Tvar ax 2 + bx + 0 0, kde (namiesto znamienka > môže byť, samozrejme, akékoľvek iné znamienko nerovnosti). Máme všetky fakty teórie potrebné na riešenie takýchto nerovností, ktoré si teraz overíme.

Príklad 1. Vyriešte nerovnosť:

a) x 2 - 2 x - 3 > 0; b) x 2 - 2 x - 3< 0;
c) x 2 - 2 x - 3 > 0; d) x 2 - 2 x - 3< 0.
Riešenie,

a) Uvažujme parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3 znázornenú na obr. 117.

Vyriešiť nerovnosť x 2 - 2x - 3 > 0 - to znamená odpovedať na otázku, pre ktoré hodnoty x sú súradnice bodov paraboly kladné.

Všimli sme si, že y > 0, t.j. graf funkcie sa nachádza nad osou x, v bode x< -1 или при х > 3.

Riešenia nerovnosti sú teda všetky body otvoreného priestoru lúč(- 00 , - 1), ako aj všetky body otvoreného lúča (3, +00).

Pomocou znaku U (znak spojenia množín) možno odpoveď zapísať takto: (-00 , - 1) U (3, +00). Odpoveď však možno napísať aj takto:< - 1; х > 3.

b) Nerovnosť x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: harmonogram umiestnený pod osou x, ak -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nerovnosť x 2 - 2x - 3 > 0 sa od nerovnosti x 2 - 2x - 3 > 0 líši tým, že odpoveď musí obsahovať aj korene rovnice x 2 - 2x - 3 = 0, teda body x = - 1

a x \u003d 3. Riešeniami tejto neprísnej nerovnosti sú teda všetky body lúča (-00, - 1], ako aj všetky body lúča.

Praktickí matematici zvyčajne hovoria toto: prečo, keď riešime nerovnosť ax 2 + bx + c > 0, starostlivo zostavujeme parabolový graf kvadratickej funkcie

y \u003d ax 2 + bx + c (ako v príklade 1)? Stačí si urobiť schematický náčrt grafu, ku ktorému stačí nájsť koreneštvorcovú trojčlenku (priesečník paraboly s osou x) a určiť, kam smerujú vetvy paraboly – hore alebo dole. Tento schematický náčrt poskytne vizuálnu interpretáciu riešenia nerovnosti.

Príklad 2 Vyriešte nerovnosť - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Riešenie.

1) Nájdite korene štvorcového trinomu - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, ktorá slúži ako graf funkcie y \u003d -2x 2 + Zx + 9, pretína os x v bodoch 3 a - 1,5 a vetvy paraboly smerujú nadol, pretože staršia koeficient- záporné číslo - 2. Na obr. 118 je náčrt grafu.

3) Pomocou obr. 118, dospeli sme k záveru:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odpoveď: x< -1,5; х > 3.

Príklad 3 Vyriešte nerovnosť 4x 2 - 4x + 1< 0.
Riešenie.

1) Z rovnice 4x 2 - 4x + 1 = 0 zistíme.

2) Štvorcová trojčlenka má jednu odmocninu; to znamená, že parabola slúžiaca ako graf štvorcovej trojčlenky nepretína os x, ale dotýka sa jej v bode. Vetvy paraboly smerujú nahor (obr. 119.)

3) Pomocou geometrického modelu znázorneného na obr. 119 zistíme, že zadaná nerovnosť je splnená iba v bode, pretože pre všetky ostatné hodnoty x sú súradnice grafu kladné.
Odpoveď: .
Pravdepodobne ste si všimli, že v skutočnosti je v príkladoch 1, 2, 3 dobre definovaný algoritmus riešenie kvadratických nerovníc, formalizujeme.

Algoritmus na riešenie kvadratickej nerovnosti ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvým krokom tohto algoritmu je nájsť korene štvorcového trinomu. Korene však nemusia existovať, tak čo robiť? Potom je algoritmus nepoužiteľný, čo znamená, že je potrebné uvažovať inak. Kľúč k týmto argumentom je daný nasledujúcimi vetami.

Inými slovami, ak D< 0, а >0, potom nerovnosť ax 2 + bx + c > 0 je splnená pre všetky x; naopak, nerovnosť ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dôkaz. harmonogram funkcie y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor (pretože a > 0) a ktorá nepretína os x, pretože štvorcová trojčlenka nemá korene podľa podmienky. Graf je znázornený na obr. 120. Vidíme, že pre všetky x je graf umiestnený nad osou x, čo znamená, že pre všetky x je splnená nerovnosť ax 2 + bx + c > 0, čo bolo potrebné dokázať.

