Rovnice s modulmi, metódy riešenia. Časť 1.

Predtým, ako sa pustíme do priameho štúdia techník riešenia takýchto rovníc, je dôležité pochopiť podstatu modulu, jeho geometrický význam. V chápaní definície modulu a jeho geometrického významu sú položené základné metódy riešenia takýchto rovníc. Takzvaná metóda intervalov pri rozširovaní modulárnych zátvoriek je taká efektívna, že pomocou nej je možné vyriešiť úplne akúkoľvek rovnicu alebo nerovnosť s modulmi. V tejto časti podrobne preskúmame dve štandardné metódy: intervalovú metódu a metódu nahradenia rovnice množinou.

Ako však uvidíme, tieto metódy sú vždy efektívne, ale nie vždy pohodlné a môžu viesť k dlhým a dokonca nie príliš pohodlným výpočtom, ktorých vyriešenie si prirodzene vyžiada viac času. Preto je dôležité poznať tie metódy, ktoré výrazne zjednodušujú riešenie určitých štruktúr rovníc. Umocnenie oboch strán rovnice, metóda na zavedenie novej premennej, grafická metóda, riešenie rovníc obsahujúcich modul pod znamienkom modulu. Na tieto metódy sa pozrieme v ďalšej časti.

Stanovenie modulu čísla. Geometrický význam modulu.

Najprv sa zoznámime s geometrickým významom modulu:

Podľa modulu čísla a (| a |) je vzdialenosť na číselnej osi od začiatku (bod 0) k bodu A (a).

Na základe tejto definície zvážte niekoľko príkladov:

|7| - toto je vzdialenosť od 0 do bodu 7, samozrejme sa rovná 7. → | 7 |=7

| -5 | je vzdialenosť od 0 do bodu -5 a rovná sa: 5. → |-5| = 5

Všetci chápeme, že vzdialenosť nemôže byť záporná! Preto | x | ≥ 0 vždy!

Vyriešme rovnicu: | x | = 4

Túto rovnicu možno čítať takto: vzdialenosť od bodu 0 k bodu x je 4. Áno, ukázalo sa, že z 0 sa môžeme pohybovať doľava aj doprava, čo znamená pohyb doľava na vzdialenosť rovnajúcu sa 4 sa ocitneme v bode: -4 a pohybom doprava sa ocitneme v bode: 4. Skutočne, | -4 | = 4 a | 4 | = 4.

Odpoveď je teda x = ± 4.

Pri bližšom skúmaní predchádzajúcej rovnice si všimnete, že: vzdialenosť napravo pozdĺž číselnej osi od 0 po bod sa rovná samotnému bodu a vzdialenosť doľava od 0 po číslo sa rovná opačnej číslo! Keď si uvedomíme, že napravo od 0 sú kladné čísla a naľavo od 0 záporné čísla, formulujeme určenie modulu čísla: modul (absolútna hodnota) čísla X(| x |) je samotné číslo X ak x ≥0 a číslo - X ak x<0.

Tu musíme nájsť množinu bodov na číselnej osi, vzdialenosť od 0 po ktorú bude menšia ako 3, predstavme si číselnú os, na nej bod 0, choďte doľava a počítajte jeden (-1), dva (- 2) a tri (-3), stop. Pôjdu ďalšie body, ktoré ležia ďalej ako 3 alebo vzdialenosť, do ktorej od 0 je viac ako 3, teraz pôjdeme doprava: jeden, dva, tri, opäť stop. Teraz vyberieme všetky naše body a dostaneme interval x: (- 3; 3).

Je dôležité, aby ste to jasne videli, ak to stále nevyjde, nakreslite si papier a uvidíte, že táto ilustrácia je pre vás úplne zrozumiteľná, nebuďte leniví a snažte sa vo svojej mysli vidieť riešenia nasledujúcich úloh:

| x | = 11, x =? | x | = -5, x =?

| x |<8, х-? |х| <-6, х-?

| x |> 2, x-? | x |> -3, x-?

| π-3 | =? | -x²-10 | =?

| √5-2 | =? | 2x-x²-3 | =?

| x² + 2 | =? | x² + 4 | = 0

| x² + 3x + 4 | =? | -x² + 9 | ≤0

Všimli ste si zvláštne úlohy v druhom stĺpci? V skutočnosti vzdialenosť nemôže byť záporná, preto: | x | = -5- nemá žiadne riešenia, samozrejme nemôže byť menšia ako 0, preto: | x |<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 sú všetky čísla.

