. Potom (p / q) 2 \u003d 2. Teda,
Pravá strana (1) je rozdelená na 2, čo znamená P2 aj číslo. Tak, p \u003d 2N (n-integer). Potom q by malo byť nepárne číslo.
Vrátenie (1), máme 4N 2 \u003d 2Q 2. Preto Q2 \u003d 2N 2. Podobne sa uistíme, že Q je rozdelený na 2, t.j. Q je párne číslo. Podľa metódy od protiľahlej teorem.
geometrický obraz racionálnych čísel.Nastavenie jedného segmentu od začiatku súradníc 1, 2, 3 ... Raz vpravo získavame bod súradnice priame, čo zodpovedá prirodzeným číslam. Šiť podobne vľavo, získavame body zodpovedajúce negatívnym celé čísla. Podniknúť 1 / Q.(q \u003d.2,3,4 … ) časť jedného segmentu a odloží ho na oboch stranách začiatku odkazu ročníkčas. Dostaneme body priamo zodpovedajúce čísla typu ± P / Q (Pîz, QÎn). Ak p, q spustí všetky páry vzájomne jednoduchých čísel, potom na priame, že máme všetky body zodpovedajúce frakčným číslam. Touto cestou, každé racionálne číslo zodpovedá prijatej metóde jediným bodom súradnice.
Je možné špecifikovať jedno racionálne číslo pre akýkoľvek bod? Je naplnený rovnými racionálnymi číslami?
Ukazuje sa na súradnicu, že nie sú potrebné žiadne racionálne čísla. Na jednom segmente postavíme rovnako chalovaný obdĺžnikový trojuholník. Bod n nezodpovedá racionálnemu číslu, pretože ak Na \u003d X. - racionálne, potom x 2 \u003d2, ktoré nemôžu byť.
Body ako N, v priamom nekonečne veľa. Vezmite racionálne časti segmentu X \u003d OH, tí. H.. Ak ich odložíte doprava, každý z koncov niektorého z týchto segmentov nebude zodpovedať žiadnemu racionálnemu číslu. Za predpokladu, že dĺžka segmentu je vyjadrená racionálnym číslom x \u003dDostaneme to x \u003d - racionálne. To je v rozpore s overeným vyššie.
Racionálne čísla nestačia na porovnanie určitého racionálneho čísla do každého bodu súradnice.
Vybudovať mnoho platných čísel r prostredníctvom nekonečné desatinné frakcie.
Podľa separačného algoritmu je akékoľvek racionálne číslo ideologické vo forme konečnej alebo nekonečnej periodickej dekačnej frakcie. Keď frakcia p / q, menovateľ nemá jednoduché rozdelenie okrem 2 a 5, t.j. Q \u003d 2 m × 5 K, potom bude výsledok konečný desatinný p / q \u003d a 0, 1 a 2 ... a n. Zostávajúce frakcie môžu mať len nekonečné desatinné expanzie.
Vedieť nekonečné periodické desatinné frakcie, môžete nájsť racionálne číslo, ktorého je reprezentácia. Akákoľvek konečná desatinná frakcia však môže byť reprezentovaná ako nekonečná desatinná frakcia jedným spôsobom:
a 0, A 1 A 2 ... A N \u003d A 0, A 1 A 2 ... A N 000 ... \u003d A 0, A 1 A 2 ... (A N-1) 999 ... (2) \\ t
Napríklad pre nekonečnú desatinnú frakciu H.\u003d 0, (9) Máme 10 h.\u003d 9, (9). Ak od 10x odpočíta pôvodné číslo, potom dostaneme 9 h.\u003d 9 alebo 1 \u003d 1, (0) \u003d 0, (9).
Medzi súpravou všetkých racionálnych čísel je nastavená medzi súborom všetkých racionálnych čísel a množinou všetkých nekonečných periodických desatinných frakcií, ak identifikuje nekonečný desatinný frakcia s číslom 9 v období s zodpovedajúcim nekonečným desatinným frakcii s číslom 0 v období podľa pravidla (2).
Súhlasíme s tým, že konzumujú takéto nekonečné periodické frakcie, ktoré nemajú na obrázkoch 9 v období. Ak sa v období odôvodnenia vyskytne nekonečná periodická desatinná frakcia s číslom 9, bude nahradená nekonečným desatinnou frakciou s nulou v období, t.j. Namiesto 1,999 ... budeme trvať 2 000 ...
