Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií v priestore.

Vzájomné usporiadanie dvoch línií a priestoru charakterizujú nasledujúce tri možnosti.

Priamky ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body – rovnobežky.

Priamky ležia v rovnakej rovine a majú jeden spoločný bod – priamky sa pretínajú.

V priestore môžu byť dve priame čiary stále umiestnené tak, že neležia v rovnakej rovine. Takéto čiary sa nazývajú pretínajúce sa (nepretínajú sa a nie sú rovnobežné).

PRÍKLAD:

ÚLOHA 434 Trojuholník ABC leží v rovine, a

Trojuholník ABC leží v rovine a bod D nie je v tejto rovine. Body M, N a K, v tomto poradí, stredové body segmentov DA, DB a DC

Veta. Ak jedna z dvoch priamok leží v určitej rovine a druhá pretína túto rovinu a bod, ktorý neleží na prvej priamke, potom sa tieto priamky pretínajú.

Na obr. 26 priamka a leží v rovine a priamka c sa pretína v bode N. Priamky a a c sa pretínajú.

Veta. Cez každú z dvoch pretínajúcich sa čiar prechádza len jedna rovina rovnobežná s druhou čiarou.

Na obr. 26 čiar aab sa pretína. Cherenova priamka a nakreslená rovina a (alfa) || b (priama čiara a1 || b je vyznačená v rovine B (beta).

Veta 3.2.

Dve čiary rovnobežné s treťou sú rovnobežné.

Táto vlastnosť je tzv prechodnosť rovnobežné čiary.

Dôkaz

Nech sú priamky a a b súčasne rovnobežné s priamkou c. Predpokladajme, že a nie je rovnobežné s b, potom priamka a pretína priamku b v niektorom bode A, ktorý neleží na priamke c podľa predpokladu. Máme teda dve priamky a a b prechádzajúce bodom A neležiacim na danej priamke c a súčasne s ňou rovnobežné. To je v rozpore s axiómou 3.1. Veta bola dokázaná.

Veta 3.3.

Cez bod, ktorý nie je na danej priamke, možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s danou priamkou.

Dôkaz

Nech (AB ) je daná priamka a C je bod, ktorý na nej neleží. Priamka AC rozdeľuje rovinu na dve polroviny. Bod B leží v jednom z nich. V súlade s axiómou 3.2 je možné posunúť uhol (ACD ) rovný uhlu (CAB ) z lúča С A do inej polroviny. ACD a CAB sú rovnaké vnútorné priečne ležiace na priamkach AB a CD a sečne (AC ) Potom na základe vety 3.1 (AB ) || (CD). Berúc do úvahy axiómu 3.1. Veta bola dokázaná.

Vlastnosť rovnobežiek je daná nasledujúcou vetou, inverznou k vete 3.1.

Veta 3.4.

Ak dve rovnobežné priamky pretína tretia priamka, vnútorné uhly sú rovnaké.

Dôkaz

Nech (AB ) || (CD). Predpokladajme, že ACD ≠ BAC . Nakreslite čiaru AE cez bod A tak, aby EAC = ACD. Ale potom podľa vety 3.1 (AE ) || (CD ), a podľa podmienky - (AB ) || (CD). Podľa vety 3.2 (AE ) || (AB). To je v rozpore s vetou 3.3, podľa ktorej cez bod A, ktorý neleží na priamke CD, možno nakresliť jednu priamku rovnobežnú s ním. Veta bola dokázaná.

Obrázok 3.3.1.

Na základe tejto vety sa dajú ľahko dokázať nasledujúce vlastnosti.

Ak dve rovnobežné čiary pretína tretia čiara, potom sú príslušné uhly rovnaké.

Ak dve rovnobežné priamky pretína tretia priamka, potom súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 3.2.

Ak je čiara kolmá na jednu z rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.

Koncept paralelizmu nám umožňuje predstaviť nasledujúci nový koncept, ktorý bude potrebný neskôr v kapitole 11.

Dva lúče sú tzv rovnako smerované, ak existuje taká priamka, že po prvé sú na túto priamku kolmé a po druhé lúče vzhľadom na túto priamku ležia v jednej polrovine.

Dva lúče sú tzv opačných smeroch, ak je každý z nich rovnako nasmerovaný s lúčom doplnkovým k druhému.

Budeme označovať rovnako nasmerované lúče AB a CD: a opačne smerované lúče AB a CD -

Obrázok 3.3.2.

Znak pretínajúcich sa čiar.

Ak jedna z dvoch priamok leží v určitej rovine a druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sú tieto priamky zošikmené.

