Používanie rovníc je v našom živote veľmi rozšírené. Používajú sa v mnohých výpočtoch, stavbe budov a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v dávnych dobách a odvtedy sa ich aplikácia iba zvýšila. Rovnice sú v matematike celkom bežné vyššie stupne s celočíselnými koeficientmi. Na vyriešenie tohto druhu rovnice je potrebné:

Určte racionálne korene rovnice;

Faktor polynomu na ľavej strane rovnice;

Nájdite korene rovnice.

Povedzme, že dostaneme rovnicu v nasledujúcom tvare:

Nájdeme všetky jeho skutočné korene. Vynásobte ľavú a pravú stranu rovnice \

Zmeniť premenné \

Získali sme teda redukovanú rovnicu štvrtého stupňa, ktorá je riešená podľa štandardného algoritmu: skontrolujeme delitele, vykonáme delenie a v dôsledku toho zistíme, že rovnica má dva skutočné korene \ a dva komplexné . Na našu rovnicu štvrtého stupňa dostaneme nasledujúcu odpoveď:

Kde môžete vyriešiť rovnicu vyšších stupňov s online riešiteľom?

Rovnicu môžete vyriešiť na našom webe https: // site. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Stačí, ak zadáte svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa, ako vyriešiť rovnicu na našom webe. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pripojte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.

Trieda: 9

Základné ciele:

1. Upevniť koncept celej racionálnej rovnice th.
2. Sformulujte hlavné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov (č > 3).
3. Naučiť základné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov.
4. Naučiť podľa typu rovnice určiť najviac efektívna metóda jeho rozhodnutia.

Formy, metódy a pedagogické techniky, ktoré učiteľ používa v lekcii:

• Systém prednášky a seminárov (prednášky - výklad nového materiálu, semináre - riešenie problémov).
• Informačné a komunikačné technológie (frontálny prieskum, ústna práca s triedou).
• Diferencované učenie, skupinové a individuálne formy.
• Využitie výskumnej metódy vo vyučovaní, zameranej na rozvoj matematického aparátu a myslenia každého konkrétneho žiaka.
• Tlačený materiál - individuálny krátka synopsa hodina (základné pojmy, vzorce, tvrdenia, prednáškový materiál je komprimovaný vo forme diagramov alebo tabuliek).

Plán lekcie:

1. Organizačný čas.
   Účel etapy: zahrnúť študentov do vzdelávacích aktivít, určiť obsah hodiny.
2. Aktualizácia znalostí študentov.
   Účel etapy: aktualizovať znalosti študentov o predtým študovaných príbuzných témach
3. Štúdium Nová téma(prednáška). Účel etapy: sformulovať hlavné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov (č > 3)
4. Zhrnutie.
   Účel etapy: ešte raz zvýraznite kľúčové body v materiáli študovanom v lekcii.
5. Domáca úloha.
   Etapa cieľ: formulovať domáca úloha pre študentov.

Zhrnutie lekcie

1. Organizačný moment.

Formulácia témy hodiny: „Rovnice najvyšších stupňov. Metódy ich riešenia “.

2. Aktualizácia znalostí študentov.

Teoretický prieskum - konverzácia. Opakovanie niektorých predtým študovaných informácií z teórie. Študenti formulujú základné definície a formulujú potrebné vety. Uvádzajú sa príklady na preukázanie úrovne znalostí získaných predtým.

• Pojem rovnice v jednej premennej.
• Pojem koreňa rovnice, riešenie rovnice.
• Koncept lineárna rovnica s jednou premennou, koncept kvadratickej rovnice v jednej premennej.
• Pojem ekvivalencie rovníc, dôsledok rovnice (koncept cudzích koreňov), prechod nie dôsledkom (prípad straty koreňov).
• Pojem celého racionálneho výrazu s jednou premennou.
• Pojem celej racionálnej rovnice n-tretí stupeň. Štandardný tvar celej racionálnej rovnice. Znížená celá racionálna rovnica.
• Prechod na množinu rovníc nižších stupňov faktoringom pôvodnej rovnice.
• Polynomický koncept n-th stupeň od X... Bezoutova veta. Dôsledky Bezoutovej vety. Koreňové vety ( Z-korene a Q-korene) celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi (redukovanými, respektíve neredukovanými).
• Hornerova schéma.

3. Štúdium novej témy.

Budeme uvažovať celú racionálnu rovnicu n-th stupeň štandardnej formy s jednou neznámou premennou x: P n (x)= 0, kde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- polynóm n-th stupeň od X, a n ≠ 0. Ak a n = 1, potom sa takáto rovnica nazýva redukovaná celá racionálna rovnica n-tretí stupeň. Zvážte takéto rovnice pre rôzne hodnoty n a uveďte hlavné metódy ich riešenia.

n= 1 - lineárna rovnica.

n= 2 - kvadratická rovnica. Diskriminačný vzorec. Vzorec na výpočet koreňov. Vietova veta. Výber celého štvorca.

n= 3 - kubická rovnica.

Metóda zoskupovania.

Príklad: x 3 - 4x 2 - x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Reverzná kubická rovnica tvaru sekera 3 + bx 2 + bx + a= 0. Riešite kombináciou výrazov s rovnakými koeficientmi.

Príklad: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Výber koreňov Z na základe vety. Hornerova schéma. Pri aplikácii tejto metódy je potrebné zdôrazniť, že hľadanie je v tomto prípade konečné a korene vyberáme podľa určitého algoritmu v súlade s vetou o Z-korene redukovanej celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Príklad: X 3 – 9X 2 + 23X- 15 = 0. Uvedená rovnica. Poznamenajme si delitele voľného termínu ( + 1; + 3; + 5; + 15). Použime Hornerovu schému:

	X 3	X 2	X 1	X 0	výkon
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - koreň
	X 2	X 1	X 0

Dostaneme ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber koreňov Q na základe vety. Hornerova schéma. Pri aplikácii tejto metódy je potrebné zdôrazniť, že enumerácia je v tomto prípade konečná a korene vyberáme podľa určitého algoritmu v súlade s vetou o Q-korene neredukovateľnej celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Príklad: 9 X 3 + 27X 2 – X- 3 = 0. Rovnica sa nezníži. Poznamenajme si delitele voľného termínu ( + 1; + 3). Zapíšeme si delitele koeficientu pri najvyššej sile neznámeho. ( + 1; + 3; + 9) Preto budeme hľadať korene medzi hodnotami ( + 1; + ; + ; + 3). Použime Hornerovu schému:

	X 3	X 2	X 1	X 0	výkon
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 - nie root
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 -1 = -19	-1 x (-19) -3 = 16 ≠ 0	-1 - nie root
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	koreň
	X 2	X 1	X 0

Dostaneme ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Pre pohodlie výpočtu pri výbere Q -korene môže byť vhodné vykonať zmenu premennej, prejsť na redukovanú rovnicu a vybrať Z -korene.

• Ak je voľný termín 1

.

• Ak môžete použiť náhradu formulára y = kx

.

Formula Cardano. Existuje univerzálna metóda na riešenie kubických rovníc - toto je Cardano vzorec. Tento vzorec je spojený s menami talianskych matematikov Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipiona del Ferro (1465-1526). Tento vzorec je mimo rozsahu nášho kurzu.

n= 4 - rovnica štvrtého stupňa.

Metóda zoskupovania.

Príklad: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Variabilný spôsob výmeny.

• Biquadratova rovnica tvaru sekera 4 + bx 2 + s = 0 .