Definícia iracionálneho čísla.Okrem nekonečných desatinných periodických frakcií existujú neperiodické desatinné frakcie. Napríklad 0.1010010001 ... alebo 271234567891011 ... (Po každej čiarke sú prírodné čísla konzistentne).
Zvážte nekonečný desatinný zlomok formulára ± A 0, 1 a 2 ... A N ... (3)
Táto frakcia je určená nastavením znamenia "+" alebo "-", celého nonnegatívneho čísla A 0 a sekvencia desatinných značiek A 1, A2, ..., A, ... (Mnoho desatinných príznakov sa skladá desiatich čísel: 0, 1, 2, ... deväť).
Akákoľvek frakcia formulára (3) poďme Platné (skutočné) číslo.Ak pred zlomkou (3) je označenie "+", zvyčajne sa zníži a napísal 0, 1 a 2 ... A N ... (4)
Počet druhov (4) negatívne reálne číslo,a v prípade, že aspoň jeden z čísel A 0, 1, A 2, ..., N sa líši od nuly, - pozitívne platné číslo. Ak sa označenie "-" urobí v výraze (3), toto je záporné číslo.
Kombinácia radu racionálnych a iracionálnych čísel tvorí množstvo platných čísel (qèj \u003d r). Ak je nekonečná desatinná frakcia (3) periodická, potom je to racionálne číslo, keď je frakcia neperiodická - iracionálna.
Dve negatívne platné čísla A \u003d A 0, A 1 A 2 ... A N ..., B \u003d B 0, B 1 B 2 ... B N .... Zavolať rovný (napíšte a \u003d B.), ak a n \u003d b npre n \u003d 0,1,2 ... číslo menej ako číslo b (napíšte a.<b.), ak A 0. alebo A 0 \u003d B 0 a existuje také číslo m,čo a k \u003d b k (k \u003d 0,1,2, ... M-1),ale M. . a. Û (A 0 Ú ($mîn: a k \u003d b k (k \u003d), m ). Podobne koncepcia " ale> B.».
Na porovnanie ľubovoľných reálnych čísel predstavujeme koncept " modul A.» . Modul reálneho čísla a \u003d ± A 0, A 1 A 2 ... A N ... Nazýva sa taký ne-negatívny platný počet rovnakými nekonečnými desatinnou frakciou, ale vzatý so znakom "+", t.j. ½ ale½= a 0, A 1 A 2 ... A N ... a½ ale½³0. Ak ale -negatívny b. - Záporné číslo, potom zvážiť a\u003e B.. Ak sú obe čísla negatívne ( a.<0, b<0 ), potom predpokladáme, že: 1) A \u003d B.Ak ½ ale½ = ½ b.½; 2) ale Ak ½ ale½ > ½ b.½.
Vlastnosti Set R.:
I. Objednávky:
1. Pre každý pár platných čísel ale a b. Existuje jeden a len jeden pomer: a \u003d b, a
2. ak A.
3. ak a. Potom je tu také číslo a.< с .
II. Vlastnosti akrektu a odčítania:
4. a + B \u003d B + A (komutatívne).
5. (A + B) + C \u003d A + (B + C) (Associativita).
6. a + 0 \u003d a.
7. a + (- A) \u003d0.
8. je a. Þ A + S.
III. VLASTNOSTI POTREBUJÚCICH ČINNOSTÍ:
9. a × b \u003d b × a .
10. (A × b) × c \u003d A × (b × c).
11. a × 1 \u003d a.
12. × (1 / A) \u003d 1 (A¹0).
13. (A + B) × C \u003d AC + BC(Distribúcia).
14. ak a. a C\u003e 0, potom a × S.
IV. Archimedovo nehnuteľnosti("Cîr) ($ Nîn): (N\u003e C).
Aký by bol počet Cîr, je nîn, že n\u003e c.
V. Majetku kontinuity platných čísel. Nechajte dve nepráske sady AR a Bìr sú také, že akýkoľvek prvok aleNebude viac ( a.£ b.) Akýkoľvek prvok Bîb. Potom princíp kontinuity Dedekinduschváliť takéto číslo s tým, čo pre všetkých aleÎa a Bîb drží stav a.£ c £. b.:
("Aìr, Bìr) :(" a.Îa, Bîb ® a.£ b) ($ Cîr): (" a.Îa, Bîb® a.£ c £ b).
