Úvodné komentáre a najjednoduchšie príklady

Príklad 1. Za akých hodnôt má rovnica AX 2 + 2X + 1 \u003d 0 dva rôzne korene?

Rozhodnutie.

Táto rovnica je štvorcový vzhľadom k premennej X na A№ 0 a má rôzne korene, keď jeho diskriminant

t.j. s a< 1.

Okrem toho, s A \u003d 0, rovnica 2x + 1 \u003d 0, s jedným koreňom.

Tak, o (- ґ; 0) a (0; 1).

Pravidlo 1. Ak koeficient v x 2 z druhého stupňa polynómu obsahuje parameter, je potrebné rozobrať prípad, keď sa zmení na nulu.

Príklad 2. Rovnica AX 2 + 8X + C \u003d 0 má jeden koreň rovný 1. Čo sa rovná A a C?

Rozhodnutie. Spustíme riešenie problému zo špeciálneho prípadu A \u003d 0, rovnica má formulár 8x + c \u003d 0. Táto lineárna rovnica má roztok x 0 \u003d 1 pri c \u003d - 8.

S číslom 0 štvorcová rovnica má jediný root, ak

Okrem toho, nahradenie koreňového x 0 \u003d 1 k rovnici, získame + 8 + c \u003d 0.

Riešenie systému dvoch lineárnych rovníc, nájdeme A \u003d C \u003d - 4.

Teorem 1.

Pre dané štvorcové tri decru y \u003d x 2 + px + q (za predpokladu, p2і 4Q)
Množstvo koreňov x 1 + x 2 \u003d - p, produkt koreňov x 1 x 2 \u003d q, rozdiel v koreňoch sa rovná
A súčet štvorcov koreňov x 1 2 + x 22 \u003d p 2 - 2Q.

Veta 2.

Pre štvorcové tri topánky y \u003d AX 2 + BX + C s dvoma koreňmi x 1 a x 2
Rozklad AX 2 + BX + C \u003d A (X - X 1) (X - X 2), pre tri-SHRREDY s jedným koreňom X 0 - rozklad
AX 2 + BX + C \u003d A (X - X 0) 2.

Komentár. Často o štvorcových rovniciach s diskriminantom rovnajúcou sa nule a mať jeden koreň, povedzme, že má dva zhodné koreň (?). Je to spôsobené rozkladom polynómu na faktory uvedené v teoremoch 2. (V tomto prípade je správne hovoriť a pochopiť, potrebujete "jeden koreň multiplikácie dvoch". - Poznámka Ed.)

Budeme venovať pozornosť tejto jemnosti a prideliť prípad jedného koreňa multiplicity 2.

Príklad 3. V rovnici x 2 + AX \u200b\u200b+ 12 \u003d 0, určte A tak, že rozdiel medzi koreňmi rovnice je rovný jednému.

Rozhodnutie. Rozdiel koreňov
Od miesta, kde A \u003d ± 7.

Príklad 4. Na akej súčet štvorcov koreňov rovnice 2x 2 + 4x + A \u003d 0 je 6?

Rozhodnutie. Píšeme rovnicu vo forme
Od X12 + X22 \u003d 4 - A \u003d 6 a A \u003d - 2.

Príklad 5. Pre všetky a rozhodnite o rovnicu AX 2 - 2X + 4 \u003d 0.

Rozhodnutie. Ak A \u003d 0, potom X \u003d 2. Ak A№ 0, rovnica sa stáva štvorcovým. Jeho diskriminant
rovná d \u003d 4 - 16A. Ak d< 0, т. е. a > ,
Riešenia rovnice nemá. Ak d \u003d 0, t.j. a \u003d,
x \u003d 4. Ak d\u003e 0, t.j.< ,
Rovnica má dva korene

Umiestnenie koreňov štvorcových tri

Rozvrh štvorcovej rovnice je parabola a riešenia štvorcovej rovnice - absisie priesečníckych bodov tejto paraboly s osou ox. Základom pre riešenie všetkých úloh tohto odseku je študovať vlastnosti umiestnenia parabola so špecifikovanými vlastnosťami na rovine koordinácie.

Príklad 6. Za akých koreňov rovnice x 2 - 2AX + A 2 - A - 6 \u003d 0 majú rôzne značky?

