Polynóm (inak nazývaný polynóm) je algebraické množstvo dvoch alebo viacerých jednolôžkových. Stojí za to objasniť, že ide o základné jedno krídlo. Monom (Single) je základný algebraický dizajn, ktorý je určitá premenná na pozitívny stupeň, ktorý má numerický koeficient (ktorý môže byť záporný alebo pozitívny). V tomto prípade môže byť koeficient s premennou rovný jednej - potom premennej, pýta sa, najčastejšie, latinské písmená z konca abecedy - x, y, z je obnovené.

Na druhej strane, často existujú príklady homory z jedného číselného koeficientu. Niektoré staré vedenie v matematike hovoria, že je obnovené s algebraickým výrazom, ktorý neobsahuje známky súčtu alebo odčítania. V tomto prípade môže byť násobenie a frakcia v jednej monomia. Táto definícia Nie je to tak správne, ale viac opisuje skutočné príklady jednorazového krídla.

Niekoľko homorizujúcich tvoria polynómy - reťazce algebraických základných výrazov. Ak je jednorazový dva, je tvorený zásobníkom, ak tri a viac polynómov. Polynómy sú druhou úrovňou elementárnych matematických výrazov, po jednej lôžkach.

Je dôležité poznamenať, že s pomocou polynómov sú zoradené nielen početné úlohy v algebre, ale aj ďalšia komplikácia najjednoduchších matematických štruktúr. Definície "rovnice" a "algebraickej funkcie" sú odvodené prostredníctvom konceptu "polynómu". Preto je tento video tutorial venovaný pracovať s polynómami. Rýchle riešenie úloh s ich účasťou bude lepšie asimilovať mnohé súvisiace témy.

Zvážte výraz formulára:

3A 2 + 4C 3 - A 2 + 2C 3

Tento príklad je algebraický polynóm pozostávajúci zo štyroch rôznych homory. Každý jednotlivý polynómový prvok sa nazýva "člen polynómu". Výraz je ľahko rozdelený známkami pridávania a odčítania, ktoré tvoria štyri oddelené monommy:

3A 2, 4C 3, A 2, 2C 3

Sú v súčte (algebraické) a dávajú pôvodný polynóm. Vyrovnanie výrazu na akúkoľvek numerickú hodnotu alebo iný polynóm tvorí rovnicu, ale toto je téma pre iný video tutorial.

Ak chcete nájsť hodnotu polynómu, mali by ste pochopiť základné princípy tento proces. Riešenie polynómu sa nazýva jeho zjednodušenie - maximálne, skutočné matematicky, zníženie počtu členov výrazu. Stojí za zmienku, že pre komplexné riešenie mnohých úloh je potrebné, aby mohol cite polynóm v priaznivej forme. A to nie je vždy najkratší polynóm. Ak je výraz určený na ďalšiu prácu, vzhľad, na ktorý bude musieť viesť, by mal závisieť od špecifík nadchádzajúcich matematických operácií.

Ak chcete jednoducho vyriešiť polynóm, musíte ju rozložiť podľa jednotlivých skupín pozostávajúcich z podobných algebraických prvkov. Hlavnou požiadavkou na tieto prvky je možnosť rýchlo pôsobiť v rámci svojej skupiny. Napríklad všetky individuálne číselné hodnoty sa uskutočňujú v jednej skupine - akcie medzi nimi vykonávajú základné matematické operácie. Zvlášť ľahko identifikovať tie isté premenné, štvorce takýchto premenných atď.

Zoskupenie členov polynómu by sa mali pamätať podľa pravidla zachovania príznakov "plus" a "mínus" pred výrazom. Sú to najdôležitejší a neodcudziteľný atribút neposkytne a ich strata povedie k nesprávnym výsledkom.

3A 2 + 4C 3 - A 2 + 2C 3 \u003d 3A 2 - A 2 + 4C 3 + 2C 3 \u003d 2A 2 + 6C 3

Ako vidíme v našej lekcii, riešenie polynómov je pomerne jednoduchá úloha, ktorá si vyžaduje len pozornosť a presné nasledujúce elementárne algebraické pravidlá.

Dva polynómy F (x) a g (x) sa považujú za rovnocenné, ak sú ich koeficienty rovnaké rovnaké stupne variabilných X a voľných členov (alebo kratších, ich zodpovedajúce koeficienty sú rovnaké). V tomto prípade píšu: f. (X) \u003d G. (X).

