Snímka 2

Matematika je veda pre mladých. Inak to ani nemôže byť. Matematika je mentálna gymnastika, ktorá si vyžaduje všetku flexibilitu a všetku vytrvalosť mladosti. Norbert Wiener (1894-1964), americký vedec

Snímka 3

vzťah medzi číslami a a b (matematické výrazy), spojené znamienkami Nerovnosť -

Snímka 4

Odkaz na históriu Problémy dokazovania rovnosti a nerovností vznikali už v staroveku. Na označenie znakov rovnosti a nerovnosti sa používali špeciálne slová alebo ich skratky. IV. storočie pred Kristom, Euclid, V. Kniha počiatkov: ak a, b, c, d - kladné čísla a - najväčší počet v pomere a / b = c / d je potom splnená nerovnosť a + d = b + c. storočia, hlavné dielo Pappa z Alexandrie "Matematická zbierka": ak a, b, c, d sú kladné čísla a a / b> c / d, potom platí nerovnosť ad> bc. Viac ako 2000 pred Kr nerovnosť bola známa Zmení sa na skutočnú rovnosť pre a = b.

Snímka 5

Moderné špeciálne značky 1557. Zaviedol znamienko rovnosti = anglický matematik R. Rikord. Jeho motív: "Žiadne dva predmety nemôžu byť rovnejšie ako dva paralelné segmenty." 1631 rok. Zavedené znaky> a

Snímka 6

Typy nerovností S premennou (jednou alebo viacerými) Prísne Neobmedzené S modulom S parametrom Neštandardné systémy Kolekcie Numerické Jednoduché Dvojité Viacnásobné algebraické celé čísla: -lineárne -štvorcové -vyššie stupne Zlomkovo-racionálne Iracionálne Trigonometrické Exponenciálne Logaritmické Zmiešaný typ

Snímka 7

Metódy riešenia nerovníc Grafické Základné Špeciálne Funkčno-grafické Použitie vlastností nerovníc Prechod na ekvivalentné systémy Prechod na ekvivalentné kolekcie Zmena premennej Intervalová metóda (vrátane zovšeobecnených) Algebraická metóda delenia pre nestriktné nerovnosti

Snímka 8

je hodnota premennej, ktorá ju po dosadení zmení na skutočnú číselnú nerovnosť. Vyriešte nerovnosť - nájdite všetky jej riešenia alebo dokážte, že žiadne neexistujú. O dvoch nerovnostiach sa hovorí, že sú ekvivalentné, ak všetky riešenia každej z nich sú riešením inej nerovnosti, alebo ak obe nerovnosti nemajú žiadne riešenia. Nerovnice Riešenie jednej premennej nerovnosti

Snímka 9

Popíšte nerovnosti. Vyriešte ústne 3) (x - 2) (x + 3)  0

Snímka 10

Grafická metóda

Vyriešte nerovnosť graficky 1) Zostavte graf 2) Zostavte graf v rovnakom súradnicovom systéme. 3) Nájdite úsečky priesečníkov grafov (hodnoty sa berú približne, presnosť sa kontroluje substitúciou). 4) Určte riešenie tejto nerovnosti podľa harmonogramu. 5) Odpoveď si zapíšeme.

Snímka 11

Funkcionálno-grafická metóda riešenia nerovnosti f (x)

Snímka 12

Funkcionálno-grafická metóda Riešte nerovnicu: 3) Rovnica f (x) = g (x) nemá viac ako jeden koreň. Riešenie. 4) Výberom zistíme, že x = 2. II.Znázornime si schematicky na číselnej osi Ox grafy funkcií f (x) a g (x) prechádzajúcich bodom x = 2. III. Definujte riešenia a zapíšte si odpoveď. Odpoveď. x -7 nedefinované 2

Snímka 13

Vyriešte nerovnosti:

Snímka 14

Zostavte grafy funkcie USE-9, 2008

Snímka 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y = | x | 2) y = | x | -1 3) y = || x | -1 | 4) y = || x | -1 | -1 5) y = ||| x | -1 | -1 | 6) y = ||| x | -1 | -1 | -1 y = |||| x | -1 | -1 | -1 |

Snímka 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Určte počet intervalov riešení nerovnosti pre každú hodnotu parametra a

Snímka 17

Vytvorte graf funkcie skúšky-9, 2008

Snímka 18

Snímka 19

Graf lineárnej alebo štvorcovej nerovnosti sa zostavuje rovnakým spôsobom, ako sa zostavuje graf akejkoľvek funkcie (rovnice). Rozdiel je v tom, že nerovnosť implikuje viacero riešení, takže graf nerovnosti nie je len bod na číselnej osi alebo priamka na súradnicová rovina... Pomocou matematických operácií a znamienka nerovnosti môžete určiť veľa riešení nerovnosti.

Kroky

Grafické znázornenie lineárnej nerovnosti na číselnej osi

Vyriešte nerovnosť. Ak to chcete urobiť, izolujte premennú pomocou rovnakých algebraických techník, ktoré používate na riešenie akejkoľvek rovnice. Pamätajte, že pri násobení alebo delení nerovnosti záporným číslom (alebo výrazom) obráťte znamienko nerovnosti.

Nakreslite číselnú os. Na číselnej osi označte nájdenú hodnotu (premenná môže byť menšia, väčšia alebo rovná tejto hodnote). Nakreslite číselnú os vhodnej dĺžky (dlhú alebo krátku).

Nakreslite kruh, ktorý predstaví nájdenú hodnotu. Ak je premenná menšia ( < {\displaystyle <} ) alebo viac ( > (\ štýl zobrazenia>)) tejto hodnoty, kruh nie je vyplnený, pretože mnohé riešenia túto hodnotu nezahŕňajú. Ak je premenná menšia alebo rovná ( ≤ (\ štýl zobrazenia \ leq)) alebo väčší alebo rovný ( ≥ (\ displaystyle \ geq)) k tejto hodnote je kruh vyplnený, pretože mnohé riešenia túto hodnotu obsahujú.

Na číselnej osi vytieňujte oblasť, ktorá definuje množinu riešení. Ak je premenná väčšia ako nájdená hodnota, vytieňujte oblasť napravo od nej, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty, ktoré sú väčšie ako nájdená hodnota. Ak je premenná menšia ako nájdená hodnota, vytieňujte oblasť naľavo od nej, pretože sada riešení obsahuje všetky hodnoty, ktoré sú menšie ako nájdená hodnota.

Vykreslenie lineárnej nerovnosti v súradnicovej rovine

1. Vyriešte nerovnosť (nájdite hodnotu r (\ displaystyle y) ). Ak chcete získať lineárnu rovnicu, izolujte premennú na ľavej strane pomocou známej algebraické metódy... Premenná by mala zostať na pravej strane x (\ štýl zobrazenia x) a možno aj nejakú konštantu.