Identifikujeme set R s množstvom numerických priamkových bodov a reálne čísla Zavolajte bodky.
Komplexné čísla
Základné pojmy
Počiatočné údaje o čísle patria do éry veku kamennej - paleomelitída. Toto je "jeden", "malý" a "veľa". Boli zaznamenané vo forme potopov, uzlín atď. Rozvoj pracovných procesov a vzhľad vlastníctva prinútili človeka, aby vymyslel čísla a ich mená. Najprv sa objavili prírodné čísla N.S skóre položiek. Potom, spolu s potrebou účtu, ľudia majú potrebu merať dĺžky, štvorce, zväzky, čas a iné hodnoty, kde sme museli zohľadniť časti použitého opatrenia. Takto vznikli frakcie. Formálne zdôvodnenie pojmov frakčného a záporného čísla sa uskutočnilo v 19. storočí. Mnoho celé čísla Z. - Toto sú prirodzené čísla, prirodzené s mínusom a nulovým znamením. Celé I. frakčné čísla Tvorili kombináciu racionálnych čísel Q,ale nebolo dostatočné na štúdium neustále sa meniace premenné. Opäť ukázal nedokonalosť matematiky: neschopnosť vyriešiť rovnicu formulára h. 2 \u003d 3, v súvislosti s ktorými sa objavili iracionálne čísla I.Kombinácia množiny racionálnych čísel Q.a iracionálne čísla I.- Mnohé platné (alebo skutočné) čísla R.. Výsledkom je, že číselná priamka bola vyplnená: každé skutočné číslo zodpovedalo. Ale na súpravu R. Neexistuje žiadna možnosť vyriešiť rovnicu formulára h. 2 = – ale 2. V dôsledku toho je potrebné znova rozšíriť koncept čísla. Takže v roku 1545 sa objavili komplexné čísla. Ich tvorcom J. Kardano ich zavolal "čisto negatívne". Názov "Mimic" predstavil Francúz R. Descarten v roku 1637, v roku 1777, Euler ponúkol používať prvé písmeno francúzskeho čísla i. Na označenie imaginárnej jednotky. Tento symbol vstúpil do univerzálneho používania vďaka K. Gauss.
Počas 17. - 18. storočia pokračovala diskusia o aritmetickej povahe rozdielov, ich geometrický výklad pokračoval. Danchanin G. Plavidlo, Francúz J. Argan a nemecký K. Gauss nezávisle od seba ponúkol komplexný počet bodov koordinovať lietadlo. Neskôr sa ukázalo, že je ešte vhodnejšie znázorniť číslo nie je samotným bodom, a vektor, ktorý ide do tohto bodu od začiatku súradníc.
Iba do konca 18. - začiatkom 19. storočia, komplexné čísla obsadili hodné miesto v matematická analýza. Ich prvé použitie - teória diferenciálne rovnice a v teórii hydrodynamiky.
Definícia 1.Integrované číslo nazývaný výraz zobrazenia x. a y. - skutočné čísla a I. - imaginárna jednotka ,.
Dva komplexné čísla a rovný Potom a len vtedy, keď.
Ak sa číslo volá Čisto imaginárny; \\ T Ak je číslo platným číslom, znamená to, že sada R. Zkde Z - veľa komplexné čísla.
Konjugátintegrované číslo sa nazýva komplexné číslo.
Geometrický obraz komplexných čísel.
Akékoľvek integrované číslo môže byť zobrazené bodom. M.(x., y.) Lietadlo Oxy.Pár platných čísel je indikovaný súradnicami polomerov-vektora 
. Môžu byť inštalovaná viacnásobná korešpondencia medzi množinou vektorov v rovine a mnoho komplexných čísel :.
Definícia 2.Skutočná časť h..
Označenie: x. \u003d Re. z.(z latinskej realis).
Definícia 3.Imaginárna časť Integrované číslo sa nazýva platné číslo y..
Označenie: y. \u003d Im. z.(z latinského imaginarius).
Re. z. odložená na osi ( Oh)Im. z. odložená na osi ( Oy.) Potom je vektor zodpovedajúci integrovaným číslom je polomer-vektorový bod M.(x., y.), (alebo M. (Re. z.Im. z.)) (Obr. 1).
