Definícia. Ak je každý z týchto dvoch polynómov rozdelený bez zvyšku na treťom, potom sa nazýva spoločný rozdeľovač prvých dvoch.

Najväčší spoločný rozdeľovač (uzol) dva polynómy sa nazývajú ich celkový delič.

Uzol možno nájsť rozkladom na neredukovateľných multiplikátoroch alebo pomocou algoritmu EUCLIDEA.

Príklad 40.Nájsť node hory
.

Rozhodnutie.Rozkladáme polynómy na multiplikátoroch:

Z rozkladu je možné vidieť, že požadovaný uzol bude polynómový ( h.– 1).

Príklad 41.Nájsť uzol polynómy
a
.

Rozhodnutie.Rozkladáme polynómy na multiplikátoroch.

Pre polynóm
h.h.- 1) Podľa Hornerovej schémy.

Pre polynóm
možné racionálne korene budú čísla1, 2, 3 a 6. S pomocou substitúcie sme to presvedčení h.\u003d 1 je koreň. Rozdeľujeme polynóm ( h.- 1) Podľa Hornerovej schémy.

Preto, kde rozklad štvorcového tri
vyrábala sa na VieTA teorem.

Porovnaním rozkladu polynómov na multiplikátory zistíme, že požadovaný uzol bude polynómný ( h.– 1)(h.– 2).

Podobne môžete nájsť uzol pre niekoľko polynómov.

Avšak, spôsob hľadania uzla rozšírením faktorov nie je vždy k dispozícii. Spôsob, ako nájsť uzol pre všetky prípady sa nazýva algoritmus EUCLIDE.

Diagram algoritmu EUCLIDEA je. Jeden z dvoch polynómov musí byť rozdelený do iného, \u200b\u200bktorých stupeň nepresahuje stupeň prvého. Ďalej, pre deliteľné zakaždým, keď berú polynóm, ktorý slúžil v predchádzajúcej operácii deličom, a pre rozdeľovač sa zvyšok získaný pri rovnakej prevádzke. Tento proces sa zastaví hneď, ako sa zvyšok ukáže, aby bol nulový. Ukážte tento algoritmus na príkladoch.

Zvážte polynómy používané v dvoch predchádzajúcich príkladoch.

Príklad 42.Nájsť uzol polynómy
a
.

Rozhodnutie.Chudnutie
na
"Roh":

x.

Teraz rozdelíme delič
na zvyšok h.– 1:

x.+ 1

Keďže posledné rozdelenie sa stalo bez zvyšku, potom bude uzol h.- 1, t.j. polynóm používaný ako delič s touto divíziou.

Príklad 43.Nájsť uzol polynómy
a
.

Rozhodnutie. Ak chcete nájsť uzol, používame algoritmus EUCLIDEA. Chudnutie
na
"Roh":

1

Budeme produkovať druhú divíziu. Ak to chcete urobiť, musíte rozdeliť predchádzajúci delider
na zvyšok
, ale od tej doby
=
Pre pohodlie rozdelíme polynóm
nie
, A.
. Z takejto náhrady sa riešenie problému nemení, pretože node páry polynómov sa určujú s presnosťou konštantného multiplikátora. Máme:

Zvyšok sa rovná nule, znamená to, že posledný delič, to znamená polynóm

a bude to požadovaný uzol.

1. Frakčné racionálne funkcie

Definície a schválenie na 2.5 možno nájsť v.

Frakčná racionálna funkcia s platnými koeficientmi sa nazýva výraz kde
a
- Polynómy.

Frakčná racionálna funkcia (v budúcnosti to zavoláme "Frakcia") správnyAk je stupeň polynómu stojaci v čitateľovi striktne menej ako stupeň polynómu stojaceho v denominátore. Inak sa nazýva vhodný.

Algoritmus na prinášanie nesprávneho frakcie na správne sa nazýva "pridelenie celej časti".

Príklad 44.Prideliť celú časť FRACI:
.

Rozhodnutie.Aby sa rozlíšiť celú časť frakcie, je potrebné rozdeliť frakciu čitateľovi svojmu denominátoru. Čitateľa tejto frakcie rozdeľujeme na jeho denominátor "roh":

Vzhľadom k tomu, stupeň prijatého polynómu je menší ako stupeň deničky, proces rozdelenia je kompletný. Nakoniec:

=
. Výsledná frakcia
je to správne.