   Nakreslite lineárnu rovnicu na rovinu súradníc. Ak to chcete urobiť, preveďte nerovnosť na rovnicu a nakreslite graf ako akúkoľvek lineárnu rovnicu. Nakreslite priesečník y a potom pomocou sklonu pridajte ďalšie body.

   Nakreslite rovnú čiaru. Ak je nerovnosť prísna (vrátane znamienka < {\displaystyle <} alebo > (\ štýl zobrazenia>)), nakreslite prerušovanú čiaru, pretože mnohé riešenia nezahŕňajú hodnoty na čiare. Ak nerovnosť nie je prísna (zahŕňa znamienko ≤ (\ štýl zobrazenia \ leq) alebo ≥ (\ displaystyle \ geq)), nakreslite plnú čiaru, pretože mnohé riešenia obsahujú hodnoty, ktoré ležia na čiare.

   Zatiente príslušnú oblasť. Ak má nerovnosť tvar y> m x + b (\ štýl zobrazenia y> mx + b), tieň cez linku. Ak má nerovnosť tvar r< m x + b {\displaystyle y, vytieňujte oblasť pod čiarou.

Vynesenie štvorcovej nerovnosti na rovinu súradníc

Určite, že daná nerovnosť je štvorcová.Štvorcová nerovnosť má tvar a x 2 + b x + c (\ displaystyle ax ^ (2) + bx + c)... Niekedy nerovnosť neobsahuje premennú prvého rádu ( x (\ štýl zobrazenia x)) a/alebo prienik (konštanta), ale nevyhnutne zahŕňa premennú druhého rádu ( x 2 (\ štýl zobrazenia x ^ (2))). Premenné x (\ štýl zobrazenia x) a y (\ štýl zobrazenia y) musia byť izolované na rôznych stranách nerovnosti.

FEDERÁLNA VZDELÁVACIA AGENTÚRA

INŠTITÚT PRE ROZVOJ VZDELÁVANIA

"Grafické metódy riešenia rovníc a nerovníc s parametrami"

Dokončené

učiteľ matematiky

MOU SOSH №62

Lipeck 2008

ÚVOD ................................................. ................................................................... .3

X;pri) 4

1.1. Paralelný prenos ................................................ ............................. 5

1.2. Otočiť ................................................. ................................................................... 9

1.3. Homotétia. Kompresia na rovný ................................................................ ................. trinásť

1.4. Dve rovné čiary v rovine ................................................ ........................... 15

2. GRAFICKÉ TECHNIKY. SÚRADNICOVÁ ROVINA ( X;a) 17

ZÁVER................................................. .......................................... dvadsať

ODKAZY ................................................ . ........ 22

ÚVOD

Problémy, ktoré majú školáci pri riešení neštandardných rovníc a nerovníc, sú spôsobené jednak relatívnou zložitosťou týchto úloh, jednak tým, že škola sa spravidla zameriava na riešenie štandardných úloh.

Mnoho študentov vníma parameter ako „normálne“ číslo. V niektorých problémoch možno parameter považovať za konštantu, ale táto konštanta nadobúda neznáme hodnoty! Preto je potrebné zvážiť problém pre všetky možné hodnoty tejto konštanty. V iných problémoch je vhodné umelo deklarovať jednu z neznámych ako parameter.

Ostatní školáci sa k parametru správajú ako k neznámej veličine a bez rozpakov môžu parameter v odpovedi vyjadriť cez premennú X.

Pri záverečných a prijímacích skúškach sa vyskytujú najmä dva typy problémov s parametrami. Hneď ich spoznáte podľa znenia. Po prvé: "Pre každú hodnotu parametra nájdite všetky riešenia nejakej rovnice alebo nerovnosti." Po druhé: "Nájdite všetky hodnoty parametra, pre každú z nich sú splnené určité podmienky pre danú rovnicu alebo nerovnosť." V súlade s tým sa odpovede na tieto dva typy problémov podstatne líšia. V odpovedi na problém prvého typu sú uvedené všetky možné hodnoty parametra a pre každú z týchto hodnôt sú napísané riešenia rovnice. V odpovedi na problém druhého typu sú uvedené všetky hodnoty parametrov, pre ktoré sú splnené podmienky uvedené v probléme.

Riešenie rovnice s parametrom pre danú pevnú hodnotu parametra je taká hodnota neznámej, ktorá sa po dosadení do rovnice zmení na skutočnú číselnú rovnosť. Podobne je definované aj riešenie nerovnosti s parametrom. Riešenie rovnice (nerovnice) s parametrom znamená pre každú prípustnú hodnotu parametra nájsť množinu všetkých riešení tejto rovnice (nerovnice).

1. GRAFICKÉ TECHNIKY. SÚRADNICOVÁ ROVINA ( X;pri)

Spolu so základnými analytickými technikami a metódami na riešenie problémov s parametrami existujú spôsoby, ako odkazovať na vizuálno-grafické interpretácie.

Podľa toho, akú rolu má parameter v úlohe priradený (nerovná sa alebo sa rovná premennej), možno rozlišovať dve hlavné grafické techniky: prvou je konštrukcia grafického obrazu na rovine súradníc. (X;y), druhý - na (X; a).

Na rovine (x; y) funkcia y =f (X; a) definuje skupinu kriviek v závislosti od parametra a. Je jasné, že každá rodina f má určité vlastnosti. V prvom rade nás bude zaujímať, akou transformáciou roviny (rovnobežný posun, rotácia a pod.) je možné prejsť z jednej krivky rodiny do ktorejkoľvek inej. Každej z týchto transformácií bude venovaný samostatný odsek. Zdá sa nám, že takáto klasifikácia uľahčuje rozhodujúcim nájsť potrebný grafický obraz. Všimnite si, že pri tomto prístupe konceptuálna časť riešenia nezávisí od toho, ktorý útvar (priamka, kružnica, parabola atď.) je členom rodiny kriviek.

Samozrejme, nie vždy grafický obraz rodiny y =f (X;a) popísané jednoduchou transformáciou. Preto je v situáciách, ako je táto, užitočné zamerať sa nie na to, ako súvisia krivky jednej rodiny, ale na krivky samotné. Inými slovami, možno rozlíšiť ešte jeden typ problémov, v ktorých je myšlienka riešenia primárne založená na vlastnostiach konkrétnych geometrických tvarov, a nie na rodine ako celku. Aké figúrky (presnejšie rodiny týchto figúrok) nás budú zaujímať ako prvé? Sú to priame čiary a paraboly. Táto voľba je spôsobená špeciálnym (základným) postavením lineárnych a kvadratických funkcií v školskej matematike.

