Toto je jeden z najzákladnejších spôsobov zjednodušenia výrazu. Aby sme mohli použiť túto metódu, spomeňme si na distributívny zákon násobenia s ohľadom na sčítanie (nebojte sa týchto slov, tento zákon musíte poznať, len ste možno zabudli jeho názov).

Zákon hovorí: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, musíte vynásobiť každý výraz týmto číslom a výsledky sčítať, inými slovami,.

Môžete tiež vykonať spätnú operáciu a práve táto spätná operácia nás zaujíma. Ako je možné vidieť na vzorke, spoločný faktor a, možno vybrať zo zátvorky.

Podobnú operáciu je možné vykonať s premennými, ako napríklad a, ako aj s číslami: .

Áno, je toho priveľa elementárny príklad, rovnako ako v predchádzajúcom príklade, s rozšírením čísla, pretože každý vie, čo sú čísla a sú delené, ale čo keby ste dostali zložitejší výraz:

Ako zistiť, na čo sa napríklad číslo delí, nie, s kalkulačkou to môže každý, ale bez nej je to slabé? A na to existujú znaky deliteľnosti, tieto znaky sa naozaj oplatí poznať, pomôžu vám rýchlo pochopiť, či je možné spoločný faktor vymedziť.

Známky deliteľnosti

Nie je také ťažké si ich zapamätať, s najväčšou pravdepodobnosťou vám väčšina z nich už bola známa a niečo bude novým užitočným objavom, viac podrobností v tabuľke:

Poznámka: V tabuľke chýba znak deliteľnosti 4. Ak sú posledné dve číslice deliteľné 4, potom je celé číslo deliteľné 4.

No ako sa vám páči znamenie? Radím vám, aby ste si to zapamätali!

No vráťme sa k výrazu, možno ho vytiahnuť zo zátvorky a stačí z toho? Nie, pre matematikov je zvykom zjednodušovať, takže naplno, vytiahnite VŠETKO, čo je vybraté!

Hráčovi je teda všetko jasné, ale čo číselná časť výrazu? Obidve čísla sú nepárne, takže ich nemôžete deliť

Môžete použiť znamienko deliteľnosti, súčet číslic a, z ktorých sa číslo skladá, sa rovná a je deliteľné, čo znamená, že je deliteľné.

Keď to viete, môžete sa bezpečne rozdeliť do stĺpca, ako výsledok delenia dostaneme (známky deliteľnosti sa hodili!). Číslo teda môžeme vyňať zo zátvorky, rovnako ako y, a výsledkom je:

Aby ste sa uistili, že je všetko správne rozložené, môžete expanziu skontrolovať násobením!

Spoločný činiteľ môže byť vyňatý aj z mocenských výrazov. Vidíte tu napríklad spoločný faktor?

Všetky členy tohto výrazu majú x - vyberieme, všetky sú delené - znova vyberieme, pozrieme sa, čo sa stalo: .

2. Skrátené vzorce na násobenie

Skrátené vzorce na násobenie už boli teoreticky spomenuté, ak si už len ťažko pamätáte, čo to je, tak by ste si ich mali osviežiť v pamäti.

No ak sa považujete za veľmi múdreho a ste leniví čítať taký oblak informácií, tak len čítajte ďalej, pozerajte sa na vzorce a hneď si berte príklady.

Podstatou tohto rozkladu je všimnúť si nejaký určitý vzorec vo výraze pred vami, aplikovať ho a tak získať súčin niečoho a niečoho, to je celý rozklad. Nasledujú vzorce:

Teraz skúste faktorizovať nasledujúce výrazy pomocou vyššie uvedených vzorcov:

A tu je to, čo sa malo stať:

Ako ste si všimli, tieto vzorce sú veľmi efektívnym spôsobom faktoringu, nie je to vždy vhodné, ale môže byť veľmi užitočné!

3. Zoskupovanie alebo metóda zoskupovania

Tu je ďalší príklad pre vás:

No a čo s tým budeš robiť? Zdá sa, že je deliteľné niečím a na niečo a niečo do a do

Ale nemôžete všetko rozdeliť do jednej veci, dobre neexistuje žiadny spoločný faktor, ako nehľadať čo, a nechať to bez faktoringu?