Inými slovami, ak D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nemá žiadne riešenia.

Dôkaz. Graf funkcie y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol (od a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Príklad 4. Vyriešte nerovnosť:

a) 2 x 2 - x + 4 > 0; b) -x2 + Zx-8 > 0.

a) Nájdite diskriminant štvorcového trinomu 2x 2 - x + 4. Máme D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Vyšší koeficient trinomu (číslo 2) je kladný.

Podľa vety 1 je teda pre všetky x splnená nerovnosť 2x 2 - x + 4 > 0, t.j. riešením danej nerovnosti je celok (-00, + 00).

b) Nájdite diskriminant štvorcového trinomu - x 2 + Zx - 8. Máme D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odpoveď: a) (-00, + 00); b) neexistujú žiadne riešenia.

V nasledujúcom príklade sa zoznámime s ďalším spôsobom uvažovania, ktorý sa využíva pri riešení kvadratických nerovníc.

Príklad 5 Vyriešte nerovnosť 3x 2 - 10x + 3< 0.
Riešenie. Rozložme štvorcovú trojčlenku na faktor 3x 2 - 10x + 3. Korene trojčlenky sú čísla 3, a preto pomocou ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) dostaneme Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Poznačíme si na číselnej osi korene trojčlenky: 3 a (obr. 122).

Nech x > 3; potom x-3>0 a x->0, a teda súčin 3(x - 3) (x - ) je kladný. Ďalej nech< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Preto je súčin 3(x-3)(x-) záporný. Nakoniec nechajme x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3) (x -) je kladné.

Zhrnutím úvah dospejeme k záveru: znamienka štvorcovej trojčlenky Zx 2 - 10x + 3 sa menia, ako je znázornené na obr. 122. Zaujíma nás, pre koľko x nadobúda štvorcová trojčlenka záporné hodnoty. Z obr. 122 dospejeme k záveru: štvorcová trojčlenka 3x 2 - 10x + 3 nadobúda záporné hodnoty pre akúkoľvek hodnotu x z intervalu (, 3)
Odpoveď (, 3), príp< х < 3.

Komentujte. Metóda uvažovania, ktorú sme použili v príklade 5, sa zvyčajne nazýva metóda intervalov (alebo metóda intervalov). Aktívne sa používa v matematike na riešenie racionálny nerovnosti. V 9. ročníku budeme študovať intervalovú metódu podrobnejšie.

Príklad 6. Pri akých hodnotách parametra p je kvadratická rovnica x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) má dva rôzne korene;

b) má jeden koreň;

c) nemá žiadne korene?

Riešenie. Počet koreňov kvadratickej rovnice závisí od znamienka jej diskriminantu D. V tomto prípade nájdeme D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadratická rovnica má dva rôzne korene, ak D> 0, potom sa úloha redukuje na vyriešenie nerovnosti 25 - 4p 2 > 0. Obe časti tejto nerovnosti vynásobíme -1 (nezabudnime zmeniť znamienko nerovnosti). Získame ekvivalentnú nerovnosť 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Značky výrazu 4(p - 2,5) (p + 2,5) sú znázornené na obr. 123.

Dospeli sme k záveru, že nerovnosť 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratická rovnica má jeden koreň, ak D je 0.
Ako sme uviedli vyššie, D = 0 pri p = 2,5 alebo p = -2,5.

Práve pre tieto hodnoty parametra p má táto kvadratická rovnica iba jeden koreň.

c) Kvadratická rovnica nemá korene, ak D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Získame 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, odkiaľ (pozri obr. 123) p< -2,5; р >2.5. Pre tieto hodnoty parametra p táto kvadratická rovnica nemá korene.

Odpoveď: a) pri p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 alebo p = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. ročník: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie - 3. vydanie, dokončené. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: chor.