Príklad: X 4 + 5X 2 - 36 = 0. Striedanie r = X 2. Odtiaľ r 1 = 4, r 2 = -9. Preto X 1,2 = + 2 .

• Reverzná rovnica štvrtého stupňa tvaru sekera 4 + bx 3 + c X 2 + bx + a = 0.

Riešime kombináciou výrazov s rovnakými koeficientmi nahradením formulára

• sekera 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Zovšeobecnená návratová rovnica štvrtého stupňa vo formulári sekera 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Nahradenie celkového pohľadu. Niektoré štandardné náhrady.

Príklad 3 . Nahrádza celkový pohľad(vyplýva z tvaru konkrétnej rovnice).

n = 3.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Osadenie Q-koreňov n = 3.

Všeobecný vzorec. Existuje univerzálna metóda na riešenie rovníc štvrtého stupňa. Tento vzorec je spojený s menom Ludovico Ferrari (1522-1565). Tento vzorec je mimo rozsahu nášho kurzu.

n > 5 - rovnice piateho a vyššieho stupňa.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber koreňov Z na základe vety. Hornerova schéma. Algoritmus je podobný tomu, ktorý je uvažovaný vyššie pre n = 3.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Osadenie Q-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Algoritmus je podobný tomu, ktorý je uvažovaný vyššie pre n = 3.

Symetrické rovnice. Akákoľvek návratová rovnica nepárneho stupňa má koreň X= -1 a po jeho faktorizácii na faktory získame, že jeden faktor má formu ( X+ 1) a druhým faktorom je návratová rovnica párneho stupňa (jeho stupeň je o jeden menší ako stupeň pôvodnej rovnice). Akákoľvek návratová rovnica párneho stupňa spolu s koreňom formulára x = φ obsahuje aj koreň druhu. Pomocou týchto tvrdení problém vyriešime znížením stupňa študovanej rovnice.

Variabilný spôsob výmeny. Použitie uniformity.

Neexistuje žiadny všeobecný vzorec na riešenie celých rovníc piateho stupňa (ukázali to taliansky matematik Paolo Ruffini (1765-1822) a nórsky matematik Niels Henrik Abel (1802-1829)) a vyšších stupňov (toto ukázal Francúzsky matematik Evariste Galois (1811-1832))).

• Pripomeňme znova, že v praxi je možné použiť kombinácie metódy uvedené vyššie. Je vhodné prejsť na množinu rovníc nižších stupňov o faktorizácia pôvodnej rovnice.
• Široko používané v praxi zostalo mimo rozsah našej dnešnej diskusie. grafické metódy riešenie rovníc a približné metódy riešenia rovnice vyšších stupňov.
• Existujú situácie, keď rovnica nemá žiadne korene R.
Potom sa roztok zredukuje na preukázanie, že rovnica nemá korene. Na dôkaz toho analyzujeme správanie uvažovaných funkcií v intervaloch monotónnosti. Príklad: Rovnica X 8 – X 3 + 1 = 0 nemá korene.
• Použitie vlastnosti monotónnosti funkcií
... Pri používaní existujú situácie rôzne vlastnosti funkcie vám umožňuje zjednodušiť úlohu.
Príklad 1: rovnica X 5 + 3X- 4 = 0 má jeden koreň X= 1. Vlastnosťou monotónnosti analyzovaných funkcií neexistujú žiadne ďalšie korene.
Príklad 2: Rovnica X 4 + (X- 1) 4 = 97 má korene X 1 = -2 a X 2 = 3. Po analýze správania sa príslušných funkcií v intervaloch monotónnosti usudzujeme, že neexistujú žiadne ďalšie korene.

4. Zhrnutie.

Zhrnutie: Teraz sme zvládli základné metódy riešenia rôznych rovníc vyšších stupňov (pre n > 3). Našou úlohou je naučiť sa efektívne používať vyššie uvedené algoritmy. V závislosti od typu rovnice sa budeme musieť naučiť určiť, ktorá metóda riešenia je v tomto prípade najefektívnejšia, a tiež správne použiť zvolenú metódu.

5. Domáca úloha.

: s. 7, s. 164-174, č. 33-36, 39-44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Možné témy správ alebo abstraktov na túto tému:

• Formula Cardano
• Grafická metóda na riešenie rovníc. Príklady riešenia.
• Metódy približného riešenia rovníc.

Analýza asimilácie materiálu a záujmu študentov o tému:

Prax ukazuje, že študentov predovšetkým zaujíma možnosť náboru Z-korene a Q-korene rovníc pomocou pomerne jednoduchého algoritmu pomocou Hornerovej schémy. Študenti sa zaujímajú aj o rôzne štandardné typy variabilných substitúcií, ktoré môžu problém výrazne zjednodušiť. Metódy grafického riešenia sú spravidla obzvlášť zaujímavé. V takom prípade môžete úlohy navyše analyzovať grafická metóda riešenie rovníc; diskutovať všeobecná forma grafika pre polynóm 3, 4, 5 stupňov; analyzujte, ako počet koreňov rovníc 3, 4, 5 stupňov súvisí s typom zodpovedajúceho grafu. Nasleduje zoznam kníh, v ktorých nájdete ďalšie informácie o tejto téme.

Bibliografia:

1. Vilenkin N.Ya. a kol. „Algebra. Učebnica pre žiakov 9. ročníka s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Vzdelávanie, 2007- 367 s.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F."Za stránkami učebnice matematiky." Aritmetika. Algebra. Ročník 10-11 “- M., Vzdelávanie, 2008- 192 s.
3. Vygodsky M. Ya.„Príručka matematiky“ - M., AST, 2010 - 1055 s.
4. Galitsky M.L."Zbierka problémov v algebre." Výučba pre ročníky 8-9 s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Vzdelávanie, 2008- 301 s.
5. Zvavich L.I. a kol. „Algebra a začiatok analýzy. 8-11 cl. Príručka pre školy a triedy s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Bustard, 1999- 352 s.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Úlohy z matematiky pripraviť sa na písomnú skúšku v 9. ročníku“ - M., Vzdelávanie, 2007 - 112 s.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Tematické testy na systematizáciu znalostí z matematiky“ časť 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 s.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Tematické testy na systematizáciu znalostí z matematiky“ časť 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 s.
9. Ivanov A.P."Testy a." testovacie papiere matematika. Výučba “. - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 s.
10. Leibson K.L.„Zbierka praktické úlohy matematika. Diel 2-9 ročník “- M., MCNMO, 2009- 184 s.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.„Algebra. Doplňujúce kapitoly k školskej učebnici 9. ročníka. Učebnica pre študentov v školách a triedach s pokročilým štúdiom matematiky. “ - M., Vzdelávanie, 2006 - 224 s.
12. Mordkovich A.G.„Algebra. Hĺbková štúdia. 8. ročník. Učebnica “ - M., Mnemosina, 2006 - 296 s.
13. Savin A.P. “encyklopedický slovník mladý matematik “ - M., Pedagogika, 1985 - 352 s.
14. Survillo G.S., Simonov A.S. “Didaktické materiály v algebre pre 9. ročník s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Vzdelávanie, 2006- 95 s.
15. Chulkov P.V.„Rovnice a nerovnice v kurze školského matematika. Prednášky 1–4 ” - M., 1. september 2006 - 88 s.
16. Chulkov P.V."Rovnice a nerovnice v kurze školského matematika." Prednášky 5–8 ” - M., 1. september 2009 - 84 s.

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Titulky k snímkam:

Rovnice vyšších stupňov (korene polynómu v jednej premennej).

