• Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom
• Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
• Pochopenie NOC
• Konverzia zlomkov na rovnakého menovateľa
• Ako pridať celé číslo a zlomok

1 Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom

Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa rovnakého, napríklad:

Ak chcete odčítať zlomky s rovnakým menovateľom, odpočítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa rovnakého, napríklad:

Ak chcete pridať zmiešané zlomky, musíte pridať celé ich časti oddelene a potom pridať ich zlomkové časti a výsledok zapísať zmiešaným zlomkom,

Príklad 1:

Príklad 2:

Ak pri pridávaní zlomkové časti ukázalo sa nesprávna frakcia, vyberte z neho celú časť a pridajte ju do celej časti, napríklad:

2 Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Ak chcete sčítať alebo odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr uviesť k rovnakému menovateľovi a potom postupujte podľa pokynov na začiatku tohto článku. Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok). Pre čitateľa každej zo zlomkov sa nájdu ďalšie faktory vydelením LCM menovateľom tejto zlomku. Pozrime sa na príklad neskôr, keď zistíme, čo je LCM.

3 najmenej spoločný násobok (LCM)

Najmenší spoločný násobok dvoch (LCM) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami bezo zvyšku. LCM sa niekedy dá nájsť ústne, ale častejšie, najmä pri práci s veľkým počtom, musíte LCM nájsť písomne ​​pomocou nasledujúceho algoritmu:

Aby ste našli LCM niekoľkých čísel, potrebujete:

1. Skombinujte tieto čísla
2. Vezmite si najväčšie rozšírenie a napíšte tieto čísla ako produkt
3. Vyberte v iných rozšíreniach čísla, ktoré sa nevyskytujú v najväčšom rozšírení (alebo sa v ňom vyskytujú menšíkrát), a pridajte ich k produktu.
4. Vynásobte všetky čísla v produkte, toto bude LCM.

Nájdeme napríklad LCM čísiel 28 a 21:

4 Konverzia zlomkov na rovnakého menovateľa

Vráťme sa k pridávaniu zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Keď znížime zlomky na rovnakého menovateľa, rovnajúceho sa LCM oboch menovateľov, musíme čitateľov týchto zlomkov vynásobiť ďalšie multiplikátory... Nájdete ich vydelením LCM menovateľom zodpovedajúceho zlomku, napríklad:

Aby ste teda znížili zlomky na jeden ukazovateľ, musíte najskôr nájsť LCM (to znamená najmenšie číslo, ktoré je deliteľné oboma menovateľmi) menovateľov týchto zlomkov, a potom k čitateľom zlomkov pridať ďalšie faktory. Nájdete ich vydelením spoločného menovateľa (LCM) menovateľom zodpovedajúceho zlomku. Potom musíte vynásobiť čitateľa každej frakcie ďalším faktorom a ako menovateľa zadajte LCM.

5 Ako sčítať celé číslo a zlomok

Ak chcete pridať celé číslo a zlomok, stačí pred zlomok pridať toto číslo a získate zmiešaný zlomok, napríklad:

Ak sčítame celé číslo a zmiešaný zlomok, pripočítame toto číslo k celému zlomku, napríklad:

Simulátor 1

Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom.

Časový limit: 0

Navigácia (iba čísla úloh)

0 z 20 dokončených úloh

Informácie

Tento test testuje schopnosť sčítať zlomky s rovnakým menovateľom. V takom prípade je potrebné dodržať dve pravidlá:

• Ak je výsledkom nesprávny zlomok, musíte ho previesť na zmiešané číslo.
• Ak je možné zlomok skrátiť, určite ho skrátte, inak sa bude počítať nesprávna odpoveď.

Test ste si už urobili. Nemôžete to začať znova.

Test sa načítava ...

Na spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Musíš skončiť nasledujúce testy na začiatok toto:

výsledky

Správne odpovede: 0 z 20

Tvoj čas:

Čas vypršal

Získali ste 0 z 0 bodov (0)

1. S odpoveďou
2. Označené ako zobrazené

Pôvodne som chcel do odseku Sčítanie a odčítanie zlomkov zahrnúť metódy spoločného menovateľa. Informácií však bolo toľko a ich dôležitosť je taká veľká (koniec koncov, spoločné menovatele nie sú len pre číselné zlomky), že je lepšie túto problematiku študovať oddelene.