Napríklad polynómy f (x) \u003d x3 + 2x2-3X + 1 a g (x) \u003d 2x2-3x + 1 nie sú rovnaké, pretože v prvom rade koeficient pri X3 je 1 a druhá je nula (Podľa konvencií môžeme písať: g (x) \u003d 0x3 + 2x2-3x + 1. V tomto prípade píšu: F (x)? g (x). Nie je to rovnaké a polynómy H (x) \u003d 2x2-3x + 5, S (X) \u003d 2x2 + 3X + 5, pretože majú koeficienty v inom X. Ale polynómy F1 (X) \u003d 2x5 + 3x3 + BX + 3 a G1 (X) \u003d 2x5 + AX3- 2x + 3 sú rovnaké, potom a potom, keď A \u003d 3, a B \u003d -2.

Nechajte polynóm f. (X) \u003d ANXN + A-1XN-1 + ... + A1X + A0 a niektoré číslo. Číslo f. C) \u003d ANCN + A-1CN-1 + ... + A1C + A0 nazývaná hodnota polynómu f (x), keď x \u003d s.

Teda nájsť f (c), v polynóm namiesto X, je potrebné nahradiť a vykonávať potrebné výpočty. Napríklad, ak f (x) \u003d 2x3 + 3x2-x + 5, potom f (-2) \u003d 2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) + 5 \u003d 3.

Zvážte polynóm f (x) \u003d A a nájdeme napríklad F (2). Ak to chcete urobiť, v polynóm namiesto X je potrebné nahradiť číslo 2 a vykonať potrebné výpočty. Avšak v našom prípade f (x) \u003d A a premenná X explicitne, nie je. Pripomeňme, že uvažovaný polynóm môže byť napísaný ako f (x) \u003d 0x + a. Teraz je všetko v poriadku, môžete nahradiť hodnotu x \u003d 2: f (2) \u003d 02 + A \u003d a. Všimnite si, že pre tento polynóm F (C) \u003d A pre každého. Najmä nulový polynóm v ktoromkoľvek C si vyžaduje hodnotu rovnú nulu.

Všeobecne hovoríme, polynóm pri rôznych hodnotách variabilného X môže mať rôzne hodnoty. Často sa často zaujímame o tie hodnoty x, v ktorých polynóm má hodnotu 0. Číslo C sa nazýva koreň polynómu f (x), ak f (c) \u003d 0.

Napríklad, ak f (x) \u003d x2-3x + 2, čísla 1 a 2 sú korene tohto polynómu, pre F (1) \u003d 0 a F (2) \u003d 0. Ale polynóm f (x) \u003d 5 koreňov nemá. V skutočnosti, s akoukoľvek významom X, to vyžaduje hodnotu 5, čo znamená, že nikdy nebráni hodnotu 0. Pre nulovú polynómu, pretože je ľahko si všimnúť, každé číslo je koreň.

Hľadanie koreňov polynómov je jedným z najdôležitejších úloh algebry. Nájdenie koreňov lineárnych odrazov a štvorcových troch stávok sa vyučuje v škole. Pokiaľ ide o polynómy viac vysoký stupeň, Takáto úloha je pre nich veľmi ťažké a nie vždy solvidable. V budúcnosti sa s ním opakovane zaoberáme. A teraz si poznamenávame len to, že nájdu korene polynómu f. (X) \u003d ANXN + A-1XN-1 + ... + A1X + A0 a vyriešiť rovnicu aNXN + A-1XN-1 + ... + A1X + A0 \u003d 0 - Toto sú rovnocenné úlohy. Preto sa učí, že nájsť korene polynómu, naučíme sa vyriešiť zodpovedajúce rovnice a naopak.

Upozorňujeme na rozdiel medzi týmito dvoma vyhláseniami: "Polynóm F (x) je nula (alebo, že to isté, polynóm f (x) je nula)" a "hodnota polynómu f (x) v x \u003d C je nula. " Napríklad polynóm f (x) \u003d x2-1 nie je nula, pretože má nenulové koeficienty a jeho hodnota pri X \u003d 1 je nulová. Stručne povedané, f (x)? 0 a f (1) \u003d 0.