Keď sa naučíte, ako rýchlo zobraziť obrázky s riešeniami, čítajte ďalej.

Už vieme, že zostava reálne čísla$ R $ tvoria racionálne a iracionálne čísla.

Racionálne čísla môžu byť vždy reprezentované ako desatinné zlomky (konečné alebo nekonečné periodické).

Iracionálne čísla sa zapisujú ako nekonečné, ale neperiodické desatinné zlomky.

Množina reálnych čísel $ R $ obsahuje aj prvky $ - \ infty $ a $ + \ infty $, pre ktoré sú nerovnosti $ - \ infty

Zvážte spôsoby, ako reprezentovať reálne čísla.

Pravidelné zlomky

Obyčajné zlomky sa píšu pomocou dvoch prirodzených čísel a vodorovnej zlomkovej čiary. Zlomková lomka v skutočnosti nahrádza znamienko delenia. Číslo pod čiarou je menovateľ zlomku (deliteľ), číslo nad čiarou je čitateľ (dividenda).

Definícia

Zlomok sa nazýva správny, ak je jeho čitateľ menší ako menovateľ. Naopak, zlomok sa nazýva nesprávny, ak je jeho čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi.

Pre bežné zlomky existujú jednoduché, takmer zrejmé pravidlá porovnávania ($ m $, $ n $, $ p $ sú prirodzené čísla):

1. z dvoch zlomkov s rovnakým menovateľom je väčší zlomok s väčším čitateľom, teda $ \ frac (m) (p)> \ frac (n) (p) $ pre $ m> n $;
2. z dvoch zlomkov s rovnakými čitateľmi, väčší je zlomok s nižším menovateľom, teda $ \ frac (p) (m)> \ frac (p) (n) $ za $ m
3. pravidelný zlomok je vždy menší ako jedna; nesprávny zlomok vždy väčšie ako jedna; zlomok s čitateľom rovným menovateľovi sa rovná jednej;
4. každý nepravidelný zlomok je väčší ako ktorýkoľvek správny.

Desatinné čísla

Desatinný zápis ( desiatkový) má tvar: celá časť, desatinná čiarka, zlomok. Desatinný zápis zvyčajný zlomok možno získať vydelením "uhlu" čitateľa menovateľom. To môže produkovať buď konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Definícia

Zlomkové čísla sa nazývajú desatinné miesta. V tomto prípade sa prvé miesto za desatinnou čiarkou nazýva desiate miesto, druhé - sté miesto, tretie - tisíci miesto atď.

Príklad 1

Určte hodnotu desatinného čísla 3,74. Dostaneme: 3,74 $ = 3 + \ frac (7) (10) + \ frac (4) (100) $.

Desatinné číslo je možné zaokrúhliť. V tomto prípade by ste mali uviesť číslicu, na ktorú sa zaokrúhľuje.

Pravidlo zaokrúhľovania je nasledovné:

1. všetky číslice napravo od tejto číslice sa nahradia nulami (ak sú tieto číslice pred desatinnou čiarkou) alebo sa vypustia (ak sú tieto číslice za desatinnou čiarkou);
2. ak je prvá číslica za touto číslicou menšia ako 5, číslica tejto číslice sa nezmení;
3. ak je prvá číslica za touto číslicou 5 alebo viac, potom sa číslica tejto číslice zvýši o jednu.

Príklad 2

1. Zaokrúhlime číslo 17302 na tisíce: 17000.
2. Zaokrúhlime číslo 17378 na stovky: 17400.
3. Zaokrúhlime číslo 17378,45 na desiatky: 17380.
4. Číslo 378,91434 zaokrúhlime na stotiny: 378,91.
5. Číslo 378,91534 zaokrúhlime na stotiny: 378,92.

Preveďte desatinné číslo na zlomok.

Prípad 1

Desatinné číslo je konečný desatinný zlomok.