Definícia 4.Lietadlo, ktorých body sú v súlade s mnohými komplexnými číslami, nazývaný komplexná rovina. Axcia osi sa nazýva platná osVzhľadom k tomu, že ide o aktívne čísla. Origis je nazývaná imaginárna osJe to čisto imaginárne komplexné čísla. Uvádza sa veľa komplexných čísel Z.
Definícia 5.Modulintegrované číslo z. = (x., y.) Nazýva sa dĺžka vektora :, t.j. 
.
Definícia 6.Argument Integrované číslo sa nazýva uhol medzi smerom pozitívnej osi ( Ohovárať) a vektor: 
.
§1.1. Skutočné čísla
Prvý známy s platnými číslami sa vyskytuje v Školský kurz matematiky. Akékoľvek platné číslo predstavuje konečnú alebo nekonečnú desatinnú frakciu.
Platné (skutočné) čísla sú rozdelené do dvoch tried: trieda racionálnej a triedy iracionálnych čísel. Racionálny nazývané čísla, ktoré majú výhľad, kde m. a n. - celkom vzájomne jednoduché čísla, ale 
. (Mnohé racionálne čísla sú označené písmenom Q.). Zostávajúce platné čísla sa nazývajú iracionálny. Racionálne čísla predstavujú konečnú alebo nekonečnú periodickú frakciu (rovnaké ako bežné frakcie) Potom iracionálne budú tie a len tie skutočné čísla, ktoré môžu byť reprezentované nekonečnými neperiodickými frakciami.
Napríklad číslo 
- racionálne, a 
, 
, 
atď. - iracionálne čísla.
Skutočné čísla môžu byť rozdelené aj na algebraické korene polynómu s racionálnymi koeficientmi (zahŕňajú najmä všetky racionálne čísla - korene rovnice 
) - A na transcendentné - všetky ostatné (napríklad čísla 
iné).
Súpravy všetkých prirodzených, celých, platných čísel zodpovedajúcim spôsobom: N.Z., R.
(Počiatočné písmená slov Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Obraz reálnych čísel na číselnej osi. Intervaly
Geometricky (pre jasnosť) Skutočné čísla sú zobrazené bodmi na nekonečné (v oboch smeroch) priamej čiary, nazývanej číselný
osi. Na tento účel sa bod nasníma na priamou čiarou (začiatok referenčného - bod 0), je uvedený pozitívny smer zobrazený šípkou (zvyčajne vpravo) a je zvolená jednotka, ktorá je defakovaná neobmedzená Pokyny z bodu 0. A celé čísla sú znázornené. Pre zobrazenie čísla s jedným desatinným znakom je potrebné rozdeliť každý segment pre desať častí atď. Každé skutočné číslo je teda reprezentované bodom na numerickej osi. Späť, každý bod 
zodpovedá platnému číslu rovnému dĺžke segmentu 
A prijaté s označením "+" alebo "-" v závislosti od toho, či je bod vpravo alebo vľavo od začiatku odkazu. Medzi sadou všetkých platných čísel a súborom všetkých bodov numerickej osi je teda vytvorená vzájomne hodnotná korešpondencia. Podmienky "Platné" a "bod numerickej osi" sa používajú ako synonymá.
Symbol 
Označujeme skutočné číslo a bod zodpovedajúcim. Pozitívne čísla K dispozícii je správny bod 0, negatívny - doľava. Ak 
Potom na číselnej osi 
leží vľavo od bodu 
. Dať bod 
zodpovedá číslu, potom sa číslo nazýva koordinný bod, písať 
; \\ T Častejšie je samotný bod označený rovnakým písmenom ako číslo. Bod 0 - začiatok súradníc. Axis označuje aj písmeno 
(Obr.1.1).
Obr. 1.1. Číslo os.
Kombinácia všetkých čísel leží medzi čísla údajov a sa nazýva interval alebo medzera; Končí a môže patriť k nemu a nemusí patriť. Nárok. Byť 
. Kombinácia čísel spĺňajúcich stav 
, sa nazýva interval (v úzkom zmysle) alebo interval otvorenia, označený symbolom 
(Obr.1.2).
Obr. 1.2. Interval
Súhrn čísel tak, že 
nazývaný uzavretý interval (segment, segment) a označil 
; \\ T Číselná os je uvedená takto:
Obr. 1.3. Uzavretý interval
Z otvorenej medzery sa líši len v dvoch bodoch (koncoch) a. Tento rozdiel je však základný, podstatný, ako uvidíme v budúcnosti, napríklad pri štúdiu vlastností funkcií.