Pomôžte študentovi online, sťahovanie matematiky pre 8. ročník, kalendárno-tematické plánovanie

Najprv niekoľko textov, aby ste získali predstavu o probléme, ktorý intervalová metóda rieši. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu nerovnosť:

(x − 5) (x + 3) > 0

Aké sú možnosti? Prvá vec, ktorá väčšine študentov napadne, sú pravidlá „plus krát plus plus“ a „mínus krát mínus plus“. Preto stačí zvážiť prípad, keď sú obe zátvorky kladné: x − 5 > 0 a x + 3 > 0. Potom uvažujeme aj prípad, keď sú obe zátvorky záporné: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Pokročilejší študenti si zapamätajú (možno), že vľavo je kvadratická funkcia, ktorej grafom je parabola. Navyše táto parabola pretína os OX v bodoch x = 5 a x = −3. Pre ďalšiu prácu musíte otvoriť zátvorky. Máme:

x 2 − 2x − 15 > 0

Teraz je jasné, že vetvy paraboly smerujú nahor, pretože koeficient a = 1 > 0. Skúsme nakresliť diagram tejto paraboly:

Funkcia je väčšia ako nula tam, kde prechádza nad osou OX. V našom prípade sú to intervaly (−∞ −3) a (5; +∞) – toto je odpoveď.

Upozorňujeme, že obrázok ukazuje presne funkčný diagram, nie jej rozvrh. Pretože pre skutočný graf musíte vypočítať súradnice, vypočítať odchýlky a iné svinstvá, ktoré teraz vôbec nepotrebujeme.

Prečo sú tieto metódy neúčinné?

Zvažovali sme teda dve riešenia tej istej nerovnosti. Obaja sa ukázali ako veľmi ťažkopádne. Vyvstáva prvé rozhodnutie - len o tom premýšľajte! je súbor systémov nerovností. Druhé riešenie tiež nie je veľmi jednoduché: musíte si zapamätať parabolový graf a kopu ďalších malých faktov.

Bola to veľmi jednoduchá nerovnosť. Má len 2 multiplikátory. Teraz si predstavte, že nebudú 2 multiplikátory, ale aspoň 4. Napríklad:

(x − 7) (x − 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Ako vyriešiť takúto nerovnosť? Prechádzať všetkými možnými kombináciami pre a proti? Áno, zaspíme rýchlejšie, ako nájdeme riešenie. Kreslenie grafu tiež neprichádza do úvahy, pretože nie je jasné, ako sa takáto funkcia správa v rovine súradníc.

Pre takéto nerovnosti je potrebný špeciálny algoritmus riešenia, ktorý dnes zvážime.

Čo je intervalová metóda

Intervalová metóda je špeciálny algoritmus určený na riešenie zložitých nerovností tvaru f (x) > 0 a f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Vyriešte rovnicu f (x) \u003d 0. Namiesto nerovnosti teda dostaneme rovnicu, ktorú je oveľa jednoduchšie vyriešiť;
2. Označte všetky získané korene na súradnicovej čiare. Takto bude priamka rozdelená na niekoľko intervalov;
3. Zistite znamienko (plus alebo mínus) funkcie f (x) na intervale úplne vpravo. Na to stačí do f (x) dosadiť ľubovoľné číslo, ktoré bude napravo od všetkých označených koreňov;
4. Označte značky na iných intervaloch. Aby ste to dosiahli, stačí si uvedomiť, že pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení.

To je všetko! Potom už zostáva len vypísať intervaly, ktoré nás zaujímajú. Sú označené znamienkom „+“, ak bola nerovnosť v tvare f (x) > 0, alebo znamienkom „–“, ak bola nerovnosť v tvare f (x).< 0.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že intervalová metóda je nejaký plech. Ale v praxi bude všetko veľmi jednoduché. Chce to trochu praxe - a všetko bude jasné. Pozrite si príklady a presvedčte sa sami:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

(x − 2) (x + 7)< 0

Pracujeme na metóde intervalov. Krok 1: Nahraďte nerovnosť rovnicou a vyriešte ju:

(x − 2) (x + 7) = 0

Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Má dva korene. Prejdite na krok 2: označte tieto korene na súradnicovej čiare. Máme:

Teraz krok 3: nájdeme znamienko funkcie na intervale úplne vpravo (napravo od označeného bodu x = 2). Aby ste to dosiahli, musíte vziať akékoľvek číslo, ktoré je väčšie ako číslo x = 2. Zoberme si napríklad x = 3 (nikto však nezakazuje vziať x = 4, x = 10 a dokonca x = 10 000). Dostaneme:

f(x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Dostaneme, že f (3) = 10 > 0, takže znamienko plus vložíme do intervalu úplne vpravo.

Prejdeme k poslednému bodu - je potrebné si všimnúť značky na zostávajúcich intervaloch. Pamätajte, že pri prechode cez každý koreň sa znamenie musí zmeniť. Napríklad napravo od koreňa x = 2 je plus (o tom sme sa presvedčili v predchádzajúcom kroku), takže vľavo musí byť mínus.