Spôsob prevodu je demonštrovaný na nasledujúcom príklade.

Príklad 2

Máme: 3,74 $ = 3 + \ frac (7) (10) + \ frac (4) (100) $.

Prinášame do spoločný menovateľ a dostaneme:

Zlomok možno zmenšiť: 3,74 $ = \ frac (374) (100) = \ frac (187) (50) $.

Prípad 2

Desatinné číslo je nekonečný periodický desatinný zlomok.

Metóda prevodu je založená na skutočnosti, že periodickú časť periodického desatinného zlomku možno považovať za súčet členov nekonečnej klesajúcej geometrickej progresie.

Príklad 4

0 $, \ vľavo (74 \ vpravo) = \ frac (74) (100) + \ frac (74) (10 000) + \ frac (74) (1 000 000) + \ ldots $. Prvý člen progresie je $ a = 0,74 $, menovateľ progresie je $ q = 0,01 $.

Príklad 5

0,5 $ \ vľavo (8 \ vpravo) = \ frac (5) (10) + \ frac (8) (100) + \ frac (8) (1 000) + \ frac (8) (10 000) + \ ldots $ . .. Prvý člen progresie je $ a = 0,08 $, menovateľ progresie je $ q = 0,1 $.

Súčet členov nekonečnej klesajúcej geometrickej progresie sa vypočíta podľa vzorca $ s = \ frac (a) (1-q) $, kde $ a $ je prvý člen a $ q $ je menovateľ progresie $ \ zostáva (0

Príklad 6

Skonvertujme nekonečný periodický desatinný zlomok $ 0, \ vľavo (72 \ vpravo) $ na bežný.

Prvý člen progresie je $ a = 0,72 $, menovateľ progresie je $ q = 0,01 $. Získame: $ s = \ frac (a) (1-q) = \ frac (0,72) (1-0,01) = \ frac (0,72) (0,99) = \ frac (72) ( 99) = \ frac (8 ) (11) $. Takže $ 0, \ vľavo (72 \ vpravo) = \ frac (8) (11) $.

Príklad 7

Skonvertujme nekonečný periodický desatinný zlomok $ 0,5 \ vľavo (3 \ vpravo) $ na bežný.

Prvý člen progresie je $ a = 0,03 $, menovateľ progresie je $ q = 0,1 $. Získame: $ s = \ frac (a) (1-q) = \ frac (0,03) (1-0,1) = \ frac (0,03) (0,9) = \ frac (3) ( 90) = \ frac (1 ) (30) $.

Takže 0,5 $ \ vľavo (3 \ vpravo) = \ frac (5) (10) + \ frac (1) (30) = \ frac (5 \ cdot 3) (10 \ cdot 3) + \ frac ( 1) ( 30) = \ frac (15) (30) + \ frac (1) (30) = \ frac (16) (30) = \ frac (8) (15) $.

Reálne čísla môžu byť reprezentované bodmi na číselnej osi.

V tomto prípade číselnú os nazývame nekonečná priamka, na ktorej sa volí počiatok (bod $ O $), kladný smer (označený šípkou) a mierka (na zobrazenie hodnôt).

Medzi všetkými reálnymi číslami a všetkými bodmi číselnej osi existuje zhoda jedna ku jednej: každý bod zodpovedá jednotného čísla naopak, každé číslo má jednu bodku. Preto je množina reálnych čísel spojitá a nekonečná, rovnako ako číselná os je spojitá a nekonečná.

Niektoré podmnožiny množiny reálnych čísel sa nazývajú číselné rozsahy. Prvky číselného intervalu sú čísla $ x \ v R $ spĺňajúce určitú nerovnosť. Nech $ a \ v R $, $ b \ v R $ a $ a \ le b $. V tomto prípade môžu byť typy medzier nasledovné:

1. Medzera $ \ vľavo (a, \; b \ vpravo) $. Navyše $ a
2. Segment $ \ vľavo $. Navyše $ a \ lex x \ le b $.
3. Polsegmenty alebo polovičné intervaly $ \ vľavo $. Navyše $ a \ lex
4. Nekonečné medzery, napr. $ a

Dôležitý je aj typ medzery nazývanej okolie bodu. Okolie daného bodu $ x_ (0) \ v R $ je ľubovoľný interval $ \ vľavo (a, \; b \ vpravo) $, obsahujúci tento bod vo svojom vnútri, teda $ a 0 $ - s jeho polomerom .