Frakcia typu
nazývali najjednoduchšie, ak φ ( x. ) - ireducibilný polynóm a stupeň
menej stupňa ( x. ).

Komentár.Upozorňujeme, že stupeň čísela a ireducibilný polynóm v denominátori (s výnimkou stupňa a) sa porovnávajú.

Pre frakcie s platnými koeficientmi existujú 4 typy jednoduchých brázok:

Správna frakcia môžu byť prezentované vo forme súčtu najjednoduchších frakcií, ktorých menovatelia sú všetky druhy rozdeľovačov
.

Algoritmus rozkladu frakcie na najjednoduchších:

Ak je frakcia nesprávna, potom vyčleňujeme celú časť a na najjednoduchšom sme dali výslednú správnu frakciu.

Odomknite denominátor správnej frakcie na multiplikátoroch.

Zapíšeme správnu frakciu vo forme súčtu najjednoduchších frakcií s neistými koeficientmi.

Vedieme k spoločnému menovateľa množstvo frakcií v pravej strane.

Nájdeme nedefinované koeficienty:

Buď rovné koeficienty s rovnakými stupňami z ľavého a pravotočivých značiek;

Buď nahradí špecifické (spravidla korene celkových hodnôt denominátora) x..

Odpoveď zapíšeme s prihliadnutím na celú časť zlomku.

Príklad 45.Odosielanie na najjednoduchšie
.

Rozhodnutie.Keďže táto frakčná racionálna funkcia je nesprávna, zdôrazňujeme celú časť:

1

= 1 +
.

Rozložte výslednú frakciu
na najjednoduchších. Pôvodne sa dekominátor rozloží na multiplikátoroch. Na to nájdete svoje korene podľa štandardného vzorca:

Píšeme rozklad frakčnej racionálnej funkcie na najjednoduchšie pomocou nedefinovaných koeficientov:

Dajte nám dať pravú časť rovnosti do všeobecného menovateľa:

Robíme systém, vyrovnania koeficientov s rovnakými stupňami v nuterátoroch ľavej a pravej frakcie:

Odpoveď:
.

Príklad 46.Odosielanie na najjednoduchšie
.

Rozhodnutie.Pretože táto frakcia je správna (t.j. stupeň nuterátora je menší ako stupeň denominátora), nie je potrebné vyčleniť celú časť. Šíriť denominátor frakcií na multiplikátoroch:.

Rozkladu tejto frakcie píšeme na najjednoduchšie pomocou neistých koeficientov:

Podľa schválenia by mali byť menovatelia najjednoduchších frakcií všetky druhydENTALERERS DENOMOTER:

. (2.2) Bolo by možné vytvoriť systém rovníc, vyrovnaním číselátorov ľavého a pravého frakcie, ale v tomto príklade bude výpočet príliš ťažkopádny. Nasledujúci príjem vám pomôže zjednodušiť: nahrádzame v numerátoch zase koreňom denominátora.

Pre x \u003d1:

Pre h.= ‑1:

Teraz určiť zostávajúce koeficienty ALEa Zbude stačiť o dosiahnutie koeficientov s vysokým stupňom a bezplatným členom. Môžu byť nájdené bez otváracích zátvoriek:

Na ľavej strane prvej rovnice je 0, pretože v numerátore ľavej frakcie (2.2) nie je základ a pravým zlomkom základu koeficient A. + C.. V ľavej časti druhej rovnice je 0, pretože v ľavom frakcii čitateľ (2.2), voľný člen je nula a pravá frakcia v (2.2) je bezplatný člen (- A. + B. + C. + D.). Máme:

Odpoveď:
.

Základné informácie z teórie

Definícia 4.1.

Polynóm J (x) z p [x] sa nazýva spoločný delič Polynómy G (x) a f (x) z p [x], ak f (x) a g (x) sú rozdelené bez zvyšku na J (X).

Príklad 4.1. Uvádzajú sa dva polynómy: (X) g (x) \u003d x 4 - 3x 3 - 4x 2 + 2x + 2 Î R [x]. Všeobecní rozdiely týchto polynómov: j 1 (x) \u003d x 3 - 4x 2 + 2 \u003d Î r [x], j 2 (x) \u003d(x 2 - 2x - 2) Î r [x], j 3 (x) \u003d(x - 1) Î r [x], J 4 (x) \u003d1 Î R [X]. (Kontrola!)

Definícia 4.2.