Plánujte prednášky. Č. 1 Rovnice najvyšších stupňov v školskom kurze matematiky. Č. 2 Štandardná forma polynómu. Č. 3. Integrálne korene polynómu. Hornerova schéma. Č. 4. Frakčné korene polynómu. Č. 5. Rovnice tvaru: (x + a) (x + b) (x + c)… = A č. 6. Návratové rovnice. Č. 7. Homogénne rovnice. Č. 8. Metóda nedefinovaných koeficientov. Č. 9. Funkčne - grafická metóda. Č. 10. Vietove vzorce pre rovnice vyšších stupňov. № 11. Neštandardné metódy na riešenie rovníc vyšších stupňov.

Rovnice najvyšších stupňov v školskom kurze matematiky. 7. ročník. Štandardná forma polynómu. Akcie s polynómami. Faktorovanie polynómu. V bežnej triede 42 hodín, v špeciálnej triede 56 hodín. 8 špeciálna trieda. Celočíselné korene polynómu, delenie polynómov, rekurentné rovnice, rozdiel a súčet n - tých mocnin binomických, metóda nedefinovaných koeficientov. Yu.N. Makarychev „Ďalšie kapitoly k školský kurz Algebra 8. ročníka ", ML Galitskiy Zbierka úloh o algebre 8. - 9. ročník". 9 špeciálna trieda. Racionálne korene polynómu. Zovšeobecnené návratové rovnice. Vietove vzorce pre rovnice vyšších stupňov. N. Ya. Vilenkin „Algebra 9. stupňa s hĺbkovou štúdiou. 11 špeciálna trieda. Identita polynómov. Polynom vo viacerých premenných. Funkčno - grafická metóda na riešenie rovníc vyšších stupňov.

Štandardná forma polynómu. Polynom P (x) = a ⁿ x ⁿ + a n-1 x n-1 +… + a₂x ² + a₁x + a₀. Hovorí sa mu štandardný polynóm. a n x ⁿ je najvyšší člen polynómu a n je koeficient najvyššieho členu polynómu. Pre a n = 1 sa P (x) nazýva redukovaný polynóm. a ₀ je voľný člen polynómu P (x). n je stupeň polynómu.

Celočíselné korene polynómu. Hornerova schéma. Veta č. 1. Ak je celé číslo a koreňom polynómu P (x), potom a je deliteľom voľného výrazu P (x). Príklad č. 1. Vyriešte rovnicu. X⁴ + 2x³ = 11x² - 4x - 4 Uveďme rovnicu do štandardného tvaru. X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. Máme polynóm P (x) = x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 Delenia voľného členu: ± 1, ± 2, ± 4. x = 1 koreň rovnice, pretože P (1) = 0, x = 2 je koreň rovnice, pretože P (2) = 0 Bezoutova veta. Zostávajúca časť delenia polynómu P (x) dvojčlenom (x - a) sa rovná P (a). Dôsledok. Ak a je koreň polynómu P (x), potom P (x) je deliteľné (x - a). V našej rovnici je P (x) deliteľné (x - 1) a (x - 2), a teda (x - 1) (x - 2). Pri delení P (x) o (x ² - 3x + 2) v kvociente dostaneme trinomické x ² + 5x + 2 = 0, ktoré má korene x = ( - 5 ± √17) / 2

Frakčné korene polynómu. Veta č. 2. Ak p / g je koreň polynómu P (x), potom p je deliteľ voľného členu, g je deliteľ koeficientu vedúceho členu P (x). Príklad č. 2. Vyriešte rovnicu. 6x³ - 11x² - 2x + 8 = 0. Voľne deliteľné delitele: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Žiadne z týchto čísel nespĺňa rovnicu. Neexistujú žiadne neporušené korene. Prirodzené delitele koeficientu vedúceho pojmu P (x): 1, 2, 3, 6. Možné zlomkové korene rovnice: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Zaškrtnutím sa uistíme, že P (4/3) = 0. X = 4/3 je koreň rovnice. Podľa Hornerovej schémy delíme P (x) na (x - 4/3).

Príklady pre nezávislé rozhodnutie... Vyriešte rovnice: 9x³ - 18x = x - 2, x ³ - x ² = x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 = 0, X ⁴ - 2x³ + 2x - 1 = 0, X⁴ - 3x² + 2 = 0, x ⁵ + 5x³ - 6x² = 0, x ³ + 4x² + 5x + 2 = 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x - 12 = 0 4x³ + x ² - x + 5 = 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 = 0. Odpovede: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; 1.

Rovnice tvaru (x + a) (x + b) (x + c) (x + d)… = A. Príklad č. 3. Vyriešte rovnicu (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24. a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 a + d = b + c. Prvú zátvorku vynásobíme štvrtou a druhú treťou. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) = 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) = 24. Nech x ² + 5x + 4 = y , potom y (y + 2) = 24, y² + 2y - 24 = 0 y₁ = - 6, y₂ = 4,x² + 5x + 4 = -6 alebo x² + 5x + 4 = 4,x² + 5x + 10 = 0, D

Príklady nezávislého riešenia. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 = 0, x (x + 3 ) (x + 5) (x + 8) + 56 = 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) = 24, (x - 3) (x -4) ( x - 5) (x - 6) = 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 = 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 = 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) = 4, indikácia: x + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 = (x + 4) (x + 5) Odpovede: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -1; -4 ± √3.

Reflexné rovnice. Definícia č. 1. Rovnica tvaru: ax⁴ + v ³ + cx ² + v + a = 0 sa nazýva návratová rovnica štvrtého stupňa. Definícia číslo 2. Rovnica tvaru: ax⁴ + inx ³ + cx ² + bx + k² a = 0 sa nazýva zovšeobecnená návratová rovnica štvrtého stupňa. k² a: a = k²; kv: v = k. Príklad č. 6. Vyriešte rovnicu x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. Vydeľte obe strany rovnice x ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² = 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 = 0. Nech x + 1 / x = r. Vyrovnáme obe strany rovnosti. x ² + 2 + 1 / x ² = y², x ² + 1 / x ² = y² - 2. Dostaneme kvadratickú rovnicu y² - 7y + 12 = 0, y₁ = 3, y₂ = 4,x + 1 / x = 3 alebo x + 1 / x = 4. Získame dve rovnice: x ² - 3x + 1 = 0, x ² - 4x + 1 = 0. Príklad č.7. 3x⁴ - 2x³ - 31x² + 10x + 75 = 0,75: 3 = 25, 10: ( - 2) = -5, (-5) ² = 25. Podmienka zovšeobecnenej návratovej rovnice je splnená k = -5. Riešené podobne ako v príklade č. 6. Vydeľte obe strany rovnice x ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² = 0,3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 = 0. Nech x - 5 / x = y, dáme štvorec obe strany rovnosti x ² - 10 + 25 / x ² = y², x ² + 25 / x ² = y² + 10. Máme kvadratickú rovnicu 3y² - 2y - 1 = 0, y₁ = 1, y₂ = - 1 / 3. x - 5 / x = 1 alebo x - 5 / x = -1/3. Získame dve rovnice: x ² - x - 5 = 0 a 3x² + x - 15 = 0

Príklady nezávislého riešenia. 1,78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 = 0, 2,x - 5x³ + 10x² - 10x + 4 = 0, 3,x ⁴ - x ³ - 10x² + 2x + 4 = 0, 4,6x⁴ + 5x³ - 38x² - 10x + 24 = 0,5 x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0,6 x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 = 0. Odpovede: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Homogénne rovnice. Definícia. Rovnica tvaru a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ = 0 sa nazýva homogénna rovnica tretieho stupňa vzhľadom na u v. Definícia. Rovnica tvaru a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ = 0 sa nazýva homogénna rovnica štvrtého stupňa vzhľadom na u v. Príklad č. 8. Vyriešte rovnicu (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x⁶ = 0 Homogénna rovnica tretí stupeň vzhľadom na u = x ²- x + 1, v = x ². Obe strany rovnice delíme x ⁶. Predtým sme skontrolovali, že x = 0 nie je koreňom rovnice. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 = 0. (x ² - x + 1) / x ²) = y, y³ + 2y - 3 = 0, y = 1 koreň rovnice. Polynomial P (x) = y³ + 2y - 3 delíme y - 1 podľa Hornerovej schémy. V kvociente dostaneme trojčlen, ktorý nemá korene. Odpoveď: 1.