Absolútna hodnota čísla

Absolútna hodnota (alebo modul) reálneho čísla $ x $ je nezáporné reálne číslo $ \ vľavo | x \ vpravo | $, určené podľa vzorca: $ \ vľavo | x \ vpravo | = \ vľavo \ (\ begin (pole) (c) (\; \; x \; \; (\ rm pre) \; \; x \ ge 0) \\ (-x \; \; (\ rm pre) \; \; x

Geometricky $ \ vľavo | x \ vpravo | $ znamená vzdialenosť medzi bodmi $ x $ a 0 na číselnej osi.

Vlastnosti absolútnych hodnôt:

1. z definície vyplýva, že $ \ vľavo | x \ vpravo | \ ge 0 $, $ \ vľavo | x \ vpravo | = \ vľavo | -x \ vpravo | $;
2. pre modul súčtu a pre modul rozdielu dvoch čísel platia tieto nerovnosti: $ \ vľavo | x + y \ vpravo | \ le \ vľavo | x \ vpravo | + \ vľavo | y \ vpravo | $ , $ \ vľavo | xy \ vpravo | \ le \ vľavo | x \ vpravo | + \ vľavo | y \ vpravo | $ ako aj $ \ vľavo | x + y \ vpravo | \ ge \ vľavo | x \ vpravo | - \ vľavo | y \ vpravo | $, $ \ vľavo | xy \ vpravo | \ ge \ vľavo | x \ vpravo | - \ vľavo | y \ vpravo | $;
3. modul súčinu a modul kvocientu dvoch čísel spĺňajú rovnosti $ \ vľavo | x \ cdot y \ vpravo | = \ vľavo | x \ vpravo | \ cdot \ vľavo | y \ vpravo | $ a $ \ vľavo | \ frac (x) ( y) \ vpravo | = \ frac (\ vľavo | x \ vpravo |) (\ vľavo | y \ vpravo |) $.

Na základe definície absolútnej hodnoty pre ľubovoľné číslo $ a> 0 $ je možné určiť aj ekvivalenciu nasledujúcich párov nerovností:

1. ak $ \ vľavo | x \ vpravo |
2. ak $ \ vľavo | x \ vpravo | \ le a $, potom $ -a \ lex x \ le a $;
3. ak $ \ vľavo | x \ vpravo |> a $, potom alebo $ xa $;
4. ak $ \ vľavo | x \ vpravo | \ ge a $, potom buď $ x \ le -a $, alebo $ x \ ge a $.

Príklad 8

Vyriešte nerovnosť $ \ vľavo | 2 \ cdot x + 1 \ vpravo |

Táto nerovnosť je ekvivalentná nerovnostiam $ -7

Odtiaľto dostaneme: $ -8

Video lekcia "Geometrický význam modulu reálneho čísla" je názornou pomôckou na hodinu matematiky na príslušnú tému. Video tutoriál podrobne a vizuálne skúma geometrický význam modul, po ktorom príklady prezrádzajú, ako je na tom modul reálneho čísla a k riešeniu je priložený obrázok. Materiál je možné použiť počas fázy vysvetľovania. Nová téma ako samostatnú časť hodiny alebo na sprehľadnenie výkladu učiteľa. Obe možnosti prispievajú k zvýšeniu efektívnosti hodiny matematiky, pomáhajú učiteľovi dosiahnuť ciele hodiny.

Tento video tutoriál obsahuje konštrukcie, ktoré jasne demonštrujú geometrický význam modulu. Aby bola ukážka názornejšia, tieto konštrukcie sa vykonávajú pomocou animačných efektov. Komu vzdelávací materiálľahšie zapamätateľné, dôležité tézy sú zvýraznené farebne. Podrobne je zvážené riešenie príkladov, ktoré sú vďaka animačným efektom prezentované štruktúrovane, sekvenčne a zrozumiteľne. Pri zostavovaní videa boli použité nástroje, ktoré pomáhajú urobiť z videonávodu efektívny moderný vyučovací nástroj.