Vynechanie slov "Mnoho všetkých čísel (bodov) x. Takéto "atď.
a 
, označuje 
a 
semiotvorné alebo semi-zaseknuté, intervaly (niekedy: polo-intervaly);
alebo 
Znamená: 
alebo 
A označuje 
alebo 
;
alebo 
prostriedok 
alebo 
A označuje 
alebo 
;
, označuje 
mnohé z všetkých platných čísel. Ikony 
Symboly "nekonečna"; Nazývajú sa nekompenzívne alebo ideálne čísla. 
§1.3. Absolútna hodnota (alebo modul) platného čísla
Definícia. Absolútna hodnota (alebo modul) Čísla sa nazývajú toto číslo, ak 
alebo 
Ak 
. Určený symbol absolútnej hodnoty 
. Tak, 
Napríklad, 
, 
, 
.
Geometricky znamená bod vzdialenosti a. pred začiatkom súradníc. Ak máme dva body a potom môže byť vzdialenosť medzi nimi reprezentovaná ako 
(alebo 
). Napríklad, 
Táto vzdialenosť 
.
Vlastnosť absolútne hodnoty.
1. Z definície to vyplýva 
, 
, t.j 
.
2. Absolútne množstvo sumy a rozdielu nepresahuje výšku absolútnych hodnôt: 
.
1) ak 
T. 
. 2) ak 
potom. ▲.
3. 
.
, potom majetkom 2: 
. 
. Podobne, ak predložíte 
, potom prísť do nerovnosti 
▲
4. 
- Z definície: Zvážte prípady 
a 
.
5. 
za predpokladu, že 
Vyplýva z definície.
6. nerovnosť 
,
prostriedok 
. Táto nerovnosť spĺňa body, ktoré ležia 
a 
.
7. nerovnosť 
ekvivalentné nerovnosti 
. . Toto je interval s centrom na dĺžke dĺžky. 
. To sa nazýva 
body susedstva (čísla). Ak 
, susedstvo sa nazýva punktúra: toto alebo 
. (Obr.1.4).
8. 
Odkiaľ vyplýva, že nerovnosť 
(
) Je rovnocenná nerovnosti 
alebo 
; \\ T A nerovnosť 
určuje súbor bodov, za ktoré 
. Ide o body ležiace mimo segmentu 
presne: 
a 
.
§1.4. Niektoré koncepty, notácie
Predstavujeme niektoré rozšírené koncepty, označenia z teórie súprav, matematickej logiky a iných častí modernej matematiky.
1 . Koncepcia Nasadiť sa Je to jeden z hlavných matematiky, počiatočnej, univerzálnej - a preto nie je možné určiť. Je možné ho opísať len (nahradiť synonymá): Toto je zbierka, súbor niektorých objektov, vecí kombinovaných akýmkoľvek príznakom. Tieto objekty sa nazývajú prvky sady. Príklady: Množstvo piesku na brehu, hviezdy vo vesmíre, študenti v publiku, korene rovnice, bodky segmentu. Súpravy, ktorých prvky sú podstatou čísla numerické súpravy. Pre niektoré štandardné sady sa zavádzajú špeciálne označenia, napríklad, N., Z., R -pozri § 1.1.
Byť A. - Väčšina I. x. Je to jeho prvok, potom píšu: 
; \\ T čítať " x. patrí A.» ( 
znamenie inklúzie pre položky). Ak objekt x. Nie sú zahrnuté v A., potom napíšte 
; \\ T Čítanie: " x. Nepatrí A." Napríklad, 
N.; 8,51
N.; \\ T Ale 8,51 
R..
Ak x. je všeobecné označenie prvkov sady A., potom napíšte 
. Ak je možné zapísať označenie všetkých prvkov, potom napísať 
, 
A tak ďalej. Súprava, ktorá neobsahuje jeden prvok, sa nazýva prázdny súbor a označuje symbol ; Napríklad sada koreňov (platných) rovníc 
Je prázdny.
Mnohí koniecAk sa skladá z konečného počtu položiek. Ak je to všetko prirodzené číslo n, v odrode A. Tam sú prvky viac ako n, potom A. zavolaný nekonečný Rôzne: V IT prvkach nekonečne veľa.