Povedzme teda, že máme dve zlomky s rôznymi menovateľmi. A chceme zaistiť, aby sa menovatelia stali rovnakými. Na záchranu príde základná vlastnosť zlomku, ktorá, pripomínajúc, znie takto:

Ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým nenulovým číslom, zlomok sa nezmení.

Ak sú teda faktory správne zvolené, menovatele zlomkov sa stanú rovnakými - tento proces sa nazýva redukcia spoločného menovateľa. A požadované čísla, „vyrovnanie“ menovateľov, sa nazývajú dodatočné faktory.

Prečo vôbec potrebujete uvádzať zlomky k spoločnému menovateľovi? Tu je len niekoľko dôvodov:

1. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Túto operáciu nemožno vykonať iným spôsobom;
2. Porovnanie zlomkov. Niekedy prevedenie na spoločného menovateľa robí túto úlohu oveľa jednoduchšou;
3. Riešenie problémov s akciami a percentami. Percentá sú v skutočnosti bežnými výrazmi, ktoré obsahujú zlomky.

Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť čísla, ktoré po vynásobení rovnajú menovateľom zlomkov. Budeme uvažovať iba o troch z nich - v poradí narastajúcej zložitosti a v istom zmysle aj účinnosti.

Krížové násobenie

Najjednoduchší a najspoľahlivejší spôsob, akým je zaručené zarovnanie menovateľov. Pokračujeme: prvý zlomok vynásobíme menovateľom druhého zlomku a druhý menovateľom prvého. Výsledkom je, že menovatele oboch zlomkov sa budú rovnať súčinu pôvodných menovateľov. Pozri sa:

Ako ďalšie faktory zvážte menovatele susedných zlomkov. Dostaneme:

Áno, je to také jednoduché. Ak sa so zlomkami ešte len začínate učiť, je lepšie pracovať s touto konkrétnou metódou - takto sa poistíte pred mnohými chybami a zaručene získate výsledok.

Jediná nevýhoda táto metóda- musíte veľa počítať, pretože menovatele sa násobia „vopred“ a v dôsledku toho je možné získať veľmi veľké čísla. To je cena, ktorú musíte zaplatiť za spoľahlivosť.

Spoločná metóda deliteľa

Táto technika pomáha výrazne znížiť výpočty, ale bohužiaľ sa používa zriedka. Metóda je nasledovná:

1. Predtým, než sa do toho pustíte (teda krížová metóda), pozrite sa na menovatele. Možno je jeden z nich (ten, ktorý je väčší) rozdelený druhým.
2. Číslo získané v dôsledku takéhoto delenia bude ďalším faktorom pre zlomok s nižším menovateľom.
3. V tomto prípade zlomok s veľkým menovateľom netreba vôbec nič vynásobiť - to sú úspory. Zároveň sa výrazne zníži pravdepodobnosť chyby.

Úloha. Nájdite hodnoty výrazov:

Všimnite si toho 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Pretože v oboch prípadoch je jeden menovateľ deliteľný druhým bezo zvyšku, použijeme metódu spoločných faktorov. Máme:

Všimnite si toho, že druhý zlomok nebol nikdy znásobený ničím. V skutočnosti sme znížili množstvo výpočtov na polovicu!

Mimochodom, zlomky v tomto prípade som vzal z nejakého dôvodu. Ak ste zvedaví, skúste ich spočítať krížom. Po redukcii budú odpovede rovnaké, ale bude s nimi oveľa viac práce.

V tom je sila metódy spoločných deliteľov, ale opäť ju možno použiť iba vtedy, ak je jeden z menovateľov deliteľný druhým bezo zvyšku. Čo je dosť zriedkavé.

Najmenej spoločná viacnásobná metóda

Keď prinášame zlomky k spoločnému menovateľovi, v podstate sa pokúšame nájsť číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov. Potom privedieme na toto číslo menovatele oboch zlomkov.

Existuje veľa takýchto čísel a najmenšie z nich sa nemusia nevyhnutne rovnať priamemu súčinu menovateľov pôvodných zlomkov, ako sa to predpokladá pri metóde „krížom-krážom“.

Napríklad pre menovatele 8 a 12 je číslo 24 v poriadku, pretože 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Toto číslo je oveľa menšie ako produkt 8 12 = 96.

Najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov, sa nazýva ich najmenší spoločný násobok (LCM).