Prípady vzájomného usporiadania čiar v priestore.

1. Existujú štyri rôzne prípady umiestnenia dvoch čiar v priestore:

   
   

   - priame pretínanie, t.j. neležte v rovnakej rovine;

   – priamky sa pretínajú, t.j. ležia v rovnakej rovine a majú jeden spoločný bod;

   - rovný rovnobežný, t.j. ležať v rovnakej rovine a nepretínať sa;

   - línie sa zhodujú.

   
   

   Získame znaky týchto prípadov vzájomného usporiadania priamok dané kanonickými rovnicami

   
   
   kde sú body patriace k čiaram A respektíve, a- smerové vektory (obr. 4.34). Označiť podľavektor spájajúci dané body.
   
   

   Vyššie uvedené prípady vzájomného usporiadania liniek zodpovedajú nasledujúcim vlastnostiam:

   
   

   – priame a krížové vektory nie sú koplanárne;

   
   

   – priamky a pretínajúce sa vektory sú koplanárne, ale vektory nie sú kolineárne;

   
   

   – priame a paralelné vektory sú kolineárne, ale vektory nie sú kolineárne;

   
   

   sú priame čiary a zhodné vektory sú kolineárne.

   
   

   Tieto podmienky možno zapísať pomocou vlastností zmiešaných a vektorových produktov. Pripomeňme, že zmiešaný súčin vektorov v pravom pravouhlom súradnicovom systéme sa nachádza podľa vzorca:

   
   
   a pretínajú determinant sa rovná nule a jeho druhý a tretí riadok nie sú proporcionálne, t.j.
   

   - priamky a rovnobežný druhý a tretí rad determinantu sú proporcionálne, t.j. a prvé dva riadky nie sú proporcionálne, t.j.

   
   

   sú priame čiary a zhodujú sa, všetky riadky determinantu sú proporcionálne, t.j.

Dôkaz o kritériu pre šikmé čiary.

Ak jedna z dvoch priamok leží v rovine a druhá pretína túto rovinu v bode, ktorý nepatrí do prvej priamky, potom sa tieto dve priamky pretnú.

Dôkaz

Nech a patrí do α, b pretína α = A, A nepatrí do a (výkres 2.1.2). Predpokladajme, že priamky a a b sa nepretínajú, to znamená, že sa pretínajú. Potom existuje rovina β, do ktorej patria priamky a a b. V tejto rovine β leží priamka a a bod A. Keďže priamka a a bod A mimo nej definujú jednoznačnú rovinu, potom β = α. Ale b vedie k β a b nepatrí do α, takže rovnosť β = α je nemožná.

priamky l1 a l2 sa nazývajú pretínajúce sa, ak neležia v rovnakej rovine. Nech a a b sú smerové vektory týchto priamok a body M1 a M2 patria k priamkam a l1 a l2

Potom vektory a, b, M1M2> nie sú koplanárne, a preto sa ich zmiešaný súčin nerovná nule, teda (a, b, M1M2>) =/= 0. Platí to aj naopak: ak (a, b, M1M2> ) =/= 0, potom vektory a, b, M1M2> nie sú koplanárne a v dôsledku toho priamky l1 a l2 neležia v rovnakej rovine, tj pretínajú sa, teda dve priamky sa pretínajú, ak a iba ak podmienka (a, b, M1M2>) =/= 0, kde a a b sú smerové vektory čiar a M1 a M2 sú body patriace k daným čiaram. Podmienka (a, b, M1M2>) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby priamky ležali v rovnakej rovine. Ak sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

potom a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) a podmienka (2) je napísaná takto:

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami

toto je vzdialenosť medzi jednou zo šikmých priamok a rovinou rovnobežnou s ňou prechádzajúcou druhou priamkou. Vzdialenosť medzi šikmými priamkami je vzdialenosť od niektorého bodu jednej zo šikmých priamok k rovine prechádzajúcej druhou priamkou rovnobežnou s prvý riadok.

26. Definícia elipsy, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti.

Elipsa je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností dvoch zaostrených bodov F1 a F2 tejto roviny, nazývaných ohniská, konštantnou hodnotou. To nevylučuje zhodu ohniskov elipsy. systém tak, že elipsa bude opísaná rovnicou (kanonická rovnica elipsy):

Opisuje elipsu so stredom v počiatku, ktorej osi sa zhodujú so súradnicovými osami.