Tu musíte ukázať vynaliezavosť a názov tejto vynaliezavosti je zoskupenie!

Uplatňuje sa, keď spoločných deliteľov Nie všetci členovia majú. Na zoskupenie potrebujete nájsť skupiny výrazov, ktoré majú spoločných deliteľov a preusporiadať ich tak, aby sa z každej skupiny dal získať rovnaký multiplikátor.

Samozrejme, nie je potrebné miestami preskupovať, ale to dáva viditeľnosť, pre prehľadnosť môžete jednotlivé časti výrazu zobrať do zátvoriek, nie je zakázané ich dávať koľko chcete, hlavnou vecou nie je pomýliť si znamenia.

To všetko nie je veľmi jasné? Vysvetlím to na príklade:

V polynóme - vložte člen - za člen - dostaneme

prvé dva výrazy zoskupíme do samostatnej zátvorky a tretí a štvrtý výraz zoskupíme rovnakým spôsobom, pričom znamienko mínus necháme mimo zátvorky, dostaneme:

A teraz sa pozrieme oddelene na každú z dvoch „kôp“, do ktorých sme rozbili výraz so zátvorkami.

Trik je rozbiť ho na také kôpky, z ktorých bude možné vybrať najväčší možný faktor, alebo sa ako v tomto príklade pokúsiť zoskupiť členy tak, aby sme po vybratí faktorov zo zátvoriek z kôp majú rovnaké výrazy v zátvorkách.

Z oboch zátvoriek vyberieme spoločné faktory členov, z prvej zátvorky a z druhej zátvorky dostaneme:

Ale to nie je rozklad!

Psomár rozklad by mal zostať len násobením, ale zatiaľ máme polynóm jednoducho rozdelený na dve časti ...

ALE! Tento polynóm má spoločný faktor. Toto

mimo držiaka a dostaneme konečný produkt

Bingo! Ako vidíte, súčin už existuje a mimo zátvoriek nie je sčítanie ani odčítanie, rozklad je dokončený, pretože už nemáme čo vyťahovať zo zátvoriek.

Môže sa zdať ako zázrak, že po vyňatí faktorov zo zátvoriek máme v zátvorkách stále tie isté výrazy, ktoré sme opäť vyňali zo zátvoriek.

A nie je to vôbec zázrak, faktom je, že príklady v učebniciach a na skúške sú špeciálne urobené tak, že väčšina výrazov v úlohách na zjednodušenie resp. faktorizácia so správnym prístupom k nim sa ľahko zjednodušia a po stlačení tlačidla sa náhle zrútia ako dáždnik, takže v každom výraze hľadajte práve toto tlačidlo.

Niečo som odbočil, čo tam máme so zjednodušením? Zložitý mnohočlen nadobudol jednoduchšiu podobu: .

Súhlasíte, nie je taký objemný, ako býval?

4. Výber plného štvorca.

Niekedy je na použitie vzorcov pre skrátené násobenie (opakovanie témy) potrebné transformovať existujúci polynóm, pričom jeden z jeho členov predstavuje súčet alebo rozdiel dvoch členov.

V takom prípade to musíte urobiť, dozviete sa z príkladu:

Polynóm v tomto tvare nemožno rozložiť pomocou skrátených vzorcov na násobenie, preto ho treba previesť. Možno vám spočiatku nebude jasné, na ktorý pojem rozdeliť, no postupom času sa naučíte okamžite vidieť vzorce pre skrátené násobenie, aj keď nie sú prítomné celé, a rýchlo zistíte, čo tu chýba na plný vzorec, ale zatiaľ - učte sa , študent, presnejšie školák.

Pre úplný vzorec druhej mocniny rozdielu potrebujete namiesto toho tu. Predstavme si tretí člen ako rozdiel, dostaneme: Na výraz v zátvorkách môžeme použiť vzorec rozdielového štvorca (nezamieňať s rozdielom štvorcov!!!), máme: , na tento výraz môžeme použiť vzorec pre rozdiel druhých mocnín (nezamieňať s druhou mocninou rozdielu!!!), keď si predstavíme ako, dostaneme: .