Zápis: najmenší spoločný násobok a a b je označený LCM (a; b). Napríklad LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Ak nájdete také číslo, celkový počet výpočtov bude minimálny. Pozrite sa na príklady:

Úloha. Nájdite hodnoty výrazov:

Všimnite si toho, že 234 = 117 · 2; 351 = 117 3. Faktory 2 a 3 sú relatívne prvočíselné (nemajú spoločného deliteľa okrem 1) a faktor 117 je spoločný. Preto LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobne 15 = 5,3; 20 = 5 4. Faktory 3 a 4 sú relatívne primárne a faktor 5 je bežný. Preto LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz prinášame zlomky k spoločným menovateľom:

Všimnite si, aké užitočné bolo faktoring pôvodných menovateľov:

1. Keď sme našli rovnaké faktory, okamžite sme prišli k najmenej spoločnému násobku, čo je vo všeobecnosti netriviálny problém;
2. Z výslednej expanzie môžete zistiť, ktoré faktory pre každú zo zlomkov „chýbajú“. Napríklad 234 3 = 702, preto pre prvý zlomok je dodatočný faktor 3.

Ak chcete odhadnúť, ako kolosálne zisky prináša najmenej bežná viacnásobná metóda, skúste vypočítať rovnaké príklady pomocou krížovej metódy. Bez kalkulačky, samozrejme. Myslím si, že potom budú komentáre nadbytočné.

Nemyslite si, že v skutočných príkladoch nebudú také zložité zlomky. Stretávajú sa neustále a vyššie uvedené úlohy nie sú limitom!

Jediným problémom je, ako nájsť tento NOC. Niekedy je všetko nájdené v priebehu niekoľkých sekúnd, doslova „od oka“, ale celkovo ide o komplexnú výpočtovú úlohu, ktorá si vyžaduje samostatné zváženie. Tu sa toho nedotkneme.

Zlomky majú odlišného alebo rovnakého menovateľa. Nazýva sa ten istý menovateľ alebo iným spôsobom spoločný menovateľ mať zlomok. Príklad spoločného menovateľa:

\ (\ frac (17) (5), \ frac (1) (5) \)

Príklad rôznych menovateľov zlomkov:

\ (\ frac (8) (3), \ frac (2) (13) \)

Ako vniesť zlomok do spoločného menovateľa?

Prvý zlomok má menovateľ 3, druhý má 13. Musíte nájsť číslo, ktoré je deliteľné 3 a 13. Toto číslo je 39.

Prvý zlomok sa musí vynásobiť dodatočný faktor 13. Aby sa zlomok nemenil, musíme čitateľa vynásobiť 13 aj menovateľom.

\ (\ frac (8) (3) = \ frac (8 \ times \ color (red) (13)) (3 \ times \ color (red) (13)) = \ frac (104) (39) \)

Druhý zlomok sa vynásobí ďalším faktorom 3.

\ (\ frac (2) (13) = \ frac (2 \ times \ color (red) (3)) (13 \ times \ color (red) (3)) = \ frac (6) (39) \)

Viedli sme k spoločnému menovateľovi zlomku:

\ (\ frac (8) (3) = \ frac (104) (39), \ frac (2) (13) = \ frac (6) (39) \)

Najnižší spoločný menovateľ.

Uvažujme o inom príklade:

Zredukujme zlomky \ (\ frac (5) (8) \) a \ (\ frac (7) (12) \) na spoločného menovateľa.

Spoločným menovateľom pre čísla 8 a 12 môžu byť čísla 24, 48, 96, 120, ..., je obvyklé zvoliť najnižší spoločný menovateľ v našom prípade je toto číslo 24.

Najmenší spoločný menovateľ Je najmenšie číslo, ktorým je delený menovateľ prvého a druhého zlomku.

Ako zistíte najnižšieho spoločného menovateľa?
Vyčíslením čísel, ktorými sa delí menovateľ prvého a druhého zlomku a vyberie sa najmenšie z nich.

Potrebujeme, aby sa zlomok so menovateľom 8 vynásobil 3 a zlomok so menovateľom 12 aby sa vynásobil 2.

\ (\ begin (zarovnanie) & \ frac (5) (8) = \ frac (5 \ times \ color (red) (3)) (8 \ times \ color (red) (3)) = \ frac (15 ) (24) \\\\ & \ frac (7) (12) = \ frac (7 \ times \ color (red) (2)) (12 \ times \ color (red) (2)) = \ frac ( 14) (24) \\\\ \ end (zarovnať) \)

Ak sa vám nepodarí ihneď priviesť zlomky k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, nie je na tom nič zlé, pri riešení nasledujúceho príkladu možno budete musieť získať odpoveď.