Ak každý prvok súboru ^ A. Patrí a nastaviť B.T. 
nazývaná časť alebo podmnožina množiny B. a písať 
; \\ T čítať " A. obsiahnuté v B.» ( 
Tam je podpísať sada). Napríklad, N.Z.R.Ak 
, potom hovoria, že mnohí A. a B. a písať 
. Inak písať 
. Napríklad, ak 
, ale 
veľa koreňov rovnice 
potom.
Kombinácia prvkov oboch súborov A. a B. zavolaný Združenie A určené 
(niekedy 
). Kombinácia prvkov patriacich a A. a B.zavolal priesečník A určené 
. Kombinácia všetkých prvkov súboru ^ A.nie je obsiahnuté B.zavolal rozdiel A určené 
. Tieto operácie môžu byť schematicky zobrazené ako:
Ak existuje viacero zodpovedajúcich sád súborov, hovorí sa, že tieto súbory sú ekvivalentné a napísané 
. Veľa A.Rovnocenné nastaveniu prirodzené čísla N.\u003d zavolal Účtovníctvo alebo vypočítané. Inými slovami, nastavená sa nazýva zodpovedná, ak ich prvky môžu byť očíslované, nájsť v nekonečnom sekvencia 
, ktorých členovia sú odlišné: 
pre 
A môže byť napísaný vo forme. Iné nekonečné súbory sa nazývajú nezabezpečený. Nehody okrem najviac N, Bude napríklad nastavené 
, Z. Ukazuje sa, že mnohé racionálne a algebraické čísla - Nehody a ekvivalent medzi sebou mnoho všetkých iracionálnych, transcendentálnych, reálnych čísel a bodov akéhokoľvek intervalu - nepríjemné. Hovorí sa, že tieto majú moc kontinua (výkon - zovšeobecnenie koncepcie množstva (číslo) prvkov pre nekonečnú súpravu).
2
. Nech sú dve vyhlásenia, dva fakty: a 
. Symbol 
znamená: "Ak je to pravda, potom pravda a" alebo "z toho nasleduje", "implicitné jesť koreň rovnice má nehnuteľnosť z angličtiny Existovať - existujú.
Nahrávanie: 
alebo 
znamená: existuje (aspoň jedna) položka 
. A záznam 
alebo 
znamená: každý má nehnuteľnosť. Môžeme napísať najmä: 
a.
Z obrovskej škály všetkých druhov nasadiť sa Zvlášť zaujímavé sú tzv. Číselné súbory, to znamená, že súpravy, ktorých prvky sú čísla. Je jasné, že pre pohodlnú prácu s nimi musíte byť schopní ich zaznamenať. S označením a princípmi nahrávania numerických súborov začneme tento článok. A potom zvážte, ako sú numerické súbory zobrazené na súradnicovom priamom.
Navigácia.
Nahrávanie numerických súprav
Začnime s prijatými označeniami. Ako viete, použijete sa na označenie súborov veľké písmená Latinská abeceda. Číselné súbory súkromný prípad Sú uvedené aj súbory. Môžete napríklad hovoriť o numerických sériách A, H, W, atď. Zvlášť dôležité sú mnohé prírodné, celé číslo, racionálne, reálne, integrované čísla, atď.
- N - súbor všetkých prírodných čísel;
- Z - mnoho celé čísla;
- Q - Mnoho racionálnych čísel;
- J - Mnohé iracionálne čísla;
- R je veľa platných čísel;
- C - Mnoho komplexných čísel.
Je zrejmé, že nie je potrebné určiť súbor, pozostávajúci napríklad z dvoch čísel 5 a -7 ako Q, toto označenie bude zavádzané, pretože písmeno q je zvyčajne označované mnohými racionálnymi číslami. Ak chcete označiť špecifikovaný numerický súbor, je lepšie použiť inú "neutrálnu" list, napríklad a.
Keďže sme začali hovoriť o označení, tu pripomíname označenie prázdnej sady, to znamená, že sady, ktoré neobsahujú prvky. Je indikovaný označením ∅.
Pripomíname aj označenie príslušnosti a neplodenie sady prvku. Pre toto, značky ∈ - patrí a ∉ nepatrí. Napríklad nahrávanie 5∈n znamená, že číslo 5 patrí do súboru prírodných čísel a 5,7 ∉z - desatinnej frakcie 5.7 nepatrí do súboru celých čísel.
