Teorem. Systém lineárnych rovníc je koordinovaný, potom len vtedy, keď je stupeň rozšírenej matrice rovná hodnosti samotnej systémovej matrice.

Systémy lineárnych rovníc

Kĺb R (A) \u003d R () Nedokončené R (A) ≠ R ().

Systém lineárnych rovníc má teda nekonečný súbor roztokov, alebo jeden roztok, alebo nemajú riešenia vôbec.

Koniec práce -

Táto téma patrí do časti:

Základné matricové konverzie. Metóda cramer. Definícia vektora

Dva permutačné prvky tvoria inverziu Ak je väčší prvok predchádza pri nahrávaní permutácie, existujú NS rôznych permutácií N v podstate z n čísel, aby to dokázali, že permutácia sa nazýva dobro, ak je celkový počet inverzií určitým číslom A preto to nie je pravda, ak ..

Ak potrebujete ďalší materiál na túto tému, alebo ste nenašli to, čo hľadali, odporúčame používať vyhľadávanie našej pracovnej základne:

Čo budeme robiť s získaným materiálom:

Ak sa tento materiál ukázal byť užitočný pre vás, môžete ho uložiť na stránku sociálnych sietí:

Tweet

Všetky témy tejto časti:

Capera Capera Theorem
Zvážte systém lineárnych rovníc s N neznámym: Urobte matricu a rozšírenú matricu

Koncepcia homogénneho systému lineárnych rovníc
Systém lineárnych rovníc, všetkých voľných členov, v ktorých sa rovná 0, t.j. Zobrazenie systému sa nazýva homogénny

Vlastnosť riešení je homogénny
Lineárnou kombináciou roztokov homogénneho systému rovníc je riešením tohto systému. x \u003d a y \u003d

Komunikácia medzi riešeniami homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych rovníc
Zvážte obe systémy: I a

Axiomatický prístup k definícii lineárneho priestoru
Predtým sa koncepcia N-dimenzionálneho vektora vektora zaviedla ako súbor objednaných systémov N-platných čísel, pre ktoré boli uvedené pridávanie adičných a multiplikácií

Corollary z Axiom
1. Jedinečnosť nulového vektora 2. Jedinečnosť opačného vektora

Dôkaz o následkoch
1. Predpokladajme, že. -Menej

Základ. Rozmer. Súradnice
Definícia 1. Základ lineárneho priestoru L sa nazýva systém prvkov patriacich k L, uspokojujúcim dve podmienky: 1)

V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady:

- systém je neúplný (nie roztoky);
- Systém je spoločne a má nekonečne veľa riešení.

Poznámka : Termín "jednotný" znamená, že systém má aspoň určité riešenie. V mnohých úlohách je potrebné predbežovať systém pre jednotky, ako to urobiť - pozri článok o matica.

Pre tieto systémy sa používajú najuniverzálnejšie zo všetkých riešení - metóda gauss. V skutočnosti, odpoveď tiež vedie metódu "školy", ale vo vyššej matematike je zvyčajné používať Gaussovskú metódu konzistentného vylúčenia neznámeho. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gauss Metóda, najprv preskúmajte lekciu gauss metóda pre čajovník.

Základné transformácie samotných matríc - presne to istéRozdiel bude na konci rozhodnutia. Najprv zvážte niekoľko príkladov, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1.

Čo je okamžite zarážajúce v tomto systéme? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Ak je počet rovníc menší ako počet premennýchMôžete okamžite povedať, že systém je buď nenápadný alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je úplne obyčajný - zapíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií, ktoré jej dávame na krok pohľad:

(1) Na ľavom hornom kroku musíme dostať +1 alebo -1. V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže permutácia riadkov nedáva nič. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle a môže sa vykonať niekoľkými spôsobmi. Zadal som to: Pridám tretí riadok na prvý riadok vynásobený -1.

(2) Teraz dostaneme dve nule v prvom stĺpci. K druhému riadku Pridajte prvý reťazec vynásobený 3. na tretí riadok pridať prvý reťazec vynásobený 5.