Najväčší spoločný rozdeľovač Odlišný od nulových polynómov F (x) a G (x) z p [x] sa nazývajú takto polynóm D (X) z p [x], čo je ich spoločný delič a je rozdelený na akýkoľvek iný spoločný rozdeľovač týchto polynómov.

Príklad 4.2. Pre polynómy z príkladu 4.1. f (x) \u003d x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 2x - 6 Î R [x], g (x) \u003d x 4 - 3x 3 - 4x 2 + 2x + 2 Î r [x] Najväčší spoločný delič bude polynómový d (x) \u003d j 1 (x) \u003d x 3 - 4x 2 + 2 Î r [x], t. To o polynómovom D (x) Je rozdelená na všetky ostatné spoločné rozdelenie J 2 (X), J 3 (X), J 4 (x).

Najväčší spoločný delič (uzol) je označený symbolom:

d (x) = (f (x), g (x)).

Najväčší spoločný delič existuje pre všetky dva polynómy. f (x), g (x) Î p [x] (g (x)¹ 0). Jeho existencia určuje algoritmus euclidaktorý je nasledovný.

Delim. f (x)na g (x). Zvyšok a súkromný, získaný v divízii, označujeme r 1 (X) a q 1 (x). Potom, ak r 1 (X)¹ 0, delim g (x) na r 1 (X),zdravie dostaneme r 2 (X) a súkromné q 2 (X) atď. Stupňov odnímateľných zvyškov r1 (x), R2 (X), ... sa zníži. Postupnosť celého negatívneho čísla je však obmedzená na spodnú časť čísla 0. Preto bude proces rozdelenia konečný, a prídeme na zvyšok r k (x), Na ktoré je predchádzajúci zostatok rozdelený r K - 1 (X). Celý proces rozdelenia môže byť napísaný takto:

f (x)= g (x) × q 1 (x) + R1 (X), prejsť r 1 (X)< deg g (x);

g (x)= r 1 (X)× q 2 (x) + R2 (X), prejsť r 2 (X) < deg r 1 (x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r K - 2 (x)= r K - 1 (X)× q k (x) + r k (x), prejsť r k (x)< deg r K - 1 (x);

r K - 1 (X) = r k (x) × q k +1 (x).(*)

Dokážeme to r k (x) Bude to najväčší spoločný rozdeľovač polynómov f (x)a g (x).

1) Ukážeme to r k (x) je spoločný delič Dátové polynómy.

Zamerajme sa na predposlednú rovnosť:

r K -2 (X)= r K -1 (x)× q k (x) + r k (x), alebo r K -2 (X)= r k (x) × q K +1 (X) × q k (x) + r k (x).

Jeho pravá časť je rozdelená do r k (x). V dôsledku toho je ľavá strana rozdelená r k (x), tí. r K -2 (X)deleno r k (x).

r K - 3 (x)= r K - 2 (x)× q K - 1 (x) + r K - 1 (X).

Tu r K - 1 (X)a r K - 2 (x)sú rozdelené do r k (x), Z toho vyplýva, že suma v pravej časti rovnosti je rozdelená r k (x).Znamená to, že ľavá časť rovnosti je rozdelená r k (x), tí. r K - 3 (x)deleno r k (x).Týmto spôsobom sa dostaneme z polynómov f (x)a g (x) sú rozdelené do r k (x). Ukázali sme teda r k (x) je spoločný delič Dátové polynómy (Definícia 4.1.).

2) Ukážeme to r k (x) deleno akýkoľvek iný Všeobecný delič j (x) polynómy f (x)a g (x),to znamená najväčší spoločný rozdeľovačtieto polynómy .

Otočte na prvú rovnosť: f (x)= G (x) × q 1 (X) + r 1 (X).

Byť d (x) - Niektoré spoločné delič f (x)a g (x). Potom podľa vlastností deliteľnosti, rozdiel f (x)– G (x) × q 1 (X)tiež rozdelené d (x), To znamená, že ľavá časť rovnosti f (x)– G (x) × q 1 (X)= r 1 (X)deleno d (x). Potom som. r 1 (X)bude zdieľať d (x). Pokračujúce uvažovanie podobným spôsobom, dôsledne spadol sa rovným, dostaneme to r k (x) deleno d (x). Potom podľa definícia 4.2.r k (x) bude najväčší spoločný rozdeľovač polynómy f (x)a g (x): d (x) = (f (x), g (x)) = r k (x).

Najväčší všeobecný delič z polynómov f (x)a g (x) je jediná s presnosťou multiplikátora - polynóm nulového stupňa, alebo môže byť povedané s presnosťou združenia(Definícia 2.2.).