A vyvoláme, že označenia prijaté tak, aby zahŕňali jeden súbor do druhého. Je zrejmé, že všetky prvky set n sú zahrnuté v súprave Z, číselné nastavenie n je zahrnuté v Z, toto je indikované ako n⊂z. Môžete tiež použiť Z⊃N záznam, čo znamená, že sada všetkých celých čísel Z obsahuje nastavenú n. Vzťah nie je zahrnutý a nezahŕňa značky podľa značiek a. Používajú sa aj príznaky nedotknuté zaradenie formulára ⊆ a ⊇, čo znamená, že je zapnutý alebo sa zhoduje a zahŕňa alebo sa zhoduje.
Hovorili sme o označení, prejdite na popis numerických sadov. Súčasne sú ovplyvnené len hlavné prípady, ktoré sú najčastejšie používané v praxi.
Začnime s numerickými množinami obsahujúcimi konečný a malý počet položiek. Číselné súbory pozostávajúce z konečného počtu prvkov sú vhodne opísané tým, že obifitujte všetky ich prvky. Všetky čísla prvkov sa zaznamenávajú prostredníctvom čiarky a sú uzatvorené, čo je v súlade so spoločným pravidlá pre opis súborov. Napríklad, sada pozostávajúca z troch čísel 0, -0,25 a 4/7 môže byť opísaná ako (0, -0,25, 4/7).
Niekedy, keď je počet prvkov numerického súboru dostatočne veľké, ale prvky sú predmetom niektorých vzorov, bodka sa používa na opis. Napríklad súbor všetkých nepárnych čísel od 3 do 99 vrátane môže byť napísaná ako (3, 5, 7, ..., 99).
Takže sme hladko priblížili k opisu numerických sadov, ktorých počet prvkov je nekonečný. Niekedy môžu byť opísané vo všetkom príliš veľa. Napríklad popisujeme súbor všetkých prírodných čísel: n \u003d (1, 2. 3, ...).
Používajte aj popis numerických súborov špecifikovaním vlastností jeho prvkov. Zároveň aplikujte označenie (X | Vlastnosti). Napríklad nahrávanie (n | 8 · n + 3, n∈n) nastaví mnoho z týchto prírodných čísel, ktoré zvyšok 3 poskytuje zvyšok pri 8 ° C. Táto súprava môže byť opísaná ako (11.19, 27, ...).
V konkrétnych prípadoch sú známe numerické súpravy s nekonečným počtom prvkov, sú známe N, Z, R a podobne. alebo numerické medzery. A väčšinou číselné súbory sú reprezentované ako združenie Zložky ich individuálnych číselných intervalov a numerických súprav s konečným počtom prvkov (ktoré sme hovorili mierne vyššie).
Zobraziť príklad. Nechajte numerickú nastavenie tvorí číslo -10, -9, -8,56, 0, všetky čísla segmentu [-5, -1,3] a počet otvorených numerických lúčov (7, + ∞). Kvôli definícii zjednotenia súborov môže byť zadaná numerická súprava napísaná ako {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Takýto záznam skutočne znamená súpravu obsahujúcu všetky prvky sád (-10, -9, -8,56, 0), [-5, -1,3] a (7, + ∞).
Podobne, kombináciou rôznych číselných medzier a súborov jednotlivých čísel, môžete opísať akúkoľvek numerickú množinu (pozostávajúcu z platných čísel). Zostavuje sa tu, prečo takéto typy numerických medzier boli zavedené ako interval, polovičný interval, segment, otvorený číselný lúč a numerický lúč: všetky z nich v priestore so symbolmi súborov jednotlivých čísel vám umožňujú opísať akýkoľvek číselné súbory prostredníctvom ich združenia.
Upozorňujeme, že pri nahrávaní numerickej súpravy sú komponenty jeho počtu a numerických medzier objednané vzostupne. Toto nie je povinné, ale žiaduci stav, pretože objednaný číselný súbor je ľahšie si predstaviť a zobrazovať na súradnicu priamej. Tiež všimnite, že tieto záznamy nie sú použité numerické intervaly spoločné prvkyKeďže takéto záznamy môžu byť nahradené kombináciou numerických intervalov bez bežných prvkov. Napríklad kombinácia numerických sadov so spoločnými prvkami [-10, 0] a (-5, 3) je polotvrdzobný [-10, 3). To isté platí pre kombináciu číselných medzier s rovnakými hraničnými číslami, napríklad Únia (3, 5] ∪ (5, 7] je sada (3, 7], budeme sa na tom oddelene zastaviť, keď sa naučíme Nájdite križovatku a kombináciu číselných sadov.