Toto mínus sa vzťahuje na celý interval (−7; 2), takže napravo od koreňa x = −7 je mínus. Preto je naľavo od koreňa x = −7 plus. Zostáva označiť tieto znaky na súradnicovej osi. Máme:

Vráťme sa k pôvodnej nerovnosti, ktorá vyzerala takto:

(x − 2) (x + 7)< 0

Takže funkcia musí byť menšia ako nula. To znamená, že nás zaujíma znamienko mínus, ktoré sa vyskytuje len na jednom intervale: (−7; 2). Toto bude odpoveď.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

(x + 9) (x − 3) (1 − x )< 0

Krok 1: Prirovnajte ľavú stranu k nule:

(x + 9) (x − 3) (1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pamätajte: súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nula. To je dôvod, prečo máme právo vynulovať každú jednotlivú skupinu.

Krok 2: Označte všetky korene na súradnicovej čiare:

Krok 3: zistite znamienko medzery úplne vpravo. Zoberieme akékoľvek číslo, ktoré je väčšie ako x = 1. Napríklad môžeme vziať x = 10. Máme:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Krok 4: Umiestnite zvyšok značiek. Pamätajte, že pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení. V dôsledku toho bude náš obrázok vyzerať takto:

To je všetko. Zostáva len napísať odpoveď. Pozrite sa ešte raz na pôvodnú nerovnosť:

(x + 9) (x − 3) (1 − x )< 0

Toto je nerovnosť tvaru f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (-9; 1) ∪ (3; +∞)

Toto je odpoveď.

Poznámka k funkčným znakom

Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti pri intervalovej metóde vznikajú pri posledných dvoch krokoch, t.j. pri umiestňovaní značiek. Mnoho študentov začína byť zmätených: aké čísla si vziať a kam umiestniť znaky.

Aby ste konečne pochopili intervalovú metódu, zvážte dve poznámky, na ktorých je postavená:

1. Spojitá funkcia mení znamienko iba v bodoch kde sa rovná nule. Takéto body rozbijú súradnicovú os na kúsky, v rámci ktorých sa znamienko funkcie nikdy nemení. Preto riešime rovnicu f (x) \u003d 0 a nájdené korene označíme na priamke. Nájdené čísla sú „hraničné“ body oddeľujúce plusy od mínusov.
2. Na zistenie znamienka funkcie na ľubovoľnom intervale stačí do funkcie dosadiť ľubovoľné číslo z tohto intervalu. Napríklad pre interval (−5; 6) môžeme vziať x = −4, x = 0, x = 4 a dokonca x = 1,29374, ak chceme. Prečo je to dôležité? Áno, pretože mnohí študenti začínajú hlodať pochybnosti. Napríklad, čo ak pre x = −4 dostaneme plus a pre x = 0 dostaneme mínus? Nikdy sa nič také nestane. Všetky body v rovnakom intervale dávajú rovnaké znamienko. Zapamätaj si to.

To je všetko, čo potrebujete vedieť o intervalovej metóde. Samozrejme, rozobrali sme ho v najjednoduchšej podobe. Existujú zložitejšie nerovnosti - neprísne, zlomkové a s opakovanými koreňmi. Pre nich môžete použiť aj intervalovú metódu, ale to je téma na samostatnú veľkú lekciu.

Teraz by som rád analyzoval pokročilý trik, ktorý výrazne zjednodušuje intervalovú metódu. Presnejšie povedané, zjednodušenie sa týka až tretieho kroku – výpočtu znamienka na najpravejšom kúsku riadku. Z nejakého dôvodu sa táto technika na školách nekoná (aspoň mi to nikto nevysvetlil). Ale márne - v skutočnosti je tento algoritmus veľmi jednoduchý.

Znamienko funkcie je teda na pravej časti číselnej osi. Tento kúsok má tvar (a; +∞), kde a je najväčší koreň rovnice f (x) = 0. Aby sme si nerozbili mozog, pouvažujme o konkrétnom príklade:

(x − 1) (2 + x ) (7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Máme 3 korene. Uvádzame ich vo vzostupnom poradí: x = −2, x = 1 a x = 7. Je zrejmé, že najväčší koreň je x = 7.