Roztok (obr. 1).

Štvorcová rovnica alebo nemá riešenia (graf - paraboly druhu d), alebo má jednu alebo dve pozitívne korene (paraboly c), alebo má jeden ísť dva negatívne korene (parabola a) alebo má korene rôznych značiek (parabola b) ).

Je ľahké zistiť, že posledný typ paraboly, na rozdiel od iných, sa vyznačuje skutočnosťou, že f (0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Toto rozhodnutie umožňuje zovšeobecnenie, že formulujeme ako nasledujúce pravidlo.

Pravidlo 2. Na objednávku AX 2 + BX + C \u003d 0 Rovnica

mal dva rôzne korene x 1 a x 2 také, že x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Príklad 7. Na ktorej rovnici x 2 - 2AX + A 2 - A - 6 \u003d 0 má dva rôzne koreň jedného znaku?

Rozhodnutie. Máme záujem o parabola typy A a C (pozri obr. 1). Vyznačujú sa tým, že

kde A O (- 6; - 2) a (3; + ґ).

Príklad 8. V ktorej rovnici x 2 - 2AX + A 2 - A - 6 \u003d 0 má dva rôzne kladné koreň?

Rozhodnutie. Máme záujem o Parabolla typu C na obr. jeden.

Takže rovnica má root, budeme potrebovať

Vzhľadom k tomu, že obidva korene rovnice podľa stavu musia byť pozitívne, potom abscisa Pearbela vrcholu, ležiace medzi koreňmi, je pozitívny: X 0 \u003d A\u003e 0.

Ordinácia vrcholov F (x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) > 0, Vzhľadom na kontinuitu funkcie v štúdii, existuje bod x 1O (0; x 0) tak, že f (x 1) \u003d 0. Je zrejmé, že je to menší koreň rovnice.

Tak, f (0) \u003d A 2 - A - 6\u003e 0, a zber všetkých podmienok spolu dostávame systém

s roztokom A O (3; + ґ).

Príklad 9. V ktorej rovnici x 2 - 2AX + A 2 - A - 6 má dva rôzne negatívne korene?

Rozhodnutie. Po preskúmaní paraboly typu A na obr. 1, dostaneme systém

kde AM O (- 6; - 2).

Sumarizovaním riešenia predchádzajúcich úloh vo forme nasledujúceho pravidla.

Pravidlo 3. V poriadku, aby AX2 + BX + C \u003d 0 Rovnica mať dve rôzne korene X 1 a X2, z ktorých každý je viac (menej) m, je to potrebné a dostatočne

Príklad 10. Funkcia F (X) je daná vzorcom

Nájdite všetky hodnoty parametra parametra A, v ktorom má rovnica F (x) \u003d 0 aspoň jedno riešenie.

Rozhodnutie. Všetky možné riešenia tejto rovnice sa získavajú ako roztoky štvorcovej rovnice.

x 2 - (4A + 14) X + 4A 2 + 33A + 59 \u003d 0

s dodatočnou podmienkou, že aspoň jeden (zjavne väčší) koreň x 2І a.

Prirodzene, rovnica by mala byť zakorenená, mala by byť \u003d - 5 (A + 2) і 0,
Kde som ј - 2.

Graf ľavej časti špecializovanej rovnice je paraboly, abscissa vrcholu, z ktorých je X 0 \u003d 2A + 7. Riešenie problému poskytuje dva typy paraboly (obr. 2).

A: X 0 і A, odkiaľ je - 7. V tomto prípade väčší koreň polynómu X2І x 0 і a.

B: X 0< a, f(a) Ј 0, od .
V tomto prípade tiež väčší koreň polynómu x 2І a.

Nakoniec .

Tri riešenia jednej nerovnosti

Príklad 11. Nájdite všetky hodnoty parametra A, v ktorom nerovnosť x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3\u003e 0

vykonané:

1) na všetkých hodnotách x;
2) Pri všetkých kladných hodnotách X;
3) Na všetkých hodnotách XO [- 1; jeden].

Rozhodnutie.

Prvým spôsobom.

1) Táto nerovnosť je zrejmá v rámci všetkých X, keď je diskriminant negatívna, t.j.

\u003d A 2 - (A 2 + 2A - 3) \u003d - 2A + 3< 0,

kde A\u003e.