Výraz nie vždy faktorizovaný vyzerá jednoduchšie a menší ako bol pred rozkladom, ale v tejto forme sa stáva mobilnejším v tom zmysle, že sa nemôžete obávať zmeny znamienka a iných matematických nezmyslov. Nuž, tu je pre vás nezávislé riešenie, musia byť zohľadnené nasledujúce výrazy.

Príklady:

Odpovede:

5. Faktorizácia štvorcového trojčlenu

O rozklade štvorcový trojčlen faktory pozri nižšie v príkladoch rozkladu.

Príklady 5 metód na faktorizáciu polynómu

1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek. Príklady.

Pamätáte si, čo je distributívny zákon? Toto je také pravidlo:

Príklad:

Faktorizujte polynóm.

Riešenie:

Ďalší príklad:

Vynásobte.

Riešenie:

Ak je celý výraz vyňatý zo zátvoriek, jeden zostane v zátvorkách namiesto neho!

2. Vzorce na skrátené násobenie. Príklady.

Najčastejšie používané vzorce sú rozdiel štvorcov, rozdiel kociek a súčet kociek. Pamätáte si tieto vzorce? Ak nie, naliehavo zopakujte tému!

Príklad:

Zvážte výraz.

Riešenie:

V tomto výraze je ľahké zistiť rozdiel kociek:

Príklad:

Riešenie:

3. Metóda zoskupovania. Príklady

Niekedy je možné zameniť pojmy takým spôsobom, že z každej dvojice susedných členov možno extrahovať jeden a ten istý faktor. Tento spoločný faktor možno vyňať zo zátvorky a pôvodný polynóm sa zmení na súčin.

Príklad:

Vylož polynóm.

Riešenie:

Pojmy zoskupujeme nasledovne:
.

V prvej skupine vyberieme spoločný faktor zo zátvoriek a v druhej - :
.

Teraz je možné spoločný faktor vyňať aj zo zátvoriek:
.

4. Spôsob výberu plného štvorca. Príklady.

Ak sa dá polynóm znázorniť ako rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov, ostáva už len použiť skrátený vzorec násobenia (rozdiel druhých mocnín).

Príklad:

Vylož polynóm.

Riešenie:Príklad:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\zátvorka(((x)^(2))+2\cbodka 3\cbodka x+9)_(štvorec\ súčty\ ((\vľavo (x+3 \vpravo))^(2)))-9-7=((\vľavo(x+3 \vpravo))^(2))-16= \\
=\vľavo(x+3+4 \vpravo)\vľavo(x+3-4 \vpravo)=\vľavo(x+7 \vpravo)\vľavo(x-1 \vpravo) \\
\end(pole)

Vylož polynóm.

Riešenie:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(štvorec\ rozdiely((\vľavo(((x)^(2))-2 \vpravo))^(2)))-4-1=((\vľavo(((x)^) (2))-2 \vpravo))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(pole)

5. Faktorizácia štvorcového trojčlenu. Príklad.

Štvorcový trojčlen je polynóm v tvare, kde je neznáma, sú nejaké čísla.

Premenné hodnoty, ktoré menia štvorcovú trojčlenku na nulu, sa nazývajú korene trojčlenky. Preto korene trojčlenky sú koreňmi kvadratickej rovnice.

Veta.

Príklad:

Rozložme štvorcovú trojčlenku na faktor: .

Najprv vyriešime kvadratickú rovnicu: Teraz môžeme zapísať rozklad tohto štvorcového trinomu na faktory:

Teraz tvoj názor...

Podrobne sme opísali, ako a prečo faktorizovať polynóm.

Uviedli sme množstvo príkladov, ako na to v praxi, poukázali na úskalia, dali riešenia ...

Čo hovoríš?

Ako sa vám páči tento článok? Používate tieto triky? Chápeš ich podstatu?

Napíšte do komentárov a... pripravte sa na skúšku!

Zatiaľ je to najdôležitejšia vec vo vašom živote.

PLÁN LEKCIE lekcia algebry v 7. ročníku

Učiteľka Prílepová O.A.

Ciele lekcie:

Ukážte použitie rôznych metód na faktorizáciu polynómu

Zopakujte si metódy faktorizácie a upevnite svoje vedomosti na cvičeniach

Rozvíjať zručnosti a schopnosti žiakov v aplikácii skrátených násobilkových vzorcov.