(3) Po dokončení konverzie je vždy vhodné vidieť a či nie je možné zjednodušiť získané riadky? Môcť. Druhý reťazec rozdelíme na 2, v rovnakom čase dostať potrebné -1 na druhý krok. Tretia čiara Delim na -3.

(4) K treťom riadku pridáme druhý reťazec.

Pravdepodobne si každý upozornil na zlú líniu, ktorá sa ukázala ako výsledok elementárnych transformácií: . Je jasné, že to nemôže byť. V skutočnosti prepíšte výslednú maticu Späť na systém lineárnych rovníc:

Ak sa získa rad pohľadávok v dôsledku základných transformácií, kde - číslo iné ako nula, systém je nepochopiteľný (žiadne roztoky).

Ako zaznamenať ukončnú úlohu? Nakreslíme bielou kriedou: "V dôsledku základných transformácií sa získal reťazec pohľadu, kde" a my poskytneme odpoveď: systém nemá žiadne riešenia (nepochopiteľné).

Ak je podmienkou, je potrebné preskúmať systém pre jednotky, potom je potrebné vykonať riešenie v pevnejšom štýle so zapojením konceptu rank Matrix a teorem Krakeker-Capelli.

Upozorňujeme, že neexistuje spätný zdvih Gauss algorithm - neexistuje žiadne riešenie a nie je nič nájsť.

Príklad 2.

Vyriešiť systém lineárnych rovníc

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Opäť vám pripomínam, že váš kurz rozhodnutia sa môže líšiť od môjho priebehu rozhodnutia, algoritmus Gauss nemá silnú "tuhosť".

Ďalším technickým prvkom riešenia: Elementary Transformations je možné ukončiť okamžiteAkonáhle sa zdvihol riadok, kde. Zvážte podmienený príklad: Predpokladajme, že po prvej transformácii sa matrica ukázala . Matrica ešte nie je uvedená v kroku, ale nie je potrebné ďalšie elementárne transformácie, pretože sa objavil reťazec zobrazenia, kde. Mali by ste okamžite odpovedať, že systém je neúplný.

Keď systém lineárnych rovníc nemá riešenia - je to takmer dar, kvôli tomu, že sa ukáže na krátke riešenie, niekedy doslova v 2-3 krokoch.

Ale všetko v tomto svete je vyvážené a úloha, v ktorej má systém nekonečne veľa riešení - len dlhšie.

Príklad 3.

Vyriešiť systém lineárnych rovníc

Existujú 4 rovnice a 4 neznáme, takže systém môže mať buď jediné riešenie, alebo nie mať riešenia alebo majú nekonečne veľa riešení. Či už to bolo, ale metóda Gauss v každom prípade nás bude viesť k odpovedi. Toto je jeho všestrannosť.

Začnite znova štandard. Píšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií, ktoré mu dávame do typu kroku:

To je všetko a báli ste sa.

(1) Upozorňujeme, že všetky čísla v prvom stĺpci sú rozdelené do 2, takže dva a dvakrát sadnú na ľavom hornom kroku. Druhý riadok pridajte prvý reťazec vynásobený -4. K treťom riadku pridajte prvý reťazec vynásobený -2. K štvrtej linke pridajte prvý reťazec vynásobený -1.

Pozor! Mnohí môžu mať pokušenie zo štvrtej čiary odpočítať Prvý reťazec. Môžete to urobiť, ale nie je potrebné, skúsenosti ukazujú, že pravdepodobnosť chýb vo výpočtoch sa niekoľkokrát zvyšuje. Iba fold: do štvrtého linky Pridať prvý riadok vynásobený -1 - presne!

(2) Posledné tri riadky sú úmerné, dve z nich môžu byť odstránené.

Tu znova potrebujete ukázať zvýšená pozornosťJe to naozaj úmerné líniu? Pre zaistenie (najmä kanvica) nebude zbytočná na násobenie druhého riadku na -1 a štvrtý riadok je rozdelený na 2, čo je výsledkom troch identických línií. A až po tom odstrániť dve z nich.