Príklady nezávislého riešenia. 1,2 (x² + 6x + 1) ² + 5 (X² + 6X + 1) (X² + 1) + 2 (X² + 1) ² = 0, 2. (X + 5) ⁴ - 13X² (X + 5) ² + 36X⁴ = 0, 3,2 (X² + X + 1) ² - 7 (X - 1) ² = 13 (X³ - 1), 4,2 (X -1) ⁴ - 5 (X² - 3X + 2) ² + 2 ( x - 2) ⁴ = 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² = 0, odpovede: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Bez koreňov.

Metóda nedefinovaných koeficientov. Veta č. 3. Dva polynómy P (x) a G (x) sú identické vtedy a len vtedy, ak majú rovnaký stupeň a koeficienty rovnakých stupňov premennej v oboch polynómoch sú rovnaké. Príklad č. 9. Faktor polynómu y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1.y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 = (y2 + wu + c) (y2 + v₁y + c₁) = y ⁴ + y³ (b₁ + b) + y² ( c₁ + c + b₁v) + y (slnko ₁ + sv ₁) + ss ₁. Podľa vety č. 3 máme sústavu rovníc: s₁ + s = -4, s₁ + s + s₁v = 5, ss ₁ + sv ₁ = -4, ss ₁ = 1. Systém je potrebné riešiť v celých číslach . Posledná rovnica v celých číslach môže mať riešenia: c = 1, c₁ = 1; c = -1, c₁ = -1. Nech с = с ₁ = 1, potom z prvej rovnice máme в₁ = -4 –в. Nahradíme v druhej rovnici systému в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 alebo в = -3, в₁ = -1. Tieto hodnoty zodpovedajú tretej rovnici v systéme. S c = c ₁ = -1 D

Príklad č. 10. Faktor polynómu y³ - 5y + 2. y³ -5y + 2 = (y + a) (y² + wu + c) = y³ + (a + b) y² + (ab + c) y + ac. Máme sústavu rovníc: a + b = 0, ab + c = -5, ac = 2. Možné celočíselné riešenia tretej rovnice: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1; -2). Nech a = -2, c = -1. Z prvej rovnice systému в = 2, ktorá spĺňa druhú rovnicu. Nahradením týchto hodnôt do požadovanej rovnosti dostaneme odpoveď: (y - 2) (y² + 2y - 1). Druhý spôsob. У³ - 5у + 2 = у³ -5у + 10 - 8 = (у³ - 8) - 5 (у - 2) = (у - 2) (у² + 2у -1).

Príklady nezávislého riešenia. Faktor polynómov: 1. y⁴ + 4y³ + 6y² + 4y -8, 2.y⁴ -4y³ + 7y² -6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4.y⁴ -8y³ + 24y² -32y + 15,5. Vyriešte rovnicu použitím metódy faktorizácie: a) x ⁴ -3x² + 2 = 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² = 0. Odpovede: 1) (y² + 2y -2) (y² + 2y +4), 2) (y - 1) ² (y² -2y + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (y - 1) (y - 3) (y² - 4y + 5) , 5a) ± 1; ± √2, 5b) 0; 1.

Funkčno - grafická metóda na riešenie rovníc vyšších stupňov. Príklad č. 11. Vyriešte rovnicu x ⁵ + 5x -42 = 0. Funkcia y = x ⁵ sa zvyšuje, funkcia y = 42 - 5x klesá (k

Príklady nezávislého riešenia. 1. Použitím vlastnosti monotónnosti funkcie dokážte, že rovnica má jeden koreň, a nájdite tento koreň: a) x ³ = 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Odpovede: a) 2, b) √2. 2. Vyriešte rovnicu pomocou funkčno -grafickej metódy: a) x = ³ √x, b) l x l = ⁵ √x, c) 2 = 6 - x, d) (1/3) = x +4, d) (x - 1) ² = log₂ x, e) log = (x + ½) ², g) 1 - √x = ln x, h) √x - 2 = 9 / x. Odpovede: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, e) 1; 2, f) 1, g) 1, h) 9.

Vietove vzorce pre rovnice vyšších stupňov. Veta 5 (Vietova veta). Ak rovnica a x ⁿ + a x ⁿ + ... + a₁x + a₀ má n rôznych skutočných koreňov x ₁, x ₂, ..., x, potom spĺňajú rovnosti: Pre kvadratická rovnica ax² + bx + c = o: x ₁ + x ₂ = -v / a, x₁x ₂ = c / a; Pre kubickú rovnicu a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ = o: x ₁ + x ₂ + x ₃ = -a₂ / a₃; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ = a₁ / a₃; х₁х₂х ₃ = -а₀ / а₃; ..., pre rovnicu n -tého stupňa: x ₁ + x ₂ + ... x = - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + xx = a / a, ..., x₁x ₂ ... · x = (- 1) ⁿ a₀ / a. Platí aj obrátená veta.

Príklad č. 13. Napíšte kubickú rovnicu, ktorej korene sú inverzné ku koreňom rovnice x ³ - 6x² + 12x - 18 = 0, a koeficient na x ³ je 2. 1. Viétovou vetou pre kubickú rovnicu máme: x ₁ + x ₂ + x ₃ = 6, x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ = 12, x₁x₂x ₃ = 18. 2. Zostavíme recipročné čísla daných koreňov a použijeme na ne konverzačná veta Vieta. 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ = (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂x ₃ = 12/18 = 2/3. 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x ₃ + 1 / x₂x ₃ = (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂x ₃ = 6/18 = 1/3, 1 / x₁x₂x ₃ = 1/18. Dostaneme rovnicu x ³ + 2 / 3x² + 1 / 3x - 1/18 = 0 · 2 Odpoveď: 2x³ + 4 / 3x² + 2 / 3x -1/9 = 0.

Príklady nezávislého riešenia. 1. Napíšte kubickú rovnicu, ktorej korene sú inverzné k druhou mocnine koreňov rovnice x ³ - 6x² + 11x - 6 = 0, a koeficient pri x ³ je 8. Odpoveď: 8x³ - 98 / 9x² + 28 / 9x -2/9 = 0. Neštandardné metódy na riešenie rovníc vyšších stupňov. Príklad č. 12. Vyriešte rovnicu x ⁴ -8x + 63 = 0. Zapracujte ľavú stranu rovnice. Vyberme presné štvorce. X⁴ - 8x + 63 = (x ⁴ + 16x² + 64) - (16x² + 8x + 1) = (x² + 8) ² - (4x + 1) ² = (x ² + 4x + 9) (x ² - 4x + 7) = 0. Obidva diskriminátory sú negatívne. Odpoveď: bez koreňov.