Keď už hovoríme o grafických metódach, nedá sa obísť jeden problém, ktorý sa „zrodil“ z praxe súťažnej skúšky. Máme na mysli otázku závažnosti, a teda zákonnosti rozhodnutia založeného na grafických úvahách. Nepochybne, z formálneho hľadiska, výsledok prevzatý z „obrázku“, ktorý nie je podložený analyticky, nebol získaný rigorózne. Kto, kedy a kde je však miera prísnosti, ktorú by mal stredoškolák dodržiavať? Požiadavky na úroveň matematickej náročnosti žiaka by podľa nás mal byť určený zdravým rozumom. Chápeme mieru subjektivity tohto pohľadu. Navyše, grafická metóda je len jedným z prostriedkov vizualizácie. A viditeľnosť môže klamať .. gif "width =" 232 "height =" 28 "> má len jedno riešenie.

Riešenie. Pre pohodlie označujeme lg b = a. Napíšme rovnicu ekvivalentnú tej pôvodnej: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif "width =" 125 "height =" 92 ">

Vykreslenie funkcie s doménou definície a (obr. 1). Výsledný graf je rodina čiar y = a by mal prechádzať iba v jednom bode. Z obrázku je vidieť, že táto požiadavka je splnená len pre a> 2, t.j. lg b> 2, b> 100.

Odpoveď. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif "width =" 15 výška = 16 "height =" 16 "> určite počet riešení rovnice .

Riešenie... Nakreslíme funkciu 102 "height =" 37 "style =" vertical-align: top ">

Uvažujme. Táto priamka je rovnobežná s osou OX.

Odpoveď..gif "width =" 41 "height =" 20 "> potom 3 riešenia;

ak, tak 2 riešenia;

ak, 4 riešenia.

Prejdime k nová sériaúlohy..gif "šírka =" 107 "výška =" 27 src = ">.

Riešenie. Postavme rovnú čiaru pri= X+1 (obr. 3) .. gif "width =" 92 "height =" 57 ">

mať jedno riešenie, ktoré je ekvivalentné pre rovnicu ( X+1)2 = x + a mať jeden koreň..gif "šírka =" 44 výška = 47 "výška =" 47 "> pôvodná nerovnosť nemá riešenia. Všimnite si, že tí, ktorí sú oboznámení s deriváciou, môžu získať tento výsledok inak.

Ďalej, posunutím "semi-paraboly" doľava, opravíme posledný moment, kedy sú grafy pri = X+ 1 a majú dva spoločné body (pozícia III). Toto usporiadanie je zabezpečené požiadavkou a= 1.

Je zrejmé, že pre segment [ X 1; X 2], kde X 1 a X 2 - úsečky priesečníkov grafov budú riešením pôvodnej nerovnosti..gif "šírka =" 68 výška = 47 "výška =" 47 ">, potom

Keď sa „polparabola“ a priamka pretínajú iba v jednom bode (to zodpovedá prípadu a> 1), potom riešením bude segment [- a; X 2 "], kde X 2 "- najväčší z koreňov X 1 a X 2 (pozícia IV).

Príklad 4..gif "width =" 85 "height =" 29 src = ">. gif" width = "75" height = "20 src ="> . Z toho nám vychádza .

Zvážte funkcie a . Z nich iba jedna definuje rodinu kriviek. Teraz vidíme, že vykonaná náhrada je nepochybným prínosom. Paralelne poznamenávame, že v predchádzajúcom probléme sa podobným nahradením dá urobiť skôr priamka ako pohyb „polparaboly“. Obráťme sa na obr. 4. Je zrejmé, že ak úsečka vrcholu „semiparaboly“ je väčšia ako jedna, to znamená –3 a > 1, , potom rovnica koreňov nemá..gif "šírku =" 89 "výšku =" 29 "> a majú iný charakter monotónnosti.

Odpoveď. Ak má rovnica jeden koreň; ak https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif "width =" 141 "height =" 81 src = ">

má riešenia.

Riešenie. Je jasné, že priame rodiny https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif "width =" 61 "height =" 52 "> .. jpg" width = "259" height = "155 " >

Význam k1 nájdeme dosadením dvojice (0; 0) do prvej rovnice sústavy. Odtiaľ k1 =-1/4. Význam k 2 získame vyžadovaním od systému

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif "width =" 151 "height =" 47 "> pre k> 0 má jeden koreň. Odtiaľ k2= 1/4.

Odpoveď. .

Urobme jednu poznámku. V niektorých príkladoch tejto časti budeme musieť vyriešiť štandardný problém: pre priamu rodinu nájdite jej sklon zodpovedajúci momentu dotyku s krivkou. Ukážme si, ako to urobiť v všeobecný pohľad pomocou derivátu.

Ak (x0; r 0) = stred otáčania, potom súradnice (X 1; pri 1) dotykové body s krivkou y =f (x) možno nájsť riešením systému

Požadovaný sklon k je rovnaký.

Príklad 6... Pre aké hodnoty parametra má rovnica jedinečné riešenie?

Riešenie..gif "width =" 160 "height =" 29 src = "> .. gif" width = "237" výška = "33">, oblúk AB.

Všetky lúče prechádzajúce medzi OA a OB pretínajú oblúk AB v jednom bode, taktiež v jednom bode pretínajú oblúk AB OB a OM (tangens) .. gif "width =" 16 "height =" 48 src = ">. dotyčnice sa rovná. Ľahko sa dá zistiť zo systému

Takže priame rodiny https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif "width =" 139 "height =" 52 ">.

Odpoveď. .

Príklad 7..gif "width =" 160 "height =" 25 src = "> má riešenie?

Riešenie..gif "width =" 61 "height =" 24 src = "> a zníži sa o. Bod - je maximálny bod.

Funkcia je skupina priamych čiar prechádzajúcich bodom https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif "width =" 153 "height =" 28 "> je oblúk AB. medzi priamkou riadky OA a OV, spĺňajú podmienku úlohy..gif "width =" 17 "height =" 47 src = ">.

Odpoveď..gif "width =" 15 "height =" 20 "> žiadne riešenia.

1.3. Homotétia. Kompresia na priamku.

Príklad 8. Koľko riešení má systém

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif "width =" 41 "height =" 20 src = "> systém nemá žiadne riešenia. a> 0 graf prvej rovnice je štvorec s vrcholmi ( a; 0), (0;-a), (-a;0), (0;a).Členovia rodiny sú teda homotetické štvorce (stred homotety je bod O (0; 0)).

Obráťme sa na obr. 8..gif "width =" 80 "height =" 25 "> každá strana štvorca má dva spoločné body s kružnicou, čo znamená, že sústava bude mať osem riešení. Ak je kružnica vpísaná do štvorca, tzn. , budú opäť štyri riešenia. Systém samozrejme nemá žiadne riešenia.

Odpoveď. Ak a< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, potom sú štyri riešenia; ak, tak existuje osem riešení.

Príklad 9... Nájdite všetky hodnoty parametra, pre každú z nich platí rovnica https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif "width =" 181 "height =" 29 src = ">. Zvážte funkcia ..jpg" width = "195" height = "162">

Počet koreňov bude zodpovedať číslu 8, keď je polomer polkruhu väčší a menší, tzn. Všimnite si, že existuje.

Odpoveď. alebo .