Tak sme dokázali teorem:

Veta 4.1. / Algoritmus EVKLIDA.

Ak pre polynómy f (x), g (x) Î p [x] (g (x)¹ 0) verne systém rovnosti a nerovností(*), ten, nie rovný nulovým zvyškom, bude najväčším spoločným deličom týchto polynómov.

Príklad 4.3. Nájdite najväčší všeobecný delič z polynómov

f (x)\u003d x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 a g (x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2.

Rozhodnutie.

1shg.2shag.

x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1	x 3 -2x 2 + x -2		x 3 -2x 2 + x -2	7x 2 + 7
– (x 4 -2x 3 + x 2 - 2x)	x + 3 \u003d q 1 (x)	– (x 3 + x)	1/7x.-2/7 \u003d q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 - ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6)		-2x 2 -2 - ( -2x 2 -2)
7x 2 + 7 \u003d R1 (x)		0 \u003d R2 (x)

Zapíšeme štiepne kroky vo forme systému rovnosti a nerovností, ako je v (*) :

f (x)= g (x) × Q1 (x) + R1 (X), ° r 1 (X)< deg g (x);

g (x)= r 1 (X)× otázka 2 (x).

Podľa Veta 4.1./ Algoritmus euklide / posledný, nie rovný nulovým zvyškom R 1 (x) \u003d 7x 2 + 7 bude najväčším spoločným rozdeľovačom d (x) Tieto polynómy :

(f (x), g (x)) \u003d 7x 2 + 7.

Vzhľadom k tomu, deliteľnosť v kruhu polynómov je určená s presnosťou na asociáciu ( Nehnuteľnosť 2.11, Potom ako uzol môžete mať 7x 2 + 7, ale (7x 2 + 7) \u003d x 2 + 1.

Definícia 4.3.

Najväčší spoločný delič s vyšším koeficientom 1 sa volá normalizovaný najväčší spoločný rozdeľovač.

Príklad 4.4. V príklade 4.2. Najväčší spoločný delič bol nájdený. d (x) = (f (x), g (x)) \u003d 7x 2 + 7 polynómy f (x)\u003d x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 a g (x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2. Nahradenie na polynómovu spojené s ním d 1 (X) \u003d x 2 + 1, získavame normalizované najväčšie spoločné rozdelenie týchto polynómov ( f (x), g (x)) \u003d x 2 + 1.

Komentár.Pomocou euklidského algoritmu pri hľadaní najväčšieho generálneho deliča dvoch polynómov môžete vykonať nasledujúci záver. Najväčší všeobecný delič z polynómov f (x)a g (x)nezávisí od toho, či budeme zvážiť f (x)a g (x)nad poľa P. \\ t alebo nad jeho expanziou P '.

Definícia 4.4.

Najväčší spoločný rozdeľovač Polynómy F 1 (X), F 2 (X), F 3 (X), ... F N (X) Î P [x] nazývaný taký polynóm d (x)Î P [x], ktorý je ich spoločným deličom a je rozdelený na akýkoľvek iný spoločný deliteľ týchto polynómov.

Vzhľadom k tomu, že euklidský algoritmus je vhodný len na nájdenie najväčšieho všeobecného deliča dvoch polynómov, je potrebné preukázať nasledujúcu teorem na hľadanie najväčšieho spoločného deliča n z polynómov.

Euklidský algoritmus pre polynómy.Algoritmus EUCLID vám umožňuje nájsť najväčší spoločný deliteľ dvoch polynómov, t.j. Najväčší stupeň, na ktorom je rozdelený bez rovnováhy oboch polynómových údajov.
Algoritmus je založený na skutočnosti, že pre všetky dva polynómy z jednej premennej, \\ t f.(x.) I. g.(x.) existujú také polynómy q.(x.) I. r.(x.), odkázané na súkromné \u200b\u200ba rezíduí, \\ t

f.(x.) = g.(x.)∙q.(x.) + r.(x.), (*)

zároveň je stupeň zvyšku menší ako stupeň deliča, polynóm g.(x.) a okrem toho podľa týchto polynómov f.(x.) I. g.(x.) Súkromné \u200b\u200ba zvyšky sú určite. Ak je rezíduá rovnosti (*) r.(x.) je rovná nulovým polynómom (nula), potom hovoria, že polynóm f.(x.) deleno g.(x.) Žiadny zvyšok.
Algoritmus sa skladá z konzistentnej divízie s rezíduom najprv prvým danom polynómom, f.(x.), Na druhej strane, g.(x.):