Pre tých, ktorým sa to ľahšie graficky zdôvodňuje, označím tieto korene na súradnicovej čiare. Poďme sa pozrieť čo sa stalo:

Je potrebné nájsť znamienko funkcie f (x) na intervale úplne vpravo, t.j. na (7; +∞). Ale ako sme už uviedli, na určenie znamenia môžete z tohto intervalu vziať ľubovoľné číslo. Môžete napríklad vziať x = 8, x = 150 atď. A teraz – tá istá technika, aká sa na školách neučí: zoberme si nekonečno ako číslo. Presnejšie, plus nekonečno, t.j. +∞.

„Si ukameňovaný? Ako môžete nahradiť nekonečno do funkcie? možno sa pýtaš. Ale premýšľajte o tom: nepotrebujeme hodnotu samotnej funkcie, potrebujeme iba znamienko. Preto napríklad hodnoty f (x) = −1 a f (x) = −938 740 576 215 znamenajú to isté: funkcia je v tomto intervale záporná. Preto všetko, čo sa od vás vyžaduje, je nájsť znamienko, ktoré sa vyskytuje v nekonečne, a nie hodnotu funkcie.

V skutočnosti je náhrada nekonečna veľmi jednoduchá. Vráťme sa k našej funkcii:

f(x) = (x − 1) (2 + x) (7 − x)

Predstavte si, že x je veľmi veľké číslo. Miliarda alebo dokonca bilión. Teraz sa pozrime, čo sa deje v jednotlivých zátvorkách.

Prvá zátvorka: (x − 1). Čo sa stane, ak odpočítate jednu od miliardy? Výsledkom bude číslo, ktoré sa príliš nelíši od miliardy a toto číslo bude kladné. Podobne s druhou zátvorkou: (2 + x). Ak k dvom pripočítame miliardu, dostaneme miliardu s kopejkami – to je kladné číslo. Nakoniec tretia zátvorka: (7 − x ). Tu bude mínus miliarda, z ktorej sa „odhryzol“ mizerný kúsok v podobe sedmičky. Tie. výsledné číslo sa nebude veľmi líšiť od mínus miliardy - bude záporné.

Zostáva nájsť znak celého diela. Keďže sme mali v prvých zátvorkách plus a v poslednej zátvorke mínus, dostaneme nasledujúcu konštrukciu:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konečné znamenie je mínus! Nezáleží na tom, akú hodnotu má samotná funkcia. Hlavná vec je, že táto hodnota je záporná, t.j. na intervale úplne vpravo je znamienko mínus. Zostáva dokončiť štvrtý krok intervalovej metódy: usporiadať všetky znaky. Máme:

Pôvodná nerovnosť vyzerala takto:

(x − 1) (2 + x ) (7 − x )< 0

Preto nás zaujímajú intervaly označené znamienkom mínus. Napíšeme odpoveď:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je celý trik, ktorý som chcel povedať. Na záver je tu ešte jedna nerovnosť, ktorá je riešená intervalovou metódou pomocou nekonečna. Pre vizuálne skrátenie riešenia nebudem písať čísla krokov a podrobné komentáre. Napíšem len to, čo naozaj treba napísať pri riešení skutočných problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Nerovnosť nahradíme rovnicou a vyriešime ju:

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Označíme všetky tri korene na súradnicovej čiare (ihneď so znakmi):

Na pravej strane súradnicovej osi je plus, pretože funkcia vyzera takto:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

A ak dosadíme nekonečno (napríklad miliardu), dostaneme tri kladné zátvorky. Keďže pôvodný výraz musí byť väčší ako nula, zaujímajú nás len plusy. Zostáva napísať odpoveď:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Napríklad výraz \(x>5\) je nerovnosť.

Druhy nerovností:

Ak sú \(a\) a \(b\) čísla alebo , potom sa volá nerovnosť číselné. V skutočnosti ide len o porovnanie dvoch čísel. Tieto nerovnosti sú rozdelené na verný A neverný.

Napríklad:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je neplatná číselná nerovnosť, pretože \(17+3=20\) a \(20\) je menšie ako \(115\) (nie väčšie alebo rovné).

Ak sú \(a\) a \(b\) výrazy obsahujúce premennú, potom máme nerovnosť s premennou. Takéto nerovnosti sú rozdelené do typov v závislosti od obsahu:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabilné len na prvú mocninu
\(3x^2-x+5>0\)				V druhej mocnine (štvorci) je premenná, ale žiadne vyššie mocniny (tretia, štvrtá atď.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... atď.

Aké je riešenie nerovnosti?

