Riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice(SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Veľké množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na systémy riešenia lineárne rovnice... Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc podrobným zvážením rozložených riešení typické príklady a úlohy.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície a pojmy a predstavíme notáciu.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé, zastavme sa pri Cramerovej metóde, po druhé ukážme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom pristúpime k riešeniu sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecný pohľad, v ktorom sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Sformulujme Kroneckerovu - Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu základného minoru matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a heterogénne systémy lineárne algebraické rovnice. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sa redukujú na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne resp komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma zápisu SLAE sa nazýva koordinovať.

V matricový formulár zápis, tento systém rovníc má tvar,
kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak k matici A pridáme ako (n + 1) stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od zvyšku stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc je množina hodnôt neznámych premenných, ktorá premieňa všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekonzistentné.

Ak má SLAE unikátne riešenie, potom je tzv určitý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - nedefinované.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice nie je je nula, potom sa budú volať takéto SLAE elementárne... Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, pretože sú v skutočnosti modifikáciami Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich analyzovať.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je nenulový, teda.

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., ..., n-tý do stĺpca voľných členov:

Pri tomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as ... Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar ... Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Nájdite neznáme premenné podľa vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov, keď je počet rovníc v systéme viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc zadaná v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže matica A je invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Cez inverzná matica riešenie tohto systému možno nájsť ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do stĺpcovej matice voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
determinant hlavnej matice ktorého je nenulový.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnej eliminácii neznámych premenných: najprv je x 1 vylúčené zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom je x 2 vylúčené zo všetkých rovníc, počnúc treťou, atď., až kým len neznáma premenná xn zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priamym priebehom Gaussovej metódy... Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 a tak ďalej sa z prvej rovnice zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva spätná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to urobili, k druhej rovnici systému pridáme prvú, vynásobenú, k tretej rovnici pridáme prvú, vynásobenú atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobúda tvar

kde, a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobným spôsobom, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice sústavy pridáme druhú vynásobenú, do štvrtej rovnice pridáme druhú vynásobenú atď., k n-tej rovnici pridáme druhú vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobúda tvar

kde, a ... Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámej x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou sústavy označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussova metóda: z poslednej rovnice vypočítame x n, keďže pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Riešenie.

Odstráňte neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému. Ak to chcete urobiť, pridajte zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a čím, k obom stranám druhej a tretej rovnice:

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

V tomto bode je pohyb vpred Gaussovou metódou ukončený, začíname spätný pohyb.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme.

Z prvej rovnice nájdeme zvyšnú neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc v systéme p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých základná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kroneckerova - Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova - Capelliho veta:
aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda hodnosti (A) = poradie (T).

Uvažujme napríklad o použití Kroneckerovej - Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či systém lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

... Použime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu nenulové. Poďme vyriešiť maloletých tretieho rádu, ktorí s tým hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže tretieho rádu maloletý

nenulové.

Touto cestou, Rang (A) preto môžeme podľa Kroneckerovej - Capelliho vety usúdiť, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá žiadne riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak bola preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept základnej moll matice a vetu o hodnosti matice.

Menší najvyššieho rádu matica A, odlišná od nuly, sa nazýva základné.

Z definície základnej maloletej vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných vedľajších, vždy je jeden základný vedľajší.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria vybranú základnú minoritu, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich prvkov riadkov ( a stĺpce), ktoré tvoria základnú moll.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou - Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú menšiu zo základnej matice systému (jej poradie je r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria zvolená základná moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže druhý rád je menší nenulové. Rozšírený Matrix Rank sa tiež rovná dvom, pretože jediný druh z tretieho rádu sa rovná nule

a vedľajší druh druhého poriadku uvažovaný vyššie je nenulový. Na základe Kroneckerovej - Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže poradie (A) = poradie (T) = 2.

Berieme ako základnú maloletú ... Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o hodnosti matice:


Tak sme dostali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak je počet rovníc r v získanom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom v ľavých stranách rovníc ponecháme členy, ktoré tvoria základnú moll, ostatné členy sa prenesú doprava -ručné strany rovníc sústavy s opačným znamienkom.