V dôsledku elementárnych transformácií sa predĺžená systémová matrica podáva stupňovitej forme:

Pri vykonaní úlohy v notebooku je žiaduce zviditeľnenie, aby sa rovnaké známky s ceruzkou.

Zodpovedajúci systém rovníc prepíráme:

"Zvyčajné" jediným riešením do systému tu a necíti. Nie je tiež žiadna zlá línia. Tak je to tretí zostávajúci prípad - systém má nekonečne veľa riešení. Niekedy pod podmienkou, ktoré potrebujete vyšetrovať jednotný systém (t.j., aby preukázal, že existuje rozhodnutie vôbec), môžete si o tom prečítať v poslednom odseku článku Ako nájsť hodnosť matice? Ale stále rozoberáme AZA:

Nekonečný súbor riešení systému je stručne napísaný vo forme tzv. všeobecný systém riešenia .

Všeobecné riešenie systému nájde s pomocou spätného pohybu metód GAUSS.

Najprv musíte určiť, ktoré premenné sme základA aké premenné zadarmo. Nemusíte sa obťažovať s podmienkami lineárnej algebry, len si pamätajte, že existuje taký základné premenné a voľné premenné.

Základné premenné vždy "sedieť" striktne na schodoch matrice.
V tomto príklade sú základné premenné

Voľné premenné sú všetko zostávajúce Premenné, ktoré nedostali kroky. V našom prípade existujú dva: - bezplatné premenné.

Teraz potrebujete všetko základné premenné expresné len cez voľné premenné.

Reverzný pohyb Gauss algoritmus tradične pracuje pod.
Z druhej rovnice systému vyjadrujeme základnú premennú:

Teraz sa pozrieme na prvú rovnicu: . Najprv nahrádzame výrazný výraz:

Zostáva vyjadriť základnú premennú prostredníctvom voľných premenných:

V dôsledku toho sa ukázalo, čo potrebujete - všetko Sú vyjadrené základné premenné (a) len cez Voľné premenné:

Všeobecné rozhodnutie je pripravené:

Ako opraviť všeobecné riešenie?
Voľné premenné sú zaznamenané v celkovom riešení "sám" a striktne na ich miestach. V tomto prípade by sa mali zaznamenávať voľné premenné v druhej a štvrtej pozícii:
.

Získané výrazy pre základné premenné A samozrejme, musíte nahrávať v prvej a tretej pozícii:

Dať voľné premenné Ľubovoľné hodnoty, môžete nájsť nekonečne veľa súkromné \u200b\u200briešenia. Najobľúbenejšie hodnoty sú nuly, pretože konkrétne riešenie je jednoduchšie. Náhradu všeobecného riešenia:

- súkromné \u200b\u200briešenie.

Ďalším sladkým párom sú jednotky, náhradu všeobecného riešenia:

- Ďalšie súkromné \u200b\u200briešenie.

Je ľahké vidieť, že systém rovníc má nekonečne veľa riešení (pretože môžeme poskytnúť zadarmo premenné akýkoľvek hodnoty)

Každý Súkromné \u200b\u200brozhodnutie musí uspokojiť každému Systémová rovnica. Toto je založené "rýchle" overenie správnosti rozhodnutia. Vezmite si napríklad súkromné \u200b\u200briešenie a nahradiť ho do ľavej časti každej rovnice zdrojového systému:

Všetko by sa malo spojiť. A s akýmikoľvek súkromným rozhodnutím, ktoré ste dostali - všetko by malo byť tiež prenesené.

Ale striktne povedané, kontrola súkromného riešenia je niekedy oklamané, t.j. Niektoré konkrétne rozhodnutie môže uspokojiť každú rovnicu systému a samotné všeobecné rozhodnutie sa skutočne zistí nesprávne.

Preto je viac zakladateľom a spoľahlivý na kontrolu všeobecného riešenia. Ako skontrolovať výsledné všeobecné riešenie ?