Ak sa do nerovnosti namiesto premennej dosadí akékoľvek číslo, zmení sa na číselné.

Ak daná hodnota pre x robí pôvodnú nerovnosť skutočne numerickou, potom sa volá riešenie nerovnosti. Ak nie, potom táto hodnota nie je riešením. A do vyriešiť nerovnosť- musíte nájsť všetky jeho riešenia (alebo ukázať, že neexistujú).

Napríklad, ak sme v lineárnej nerovnosti \(x+6>10\), dosadíme namiesto x číslo \(7\), dostaneme správnu číselnú nerovnosť: \(13>10\). A ak dosadíme \(2\), vznikne nesprávna číselná nerovnosť \(8>10\). To znamená, že \(7\) je riešením pôvodnej nerovnosti, ale \(2\) nie je.

Nerovnosť \(x+6>10\) má však aj iné riešenia. Správne číselné nerovnosti skutočne dostaneme dosadením a \(5\), a \(12\) a \(138\) ... A ako nájdeme všetky možné riešenia? Ak to chcete urobiť, použite V našom prípade máme:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To znamená, že môžeme použiť akékoľvek číslo väčšie ako štyri. Teraz si musíme zapísať odpoveď. Riešenia nerovností sa spravidla píšu numericky, navyše sa označujú na numerickej osi šrafovaním. Pre náš prípad máme:

odpoveď: \(x\in(4;+\infty)\)

Kedy sa zmení znamienko pri nerovnosti?

V nerovnostiach je jedna veľká pasca, do ktorej študenti naozaj „radi“ padajú:

Keď násobíte (alebo delíte) nerovnosť záporným číslom, je obrátená („väčšie ako“ „menej“, „väčšie ako alebo rovné“ „menšie ako alebo rovné“ atď.)

Prečo sa to deje? Aby sme to pochopili, pozrime sa na transformácie numerickej nerovnosti \(3>1\). Je to tak, trojka je naozaj viac ako jedna. Najprv to skúsme vynásobiť ľubovoľným kladným číslom, napríklad dvoma:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Ako vidíte, po vynásobení zostáva nerovnosť pravdivá. A bez ohľadu na to, aké kladné číslo vynásobíme, vždy dostaneme správnu nerovnosť. A teraz skúsme vynásobiť záporným číslom, napríklad mínus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Ukázalo sa, že ide o nesprávnu nerovnosť, pretože mínus deväť je menej ako mínus tri! To znamená, že na to, aby sa nerovnosť stala pravdivou (čo znamená, že transformácia násobenia záporom bola „legálna“), musíte otočiť znamienko porovnávania takto: \(−9<− 3\).
S delením to dopadne podobne, môžete si to overiť sami.

Vyššie napísané pravidlo platí pre všetky typy nerovností, nielen pre numerické.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(2(x+1)-1<7+8x\)
Riešenie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Presuňme sa \(8x\) doľava a \(2\) a \(-1\) doprava, pričom nezabudnime zmeniť znamienka
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Vydeľte obe strany nerovnosti \(-6\), pričom nezabudnite zmeniť z „menej“ na „väčšiu“
	Vyznačme si na osi číselný interval. Nerovnosť, takže hodnota \(-1\) je „vyrazená“ a neberieme ju ako odpoveď
	Napíšme odpoveď ako interval

odpoveď: \(x\in(-1;\infty)\)

Nerovnosti a DHS

Nerovnice, ako aj rovnice, môžu mať obmedzenia na , teda na hodnoty x. Hodnoty, ktoré sú podľa ODZ neprijateľné, by sa preto mali z intervalu riešenia vylúčiť.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(\sqrt(x+1)<3\)

Riešenie: Je jasné, že na to, aby bola ľavá strana menšia ako \(3\), koreňový výraz musí byť menší ako \(9\) (veď z \(9\) len \(3\)). Dostaneme:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Všetko? Vyhovuje nám akákoľvek hodnota x menšia ako \(8\)? nie! Pretože ak vezmeme napríklad hodnotu \(-5\), ktorá sa zdá byť v súlade s požiadavkou, nebude to riešenie pôvodnej nerovnosti, pretože nás to privedie k výpočtu odmocniny záporného čísla.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Preto musíme brať do úvahy aj obmedzenia hodnôt x - nemôže byť také, aby pod koreňom bolo záporné číslo. Máme teda druhú požiadavku na x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A aby x bolo konečným riešením, musí spĺňať obe požiadavky naraz: musí byť menšie ako \(8\) (aby bolo riešením) a väčšie ako \(-1\) (aby bolo v princípe platné). Vynesením na číselnú os máme konečnú odpoveď:

odpoveď: \(\left[-1;8\right)\)

Nerovnosť je číselný pomer, ktorý ilustruje veľkosť čísel vo vzťahu k sebe navzájom. Nerovnosti sú široko používané pri hľadaní veličín v aplikovaných vedách. Naša kalkulačka vám pomôže vysporiadať sa s takou náročnou témou, akou je riešenie lineárnych nerovností.