Volajú sa neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc hlavný.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sa objavujú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty a r základných neznámych premenných bude vyjadrené ako voľné neznáme premenné jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením získaných SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou, alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Berieme 1 1 = 1 ako nenulovú vedľajšiu hodnotu prvého poriadku. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu, ktorá obklopuje tento moll:


Takto sme našli nenulovú minoru druhého rádu. Začnime hľadať nenulovú hraničnú maličkosť tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice je tiež tri, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný berieme nájdený nenulový vedľajší tretí rád.

Pre názornosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základnú moll:


Ponecháme na ľavej strane rovníc systému pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, zvyšok prenesieme opačnými znamienkami na pravú stranu:


Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 priraďme ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu


Výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc je riešený Cramerovou metódou:


Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety. Ak sa pozícia hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak poradie základnej malo rovná sa číslu neznáme premenné, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré nájdeme akoukoľvek známou metódou.

Ak je poradie základnej menšej ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane rovníc systému ponecháme členy so základnými neznámymi premennými, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a dať ľubovoľné hodnoty voľným neznámym premenným. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv skúmala ich kompatibilita. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje dospieť k záveru o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Sledujte to Detailný popis a analyzoval príklady v článku Gaussova metóda na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základnej sústavy riešení.

V tejto časti sa zameriame na kompatibilné homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc s nekonečnou množinou riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný rozhodovací systém Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množina (n - r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád základnej moll základnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) je n-x-1 stĺpcové matice), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované vo forme lineárnej kombinácie vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1, С 2, ..., С (nr), tj. ,.

Čo znamená všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, ..., С (nr), podľa vzorca, ktorý sme získať jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme nastaviť všetky riešenia tohto homogénneho SLAE as.

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Voľným neznámym premenným dajme hodnoty 1,0,0, ..., 0 a základné neznáme vypočítame riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. To dá X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak sa dáva zadarmo neznáma hodnota 0,1,0,0, ..., 0 a vypočítame hlavné neznáme, potom dostaneme X (2). Atď. Ak voľným neznámym premenným dáme hodnoty 0,0, ..., 0,1 a vypočítame základné neznáme, dostaneme X (n-r). Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané vo forme.

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare, kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame tak, že voľným neznámym dáme hodnoty ​​0,0, ..., 0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Poďme sa pozrieť na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime poradie hlavnej matice metódou ohraničenia maloletých. Ako nenulový minor prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú vedľajšiu skupinu druhého poriadku:

Bola nájdená nenulová neplnoletá osoba druhého poriadku. Prejdime si cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, a hľadajme nenulové číslo:

Všetky hraničné minority tretieho rádu sú rovné nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice rovné dvom. Berte ako základné vedľajšie. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme na pravej strane rovníc členy obsahujúce hlavné neznáme a na pravej strane prenesieme členy s voľnými neznámymi:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Na nájdenie X (1) priradíme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo sústavy rovníc
.

• systémy m lineárne rovnice s n neznámy.
  Riešenie sústavy lineárnych rovníc Je taká množina čísel ( x 1, x 2, ..., x n), keď sa dosadí do každej z rovníc systému, získa sa správna rovnosť.
  kde a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- systémové koeficienty;
  b i, i = 1, ..., m- slobodní členovia;
  x j, j = 1, ..., n- neznámy.
  Vyššie uvedený systém možno zapísať v maticovej forme: A X = B,
  
  
  
  
  kde ( A|B) Je hlavnou maticou systému;
  A- rozšírená matica systému;
  X- stĺpec neznámych;
  B- stĺpec voľných členov.
  Ak matica B nie je teda nulová matica ∅ tento systém lineárne rovnice sa nazývajú heterogénne.
  Ak matica B= ∅, potom sa tento systém lineárnych rovníc nazýva homogénny. Homogénny systém má vždy nulové (triviálne) riešenie: x 1 = x 2 =..., x n = 0.
  Spojená sústava lineárnych rovníc Je sústava lineárnych rovníc, ktorá má riešenie.
  Nekonzistentný systém lineárnych rovníc Je to systém lineárnych rovníc, ktorý nemá riešenie.
  Definitívny systém lineárnych rovníc Je to systém lineárnych rovníc, ktorý má jedinečné riešenie.
  Neurčitý systém lineárnych rovníc Je to systém lineárnych rovníc, ktorý má nekonečnú množinu riešení.
• Sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi
  Ak sa počet neznámych rovná počtu rovníc, potom je matica štvorcová. Determinant matice sa nazýva hlavný determinant systému lineárnych rovníc a označuje sa symbolom Δ.
  Cramerova metóda na riešenie systémov n lineárne rovnice s n neznámy.
  Cramerovo pravidlo.
  Ak sa hlavný determinant systému lineárnych rovníc nerovná nule, potom je systém konzistentný a definovaný a jediné riešenie sa vypočíta podľa Cramerových vzorcov:
  kde Δ i - determinanty získané z hlavného determinantu systému Δ nahradením i stĺpec na stĺpec voľného člena. ...
• Sústavy m lineárnych rovníc s n neznámymi
  Kronecker-Capelliho veta.
  