1.4. Dve rovné čiary v rovine

Myšlienka riešenia problémov tohto odseku je v podstate založená na otázke štúdia vzájomného usporiadania dvoch priamych línií: a ... Nie je ťažké ukázať všeobecné riešenie tohto problému. Obrátime sa priamo na konkrétne typické príklady, čo podľa nášho názoru neuškodí všeobecnej stránke problému.

Príklad 10. Pre čo a a b je systém

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif "width =" 160 "height =" 25 src = "> .. gif" width = "67" height = "24 src ="> , t..gif "width =" 116 "height =" 55 ">

Systémová nerovnosť definuje polrovinu s hranicou pri= 2x- 1 (obr. 10). Je ľahké pochopiť, že výsledný systém má riešenie, ak je priamka ach +o = 5 pretína hranicu polroviny alebo, keďže je s ňou rovnobežná, leží v polrovine pri– 2x + 1 < 0.

Začnime prípadom b = 0. Potom, zdá sa, rovnica Oh+ podľa = 5 definuje vertikálnu čiaru, ktorá očividne pretína čiaru y = 2X - 1. Toto tvrdenie je však pravdivé iba vtedy, ak ..gif "width =" 43 "height =" 20 src = "> systém má riešenia..gif" width = "99" height = "48">. V tomto prípade je podmienka priesečníka priamok splnená, keď, tj ..gif "width =" 52 "height =" 48 ">. Gif" width = "41" height = "20"> a, alebo a, alebo a https : //pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif "width =" 69 "height =" 24 src = ">.

- V súradnicovej rovine xOa zostavíme graf funkcie.

- Zvážte priame čiary a vyberte tie intervaly osi Oa, na ktorých tieto priame čiary spĺňajú nasledujúce podmienky: a) nepretínajú graf funkcie https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif "width =" 69 "height = "24"> v jednom bode, c) v dvoch bodoch, d) v troch bodoch atď.

- Ak je úlohou nájsť hodnoty x, vyjadríme x cez a pre každý z nájdených intervalov hodnoty a samostatne.

Pohľad na parameter ako na rovnakú premennú sa odráža v grafických metódach..jpg "width =" 242 "height =" 182 ">

Odpoveď. a = 0 alebo a = 1.

ZÁVER

Dúfame, že analyzované problémy presvedčivo demonštrujú účinnosť navrhovaných metód. Rozsah týchto metód je však, žiaľ, obmedzený ťažkosťami, s ktorými sa možno stretnúť pri zostavovaní grafického obrazu. Je to naozaj také zlé? Zjavne nie. Naozaj, s týmto prístupom v do značnej miery stráca sa hlavná didaktická hodnota úloh s parametrami ako modelu miniatúrneho výskumu. Vyššie uvedené úvahy sú však určené učiteľom a pre žiadateľov je celkom prijateľný vzorec: účel svätí prostriedky. Navyše si dovoľme povedať, že na značnom počte univerzít zostavovatelia súťažných úloh s parametrami sledujú cestu od obrázku k podmienke.

V týchto úlohách sa rozoberali možnosti riešenia úloh s parametrom, ktoré sa nám otvárajú, keď sa na hárku papiera zobrazia grafy funkcií obsiahnutých v ľavej a pravej strane rovníc alebo nerovníc. Vzhľadom na to, že parameter môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty, jeden alebo oba zobrazené grafy sa pohybujú určitým spôsobom na povrchu. Dá sa povedať, že dostaneme celú rodinu grafov zodpovedajúcich rôznym hodnotám parametra.

Dôrazne sú zdôraznené dva detaily.

Po prvé, nehovoríme o „grafickom“ riešení. Všetky hodnoty, súradnice, korene sú vypočítané striktne, analyticky, ako riešenia zodpovedajúcich rovníc, systémov. To isté platí pre prípady dotyku alebo prechodu cez mapy. Nie sú určené okom, ale pomocou diskriminantov, derivátov a iných nástrojov, ktoré máte k dispozícii. Obrázok poskytuje iba riešenie.

Po druhé, aj keď nenájdete žiadny spôsob, ako vyriešiť problém súvisiaci s uvedenými grafmi, vaše chápanie problému sa výrazne rozšíri, dostanete informácie na samotestovanie a šanca na úspech sa výrazne zvýši. Ak si presne predstavíte, čo sa deje v probléme pre rôzne hodnoty parametra, môžete nájsť správny algoritmus na riešenie.

Preto tieto slová zakončíme nástojčivou vetou: ak sa aj v najmenšej ťažkej úlohe nájdu funkcie, ktorých grafy viete nakresliť, určite to urobte, neoľutujete.

BIBLIOGRAFICKÝ ZOZNAM

1. Čerkasov,: Príručka pre stredoškolákov a nastupujúcich na vysoké školy [Text] /,. - M .: AST-PRESS, 2001 .-- 576 s.

2. Gorshtein, s parametrami [Text]: 3. vydanie, doplnené a prepracované /,. - M .: Ileksa, Charkov: Gymnázium, 1999 .-- 336 s.

Mnohé úlohy, ktoré sme zvyknutí počítať čisto algebraicky, sa dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie a rýchlejšie, pomôže nám v tom použitie funkčných grafov. Hovoríte "ako to?" niečo nakresliť a čo nakresliť? Verte mi, niekedy je to pohodlnejšie a jednoduchšie. Začnime? Začnime s rovnicami!

Grafické riešenie rovníc

Grafické riešenie lineárnych rovníc

Ako už viete, graf lineárnej rovnice je priamka, odtiaľ názov tohto typu. Lineárne rovnice sú dostatočne jednoduché na algebraické riešenie – všetky neznáme prenášame na jednu stranu rovnice, všetko, čo vieme – na druhú a voila! Našli sme koreň. Teraz vám ukážem, ako na to graficky.

Takže máte rovnicu:

Ako to vyriešiť?
možnosť 1 a najbežnejší je prenos neznámych v jednom smere a známych v druhom smere, dostaneme:

Teraz staviame. Čo si robil?

Čo je podľa vás koreňom našej rovnice? Správne, súradnice priesečníka grafov:

Naša odpoveď je

To je celá múdrosť grafického riešenia. Ako môžete ľahko skontrolovať, koreňom našej rovnice je číslo!

Ako som povedal vyššie, toto je najbežnejšia možnosť, blízko k algebraické riešenie, ale dá sa to vyriešiť aj inak. Aby sme zvážili alternatívne riešenie, vráťme sa k našej rovnici:

Tentokrát nebudeme nič prenášať zo strany na stranu, ale budeme priamo vytvárať grafy, ako sú teraz:

postavil si to? Pozeráme sa!

Aké je riešenie tentokrát? Všetko je správne. Rovnaká je súradnica priesečníka grafov:

A naša odpoveď je opäť.

Ako vidíte, s lineárne rovnice všetko je mimoriadne jednoduché. Je načase pouvažovať o niečom náročnejšom... Napr. grafické riešenie kvadratických rovníc.