Čo je to nerovnosť

Nerovnaké pomery v reálnom živote zodpovedajú neustálemu porovnávaniu rôznych predmetov: vyššie alebo nižšie, ďalej alebo bližšie, ťažšie alebo ľahšie. Intuitívne alebo vizuálne môžeme pochopiť, že jeden predmet je väčší, vyšší alebo ťažší ako druhý, no v skutočnosti ide vždy o porovnávanie čísel, ktoré charakterizujú zodpovedajúce veličiny. Objekty môžete porovnávať na akomkoľvek základe av každom prípade môžeme vytvoriť číselnú nerovnosť.

Ak sú neznáme veličiny za určitých podmienok rovnaké, potom na ich numerické určenie zostavíme rovnicu. Ak nie, potom namiesto znamienka „rovná sa“ môžeme uviesť akýkoľvek iný pomer medzi týmito veličinami. Dve čísla alebo matematické objekty môžu byť väčšie ako ">", menšie ako "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Znaky nerovností v ich modernej podobe vynašiel britský matematik Thomas Harriot, ktorý v roku 1631 vydal knihu o nerovnakých pomeroch. Väčšie ako ">" a menšie ako "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Riešenie nerovností

Nerovnosti, podobne ako rovnice, majú rôzne typy. Lineárne, štvorcové, logaritmické alebo exponenciálne nerovnaké pomery sa uvoľňujú rôznymi metódami. Bez ohľadu na metódu však treba každú nerovnosť najskôr zredukovať na štandardnú formu. Na to sa používajú identické transformácie, ktoré sú totožné s modifikáciami rovnosti.

Identitné transformácie nerovností

Takéto transformácie výrazov sú veľmi podobné duchom rovníc, ale majú nuansy, ktoré je dôležité zvážiť pri rozväzovaní nerovností.

Prvá transformácia identity je identická s analogickou operáciou s rovnosťami. K obom stranám nerovnakého pomeru môžete pridať alebo odčítať rovnaké číslo alebo výraz s neznámym x, pričom znamienko nerovnosti zostáva rovnaké. Najčastejšie sa tento spôsob používa v zjednodušenej forme ako prenos členov výrazu cez znamienko nerovnosti so zmenou znamienka čísla na opačný. Vzťahuje sa to na zmenu znamienka samotného výrazu, to znamená, že + R sa pri prenose cez akékoľvek znamienko nerovnosti zmení na - R a naopak.

Druhá transformácia má dva body:

1. Obidve strany nerovnakého pomeru môžu byť vynásobené alebo delené rovnakým kladným číslom. Samotný znak nerovnosti sa nezmení.
2. Obidve strany nerovnosti môžu byť rozdelené alebo vynásobené rovnakým záporným číslom. Znak samotnej nerovnosti sa zmení na opačný.

Druhá identická transformácia nerovníc má vážne rozdiely s úpravou rovníc. Po prvé, pri násobení/delení záporným číslom sa znamienko nerovnakého výrazu vždy obráti. Po druhé, delenie alebo násobenie častí vzťahu je povolené iba číslom a nie akýmkoľvek výrazom obsahujúcim neznámu. Faktom je, že nemôžeme s istotou vedieť, či sa za neznámou skrýva číslo väčšie alebo menšie ako nula, preto sa druhá identická transformácia aplikuje na nerovnice výlučne s číslami. Pozrime sa na tieto pravidlá s príkladmi.

Príklady rozviazania nerovností

V algebrických úlohách existuje množstvo úloh na tému nerovností. Dajme nám výraz:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Najprv otvorte zátvorky a presuňte všetky neznáme doľava a všetky čísla doprava.

6x − 12x > 6 + 3

Potrebujeme vydeliť obe časti výrazu −6, takže pri hľadaní neznámeho x sa znamienko nerovnosti zmení na opačný.