Ak je na pravej strane jednotka so znamienkom mínus, potom výsledná rovnica:

opisuje imaginárnu elipsu. Takúto elipsu nie je možné zobraziť v reálnej rovine. Označme ohniská F1 a F2 a vzdialenosť medzi nimi 2c a súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu elipsy k ohniskám 2a.

Na odvodenie elipsovej rovnice zvolíme súradnicový systém Oxy tak, že ohniská F1 a F2 ležia na osi Ox a počiatok súradníc sa zhoduje so stredom úsečky F1F2. Potom budú mať ohniská tieto súradnice: u Nech M(x; y) je ľubovoľný bod elipsy. Potom podľa definície elipsy, t.j.

Toto je v skutočnosti rovnica elipsy.

27. Definícia hyperboly, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti

Hyperbola je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré je absolútna hodnota rozdielu medzi dvoma pevnými bodmi F1 a F2 tejto roviny, nazývaná ohniská, konštantná. Nech M(x;y) je ľubovoľný bod hyperboly. Potom podľa definície hyperboly |MF 1 – MF 2 |=2a alebo MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definícia paraboly, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti. Parabola je GMT roviny, pre ktorú sa vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F tejto roviny rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke, ktorá sa tiež nachádza v uvažovanej rovine. F je ohnisko paraboly; pevná priamka je osou paraboly. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2)2+y2=(x+p/2)2; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; r 2 =2px;

Vlastnosti: 1. Parabola má os súmernosti (os paraboly); 2.Všetky

parabola sa nachádza v pravej polrovine roviny Oxy pri p>0 a v ľavej

ak p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

V tomto článku najskôr zadefinujeme uhol medzi šikmými čiarami a poskytneme grafické znázornenie. Ďalej odpovieme na otázku: "Ako nájsť uhol medzi šikmými čiarami, ak sú známe súradnice smerových vektorov týchto čiar v pravouhlom súradnicovom systéme"? Na záver si precvičíme hľadanie uhla medzi šikmými čiarami pri riešení príkladov a úloh.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi šikmými čiarami - definícia.

Postupne sa priblížime k definícii uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Najprv si pripomeňme definíciu šikmých čiar: nazývame dve čiary v trojrozmernom priestore kríženie ak neležia v rovnakej rovine. Z tejto definície vyplýva, že šikmé čiary sa nepretínajú, nie sú rovnobežné a navyše sa nezhodujú, inak by obe ležali v nejakej rovine.

Uvádzame niekoľko ďalších pomocných argumentov.

Nech sú dve pretínajúce sa priamky aab dané v trojrozmernom priestore. Zostrojme priamky a 1 a b 1 tak, aby boli rovnobežné so šikmými priamkami a a b a prechádzali nejakým bodom v priestore M 1 . Dostaneme teda dve pretínajúce sa priamky a 1 a b 1 . Nech je uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 rovný uhlu . Teraz zostrojme priamky a 2 a b 2 rovnobežné so šikmými priamkami a a b, ktoré prechádzajú bodom M 2, ktorý je odlišný od bodu M 1 . Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a 2 a b 2 sa tiež bude rovnať uhlu. Toto tvrdenie je pravdivé, pretože priamky a 1 a b 1 sa budú zhodovať s priamkami a 2 a b 2, ak vykonáte paralelný prenos, v ktorom bod M 1 prechádza do bodu M 2. Miera uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v bode M, respektíve rovnobežnými s danými šikmými čiarami, teda nezávisí od výberu bodu M.

Teraz sme pripravení definovať uhol medzi šikmými čiarami.

Definícia.

Uhol medzi šikmými čiarami je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami, ktoré sú v tomto poradí rovnobežné s danými šikmými čiarami.

Z definície vyplýva, že uhol medzi šikmými čiarami tiež nebude závisieť od výberu bodu M . Preto ako bod M môžete vziať akýkoľvek bod patriaci do jednej zo šikmých čiar.

Uvádzame ilustráciu definície uhla medzi šikmými čiarami.

Nájdenie uhla medzi šikmými čiarami.

Pretože uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je určený uhlom medzi pretínajúcimi sa čiarami, nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je redukované na nájdenie uhla medzi zodpovedajúcimi pretínajúcimi sa čiarami v trojrozmernom priestore.

Metódy študované na hodinách geometrie na strednej škole sú nepochybne vhodné na zistenie uhla medzi šikmými čiarami. To znamená, že po dokončení potrebných konštrukcií je možné spojiť požadovaný uhol s akýmkoľvek uhlom známym z podmienky na základe rovnosti alebo podobnosti obrázkov, v niektorých prípadoch to pomôže kosínusová veta a niekedy vedie k výsledku definícia sínusu, kosínusu a tangens uhla správny trojuholník.