Obrázok číselných súborov na súradnicu Direct
V praxi je vhodné použiť geometrické obrazy numerických sadov - ich obrázky. Napríklad rozhodovacie nerovnostiV ktorom je potrebné zvážiť OTZ, musíte zobraziť numerické súbory, aby ste našli ich križovatku a / alebo únie. Takže to bude užitočné bude dobre schopní sa vysporiadať so všetkými nuanmi obrazu numerickej sady na súradnicu priame.
Je známe, že medzi bodmi v koordinácii priamych a platných čísel, existuje vzájomne jednoznačné dodržiavanie, čo znamená, že súradnicová priama je geometrickým modelom množstva všetkých platných čísel R. Na zobrazenie mnohých platných čísel je teda nutné nakresliť koordináciu rovno s poklopom v celej ňom:
A často nenaznačujú začiatok odkazu a jediný segment: 
Teraz sa porozprávaj o obraze číselných súprav, ktoré sú niektoré konečné číslo jednotlivých čísel. Napríklad zobrazí numerickú sadu (-2, -0,5, 1,2). Geometrický spôsob tejto súpravy pozostávajúcej z troch čísel -2, -0,5 a 1.2 budú tri body súradnice priamo s príslušnými súradnicami: \\ t 
Všimnite si, že zvyčajne pre potreby praxe nie je potrebné vykonať výkres. Často je to pomerne schematické výkres, čo znamená voliteľnú údržbu stupnice, zatiaľ čo je dôležité len zachovať vzájomné umiestnenie bodov voči sebe navzájom: akýkoľvek bod s menšou súradnicou by mal byť vľavo od bodu s vyšším súradnice. Predchádzajúci kresba schematicky vyzerá takto: 
Izoluje sa oddelene zo všetkých druhov číselných sád, numerické intervaly (intervaly, polo-intervaly, lúče atď.), Ktoré sú izolované, čo predstavujú ich geometrické obrazy, zistili sme podrobne v sekcii. Tu sa neopakujeme.
A zostáva zastaviť len na obrázku numerických sadov, ktoré kombinujú niekoľko numerických intervalov a súprav pozostávajúcich z jednotlivých čísel. Neexistuje nič tu: Z hľadiska významu kombinácie v týchto prípadoch, na súradnicu priame, musíte zobrazovať všetky komponenty sady tejto numerickej súpravy. Ako príklad ukážeme obraz číselnej súpravy (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(Log 2 5, 5) ∪ (17, + ∞): 
A zameriavame sa na pomerne bežné prípady, keď číselná súprava predstavuje celý súbor platných čísel s výnimkou jedného alebo viacerých bodov. Takéto sady sú často nastavené podmienkami typu x ≠ 5 alebo x ≠ -1, x ≠ 2, x ≠ 3,7 a podobne. V týchto prípadoch sú geometricky predstavujú celú súradnicu, s výnimkou zodpovedajúcich bodov. Inými slovami, od koordinácie priamu potrebujete "kúpiť" tieto body. Sú zobrazené kruhmi s prázdnym centrom. Pre jasnosť ukážete číselnú súpravu zodpovedajúcu podmienkam 
(Toto je veľa v podstate): 
Sumarizovať. V ideálnom prípade by informácie o predchádzajúcich položkách mali tvoriť rovnaký pohľad na záznam a obrazu numerických súprav, ako aj pohľad na jednotlivé číselné medzery: nahrávanie numerickej súpravy by malo okamžite poskytnúť svoj obrázok na súradnicu priamo a Na obrázku na súradnicovom priameri musíme byť pripravení opísať zodpovedajúce číselné nastavenie kombináciou jednotlivých intervalov a súborov pozostávajúcich z jednotlivých čísel.
Bibliografia.
- ALGEBRA: štúdie. Pre 8 cl. všeobecné vzdelanie. Inštitúcie / [yu. N. Makrychev, N. G. Mindyuk, K. I. NESHKOV, S. B. SUVOROV]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Osvietenie, 2008. - 271 p. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. Stupeň 9. V 2 TSP. 1. Návod pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. ed., Aj. - m.: Mnemozina, 2011. - 222 c.: IL. ISBN 978-5-346-01752-3.