Existuje úzky vzťah medzi koncepciami rovnosti polynómov a hodnota polynómu. Ak sú dve rovnaké polynómy podávané F (x) a g (x), ich zodpovedajúce koeficienty sú rovnaké, a preto f (c) \u003d g (c) pre každé číslo. Inými slovami, ak f (c) \u003d g (c) pre každé číslo C, sú polynómy f (x) a g (x) sú rovnaké? Pokúsme sa na túto otázku odpovedať v konkrétnom prípade, keď f (x) \u003d px2 + qx + R a g (x) \u003d KX + m. Pretože f (c) \u003d g (c) pre každé číslo c, najmä f (0) \u003d g (0), f (1) \u003d g (1), f (-1) \u003d g (- jeden ).

Vypočítanie hodnôt z polynómov, ktoré sa posudzujú v týchto rovnoch, získavame systém

Z tohto systému vyplýva, že p \u003d 0, q \u003d k, r \u003d m, a preto f (x) \u003d g (x).

V prípade zváženia je teda odpoveď na pridelenú otázku pozitívne. Ukazuje sa, že je to pravda a všeobecne po oboznámení s inými koncepciami a obvineniami z teórie polynómov.

Verejná vzdelávacia inštitúcia regiónu Omsk

"Večer (vymeniteľná) stredná škola №2"

Riešenie algebraických rovníc

(N a e 3)

Didaktický materiál vzdelávacieho, vzdelávacieho a kontrolného charakteru

Rozvoj matematiky učiteľa

Stanovenie algebraickej rovnice

Algebraická rovnica (polynómová rovnica) - typová rovnica

kde - polynómy z premenných, ktoré sa nazývajú neznáme.

Polynómové koeficienty sa zvyčajne odoberajú z určitého poľa a rovnica sa nazýva rovnica algebraickej poľa.

Stupeň algebraickej rovnice sa nazýva stupeň polynómu.

Napríklad rovnica

je to algebraická rovnica pre siedmy stupeň z troch premenných (s tromi neznámymi) nad oblasťou reálnych čísel.

Súvisiace definície

Hodnoty premenných, ktoré v substitúcii v algebraickej rovnici pridávajú do totožnosti, sa nazývajú korene tejto algebraickej rovnice.

Príklady algebraických rovníc

Algebraické rovnice riešené rozkladom multiplikátorov

Príklad riešenia Príklad: X3 - 3x - 2 \u003d 0. Môžete hádať, že číslo X1 \u003d -1 je koreňom tejto rovnice, pretože -1 + 3 - 2 \u003d 0. x3 - 3x - 2 x + 1 x3 + x2 x2 -X-2 - x2-3x-2 (x + 1) (x2 -X-2) \u003d 0; x + 1 \u003d 0 alebo x2 -X-2 \u003d 0; x1 \u003d -1 x 2,3 \u003d; x2 \u003d -1, x3 \u003d 2 Odpoveď. -Vyberte; 2. Príklad: X3 - 3x - 2 \u003d 0. x3 + X2 - X2 - X - 2X - 2 \u003d 0; (x3 + x2) - (x2 + x) - 2 (x + 1) \u003d 0; x2 (x + 1) - x (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0; (x + 1) (x2 -X-2) \u003d 0; (x + 1) (x + 1) (x -2) \u003d 0; x1 \u003d -1, x2 \u003d 2 Odpoveď. -Vyberte; 2.

X3 - X2 - 8x + 6 \u003d 0; X4 + X3- 4x2 - 2x + 4 \u003d 0; 6x3 + 11x2 - 3x - 2 \u003d 0. Hlavné vzorce: aH2 + BX + C \u003d 0 VieTA vzorce aH2 + BX + C \u003d 0, potom

Rovnice znížené na algebraické

Biquetové rovnice

Definícia. Bic-clo sa nazýva rovnica formulára AK4 + BX2 + C \u003d 0, kde

Čísla A, B, C a ≠ 0.

Metóda rozhodnutia

B. kvadratická rovnica Zníži sa na štvorcovú rovnicu s substitúciou.

Nová štvorcová rovnica vzhľadom na premennú :.

Riešenie tejto rovnice, dostávame korene štvorcovej rovnice

Riešenie týchto dvoch rovníc (a) vzhľadom na premennú, získavame korene tejto rovnice Biquette.