f.(x.) = g.(x.)∙q. 1 (x.) + r. 1 (x.), (1)

potom, ak r. 1 (x.) ≠ 0, - druhý polynóm, \\ t g.(x.), Na prvý zvyšok - na polynóm r. 1 (x.):

g.(x.) = r. 1 (x.)∙q. 2 (x.) + r. 2 (x.), (2)

r. 1 (x.) = r. 2 (x.)∙q. 3 (x.) + r. 3 (x.), (3)

potom, ak r. 3 (x.) ≠ 0, - druhý zvyšok na treťom: \\ t

r. 2 (x.) = r. 3 (x.)∙q. 4 (x.) + r. 4 (x.), (4)

atď. Vzhľadom k tomu, v každom štádiu sa stupeň ďalšieho zvyšku znižuje, proces nemôže pokračovať na neurčito, takže v určitom štádiu budeme určite prísť do situácie, keď ďalšia n. + 1. zvyšok r. n. + 1 je nula:

r. n.–2 (x.) = r. n.–1 (x.)∙ Q. n. (x.) + r. n. (x.),	(n.)
r. n.–1 (x.) = r. n. (x.)∙ Q. n.+1 (x.) + r. n.+1 (x.),	(n.+1)
r. n.+1 (x.) = 0.	(n.+2)

Potom nie je rovný nulovým zvyškom r. n. A bude to najväčší spoločný delič prvotného páru polynómov f.(x.) I. g.(x.).
Ak je to kvôli rovnosti ( n. + 2) namiesto toho nahrádzať 0 r. n. + 1 (x.) v rovnosti ( n. + 1), potom - získaná rovnosť r. n. – 1 (x.) = r. n. (x.)∙q. n. + 1 (x.) Miesto r. n. – 1 (x.) - v rovnosti ( n.) ukazuje sa, že r. n. – 2 (x.) = r. n. (x.)∙q. n. + 1 (x.) q. n. (x.) + r. n. (x.), t.j. r. n. – 2 (x.) = r. n. (x.)(q. n. + 1 (x.) q. n. (x.) + 1), atď. V rovnosti (2), po substitúcii g.(x.) = r. n. (x.)∙Q.(x.) A konečne, od rovnosti (1) - čo f.(x.) = r. n. (x.)∙S.(x.), kde Q.a S.- niektoré polynómy. Touto cestou, r. n. (x.) - Spoločný rozdeľovač dvoch zdrojových polynómov a skutočnosť, že je to najväčší (t.j. najväčší možný stupeň) vyplýva z postupu algoritmu.
Ak najväčší spoločný delič dvoch polynómov neobsahuje premennú (t.j. číslo), pôvodné polynómy f.(x.) I. g.(x.) vzájomne jednoduchý.

Rozdelenie polynómov. Algoritmus euclida

§Ne. Divízia polynómov

Počas delenia sú polynómy predložené v kanonickej forme a nachádzajú sa v klesajúcich stupňov akéhokoľvek písmena, ku ktorému sa určuje stupeň rozdelenia a deliča. Stupeň deliteľného by mal byť väčší alebo rovný stupňu deliča.

Výsledkom rozdelenia je jediný pár polynómov - súkromný a zvyšok, ktorý musí byť spokojný s rovnosťou:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

Ak je polynómný stupeňn pn (x ) je deliteľná,

Polynómový stupeňm rk (x ) je delič (n ³ m)

Polynóm QN - M (X ) - Súkromné. Stupeň tohto polynómu sa rovná rozdielu stupňov rozdelenia a deliča,

A polynómný stupeňk rk (x ) Je zvyšok (k.< m ).

Že rovnosť

Pn (x) \u003d fm (x) × QN - M (X) + RK (X) (1.1)

malo by byť identicky identické, to znamená, že zostane spravodlivý pre všetky platné hodnoty x.

Opäť poznamenávame, že stupeň zostatkuk. by mal byť menší ako stupeň deličam. . Účel rezíduí - pridajte produkt z polynómovFM (x) a qn - m (x ) na polynóm rovný Delimo.

Ak je produkt polynómovFM (X) × QN - M (X ) dáva polynóm rovný rozdeleniu, potom zvyšokR. \u003d 0. V tomto prípade sa hovorí, že rozdelenie je vyrobené bez zvyšku.