2) Ak chcete lepšie pochopiť, čo sa vyžaduje v podmienkach úloh, budeme aplikovať jednoduchý príjem: na súradnicovom lietadle nakreslíte akékoľvek paraboly a potom si vyberte a zatvorte ľavú polovičnú rovinu. Táto časť paraboly, ktorá zostane viditeľná, by mala byť nad osou.

Stav úlohy sa vykonáva v dvoch prípadoch (pozri obr. 3):

< 0, откуда a > ;

B: Obaja korene (možno jedna, ale dvojité) rovnice x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3 \u003d 0 sú vľavo od pôvodu súradníc. Podľa pravidla 3 je táto podmienka rovná systému nerovností DІ 0, x 0 ј 0 a f (0) і 0.

Pri riešení tohto systému však možno vynechať prvá nerovnosť, pretože dokonca určitá hodnota A nespĺňa podmienku Dі 0, potom automaticky vstupuje do riešenia odseku A. Tak, vyriešiť systém

kde som ј - 3.

Kombinácia riešení bodov A a B, dostaneme

odpoveď:

3) Podmienka problému sa vykonáva v troch prípadoch (pozri obr. 4):

A: Graf funkcie y \u003d x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3 leží nad osou ox, t.j. d< 0, откуда a > ;

B: Obaja korene (možno jedna multiplicita 2) rovnice x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3 \u003d 0 sú ponechané - 1. Táto podmienka je ekvivalentná tomu, ako poznáme z pravidla 3, systém nerovnosti dі 0, x 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: Obe korene rovnice x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3 \u003d 0 sú vpravo na 1.
Táto podmienka je ekvivalentná DІ 0, x 0\u003e 1, f (1)\u003e 0.

V odsekoch B a C, ako aj pri riešení predchádzajúcej úlohy možno vynechať nerovnosť spojenú s diskriminantou.

Preto dostaneme dve nerovnosť systémy

Po všetkých prípadoch získame výsledok: A\u003e
v bode
v C.
Odpoveď problému je kombinovať tieto tri súbory.

Druhý spôsob. Na vykonanie stavu každej z troch položiek úloh, najmenšia hodnota funkcie
Y \u003d x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3 na každej z príslušných medzier by mal byť pozitívny.

1) Vertex paraboly Y \u003d X2 - 2AX + A 2 + 2A - 3 je v bode (A; 2A - 3), preto je najmenšia hodnota funkcie na celej numerickej línii 2a - 3 a a \u003e.

2) Na semi-osi X i 0 Najmenšia hodnota funkcie je F (0) \u003d A 2 + 2A - 3, ak A< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Prezeranie oboch prípadov, dostaneme

3) Najmenší na segmente [- 1; 1] Hodnota funkcie je rovnaká

Keďže najmenšia hodnota by mala byť pozitívna, dostaneme nerovnosti

Riešenie týchto troch systémov - mnoho

Tretia cesta. 1) vrchol paraboly y \u003d x 2 - 2AX + A 2 + 2A - 3

umiestnené v bode (A; 2A - 3). Nakreslíme sa na koordinátovú rovinu, ktorá tvorí vrcholy všetkých parabola pri rôznych A (obr. 5).

Toto je rovno y \u003d 2x - 3. Pripomeňme, že každý bod tejto priamej zodpovedá svojej hodnote parametra a z každého bodu tohto priameho "prichádzajúceho" parabola zodpovedajúcej tejto hodnote parametra. Parabols, ktoré sú výlučne nad osou ox, sú charakterizované stavom 2A - 3\u003e 0.

2) Rozhodnutia tejto položky sú všetky riešenia prvého bodu, a navyše paraboly, pre ktoré A je negatívny, a F (0) \u003d A 2 + 2A - 3і 0.

3) z obr. 5 Je vidieť, že máme záujem o paraboly, pre ktoré buď negatívne a f (- 1) \u003d A 2 + 4A - 2\u003e 0,
buď pozitívne a f (1) \u003d A 2 - 2\u003e 0.

Roviny a nerovnosti sa znížili na námestie

Príklad 12. Za akých hodnôt rovnica 2x 4 - 2AX 2 + A 2 - 2 \u003d 0 nemá riešenia?