Postup činnosti pri riešení biquetových rovníc

Zadajte novú premennú na náhradu tejto premennej na pôvodnú rovnicu, aby ste vyriešili štvorcovú rovnicu s relatívne novou premennou po zistení koreňov (), aby ste ich nahradili našej premennej a našli pôvodné korene rovnice Biquette

Príklad riešenia Príklad: X4 - 8x2 - 9 \u003d 0. Nech y \u003d x2, kde na 0; u2 - 8U - 9 \u003d 0; Podľa vzorcov VieTA: y1 \u003d -1; U2 \u003d 9; Prvý roztok je obsadený (y 0), a od druhého nájdeme X1 \u003d -3; x2 \u003d 3. Odpoveď. x1 \u003d -3; x2 \u003d 3.	Riešiť nezávisle
Hlavné vzorce: aH2 + BX + C \u003d 0 VieTA vzorce Ak x1, x2 - korene štvorcovej rovnice aH2 + BX + C \u003d 0, potom Pre rovnicu x2 + px + q \u003d 0

Symetrické rovnice

Riešenie symetrických rovníc sa zvážili príklad symetrických rovníc tretieho stupňa.

Symetrická rovnica 3. stupňa sa nazýva rovnica druhov

aX3 + BX2 + BX + A \u003d 0, kde A, B je zadané čísla.

Aby bolo možné úspešne riešiť rovnice tohto typu, je užitočné vedieť a byť schopný používať nasledujúce jednoduché vlastnosti symetrických rovníc:

10. V akejkoľvek symetrickej rovnici nepárnej stupňa je vždy root rovná -1.

V skutočnosti, ak je zoskupený do ľavej strany zložiek: A (X3 + 1) + BX (X + 1) \u003d 0, to znamená schopnosť vytvoriť všeobecný faktor, to znamená.

(X + 1) (AH2 + (B - A) X + A) \u003d 0,
x + 1 \u003d 0 alebo AH2 + (B - A) X + A \u003d 0,

prvá rovnica a dokazuje na nás schválenie záujmu.

20. V symetrickej rovnici koreňov sa rovná nule, nie.

30. Pri rozdelení polynómu nepárnej stupňa (X + 1) je súkromný opäť symetrický polynóm.

Returntal Equations

ANXN + Rovnica - 1 xn - 1 + ... + A1X + A0 \u003d 0

volateľné, ak jej koeficienty stojaci na symetrickom

pozície, rovnaké, to znamená, že
A - 1 \u003d AK, AT K \u003d 0, 1, ..., n.

Zvážte návratovú rovnicu štvrtého stupňa typu

aX4 + BX3 + CX2 + BX + A \u003d 0,

kde A, B a C sú niektoré čísla a ≠ 0.

Je to špeciálny prípad rovnice

aX4 + BX3 + CX2 + KBX + K2A \u003d 0 AT K \u003d 1.

Postup pri riešení návratových rovníc

zobrazenia AX4 + BX3 + CX2 + BX + A \u003d 0:

Rozdeliť ľavé a pravé časti rovnice na X2 ≠ 0. V tomto prípade sa strata roztoku nevyskytuje, pretože X \u003d 0 nie je koreňom počiatočnej rovnice; Zoskupenie vedie výslednú rovnicu do formulára

a (x2 +) + B (x +) + c \u003d 0;

t2 \u003d X2 + 2 +, to znamená X2 + \u003d T2 - 2;

v nových premenných je zvážená rovnica námestie:

aTT2 + BT + C - 2A \u003d 0;

Vyriešte ho relatívne k t, vrátiť sa k zdrojovej premennej.

Príklad riešenia Príklad: 2x4 - 3x3 - 7x2 -15x + 50 \u003d 0. Rozdeľujeme sa na x2, dostaneme Predstavujeme náhradu Nech X + \u003d T, X2 + \u003d T2 - 10, potom 2T2 - 3T - 27 \u003d 0; Odpoveď. 2; .

Vyriešiť nezávisle alebo vzorku. ; \\ T X4-2x3-9x2-6X + 9 \u003d 0; 5x4 + 5x3-14x2-10x + 12 \u003d 0 Hlavné vzorce: aH2 + BX + C \u003d 0 VieTA vzorce Ak x1, x2 - korene štvorcovej rovnice aH2 + BX + C \u003d 0, potom Pre rovnicu x2 + px + q \u003d 0

Racionálne rovnice.

Definícia. Racionálne rovnice sa nazývajú rovnice, ktorých členovia sú racionálne frakcie, ktoré sú polynómy s číslicami a menovateľmi.

Postup konania pri riešení racionálnych rovníc

Vynásobte rovnicu spoločný menovateľ Frakcie zahrnuté v tejto rovnici; Znížiť výslednú rovnicu na algebraické a riešiť ho; Skontrolujte, či nájdených hodnôt neznámych denominátorov frakcií obsiahnutých v rovnici nie sú nulové.

Mapa stránok O stránke Kontakty © bykm.ru.