Rozvíjať u žiakov logické myslenie a záujem o predmet.

Úlohy:

v smere osobný rozvoj:

Rozvoj záujmu o matematickú tvorivosť a matematické schopnosti;

Rozvoj iniciatívy, aktivity pri riešení matematických úloh;

Kultivácia schopnosti samostatne sa rozhodovať.

v metapredmetovom smere :

Formovanie všeobecných spôsobov intelektuálnej činnosti, ktoré sú charakteristické pre matematiku a sú základom kognitívnej kultúry;

Využívanie IKT technológií;

v predmetnej oblasti:

Osvojenie si matematických vedomostí a zručností potrebných na ďalšie vzdelávanie;

Formovanie u žiakov schopnosť hľadať spôsoby rozkladu polynómu a nájsť ich pre polynóm, ktorý je faktorizovaný.

Vybavenie:letáky, cestovné listy s hodnotiacimi kritériami,multimediálny projektor, prezentácia.

Typ lekcie:opakovanie, zovšeobecňovanie a systematizácia preberanej látky

Formy práce:práca vo dvojiciach a skupinách, individuálna, kolektívna,samostatná, frontálna práca.

Počas tried:

Sekcie: Matematika

Typ lekcie:

• podľa spôsobu vedenia - praktická lekcia;
• na didaktický účel - hodina aplikácie vedomostí a zručností.

Cieľ: tvoria schopnosť faktorizovať polynóm.

Úlohy:

• Didaktický: systematizovať, rozširovať a prehlbovať vedomosti, zručnosti žiakov, aplikovať rôzne metódy rozkladu polynómu na faktory. Formovať schopnosť aplikovať rozklad polynómu na faktory kombináciou rôznych techník. Implementovať vedomosti a zručnosti na tému: „Rozklad polynómu na faktory“ na dokončenie úloh na základnej úrovni a úloh so zvýšenou zložitosťou.
• Vzdelávacie: rozvíjať duševnú aktivitu riešením problémov rôzneho typu, naučiť sa nachádzať a analyzovať najracionálnejšie spôsoby riešenia, prispievať k formovaniu schopnosti zovšeobecňovať študované fakty, jasne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky.
• Vzdelávacie: rozvíjať zručnosti samostatnej a tímovej práce, schopnosti sebaovládania.

Pracovné metódy:

• verbálny;
• vizuálne;
• praktické.

Vybavenie lekcie: interaktívna tabuľa alebo režijný ďalekohľad, tabuľky so skrátenými vzorcami na násobenie, inštrukcie, písomka pre skupinovú prácu.

Štruktúra lekcie:

1. Organizácia času. 1 minúta
2. Formulovanie témy, cieľov a zámerov vyučovacej hodiny-cvičenia. 2 minúty
3. Vyšetrenie domáca úloha. 4 minúty
4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov. 12 minút
5. Fizkultminutka. 2 minúty
6. Pokyny na splnenie úloh workshopu. 2 minúty
7. Plnenie úloh v skupinách. 15 minút
8. Kontrola a diskusia o plnení úloh. Rozbor práce. 3 minúty
9. Stanovenie domácich úloh. 1 minúta
10. Rezervovať úlohy. 3 minúty

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

Učiteľ kontroluje pripravenosť triedy a žiakov na vyučovaciu hodinu.

2. Formulácia témy, cieľov a zámerov vyučovacej hodiny-cvičenia

• Správa o záverečnej lekcii na danú tému.
• Motivácia výchovno-vzdelávacej činnosti žiakov.
• Formulovanie cieľa a stanovenie cieľov vyučovacej hodiny (spolu so žiakmi).

3. Kontrola domácich úloh

Na tabuli sú príklady riešenia domácich úloh č. 943 (a, c); Č. 945 (c, d). Vzorky vyrobili žiaci triedy. (Táto skupina študentov bola identifikovaná v predchádzajúcej hodine, svoje rozhodnutie formalizovali na prestávke). Študenti sa pripravujú na „obhajovanie“ riešení.

učiteľ:

Kontroly domácich úloh v žiackych zošitoch.