Príklad č. 14. Vyriešte rovnicu 21x³ + x² - 5x - 1 = 0. Ak je voľný člen rovnice ± 1, rovnica sa transformuje na redukovanú rovnicu nahradením x = 1 / r. 21 / у³ + 1 / у² - 5 / у - 1 = 0 · у³, у³ + 5у² -у - 21 = 0. у = -3 je koreň rovnice. (y + 3) (y² + 2y -7) = 0, y = -1 ± 2√2. x ₁ = -1/3, x ₂ = 1 / -1 + 2√2 = (2√2 + 1) / 7, X₃ = 1 / -1 -2√2 = (1-2√2) / 7 ... Príklad č. 15. Vyriešte rovnicu 4x³ -10x² + 14x - 5 = 0. Vynásobte obe strany rovnice 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 = 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 = 0. Zavedieme novú premennú y = 2x, dostaneme redukovanú rovnicu y³ - 5y² + 14y -10 = 0, y = 1 je koreň rovnice. (y - 1) (y² - 4 roky + 10) = 0, D

Príklad č. 16. Dokážte, že rovnica x ⁴ + x ³ + x - 2 = 0 má jeden kladný koreň. Nech f (x) = x ⁴ + x ³ + x - 2, f ‘(x) = 4x³ + 3x² + 1> o pre x> o. Funkcia f (x) sa zvyšuje pre x> o a hodnota f (o) = -2. Rovnica má evidentne jeden kladný koreň ch.d. Príklad č. 17. Vyriešte rovnicu 8x (2x² - 1) (8x⁴ - 8x² + 1) = 1. IF Sharygin „Voliteľný predmet z matematiky pre ročník 11“ .M. Osvietenie 1991 p90. 1. l x l 1 2x² - 1> 1 a 8x⁴ -8x² + 1> 1 2. Nahradenie urobte x = útulné, y € (0; n). Pre ostatné hodnoty y sa hodnoty x opakujú a rovnica nemá viac ako 7 koreňov. 2x² - 1 = 2 cos²y - 1 = cos2y, 8x⁴ - 8x² + 1 = 2 (2x² - 1) ² - 1 = 2 cos²2y - 1 = cos4y. 3. Rovnica sa stane 8 cosycos2ycos4y = 1. Vynásobte obe strany rovnice siny. 8 sinycosycos2ycos4y = siny. Použitie 3 -krát podľa vzorca dvojitý roh dostaneme rovnicu sin8y = siny, sin8y - siny = 0

Dokončenie riešenia príkladu č. 17. Použite vzorec pre sínusový rozdiel. 2 sin7y / 2 cos9y / 2 = 0. Berúc do úvahy, že y € (0; n), y = 2nk / 3, k = 1, 2, 3 alebo y = n / 9 + 2nk / 9, k = 0, 1, 2, 3. Návrat k premennej x, dostaneme odpoveď: Cos2 n / 7, cos4 n / 7, cos6 n / 7, cos n / 9, ½, cos5 n / 9, cos7 n / 9. Príklady nezávislého riešenia. Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré rovnica (x ² + x) (x ² + 5x + 6) = a má presne tri korene. Odpoveď je 16. septembra. Tip: Vytvorte graf na ľavej strane rovnice. F max = f (0) = 9/16. Priamka y = 9/16 pretína graf funkcie v troch bodoch. Vyriešte rovnicu (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² = 55. Odpoveď: -4; 2. Vyriešte rovnicu (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ = 16. Odpoveď: -5; -3. Vyriešte rovnicu 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² = 13 (x ³ - 1). Odpoveď: -1; -1/2, 2; 4 Nájdite počet skutočných koreňov rovnice x ³ -12x + 10 = 0 na [-3; 3/2]. Tip: nájdite derivát a pátrajte po monot.

Príklady nezávislého riešenia (pokračovanie). 6. Nájdite počet skutočných koreňov rovnice x ⁴ - 2x³ + 3/2 = 0. Odpoveď: 2 7. Nech sú x ₁, x ₂, x ₃ korene polynómu P (x) = x ³ - 6x² -15x + 1. Nájdite X₁² + x ₂² + x ₃². Odpoveď: 66. Smer: Aplikujte Vietovu vetu. 8. Dokážte, že pre a> o a ľubovoľný real v rovnici má x ³ + ax + b = o iba jeden skutočný koreň. Tip: Spustite dôkaz v rozpore. Aplikujte Vietovu vetu. 9. Vyriešte rovnicu 2 (x ² + 2) ² = 9 (x ³ + 1). Odpoveď: ½; 1; (3 ± √13) / 2. Tip: Zredukujte rovnicu na homogénnu pomocou rovností X² + 2 = x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 = (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Vyriešte sústavu rovníc x + y = x ², 3y - x = y². Odpoveď: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), ( - √2; 2 + √2). 11. Vyriešte systém: 4y² -3xy = 2x -y, 5x² - 3y² = 4x - 2r. Odpoveď: (o; o), (1; 1), (297/265; - 27/53).

Test. Možnosť 1. 1. Vyriešte rovnicu (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 = 0. 2. Vyriešte rovnicu (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = - 15 3. Vyriešte rovnicu 12x² (x - 3) + 64 (x - 3) ² = x ⁴. 4. Vyriešte rovnicu x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 = 0 5. Vyriešte sústavu rovníc: x² + 2y² - x + 2y = 6, 1,5x² + 3y² - x + 5y = 12.

Možnosť 2 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 = 0,2 x (x + 1) (x + 5) (x + 6) = 24,3 x ⁴ + 18 (x + 4) ² = 11x² (x + 4). 4.x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0. 5.x² - 2xy + y² + 2x²y - 9 = 0, x - y - x²y + 3 = 0,3 možnosť. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 = 0 2. (x - 5) (x -3) (x + 3) (x + 1) = - 35,3 x4 + 8x² ( x + 2) = 9 (x + 2) ². 4.x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. 5.x + y + x ² + y ² = 18, xy + x ² + y² = 19.

Možnosť 4. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 = o. (x -7) (x -4) (x -2) (x + 1) = -36. X⁴ + 3 (x -6) ² = 4x² (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 = 0. X² + 3xy + y² = - 1, 2x² - 3xy - 3y² = - 4. Dodatočná úloha: Zostávajúca časť delenia polynómu P (x) na (x - 1) je 4, zvyšok na delenie na (x + 1) je 2 a keď je delená (x - 2) je 8. Nájdite zvyšok delenia P (x) o (x ³ - 2x² - x + 2).

Odpovede a pokyny: možnosť č. 1 č. 2. č. 3. č. 4. č. 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -5; -4; 1; 2. Homogénna rovnica: u = x -3, v = x² -2; -1; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Indikácia: 1 · (-3) + 2,2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - 4; - 2,1 ± √11; 4; - 2. Homogénna rovnica: u = x + 4, v = x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- tridsať). Indikácia: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12-3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. Homogénne u = x + 2, v = x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 -√7); (-2 -√7; -2 + √7). Nápoveda: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Smernica: 1 4 + 2.

Riešenie dodatočnej úlohy. Podľa Bezoutovej vety: P (1) = 4, P (-1) = 2, P (2) = 8. P (x) = G (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + s. Náhradník 1; - 1; 2. P (1) = G (1) · 0 + a + b + c = 4, a + b + c = 4. P (-1) = a - b + c = 2, P (2) = 4a² + 2b + c = 8. Po vyriešení výslednej sústavy troch rovníc dostaneme: a = b = 1, c = 2. Odpoveď: x ² + x + 2.