Grafické riešenie kvadratických rovníc

Poďme teda k riešeniu kvadratickej rovnice. Povedzme, že potrebujete nájsť korene tejto rovnice:

Samozrejme, teraz môžete začať počítať pomocou diskriminantu, alebo podľa Vietovej vety, ale veľa ľudí je na nervy a robí chyby pri násobení alebo umocňovaní, najmä ak je príklad s veľkými číslami, a ako viete, nebudete mať na skúške kalkulačku ... Skúsme sa teda pri riešení tejto rovnice trochu uvoľniť a kresliť.

Riešenia tejto rovnice môžete nájsť graficky rôzne cesty... Zvážte rôzne možnosti a sami si vyberiete, ktorá sa vám najviac páči.

Metóda 1. Priamo

Zostavíme parabolu podľa tejto rovnice:

Aby ste to urobili rýchlo, dám vám jeden malý tip: je vhodné začať konštrukciu definovaním vrcholu paraboly. Nasledujúce vzorce pomôžu určiť súradnice vrcholu paraboly:

Poviete „Stop! Vzorec pre je veľmi podobný vzorcu na nájdenie diskriminačného „áno, je, a to je obrovská nevýhoda“ priamej „konštrukcie paraboly na nájdenie jej koreňov. Napriek tomu počítajme do konca a potom vám ukážem, ako si to oveľa (oveľa!) uľahčiť!

Počítal si to? Aké sú súradnice vrcholu paraboly? Poďme na to spolu:

Presne tá istá odpoveď? Výborne! A teraz už poznáme súradnice vrcholu a na zostavenie paraboly potrebujeme viac ... bodov. Koľko bodov si myslíte, že potrebujeme? Správny, .

Viete, že parabola je symetrická podľa svojho vrcholu, napríklad:

V súlade s tým potrebujeme ďalšie dva body na ľavej alebo pravej vetve paraboly a v budúcnosti budeme tieto body symetricky odrážať na opačnú stranu:

Vraciame sa k našej parabole. V našom prípade ide o pointu. Potrebujeme ešte dva body, môžeme si zobrať kladné, alebo záporné? Ktoré body sú pre vás výhodnejšie? Je pre mňa pohodlnejšie pracovať s kladnými, preto budem počítať pri a.

Teraz máme tri body a môžeme bezpečne zostaviť našu parabolu, ktorá odráža posledné dva body vzhľadom na jej vrchol:

Aké je podľa vás riešenie rovnice? To je pravda, body, v ktorých, to je, a. Pretože.

A ak to povieme, tak to znamená, že sa musí aj rovnať, príp.

len tak? Dokončili sme riešenie rovnice zložitým grafickým spôsobom, inak bude!

Samozrejme, našu odpoveď si môžete overiť algebraicky – spočítajte korene pomocou Vietovej vety alebo Diskriminanty. Čo si robil? Rovnaký? Tu vidíte! Teraz sa pozrime na veľmi jednoduché grafické riešenie, určite sa vám bude veľmi páčiť!

Metóda 2.Rozdelená na niekoľko funkcií

Zoberme si tiež celú našu rovnicu:, ale napíšme ju trochu inak, a to:

Môžeme to takto zapísať? Môžeme, pretože transformácia je ekvivalentná. Pozeráme ďalej.

Zostavme dve funkcie oddelene:

1. - graf je jednoduchá parabola, ktorú ľahko zostavíte aj bez definovania vrcholu pomocou vzorcov a zostavenia tabuľky na určenie ďalších bodov.
2. - graf je priama čiara, ktorú môžete rovnako ľahko vykresliť po odhadnutí hodnôt a v hlave bez toho, aby ste sa uchýlili k kalkulačke.

postavil si to? Porovnajte s tým, čo vyšlo mne:

Aké sú podľa vás korene rovnice v tomto prípade? Správny! Súradnice podľa, ktoré sa ukázali na priesečníku dvoch grafov, a to:

V súlade s tým je riešenie tejto rovnice:

Čo hovoríš? Musíte uznať, že toto riešenie je oveľa jednoduchšie ako predchádzajúce a dokonca jednoduchšie ako hľadať korene cez diskriminant! Ak áno, skúste vyriešiť nasledujúcu rovnicu týmto spôsobom:

Čo si robil? Porovnajme naše grafy:

Grafy ukazujú, že odpovede sú:

Zvládli ste to? Výborne! Teraz sa pozrime na rovnice chuuuut trochu zložitejšie, a to na riešenie zmiešaných rovníc, teda rovníc obsahujúcich funkcie rôznych typov.

Grafické riešenie zmiešaných rovníc

Teraz skúsme vyriešiť nasledovné:

Všetko si samozrejme môžete priniesť spoločný menovateľ, nájdite korene výslednej rovnice, pričom nezabudnite vziať do úvahy ODV, ale opäť sa to pokúsime vyriešiť graficky, ako sme to urobili vo všetkých predchádzajúcich prípadoch.

Tentoraz zostavme nasledujúce 2 grafy:

1. - graf je hyperbola
2. - graf je priamka, ktorú môžete ľahko zostaviť odhadnutím hodnôt a v hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Realizované? Teraz začnite stavať.

Tu je to, čo mi vyšlo:

Keď sa pozriete na toto číslo, aké sú korene našej rovnice?

Je to tak a. Tu je potvrdenie:

Skúste do rovnice zapojiť naše korene. Stalo?

To je v poriadku! Súhlasíte, je potešením graficky riešiť takéto rovnice!

Skúste rovnicu vyriešiť sami graficky:

Dovoľte mi poradiť: presuňte časť rovnice na pravú stranu tak, aby najjednoduchšie funkcie na zostavenie boli na oboch stranách. Máte tip? Konajte!

Teraz sa pozrime, čo sa stalo:

Respektíve:

1. je kubická parabola.
2. - obyčajná priamka.

No, staviame:

Ako ste si dlho písali, koreň tejto rovnice je -.

Po vyriešení takého množstva príkladov ste si určite uvedomili, aké ľahké a rýchle je riešiť rovnice graficky. Je čas prísť na to, ako podobným spôsobom vyriešiť systém.

Grafické riešenie systémov

Grafické riešenie sústavy sa v podstate nelíšia od grafického riešenia rovníc. Zostavíme tiež dva grafy a ich priesečníky budú koreňmi tohto systému. Jeden graf je jedna rovnica, druhý graf je ďalšia rovnica. Všetko je mimoriadne jednoduché!

Začnime tým najjednoduchším – riešením sústav lineárnych rovníc.

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Povedzme, že máme nasledujúci systém:

Najprv to pretvorme tak, aby naľavo bolo všetko, s čím súvisí, a napravo - s čím súvisí. Inými slovami, tieto rovnice píšeme ako funkciu v našom obvyklom tvare:

Teraz len postavíme dve rovné čiary. Aké je riešenie v našom prípade? Správny! Bod ich priesečníka! A tu musíte byť veľmi, veľmi opatrní! premýšľať prečo? Dovoľte mi, aby som vám dal nápovedu: máme čo do činenia so systémom: systém má oboje a ... Rozumeli ste tej nápovede?