Spoločného menovateľa možno nájsť pre akékoľvek dve zlomky, môže to byť súčin menovateľov týchto zlomkov.

Napríklad:
Znížte zlomky \ (\ frac (1) (4) \) a \ (\ frac (9) (16) \) na najnižšieho spoločného menovateľa.

Najľahší spôsob, ako nájsť spoločného menovateľa, je súčin menovateľov 4⋅16 = 64. 64 nie je najnižším spoločným menovateľom. Podľa zadania musíte nájsť presne najnižšieho spoločného menovateľa. Preto hľadáme ďalej. Potrebujeme číslo, ktoré je deliteľné 4 a 16, toto je číslo 16. Zlomok dajte k spoločnému menovateľovi, zlomok vynásobte menovateľom 4 krát 4 a zlomok so menovateľom 16 jednou. Dostaneme:

\ (\ begin (zarovnanie) & \ frac (1) (4) = \ frac (1 \ times \ color (red) (4)) (4 \ times \ color (red) (4)) = \ frac (4 ) (16) \\\\ & \ frac (9) (16) = \ frac (9 \ times \ color (red) (1)) (16 \ times \ color (red) (1)) = \ frac ( 9) (16) \\\\ \ end (zarovnať) \)

Často sa ukazuje, že akcie so zlomkami nie sú pre študentov náročné. Nájdenie spoločného menovateľa sa stáva hlavným problémom. Aby ste sa s týmto problémom vysporiadali, musíte si zapamätať pravidlo na zníženie zlomkov na spoločného menovateľa a pochopiť, prečo je tento spoločný menovateľ vôbec potrebný.

Čo je zlomok?

V 5. ročníku sú študentom vysvetlené, že zlomok je celok rozdelený na kúsky. Menovateľ navyše označuje počet častí, na ktoré bol nejaký objekt rozdelený, a čitateľ označuje počet týchto častí, ktoré boli použité na výpočet.

Ale v matematike existuje iná definícia: zlomok je neúplná operácia delenia. To znamená, že rovnako ako každú frakciu je možné zmeniť na delenie, tak aj akúkoľvek delenie je možné zmeniť na zlomok. Napríklad:

$$ (5 \ nad (7)) = 5: 7 $$

$$ 7: 13 = (7 \ nad (13)) $$

$$ 12: 9 = (12 \ nad (9)) $$

Môžete donekonečna uvádzať príklady, ale význam sa z toho nezmení: lomka zlomku nahrádza znak delenia.

Prečo hľadať spoločného menovateľa?

Ak chcete sčítať alebo odčítať dve zlomky, musíte zmeniť dve deliace operácie na jednu. To je možné iba vtedy, ak je deliteľ rovnaký. Vo forme vzorcov to vyzerá takto:

a: b -c: e = (a * e) :( b * e) - (c * b) :( b * e) = ((a * e) - (c * b)) :( b * e)

To znamená, že na sčítanie alebo odčítanie zlomkov ich musíte uviesť do spoločného menovateľa. V opačnom prípade jednoducho nebude možné správne vyriešiť príklad.

Na násobenie a delenie zlomkov nepotrebujete uvádzať zlomky k spoločnému menovateľovi. Pre tieto operácie existuje iný teoretický základ, ktorý naznačuje iný postup.

Ako nájsť spoločného menovateľa zlomkov

Aby ste našli spoločného menovateľa zlomkov, musíte nájsť najväčší spoločný násobok menovateľov. Ukážme príklad, vyriešme malý výraz:

$$ (3 \ nad (5)) + (7 \ nad (15)) $$

Nájdite LCM menovateľov. Číslo 15 je deliteľné číslom 5, čo znamená

$$ (3 \ nad (5)) + (7 \ nad (15)) = ((3 * 3) \ nad (15)) + (7 \ nad (15)) = (9 \ nad (15)) + (7 \ nad (15)) = (16 \ nad (15)) = 1 (1 \ nad (15)) $$ - všimnite si, že so zvyšovaním čitateľa sa zvyšuje aj menovateľ. Na konci riešenia príkladu so zlomkami, ak je to možné, by ste mali vybrať celú časť výrazu.