Kritérium č. 1 - 2 body. 1 bod - jedna výpočtová chyba. 2,3,4 - po 3 body. 1 bod - viedol ku kvadratickej rovnici. 2 body - jedna výpočtová chyba. Č. 5. - 4 body. 1 bod - vyjadruje jednu premennú cez druhú. 2 body - získate jedno z riešení. 3 body - jedna výpočtová chyba. Doplňujúca úloha: 4 body. 1 bod - Bezoutova veta bola aplikovaná na všetky štyri prípady. 2 body - zostavená sústava rovníc. 3 body - jedna výpočtová chyba.

Zvážte riešenia rovníc s jednou premennou stupňa vyšším ako druhou.

Stupeň rovnice P (x) = 0 je stupeň polynómu P (x), t.j. najväčší zo stupňov jeho výrazov s koeficientom, ktorý sa nerovná nule.

Napríklad rovnica (x 3 - 1) 2 + x 5 = x 6 - 2 má piaty stupeň, pretože po operáciách otvárania zátvoriek a prinášaní podobných dostaneme ekvivalentnú rovnicu x 5 - 2x 3 + 3 = 0 piateho stupňa.

Pripomeňme si pravidlá, ktoré budú potrebné na riešenie rovníc vyšších ako dvoch.

Vyhlásenia o koreňoch polynómu a jeho deliteľoch:

1. Polynom n. stupeň má počet koreňov najviac n a korene multiplicity m sa vyskytujú presne m krát.

2. Polynóm nepárneho stupňa má najmenej jeden skutočný koreň.

3. Ak α je koreň P (x), potom P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), kde Q n - 1 (x) je polynóm stupňa (n - 1).

4.

5. Redukovaný polynóm s celočíselnými koeficientmi nemôže mať zlomkové racionálne korene.

6. Pre polynóm stupňa 3

P 3 (x) = sekera 3 + bx 2 + cx + d je možná jedna z dvoch vecí: buď sa rozloží na súčin troch binomických čísel

Р 3 (x) = а (х - α) (х - β) (х - γ), alebo sa môže rozložiť na súčin binomického a štvorcového trinomického Р3 (x) = а (х - α) (х 2 + βх + γ).

7. Akýkoľvek polynóm štvrtého stupňa je možné rozložiť na súčin dvoch štvorcových trojčlenov.

8. Polynóm f (x) je deliteľný polynomom g (x) bezo zvyšku, ak existuje polynóm q (x) taký, že f (x) = g (x) q (x). Pri delení polynómov platí pravidlo „rohové delenie“.

9. Na deliteľnosť polynómu P (x) na binomický (x - c) je potrebné a dostatočné, aby číslo c bolo koreňom P (x) (dôsledok Bezoutovej vety).

10. Vietova veta: Ak x 1, x 2, ..., x n sú skutočné korene polynómu

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, potom platia nasledujúce rovnosti:

x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0.

Príklady riešenia

Príklad 1.

Nájdite zvyšok delenia P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 podľa (x - 1/3).

Riešenie.

V dôsledku Bezoutovej vety: „Zostávajúci podiel na delení polynómu na binomické číslo (x - c) rovná hodnote polynóm v c ". Nájdeme Р (1/3) = 0. Preto je zvyšok 0 a číslo 1/3 je koreň polynomu.

Odpoveď: R = 0.

Príklad 2.

Rozdeľte rohom 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 podľa (x + 2). Nájdite zvyšok a neúplný kvocient.

Riešenie:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

Odpoveď: R = 3; súkromné: 2x 2 - x.

Základné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov

1. Predstavujeme novú premennú

Spôsob zavedenia novej premennej je už známy na príklade biquadratických rovníc. Spočíva v tom, že na vyriešenie rovnice f (x) = 0 sa zavedie nová premenná (substitúcia) t = xn alebo t = g (x) a f (x) sa vyjadrí t, získaním novej rovnica r (t). Potom po vyriešení rovnice r (t) nájdeme korene:

(t 1, t 2, ..., t n). Potom sa získa množina n rovníc q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n, z ktorých sa nachádzajú korene pôvodnej rovnice.

Príklad 1.

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Riešenie:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Náhrada (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Spätná výmena:

x 2 + x + 1 = 2 alebo x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 alebo x 2 + x = 0;

Odpoveď: Z prvej rovnice: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, z druhej: 0 a -1.

2. Faktorizácia zoskupením a redukované multiplikačné vzorce

Základ táto metóda nie je tiež nový a spočíva v zoskupení výrazov takým spôsobom, že každá skupina obsahuje spoločný faktor. Aby ste to urobili, niekedy musíte použiť niektoré umelé metódy.

Príklad 1.

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Riešenie.

Predstavte si - 3x 2 = -2x 2 - x 2 a skupinu:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 = 0 alebo x 2 + x - 3 = 0.

Odpoveď: V prvej rovnici nie sú žiadne korene, z druhej: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Faktoring metódou nedefinovaných koeficientov

Podstata metódy spočíva v tom, že pôvodný polynóm sa rozloží na faktory s neznámymi koeficientmi. Na základe vlastnosti, že polynomy sú rovnaké, ak sú ich koeficienty rovnaké v rovnakých stupňoch, sa nájdu neznáme koeficienty expanzie.

Príklad 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Riešenie.

Polynóm 3. stupňa možno rozložiť na súčin lineárneho a štvorcového faktora.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - sekera 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Po vyriešení systému:

(b - a = 4,
(c - ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, t.j.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Korene rovnice (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sa dajú ľahko nájsť.

Odpoveď: -1; -2.

4. Spôsob výberu koreňa najvyšším a voľným koeficientom

Metóda je založená na aplikácii viet:

1) Akýkoľvek celočíselný koreň polynómu s celočíselnými koeficientmi je deliteľom voľného výrazu.

2) Aby bola neredukovateľná frakcia p / q (p je celé číslo, q je prirodzené) koreňom rovnice s celočíselnými koeficientmi, je potrebné, aby číslo p bolo celočíselným deliteľom voľného výrazu a 0, a q je prirodzený deliteľ vedúceho koeficientu.

Príklad 1.

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Riešenie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Preto p/q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Po nájdení jedného koreňa, napríklad - 2, nájdeme ďalšie korene pomocou delenia s uhlom, metódy nedefinovaných koeficientov alebo Hornerovej schémy.

Odpoveď: -2; 1/2; 1/3.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako riešiť rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je bezplatná!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

GORNEROVA SCHÉMA

V RIEŠENÍ ROVNÍKOV S PARAMETRAMI
ZO SKUPINY „C“ V PRÍPRAVE NA POUŽITIE

Kazantseva Lyudmila Viktorovna

učiteľ matematiky MBOU „Uyarskaya stredná škola číslo 3“

Zapnuté mimoškolské aktivity je potrebné rozšíriť rozsah dostupných znalostí riešením úloh so zvýšenou komplexnosťou skupiny „C“.

Táto práca sa zaoberá niektorými z problémov diskutovaných v ďalších lekciách.

Hornerovu schému je vhodné zaviesť po preštudovaní témy „Delenie polynómu polynómom“. Tento materiál umožňuje riešenie rovníc vyššieho rádu nie zoskupovaním polynómov, ale racionálnejším spôsobom, ktorý šetrí čas.

Plán lekcie.

Lekcia 1.

1. Vysvetlenie teoretického materiálu.

2. Riešenie príkladov a B C d).

Lekcia 2.

1. Riešenie rovníc a B C d).

2. Nájdenie racionálnych koreňov polynómu

Aplikácia Hornerovej schémy na riešenie rovníc s parametrami.

Lekcia 3.

Úlohy a B C).

Lekcia 4.

1. Úlohy d), e), f), g), h).

Riešenie rovníc vyšších stupňov.

Hornerova schéma.