To je v poriadku! Pri riešení sústavy sa musíme pozerať na obe súradnice, a nie len, ako pri riešení rovníc! Ďalším dôležitým bodom je správne si ich zapísať a nepomýliť si, kde máme význam a kde význam! Napísal si to? Teraz porovnajme všetko v poradí:

A odpovede sú: a. Urobte kontrolu - dosaďte nájdené korene do systému a presvedčte sa, či sme to správne graficky vyriešili?

Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Čo ak namiesto jednej priamky máme kvadratická rovnica? Je to v poriadku! Namiesto priamky postavíte parabolu! neveríte? Skúste vyriešiť nasledujúci systém:

Aký je náš ďalší krok? Správne, zapíšte si to, aby bolo pre nás vhodné vytvárať grafy:

A teraz je to vo všeobecnosti malé - postavil som to rýchlo a tu je riešenie pre vás! Staviame:

Sú grafy rovnaké? Teraz označte systémové riešenia na obrázku a zistené odpovede správne zapíšte!

Urobil som všetko? Porovnaj s mojimi prispevkami:

Je to správne? Výborne! Už ste klikli podobné úlohy ako orechy! A ak áno, poskytneme vám zložitejší systém:

Čo robíme? Správny! Systém píšeme tak, aby bolo vhodné zostaviť:

Dám vám malú nápovedu, pretože systém vyzerá dobre, nie je príliš jednoduchý! Pri zostavovaní grafov ich stavajte „viac“ a hlavne sa nečudujte množstvu priesečníkov.

Tak, poďme! Vydýchnutý? Teraz začnite stavať!

Ako to je? Pekný? Koľko priesečníkov ste získali? Mám tri! Porovnajme naše grafy:

Rovnakým spôsobom? Teraz si pozorne zapíšte všetky rozhodnutia nášho systému:

Teraz sa znova pozrite na systém:

Viete si predstaviť, že by ste to vyriešili len za 15 minút? Uznajte, matematika je stále jednoduchá, najmä pri pohľade na výraz sa nebojíte pomýliť sa, ale vezmete to a rozhodnete sa! Si veľký chalan!

Grafické riešenie nerovností

Grafické riešenie lineárnych nerovností

Po poslednom príklade môžete všetko! Teraz vydýchnite – v porovnaní s predchádzajúcimi časťami bude táto veľmi, veľmi ľahká!

Začneme ako obvykle grafickým riešením lineárnej nerovnosti. Napríklad tento:

Na začiatok vykonáme najjednoduchšie transformácie - otvoríme zátvorky dokonalých štvorcov a dáme podobné výrazy:

Nerovnosť nie je striktná, preto - nie je zahrnutá v intervale a riešením budú všetky body, ktoré sú vpravo, pretože je ich viac, viac atď.

odpoveď:

To je všetko! ľahké? Poďme vyriešiť jednoduchú nerovnosť s dvoma premennými:

Nakreslíme funkciu v súradnicovom systéme.

Máte taký rozvrh? A teraz sa pozorne pozeráme na to, čo tam máme v nerovnosti? menej? Maľujeme teda všetko, čo je naľavo od našej priamky. Čo keby ich bolo viac? To je pravda, potom by premaľovali všetko, čo je napravo od našej priamky. Je to jednoduché.

Všetky riešenia tejto nerovnosti sú vytieňované oranžovou farbou. To je všetko, dvojpremenná nerovnosť je vyriešená. To znamená, že riešením sú súradnice ľubovoľného bodu zo zatienenej oblasti.

Grafické riešenie štvorcových nerovností

Teraz sa budeme zaoberať tým, ako graficky vyriešiť štvorcové nerovnosti.

Ale predtým, než sa pustíme do práce, zopakujme si nejaký materiál týkajúci sa funkcie štvorca.

A za čo je zodpovedný diskriminant? Presne tak, pre polohu grafu vzhľadom na os (ak si to nepamätáš, tak si prečítaj presne teóriu kvadratických funkcií).

Každopádne, tu je malá pripomienka:

Teraz, keď sme si osviežili všetok materiál v pamäti, poďme na vec – nerovnosť graficky vyriešime.

Hneď vám poviem, že sú dve možnosti, ako to vyriešiť.

možnosť 1

Našu parabolu zapíšeme ako funkciu:

Pomocou vzorcov určíme súradnice vrcholu paraboly (rovnakým spôsobom ako pri riešení kvadratických rovníc):

Počítal si to? Čo si robil?

Teraz zoberme ďalšie dva rôzne body a vypočítajme pre ne:

Začneme budovať jednu vetvu paraboly:

Symetricky odrážame naše body do inej vetvy paraboly:

Teraz späť k našej nerovnosti.

Potrebujeme, aby bola menšia ako nula, resp.

Pretože v našej nerovnosti je znamienko striktne menšie, potom vylúčime koncové body - "vyraziť".

odpoveď:

Dlhá cesta, však? Teraz vám ukážem jednoduchšiu verziu grafického riešenia na príklade rovnakej nerovnosti:

Možnosť 2

Vrátime sa k našej nerovnosti a označíme intervaly, ktoré potrebujeme:

Súhlasíte, je to oveľa rýchlejšie.

Teraz si zapíšme odpoveď:

Uvažujme o ďalšom riešení, ktoré zjednodušuje algebraickú časť, ale hlavnou vecou nie je zmiasť sa.

Vynásobme ľavú a pravú stranu:

Skúste sami vyriešiť nasledovné štvorcová nerovnosť akýmkoľvek spôsobom sa vám páči:.

Zvládli ste to?

Pozrite sa, ako mi dopadol graf:

odpoveď: .

Grafické riešenie zmiešaných nerovností

Teraz prejdime k zložitejším nerovnostiam!

Ako sa vám páči toto:

Strašidelné, však? Úprimne povedané, netuším, ako to vyriešiť algebraicky... Ale nie je to potrebné. Graficky na tom nie je nič zložité! Oči sa boja, ale ruky robia!

Prvá vec, s ktorou začneme, je nakreslenie dvoch grafov:

Nebudem maľovať tabuľku pre každú z nich - som si istý, že to zvládnete perfektne sami (aj keď existuje toľko príkladov na riešenie!).

Maľoval si to? Teraz vytvorte dva grafy.

Porovnáme naše kresby?

Je to tak aj u vás? Dobre! Teraz umiestnime priesečníky a podľa farby určíme, ktorý graf máme teoreticky väčší, tzn. Pozrite si, čo sa nakoniec stalo:

A teraz sa len pozrieme, kde je vybraný graf vyššie ako graf? Pokojne si vezmite ceruzku a premaľujte túto oblasť! Ona bude riešením našej komplexnej nerovnosti!