Vyzve študentov triedy, aby odpovedali na otázku: „Aké ťažkosti spôsobilo zadanie?“.

Ponúka porovnanie ich riešenia s riešením na tabuli.

Vyzve žiakov pri tabuli, aby odpovedali na otázky, ktoré mali žiaci v teréne pri kontrole vzoriek.

Odpovede žiakov komentuje, odpovede dopĺňa, vysvetľuje (v prípade potreby).

Zhŕňa domácu úlohu.

študenti:

Predložte domácu úlohu učiteľovi.

Vymeňte zošity (vo dvojiciach) a navzájom sa kontrolujte.

Odpovedzte na otázky učiteľa.

Skontrolujte svoje riešenie pomocou vzoriek.

Vystupujú ako oponenti, robia doplnky, opravy, zapisujú si iný spôsob, ak sa spôsob riešenia v zošite líši od spôsobu na tabuli.

Žiadajte potrebné vysvetlenia od žiakov, od učiteľa.

Nájdite spôsoby, ako skontrolovať výsledky.

Podieľať sa na hodnotení kvality úloh pri tabuli.

4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov

1. Ústna práca

učiteľ:

Odpovedz na otázku:

1. Čo to znamená faktorizovať polynóm?
2. Koľko metód rozkladu poznáte?
3. Ako sa volajú?
4. Čo je najčastejšie?

2. Na tabuľu sú napísané mnohočleny:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

učiteľ vyzýva študentov, aby rozkladali polynómy č. 1-3:

• Možnosť I - odstránením spoločného faktora;
• Možnosť II - použitie skrátených vzorcov na násobenie;
• III variant - spôsobom zoskupovania.

Jednému študentovi sa ponúkne rozklad polynómu č. 4 (individuálna úloha so zvýšenou náročnosťou, úloha je realizovaná na formáte A 4). Potom sa na tabuli objaví vzorové riešenie úloh č. 1-3 (vyučujúci), vzorové riešenie úlohy č. 4 (žiak).

3. Zahrejte sa

Učiteľ dáva pokyny na rozklad a výber písmena spojeného so správnou odpoveďou. Sčítaním písmen získate meno najväčšieho matematika 17. storočia, ktorý sa výrazne pričinil o rozvoj teórie riešenia rovníc. (Descartes)

5. Telesná výchova Žiaci čítajú výroky. Ak je tvrdenie pravdivé, študenti by mali zdvihnúť ruky a ak nie je pravdivé, sadnúť si do lavice. (Príloha 2)

6. Inštrukcie, ako splniť úlohy workshopu.

Na interaktívnej tabuli alebo samostatnom plagáte tabuľka s návodom.

Pri rozklade polynómu na faktory je potrebné dodržať nasledujúce poradie:

1. dajte spoločný činiteľ zo zátvoriek (ak existuje);

2. použiť skrátené vzorce násobenia (ak je to možné);

3. použiť metódu zoskupovania;

4. skontrolujte výsledok získaný násobením.

učiteľ:

Ponúka výučbu študentom (zdôrazňuje krok 4).

Ponúka realizáciu workshopových zadaní v skupinách.

Rozdeľuje pracovné listy do skupín, listy s uhlíkovým papierom na plnenie zadaní v zošitoch a ich následné overovanie.

Určuje čas na prácu v skupinách, na prácu v zošitoch.

študentov:

Prečítali si pokyny.

Učitelia pozorne počúvajú.

Sedia v skupinách (každá 4-5 osôb).

Pripravte sa na praktickú prácu.

7. Plnenie úloh v skupinách

Pracovné listy s úlohami pre skupiny. (príloha 3)

učiteľ:

vládne samostatná práca v skupinách.

Hodnotí schopnosť žiakov samostatnej práce, schopnosť pracovať v skupine, kvalitu vyhotovenia pracovného listu.

študentov:

Vykonajte úlohy na hárkoch uhlíkového papiera priložených v pracovnom zošite.

Diskutujte o racionálnych riešeniach.

Pripravte pre skupinu pracovný list.

Pripravte sa na obhajobu svojej práce.

8. Kontrola a diskusia o zadaní

Odpovede na tabuľu.

učiteľ:

Zhromažďuje kópie rozhodnutí.