Rozhodnutie. Výmenou y \u003d x 2 získame štvorcovú rovnicu F (Y) \u003d 2Y 2 - 2AY + A 2 - 2 \u003d 0.

Výsledná rovnica nemá žiadne riešenie, keď d< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Tieto podmienky môžu byť zaznamenané vo forme kombinácie

z

Príklad 13. S každou hodnotou parametra A rozhodnite COS X SIN 2X \u003d ASIN 3X rovnica.

Rozhodnutie. Od 2cos X SIN 2X \u003d SIN X + SIN 3X A SIN 3X \u003d 3SIN X - 4SIN 3 X,

rovnica sa zaznamenáva ako hriech X (SIN 2 X (4A - 2) - (3A - 2)) \u003d 0.

Odtiaľ dostaneme riešenie x \u003dp n, n Z pre akúkoľvek a. Rovnica

má riešenia

nie je náhodné s riešeniami prvej rovnice, len pod podmienkou

Nedávne obmedzenia sú ekvivalentné

Odpoveď: X \u003d P N, N Z pre akékoľvek A; Okrem toho,

Príklad 14. Nájdite všetky hodnoty parametra A, pričom každá nerovnosť
A2 + 2A - SIN 2 X - 2ACOS X\u003e 2 sa vykonáva pre ľubovoľné číslo x.

Rozhodnutie. Transformujeme nerovnosť typu COS 2 x - 2ACOS X + A 2 + 2A - 3\u003e 0

a vymeníme t \u003d cos x. Je dôležité si všimnúť, že parameter T spôsobuje hodnoty od - 1 do 1, takže úloha je preformulovaná v tomto formulári: nájsť všetky takéto

t 2 - 2AT + A 2 + 2A - 3\u003e 0

s all tO [- jeden; jeden]. Túto úlohu sme už rozhodli skôr.

Príklad 15. Určite za akých hodnôt log 3 (9 x + 9A 3) \u003d X má riešenia a nájsť ich.

Rozhodnutie. Transformujeme rovnicu do formulára 9 x - 3 x + 9A 3 \u003d 0

a, takže náhradník y \u003d 3 x získame y 2 - y + 9a 3 \u003d 0.

V prípade, že diskriminant je negatívny, rovnica riešení nemá. Diskriminant

D \u003d 1 - 36A \u200b\u200b3 \u003d 0, rovnica má jediný koreň,
a x \u003d - log 3 2. Nakoniec, keď je diskriminant pozitívny, t.j.
Počiatočná rovnica má jeden koreň ,
A ak je okrem toho výraz 1 pozitívny,
Potom má rovnica ďalší okrúhly koreň .

Takže, konečne dostať

,

neexistujú žiadne riešenia so zvyškom a.

Príklad 16. Pre každú hodnotu parametra A rozhodnite o rovnicu SIN 4 X + COS 4 X + SIN 2 X + A \u003d 0.

Rozhodnutie. Ako
Rovnica sa prepíše vo forme hriechu 2 x - 2sin X - 2A - 2 \u003d 0.
Nech Y \u003d SIN 2X, potom Y 2 - 2Y - 2A - 2 \u003d 0 (Y |Ј 1).