V akých intervaloch pozdĺž osi je vyššia ako? Správny, . Toto je odpoveď!

Teraz môžete zvládnuť akúkoľvek rovnicu a akýkoľvek systém a ešte viac akúkoľvek nerovnosť!

STRUČNE O HLAVNOM

Algoritmus na riešenie rovníc pomocou grafov funkcií:

1. Vyjadrime sa v termínoch
2. Definujte typ funkcie
3. Zostavme grafy výsledných funkcií
4. Nájdite priesečníky grafov
5. Správne zapíšte odpoveď (berúc do úvahy značky ODZ a nerovnosti)
6. Skontrolujte odpoveď (dosaďte korene v rovnici alebo systéme)

Ďalšie informácie o funkciách vykresľovania nájdete v téme „“.

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa YouClever študentom,

Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, tréningovému programu „100gia“, neobmedzený skúšobná skúška a OGE, 6000 problémov s analýzou riešení ak ďalším službám YouClever a 100gia.

Grafická metóda je jednou z hlavných metód riešenia štvorcových nerovností. V článku uvedieme algoritmus na použitie grafickej metódy a potom zvážime špeciálne prípady s príkladmi.

Podstata grafickej metódy

Metóda je použiteľná na riešenie akejkoľvek nerovnosti, nielen štvorcovej. Jej podstata je nasledovná: pravú a ľavú stranu nerovnosti považujú za dve samostatné funkcie y = f (x) a y = g (x), ich grafy sú vynesené do pravouhlého súradnicového systému a vidia, ktorý z grafov sa nachádza nad druhým, a na ktorých intervaloch. Intervaly sa hodnotia takto:

Definícia 1

• riešenia nerovnice f (x)> g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f je vyšší ako graf funkcie g;
• riešenia nerovnosti f (x) ≥ g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f nie je nižší ako graf funkcie g;
• riešenia nerovnosti f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• riešenia nerovnosti f (x) ≤ g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f nie je vyšší ako graf funkcie g;
• úsečky priesečníkov grafov funkcií f a g sú riešeniami rovnice f (x) = g (x).

Zoberme si vyššie uvedený algoritmus na príklade. Ak to chcete urobiť, vezmite štvorcovú nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) a odvodiť z neho dve funkcie. Ľavá strana nerovnosti bude zodpovedať y = ax 2 + bx + c (v tomto prípade f (x) = ax 2 + bx + c) a pravá strana y = 0 (v tomto prípade g (x) = 0).

Graf prvej funkcie je parabola, druhá je priamka, ktorá sa zhoduje s osou x x. Analyzujme polohu paraboly vzhľadom na os O x. Za týmto účelom vykonáme schematický výkres.

Vetvy paraboly smerujú nahor. V bodoch pretína os O x x 1 a x 2... Koeficient a je v tomto prípade kladný, pretože je to on, kto je zodpovedný za smer vetiev paraboly. Diskriminant je pozitívny, čo naznačuje prítomnosť dvoch koreňov v štvorcový trojčlena x 2 + b x + c... Korene trojčlenky sme označili ako x 1 a x 2 a prijal to x 1< x 2 , keďže na osi O x je znázornený bod s úsečkou x 1 naľavo od bodu s úsečkou x 2.

Časti paraboly umiestnené nad osou O x budú označené červenou farbou, pod ňou modrou. To nám umožní urobiť kresbu popisnejšou.

Vyberte medzery, ktoré zodpovedajú týmto častiam, a označte ich na obrázku poliami určitej farby.

Červenou farbou sme označili intervaly (- ∞, x 1) a (x 2, + ∞), na nich je parabola nad osou O x. Sú to a x 2 + b x + c > 0. Modrou farbou sme označili interval (x 1, x 2), ktorý je riešením nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Urobme si krátky záznam riešenia. Pre a> 0 a D = b 2 - 4 · a · c> 0 (alebo D "= D 4> 0 pre párny koeficient b) dostaneme:

• riešenie štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c> 0 je (- ∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) alebo v inom zápise x< x 1 , x >x 2;
• riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (- ∞, x 1] ∪ [x 2, + ∞) alebo v inom zápise x ≤ x 1, x ≥ x 2;
• riešenie štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• riešenie štvorcovej nerovnosti a · x 2 + b · x + c ≤ 0 je [x 1, x 2] alebo v inom zápise x 1 ≤ x ≤ x 2,

kde x 1 a x 2 sú korene štvorcového trojčlenu a x 2 + b x + c a x 1< x 2 .

Na tomto obrázku sa parabola dotýka osi O x iba v jednom bode, ktorý je označený ako x 0 a > 0. D = 0, teda štvorcová trojčlenka má jednu odmocninu x 0.

Parabola sa nachádza úplne nad osou O x, okrem bodu dotyku súradnicovej osi. Vyfarbíme intervaly (- ∞, x 0), (x 0, ∞).

Výsledky si zapíšeme. o a > 0 a D = 0:

• riešením štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c > 0 je (- ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x 0;
• riešením štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c ≥ 0 je (− ∞ , + ∞) alebo v inom zápise x ∈ R;
• štvorcová nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 nemá žiadne riešenia (neexistujú žiadne intervaly, na ktorých by sa parabola nachádzala pod osou Vôl);
• štvorcová nerovnosť a x 2 + b x + c ≤ 0 má jediné riešenie x = x 0(je to dané kontaktným miestom),

kde x 0- odmocnina štvorcového trojčlenu a x 2 + b x + c.

Zvážte tretí prípad, keď vetvy paraboly smerujú nahor a nedotýkajú sa osi Vôl... Vetvy paraboly smerujú nahor, čo znamená, že a > 0... Štvorcová trojčlenka nemá skutočné korene, pretože D< 0 .

Na grafe nie sú žiadne intervaly, kde by parabola bola pod osou x. Zohľadníme to pri výbere farby pre našu kresbu.

Ukazuje sa, že pre a > 0 a D< 0 riešenie štvorcových nerovností a x 2 + b x + c > 0 a a x 2 + b x + c ≥ 0 je množstvo všetkých reálne čísla a nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 a a x 2 + b x + c ≤ 0 nemať riešenia.

Zostáva nám zvážiť tri možnosti, keď vetvy paraboly smerujú nadol. Týmito tromi možnosťami sa nemusíme podrobne zaoberať, pretože pri vynásobení oboch strán nerovnosti číslom - 1 dostaneme ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom pri x 2.

Úvaha o predchádzajúcej časti článku nás pripravila na vnímanie algoritmu riešenia nerovností pomocou grafickej metódy. Na vykonanie výpočtov budeme musieť zakaždým použiť výkres, ktorý bude zobrazovať súradnicovú čiaru O x a parabolu, ktorá zodpovedá kvadratickej funkcie y = a x 2 + b x + c... Vo väčšine prípadov nebudeme zobrazovať os O y, pretože nie je potrebná na výpočty a iba preťaží výkres.