Veta : Nech je neredukovateľný zlomok koreňom rovnice

a o X n + a 1 X n-1 +… + A. n-1 X 1 + a n = 0

s celočíselnými koeficientmi. Potom číslo R. je deliteľom vedúceho koeficientu a O .

Dôsledok: Akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej zachytenia.

Dôsledok: Ak je úvodný koeficient rovnice s celočíselnými koeficientmi 1 , potom všetky racionálne korene, ak existujú, sú celé.

Príklad 1. 2x 3 - 7x 2 + 5x - 1 = 0

Nech je teda neredukovateľnou frakciou koreň rovniceR. je deliteľ čísla1: ± 1

q je deliteľom najvyššieho výrazu: ± 1; ± 2

Racionálne korene rovnice je potrebné hľadať medzi číslami:± 1; ±.

f (1) = 2 - 7 + 5 - 1 = - 1 ≠ 0

f (–1) = –2 - 7 - 5 - 1 ≠ 0

f () = – + – 1 = – + – = 0

Koreň je číslo .

Delenie polynómu P (x) = a O NS NS + a 1 X n -1 + … + a n do dvojčlenu ( x - £) je vhodné vykonávať podľa Hornerovej schémy.

Označujeme neúplný kvocient P (x) na ( x - £) naprieč Q (X ) = b o X n -1 + b 1 X n -2 + … b n -1 ,

a zvyšok po b n

P (x) =Q (X ) (X – £) + b n , potom identita

a O NS NS + a 1 X n-1 +… + A. n = (b o X n-1 + … + b n-1 ) (x - £) +b n

Q (X ) Je polynóm, ktorého stupeň je 1 pod stupňom pôvodného polynómu. Polynomické koeficienty Q (X ) sú určené podľa Hornerovej schémy.

a oh

a 1

a 2

a n-1

a n

b o = a о

b 1 = a 1 + £· b o

b 2 = a 2 + £· b 1

b n-1 = a n-1 + £· b n-2

b n = a n + £· b n-1

Prvý riadok tejto tabuľky obsahuje koeficienty polynómu P (x).

Ak chýba určitý stupeň premennej, napíše sa do zodpovedajúcej bunky tabuľky 0.

Hlavný koeficient kvocientu sa rovná seniorskému koeficientu dividendy ( a O = b o ). Ak £ je koreň polynómu, potom v poslednej bunke dostaneme 0.

Príklad 2... Faktor s celočíselnými koeficientmi

P (x) = 2x 4 - 7x 3 - 3x 2 + 5x - 1

± 1.

Pasuje - 1.

Rozdeliť P (x) na (x + 1)

2

– 7

– 3

5

– 1

– 1

2

– 9

6

– 1

0

2x 4 - 7x 3 - 3x 2 + 5x - 1 = (x + 1) (2x 3 - 9x 2 + 6x - 1)

Hľadáme úplné korene medzi bezplatným členom: ± 1

Pretože starší člen je 1, potom korene môžu byť zlomkové čísla: - ; .

Pasuje .

2

– 9

6

– 1

2

– 8

2

0

2x 3 - 9x 2 + 6x - 1 = (x -) (2x 2 - 8x + 2) = (2x - 1) (x 2 - 4x + 1)

Trinomické NS 2 - 4x + 1 nemožno rozložiť na faktory s celočíselnými koeficientmi.

Cvičenie:

1. Faktor s celočíselnými koeficientmi:

a) NS 3 - 2x 2 - 5x + 6

q: ± 1;

p: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

Nájdite racionálne korene polynómu f (1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

x = 1

1

– 2

– 5

6

1

1

– 1

– 6

0

x 3 - 2x 2 - 5x + 6 = (x - 1) (x 2 - x - 6) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

Definujme korene kvadratickej rovnice

x 2 - x - 6 = 0

x = 3; x = - 2

b) 2x 3 + 5x 2 + x - 2

p: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

Nájdite korene polynómu tretieho stupňa

f (1) = 2 + 5 + 1 - 2 ≠ 0

f (–1) = - 2 + 5 - 1 - 2 = 0

Jeden z koreňov rovnice x = - 1

2

5

1

– 2

– 1

2

3

– 2

0

2x 3 + 5x 2 + x - 2 = (x + 1) (2x 2 + 3x - 2) = (x + 1) (x + 2) (2x - 1)

Rozširujme štvorcový trojčlen 2x 2 + 3x - 2 podľa faktorov

2x 2 + 3x - 2 = 2 (x + 2) (x -)

D = 9 + 16 = 25

x 1 = - 2; x 2 =

v) NS 3 - 3x 2 + x + 1

p: ± 1

q: ± 1

: ± 1

f (1) = 1 - 3 + 1 - 1 = 0

Jedným z koreňov polynómu tretieho stupňa je x = 1

1

– 3

1

1

1

1

– 2

– 1

0

x 3 - 3x 2 + x + 1 = (x - 1) (x 2 - 2x - 1)

Nájdite korene rovnice NS 2 - 2x - 1 = 0

D = 4 + 4 = 8

x 1 = 1 –

x 2 = 1 +

x 3 - 3x 2 + x + 1 = (x - 1) (x - 1 +
) (x - 1 -
)

G) NS 3 - 2x - 1

p: ± 1

q: ± 1

: ± 1

Definujeme korene polynómu

f (1) = 1 - 2 - 1 = - 2

f (–1) = - 1 + 2 - 1 = 0

Prvý koreň x = - 1

1

0

– 2

– 1

– 1

1

– 1

– 1

0

x 3 - 2x - 1 = (x + 1) (x 2 - x - 1)

x 2 - x - 1 = 0

D = 1 + 4 = 5

x 1,2 =

x 3 - 2x - 1 = (x + 1) (x -
) (NS -
)

2. Vyriešte rovnicu:

a) NS 3 - 5x + 4 = 0

Definujme korene polynómu tretieho stupňa

: ± 1; ± 2; ± 4

f (1) = 1 - 5 + 4 = 0

Jedným z koreňov je x = 1

1

0

– 5

4

1

1

1

– 4

0

x 3 - 5x + 4 = 0

(x - 1) (x 2 + x - 4) = 0

NS 2 + x - 4 = 0

D = 1 + 16 = 17

x 1 =
; NS 2 =

Odpoveď: 1;
;

b) NS 3 - 8x 2 + 40 = 0

Definujme korene polynómu tretieho stupňa.

: ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40

f (1) ≠ 0

f (–1) ≠ 0

f (–2) = - 8 - 32 + 40 = 0

Jedným z koreňov je x = - 2

1

– 8

0

40

– 2

1

– 10

20

0

Rozoberme faktorizáciu polynómu tretieho stupňa.

x 3 - 8x 2 + 40 = (x + 2) (x 2 - 10x + 20)

Nájdite korene kvadratickej rovnice NS 2 - 10x + 20 = 0

D = 100 - 80 = 20

x 1 = 5 –
; NS 2 = 5 +

Odpoveď: - 2; 5 –
; 5 +

v) NS 3 - 5x 2 + 3x + 1 = 0

Hľadáme úplné korene medzi deliteľov voľného termínu: ± 1

f (–1) = - 1 - 5 - 3 + 1 ≠ 0

f (1) = 1 - 5 + 3 + 1 = 0

Pasuje x = 1

1

– 5

3

1

1

1

– 4

– 1

0

x 3 - 5x 2 + 3x + 1 = 0

(x - 1) (x 2 - 4x - 1) = 0

Určte korene kvadratickej rovnice NS 2 - 4x - 1 = 0

D = 20

x = 2 +
; x = 2 -

Odpoveď: 2 –
; 1; 2 +

G) 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 – 2 = 0

p: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

f (1) = 2 - 5 + 5 - 2 = 0

Jeden z koreňov rovnice x = 1

2

– 5

5

0

– 2

1

2

– 3

2

2

0

2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

(x - 1) (2x 3 - 3x 2 + 2x + 2) = 0

Rovnakým spôsobom nachádzame korene rovnice tretieho stupňa.