Graf funkcie, ktorým čelí ľavú časť rovnice je parabolou s vrcholom, abscisa, z ktorých y3 \u003d 1; Hodnota funkcie v bode Y \u003d - 1 je 1 - 2A; Diskriminantová rovnica je 8A + 12. To znamená, že väčší koreň Y2 rovníc Y 2 - 2Y - 2A - 2 \u003d 0, aj keď existuje, viac ako 1, a zodpovedajúca rovnica sin 2x \u003d y2 roztokov nemá. 3. Za akých hodnôt rovnica 2x 2 + (3a + 1) x + A 2 + A + 2 \u003d 0 má aspoň jeden koreň?
4. AX 2 + BX + 5 \u003d 0 Rovnica je jediný koreň rovný 1. Čo je rovné A a B?
5. Za akých hodnôt parametra korene štvorcovej rovnice 5x 2 - 7x + A \u003d 0 zahŕňajú ako 2 až 5?
6. V AX 2 + 8X + 3 \u003d 0 rovnici je navrhnutá tak, aby určila tak, aby rozdiel medzi koreňmi rovnice rovná jednému.
7. V ktorých súčet štvorcov koreňov rovnice x 2 - 2AX + 2 (A + 1) \u003d 0 je 20?
8. Na čo B a C rovnice C + BX - 2X 2 \u003d 0 má jeden pozitívny a jeden negatívny koreň?
9. Nájdite všetky hodnoty parametra A, pri ktorom jeden koreň rovnice x 2 - (A + 1) X + 2 \u003d 0 je väčší ako A a druhý je nižší ako a.
10. Nájdite všetky hodnoty parametra A, v ktorých rovnica x 2 + (A + 1) X + 2 \u003d 0 má dva rôzne koreň jedného znaku.
11. Za akých hodnôt sú všetky z výsledných koreňov rovnice (A - 3) x 2 - 2AX + 6A \u003d 0 pozitívne?
12. Za ktorých všetky výsledné korene rovnice (1 + A) x 2 - 3AX + 4A \u003d 0 viac 1?
13. Nájdite všetky hodnoty parametra A, pre ktoré sú obe rôzne korene rovnice x 2 + x + A \u003d 0, väčšie ako a.
14. Za akých hodnôt je medzi - 1 a 1 uzatvorenými koreňmi rovnice 4x 2 - 2x + A \u003d 0?
15. Za akých hodnôt rovnice x 2 + 2 (A - 1) X + A + 5 \u003d 0 má aspoň jeden kladný koreň?
16. Funkcia F (x) je daná vzorcom

Nájdite všetky hodnoty parametra parametra A, v ktorom má rovnica F (x) \u003d 0 aspoň jedno riešenie.
17. Za ktorých nerovnosť (A 2 - 1) X 2 + 2 (A - 1) X + 2\u003e 0 je pravdivá pre všetky X?
18. Za akých hodnôt parametra je nerovnosť AX 2 + 2X\u003e 1 - 3A platná pre všetky pozitívne X?
19. Za akých hodnôt rovnice x 4 + (1 - 2A) x 2 + A 2 - 1 \u003d 0 nemá riešenia?
20. Za akých hodnôt parametra má rovnica 2x 4 - 2AX 2 + A2 - 2 \u003d 0 jeden alebo dva riešenia?
21. Zakaždým, keď sa rozhodnete ACOS X COS 2X \u003d COS 3X rovnice.
22. Nájdite všetky hodnoty parametra A, pričom každá z nich je nerovnosť COS 2 x + 2ASIN X - 2A< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. Pre všetky A rozhodnite o log 2 rovnice (4 x + a) \u003d x.
24. S každou hodnotou parametra A rozhodnite sa za hriech 2 x + ASIN 2 2X \u003d SIN REAKCE.

Plánový námestie tri vyhlásené

2019-04-19

Štvorcový threechlen

Nazývali sme celú racionálnu funkciu druhého stupňa v štvorcových trestoch:

$ Y \u003d sekera ^ 2 + bx + c $, (1)

kde $ a neq 0 $. Dokážeme, že graf štvorcových troch delíkach je paraboly, čo má za následok paralelné posuny (v reignifikáciách súradnicových osí) z paraboly $ y \u003d AX ^ 2 $. Aby sme to urobili, dávame výraz (1) jednoduchou identickými transformáciami do formy

$ y \u003d a (x + alfa) ^ 2 + beta $. (2)

Zodpovedajúce transformácie zaznamenané nižšie sú známe ako "zvýraznenie presného štvorca":

$ y \u003d x ^ 2 + bx + c \u003d a vľavo (x ^ 2 + frac (b) (a) x vpravo) + c \u003d a vľavo (x ^ 2 + frac (b) (a) X + frac (b ^ 2) (4a ^ 2) vpravo) - frac (b ^ 2) (4a) + c \u003d a vľavo (x + frac (b) (2a) vpravo) ^ 2 - frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $. (2 ")

Viedli sme štvorcové tri-drvené do mysle (2); kde

$ alfa \u003d frac (b) (2a), beta \u003d - frac (b ^ 2 - 4ac) (4a) $

(Tieto výrazy by sa nemali zapamätať, pohodlnejšie zakaždým, keď je konverzia trojstranných (1) na formu (2) priamo).