Algoritmus rozdelenia polynómov bude zvážiť v konkrétnom príklade.

Nech je potrebné rozdeliť polynóm (5x5 + x3 + 1) na polynóm (X3 + 2).

1. Rozdeľujeme seniorový vták rozdeliť 5x5 na senior člen deliča X3:

Uvedené nižšie, že prvý termín je súkromný.

2. Pre nasledujúci (najskôr prvý) sa bokom vynásobia delič a tento výrobok sa odpočíta od rozdelenia:

5x5 + x3 + 1 - 5x2 (X3 + 2) \u003d X3 - 10x2 + 1.

3. Delimi môže byť reprezentovaný ako

5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 + 2) + (x3 - 10x2 +

Ak sa v akcii (2) bude stupeň rozdielu väčší alebo rovný stupňu deliča (ako v zvažovanom príklade), potom sa tento rozdiel opakuje vyššie uvedená akcia. Kde

1. Vyšší člen rozdielu X3 je rozdelený na senior člen deliča X3:

Ukázalo sa, že toto je druhý termín súkromného.

2. Pre ďalšie (teraz, sekundu), bokom násobí delič a tento produkt sa odpočíta od posledného rozdielu.

X3 - 10x2 + 1 - 1 x (x3 + 2) \u003d - 10x2 - 1.

3. Potom môže byť posledný rozdiel reprezentovaný ako

X3 - 10x2 + 1 \u003d 1 x (x3 + 2) + (-10x2 +

Ak je stupeň iného rozdielu menší ako stupeň deliča (ako pri opakovaní v akcii (2)), rozdelenie je doplnené s zvyškom rovnajúcim sa posledným rozdielom.

Ak chcete potvrdiť, že súkromné \u200b\u200bje množstvo (5x2 + 1), nahrádzame do rovnosti (1.2) výsledok transformácie polynómu X3 - 10x2 + 1 (pozri (1.3)): 5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (X3 + 2) + 1× (x3 + 2) + (- 10x2 - 1). Potom, po vykonaní spoločného faktora (x3 + 2) pre konzoly, konečne dostaneme

5x5 + x3 + 1 \u003d (x3 + 2) (5x2 + 1) + (- 10x2 - 1).

V súlade s rovnosťou (1.1) by sa mali považovať za výsledok rozdelenia polynómu (5x5 + x3 + 1) na polynóm (X3 + 2) so súkromným (5x2 + 1) a zvyškom (- 10x2 - 1).

Tieto akcie sa vyberajú vo forme systému nazývanej "rozdelenie rohu". Zároveň v zázname rozdelenia a následných rozdielov je žiaduce vyrábať členov sumy na všetkých klesajúcich stupňov argumentu bez preskakovania.

font-Veľkosť: 14,0PT; Výška linky: 150% "\u003e 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 + 10x2 5x2 + 1

x3 -10x2 + 0x + 1

X3 + 2.

-10x2 + 0x - 1

pozícia: relatívna; Z-index: 1 "\u003e Vidíme, že rozdelenie polynómov sa zníži na konzistentné opakovanie akcií:

1) na začiatku algoritmu, senior člen divízie, neskôr, starší člen nasledujúceho rozdielu je rozdelený na senior člen deliča;

2) výsledok rozdelenia dáva nasledujúci výraz v súkromí, ktorý je vynásobený deličom. Výsledný produkt je napísaný pod deliteľným alebo nasledujúcim rozdielom;

3) spodný polynóm sa odpočíta od horného polynómu a ak je stupeň získaného rozdielu väčší alebo rovný stupňu deličovaného, \u200b\u200bpotom sa s ním opakujú akcie 1, 2, 3.

Ak je stupeň prijatý rozdiel menší ako delišný titul, potom je rozdelenie dokončené. V tomto prípade je zvyšok posledný rozdiel.

Príklad №1

pozícia: Absolútna; Z-index: 9; vľavo: 0px; Margin-Left: 190px; Margin-Top: 0px; šírka: 2px; výška: 27px "\u003e

4x2 + 0x - 2

4x2 ± 2x ± 2

Tak, 6x3 + x2 - 3x - 2 \u003d (2x2 - x - 1) (3x + 2) + 2x.

Príklad číslo 2.

A3B2 + B5.

A3B2 A2B3.

- A2B3 + B5

± A2B3 ± AB4

AB4 + B5.

- AB4 B5.