Je to jednoduché, ale skôr dôrazne. Musíte urobiť výrazy základ Premenné v tomto prípade A a nahradiť ich do ľavej časti každej rovnice systému.

V ľavej časti prvej rovnice systému:

Na ľavej strane druhej rovnice systému:


Získa sa pravá časť zdrojovej rovnice.

Príklad 4.

Vyriešiť systém gauss. Nájdite všeobecné riešenie a dve súkromné. Vykonať kontrolu všeobecného riešenia.

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Mimochodom, opäť počet rovníc je menší ako počet neznámych, a preto je okamžite zrejmé, že systém bude buď neúplný alebo s nekonečnými nastavenými riešeniami. Čo je dôležité v procese riešenia? Pozornosť a opäť pozornosť. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A pár príkladov pre upevnenie materiálu

Príklad 5.

Riešiť systém lineárnych rovníc. Ak má systém nekonečne veľa riešení, nájdite dve špecializované riešenia a vykonajte šek

Rozhodnutie: Píšeme rozšírenú systémovú matricu as pomocou elementárnych transformácií, ktoré mu dávame do typu kroku:

(1) Druhý riadok pridáva prvý reťazec. K treťom riadku Pridajte prvý reťazec vynásobený 2. K štvrtého riadku Pridajte prvý reťazec vynásobený 3.
(2) k treťom riadku pridajte druhý reťazec vynásobený -5. Na štvrtý riadok pridáme druhý reťazec vynásobený -7.
(3) Tretie a štvrté reťazce sú rovnaké, jeden z nich vymažte.

Tu je krása:

Základné premenné sedia v krokoch, preto - základné premenné.
Bezplatná premenná, ktorá tu nedostala kroky:

Návrat:
Vyjadrite základné premenné prostredníctvom bezplatnej premennej:
Z tretej rovnice:

Zvážte druhú rovnicu a nahradiť výraz naň:

Zvážte prvú rovnicu a náhradné vyjadrenia v ňom a:

Áno, koniec Koniec koncov, kalkulačka je vhodná, ktorá hovorí bežné frakcie.

Všeobecné riešenie teda:

Ešte raz, ako sa to stalo? Bezplatná premenná je osamela v jeho legitímnom štvrtom mieste. Získané výrazy pre základné premenné tiež si vzali vlastné pokračovanie.

Okamžite vykonať všeobecnú kontrolu rozhodovania. Práca pre černochov, ale už bola splnená, takže úlovok \u003d)

Nahradíme tri hrdinov, do ľavej časti každej rovnice systému:

Získavajú sa zodpovedajúce pravé časti rovníc, teda všeobecné riešenie je truené.

Teraz z nájdeného všeobecného riešenia Dostaneme dve súkromné \u200b\u200briešenia. Šéfkuchár tu prichádza jediná voľná premenná. Nie je potrebné zlomiť hlavu.

Nechajte, potom - súkromné \u200b\u200briešenie.
Nechajte, potom - Ďalšie súkromné \u200b\u200briešenie.

Odpoveď: Spoločné rozhodnutie: , Súkromné \u200b\u200briešenia: , .

V márni, som si tu spomenul o černochoch ... ... pretože všetky druhy sadistických motívov boli kliknuté v hlave a ja som si spomenul na slávny PhotoJaba, na ktorom Kukluksklanovtsy v bielych Bamachons beží pozdĺž poľa pre čierny futbalista. Sedím, usmievam sa ticho. Viete, ako rušivé ...

Mnohé matematiky sú škodlivé, takže podobný konečný príklad pre nezávislé riešenie.

Príklad 6.

Nájdite všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc.

Už som urobil všeobecné riešenie na kontrolu, odpoveď je možné dôverovať. Vaše rozhodnutie riešenia sa môže líšiť od môjho rozhodnutia o rozhodnutí, hlavnou vecou je zhodovať sa so všeobecnými rozhodnutiami.