Teraz je zrejmé, že trojfarebný graf (1) je paraboly, rovná parabole $ y \u003d seked ^ 2 $ a $ y \u003d seker ^ 2 $ Parabolah posunie v smeroch súradnicových osí na $ alfa $ a $ beta $ (berúc do úvahy znamenie $ a $ a $), resp. Vrchol tohto paraboly je umiestnený v bode $ (- - alfa, beta) $, jeho os je priamy $ x \u003d - alfa $. Za $ A\u003e 0 $ top - najnižší bod parabola, s $ a
Teraz strávime štúdium štvorcového tri dec, t.j. zistíme jeho vlastnosti v závislosti od numerických hodnôt koeficientov $ A, B, s $ v jeho výraze (1).

Označuje v rovnosti (2 ") hodnotu $ b ^ 2- 4AC $ do $ D $:

$ y \u003d a vľavo (x + frac (b) (2a) vpravo) ^ 2 - frac (d) (4a) $; (štyri)

$ D \u003d B ^ 2 - 4AC $ sa nazýva diskriminantou štvorcových troch deklarovaných. Vlastnosti troch deklarovaných (1) (a umiestnenie jeho harmonogramu) sú určené známkami diskriminantov $ D $ a starší koeficient vo výške $ A $.

1) $ A\u003e 0, D 0 $; Vzhľadom k tomu, $ A\u003e 0 $, graf sa nachádza nad hornou časťou $ o ^ (\\ forme) $; Leží v hornej polovici roviny ($ y\u003e 0 $ - ryža a.).

2) $ a
3) $ A\u003e 0, D\u003e 0 $. Vertex $ O ^ (prvoden) $ leží pod osou $ ox $, paraboly prechádza os osi $ ox $ na dva body $ x_1, x_2 (obr.).

4) $ A 0 $. Vertex $ O ^ (prvoden) $ leží nad osou $ OX $, Parabola sa znovu objaví os os $ ox $ na dva body $ x_1, x_2 (Obr. D).

5) $ A\u003e 0, D \u003d 0 $. Vrchol leží na osi $ OX $, Parabola sa nachádza v hornej polovici roviny (obr. D).

6) $ a
Závery. Ak $ d 0 $), buď nižšie (s $ a
Ak je $ d\u003e 0 $, potom funkcia je znak) (graf je súčasťou nižšie, časť z vyššie uvedenej osi $ Ox $). Square Threefold s $ D\u003e $ 0 má dve korene (nula) $ x_1, x_2 $. Za $ A\u003e 0 $, je negatívny v rozsahu medzi koreňmi (obr. B) a je pozitívny mimo tohto intervalu. Za $ A.

$ A (((x) ^ (2)) vzorec je (((x) ^ (2)) + bx + c $ $ (a 0). $ A, B $ a $ C $ - The Koeficients štvorcových Troch delí sa zvyčajne nazývajú: A - Senior, B - druhý alebo priemerný koeficient, C je slobodný člen. Funkcia formulára Y \u003d AX 2 + BX + C sa nazýva kvadratická funkcia.

Všetky tieto paraboly, vrchol je na začiatku súradníc; S A\u003e 0 je to najnižší bod grafu (najmenšia hodnota funkcie), a keď a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Ako je možné vidieť, s\u003e 0 Parabola je nasmerovaná smerom nahor, keď A< 0 - вниз.

Existuje jednoduchá a pohodlná grafická metóda, ktorá vám umožní vybudovať ľubovoľný počet parabolických bodov Y \u003d AX 2 bez výpočtov, ak je bod paraboly známy iný ako vrchol. Nech je bod m (x 0, y) leží na paraboli y \u003d AX 2 (obr. 2). Ak chceme konštruovať medzi bodmi O a M okrem ďalších N DOTS, potom rozdelíme rozhranie na osi osi osoviny na n + 1 rovnakých častiach a na bodoch divízií vykonávame kolmo na osi ox. Pre toľko rovnakých častí, rozdelíme segment NM a divízie body spájajú lúče so začiatkom súradníc. Požadované body parabola sú na križovatke kolmých a lúčov s rovnakými číslami (na obr. 2, počet delených bodov je 9).