Touto cestou , A5 + B5 \u003d (A + B) (A4 -A3B + A2B2 - AB3 + B4).

Príklad №3

pozícia: Absolútna; Z-index: 26; vľavo: 0px; okraj - vľavo: 132px; okraj - TOP: 24PX; šírka: 194px; výška: 2px "\u003e X5 - U5 X -

X5 x4U X4 + X3U + X2U2 + HU3 + U4

X3U2 - U5.

X3U2 ± x2U3

HU 4 - v 5

HU 4 - v 5

Tak, X5 - U5 \u003d (x - y) (x4 + x3u + x2U2 + x3 + U4).

Zovšeobecnenie výsledkov získaných v príkladoch 2 a 3 sú dve vzorce skrátenej množenia:

(X + A) (X2N-X2N -1 A + X2N-2 A2- ... + A2N) \u003d X 2N + 1 + A2N + 1;

(x - a) (x 2N + x 2N-1 A + x 2N-2 A2 + ... + A2N) \u003d x 2N + 1 - A2N + 1, kde n Î N..

Cvičenia

Vykonať akciu

1. (- 2x5 + x4 + 2x3 - 4x2 + 2X + 4): (X3 + 2).

Odpoveď: - 2x2 + x +2 - súkromné, 0 - zvyšok.

2. (X4 - 3x2 + 3X + 2): (X - 1).

Odpoveď: X3 + X2 - 2x + 1 Private, 3 - Zvyšok.

3. (x2 + x5 + x3 + 1): (1 + x + x2).

Odpoveď: X3 - X2 + X + 1 Private, 2x - Zvyšok.

4. (X4 + X2U2 + U4): (X2 + HU + U2).

Odpoveď: X2 - HU + U2- Private, 0 - Zvyšok.

5. (A 3 + B3 + C 3 - 3 ABC): (A + B + C).

Odpoveď: A 2 - (B + C) A + (B 2 - BC + C 2 ) - Súkromné, 0 - zvyšok.

§2. Nájdenie najväčšieho spoločného deliča dvoch polynómov

1. algoritmus euclida

Ak je každý z týchto dvoch polynómov rozdelený bez zvyšku na treťom, potom sa tento tretí polynóm nazýva spoločný rozdeľovač prvých dvoch.

Najväčší spoločný delič (uzol) dvoch polynómov sa nazýva ich celkový dilement.

Všimnite si, že ľubovoľný počet nerovných nulových je spoločným deliteľom dvoch akýchkoľvek polynómov. Preto sa akékoľvek nerovnaké nulové číslo nazýva triviálne spoločný delič týchto polynómov.

Algoritmus EUCLID ponúka postupnosť činností, ktoré alebo vedie k nájdeniu uzla dvoch polynómnych dát, alebo ukazuje, že takýto delič vo forme polynómu jeden alebo viac neexistuje.

Algoritmus EUCLIDEA je implementovaný ako sekvencia divízií. V prvom rozdelení je polynóm považovaný za deliteľný a menej - ako delider. Ak sú polynómy, pre ktoré sú umiestnené uzly, majú rovnaký stupeň, potom je delič a delider zvolený ľubovoľne.

Ak má s ďalším rozdelením, polynóm v zvyšku má titul väčší ako alebo rovný 1, potom sa delič stáva deliteľným a zvyšok je delič.

Ak sa s ďalším rozdelením polynómov, získa sa rovnováha rovná nule, potom sa nachádza uzol týchto polynómov. Sú to delič s posledným rozdelením.

Ak s ďalším rozdelením polynómov, zvyšok sa ukáže ako nerovnaká nula, potom nie je pre tieto polynómy žiadne uzol okrem triviálneho.

Príklad №1

Znížiť frakciu .

Rozhodnutie

Nájdeme uzol týchto polynómov, pomocou euklidovského algoritmu

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

- X2 - 3 - 2

pozícia: Absolútna; Z-index: 37; vľavo: 0px; Margin-Left: 182PX; okraj - TOP: 28PX; Šírka: 121PX; výška: 2px "\u003e2) x3 + 7x2 + 14x + 8 - x2 - 3x - 2

X3 + 3x2 + 2X - X - 4

3x2 + 9x + 6

3x2 + 9x + 6

Touto cestou,

pozícia: Absolútna; Z-index: 49; vľavo: 0px; Margin-Left: 209px; rozpätie - TOP: 6PX; Šírka: 112PX; výška: 20px "\u003e fONT-SIZE: 14,0PT; Výška linky: 150% "\u003e Odpoveď: Font-veľkosť: 14,0PT; výška linky: 150% "\u003e 2. Možnosti zjednodušenia výpočtov uzla v euklidovskom algoritme

Teorem

Po násobení rozdelenia sa číslo nie je rovné nule, súkromné \u200b\u200ba zvyšky sa vynásobí rovnakým číslom.