2x 3 - 3x 2 + 2x + 2 = 0

p: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

f (1) = 2 - 3 + 2 + 2 ≠ 0

f (–1) = - 2 - 3 - 2 + 2 ≠ 0

f (2) = 16 - 12 + 4 + 2 ≠ 0

f (–2) = - 16 - 12 - 4 + 2 ≠ 0

f() = – + 1 + 2 ≠ 0

f(–) = – – – 1 + 2 ≠ 0

Ďalší koreň rovnicex = -

2

– 3

2

2

2

– 4

4

0

2x 3 - 3x 2 + 2x + 2 = 0

(x +) (2x 2 - 4x + 4) = 0

Definujme korene kvadratickej rovnice 2x 2 - 4x + 4 = 0

x 2 - 2x + 2 = 0

D = - 4< 0

Korene pôvodnej rovnice štvrtého stupňa sú preto

1 a –

Odpoveď: –; 1

3. Nájdite racionálne korene polynómu

a) NS 4 - 2x 3 - 8x 2 + 13x - 24

q: ± 1

: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

Vyberte jeden z koreňov polynómu štvrtého stupňa:

f (1) = 1 - 2 - 8 + 13 - 24 ≠ 0

f (–1) = 1 + 2 - 8 - 13 - 24 ≠ 0

f (2) = 16 - 16 - 32 + 26 - 24 ≠ 0

f (–2) = 16 + 16 - 72 - 24 ≠ 0

f (–3) = 81 + 54 - 72 - 39 - 24 = 0

Jeden z koreňov polynómu NS 0= – 3.

x 4 - 2x 3 - 8x 2 + 13x - 24 = (x + 3) (x 3 - 5x 2 + 7x + 8)

Nájdite racionálne korene polynómu

x 3 - 5x 2 + 7x + 8

p: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8

q: ± 1

f (1) = 1 - 5 + 7 + 8 ≠ 0

f (–1) = - 1 - 5 - 7 - 8 ≠ 0

f (2) = 8 - 20 + 14 + 8 ≠ 0

f (–2) = - 8 - 20 - 14 + 8 ≠ 0

f (–4) = 64 - 90 - 28 + 8 ≠ 0

f (4) ≠ 0

f (–8) ≠ 0

f (8) ≠ 0

Okrem čísla X 0 = – 3 neexistujú žiadne ďalšie racionálne korene.

b) NS 4 - 2x 3 - 13x 2 - 38x - 24

p: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f (1) = 1 + 2 - 13 - 38 - 24 ≠ 0

f (–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, to je x = - 1 polynomický koreň

1

2

– 13

– 38

– 24

– 1

1

1

– 14

– 24

0

x 4 - 2x 3 - 13x 2 - 38x - 24 = (x + 1) (x 3 - x 2 - 14x - 24)

Definujme korene polynómu tretieho stupňa NS 3 - NS 2 - 14x - 24

p: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f (1) = - 1 + 1 + 14 - 24 ≠ 0

f (–1) = 1 + 1 - 14 - 24 ≠ 0

f (2) = 8 + 4 - 28 - 24 ≠ 0

f (–2) = - 8 + 4 + 28 - 24 ≠ 0

Preto je druhý koreň polynómu x = - 2

1

1

– 14

– 24

– 2

1

– 1

– 12

0

x 4 - 2x 3 - 13x 2 - 38x - 24 = (x + 1) (x 2 + 2) (x 2 - x - 12) =

= (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x - 4)

Odpoveď: – 3; – 2; – 1; 4

Aplikácia Hornerovej schémy pri riešení rovníc s parametrom.

Nájdite najväčšiu celočíselnú hodnotu parametra a, pri ktorej rovnica f (x) = 0 má tri odlišné korene, z ktorých jeden NS 0 .

a) f (x) = x 3 + 8x 2 + ah +b , NS 0 = – 3

Takže jeden z koreňov NS 0 = – 3 potom podľa Hornerovej schémy máme:

1

8

a

b

– 3

1

5

– 15 + a

0

0 = - 3 ( - 15 + a) + b

0 = 45 - 3a + b

b = 3a - 45

x 3 + 8x 2 + sekera + b = (x + 3) (x 2 + 5x + (a - 15))

Rovnica NS 2 + 5x + (a - 15) = 0 D > 0

a = 1; b = 5; c = (a - 15),

D = b 2 - 4ac = 25 - 4 (a - 15) = 25 + 60 - 4a> 0,

85 - 4a> 0;

4a< 85;

a< 21

Najväčšia celočíselná hodnota parametra a, pri ktorej rovnica

f (x) = 0 má tri korene, a = 21

Odpoveď: 21.

b) f (x) = x 3 - 2x 2 + sekera + b, x 0 = – 1

Od jedného z koreňov NS 0= – 1, potom podľa Hornerovej schémy máme

1

– 2

a

b

– 1

1

– 3

3 + a

0

x 3 - 2x 2 + sekera + b = (x + 1) (x 2 - 3x + (3 + a))

Rovnica X 2 – 3 X + (3 + a ) = 0 musí mať dva korene. To sa robí iba vtedy, keď D > 0

a = 1; b = - 3; c = (3 + a),

D = b 2 - 4ac = 9 - 4 (3 + a) = 9 - 12 - 4a = - 3 - 4a> 0,

– 3 - 4a> 0;

– 4a< 3;

a < –

Najvyššia hodnota a = - 1 a = 40

Odpoveď: a = 40

G) f (x) = x 3 - 11x 2 + sekera + b, x 0 = 4

Od jedného z koreňov NS 0 = 4 , potom podľa Hornerovej schémy máme

1

– 11

a

b

4

1

– 7

– 28 + a

0

x 3 - 11x 2 + sekera + b = (x - 4) (x 2 - 7x + (a - 28))

f (X ) = 0, keby x = 4 alebo X 2 – 7 X + (a – 28) = 0

D > 0, to je

D = b 2 - 4ac = 49 - 4 (a - 28) = 49 + 112 - 4a = 161 - 4a> 0,

161 - 4a> 0;

– 4a< – 161; f X 0 = – 5 , potom podľa Hornerovej schémy máme

1

13

a

b

– 5

1

8

– 40 + a

0

x 3 + 13x 2 + sekera + b = (x +5) (x 2 + 8x + (a - 40))

f (X ) = 0, keby x = - 5 alebo X 2 + 8 X + (a – 40) = 0

Rovnica má dva korene, ak D > 0

D = b 2 - 4ac = 64 - 4 (a - 40) = 64 + 1 60 - 4a = 224 - 4a> 0,

224- 4a> 0;

a< 56

Rovnica f (X ) má tri korene v najväčšiu hodnotu a = 55

Odpoveď: a = 55

g) f (X ) = X 3 + 19 X 2 + sekera + b , X 0 = – 6

Od jedného z koreňov – 6 , potom podľa Hornerovej schémy máme

1

19

a

b

– 6

1

13

a - 78

0

x 3 + 19x 2 + sekera + b = (x +6) (x 2 + 13x + (a - 78)) = 0

f (X ) = 0, keby x = - 6 alebo X 2 + 13 X + (a – 78) = 0

Druhá rovnica má dva korene, ak