  
  Aby bol daný systém lineárnych rovníc konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice systému, zvonil (Α) = zvonil (Α | B).
  Ak zvonil (Α) ≠ zvonil (Α | B), tak systém určite nemá riešenia.
  Ak zvonil (Α) = zvonil (Α | B), potom sú možné dva prípady:
  1) zvonil (Α) = n(k počtu neznámych) - riešenie je jedinečné a možno ho získať pomocou Cramerových vzorcov;
  2) zvonil (Α)< n - riešení je nekonečne veľa.
• Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc
  
  
  Poďme zostaviť rozšírenú maticu ( A|B) daného systému koeficientov na neznámej a pravej strane.
  Gaussova metóda alebo metóda eliminácie neznámych spočíva v redukcii rozšírenej matice ( A|B) pomocou elementárnych transformácií cez jeho rady do diagonálnej formy (do hornej trojuholníkovej formy). Ak sa vrátime k sústave rovníc, všetky neznáme sú určené.
  Medzi elementárne transformácie cez reťazce patria:
  1) výmena dvoch riadkov;
  2) násobenie reťazca číslom iným ako 0;
  3) pridanie do reťazca ďalšieho reťazca vynásobeného ľubovoľným číslom;
  4) vyhodenie nulového reťazca.
  Rozšírená matrica zmenšená do diagonálneho tvaru zodpovedá lineárny systém, ktorý je ekvivalentný danému, ktorého riešenie nie je náročné. ...
• Systém homogénnych lineárnych rovníc.
  Homogénny systém vyzerá takto:
  
  zodpovedá maticovej rovnici A X = 0.
  1) Homogénny systém je vždy kompatibilný, pretože r (A) = r (A | B), vždy existuje nulové riešenie (0, 0,…, 0).
  2) Aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je to potrebné a postačujúce r = r (A)< n , čo je ekvivalentné Δ = 0.
  3) Ak r< n , potom schválne Δ = 0, potom vznikajú voľné neznáme c 1, c 2, ..., c n-r, systém má netriviálne riešenia a je ich nekonečne veľa.
  4) Všeobecné riešenie X pri r< n možno zapísať v maticovej forme takto:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
  kde sú riešenia X1, X2, ..., Xn-r tvoria základný systém rozhodnutí.
  5) Základný systém riešení možno získať zo všeobecného riešenia homogénneho systému:
  
  ,
  ak sa hodnoty parametrov postupne považujú za (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1).
  Dekompozícia všeobecného riešenia z hľadiska fundamentálneho systému riešení Je záznamom všeobecného riešenia vo forme lineárnej kombinácie riešení patriacich do základného systému.
  Veta... Aby systém lineárny homogénne rovnice má nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ ≠ 0.
  Takže ak je determinant Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie.
  Ak Δ ≠ 0, potom systém lineárnych homogénnych rovníc má nekonečnú množinu riešení.
  Veta... Aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je to nevyhnutné a postačujúce r (A)< n .
  Dôkaz:
  1) r nemôže byť viac n(poradie matice nepresahuje počet stĺpcov alebo riadkov);
  2) r< n odkedy ak r = n, potom hlavným determinantom systému je Δ ≠ 0 a podľa Cramerových vzorcov existuje jedinečné triviálne riešenie x 1 = x 2 =... = x n = 0, čo odporuje podmienke. znamená, r (A)< n .
  Dôsledok... Aby vznikol homogénny systém n lineárne rovnice s n neznáme má nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ = 0.