Graf funkcie Y \u003d AX 2 + BX + C sa líši od grafu Y \u003d AX2 len s jeho polohou a možno ho získať jednoducho presunúť krivku na výkrese. Vyplýva to z prezentácie štvorcových tri klesá vo forme

tam, kde je ľahké dospieť k záveru, že graf funkcie y \u003d AX 2 + BX + C je paraboly y \u003d AX 2, ktorého vrchol je prenesený do bodu

a os jej symetrie zostala rovnobežne s osou OY (obr. 3). Z výsledného výrazu pre štvorcové tri delhates, sú ľahko sledované všetky jeho základné vlastnosti. Expresia D \u003d B2-4Ac sa nazýva diskriminant štvorcových troch lúčov AX 2 + BX + C a diskriminantou asociovanej štvorcovej rovnice AX 2 + BX + C \u003d 0 závisí od znamenia diskriminantov, tiež Graf štvorcového tri znižuje os Ascissa prechádza alebo leží na jednej strane od nej. Je to, ak d< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a > 0, potom Parabola leží nad osi oxu, a ak a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D > 0 Harmonogram štvorcových TRIEHO DOHAHY PREVÁDZAJÚCE A OBSAHU ABSKOVA NA DVA POTREBY X 1 A X 2, ktoré sú korene štvorcovej rovnice AX 2 + BX + C \u003d 0 a sú rovnaké, resp.

Keď d \u003d 0 paraboly dotýka osi ox v bode

Vlastnosti štvorcových tri rozhodujú o riešení štvorcových nerovností. Vysvetlime to na príklade. Nech je potrebné nájsť všetky riešenia nerovnosti 3X 2 - 2X - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D > 0, potom zodpovedajúca štvorcová rovnica 3x 2-2x - 1 \u003d 0 má dva rôzne korene, sú určené vyššie uvedenými vzorcami:

x 1 \u003d -1/3 a x 2 \u003d 1.

V súčasnom námestí tri-melan, A \u003d 3\u003e 0, to znamená, že vetvy jej grafu sú zamerané nahor a hodnoty štvorcových tri delhates sú negatívne len v rozsahu medzi koreňmi. Takže všetky riešenia nerovnosti spĺňajú podmienku

−1/3 < x < 1.

Square nerovnosti sa môžu znížiť na rôzne nerovnosti s rovnakými náhradami, ktoré sa znižujú rôzne rovnice na štvorec.

Lekcia: Ako vybudovať parabolu alebo kvadratickú funkciu?

Teoretická časť

Parabola je graf funkcie opísanej podľa vzorca Ax 2 + BX + C \u003d 0.
Na vybudovanie paraboly je potrebné dodržiavať jednoduchý akčný algoritmus:

1) Parabola Formula Y \u003d AX 2 + BX + C,
Ak a\u003e 0 Potom sú vetvy parabola zamerané nahor,
a pobočky parabola sú riadené dole.
Voľný péro c. Tento bod prechádza parabolou s osou OY;

2), nachádza sa podľa vzorca x \u003d (- b) / 2a, našiel X nahrádzame v parabolskej rovnici a nájdeme y.;

3) Funkcia nulovej funkcie Alebo, na inom mieste križovatky paraboly s osou oxom, sa tiež nazývajú korene rovnice. Ak chcete nájsť korene, pripravujeme sa na 0 aX 2 + BX + C \u003d 0;

Typy rovníc:

a) Full Square Rovnica má formulár AX 2 + BX + C \u003d 0a je riešená diskriminantou;
b) neúplná štvorcová rovnica AX 2 + BX \u003d 0. Ak chcete vyriešiť, musíte urobiť X pre zátvorky, potom každý multiplikátor, aby sa dosiahol na 0:
AX 2 + BX \u003d 0,
X (AX + B) \u003d 0,
X \u003d 0 a AX + B \u003d 0;
c) Nedokončené štvorcová rovnica AX 2 + C \u003d 0. Vyriešiť ho, neznáme preniesť jeden spôsob, a známym iným. x \u003d ± √ (c / a);

4) Nájdite niekoľko ďalších bodov na vytvorenie funkcie.