Je však veľmi vhodné vyriešiť problém hľadania uhla medzi šikmými čiarami pomocou súradnicovej metódy. To je to, čo zvážime.

Nech je Oxyz zavedený v trojrozmernom priestore (avšak v mnohých problémoch musí byť zavedený samostatne).

Dajme si za úlohu: nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b, ktoré zodpovedajú niektorým rovniciam priamky v priestore v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz.

Poďme to vyriešiť.

Zoberme si ľubovoľný bod trojrozmerného priestoru M a predpokladajme, že ním prechádzajú priamky a 1 a b 1 rovnobežne s pretínajúcimi sa priamkami a a b. Potom sa požadovaný uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b rovná uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 podľa definície.

Zostáva nám teda nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 . Na uplatnenie vzorca na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami v priestore potrebujeme poznať súradnice smerových vektorov priamok a 1 a b 1 .

Ako ich môžeme získať? A je to veľmi jednoduché. Definícia smerového vektora priamky nám umožňuje konštatovať, že množiny smerových vektorov rovnobežných priamok sa zhodujú. Preto ako smerové vektory priamok a 1 a b 1 môžeme vziať smerové vektory A priamky a a b.

takze uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b sa vypočíta podľa vzorca
, kde A sú smerové vektory priamok a a b.

Vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi šikmými čiarami a a b má tvar .

Umožňuje vám nájsť sínus uhla medzi šikmými čiarami, ak je kosínus známy: .

Zostáva analyzovať riešenia príkladov.

Príklad.

Nájdite uhol medzi šikmými čiarami a a b , ktoré sú v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz definované rovnicami A .

Riešenie.

Kanonické rovnice priamky v priestore umožňujú okamžite určiť súradnice smerového vektora tejto priamky - sú dané číslami v menovateľoch zlomkov, tj. . Parametrické rovnice priamky v priestore tiež umožňujú okamžite zapísať súradnice smerového vektora - rovnajú sa koeficientom pred parametrom, tj. - smerový vektor rovný . Máme teda všetky potrebné údaje na použitie vzorca, podľa ktorého sa vypočíta uhol medzi šikmými čiarami:

odpoveď:

Uhol medzi danými šikmými čiarami je .

Príklad.

Nájdite sínus a kosínus uhla medzi šikmými čiarami, na ktorých ležia hrany AD a BC pyramídy ABCD, ak sú známe súradnice jej vrcholov:.

Riešenie.

Smerové vektory križujúcich sa čiar AD a BC sú vektory a . Vypočítajme ich súradnice ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami koncového a počiatočného bodu vektora:

Podľa vzorca môžeme vypočítať kosínus uhla medzi danými šikmými čiarami:

Teraz vypočítame sínus uhla medzi šikmými čiarami:

odpoveď:

Na záver uvažujeme o riešení úlohy, pri ktorej je potrebné nájsť uhol medzi šikmými čiarami a pravouhlý súradnicový systém je potrebné zadať samostatne.

Príklad.

Je daný pravouhlý rovnobežnosten ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB=3, AD=2 a AA1=7 jednotiek. Bod E leží na hrane AA 1 a delí ho vo vzťahu k 5 až 2 počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi šikmými čiarami BE a A 1 C.

Riešenie.

Keďže hrany kvádra v jednom vrchole sú navzájom kolmé, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém a určiť uhol medzi naznačenými šikmými čiarami pomocou súradnicovej metódy cez uhol medzi smerovými vektormi týchto čiar.

Predstavme si pravouhlý súradnicový systém Oxyz takto: nech sa počiatok zhoduje s vrcholom A, os Ox sa zhoduje s priamkou AD, os Oy s priamkou AB a os Oz s priamkou AA 1.

Potom bod B má súradnice, bod E - (v prípade potreby pozri článok), bod A 1 - a bod C -. Zo súradníc týchto bodov môžeme vypočítať súradnice vektorov a . Máme , .

Zostáva použiť vzorec na nájdenie uhla medzi šikmými čiarami podľa súradníc smerových vektorov:

odpoveď:

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov stredných škôl.
• Pogorelov A.V., Geometria. Učebnica pre ročníky 7-11 vzdelávacích inštitúcií.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

Prednáška: Pretínajúce sa, rovnobežné a šikmé čiary; kolmosť čiar

pretínajúce sa čiary

Ak je v rovine niekoľko priamych čiar, skôr či neskôr sa budú ľubovoľne pretínať, alebo v pravom uhle, alebo budú rovnobežné. Poďme sa pozrieť na každý prípad.