Video začína predstavením témy lekcie. Na obrazovke prebieha konštrukcia - zobrazuje sa lúč, na ktorom sú vyznačené body a a b, pričom vzdialenosť medzi nimi je označená ako ρ (a; b). Pripomíname, že vzdialenosť sa meria na súradnicovom lúči odčítaním menšieho čísla od väčšieho, to znamená, že pre túto konštrukciu je vzdialenosť rovná b-a pre b> a a rovná a-b pre a> b. Nižšie je konštrukcia, kde označený bod a leží napravo od b, to znamená, že zodpovedajúca číselná hodnota je väčšia ako b. Ďalší prípad je uvedený nižšie, keď sa polohy bodov a a b zhodujú. V tomto prípade sa vzdialenosť medzi bodmi rovná nule ρ (a; b) = 0. Spolu sú tieto prípady opísané jedným vzorcom ρ (a; b) = | a-b |.

Ďalej uvažujeme o riešení úloh, v ktorých sa uplatňujú poznatky o geometrickom význame modulu. V prvom príklade musíte vyriešiť rovnicu | x-2 | = 3. Je potrebné poznamenať, že ide o analytickú formu písania tejto rovnice, ktorú preložíme do geometrického jazyka, aby sme našli riešenie. Geometricky táto úloha znamená, že je potrebné nájsť body x, pre ktoré bude platiť rovnosť ρ (x; 2) = 3. Na súradnicovej priamke to bude znamenať ekvidištanciu bodov x od bodu x = 2 vo vzdialenosti 3. Na demonštráciu riešenia na súradnicovej priamke sa nakreslí lúč, na ktorom je vyznačený bod 2. Vo vzdialenosti 3 od bod x = 2, označené sú body -1 a 5. Je zrejmé, že tieto označené body budú riešením rovnice.

Na vyriešenie rovnice | x + 3,2 | = 2 sa navrhuje previesť ju najprv do tvaru | a-b |, aby sa úloha vyriešila na súradnicovej čiare. Po transformácii má rovnica tvar | x - (- 3.2) | = 2. To znamená, že vzdialenosť medzi bodom -3,2 a požadovanými bodmi bude rovná 2, teda ρ (x; -3,2) = 2. Na súradnicovej čiare je vyznačený bod -3.2. Od nej vo vzdialenosti 2 sú umiestnené body -1,2 a -5,2. Tieto body sú označené na súradnicovej čiare a označené ako riešenie rovnice.

Riešenie inej rovnice | x | = 2,7 zohľadňuje prípad, keď sa požadované body nachádzajú vo vzdialenosti 2,7 od bodu 0. Rovnica sa prepíše ako | x-0 | = 2,7. Udáva sa, že vzdialenosť k požadovaným bodom je určená ako ρ (x; 0) = 2,7. Na súradnici je vyznačený počiatočný bod 0. Body -2,7 a 2,7 sa nachádzajú vo vzdialenosti 2,7 od bodu 0. Tieto body sú vyznačené na zostrojenej priamke, sú riešením rovnice.

Na vyriešenie nasledujúcej rovnice | x-√2 | = 0 nie je potrebná žiadna geometrická interpretácia, pretože ak modul výrazu je nula, to znamená, že tento výraz sa rovná nule, teda x-√2 = 0. Z rovnice vyplýva, že x = √2.