Na zostavenie paraboly potrebujeme vedieť dve veci:

Definícia 2

• smer vetiev, ktorý je určený hodnotou koeficientu a;
• prítomnosť priesečníkov paraboly a osi x, ktoré sú určené hodnotou diskriminantu štvorcového trinomu a x 2 + b x + c.

Priesečníky a dotyky označíme obvyklým spôsobom pri riešení neprísnych nerovníc a prázdne pri riešení prísnych.

Pripravený výkres vám umožňuje prejsť na ďalší krok riešenia. Zahŕňa určenie intervalov, v ktorých sa parabola nachádza nad alebo pod osou O x. Medzery a priesečníky sú riešením štvorcovej nerovnosti. Ak neexistujú žiadne priesečníky alebo dotykové body a neexistujú žiadne intervaly, potom sa nerovnosť špecifikovaná v podmienkach úlohy považuje za neriešenú.

Teraz poďme vyriešiť niektoré zo štvorcových nerovností pomocou vyššie uvedeného algoritmu.

Príklad 1

Nerovnosť 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 je potrebné vyriešiť graficky.

Riešenie

Nakreslíme graf kvadratickej funkcie y = 2 x 2 + 5 1 3 x - 2. Koeficient at x 2 pozitívne, keďže je 2 ... To znamená, že vetvy paraboly budú smerovať nahor.

Vypočítajme diskriminant štvorcovej trojčlenky 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2, aby sme zistili, či má parabola spoločné body s osou x. Dostaneme:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Ako vidíte, D je väčšie ako nula, preto máme dva priesečníky: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 a x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, tj. x 1 = - 3 a x 2 = 1 3.

Riešime neprísnu nerovnicu, preto na graf dáme obyčajné body. Nakreslíme parabolu. Ako môžete vidieť, obrázok vyzerá rovnako ako v prvej šablóne, ktorú sme preskúmali.

Naša nerovnosť má znamienko ≤. Preto musíme na grafe vybrať intervaly, kde sa parabola nachádza pod osou O x a pridať k nim priesečníky.

Interval, ktorý potrebujeme, je 3, 1 3. Pridajte k nemu priesečníky a získajte číselný segment - 3, 1 3. Toto je riešenie nášho problému. Odpoveď možno zapísať ako dvojitú nerovnosť: - 3 ≤ x ≤ 1 3.

odpoveď:- 3, 1 3 alebo - 3 ≤ x ≤ 1 3.

Príklad 2

- x 2 + 16 x - 63< 0 grafická metóda.

Riešenie

Druhá mocnina premennej má záporný číselný koeficient, takže vetvy paraboly budú smerovať nadol. Vypočítame štvrtú časť diskriminantu D "= 8 2 - (- 1) · (- 63) = 64 - 63 = 1... Tento výsledok nám hovorí, že budú existovať dva priesečníky.

Vypočítame korene štvorcového trojčlenu: x 1 = - 8 + 1 - 1 a x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 a x 2 = 9.

Ukazuje sa, že parabola pretína v bodoch os x 7 a 9 ... Označme tieto body na grafe ako prázdne, keďže pracujeme s prísnou nerovnosťou. Potom nakreslite parabolu, ktorá pretína os O x v označených bodoch.

Nás budú zaujímať intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x. Tieto intervaly označíme modrou farbou.

Dostávame odpoveď: riešením nerovnosti sú intervaly (- ∞, 7), (9, + ∞).

odpoveď:(- ∞, 7) ∪ (9, + ∞) alebo v inom zápise x< 7 , x > 9 .

V prípadoch, keď je diskriminant štvorcovej trojčlenky nula, treba dôkladne zvážiť otázku, či sa oplatí zahrnúť do odpovede úsečky. Prijať správne rozhodnutie, treba brať do úvahy znamienko nerovnosti. Pri striktných nerovnostiach bod dotyku osi x nie je riešením nerovnosti, pri neprisnych nerovnostiach áno.

Príklad 3

Vyriešte štvorcovú nerovnosť 10 x 2 - 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafická metóda.

Riešenie

Vetvy paraboly budú v tomto prípade smerovať nahor. Dotkne sa osi O x v bode 0, 7, od r

Nakreslíme funkciu y = 10 x 2 - 14 x + 4, 9... Jeho vetvy smerujú nahor, pretože koeficient pri x 2 kladný a dotýka sa úsečky v bode s úsečkou 0 , 7 , pretože D" = (-7) 2 - 104, 9 = 0, odkiaľ x 0 = 7 10 resp 0 , 7 .

Umiestnime bod a nakreslíme parabolu.

Slabú nerovnicu riešime so znamienkom ≤. Preto Nás budú zaujímať intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou x a bodom dotyku. Na obrázku nie sú žiadne intervaly, ktoré by vyhovovali našim podmienkam. Existuje iba dotykový bod 0, 7. Toto je požadované riešenie.

odpoveď: Nerovnosť má len jedno riešenie, 0, 7.

Príklad 4

Vyriešte štvorcovú nerovnosť - x 2 + 8 x - 16< 0 .

Riešenie

Vetvy paraboly smerujú nadol. Diskriminant je nula. Priesečník x 0 = 4.

Označte dotykový bod na osi x a nakreslite parabolu.

Máme čo do činenia s veľkou nerovnosťou. Preto nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x. Označte ich modrou farbou.

Bod s osou 4 nie je riešením, pretože parabola v ňom nie je umiestnená pod osou O x. Preto dostaneme dva intervaly (- ∞, 4), (4, + ∞).

odpoveď: (- ∞, 4) ∪ (4, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 4.

Nie vždy s záporná hodnota diskriminačná nerovnosť nebude mať riešenia. Sú prípady, keď riešením bude množina všetkých reálnych čísel.

Príklad 5

Štvorcovú nerovnosť 3 x 2 + 1> 0 vyriešte graficky.

Riešenie

Koeficient a je kladný. Diskriminant je negatívny. Vetvy paraboly budú smerovať nahor. Neexistujú žiadne priesečníky paraboly s osou O x. Pozrime sa na obrázok.

Pracujeme s prísnou nerovnosťou, ktorá má znamienko >. To znamená, že nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x. To je presne ten prípad, keď je odpoveďou množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:(- ∞, + ∞) alebo tak x ∈ R.

Príklad 6

Je potrebné nájsť riešenie nerovnosti - 2 x 2 - 7 x - 12 ≥ 0 graficky.

Riešenie

Vetvy paraboly smerujú nadol. Diskriminant je záporný, preto neexistujú žiadne spoločné body paraboly a osi x. Pozrime sa na obrázok.

Pracujeme s neobmedzenou nerovnicou so znamienkom ≥, preto nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x. Súdiac podľa harmonogramu, takéto medzery nie sú. To znamená, že nerovnosť daná pre podmienku problému nemá riešenia.

odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter