Riešenie nerovností online

Pred riešením nerovníc je potrebné dobre pochopiť, ako sa rovnice riešia.

Nezáleží na tom, či je nerovnosť prísna () alebo neprísna (≤, ≥), prvým krokom je vyriešiť rovnicu nahradením znamienka nerovnosti rovnosťou (=).

Vysvetlite, čo znamená vyriešiť nerovnosť?

Po preštudovaní rovníc má študent v hlave nasledujúci obrázok: musíte nájsť také hodnoty premennej, pre ktoré majú obe časti rovnice rovnaké hodnoty. Inými slovami, nájdite všetky body, kde platí rovnosť. Všetko je správne!

Keď hovoríme o nerovnostiach, znamená to hľadanie intervalov (segmentov), ​​na ktorých nerovnosť platí. Ak sú v nerovnosti dve premenné, tak riešením už nebudú intervaly, ale nejaké plochy v rovine. Hádajte, aké bude riešenie nerovnosti v troch premenných?

Ako vyriešiť nerovnosti?

Metóda intervalov (alias metóda intervalov) sa považuje za univerzálny spôsob riešenia nerovností, ktorý spočíva v určení všetkých intervalov, v rámci ktorých bude daná nerovnosť splnená.

Bez toho, aby sme prešli do typu nerovnosti, v tomto prípade to nie je podstata, je potrebné vyriešiť zodpovedajúcu rovnicu a určiť jej korene, po čom nasleduje označenie týchto riešení na číselnej osi.

Ako správne napísať riešenie nerovnice?

Keď máte určené intervaly riešenia nerovnosti, musíte správne zapísať samotné riešenie. Existuje dôležitá nuansa - sú hranice intervalov zahrnuté v riešení?

Všetko je tu jednoduché. Ak riešenie rovnice vyhovuje ODZ a nerovnosť nie je striktná, potom je do riešenia nerovnosti zahrnutá aj hranica intervalu. Inak nie.

Vzhľadom na každý interval môže byť riešením nerovnosti samotný interval alebo polovičný interval (keď jedna z jeho hraníc vyhovuje nerovnosti), alebo segment - interval spolu s jeho hranicami.

Dôležitý bod

Nemyslite si, že len intervaly, polovičné intervaly a segmenty môžu byť riešením nerovnosti. Nie, do riešenia je možné zahrnúť aj jednotlivé body.

Napríklad nerovnosť |x|≤0 má len jedno riešenie - bod 0.

A nerovnosť |x|

Na čo slúži kalkulačka nerovností?

Kalkulačka nerovností dáva správnu konečnú odpoveď. V tomto prípade sa vo väčšine prípadov uvádza znázornenie číselnej osi alebo roviny. Môžete vidieť, či sú hranice intervalov zahrnuté v riešení alebo nie - body sú zobrazené vyplnené alebo prepichnuté.

Vďaka online kalkulačke nerovností si môžete skontrolovať, či ste správne našli korene rovnice, označili ich na číselnej osi a skontrolovali podmienky nerovností na intervaloch (a hraniciach)?

Ak sa vaša odpoveď líši od odpovede kalkulačky, určite musíte svoje riešenie ešte raz skontrolovať a identifikovať chybu.

Dnes priatelia nebudú žiadne sople a sentiment. Namiesto toho vás bez ďalších otázok pošlem do boja s jedným z najhrozivejších protivníkov v kurze algebry pre 8. – 9. ročník.

Áno, všetko ste pochopili správne: hovoríme o nerovnostiach s modulom. Pozrieme sa na štyri základné techniky, pomocou ktorých sa naučíte riešiť približne 90 % týchto problémov. A čo zvyšných 10%? No, povieme si o nich v samostatnej lekcii. :)

Pred analýzou akýchkoľvek trikov by som však rád pripomenul dva fakty, ktoré už potrebujete vedieť. V opačnom prípade riskujete, že látku dnešnej lekcie vôbec nepochopíte.

Čo už potrebujete vedieť

Captain Evidence, ako to bolo, naznačuje, že na vyriešenie nerovností pomocou modulu potrebujete vedieť dve veci:

1. Ako sa riešia nerovnosti?
2. Čo je modul.

Začnime druhým bodom.

Definícia modulu

Všetko je tu jednoduché. Existujú dve definície: algebraická a grafická. Začnime s algebrou:

Definícia. Modul čísla $x$ je buď samotné číslo, ak je nezáporné, alebo opačné číslo, ak pôvodné $x$ je stále záporné.

Píše sa to takto:

\[\left| x \vpravo|=\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Jednoducho povedané, modul je „číslo bez mínusu“. A práve v tejto dualite (niekde nemusíte robiť nič s pôvodným číslom, ale niekde tam musíte odstrániť nejaké mínus) a všetky ťažkosti pre začínajúcich študentov spočívajú.

Existuje aj geometrická definícia. Je tiež užitočné ho poznať, ale budeme sa naň odvolávať iba v zložitých a niektorých špeciálnych prípadoch, kde je geometrický prístup vhodnejší ako algebraický (spoiler: dnes nie).

Definícia. Nech je bod $a$ označený na skutočnej čiare. Potom modul $\left| x-a \vpravo|$ je vzdialenosť od bodu $x$ k bodu $a$ na tejto priamke.

Ak nakreslíte obrázok, dostanete niečo takéto:

Definícia grafického modulu

Tak či onak, jeho kľúčová vlastnosť okamžite vyplýva z definície modulu: modul čísla je vždy nezáporná hodnota. Tento fakt sa bude ťahať ako červená niť celým naším dnešným príbehom.

Riešenie nerovností. Metóda rozstupu

Teraz sa poďme zaoberať nerovnosťami. Je ich veľmi veľa, ale našou úlohou je teraz vedieť vyriešiť aspoň tie najjednoduchšie z nich. Tie, ktoré sú redukované na lineárne nerovnosti, ako aj na metódu intervalov.

Na túto tému mám dva veľké návody (mimochodom veľmi, VEĽMI užitočné - odporúčam naštudovať):

1. Intervalová metóda pre nerovnosti (najmä sledujte video);
2. Zlomkové racionálne nerovnosti sú veľmi objemnou lekciou, no po nej vám nezostanú vôbec žiadne otázky.

Ak toto všetko viete, ak veta „prejdime od nerovnosti k rovnici“ vo vás nevyvoláva túžbu zabiť sa o stenu, potom ste pripravení: vitajte v pekle pri hlavnej téme hodiny. :)

1. Nerovnosti tvaru "Modul menší ako funkcia"

Toto je jedna z najčastejšie sa vyskytujúcich úloh s modulmi. Je potrebné vyriešiť nerovnosť formulára:

\[\left| f\vpravo| \ltg\]

Čokoľvek môže fungovať ako funkcie $f$ a $g$, ale zvyčajne sú to polynómy. Príklady takýchto nerovností:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| 2x+3\vpravo| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \vpravo|-3 \vpravo| \lt 2. \\\end(zarovnať)\]

Všetky sú vyriešené doslova v jednom riadku podľa schémy:

\[\left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g\quad \left(\Šípka doprava \doľava\( \začiatok(zarovnanie) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\vpravo)\]

Je ľahké vidieť, že sa zbavíme modulu, ale namiesto toho dostaneme dvojitú nerovnosť (alebo, čo je to isté, systém dvoch nerovností). Tento prechod však zohľadňuje absolútne všetky možné problémy: ak je číslo pod modulom kladné, metóda funguje; ak je negatívny, stále funguje; a dokonca aj s najnevhodnejšou funkciou namiesto $f$ alebo $g$ bude metóda stále fungovať.

Prirodzene vyvstáva otázka: nie je to jednoduchšie? Žiaľ, nemôžete. Toto je celý zmysel modulu.

Ale dosť bolo filozofovania. Poďme vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 2x+3\vpravo| \ltx+7\]

Riešenie. Máme teda klasickú nerovnosť tvaru „modul je menší ako“ – dokonca nie je čo transformovať. Pracujeme podľa algoritmu:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\vpravo| \lt x+7\šípka doprava -\vľavo(x+7 \vpravo) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\koniec (zarovnanie)\]

Neponáhľajte sa s otváraním zátvoriek, ktorým predchádza „mínus“: je celkom možné, že kvôli zhonu urobíte útočnú chybu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Problém sa zredukoval na dve základné nerovnosti. Zaznamenávame ich riešenia na paralelných skutočných čiarach:

Priesečník mnohých

Priesečník týchto množín bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0\]

Riešenie. Táto úloha je trochu náročnejšia. Na začiatok izolujeme modul posunutím druhého výrazu doprava:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Je zrejmé, že opäť máme nerovnosť tvaru „modul je menej“, takže sa modulu zbavíme podľa už známeho algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Teraz pozor: niekto povie, že som trochu perverzný so všetkými týmito zátvorkami. Ale ešte raz vám pripomínam, že naším kľúčovým cieľom je správne vyriešte nerovnosť a získajte odpoveď. Neskôr, keď dokonale zvládnete všetko, čo je popísané v tejto lekcii, môžete sa zvrhnúť, ako chcete: otvárať zátvorky, pridávať mínusy atď.

A na začiatok sa zbavíme dvojitého mínus vľavo:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Teraz otvorme všetky zátvorky v dvojitej nerovnosti:

Prejdime k dvojitej nerovnosti. Tentoraz budú výpočty serióznejšie:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( zarovnať)\vpravo.\]

Obe nerovnosti sú štvorcové a riešia sa intervalovou metódou (preto hovorím: ak neviete čo to je, radšej si moduly ešte nebrať). Prejdeme k rovnici v prvej nerovnosti:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(zarovnať)\]

Ako vidíte, výstupom sa ukázala neúplná kvadratická rovnica, ktorá je elementárne vyriešená. Teraz sa poďme zaoberať druhou nerovnosťou systému. Tam musíte použiť Vietovu vetu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(zarovnať)\]

Získané čísla označíme na dvoch rovnobežných čiarach (oddelené pre prvú nerovnosť a oddelené pre druhú):

Opäť, keďže riešime sústavu nerovníc, zaujíma nás priesečník tieňovaných množín: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myslím, že po týchto príkladoch je schéma riešenia veľmi jasná:

1. Izolujte modul presunutím všetkých ostatných členov na opačnú stranu nerovnosti. Tak dostaneme nerovnosť v tvare $\left| f\vpravo| \ltg$.
2. Vyriešte túto nerovnosť odstránením modulu, ako je opísané vyššie. V istom momente bude potrebné prejsť od dvojitej nerovnosti k systému dvoch nezávislých výrazov, z ktorých každý sa už dá riešiť samostatne.
3. Nakoniec zostáva len skrížiť riešenia týchto dvoch nezávislých výrazov - a je to, dostaneme konečnú odpoveď.

Podobný algoritmus existuje pre nerovnosti nasledujúceho typu, keď je modul väčší ako funkcia. Je tu však pár vážnych „ale“. O týchto „ale“ sa teraz porozprávame.

2. Nerovnosti tvaru "Modul je väčší ako funkcia"

Vyzerajú takto:

\[\left| f\vpravo| \gt g\]

Podobné ako predchádzajúce? Zdá sa. Napriek tomu sa takéto úlohy riešia úplne iným spôsobom. Formálne je schéma nasledovná:

\[\left| f\vpravo| \gt g\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\koniec (zarovnanie) \doprava.\]

Inými slovami, uvažujeme o dvoch prípadoch:

1. Najprv jednoducho ignorujeme modul - riešime obvyklú nerovnosť;
2. Potom v skutočnosti otvoríme modul so znamienkom mínus a potom obe časti nerovnosti vynásobíme −1 so znamienkom.

V tomto prípade sú možnosti kombinované s hranatou zátvorkou, t.j. Máme kombináciu dvoch požiadaviek.

Venujte pozornosť znova: pred nami nie je systém, ale agregát v odpovedi sa množiny spájajú, nepretínajú sa. Toto je zásadný rozdiel oproti predchádzajúcemu odseku!

Vo všeobecnosti majú mnohí študenti veľa zmätku s odbormi a križovatkami, takže sa na túto otázku pozrime raz a navždy:

• "∪" je znak zreťazenia. V skutočnosti ide o štylizované písmeno „U“, ktoré k nám prišlo z anglického jazyka a je skratkou pre „Union“, t.j. "Asociácie".
• „∩“ je značka križovatky. Toto svinstvo neprišlo odnikiaľ, ale len sa objavilo ako opozícia voči "∪".

Aby ste si to ešte ľahšie zapamätali, pridajte k týmto znakom nohy a vytvorte okuliare (len ma teraz neobviňujte z propagácie drogovej závislosti a alkoholizmu: ak vážne študujete túto lekciu, potom ste už drogovo závislý):

Rozdiel medzi priesečníkom a zjednotením množín

V preklade do ruštiny to znamená nasledovné: zväzok (kolekcia) obsahuje prvky z oboch súborov, teda nie menej ako každý z nich; ale priesečník (systém) zahŕňa len tie prvky, ktoré sú aj v prvej množine aj v druhej. Preto priesečník množín nie je nikdy väčší ako zdrojové množiny.

Takže to bolo jasnejšie? To je skvelé. Prejdime k praxi.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\]

Riešenie. Postupujeme podľa schémy:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\šípka doprava \vľavo[ ​​\začiatok(zarovnanie) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\vľavo(5-4x \vpravo) \\\koniec (zarovnanie) \ správny.\]

Riešime každú populačnú nerovnosť:

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Každú výslednú množinu označíme na číselnej osi a potom ich spojíme:

Spojenie množín

Odpoveď je očividne $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpoveď: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gtx\]

Riešenie. dobre? Nie, všetko je to isté. Od nerovnosti s modulom prejdeme k množine dvoch nerovností:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Riešime každú nerovnosť. Bohužiaľ, korene tam nebudú veľmi dobré:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(zarovnať)\]

V druhej nerovnosti je aj trochu hry:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(zarovnať)\]

Teraz musíme tieto čísla označiť na dvoch osiach – jedna os pre každú nerovnosť. Musíte však označiť body v správnom poradí: čím väčšie číslo, tým viac sa bod posunie doprava.

A tu čakáme na nastavenie. Ak je všetko jasné s číslami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (výrazy v čitateli prvého zlomky sú menšie ako členy v čitateli druhého , takže súčet je tiež menší, s číslami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tiež nebudú žiadne ťažkosti (kladné číslo je samozrejme negatívnejšie), ale s posledným párom nie je všetko také jednoduché. Čo je väčšie: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ alebo $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpovede na túto otázku bude závisieť usporiadanie bodov na číselných osách a vlastne aj odpoveď.

Tak porovnajme:

\[\začiatok(matica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matica)\]

Izolovali sme koreň, dostali nezáporné čísla na oboch stranách nerovnosti, takže máme právo odmocniť obe strany:

\[\začiatok(matica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\koniec (matica)\]

Myslím si, že je zbytočné, že $4\sqrt(13) \gt 3$, takže $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $, nakoniec budú body na osiach usporiadané takto:

Prípad škaredých koreňov

Pripomínam, že riešime množinu, takže odpoveďou bude únia, a nie priesečník tieňovaných množín.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\vpravo)$

Ako vidíte, naša schéma funguje skvele ako pre jednoduché, tak aj pre veľmi ťažké úlohy. Jediným „slabým miestom“ tohto prístupu je, že musíte správne porovnávať iracionálne čísla (a verte mi: nie sú to len korene). Ale otázkam porovnávania bude venovaná samostatná (a veľmi vážna lekcia). A ideme ďalej.

3. Nerovnosti s nezápornými „chvostmi“

Tak sme sa dostali k tomu najzaujímavejšiemu. Toto sú tvarové nerovnosti:

\[\left| f\vpravo| \gt\left| g\vpravo|\]

Vo všeobecnosti platí, že algoritmus, o ktorom budeme teraz hovoriť, platí len pre modul. Funguje pri všetkých nerovnostiach, kde sú vľavo a vpravo zaručené nezáporné výrazy:

Čo robiť s týmito úlohami? Len si pamätaj:

V nerovnostiach s nezápornými chvostmi môžu byť obe strany povýšené na akúkoľvek prirodzenú silu. Nebudú žiadne ďalšie obmedzenia.

V prvom rade nás bude zaujímať kvadratúra - spaľuje moduly a korene:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(\vľavo| f \vpravo| \vpravo))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(zarovnať)\]

Len si to nemýľte s prevzatím odmocniny zo štvorca:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \vpravo|\ne f\]

Keď študent zabudol nainštalovať modul, urobil sa nespočetne veľa chýb! Ale toto je úplne iný príbeh (sú to akoby iracionálne rovnice), takže sa tomu teraz nebudeme venovať. Poďme radšej vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo|\ge \vľavo| 1-2x \vpravo|\]

Riešenie. Hneď si všimneme dve veci:

1. Toto je neprísna nerovnosť. Body na číselnej osi budú vyrazené.
2. Obe strany nerovnosti sú zjavne nezáporné (toto je vlastnosť modulu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Preto môžeme odmocniť obe strany nerovnosti, aby sme sa zbavili modulu a vyriešili problém pomocou obvyklej intervalovej metódy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(\vľavo| x+2 \vpravo| \vpravo))^(2))\ge ((\vľavo(\vľavo| 1-2x \vpravo| \vpravo) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

V poslednom kroku som trochu podvádzal: zmenil som postupnosť členov pomocou parity modulu (v skutočnosti som výraz $1-2x$ vynásobil -1).

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2x-1 \vpravo))^(2))-((\vľavo(x+2 \vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ vpravo)\vpravo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Riešime intervalovou metódou. Prejdime od nerovnosti k rovnici:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-3 \vpravo)\ľavý(3x+1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

Nájdené korene označíme na číselnej osi. Ešte raz: všetky body sú zatienené, pretože pôvodná nerovnosť nie je striktná!

Zbavenie sa znaku modulu

Dovoľte mi pripomenúť pre obzvlášť tvrdohlavých: berieme znamienka z poslednej nerovnosti, ktorá bola zapísaná pred prechodom na rovnicu. A natrieme požadované oblasti v rovnakej nerovnosti. V našom prípade je to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Dobre, teraz je po všetkom. Problém je vyriešený.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \vpravo|\]

Riešenie. Všetko robíme rovnako. Nebudem to komentovať - ​​stačí sa pozrieť na postupnosť akcií.

Urobme to na druhú:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le (\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \vpravo)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metóda medzier:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Šípka vpravo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\šípka doprava D=16-40 \lt 0\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Na číselnej osi je iba jeden koreň:

Odpoveďou je celý rad

Odpoveď: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Malá poznámka k poslednej úlohe. Ako presne poznamenal jeden z mojich študentov, oba výrazy podmodulov v tejto nerovnosti sú zjavne kladné, takže znamienko modulu možno bez ujmy na zdraví vynechať.

Ale to je už úplne iná úroveň myslenia a iný prístup - možno to podmienečne nazvať metódou dôsledkov. O ňom - ​​v samostatnej lekcii. A teraz prejdime k poslednej časti dnešnej lekcie a pouvažujme nad univerzálnym algoritmom, ktorý vždy funguje. Aj keď všetky predchádzajúce prístupy boli bezmocné. :)

4. Spôsob enumerácie možností

Čo ak všetky tieto triky nefungujú? Ak sa nerovnosť nezredukuje na nezáporné chvosty, ak nie je možné izolovať modul, ak vôbec bolesť-smútok-túžba?

Potom na scénu vstupuje „ťažké delostrelectvo“ všetkej matematiky – metóda enumerácie. Čo sa týka nerovností s modulom, vyzerá to takto:

1. Napíšte všetky výrazy podmodulov a prirovnajte ich k nule;
2. Vyriešte výsledné rovnice a označte nájdené korene na jednej číselnej osi;
3. Priamka bude rozdelená na niekoľko úsekov, v rámci ktorých má každý modul pevné znamienko a teda sa jednoznačne rozširuje;
4. Vyriešte nerovnosť na každom takomto úseku (môžete samostatne zvážiť hraničné korene získané v odseku 2 - kvôli spoľahlivosti). Skombinujte výsledky - toto bude odpoveď. :)

No, ako? slabý? Jednoduché! Len na dlho. Pozrime sa v praxi:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo| \lt\left| x-1 \vpravo|+x-\frac(3)(2)\]

Riešenie. Toto svinstvo sa nezredukuje na nerovnosti ako $\left| f\vpravo| \lt g$, $\left| f\vpravo| \gt g$ alebo $\left| f\vpravo| \lt\left| g \right|$, tak poďme ďalej.

Vypíšeme výrazy podmodulov, prirovnáme ich k nule a nájdeme korene:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2=0\šípka doprava x=-2; \\ & x-1=0\Šípka doprava x=1. \\\end(zarovnať)\]

Celkovo máme dva korene, ktoré rozdeľujú číselnú os na tri časti, v ktorých je každý modul odhalený jedinečne:

Rozdelenie číselného radu nulami submodulárnych funkcií

Pozrime sa na každú časť samostatne.

1. Nech $x \lt -2$. Potom sú oba výrazy submodulu záporné a pôvodná nerovnosť sa prepíše takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & -\vľavo(x+2 \vpravo) \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Máme pomerne jednoduché obmedzenie. Preložme to s pôvodným predpokladom, že $x \lt -2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

Je zrejmé, že premenná $x$ nemôže byť súčasne menšia ako -2, ale väčšia ako 1,5. V tejto oblasti neexistujú žiadne riešenia.

1.1. Uvažujme osobitne o hraničnom prípade: $x=-2$. Dosadíme toto číslo do pôvodnej nerovnosti a skontrolujeme: platí?

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \vpravo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Je zrejmé, že reťazec výpočtov nás priviedol k nesprávnej nerovnosti. Pôvodná nerovnosť je teda tiež nepravdivá a $x=-2$ nie je zahrnuté v odpovedi.

2. Teraz nech $-2 \lt x \lt 1$. Ľavý modul sa už otvorí s „pluskom“, ale pravý je stále s „mínusom“. Máme:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\koniec (zarovnanie)\]

Opäť sa stretávame s pôvodnou požiadavkou:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

A opäť prázdna množina riešení, pretože neexistujú čísla, ktoré by boli menšie ako -2,5 a zároveň väčšie ako -2.

2.1. A opäť špeciálny prípad: $x=1$. Do pôvodnej nerovnosti dosadíme:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \ľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=1)) \\ & \left| 3\vpravo| \lt\left| 0 \vpravo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Podobne ako v predchádzajúcom „špeciálnom prípade“ v odpovedi jednoznačne nie je zahrnuté číslo $x=1$.

3. Posledný kus riadku: $x \gt 1$. Tu sú všetky moduly rozšírené o znamienko plus:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \koniec (zarovnanie)\ ]

A opäť pretíname nájdenú množinu s pôvodným obmedzením:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\in \left(4,5;+\infty \správny)\]

Konečne! Našli sme interval, ktorý bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na záver jedna poznámka, ktorá vás môže zachrániť pred hlúpymi chybami pri riešení skutočných problémov:

Riešenia nerovností modulmi sú zvyčajne súvislé množiny na číselnej osi - intervaly a segmenty. Izolované body sú oveľa zriedkavejšie. A ešte zriedkavejšie sa stáva, že hranice riešenia (koniec segmentu) sa zhodujú s hranicou posudzovaného rozsahu.

Preto, ak hranice (tieto veľmi „špeciálne prípady“) nie sú zahrnuté v odpovedi, potom oblasti naľavo-vpravo od týchto hraníc takmer určite nebudú zahrnuté do odpovede. A naopak: hranica vstúpila ako odpoveď, čo znamená, že niektoré oblasti okolo nej budú tiež odpoveďami.

Majte to na pamäti, keď budete kontrolovať svoje riešenia.

A dnes nie každý dokáže riešiť racionálne nerovnosti. Presnejšie, rozhodnúť sa môže nielen každý. Málokto to dokáže.
Kličko

Táto lekcia bude náročná. Tak ťažké, že len Vyvolení sa dostanú na koniec. Preto pred čítaním odporúčam odstrániť ženy, mačky, tehotné deti a ...

Dobre, je to vlastne celkom jednoduché. Predpokladajme, že ste si osvojili intervalovú metódu (ak ju neovládate, odporúčam vrátiť sa a prečítať si ju) a naučili ste sa riešiť nerovnice v tvare $P\left(x \right) \gt 0$, kde $P \left(x \right)$ je nejaký polynóm alebo súčin polynómov.

Verím, že nebude pre vás ťažké vyriešiť napríklad takúto hru (mimochodom, skúste to na rozcvičku):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme a uvažujme nielen o polynómoch, ale aj o takzvaných racionálnych zlomkoch tvaru:

kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú rovnaké polynómy v tvare $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ alebo súčin takýchto polynómov.

Toto bude racionálna nerovnosť. Základným bodom je prítomnosť premennej $x$ v menovateli. Napríklad tu sú racionálne nerovnosti:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

A to nie je racionálna, ale najbežnejšia nerovnosť, ktorá sa rieši intervalovou metódou:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Pri pohľade do budúcnosti poviem hneď: existujú najmenej dva spôsoby, ako vyriešiť racionálne nerovnosti, ale všetky sú tak či onak redukované na metódu intervalov, ktorá je nám už známa. Preto si pred rozborom týchto metód pripomeňme staré fakty, inak nebude mať nový materiál zmysel.

Čo už potrebujete vedieť

Nie je veľa dôležitých faktov. Naozaj potrebujeme len štyri.

Skrátené vzorce násobenia

Áno, áno: budú nás prenasledovať počas celého školského učiva matematiky. A aj na univerzite. Týchto vzorcov je pomerne veľa, ale potrebujeme iba tieto:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\vpravo); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Venujte pozornosť posledným dvom vzorcom - to je súčet a rozdiel kociek (a nie kocka súčtu alebo rozdielu!). Sú ľahko zapamätateľné, ak si všimnete, že znak v prvej zátvorke je rovnaký ako znak v pôvodnom výraze a v druhej zátvorke je opakom znaku v pôvodnom výraze.

Lineárne rovnice

Toto sú najjednoduchšie rovnice tvaru $ax+b=0$, kde $a$ a $b$ sú obyčajné čísla a $a\ne 0$. Táto rovnica sa dá ľahko vyriešiť:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(zarovnať)\]

Podotýkam, že máme právo deliť koeficientom $a$, pretože $a\ne 0$. Táto požiadavka je celkom logická, pretože s $a=0$ dostaneme toto:

Po prvé, v tejto rovnici nie je žiadna premenná $x$. Toto by nás vo všeobecnosti nemalo zmiasť (to sa stáva, povedzme, v geometrii a dosť často), ale stále už nie sme lineárna rovnica.

Po druhé, riešenie tejto rovnice závisí výlučne od koeficientu $b$. Ak $b$ je tiež nula, potom naša rovnica je $0=0$. Táto rovnosť je vždy pravdivá; preto $x$ je akékoľvek číslo (zvyčajne zapísané ako $x\in \mathbb(R)$). Ak sa koeficient $b$ nerovná nule, potom nie je nikdy splnená rovnosť $b=0$, t.j. žiadne odpovede (napísané $x\v \varnothing $ a prečítané "sada riešení je prázdna").

Aby sme sa vyhli všetkým týmto zložitostiam, jednoducho predpokladáme $a\ne 0$, čo nás nijako neobmedzuje v ďalších úvahách.

Kvadratické rovnice

Dovoľte mi pripomenúť, že sa to nazýva kvadratická rovnica:

Tu vľavo je polynóm druhého stupňa a opäť $a\ne 0$ (inak namiesto kvadratickej rovnice dostaneme lineárnu). Nasledujúce rovnice sa riešia pomocou diskriminantu:

1. Ak $D \gt 0$, dostaneme dva rôzne korene;
2. Ak $D=0$, potom koreň bude jedna, ale druhej násobnosti (o aký druh násobnosti ide a ako to vziať do úvahy - o tom neskôr). Alebo môžeme povedať, že rovnica má dva rovnaké korene;
3. Pre $D \lt 0$ neexistujú vôbec žiadne korene a znamienko polynómu $a((x)^(2))+bx+c$ pre ľubovoľné $x$ sa zhoduje so znamienkom koeficientu $a $. Toto je mimochodom veľmi užitočný fakt, ktorý sa z nejakého dôvodu zabúda na hodinách algebry.

Samotné korene sa vypočítajú podľa známeho vzorca:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Odtiaľ, mimochodom, obmedzenia pre diskriminujúcich. Koniec koncov, druhá odmocnina záporného čísla neexistuje. Čo sa týka koreňov, mnohí študenti majú v hlave strašný neporiadok, preto som špeciálne nahral celú hodinu: čo je koreň v algebre a ako ho vypočítať - vrelo odporúčam prečítať si to. :)

Operácie s racionálnymi zlomkami

Všetko, čo bolo napísané vyššie, už viete, ak ste študovali metódu intervalov. Ale to, čo teraz rozoberieme, nemá v minulosti obdobu – to je úplne nová skutočnosť.

Definícia. Racionálny zlomok je vyjadrením formy

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú polynómy.

Je zrejmé, že z takého zlomku je ľahké získať nerovnosť - stačí priradiť znamienko „väčšie ako“ alebo „menšie ako“ vpravo. A o kúsok ďalej zistíme, že riešenie takýchto problémov je potešením, všetko je tam veľmi jednoduché.

Problémy začínajú, keď je v jednom výraze niekoľko takýchto zlomkov. Treba ich zredukovať na spoločného menovateľa – a práve v tejto chvíli vzniká veľké množstvo ofenzívnych chýb.

Preto, aby bolo možné úspešne vyriešiť racionálne rovnice, je potrebné pevne zvládnuť dve zručnosti:

1. Faktorizácia polynómu $P\left(x \right)$;
2. Vlastne, privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Ako faktorizovať polynóm? Veľmi jednoduché. Nech máme polynóm tvaru

Prirovnajme to k nule. Dostaneme rovnicu $n$-tého stupňa:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Povedzme, že sme vyriešili túto rovnicu a dostali korene $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nebojte sa: vo väčšine prípadov nebude viac ako dva z týchto koreňov). V tomto prípade môže byť náš pôvodný polynóm prepísaný takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \vpravo) \end(zarovnať)\]

To je všetko! Poznámka: vodiaci koeficient $((a)_(n))$ nikde nezmizol - bude to samostatný faktor pred zátvorkami a v prípade potreby ho možno vložiť do ktorejkoľvek z týchto zátvoriek (cvičenie ukazuje že s $((a)_ (n))\ne \pm 1$ sú medzi koreňmi takmer vždy zlomky).

Úloha. Zjednodušte výraz:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Riešenie. Najprv sa pozrime na menovateľov: všetko sú to lineárne binomické jednotky a nie je tu čo faktorizovať. Rozložme teda čitateľa na faktor:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+x-20=\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vľavo(x-\frac(3)(2) \vpravo)\vľavo(x-1 \vpravo)=\vľavo(2x- 3\vpravo)\vľavo(x-1\vpravo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(x-\frac(2)(5) \vpravo)=\vľavo(x +2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo). \\\end(zarovnať)\]

Poznámka: v druhom polynóme sa najvyšší koeficient "2" v úplnom súlade s našou schémou prvýkrát objavil pred zátvorkou a potom bol zahrnutý do prvej zátvorky, pretože sa tam dostal zlomok.

To isté sa stalo v treťom polynóme, len tam je tiež zmätené poradie členov. Koeficient „-5“ sa však nakoniec dostal do druhej zátvorky (nezabudnite: faktor môžete zadať len do jednej zátvorky!), čo nás ušetrilo od nepríjemností spojených s zlomkovými odmocninami.

Čo sa týka prvého polynómu, tam je všetko jednoduché: jeho korene sa hľadajú buď štandardným spôsobom cez diskriminant, alebo pomocou Vietovej vety.

Vráťme sa k pôvodnému výrazu a prepíšme ho s čitateľmi rozloženými na faktory:

\[\začiatok(matica) \frac(\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo))(x-4)-\frac(\vľavo(2x-3 \vpravo)\vľavo( x-1 \vpravo))(2x-3)-\frac(\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo))(x+2)= \\ =\vľavo(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matica)\]

Odpoveď: $5x+4$.

Ako vidíte, nič zložité. Trochu matematiky 7.-8.ročníka a je to. Zmyslom všetkých premien je premeniť zložitý a desivý výraz na niečo jednoduché a ľahko sa s tým pracuje.

Nie vždy to tak však bude. Takže teraz zvážime vážnejší problém.

Najprv však poďme zistiť, ako priviesť dva zlomky k spoločnému menovateľovi. Algoritmus je veľmi jednoduchý:

1. Faktorizujte oboch menovateľov;
2. Zvážte prvého menovateľa a pridajte k nemu faktory prítomné v druhom menovateli, ale nie v prvom. Výsledný produkt bude spoločným menovateľom;
3. Zistite, aké faktory chýbajú každému z pôvodných zlomkov, aby sa menovatele rovnali spoločnému.

Možno sa vám tento algoritmus bude zdať len textom, v ktorom je „veľa písmen“. Poďme sa teda pozrieť na konkrétny príklad.

Úloha. Zjednodušte výraz:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]

Riešenie. Takéto objemné úlohy sa najlepšie riešia po častiach. Napíšme, čo je v prvej zátvorke:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Na rozdiel od predchádzajúceho problému tu nie sú menovatelia také jednoduché. Rozložme každú z nich.

Štvorcový trojčlen $((x)^(2))+2x+4$ nemožno rozdeliť, pretože rovnica $((x)^(2))+2x+4=0$ nemá korene (diskriminant je záporný) . Necháme nezmenené.

Druhý menovateľ, kubický polynóm $((x)^(3))-8$, pri bližšom skúmaní je rozdiel kociek a možno ho ľahko rozložiť pomocou skrátených vzorcov na násobenie:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \vpravo)\]

Nič iné nemožno počítať, pretože prvá zátvorka obsahuje lineárnu binómiu a druhá je nám už známa konštrukcia, ktorá nemá žiadne skutočné korene.

Napokon, tretím menovateľom je lineárny binóm, ktorý sa nedá rozložiť. Naša rovnica teda bude mať tvar:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Je celkom zrejmé, že $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ bude spoločným menovateľom, a aby ste naň zredukovali všetky zlomky, musíte treba vynásobiť prvý zlomok na $\left(x-2 \right)$ a posledný na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Potom už zostáva len priniesť nasledovné:

\[\začiatok(matica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ vpravo))+\frac(((x)^(2))+8)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo)). \\ \end(matica)\]

Pozor na druhý riadok: keď je už menovateľ spoločný, t.j. namiesto troch oddelených zlomkov sme napísali jeden veľký, zátvoriek by ste sa nemali hneď zbaviť. Je lepšie napísať ďalší riadok a poznamenať, že povedzme pred tretím zlomkom bolo mínus - a nikam to nepôjde, ale bude „visieť“ v čitateli pred zátvorkou. Ušetríte si tak množstvo chýb.

No, v poslednom riadku je užitočné rozložiť čitateľa na faktor. Navyše ide o presný štvorec a na pomoc nám opäť prichádzajú skrátené vzorce násobenia. Máme:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Teraz sa rovnakým spôsobom vysporiadajme s druhou zátvorkou. Tu jednoducho napíšem reťazec rovnosti:

\[\begin(matica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((( x)^(2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\ľavý(x-2 \vpravo)\ľavý(x+2 \vpravo))+\frac(2\cdot \ľavý(x+2 \vpravo))(\ľavý(x-2 \vpravo )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matica)\]

Vrátime sa k pôvodnému problému a pozrieme sa na produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Odpoveď: \[\frac(1)(x+2)\].

Význam tohto problému je rovnaký ako ten predchádzajúci: ukázať, ako veľmi sa dajú zjednodušiť racionálne výrazy, ak k ich premene pristúpite rozumne.

A teraz, keď toto všetko viete, prejdime k hlavnej téme dnešnej lekcie – riešeniu zlomkových racionálnych nerovností. Navyše po takejto príprave budú samotné nerovnosti cvakať ako orechy. :)

Hlavný spôsob riešenia racionálnych nerovností

Existujú minimálne dva prístupy k riešeniu racionálnych nerovností. Teraz zvážime jeden z nich - ten, ktorý je všeobecne akceptovaný v školskom kurze matematiky.

Najprv si však všimnime dôležitý detail. Všetky nerovnosti sú rozdelené do dvoch typov:

1. Prísne: $f\left(x \right) \gt 0$ alebo $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Neobmedzené: $f\left(x \right)\ge 0$ alebo $f\left(x \right)\le 0$.

Nerovnosti druhého typu sa dajú ľahko znížiť na prvý, rovnako ako rovnica:

Tento malý "dodatok" $f\left(x \right)=0$ vedie k tak nepríjemnej veci, akou sú vyplnené body - stretli sme sa s nimi ešte v intervalovej metóde. V opačnom prípade neexistujú žiadne rozdiely medzi striktnými a neprísnymi nerovnosťami, takže poďme analyzovať univerzálny algoritmus:

1. Zhromaždite všetky nenulové prvky na jednej strane znaku nerovnosti. Napríklad vľavo;
2. Priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi (ak je takýchto zlomkov niekoľko), prineste podobné. Potom, ak je to možné, rozložte do čitateľa a menovateľa. Tak či onak dostaneme nerovnosť v tvare $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kde tick je znak nerovnosti.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $P\left(x \right)=0$. Vyriešime túto rovnicu a získame korene $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Potom požadujeme že menovateľ nebol rovný nule: $Q\left(x \right)\ne 0$. Samozrejme, v podstate musíme vyriešiť rovnicu $Q\left(x \right)=0$ a dostaneme korene $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (v skutočných problémoch sotva budú viac ako tri takéto korene).
4. Všetky tieto korene (s hviezdičkami aj bez nich) označíme na jednej číselnej osi a korene bez hviezdičiek premaľujeme a tie s hviezdičkami vypichneme.
5. Umiestňujeme znamienka plus a mínus, vyberieme intervaly, ktoré potrebujeme. Ak má nerovnosť tvar $f\left(x \right) \gt 0$, tak odpoveďou budú intervaly označené „plus“. Ak $f\left(x \right) \lt 0$, potom sa pozrieme na intervaly s "mínuskami".

Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti spôsobujú body 2 a 4 - kompetentné transformácie a správne usporiadanie čísel vo vzostupnom poradí. No, pri poslednom kroku buďte mimoriadne opatrní: značky vždy umiestňujeme na základe posledná zapísaná nerovnosť pred prechodom na rovnice. Toto je univerzálne pravidlo prevzaté z intervalovej metódy.

Takže existuje schéma. Poďme cvičiť.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Riešenie. Máme striktnú nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \lt 0$. Je zrejmé, že body 1 a 2 z našej schémy sú už dokončené: všetky prvky nerovnosti sú zhromaždené vľavo, nič netreba redukovať na spoločného menovateľa. Prejdime teda k tretiemu bodu.

Nastavte čitateľa na nulu:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

A menovateľ:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(zarovnať)\]

Na tomto mieste sa veľa ľudí zasekne, pretože teoreticky si musíte zapísať $x+7\ne 0$, ako to vyžaduje ODZ (nemôžete deliť nulou, to je všetko). Ale koniec koncov, v budúcnosti vytiahneme body, ktoré pochádzajú z menovateľa, takže by ste svoje výpočty nemali znova komplikovať - ​​všade napíšte rovnítko a nebojte sa. Nikto vám za to nebude strhávať body. :)

Štvrtý bod. Získané korene označíme na číselnej osi:

Všetky body sú prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna

Poznámka: všetky body sú prepichnuté, pretože pôvodná nerovnosť je prísna. A tu už na tom nezáleží: tieto body pochádzajú z čitateľa alebo menovateľa.

No, pozrite sa na znamenia. Vezmite ľubovoľné číslo $((x)_(0)) \gt 3$. Napríklad $((x)_(0))=100$ (ale rovnako dobre ste mohli vziať $((x)_(0))=3,1$ alebo $((x)_(0)) = 1\000\000 $). Dostaneme:

Takže napravo od všetkých koreňov máme pozitívnu oblasť. A pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení (nebude to tak vždy, ale o tom neskôr). Preto prejdeme k piatemu bodu: umiestnime značky a vyberieme to správne:

Vrátime sa k poslednej nerovnosti, ktorá bola pred riešením rovníc. V skutočnosti sa zhoduje s pôvodným, pretože sme v tejto úlohe nevykonali žiadne transformácie.

Keďže je potrebné vyriešiť nerovnosť tvaru $f\left(x \right) \lt 0$, zatienil som interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - je jediný označené znamienkom mínus. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-7;3 \right)$

To je všetko! Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. V skutočnosti to bola ľahká úloha. Teraz si misiu trochu skomplikujme a pouvažujme o „fantastnejšej“ nerovnosti. Pri jeho riešení už nebudem dávať také podrobné výpočty - len načrtnem kľúčové body. Vo všeobecnosti to zariadime tak, ako by sme to urobili pri samostatnej práci alebo skúške. :)

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Riešenie. Toto je neprísna nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\ge 0$. Všetky nenulové prvky sa zhromažďujú vľavo, neexistujú žiadne iné menovateľy. Prejdime k rovniciam.

Čitateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(7x+1 \vpravo)\ľavý(11x+2 \vpravo)=0 \\ & 7x+1=0\šípka doprava ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\šípka doprava ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(zarovnať)\]

Menovateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(zarovnať)\]

Neviem, aký druh perverza vytvoril tento problém, ale korene nedopadli veľmi dobre: ​​bude ťažké ich usporiadať na číselnej osi. A ak je všetko viac-menej jasné s koreňom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (toto je jediné kladné číslo - bude vpravo), potom $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ a $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ vyžadujú ďalšie štúdium: ktorý je väčší?

Môžete to zistiť napríklad:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Dúfam, že nie je potrebné vysvetľovať, prečo číselný zlomok $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? V prípade potreby odporúčam zapamätať si, ako vykonávať akcie so zlomkami.

A označíme všetky tri korene na číselnej osi:

Body z čitateľa sú vytieňované, z menovateľa sú vystrihnuté

Umiestnili sme značky. Môžete napríklad vziať $((x)_(0))=1$ a zistiť znamenie v tomto bode:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(x \vpravo)=\frac(\vľavo(7x+1 \vpravo)\vľavo(11x+2 \vpravo))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Posledná nerovnica pred rovnicami bola $f\left(x \right)\ge 0$, takže nás zaujíma znamienko plus.

Máme dve sady: jedna je obyčajný segment a druhá je otvorený lúč na číselnej osi.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Dôležitá poznámka o číslach, ktoré nahrádzame, aby sme zistili znamienko na intervale úplne vpravo. Nie je potrebné nahradiť číslo blízko pravého koreňa. Môžete si vziať miliardy alebo dokonca "plus-nekonečno" - v tomto prípade je znamienko polynómu v zátvorke, čitateli alebo menovateli určené výlučne znamienkom vedúceho koeficientu.

Pozrime sa ešte raz na funkciu $f\left(x \right)$ z poslednej nerovnosti:

Obsahuje tri polynómy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((P)_(1))\vľavo(x \vpravo)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\vľavo(x\vpravo)=13x-4. \end(align)\]

Všetky sú lineárne binomy a všetky majú kladné koeficienty (čísla 7, 11 a 13). Preto pri dosadzovaní veľmi veľkých čísel budú kladné aj samotné polynómy. :)

Toto pravidlo sa môže zdať príliš komplikované, ale iba na začiatku, keď analyzujeme veľmi ľahké úlohy. Pri vážnych nerovnostiach nám substitúcia „plus-nekonečno“ umožní zistiť znamienka oveľa rýchlejšie ako štandardné $((x)_(0))=100$.

Veľmi skoro budeme čeliť takýmto výzvam. Najprv sa však pozrime na alternatívny spôsob riešenia zlomkových racionálnych nerovností.

Alternatívny spôsob

Túto techniku ​​mi navrhol jeden z mojich študentov. Sám som to nikdy nepoužil, ale prax ukázala, že pre mnohých študentov je naozaj pohodlnejšie riešiť nerovnosti týmto spôsobom.

Pôvodné údaje sú teda rovnaké. Potrebujeme vyriešiť zlomkovú racionálnu nerovnosť:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Zamyslime sa: prečo je polynóm $Q\left(x \right)$ "horší" ako polynóm $P\left(x \right)$? Prečo musíme zvažovať samostatné skupiny koreňov (s hviezdičkou a bez nej), premýšľať o vyrazených bodoch atď.? Je to jednoduché: zlomok má doménu definície, podľa ktorej má zlomok zmysel iba vtedy, keď je jeho menovateľ iný ako nula.

Inak rozdiely medzi čitateľom a menovateľom nie sú: tiež ho prirovnáme k nule, hľadáme korene, potom ich označíme na číselnej osi. Prečo teda nenahradiť zlomkovú čiaru (v skutočnosti znamienko delenia) obvyklým násobením a nezapísať všetky požiadavky DHS ako samostatnú nerovnicu? Napríklad takto:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Poznámka: tento prístup vám umožní zredukovať problém na metódu intervalov, ale vôbec to neskomplikuje riešenie. Veď aj tak budeme polynóm $Q\left(x \right)$ rovnať nule.

Pozrime sa, ako to funguje na skutočných úlohách.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Riešenie. Prejdime teda k intervalovej metóde:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\šípka doprava \ľavá\( \začiatok(zarovnanie) & \ľavá(x+8 \vpravo)\ľavá(x-11 \vpravo) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

Prvá nerovnosť je vyriešená elementárne. Stačí nastaviť každú zátvorku na nulu:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+8=0\šípka doprava ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Šípka doprava ((x)_(2))=11. \\ \end(zarovnať)\]

S druhou nerovnosťou je všetko tiež jednoduché:

Na skutočnej čiare označíme body $((x)_(1))$ a $((x)_(2))$. Všetky sú prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna:

Ukázalo sa, že pravý bod bol dvakrát prepichnutý. Toto je fajn.

Venujte pozornosť bodu $x=11$. Ukazuje sa, že je „dvakrát prepichnutá“: na jednej strane ju prepichneme kvôli závažnosti nerovnosti, na druhej strane kvôli dodatočnej požiadavke ODZ.

V každom prípade to bude len prepichnutý bod. Preto sme dali znamienka pre nerovnosť $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - posledné, ktoré sme videli predtým, ako sme začali riešiť rovnice:

Nás zaujímajú kladné oblasti, keďže riešime nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \gt 0$ a vyfarbíme ich. Zostáva len zapísať odpoveď.

Odpoveď. $x\v \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Na príklade tohto riešenia by som vás chcel varovať pred častou chybou medzi začínajúcimi študentmi. Totiž: nikdy neotvárajte zátvorky v nerovnostiach! Naopak, snažte sa všetko zohľadňovať – zjednodušíte si tým riešenie a ušetríte si množstvo problémov.

Teraz skúsme niečo zložitejšie.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Riešenie. Ide o nestriktnú nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\le 0$, takže tu treba pozorne sledovať vyplnené body.

Prejdime k intervalovej metóde:

\[\left\( \begin(zarovnať) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nie 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

Prejdime k rovnici:

\[\začiatok(zarovnať) & \vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0 \\ & 2x-13=0\šípka vpravo ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\šípka doprava ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\šípka doprava ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(zarovnať)\]

Berieme do úvahy dodatočnú požiadavku:

Všetky získané korene označíme na číselnej osi:

Ak je bod vyrazený aj vyplnený súčasne, považuje sa za vyrazený.

Opäť sa dva body "prekrývajú" - to je normálne, vždy to tak bude. Dôležité je len pochopiť, že bod označený ako vyrazený aj vyplnený je v skutočnosti vyrazený bod. Tie. „Vypichovanie“ je silnejšia akcia ako „premaľovanie“.

Je to úplne logické, pretože punkciou označujeme body, ktoré ovplyvňujú znamienko funkcie, ale samy sa na odpovedi nezúčastňujú. A ak nám v istom momente číslo prestane vyhovovať (napr. nespadá do ODZ), vyškrtneme ho z úvahy až do úplného konca úlohy.

Vo všeobecnosti prestaňte filozofovať. Značky usporiadame a namaľujeme cez tie intervaly, ktoré sú označené znamienkom mínus:

Odpoveď. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

A opäť som chcel upriamiť vašu pozornosť na túto rovnicu:

\[\vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0\]

Ešte raz: nikdy neotvárajte zátvorky v takýchto rovniciach! Len si to sťažuješ. Pamätajte: súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nula. Následne sa táto rovnica jednoducho „rozpadne“ na niekoľko menších, ktoré sme riešili v predchádzajúcom probléme.

Berúc do úvahy množstvo koreňov

Z predchádzajúcich problémov je dobre vidieť, že práve neprísne nerovnosti sú najťažšie, pretože v nich treba sledovať zaplnené body.

Ale na svete je ešte väčšie zlo – to sú viaceré korene v nerovnostiach. Tu je už potrebné sledovať nie nejaké vyplnené body tam - tu sa znamienko nerovnosti nemusí náhle zmeniť pri prechode cez tie isté body.

O ničom takom sme v tejto lekcii ešte neuvažovali (hoci s podobným problémom sme sa často stretávali aj pri intervalovej metóde). Predstavme si teda novú definíciu:

Definícia. Koreň rovnice $((\left(x-a \right))^(n))=0$ sa rovná $x=a$ a nazýva sa koreň $n$-tej násobnosti.

V skutočnosti nás presná hodnota multiplicity nijako zvlášť nezaujíma. Dôležité je len to, či práve toto číslo $n$ je párne alebo nepárne. Pretože:

1. Ak $x=a$ je odmocnina párnej násobnosti, potom sa znamienko funkcie pri prechode cez ňu nemení;
2. A naopak, ak $x=a$ je koreň nepárnej násobnosti, potom sa znamienko funkcie zmení.

Špeciálnym prípadom odmocniny nepárnej násobnosti sú všetky predchádzajúce problémy, o ktorých sa hovorí v tejto lekcii: tam sa násobnosť všade rovná jednej.

A ďalej. Skôr ako začneme riešiť problémy, rád by som upriamil vašu pozornosť na jednu jemnosť, ktorá sa skúsenému študentovi zdá byť samozrejmá, no mnohých začiatočníkov privádza do strnulosti. menovite:

Koreň násobnosti $n$ vzniká iba vtedy, keď je celý výraz umocnený na túto mocninu: $((\left(xa \right))^(n))$, a nie $\left(((x)^( n) )-a\vpravo)$.

Ešte raz: zátvorka $((\left(xa \right))^(n))$ nám dáva koreň $x=a$ násobnosti $n$, ale zátvorka $\left(((x)^( n)) -a \right)$ alebo, ako sa často stáva, $(a-((x)^(n)))$ nám dáva koreň (alebo dva korene, ak je $n$ párne) prvej násobnosti , bez ohľadu na to, čo sa rovná $n$.

Porovnaj:

\[((\vľavo(x-3 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=3\vľavo(5k \vpravo)\]

Tu je všetko jasné: celá zátvorka bola zdvihnutá na piatu mocninu, takže na výstupe sme dostali koreň piateho stupňa. A teraz:

\[\vľavo(((x)^(2))-4 \vpravo)=0\Šípka doprava ((x)^(2))=4\Šípka doprava x=\pm 2\]

Máme dva korene, ale oba majú prvú násobnosť. Alebo tu je ďalší:

\[\vľavo(((x)^(10))-1024 \right)=0\šípka vpravo ((x)^(10))=1024\šípka vpravo x=\pm 2\]

A nenechajte sa zmiasť desiatym stupňom. Hlavná vec je, že 10 je párne číslo, takže na výstupe máme dva korene a oba majú opäť prvú násobnosť.

Vo všeobecnosti buďte opatrní: k multiplicite dochádza iba vtedy stupeň sa vzťahuje na celú skupinu, nielen na premennú.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Riešenie. Skúsme to vyriešiť alternatívnym spôsobom - prechodom od konkrétneho k produktu:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\správny.\]

S prvou nerovnosťou sa zaoberáme intervalovou metódou:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \vpravo))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\šípka doprava x=0\vľavo(2k \vpravo); \\ & ((\vľavo(6-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x=6\vľavo(3k \vpravo); \\ & x+4=0\Šípka doprava x=-4; \\ & ((\vľavo(x+7 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=-7\vľavo(5k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Dodatočne riešime druhú nerovnosť. V skutočnosti sme to už vyriešili, ale aby recenzenti na riešení nenašli chybu, je lepšie to vyriešiť znova:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Všimnite si, že v poslednej nerovnosti nie sú žiadne násobky. Skutočne: aký je rozdiel, koľkokrát prečiarknete bod $x=-7$ na číselnej osi? Aspoň raz, aspoň päťkrát - výsledok bude rovnaký: prepichnutý bod.

Všimnime si všetko, čo máme na číselnej osi:

Ako som povedal, bod $x=-7$ bude nakoniec vyrazený. Násobnosti sú usporiadané na základe riešenia nerovnice intervalovou metódou.

Zostáva umiestniť značky:

Keďže bod $x=0$ je odmocninou párnej násobnosti, znamienko sa pri prechode cez neho nemení. Zvyšné body majú nepárny násobok a všetko je s nimi jednoduché.

Odpoveď. $x\v \ľavo(-\infty ;-7 \vpravo)\veľký pohár \ľavý[ -4;6 \vpravo]$

Znova venujte pozornosť $x=0$. Vďaka rovnomernej mnohosti vzniká zaujímavý efekt: všetko naľavo od neho je prelakované, napravo - tiež a samotný bod je úplne premaľovaný.

V dôsledku toho nemusí byť pri zaznamenávaní odpovede izolovaný. Tie. nemusíš písať niečo ako $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (hoci formálne by takáto odpoveď bola tiež správna). Namiesto toho hneď napíšeme $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takéto účinky sú možné len pre korene párnej násobnosti. A v ďalšej úlohe sa stretneme s opačným „prejavom“ tohto efektu. pripravený?

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Riešenie. Tentokrát budeme postupovať podľa štandardnej schémy. Nastavte čitateľa na nulu:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(x-3 \vpravo))^(4))\vľavo(x-4 \vpravo)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Šípka doprava ((x)_(2))=4. \\ \end(zarovnať)\]

A menovateľ:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))\vľavo(7x-10-((x)^(2)) \vpravo)=0; \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\šípka doprava x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(zarovnať)\]

Keďže riešime neprísnu nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\ge 0$, korene z menovateľa (ktoré majú hviezdičky) sa vystrihnú a tie z čitateľa sa prefarbia. .

Usporiadame značky a pohladíme oblasti označené "plus":

Bod $x=3$ je izolovaný. Toto je časť odpovede

Pred zapísaním konečnej odpovede sa pozorne pozrite na obrázok:

1. Bod $x=1$ má párnu násobnosť, ale sám je prepichnutý. Preto bude musieť byť v odpovedi izolovaný: musíte napísať $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Bod $x=3$ má tiež párnu násobnosť a je tieňovaný. Usporiadanie značiek naznačuje, že samotný bod nám vyhovuje, ale krok doľava a doprava – a ocitáme sa v oblasti, ktorá nám rozhodne nevyhovuje. Takéto body sa nazývajú izolované a sú zapísané ako $x\in \left\( 3 \right\)$.

Všetky získané kúsky spojíme do spoločnej sady a zapíšeme odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definícia. Riešenie nerovnosti znamená nájsť množinu všetkých jeho riešení alebo dokážte, že táto množina je prázdna.

Zdalo by sa: čo tu môže byť nepochopiteľné? Áno, faktom je, že množiny môžu byť špecifikované rôznymi spôsobmi. Prepíšme odpoveď na posledný problém:

Doslova čítame, čo je napísané. Premenná „x“ patrí do určitej množiny, ktorá sa získa spojením (symbol „U“) štyroch samostatných množín:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, čo doslovne znamená "všetky čísla menšie ako jedna, ale nie jedno samotné";
• Interval je $\left(1;2 \right)$, t.j. „všetky čísla medzi 1 a 2, ale nie samotné čísla 1 a 2“;
• Množina $\left\( 3 \right\)$, pozostávajúca z jediného čísla - tri;
• Interval $\left[ 4;5 \right)$ obsahujúci všetky čísla medzi 4 a 5 plus samotné 4, ale nie 5.

Tu je zaujímavý tretí bod. Na rozdiel od intervalov, ktoré definujú nekonečné množiny čísel a označujú len hranice týchto množín, množina $\left\( 3 \right\)$ definuje presne jedno číslo pomocou enumerácie.

Aby sme pochopili, že uvádzame konkrétne čísla zahrnuté v súprave (a neurčujeme hranice ani nič iné), používajú sa zložené zátvorky. Napríklad zápis $\left\( 1;2 \right\)$ znamená presne „množinu pozostávajúcu z dvoch čísel: 1 a 2“, ale nie segment od 1 do 2. V žiadnom prípade si tieto pojmy nezamieňajte .

Pravidlo sčítania násobnosti

No a na záver dnešnej lekcie malá plechovka od Pavla Berdova. :)

Pozorní študenti si už zrejme položili otázku: čo sa stane, ak sa v čitateli aj menovateli nájdu rovnaké korene? Funguje teda nasledujúce pravidlo:

Pridávajú sa násobky rovnakých koreňov. Je vždy. Aj keď sa tento koreň vyskytuje v čitateli aj v menovateli.

Niekedy je lepšie rozhodnúť sa ako rozprávať. Preto riešime nasledujúci problém:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \vpravo))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(zarovnať)\]

Zatiaľ nič zvláštne. Nastavte menovateľa na nulu:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\šípka doprava x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\šípka doprava x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Nájdeme dva identické korene: $((x)_(1))=-2$ a $x_(4)^(*)=-2$. Obaja majú prvú násobnosť. Preto ich nahradíme jedným koreňom $x_(4)^(*)=-2$, ale s násobnosťou 1+1=2.

Okrem toho existujú aj identické korene: $((x)_(2))=-4$ a $x_(2)^(*)=-4$. Sú tiež prvej násobnosti, takže zostáva len $x_(2)^(*)=-4$ z násobnosti 1+1=2.

Poznámka: v oboch prípadoch sme nechali presne ten „vystrihnutý“ koreň a ten „premaľovaný“ sme vyhodili z úvahy. Pretože už na začiatku hodiny sme sa zhodli: ak je bod vyrazený aj prelakovaný súčasne, tak ho stále považujeme za vyrazený.

V dôsledku toho máme štyri korene a ukázalo sa, že všetky boli vydlabané:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Označujeme ich na číselnej osi, berúc do úvahy násobnosť:

Značky a farby umiestňujeme na oblasti, ktoré nás zaujímajú:

Všetko. Žiadne izolované body a iné zvrátenosti. Odpoveď si môžete zapísať.

Odpoveď. $x\v \ľavo(-\infty ;-7 \vpravo)\bigcup \left(4;+\infty \vpravo)$.

pravidlo násobenia

Niekedy nastane ešte nepríjemnejšia situácia: rovnica, ktorá má viacero koreňov, je sama povýšená na určitú mocnosť. Tým sa menia násobnosti všetkých pôvodných koreňov.

Je to zriedkavé, takže väčšina študentov nemá skúsenosti s riešením takýchto problémov. A tu platí pravidlo:

Keď sa rovnica zvýši na mocninu $n$, násobnosť všetkých jej koreňov sa tiež zvýši o faktor $n$.

Inými slovami, zvýšenie na mocninu vedie k vynásobeniu násobkov tou istou mocninou. Zoberme si toto pravidlo ako príklad:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Riešenie. Nastavte čitateľa na nulu:

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. S prvým multiplikátorom je všetko jasné: $x=0$. A tu začínajú problémy:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vľavo (2k \vpravo)\vľavo (2k \vpravo) \ \ & ((x)_(2))=3\vľavo (4k \vpravo) \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, rovnica $((x)^(2))-6x+9=0$ má jedinečný koreň druhej násobnosti: $x=3$. Celá rovnica sa potom umocní na druhú. Preto násobnosť koreňa bude $2\cdot 2=4$, čo sme si nakoniec zapísali.

\[((\vľavo(x-4 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=4\vľavo(5k \vpravo)\]

Žiadny problém ani s menovateľom:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0; \\ & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=2\vľavo(3k \vpravo); \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(2)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Celkovo sme získali päť bodov: dva vyrazené a tri vyplnené. V čitateli a menovateli nie sú žiadne zhodné korene, preto ich len označíme na číselnej osi:

Značky usporiadame s prihliadnutím na násobnosť a namaľujeme intervaly, ktoré nás zaujímajú:

Opäť jeden izolovaný bod a jeden prepichnutý

Kvôli koreňom rovnomernej multiplicity sme opäť dostali niekoľko „neštandardných“ prvkov. Toto je $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nie $x\in \left[ 0;2 \right)$, a tiež izolovaný bod $ x\v \vľavo\( 3 \vpravo\)$.

Odpoveď. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Ako vidíte, všetko nie je také ťažké. Hlavná vec je pozornosť. Posledná časť tejto lekcie je venovaná transformáciám – práve tým, o ktorých sme hovorili na samom začiatku.

Predkonverzie

Nerovnosti, o ktorých budeme diskutovať v tejto časti, nie sú zložité. Na rozdiel od predchádzajúcich úloh tu však budete musieť uplatniť zručnosti z teórie racionálnych zlomkov – faktorizácie a redukcie na spoločného menovateľa.

Túto otázku sme podrobne rozobrali na samom začiatku dnešnej lekcie. Ak si nie ste istí, že ste pochopili, o čo ide, dôrazne vám odporúčam vrátiť sa a zopakovať. Pretože nemá zmysel prepchávať metódy na riešenie nerovností, ak „plávate“ v prepočte zlomkov.

Mimochodom, v domácich úlohách bude tiež veľa podobných úloh. Sú umiestnené v samostatnej podsekcii. A tam nájdete veľmi netriviálne príklady. Ale to bude v domácej úlohe, ale teraz poďme analyzovať pár takýchto nerovností.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Riešenie. Posun všetkého doľava:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Zredukujeme na spoločného menovateľa, otvoríme zátvorky, v čitateli uvedieme podobné výrazy:

\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(x\cbodka x)(\vľavo(x-1 \vpravo)\cbodka x)-\frac(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\vľavo(x-1 \vpravo))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\vľavo (x-1 \vpravo))\le 0. \\\end(zarovnať)\]

Teraz máme klasickú zlomkovú racionálnu nerovnosť, ktorej riešenie už nie je zložité. Navrhujem to riešiť alternatívnou metódou - metódou intervalov:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(3x-2 \vpravo)\cbodka x\cbodka \ľavý(x-1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(zarovnať)\]

Nezabudnite na obmedzenie, ktoré pochádza z menovateľa:

Označujeme všetky čísla a obmedzenia na číselnej osi:

Všetky korene majú prvú multiplicitu. Žiaden problém. Len umiestnime značky a natrieme oblasti, ktoré potrebujeme:

To je všetko. Odpoveď si môžete zapísať.

Odpoveď. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Samozrejme, toto bol veľmi jednoduchý príklad. Poďme sa teda na problém pozrieť bližšie. A mimochodom, úroveň tejto úlohy celkom zodpovedá samostatnej a kontrolnej práci na túto tému v 8. ročníku.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Riešenie. Posun všetkého doľava:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Predtým, ako oba zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi, rozložíme tieto menovatele na faktory. Zrazu vyjdú tie isté zátvorky? S prvým menovateľom je to jednoduché:

\[((x)^(2))+8x-9=\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\]

Druhý je trochu náročnejší. Neváhajte pridať konštantný násobiteľ do zátvorky, kde bol zlomok nájdený. Pamätajte: pôvodný polynóm mal celočíselné koeficienty, takže je vysoko pravdepodobné, že faktorizácia bude mať aj celočíselné koeficienty (v skutočnosti bude mať vždy, okrem prípadov, keď je diskriminant iracionálny).

\[\začiatok(zarovnanie) & 3((x)^(2))-5x+2=3\ľavý (x-1 \vpravo)\ľavý (x-\frac(2)(3) \vpravo)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, existuje spoločná zátvorka: $\left(x-1 \right)$. Vrátime sa k nerovnosti a oba zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi:

\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(1)(\ľavý(x-1 \vpravo)\ľavý(x+9 \vpravo))-\frac(1)(\ľavý(x-1 \vpravo)\ vľavo(3x-2\vpravo))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\vľavo(3x-2 \vpravo))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(zarovnať)\]

Nastavte menovateľa na nulu:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-1 \vpravo)\ľavý(x+9 \vpravo)\ľavý(3x-2 \vpravo)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( zarovnať)\]

Žiadne multiplicity a žiadne zhodné korene. Označíme štyri čísla na priamke:

Umiestňujeme značky:

Odpoveď zapíšeme.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ vpravo) $.

Všetko! Takto som dočítala až po tento riadok. :)

Tvar ax 2 + bx + 0 0, kde (namiesto znamienka > môže byť, samozrejme, akékoľvek iné znamienko nerovnosti). Máme všetky fakty teórie potrebné na riešenie takýchto nerovností, ktoré si teraz overíme.

Príklad 1. Vyriešte nerovnosť:

a) x 2 - 2 x - 3 > 0; b) x 2 - 2 x - 3< 0;
c) x 2 - 2 x - 3 > 0; d) x 2 - 2 x - 3< 0.
Riešenie,

a) Uvažujme parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3 znázornenú na obr. 117.

Vyriešiť nerovnosť x 2 - 2x - 3 > 0 - to znamená odpovedať na otázku, pre ktoré hodnoty x sú súradnice bodov paraboly kladné.

Všimli sme si, že y > 0, t.j. graf funkcie sa nachádza nad osou x, v bode x< -1 или при х > 3.

Riešenia nerovnosti sú teda všetky body otvoreného priestoru lúč(- 00 , - 1), ako aj všetky body otvoreného lúča (3, +00).

Pomocou znaku U (znak spojenia množín) možno odpoveď zapísať takto: (-00 , - 1) U (3, +00). Odpoveď však možno napísať aj takto:< - 1; х > 3.

b) Nerovnosť x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: harmonogram umiestnený pod osou x, ak -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nerovnosť x 2 - 2x - 3 > 0 sa od nerovnosti x 2 - 2x - 3 > 0 líši tým, že odpoveď musí obsahovať aj korene rovnice x 2 - 2x - 3 = 0, teda body x = - 1

a x \u003d 3. Riešeniami tejto neprísnej nerovnosti sú teda všetky body lúča (-00, - 1], ako aj všetky body lúča.

Praktickí matematici zvyčajne hovoria toto: prečo, keď riešime nerovnosť ax 2 + bx + c > 0, starostlivo zostavujeme parabolový graf kvadratickej funkcie

y \u003d ax 2 + bx + c (ako v príklade 1)? Stačí si urobiť schematický náčrt grafu, ku ktorému stačí nájsť koreneštvorcovú trojčlenku (priesečník paraboly s osou x) a určiť, kam smerujú vetvy paraboly – hore alebo dole. Tento schematický náčrt poskytne vizuálnu interpretáciu riešenia nerovnosti.

Príklad 2 Vyriešte nerovnosť - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Riešenie.

1) Nájdite korene štvorcového trinomu - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, ktorá slúži ako graf funkcie y \u003d -2x 2 + Zx + 9, pretína os x v bodoch 3 a - 1,5 a vetvy paraboly smerujú nadol, pretože staršia koeficient- záporné číslo - 2. Na obr. 118 je náčrt grafu.

3) Pomocou obr. 118, dospeli sme k záveru:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odpoveď: x< -1,5; х > 3.

Príklad 3 Vyriešte nerovnosť 4x 2 - 4x + 1< 0.
Riešenie.

1) Z rovnice 4x 2 - 4x + 1 = 0 zistíme.

2) Štvorcová trojčlenka má jednu odmocninu; to znamená, že parabola slúžiaca ako graf štvorcovej trojčlenky nepretína os x, ale dotýka sa jej v bode. Vetvy paraboly smerujú nahor (obr. 119.)

3) Pomocou geometrického modelu znázorneného na obr. 119 zistíme, že zadaná nerovnosť je splnená iba v bode, pretože pre všetky ostatné hodnoty x sú súradnice grafu kladné.
Odpoveď: .
Pravdepodobne ste si všimli, že v skutočnosti je v príkladoch 1, 2, 3 dobre definovaný algoritmu riešenie kvadratických nerovníc, formalizujeme.

Algoritmus na riešenie kvadratickej nerovnosti ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvým krokom tohto algoritmu je nájsť korene štvorcového trinomu. Korene však nemusia existovať, tak čo robiť? Potom je algoritmus nepoužiteľný, čo znamená, že je potrebné uvažovať inak. Kľúč k týmto argumentom je daný nasledujúcimi vetami.

Inými slovami, ak D< 0, а >0, potom nerovnosť ax 2 + bx + c > 0 je splnená pre všetky x; naopak, nerovnosť ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dôkaz. harmonogram funkcie y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor (pretože a > 0) a ktorá nepretína os x, pretože štvorcová trojčlenka nemá korene podľa podmienky. Graf je znázornený na obr. 120. Vidíme, že pre všetky x je graf umiestnený nad osou x, čo znamená, že pre všetky x je splnená nerovnosť ax 2 + bx + c > 0, ktorú bolo potrebné dokázať.

Inými slovami, ak D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nemá žiadne riešenia.

Dôkaz. Graf funkcie y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol (od a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Príklad 4. Vyriešte nerovnosť:

a) 2 x 2 - x + 4 > 0; b) -x2 + Zx-8 > 0.

a) Nájdite diskriminant štvorcového trinomu 2x 2 - x + 4. Máme D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Vyšší koeficient trinomu (číslo 2) je kladný.

Podľa vety 1 je teda pre všetky x splnená nerovnosť 2x 2 - x + 4 > 0, t.j. riešením danej nerovnosti je celok (-00, + 00).

b) Nájdite diskriminant štvorcového trinomu - x 2 + Zx - 8. Máme D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odpoveď: a) (-00, + 00); b) neexistujú žiadne riešenia.

V nasledujúcom príklade sa zoznámime s ďalším spôsobom uvažovania, ktorý sa využíva pri riešení kvadratických nerovníc.

Príklad 5 Vyriešte nerovnosť 3x 2 - 10x + 3< 0.
Riešenie. Rozložme štvorcovú trojčlenku na faktor 3x 2 - 10x + 3. Korene trojčlenky sú čísla 3, a preto pomocou ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) dostaneme Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Poznačíme si na číselnej osi korene trojčlenky: 3 a (obr. 122).

Nech x > 3; potom x-3>0 a x->0, a teda súčin 3(x - 3) (x - ) je kladný. Ďalej nech< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Preto je súčin 3(x-3)(x-) záporný. Nakoniec nechajme x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3) (x -) je kladné.

Zhrnutím úvah dospejeme k záveru: znamienka štvorcovej trojčlenky Zx 2 - 10x + 3 sa menia, ako je znázornené na obr. 122. Zaujíma nás, pre koľko x nadobúda štvorcová trojčlenka záporné hodnoty. Z obr. 122 dospejeme k záveru: štvorcová trojčlenka 3x 2 - 10x + 3 nadobúda záporné hodnoty pre akúkoľvek hodnotu x z intervalu (, 3)
Odpoveď (, 3), príp< х < 3.

Komentujte. Metóda uvažovania, ktorú sme použili v príklade 5, sa zvyčajne nazýva metóda intervalov (alebo metóda intervalov). Aktívne sa používa v matematike na riešenie racionálny nerovnosti. V 9. ročníku budeme študovať intervalovú metódu podrobnejšie.

Príklad 6. Pri akých hodnotách parametra p je kvadratická rovnica x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) má dva rôzne korene;

b) má jeden koreň;

c) nemá žiadne korene?

Riešenie. Počet koreňov kvadratickej rovnice závisí od znamienka jej diskriminantu D. V tomto prípade nájdeme D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadratická rovnica má dva rôzne korene, ak D> 0, potom sa úloha redukuje na vyriešenie nerovnosti 25 - 4p 2 > 0. Obe časti tejto nerovnosti vynásobíme -1 (nezabudnime zmeniť znamienko nerovnosti). Získame ekvivalentnú nerovnosť 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Značky výrazu 4(p - 2,5) (p + 2,5) sú znázornené na obr. 123.

Dospeli sme k záveru, že nerovnosť 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratická rovnica má jeden koreň, ak D je 0.
Ako sme uviedli vyššie, D = 0 pri p = 2,5 alebo p = -2,5.

Práve pre tieto hodnoty parametra p má táto kvadratická rovnica iba jeden koreň.

c) Kvadratická rovnica nemá korene, ak D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Získame 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, odkiaľ (pozri obr. 123) p< -2,5; р >2.5. Pre tieto hodnoty parametra p táto kvadratická rovnica nemá korene.

Odpoveď: a) pri p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 alebo p = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. ročník: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie - 3. vydanie, dokončené. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: chor.

Pomôžte študentovi online, sťahovanie matematiky pre 8. ročník, kalendárno-tematické plánovanie

Ahoj! Milí študenti, v tomto článku sa naučíme riešiť exponenciálne nerovnosti .

Bez ohľadu na to, aká zložitá sa vám môže zdať exponenciálna nerovnosť, po niekoľkých transformáciách (o nich si povieme trochu neskôr) sa všetky nerovnosti sa redukujú na riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovností:

a x > b, a x< b a a x ≥ b, a x ≤ b.

Skúsme prísť na to, ako sa takéto nerovnosti riešia.

Zvážime riešenie prísne nerovnosti. Jediný rozdiel pri riešení neprísnych nerovníc je v tom, že výsledné zodpovedajúce korene sú zahrnuté v odpovedi.

Nech je potrebné vyriešiť nerovnosť tvaru a f(x) > b, kde a>1 a b>0.

Pozrite si schému riešenia takýchto nerovností (obrázok 1):

Teraz sa pozrime na konkrétny príklad. Vyriešte nerovnosť: 5 x - 1 > 125.

Pretože 5 > 1 a 125 > 0, potom
x - 1 > log 5 125, tj
x - 1 > 3,
x > 4.

odpoveď: (4; +∞) .

Aké je riešenie tejto nerovnosti? a f(x) >b, ak 0 a b>0?

Takže schéma na obrázku 2

Príklad: Vyriešte nerovnosť (1/2) 2x – 2 ≥ 4

Aplikovaním pravidla (obrázok 2) dostaneme
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ -2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

odpoveď: (–∞; 0] .

Zvážte znova rovnakú nerovnosť a f(x) > b, ak a>0 a b<0 .

Takže schéma na obrázku 3:

Príklad riešenia nerovnosti (1/3) x + 2 > -9. Ako sme si všimli, bez ohľadu na to, aké číslo dosadíme za x, (1/3) x + 2 je vždy väčšie ako nula.

odpoveď: (–∞; +∞) .

Ako sa riešia nerovnosti tvaru? a f(x)< b , kde a>1 a b>0?

Schéma na obrázku 4:

A nasledujúci príklad: 3 3 – x ≥ 8.
Keďže 3 > 1 a 8 > 0, potom
3 - x\u003e denník 3 8, tj
-x > log 3 8 - 3,
X< 3 – log 3 8.

odpoveď: (0; 3 – log 3 8) .

Ako zmeniť riešenie nerovnosti a f(x)< b , o 0 a b>0?

Schéma na obrázku 5:

A nasledujúci príklad: Vyriešte nerovnosť 0,6 2x - 3< 0,36 .

Podľa schémy na obrázku 5 dostaneme
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

odpoveď: (2,5; +∞) .

Zvážte poslednú schému riešenia nerovnosti formulára a f(x)< b , o a>0 a b<0 zobrazené na obrázku 6:

Vyriešme napríklad nerovnosť:

Všimneme si, že nech dosadíme za x akékoľvek číslo, ľavá strana nerovnosti je vždy väčšia ako nula a v našom prípade je tento výraz menší ako -8, t.j. a nula znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

odpoveď: žiadne riešenia.

Keď vieme, ako sa riešia najjednoduchšie exponenciálne nerovnosti, môžeme pokračovať riešenie exponenciálnych nerovností.

Príklad 1

Nájdite najväčšiu celočíselnú hodnotu x, ktorá spĺňa nerovnosť

Keďže 6 x je väčšie ako nula (pre žiadne x neklesne menovateľ na nulu), vynásobíme obe strany nerovnosti 6 x, dostaneme:

440 - 2 6 2x > 8, potom
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

odpoveď: 1.

Príklad 2.

Vyriešte nerovnosť 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označme 2 x y, dostaneme nerovnosť y 2 - 3y + 2 ≤ 0, túto kvadratickú nerovnosť vyriešime.

y 2 - 3 y +2 = 0,
y1 = 1 a y2 = 2.

Vetvy paraboly smerujú nahor, nakreslíme graf:

Potom riešením nerovnosti bude nerovnosť 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

odpoveď: (0; 1) .

Príklad 3. Vyriešte nerovnosť 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zbierajte výrazy s rovnakými základmi v jednej časti nerovnosti

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Vyberme nerovnosť na ľavej strane zátvoriek 5 x a na pravej strane nerovnosti 3 x a získame nerovnosť

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Obidve časti nerovnosti vydelíme výrazom 3 3 x, znamienko nerovnosti sa nezmení, keďže 3 3 x je kladné číslo, dostaneme nerovnosť:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

odpoveď: (–∞; 2) .

Ak máte nejaké otázky ohľadom riešenia exponenciálnych nerovností alebo si chcete precvičiť riešenie podobných príkladov, prihláste sa na moje hodiny. Tútor Valentina Galinevskaya.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.