Praktická časť

A tak teraz na príklade budeme analyzovať všetky akcie:
Príklad číslo 1:
y \u003d x 2 + 4x + 3
C \u003d 3 znamená parabola prechádza oy v bode x \u003d 0 y \u003d 3. Parabola vetvy vyzerajú ako A \u003d 1 1\u003e 0.
A \u003d 1 B \u003d 4 C \u003d 3 x \u003d (- B) / 2A \u003d (- 4) / (2 x 1) \u003d - 2 y \u003d (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 \u003d 4- 8 + 3 \u003d -1 TOP je v bode (-2; -1)
Nájdite korene rovnice x 2 + 4X + 3 \u003d 0
Na diskriminantov nájsť korene
A \u003d 1 B \u003d 4 C \u003d 3
D \u003d B2 -4Ac \u003d 16-12 \u003d 4
x \u003d (- b ± √ (d)) / 2a
x 1 \u003d (- 4 + 2) / 2 \u003d -1
x 2 \u003d (- 4-2) / 2 \u003d -3

Vezmite niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sú v blízkosti top X \u003d -2

x -4 -3 -1 0
3 0 0 3

Namiesto x v rovnici y \u003d x 2 + 4x + 3 hodnoty
Y \u003d (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 \u003d 16-16 + 3 \u003d 3
Y \u003d (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 \u003d 9-12 + 3 \u003d 0
Y \u003d (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 \u003d 1-4 + 3 \u003d 0
y \u003d (0) 2 + 4 * (0) + 3 \u003d 0-0 + 3 \u003d 3
Pri pohľade na hodnoty funkcie, že parabol je symetrický s ohľadom na priamy X \u003d -2

Príklad číslo 2:
y \u003d -x 2 + 4x
C \u003d 0 tak parabola prechádza oy v bode x \u003d 0 y \u003d 0. Parabola vetvy Pozrite sa ako A \u003d -1 -1 Nájdite korene rovnice -X 2 + 4X \u003d 0
Nekompletná štvorcová rovnica AX 2 + BX \u003d 0. Aby ste sa rozhodli, musíte urobiť x pre zátvorky, potom každý multiplikátor, aby sa dosiahol 0.
X (-X + 4) \u003d 0, X \u003d 0 a X \u003d 4.

Vezmite niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sú v blízkosti horného X \u003d 2
X 0 1 3 4
0 3 3 0
Namiesto hodnoty rovnice y \u003d -x 2 + 4x
Y \u003d 0 2 + 4 * 0 \u003d 0
y \u003d - (1) 2 + 4 * 1 \u003d -1 + 4 \u003d 3
Y \u003d - (3) 2 + 4 * 3 \u003d -9 + 13 \u003d 3
Y \u003d - (4) 2 + 4 * 4 \u003d -16 + 16 \u003d 0
Je možné vidieť podľa hodnôt funkcie, ktorú je parabola symetrický s ohľadom na priame X \u003d 2

Príklad číslo 3.
y \u003d x 2 -4
C \u003d 4 tak parabola prechádza oy v bode x \u003d 0 y \u003d 4. Parabola vetvy vyzerajú ako A \u003d 1 1\u003e 0.
A \u003d 1 B \u003d 0 C \u003d -4 x \u003d (- B) / 2A \u003d 0 / (2 * (1)) \u003d 0 Y \u003d (0) 2 -4 \u003d -4 vertex je v bode (0; -4 )
Nájdite korene rovnice x 2 -4 \u003d 0
Nekompletná štvorcová rovnica formulára AX 2 + C \u003d 0. Vyriešiť ho, neznáme preniesť jeden spôsob, a známym iným. x \u003d ± √ (c / a)
x 2 \u003d 4
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -2

Urobte si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sú blízko top x \u003d 0
X-2 -1 1 2
0 -3 -3 0
Namiesto X predstavujeme hodnoty X \u003d X 2 -4
y \u003d (- 2) 2 -4 \u003d 4-4 \u003d 0
y \u003d (- 1) 2 -4 \u003d 1-4 \u003d -3
Y \u003d 1 2 -4 \u003d 1-4 \u003d -3
y \u003d 2 2 -4 \u003d 4-4 \u003d 0
Pri pohľade na hodnoty funkcie, ktorá je parabola symetrická s ohľadom na priame x \u003d 0

Prihlásiť sa na kanáli na YouTube Udržať krok všetkých nových produktov a pripravuje sa s nami pre skúšky.