Pravdepodobne mnohí si všimli nepríjemný moment v rozhodnutiach: veľmi často, s reverzným priebehom metód Gaussu, sme museli pokaziť s bežnými frakciami. V praxi je to pravda, prípady, keď nie sú žiadne frakcie - sú oveľa menej časté. Byť pripravení morálne a čo je najdôležitejšie, technicky.

Zastavím sa na niektoré vlastnosti rozhodnutia, ktoré sa nezhodovali v rozšírených príkladoch.

Vo všeobecnosti môže systémový roztok niekedy obsahovať konštantné (alebo konštanty), napríklad :. Tu sa jedna zo základných premenných rovná konštantnému číslu :. Nie je nič exotické, stane sa to. Samozrejme, v tomto prípade bude akékoľvek konkrétne rozhodnutie obsahovať päť v prvej pozícii.

Zriedka, ale existujú systémy, v ktorých počet rovníc je väčší ako počet premenných. Metóda Gauss pracuje v najkrajších podmienkach, nie je možné objasniť rozšírenú systémovú matricu na postupný typ podľa štandardného algoritmu. Takýto systém môže byť nekompatibilný, môže mať nekonečne veľa riešení a zvláštne, môže mať jedno riešenie.

Preskúmajte systém lineárnych angebraických rovníc (Slava) na jednotky znamená zistiť, tento systém má riešenie, alebo nie. No, ak existujú riešenia, potom uveďte, koľko z nich.

Budeme potrebovať informácie z témy "Systém lineárnych algebraických rovníc. Základné pojmy. Matica forma nahrávania." Najmä potrebujeme také pojmy ako systémová matica a rozšírená systémová matica, pretože je práve na nich, aby opísali veta kappeli teorem. Systémová matica bude ako obvykle označená písmenom $ A $ A $ a rozšírená systémová matica je písmeno $ widetilde (A) $.

Capera Capera Theorem

Systém lineárnych algebraických rovníc sa potom koordinuje a len vtedy, ak sa hodnosť systémovej matrice rovná hodnosti rozšírenej systémovej matrice, t.j. $ ROZHNUTÝ A \u003d RIGHT MOŽNOSTI (A) $.

Dovoľte mi pripomenúť, že systém sa nazýva kolaboratívny, ak má aspoň jedno riešenie. Capera-Capelli Theorem hovorí, že ak $ zazvonil A \u003d Rang Wideetilde (a) $ je tam; Ak $ 6 zazvonil a nemal, potom tento svah nemá žiadne riešenia (neúplné). Odpoveď na otázku o počte týchto rozhodnutí dáva dôsledok Kronkener-Capelli teorer. V znení následku sa používa list $ n $, ktorý sa rovná počtu premenných daného svahu.

Dôsledkom Kepekener-Capeie Ve Teorm

1. Ak $ zazvonil a nemil sa, že Slava je neúplná (nie riešenia).
2. Ak $ zazvonil A \u003d rozhlasový (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ak $ zazvonil A \u003d rozhlasovať WIDETILDE (A) \u003d N $, potom je definovaný sklon (má presne jedno riešenie).

Všimnite si, že formulovaná teorem a dôsledok neviejú, ako nájsť riešenie Slava. S pomocou ich pomoci môžete zistiť, či existujú tieto riešenia alebo nie, a ak existujú, koľko.

Príklad №1

Preskúmajte ľavicu $ (Začiatok (zarovnané) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 \u003d 17; & -x_1 + 2x_2-4x_3 \u003d 9; & 4x_1-2x_2 + 19x_3 \u003d -42. \\ T ) Pravý. $ Na zjednotenie. Ak je Slava zdieľa, zadajte počet riešení.

Aby sme zistili prítomnosť riešení danej Slava, používame teorem CAPERERA CAPERERA. Budeme potrebovať maticu $ a $ a rozšírenú matricu systému $ Widetilde (A) $ Napíšte ich:

$$ A \u003d doľava (začiatok (pole) (CCC) -3 & 9 & -7 ~ 1 a 2 & -4 4 & -2 & 19 end (Array) vpravo); \\ ju Widetilde (a) \u003d doľava (začiatok (pole) (CCC | C) -3 & 9 & -7 & 17 & -42 4 & -2 & 19 & -42 END (ARRAY) RIGHT). $$.