Nasledujúci príklad sa zaoberá riešením rovníc, ktoré si pred riešením vyžadujú transformáciu. V prvej rovnici | 2x-6 | = 8 pred x je číselný koeficient 2. Aby sme sa zbavili koeficientu a preložili rovnicu do geometrického jazyka ρ (x; a) = b, dáme spoločný faktor mimo zátvorky , dostaneme | 2 (x-3) | = 2 | x-3 |. Potom sa pravá a ľavá strana rovnice zruší o 2. Dostaneme rovnicu v tvare | x-3 | = 4. Táto analytická rovnica je preložená do geometrického jazyka ρ (x; 3) = 4. Na súradnicovej čiare označte bod 3. Z tohto bodu vyčleňte body nachádzajúce sa vo vzdialenosti 4. Riešením rovnice budú body -1 a 7, ktoré sú vyznačené na súradnicovej čiare. Druhá uvažovaná rovnica | 5-3x | = 6 obsahuje aj číselný koeficient pred premennou x. Na vyriešenie rovnice sa koeficient 3 vyberie zo zátvoriek. Rovnica sa zmení na | -3 (x-5/3) | = 3 | x-5/3 |. Pravú a ľavú stranu rovnice možno zrušiť číslom 3. Získame tak rovnicu v tvare | x-5/3 | = 2. Od analytickej formy prejdeme ku geometrickej interpretácii ρ (x; 5/3) = 2. K riešeniu je zostavený výkres, ktorý znázorňuje súradnicovú čiaru. Na tomto riadku je vyznačený bod 5/3. Vo vzdialenosti 2 od bodu 5/3 sa nachádzajú body -1/3 a 11/3. Tieto body sú riešeniami rovnice.

Posledná uvažovaná rovnica | 4x + 1 | = -2. Na vyriešenie tejto rovnice nie sú potrebné žiadne transformácie a geometrické znázornenie. Na ľavej strane rovnice sa zjavne ukazuje, že nie záporné číslo a pravá strana obsahuje číslo -2. Preto táto rovnica nemá riešenia.

Video lekcia "Geometrický význam modulu reálneho čísla" môže byť použitá v tradičnej hodine matematiky v škole. Materiál môže byť užitočný pre učiteľa pri cvičení diaľkové štúdium... Podrobný prehľadný výklad riešenia úloh, ktoré využívajú funkciu modulu, pomôže študentovi zvládnuť látku, ktorá si tému osvojuje sám.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky možnosti prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

Vybavenie: projektor, plátno, osobný počítač, multimediálna prezentácia

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

2. Aktualizácia vedomostí žiakov.

2.1. Odpovedzte žiakom na otázky týkajúce sa domácich úloh.

2.2. Vylúštenie krížovky (opakovanie teoretického učiva) (Snímka 2):

- Po vyriešení krížovky si vo zvýraznenom zvislom stĺpci prečítajte názov témy dnešnej hodiny. (Snímky 3, 4)

3. Vysvetlenie novej témy.

3.1. - Chlapi, už ste sa stretli s pojmom modul, použili ste označenie | a| ... Predtým to bolo len o racionálne čísla... Teraz je potrebné zaviesť koncept modulu pre akékoľvek reálne číslo.

Každému reálnemu číslu zodpovedá jeden bod na číselnej osi, a naopak, každému bodu číselnej osi zodpovedá jediné reálne číslo. Pre reálne čísla sú zachované všetky základné vlastnosti akcií na racionálnych číslach.

Zavádza sa pojem modulu reálneho čísla. (Snímka 5).

Definícia. Modulom nezáporného reálneho čísla X zavolajte na toto číslo: | X| = X; modul záporného reálneho čísla X zavolajte na opačné číslo: | X| = – X .

– Napíšte do poznámkových blokov tému lekcie, definíciu modulu:

V praxi rôzne vlastnosti modulu, Napríklad. (Snímka 6) :

Vykonajte ústne č. 16.3 (a, b) - 16.5 (a, b) o aplikácii definície, vlastnostiach modulu. (Snímka 7) .

3.4. Pre akékoľvek reálne číslo X možno vypočítať | X| , t.j. môžeme hovoriť o funkcii r = |X| .

Úloha 1. Zostavte graf a uveďte vlastnosti funkcie r = |X| (Snímky 8, 9).

Jeden žiak nakreslí na tabuľu graf funkcie

Obr.

Vlastnosti sú sčítané študentmi. (Snímka 10)

1) Definičná oblasť - (- ∞; + ∞).

2) y = 0 pri x = 0; y> 0 pre x< 0 и x > 0.

3) Funkcia je nepretržitá.

4) y naim = 0 pre x = 0, y naib neexistuje.

5) Funkcia je obmedzená v spodnej časti, nie je obmedzená v hornej časti.

6) Funkcia klesá na lúči (- ∞; 0) a zvyšuje sa na lúči)