Pretínajúce sa čiary sú tie čiary, ktoré majú aspoň jeden priesečník.

Môžete sa opýtať, prečo aspoň jedna čiara nemôže pretínať druhú čiaru dvakrát alebo trikrát. Máš pravdu! Ale čiary sa môžu navzájom úplne zhodovať. V tomto prípade bude existovať nekonečný počet spoločných bodov.

Paralelnosť

Paralelné dá sa pomenovať tie čiary, ktoré sa nikdy nepretnú, dokonca ani v nekonečne.

Inými slovami, paralelné sú tie, ktoré nemajú jediný spoločný bod. Upozorňujeme, že táto definícia je platná iba vtedy, ak sú čiary v rovnakej rovine, ale ak nemajú spoločné body a sú v rôznych rovinách, potom sa považujú za pretínajúce sa.

Príklady rovnobežných čiar v živote: dva protiľahlé okraje obrazovky monitora, čiary v notebookoch, ako aj mnoho ďalších častí vecí, ktoré majú štvorcové, obdĺžnikové a iné tvary.

Keď chcú písomne ​​ukázať, že jedna priamka je rovnobežná s druhou, použije sa nasledujúci zápis a||b. Tento zápis hovorí, že priamka a je rovnobežná s priamkou b.

Pri štúdiu tejto témy je dôležité pochopiť ešte jedno tvrdenie: cez nejaký bod na rovine, ktorý nepatrí do danej priamky, možno nakresliť jednu rovnobežnú priamku. Ale pozor, opäť je korekcia na rovinu. Ak vezmeme do úvahy trojrozmerný priestor, potom je možné nakresliť nekonečné množstvo čiar, ktoré sa nebudú pretínať, ale budú sa pretínať.

Vyššie popísaný výrok je tzv axióma rovnobežných čiar.

Kolmosť

Priame linky je možné volať len ak kolmý ak sa pretínajú pod uhlom 90 stupňov.

V priestore, cez určitý bod na priamke, možno nakresliť nekonečné množstvo kolmých čiar. Ak však hovoríme o rovine, potom cez jeden bod na priamke možno nakresliť jednu kolmicu.

Prekrížené čiary. Secant

Ak sa niektoré čiary pretínajú v určitom bode pod ľubovoľným uhlom, možno ich zavolať kríženie.

Akékoľvek šikmé čiary majú zvislé uhly a priľahlé uhly.

Ak uhly, ktoré sú tvorené dvoma pretínajúcimi sa čiarami, majú jednu stranu spoločnú, potom sa nazývajú susedné:

Susedné uhly sčítajú až 180 stupňov.

PRECHÁDZANIE ROVNICE Veľký encyklopedický slovník

pretínajúce sa čiary sú čiary v priestore, ktoré neležia v rovnakej rovine. * * * PRIESTORY PRIESTORY PRAVÝ KRÍŽ, rovné čiary v priestore, neležiace v rovnakej rovine ... encyklopedický slovník

Prekrížené čiary sú čiary v priestore, ktoré neležia v rovnakej rovine. Rovnobežné roviny možno kresliť cez S. p., pričom vzdialenosť medzi nimi sa nazýva vzdialenosť medzi S. p. Rovná sa najkratšej vzdialenosti medzi bodmi S. p ... Veľká sovietska encyklopédia

PRECHÁDZANIE ROVNICE sú čiary v priestore, ktoré neležia v rovnakej rovine. Uhol medzi S. p. ktorýkoľvek z uhlov medzi dvoma rovnobežnými priamkami prechádzajúcimi cez ľubovoľný bod v priestore. Ak a a b sú smerové vektory S. p., potom kosínus uhla medzi S. p ... Matematická encyklopédia

PRECHÁDZANIE ROVNICE- čiary v priestore, ktoré neležia v rovnakej rovine ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Paralelné čiary- Obsah 1 V euklidovskej geometrii 1.1 Vlastnosti 2 V Lobačevského geometrii ... Wikipedia

Ultraparalelné línie- Obsah 1 V euklidovskej geometrii 1.1 Vlastnosti 2 V Lobačevského geometrii 3 Pozri tiež ... Wikipedia

RIEMANN GEOMETRIA- eliptická geometria, jedna z neeuklidovských geometrií, teda geometrická, teória založená na axiómach, ktorej požiadavky sú odlišné od požiadaviek axióm euklidovskej geometrie . Na rozdiel od euklidovskej geometrie v R. g. ... ... Matematická encyklopédia