Riadi prácu žiakov vykazovanie na pracovných listoch.

Ponúkne vykonanie sebahodnotenia svojej práce, porovnanie odpovedí v zošitoch, pracovných listoch a ukážkach na tabuli.

Pripomína kritériá pre hodnotenie práce, pre účasť na jej realizácii.

Poskytuje objasnenie nových rozhodnutí alebo problémov sebahodnotenia.

Sumarizuje prvé výsledky praktickej práce a reflexie.

Zhrnie (spolu so študentmi) vyučovaciu hodinu.

Hovorí, že konečné výsledky budú zhrnuté po kontrole kópií prác vykonaných študentmi.

študentov:

Kópie odovzdajte učiteľovi.

Pracovné listy sú pripevnené k tabuli.

Podávanie správ o výkone práce.

Vykonávať sebahodnotenie a sebahodnotenie pracovného výkonu.

9. Stanovenie domácich úloh

Na tabuľu je napísaná domáca úloha: č. 1016 (a, b); 1017 (c, d); č. 1021 (d, e, f)*

učiteľ:

Ponúkne, že si povinnú časť zadania zapíše doma.

Uvádza komentár k jeho implementácii.

Vyzýva pripravenejších študentov, aby si zapísali č. 1021 (d, e, f) *.

Povie vám, aby ste sa pripravili na ďalšiu lekciu kontroly

Polynómy sú najdôležitejším typom matematických výrazov. Na základe polynómov bola zostavená sústava rovníc, nerovníc a funkcií. Problémy rôznych úrovní zložitosti často obsahujú štádiá mnohostrannej transformácie polynómov. Keďže matematicky je každý polynóm algebraickým súčtom niekoľkých monomov, najzásadnejšou a najnevyhnutnejšou zmenou je transformácia radu polynómov na súčin dvoch (alebo viacerých) faktorov. V rovniciach, ktoré majú schopnosť vynulovať jednu z častí, vám prevod polynómu na faktory umožňuje prirovnať niektorú časť k nule, a tak vyriešiť celú rovnicu.

Predchádzajúce video tutoriály nám ukázali, že v lineárnej algebre existujú tri hlavné spôsoby, ako previesť polynómy na faktory. Toto je vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek, preskupenie podľa podobných výrazov pomocou skrátených vzorcov na násobenie. Ak majú všetky členy polynómu nejaký spoločný základ, potom ho možno ľahko vyňať zo zátvoriek a zvyšok delenia v podobe upraveného polynómu ponechať v zátvorkách. Najčastejšie však jeden faktor nevyhovuje všetkým monomizmom a ovplyvňuje iba časť z nich. V tomto prípade môže mať druhá časť monomiálií svoj vlastný spoločný základ. V takýchto prípadoch sa používa metóda zoskupovania - v skutočnosti sa zoraďuje niekoľko faktorov a vytvára sa komplexný prejav, ktoré je možné previesť inými spôsobmi. A nakoniec je tu celý komplex špeciálnych vzorcov. Všetky sú tvorené abstraktnými výpočtami metódou najjednoduchšieho násobenia po členoch. V priebehu výpočtov sa veľa prvkov v počiatočnom výraze zredukuje a zostanú malé polynómy. Aby ste zakaždým nevykonávali rozsiahle výpočty, môžete použiť hotové vzorce, ich inverzné varianty alebo zovšeobecnené závery týchto vzorcov.

V praxi sa často stáva, že v jednom cvičení musíte skombinovať viacero techník, vrátane tých z kategórie polynomických transformácií. Zvážte príklad. Faktorizovať binomicky:

Vyberieme spoločný faktor 3 zo zátvoriek:

3x3 – 3x2 = 3x(x2 – y2)

Ako môžete vidieť vo videu, druhé zátvorky obsahujú rozdiel štvorcov. Použiť inverzný vzorec skrátené násobenie, čím sa získa:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Ďalší príklad. Transformujme výraz vo forme:

18a2 – 48a + 32

Číselné koeficienty znížime zátvorkou dvojky:

18a2 – 48a + 32 = 2 (9a2 – 24a + 16)