Pri riešení tejto nerovnosti sme použili obe identické transformácie: presunuli sme všetky čísla napravo od znamienka a obe strany pomeru vydelili záporným číslom.

Náš program je kalkulačka na riešenie numerických nerovností, ktoré neobsahujú neznáme. Program obsahuje nasledujúce vety pre pomery troch čísel:

• Ak< B то A–C< B–C;
• ak A > B, potom A–C > B–C.

Namiesto odčítania členov A-C môžete zadať ľubovoľnú aritmetickú operáciu: sčítanie, násobenie alebo delenie. Kalkulačka teda automaticky zobrazí nerovnosti súčtov, rozdielov, súčinov alebo zlomkov.

Záver

V reálnom živote sú nerovnosti bežné ako rovnice. Prirodzene, v každodennom živote nemusia byť znalosti o riešení nerovností potrebné. V aplikovaných vedách sú však nerovnosti a ich systémy široko používané. Napríklad rôzne štúdie problémov globálnej ekonomiky sa redukujú na zostavovanie a rozpútavanie sústav lineárnych alebo štvorcových nerovností a niektoré nerovné vzťahy slúžia ako jednoznačný spôsob dokazovania existencie určitých objektov. Použite naše programy na riešenie lineárnych nerovností alebo kontrolu vlastných výpočtov.

Riešenie nerovností online

Pred riešením nerovníc je potrebné dobre pochopiť, ako sa rovnice riešia.

Nezáleží na tom, či je nerovnosť prísna () alebo neprísna (≤, ≥), prvým krokom je vyriešiť rovnicu nahradením znamienka nerovnosti rovnosťou (=).

Vysvetlite, čo znamená vyriešiť nerovnosť?

Po preštudovaní rovníc má študent v hlave nasledujúci obrázok: musíte nájsť také hodnoty premennej, pre ktoré majú obe časti rovnice rovnaké hodnoty. Inými slovami, nájdite všetky body, kde platí rovnosť. Všetko je správne!

Keď hovoríme o nerovnostiach, znamená to hľadanie intervalov (segmentov), ​​na ktorých nerovnosť platí. Ak sú v nerovnosti dve premenné, tak riešením už nebudú intervaly, ale nejaké plochy v rovine. Hádajte, aké bude riešenie nerovnosti v troch premenných?

Ako vyriešiť nerovnosti?

Metóda intervalov (alias metóda intervalov) sa považuje za univerzálny spôsob riešenia nerovností, ktorý spočíva v určení všetkých intervalov, v rámci ktorých bude daná nerovnosť splnená.

Bez toho, aby sme sa dostali do typu nerovnosti, v tomto prípade to nie je podstata, je potrebné vyriešiť príslušnú rovnicu a určiť jej korene, po čom nasleduje označenie týchto riešení na číselnej osi.

Ako správne napísať riešenie nerovnice?

Keď máte určené intervaly riešenia nerovnosti, musíte správne zapísať samotné riešenie. Existuje dôležitá nuansa - sú hranice intervalov zahrnuté v riešení?

Všetko je tu jednoduché. Ak riešenie rovnice vyhovuje ODZ a nerovnosť nie je striktná, potom je do riešenia nerovnosti zahrnutá aj hranica intervalu. Inak nie.

Vzhľadom na každý interval môže byť riešením nerovnosti samotný interval alebo polovičný interval (keď jedna z jeho hraníc vyhovuje nerovnosti), alebo segment - interval spolu s jeho hranicami.

Dôležitý bod

Nemyslite si, že len intervaly, polovičné intervaly a segmenty môžu byť riešením nerovnosti. Nie, do riešenia je možné zahrnúť aj jednotlivé body.

Napríklad nerovnosť |x|≤0 má len jedno riešenie - bod 0.

A nerovnosť |x|

Na čo slúži kalkulačka nerovností?

Kalkulačka nerovností dáva správnu konečnú odpoveď. V tomto prípade sa vo väčšine prípadov uvádza znázornenie číselnej osi alebo roviny. Môžete vidieť, či sú hranice intervalov zahrnuté v riešení alebo nie - body sú zobrazené vyplnené alebo prepichnuté.

Vďaka online kalkulačke nerovností si môžete skontrolovať, či ste správne našli korene rovnice, označili ich na číselnej osi a skontrolovali podmienky nerovností na intervaloch (a hraniciach)?

Ak sa vaša odpoveď líši od odpovede kalkulačky, určite musíte svoje riešenie ešte raz skontrolovať a identifikovať chybu.