Zlomky je možné priviesť k spoločnému menovateľovi iba pomocou základnej vlastnosti zlomku. Formulácia tejto vlastnosti je nasledovná: ak sú čitateľ a menovateľ zlomku vynásobení rovnakým číslom, potom sa hodnota zlomku nezmení. To znamená, že pri redukcii zlomku na spoločného menovateľa je potrebné vziať do úvahy nárast čitateľa.

LCM možno nájsť analyticky, ako sme to urobili v príklade. Najčastejšie sa však musíte uchýliť k faktorizácii. Aby ste našli LCM dvoch čísel, mali by ste:

• Skombinujte tieto čísla
• Skontrolujte, ktoré hlavné faktory bez rozkladu.
• Vezme sa číslo s najmenším počtom faktorov a k jeho rozšíreniu sa pridajú čísla, ktoré sú v iných rozšíreniach, ale väčšinou chýbajú. Do úvahy sa berie aj počet čísel. To znamená, že ak v hlavnom rozklade je jedno číslo 3 a v iných rozkladoch sú dve čísla 3, potom musíte hlavný rozklad vynásobiť dvoma trojicami.

Čo sme sa naučili?

Hovorili sme o prinesení zlomkov do spoločného menovateľa. Povedali, prečo je to potrebné a aké operácie so zlomkami je možné vykonať bez zníženia na spoločného menovateľa. Uviedli príklad a povedali, ako sa čitateľ zmení, keď sa zlomky privedú na spoločného menovateľa.

Test podľa témy

Hodnotenie článku

priemerné hodnotenie: 4.7. Celkový počet prijatých hodnotení: 115.

Spoločný menovateľ zlomkov

Zlomky A majú rovnakých menovateľov. Hovoria, že majú spoločný menovateľ 25. Zlomky a majú rôznych menovateľov, ale je možné ich priniesť k spoločnému menovateľovi pomocou základnej vlastnosti zlomkov. Za týmto účelom nájdite číslo deliteľné 8 a 3, napríklad 24. Prenesme zlomky na menovateľ 24, aby sme čitateľa a menovateľa zlomku vynásobili dodatočný faktor 3. Ďalší faktor je zvyčajne napísaný vľavo nad čitateľom:

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku ďalším faktorom 8:

Prenesme zlomky na spoločného menovateľa. Frakcie najčastejšie vedú k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, ktorý je najnižším spoločným násobkom menovateľa týchto zlomkov. Pretože LCM (8, 12) = 24, zlomky je možné redukovať na menovateľ 24. Nájdite ďalšie faktory zlomkov: 24: 8 = 3, 24:12 = 2. Potom

K spoločnému menovateľovi je možné priniesť niekoľko zlomkov.

Príklad. Prenesme zlomky na spoločného menovateľa. Pretože 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, potom LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Nájdeme ďalšie faktory zlomkov a uvedieme ich do menovateľa 150:

Porovnanie zlomkov

Na obr. 4.7 ukazuje segment AB dĺžky 1. Delí sa 7 rovnaké diely... Segment AC má dĺžku a segment AD má dĺžku.

Dĺžka segmentu AD je väčšia ako dĺžka segmentu AC, to znamená, že zlomok je väčší ako zlomok

Z dvoch zlomkov so spoločným menovateľom je ten s väčším čitateľom väčší, t.j.

Napríklad, alebo

Na porovnanie dvoch zlomkov sa privedú k spoločnému menovateľovi a potom sa použije pravidlo na porovnanie zlomkov so spoločným menovateľom.

Príklad. Porovnajte zlomky

Riešenie. LCM (8, 14) = 56. Potom Od 21> 20, potom

Ak je prvý zlomok menší ako druhý a druhý je menší ako tretí, potom je prvý menší ako tretí.

Dôkaz. Nech sú uvedené tri zlomky. Prenesme ich k spoločnému menovateľovi. Nech potom majú formu Pretože prvý zlomok je menší

druhá, potom r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для prirodzené čísla z toho vyplýva, že r< t, тогда первая дробь меньше третьей.

Frakcia sa nazýva správne ak je jeho čitateľ menší ako menovateľ.

Frakcia sa nazýva zle ak je jeho čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi.

Napríklad zlomky sú správne a zlomky sú nesprávne.

Správna frakcia je menšia ako 1 a nevhodná frakcia je väčšia alebo rovná 1.