Je potrebné nájsť $ a $ a $ a $ a $. Na to existuje mnoho spôsobov, z ktorých niektoré sú uvedené v časti "Rank Matrix". Na štúdium takýchto systémov sa zvyčajne používajú dve metódy: "Výpočet triedy matrice podľa definície" alebo "výpočet triedy matrice metódou elementárnych transformácií."

Metóda číslo 1. Výpočet radov podľa definície.

Podľa definície je poradie najvyššie poradie menšinovej matice, medzi ktorý je aspoň jeden iný ako nula. Typicky sa štúdia začína s neplnoletými prvými objednávkami, ale tu je vhodnejšie začať okamžite k výpočtu baníka tretieho poradia matice $ A $. Prvky menšieho tretieho rádu sú na križovatke troch riadkov a troch stĺpcov z úvahy matricu. Vzhľadom k tomu, matica $ A $ obsahuje len 3 riadky a 3 stĺpce, menšie z tretieho poradia matice $ A $ je identifikátor matice $ A $, t.j. $ Delta a $. Na výpočet determiny aplikujeme vzorca č. 2 z témy "vzorce na výpočet determinantov druhej a tretej objednávky":

$$ delta a \u003d vľavo \\ NONTARD (ARRAY) (CCC) -3 & 9 & -2 & YOPLOSTI (ARRAY) RIGHT | \u003d -21. $$.

Takže, je menšie tretieho poradia matice $ A $, ktoré nie je rovné nule. Minor zo štvrtej objednávky je nemožné zostaviť, pretože vyžaduje 4 riadky a 4 stĺpce a v US matici Matici $ 3 a 3 stĺpce. Takže, najvyšší poriadok menšiny MATRIX $ A $, medzi ktorými existuje aspoň jeden nulový, je 3. Preto, $ A \u003d $ 3.

Musíme tiež nájsť $ Rang Widetilde (A) $. Pozrime sa na matricovú štruktúru $ widetilde (A) $. Až do linky v $ Widetilde Matica (A) $ Tam sú prvky Matici $ A $ a zistili sme, že $ delta a neq 0 $. V dôsledku toho je $ widetilde matica (A) $ je menšia tretia objednávka, ktorá nie je rovná nule. Minilári štvrtého poradia matice $ widetilde (a) $ nemôžeme skladať, takže sme na záver: $ Right Wideletde (A) \u003d $ 3.

Vzhľadom k tomu, $ zazvonil A \u003d r rans widetilde (a) $, potom podľa Klekekeker-Capeli Theorem, systém je spolujazdený, t.j. Má roztok (aspoň jeden). Ak chcete označiť počet riešení, berieme do úvahy, že náš svah obsahuje 3 neznámych: $ X_1 $, $ X_2 $ a $ X_3 $. Vzhľadom k tomu, počet neznámych $ n \u003d $ 3, urobíme záver: $ Rang A \u003d Rang Wideetilde (A) \u003d N $, preto podľa následku Capera-Capereli teorer je definovaný systém, tj Má jednotné rozhodnutie.

Úloha je vyriešená. Aké nevýhody a výhody je táto metóda? Začať hovoriť o profesionáli. Po prvé, potrebovali sme nájsť len jeden determinant. Potom sme okamžite ukončili o počte rozhodnutí. Zvyčajne sú štandardné typické výpočty uvedené systémy rovníc, ktoré obsahujú tri neznáme a majú jeden roztok. Pre takéto systémy je táto metóda veľmi pohodlná, pretože vopred vieme, že existuje riešenie (inak by to príklad nebol v štandardnom výpočte). Tí. Musíme len ukázať prítomnosť riešení najrýchlejšie. Po druhé, vypočítaná hodnota systémovej matrice systému (t.j. $ delta A $) je užitočná po: Keď sa rozhodnete zadaný systém riadiacim systémom alebo pomocou reverznej matrice.