Aby sme našli vhodný skrátený vzorec násobenia pre tento prípad, je potrebné výraz mierne upraviť prispôsobením vzorca na podmienky:

2(9a2 – 24a + 16) = 2((3a)2 – 2(3a)4 + (4)2)

Niekedy vzorec v mätúcom výraze nie je tak ľahké vidieť. Je potrebné aplikovať metódy rozkladu výrazu na jeho jednotlivé prvky, prípadne pridať imaginárne dvojice konštrukcií, napríklad +x-x. Pri oprave výrazu musíme dodržiavať pravidlá postupnosti znakov a zachovanie významu výrazu. Zároveň by sme sa mali pokúsiť uviesť polynóm do úplného súladu s abstraktnou verziou vzorca. V našom príklade použijeme vzorec druhej mocniny rozdielu:

2((3a)2 – 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a – 4)

Urobme náročnejší cvik. Rozložme polynóm na faktor:

U3 - 3r.2 + 6r. - 8

Na začiatok urobme pohodlné zoskupenie - prvý a štvrtý prvok do jednej skupiny, druhý a tretí - do druhej:

Y3 – 3y2 + 6y – 8 = (y3 – 8) – (3y2 – 6y)

Všimnite si, že znamienka v druhých zátvorkách boli obrátené, pretože sme presunuli mínus z výrazu. V prvých zátvorkách môžeme napísať:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

To vám umožňuje použiť vzorec zníženého násobenia na nájdenie rozdielu kociek:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6r) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6r)

Z druhých zátvoriek vyberieme spoločný činiteľ 3y, potom z celého výrazu (binómia) vyberieme zátvorky (y - 2), dáme podobné pojmy:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3 roky) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)

Vo všeobecnom priblížení existuje určitý algoritmus akcií pri riešení takýchto cvičení.
1. Hľadáme spoločné faktory pre celý výraz;
2. Zoskupujeme podobné monomiály, hľadáme pre ne spoločné faktory;
3. Snažíme sa umiestniť do zátvoriek najvhodnejší výraz;
4. Aplikujeme vzorce skráteného násobenia;
5. Ak v niektorej fáze proces nejde, zadáme imaginárnu dvojicu výrazov v tvare -x + x, prípadne iné samovolné konštrukcie;
6. Dávame podobné termíny, redukujeme nepotrebné prvky

Všetky body algoritmu sú zriedka použiteľné v jednej úlohe, ale všeobecný priebeh riešenia akéhokoľvek cvičenia na tému možno sledovať v danom poradí.

Účel lekcie:  formovanie zručností rozkladu polynómu na faktory rôznymi spôsobmi;  pestovať presnosť, vytrvalosť, pracovitosť, schopnosť pracovať vo dvojici. Vybavenie: multimediálny projektor, PC, didaktické materiály. Plán hodiny: 1. Organizačný moment; 2. Kontrola domácich úloh; 3. Ústna práca; 4. Učenie sa nového materiálu; 5. Telesná výchova; 6. Konsolidácia študovaného materiálu; 7. Práca vo dvojiciach; 8. domáca úloha; 9. Zhrnutie. Priebeh vyučovacej hodiny: 1. Organizačný moment. Priraďte študentov k lekcii. Vzdelanie nespočíva v množstve vedomostí, ale v úplnom pochopení a šikovnej aplikácii všetkého, čo človek vie. (Georg Hegel) 2. Kontrola domácich úloh. Analýza úloh, pri riešení ktorých mali žiaci ťažkosti. 3. Ústna práca.  faktorizujte: 1) 2) 3) ; 4).  Vytvorte súlad medzi výrazmi ľavého a pravého stĺpca: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Riešte rovnice: 1. 2. 3. 4. Učenie sa nového učiva. Na rozklad polynómov sme použili zátvorky, zoskupenie a skrátené vzorce násobenia. Niekedy je možné faktorizovať polynóm použitím viacerých metód za sebou. Transformáciu by ste mali začať, ak je to možné, odstránením spoločného faktora zo zátvoriek. Aby sme takéto príklady úspešne vyriešili, dnes sa pokúsime vypracovať plán ich dôslednej aplikácie.

150 000₽ cenový fond 11 čestných dokumentov Dôkaz o uverejnení v médiách