Systém lineárnych rovníc je spojením n lineárnych rovníc, z ktorých každá obsahuje k premenných. Píše sa to takto:

Mnoho ľudí, ktorí sa prvýkrát stretli s vyššou algebrou, sa mylne domnievajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom premenných. V školskej algebre sa to zvyčajne stáva, ale pre vyššiu algebru to vo všeobecnosti neplatí.

Riešením sústavy rovníc je postupnosť čísel (k 1, k 2, ..., k n), ktorá je riešením každej rovnice sústavy, t.j. pri dosadení do tejto rovnice namiesto premenných x 1, x 2, ..., x n dáva správnu číselnú rovnosť.

Preto riešiť sústavu rovníc znamená nájsť množinu všetkých jej riešení alebo dokázať, že táto množina je prázdna. Keďže počet rovníc a počet neznámych sa nemusia zhodovať, sú možné tri prípady:

1. Systém je nekonzistentný, t.j. množina všetkých riešení je prázdna. Pomerne zriedkavý prípad, ktorý sa dá ľahko zistiť bez ohľadu na metódu použitú na vyriešenie systému.
2. Systém je konzistentný a definovaný, t.j. má presne jedno riešenie. Klasická verzia, dobre známa už zo školy.
3. Systém je konzistentný a nedefinovaný, t.j. má nekonečne veľa riešení. Toto je najťažšia možnosť. Nestačí poukázať na to, že „systém má nekonečnú množinu riešení“ – je potrebné popísať, ako je táto množina usporiadaná.

Premenná x i sa nazýva povolená, ak je zahrnutá len v jednej rovnici systému a s koeficientom 1. Inými slovami, v zostávajúcich rovniciach musí byť koeficient pri premennej x i rovný nule.

Ak v každej rovnici zvolíme jednu povolenú premennú, dostaneme množinu povolených premenných pre celý systém rovníc. Samotný systém napísaný v tejto forme sa bude tiež nazývať povolený. Vo všeobecnosti možno jeden a ten istý počiatočný systém zredukovať na rôzne povolené, ale teraz nás to už nezaujíma. Príklady povolených systémov sú:

Oba systémy sú povolené vzhľadom na premenné x 1, x 3 a x 4. S rovnakým úspechom však možno tvrdiť, že druhý systém je povolený vzhľadom na x 1, x 3 a x 5. Najnovšiu rovnicu stačí prepísať ako x 5 = x 4.

Uvažujme teraz o všeobecnejšom prípade. Predpokladajme, že máme k premenných, z ktorých r je povolených. Potom sú možné dva prípady:

1. Počet povolených premenných r sa rovná celkovému počtu premenných k: r = k. Získame sústavu k rovníc, v ktorých r = k povolených premenných. Takýto systém je spoločný a určitý, od r x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Počet povolených premenných r je menší celkom premenné k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Takže vo vyššie uvedených systémoch sú premenné x 2, x 5, x 6 (pre prvý systém) a x 2, x 5 (pre druhý) voľné. Prípad, keď existujú voľné premenné, je najlepšie formulovať ako veta:

Poznámka: Toto je veľmi dôležitý bod! V závislosti od toho, ako napíšete výsledný systém, môže byť rovnaká premenná povolená aj bezplatná. Väčšina lektorov vyššia matematika premenné sa odporúča vypisovať v lexikografickom poradí, t.j. vzostupný index. Touto radou sa však vôbec nemusíte riadiť.

Veta. Ak sú v systéme n rovníc povolené premenné x 1, x 2, ..., x r a x r + 1, x r + 2, ..., x k sú voľné, potom:

1. Ak nastavíme hodnoty na voľné premenné (xr + 1 = tr + 1, xr + 2 = tr + 2, ..., xk = tk) a potom nájdeme hodnoty x 1, x 2, .. ., xr, dostaneme jedno z riešení.
2. Ak sa v dvoch riešeniach hodnoty voľných premenných zhodujú, potom sa zhodujú aj hodnoty povolených premenných, t.j. riešenia sú rovnocenné.

Aký je význam tejto vety? Na získanie všetkých riešení vyriešeného systému rovníc stačí vybrať voľné premenné. Potom priradenie k voľným premenným rôzne významy, dostaneme hotové riešenia. To je všetko - týmto spôsobom môžete získať všetky riešenia systému. Iné riešenia neexistujú.