Metóda výpočtu hodnosti podľa definície je však nežiaduca aplikovať, ak je matrica systému $ A pravouhlica. V tomto prípade je lepšie aplikovať druhú metódu, ktorá bude diskutovaná nižšie. Okrem toho, ak $ delta A \u003d $ 0, nebudeme môcť povedať nič o počte riešení, ktoré boli dané nehomogénnemu svahu. Možno, že nekonečný počet riešení má svah, a možno nie jeden. Ak $ delta a \u003d 0 $ vyžaduje dodatočnú štúdiu, ktorá je často objemná.

Zhrnutie uvedeného, \u200b\u200bvšimnem si, že prvá metóda je dobrá pre tie Slava, ktorého Square System Matrix. Samotná spoločnosť Slava obsahuje tri alebo štyri neznáme a prevzaté zo štandardných typických výpočtov alebo testovacej práce.

Metóda číslo 2. Výpočet hodnosti základnými transformáciami.

Táto metóda je podrobne opísaná v príslušnej téme. Budeme vypočítať RAG $ WIDETILDE MATRIX (A) $. Prečo presne matrica $ widetilde (A) $, nie $ A $? Faktom je, že $ A $ Matica je súčasťou $ widetilde matice (a) $, takže výpočet $ widdetilde matici hodnosti (a) $ budeme v rovnakom čase nájdeme ako $ a $ matrix hodnosť.

Začiatok (zarovnané) & widetilde (a) \u003d vľavo (začiatok (pole) (CCC | C) -3 & 9 & -7 & 17 \\\\ -1 & 1 & -4 & 9 \\\\ 4 & - 2 a 19 & -42 END (ARRAY) RIGHT) RIMORROW REFRIGHT | text (zmeníme prvé a druhé riadky) "RightArrow Right (Začiatok (Array) (CCC | C) -1 & A -4 & 9 & 9 & -7 &7 \\\\ 4 & -2 & 19 & - 42 END (ARRAY) RIGHT) Začiatok (pole) (L) Phantom (0) R_2-3R_1 R_3 + 4R_1 END (ARRAY) RIMORROW LEFT (Začiatok (pole) (CCC | C) -1 a 2 & -4 & 9 0 & 3 & -10 ed (pole) vpravo) Začiatok (pole) (L) PHANTOM (0) PHANTOM (0) \\ t R_3-2R_2 END (ARRAY) RIMORROW RAFROW RAFROUROW (štart (Array) (CCC | C) -1 & 2 & -4 & 9 \\\\ 0 & 3 & -10 \\\\ 0 & 0 & -7 & 14 END (ARRAY) RIGHT) END (zarovnané)

Viedli sme $ widetilde (a) $ na krok. Výsledná stupňovitá matrica má tri non-nulové reťazce, takže jeho pozícia je 3. V dôsledku toho je stupeň matice $ widetilde (a) $ je 3, t.j. $ Righs widetilde (a) \u003d $ 3. Uskutočňovanie konverzií s prvkami MATRIX $ WIDETILDE (A) $ Sme súčasne prevedení a prvky matice $ A $, ktoré sa nachádzajú až po linku. Matica $ A $ je tiež daná rýchlosťou: $ doľava (začiatok (pole) (CCC) -1 a 2 & -4 0 & 3 a 0 & -7 end (Pole) vpravo) $. Záver: Rank matice $ A $ je tiež 3, t.j. $ Zazvonil A \u003d $ 3.

Vzhľadom k tomu, $ zazvonil A \u003d r rans widetilde (a) $, potom podľa Klekekeker-Capeli Theorem, systém je spolujazdený, t.j. má riešenie. Ak chcete označiť počet riešení, berieme do úvahy, že náš svah obsahuje 3 neznámych: $ X_1 $, $ X_2 $ a $ X_3 $. Od počtu neznámych $ n \u003d $ 3, vyrábame výstup: $ A A \u003d RNG WIDETILDE (A) \u003d N $, preto podľa následku teorem CAPPELLLI je systém definovaný, t.j. Má jednotné rozhodnutie.