Dôkaz

Nech p byť deliteľný, f - delider, Q - Private, R - zostatok. Potom,

P \u003d f × Q + R.

Vynásobte túto identitu pre čísloa ¹ 0, dostaneme

p \u003d f × (a q) + a r,

kde polynóm A p možno považovať za deliteľné a polynómyq a A R - ako súkromný a zvyšok získaný v rozdelení polynómup na polynómové f . Tak, keď sa vynásobí rozdeliť¹ 0, súkromné \u200b\u200ba zvyšky sa tiež vynásobiaa, H. atď.

Corollary

Násobenie deliča podľa čísla¹ 0 je možné zobraziť ako násobenie deliteľného podľa čísla.

V dôsledku toho, keď sa vynásobí delič podľa čísla¹ 0 súkromné \u200b\u200ba zvyšok sa vynásobí.

Príklad číslo 2.

Nájsť súkromný q a zvyšok r Pri deliacich polynómoch

Font-veľkosť: 14,0PT; výška linky: 150% "\u003e Rozhodnutie

Prepnúť rozdelenie a delider na celé koeficienty násobiť, čo povedie k násobeniu o 6 hľadaných súkromnýchQ a zvyšok r . Potom vynásobte deliča na 5, čo povedie k násobeniu súkromných 6Q a zvyšok 6 r na. V dôsledku toho sa súkromný a zvyšok získaný v rozdelení polynómov s celočíselnými koeficientmi budú v čase vyhľadávaných hodnôt súkromnýchQ a zvyšok r získané delením týchto polynómov.

12U4 - 22H3 + 18x2U2 - 11x3U + 3x4 2OW2 - 3H + 5x2

12U4 ± 18H3 30x2U2 6U2 - 2H - 9x2 \u003d

- 4H3 - 12x2U2 - 11x3U + 3x4

± 4H3 6x2U2 ± 10x3U

- 18x2U2 - X3U + 3x4

± 18x2U2 27x3U ± 45x4

- 28x3U + 48x4 \u003d veľkosť písma: 14,0PT; výška linky: 150% "\u003e

Odpoveď: , .

Všimnite si, že ak sa nájde najväčší počet dátových delič, potom ho vynásobte na ľubovoľné číslo, nie rovné nule, tiež získame najväčší rozdeľovač týchto polynómov. Táto okolnosť umožňuje zjednodušiť výpočty v algoritme EUCLIDEA. Konkrétne, pred ďalším rozdelením, rozdelenie alebo delider možno vynásobiť číslami vybranými špeciálnym spôsobom, aby bol koeficient prvého termínu v súkromí mnohým celomerom. Ako je uvedené vyššie, násobenie rozdelenia a deliveru povedie k príslušnej zmene súkromného zvyšku, ale taká, že v dôsledku toho uzol týchto polynómov sa násobí na niektoré rovnaké nulové číslo, čo je prípustné.

Príklad číslo 3.

Znížiť frakciu .

Rozhodnutie

Použitie algoritmu EUCLIDE, dostaneme

pozícia: Absolútna; Z-index: 59; vľavo: 0px; Margin-Left: 220px; Margin-Top: 27px; šírka: 147px; výška: 2px "\u003e1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3X + 2 x4 + x3 - 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 veľkosť písma: 14,0PT; Výška linky: 150% "\u003e 4 1

2x3 + 6x2 + 3x - 2

veľkosť písma: 14,0PT; Výška riadkov: 150% "\u003e 2) 2 (X4 + X3 - 3x2 + 4) \u003d 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2 x - 2

- 4x3 - 9x2 + 2x + 8

± 4x3 ± 12x2 ± 6x veľkosť písma: 14,0PT; Výška linky: 150% "\u003e 4

3x2 + 8x + 4

3) 3 (2x3 + 6x2 + 3x - 2) \u003d 6x3 + 18x2 + 9x - 6 3x2 + 8x + 4

6x3 font-veľkosť: 14,0Pt "\u003e 16x2 font-veľkosť: 14,0PT"\u003e 8x 2x +