Záver: vyriešený systém rovníc je vždy konzistentný. Ak sa počet rovníc v riešenom systéme rovná počtu premenných, systém bude určitý, ak je menší, bude neurčitý.

A všetko by bolo v poriadku, ale vyvstáva otázka: ako získať vyriešenú z pôvodnej sústavy rovníc? Pre toto existuje

Sústavy lineárnych rovníc. Prednáška 6.

Sústavy lineárnych rovníc.

Základné pojmy.

Systém zobrazenia

volal sústava - lineárne rovnice s neznámymi.

Volajú sa čísla,, systémové koeficienty.

Čísla sa volajú voľných členov systému, – systémové premenné... Matrix

volal hlavná matica systému a matice

– maticový rozšírený systém... Matice - stĺpce

A tomu zodpovedajúco matice voľných členov a neznámych systému... Potom v maticovej forme môže byť systém rovníc zapísaný vo forme. Systémové riešenie sa nazývajú hodnoty premenných, keď sa dosadia, všetky rovnice systému sa zmenia na skutočné číselné rovnosti. Akékoľvek riešenie systému môže byť reprezentované vo forme matice - stĺpca. Potom platí maticová rovnosť.

Sústava rovníc je tzv kĺb ak má aspoň jedno riešenie a nekonzistentné ak nemá jediné riešenie.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc znamená zistiť, či je kompatibilná a v prípade kompatibility nájsť jej všeobecné riešenie.

Systém je tzv homogénne ak sa všetky jeho voľné členy rovnajú nule. Homogénny systém je vždy kompatibilný, pretože má riešenie

Kroneckerova - Copelliho veta.

Odpoveď na otázku existencie riešení lineárnych systémov a ich jedinečnosti nám umožňuje získať nasledujúci výsledok, ktorý je možné sformulovať vo forme nasledujúcich tvrdení o sústave lineárnych rovníc s neznámymi

(1)

Veta 2... Systém lineárnych rovníc (1) je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie hlavnej matice rovná hodnote rozšírenej (.

Veta 3... Ak sa poradie hlavnej matice spoločného systému lineárnych rovníc rovná počtu neznámych, potom má systém jedinečné riešenie.

Veta 4... Ak je poradie hlavnej matice kompatibilného systému menšie ako počet neznámych, potom má systém nekonečnú množinu riešení.

Pravidlá systémového riešenia.

3. Nájdite vyjadrenie hlavných premenných z hľadiska voľných a získajte všeobecné riešenie sústavy.

4. Zadaním ľubovoľných hodnôt voľným premenným sa získajú všetky hodnoty hlavných premenných.

Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc.

Metóda inverznej matice.

navyše to znamená, že systém má jedinečné riešenie. Napíšme systém v maticovom tvare

kde , , .

Vynásobme obe strany maticová rovnica ponechané na matricu

Od toho potom dostaneme, odkiaľ získame rovnosť pre hľadanie neznámych

Príklad 27. Pomocou metódy inverznej matice vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie. Označme hlavnou maticou systému

.

Nech, potom nájdeme riešenie podľa vzorca.

Poďme počítať.

Odvtedy má systém jedinečné riešenie. Nájdite všetky algebraické doplnky

, ,

, ,

, ,

, ,

Touto cestou

.

Skontrolujme to

.

Inverzná matica bola nájdená správne. Odtiaľ pomocou vzorca nájdeme maticu premenných.

.

Porovnaním hodnôt matíc dostaneme odpoveď:.

Cramerova metóda.

Nech je daný systém lineárnych rovníc s neznámymi

navyše to znamená, že systém má jedinečné riešenie. Napíšme riešenie sústavy v maticovom tvare resp

Označujeme

. . . . . . . . . . . . . . ,

Takto získame vzorce na nájdenie hodnôt neznámych, ktoré sa nazývajú Cramerove vzorce.

Príklad 28. Vyriešte nasledujúcu sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou .

Riešenie. Nájdite determinant hlavnej matice systému

.

Odvtedy má systém jediné riešenie.

Nájdite zvyšné determinanty pre Cramerove vzorce

,

,

.

Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme hodnoty premenných

Gaussova metóda.

Metóda spočíva v postupnej eliminácii premenných.

Nech je daný systém lineárnych rovníc s neznámymi.

Gaussovský proces riešenia pozostáva z dvoch fáz:

V prvej fáze sa expandovaná matica systému redukuje pomocou elementárnych transformácií do stupňovitej formy

,

kde, ktorému systém zodpovedá

Potom premenné sú považované za voľné a v každej rovnici sú prenesené na pravú stranu.

V druhej fáze je vyjadrená premenná z poslednej rovnice, výsledná hodnota je dosadená do rovnice. Z tejto rovnice

premenná je vyjadrená. Tento proces pokračuje až do prvej rovnice. Výsledkom je vyjadrenie hlavných premenných z hľadiska voľných premenných .

Príklad 29. Vyriešte nasledujúci systém pomocou Gaussovej metódy

Riešenie. Vypíšme rozšírenú maticu systému a zredukujme ju do stupňovitého tvaru

.

Pretože viac ako je počet neznámych, potom je systém konzistentný a má nekonečnú množinu riešení. Systém napíšeme pre stupňovitú maticu

Determinant rozšírenej matice tohto systému, zloženej z prvých troch stĺpcov, sa nerovná nule, preto sa považuje za základný. Premenné

Budú základné a variabilné budú zadarmo. Prenesieme ho vo všetkých rovniciach na ľavú stranu

Z poslednej rovnice vyjadríme

Dosadením tejto hodnoty do predposlednej druhej rovnice dostaneme

kde ... Nahradením hodnôt premenných a do prvej rovnice nájdeme ... Odpoveď napíšeme v nasledujúcom tvare

S n neznáme je systém tvaru:

kde a ij a b i (i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) sú niektoré známe čísla a x 1, ..., x n- neznáme čísla. V označení koeficientov a ij index i určuje číslo rovnice a druhé j- počet neznámych, ktorí majú tento koeficient.

Homogénny systém - keď sa všetci voľní členovia systému rovnajú nule ( b 1 = b 2 =... = b m = 0), je situácia opačná heterogénny systém.

štvorcový systém - keď číslo m rovnice sa rovná číslu n neznámych.

Systémové riešenie- agregát nčísla c 1, c 2, ..., c n, taká, že nahradenie všetkých c i namiesto x i do systému premení všetky svoje rovnice na identity.

Kolaboratívny systém - keď má systém aspoň 1 riešenie a nekonzistentný systém keď systém nemá riešenia.

Kĺbový systém tohto typu (ako je uvedené vyššie, nech je (1)) môže mať jedno alebo viac riešení.

Riešenia c 1 (1), c 2 (1), ..., c n (1) a c 1 (2), c 2 (2), ..., c n (2) kĺbový systém typu (1) bude rôzne, keď ani 1 z rovnosti nie je splnená:

c 1 (1) = c 1 (2), c 2 (1) = c 2 (2), ..., c n (1) = c n (2).

Spoločný systém typu (1) bude určitý keď má len jedno riešenie; keď má systém aspoň 2 rôzne riešenia, stáva sa nedostatočne určené... Keď existuje viac rovníc ako neznámych, systém je predefinované.

Koeficienty pre neznáme sú zapísané ako matica:

To sa nazýva systémová matica.

Čísla na pravej strane rovníc b 1, ..., b m sú voľných členov.

Agregát nčísla c 1, ..., c n je riešením tejto sústavy, keď sa všetky rovnice sústavy po dosadení čísel zmenia na rovnosť c 1, ..., c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1, ..., x n.

Pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu vzniknúť 3 možnosti:

1. Systém má len jedno riešenie.

2. Systém má nekonečné množstvo riešení. napríklad,. Riešením tohto systému budú všetky dvojice čísel, ktoré sa líšia znamienkom.

3. Systém nemá žiadne riešenia. napríklad, ak by existovalo riešenie, tak x 1 + x 2 bude sa rovnať 0 a 1 súčasne.

Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc.

Priame metódy uveďte algoritmus na nájdenie presného riešenia SLAU(systémy lineárnych algebraických rovníc). A keby bola presnosť absolútna, našli by ju. Skutočný elektropočítač samozrejme pracuje s chybou, takže riešenie bude približné.