Aké sú výhody druhého spôsobu? Hlavnou výhodou je jeho všestrannosť. Nezáleží na nás, či matrica je štvorcová alebo nie. Okrem toho sme skutočne uskutočnili transformácie priameho pohybu metódy gauss. Zostáva len niekoľkými krokmi a mohli by sme dostať riešenie tejto spoločnosti Slava. Úprimne, druhý spôsob, ako sa mi páči, ale voľba je vecou chuti.

Odpoveď: Zadaná spoločnosť Slava je zdieľaná a definovaná.

Príklad číslo 2.

Preskúmajte ľavicu $ (Začiatok (zarovnané) (Začiatok (Zaregistrované) a X_1-X_2 + 2x_3 \u003d -1; & -X_1 + 2x_2-3x_3 \u003d 3; & 2 x 1 x_2 + 3x_3 \u003d 2; & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 \u003d 1; a 2x_1-3x_2 + 5x_3 \u003d -4. Skončiť (zarovnané) vpravo. $ Za jednotky.

Hľadanie radov systémovej matrice a rozšírená systémová matica bude metódou elementárnych transformácií. Rozšírená systémová matica: $ widetilde (A) \u003d vľavo (Začiatok (pole) (CCC | C) 1 & -1 & -1 & -1 \\\\ -1 & -3 & -3 & -1 \\\\ 2 & -1 \\ t A 3 a 2 3 & -3 & 5 & 1 2 & -3 & 5 & -4 end (Array) vpravo) $. Nájdite požadované pozície, konverziu rozšírenej systémovej matici:

$$, vľavo (štart (pole) (CCC | C) 1 & -1 & -3 & -1 & -1 a 2 & -3 & 32 & -3 & 5 & -4 3 & 3 & -2 & 5 & 1 End & -1 & 3 & 2 End (Array) vpravo) Začiatok (pole) (L) Phantom (0) R_2 + R_1 R_3-2R_1 \\\\ R_4 -3R_1 R_5-2R_1 END (ARRAY) RIMORROW LEFT (Začiatok (pole) (CCC | C) 1 & -1 a 2 & -1 \\\\ 0 & -1 a 2 & -1 & 1 & -2 0 & -1 & 4 erray 0 & 1 & -1 & 4 end (pole) vpravo) Začiatok (pole) (L) PHANTOM (0) \\ t PHANTOM (0) R_3-R_2 R_4-R_2 R_5 + R_2 END (ARRAY) RAFROUROW $$$$ RPORTW RIGHTROW Vľavo (Začiatok) (CCC | C) 1 & -1 & 2 & -1 '0 & 1 a 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 a 0 a 0 & 0 & 0 & 0 & 0. koniec (pole) vpravo) začínajú (pole) (l) \\ t PHANTOM (0) PHANTOM (0) PHANTOM (0) R_4-R_3 PHANTOM (0), KTORÝKOĽVEK ROZHODNOSTI (NÁKLADY) 1 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 a 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 $

Rozšírená matica systému sa zobrazí krok. Rank stupňovitého matice sa rovná počtu jeho nenulových reťazcov, preto $ Righs Widetilde (A) \u003d $ 3. Matrica $ A $ (až do riadku) je tiež daná na rýchlosť, a jeho pozície je 2, $ (A) \u003d $ 2.

Vzhľadom k tomu, $ cag za cant n cantilldeilde (a) $, potom podľa KONECKER-CHAPEL THEOREM, systém je neúplný (t.j. žiadne riešenia).

Odpoveď: Systém je nezrozumiteľný.

Príklad číslo 3.

Preskúmajte ľavé (Začiatok (zarovnané) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 \u003d 42; & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 \u003d 17; & -3x_1 + 9x_2-11x_3-7x_5 \u003d -64 & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 \u003d -90; & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 \u003d 132. Skončenie (zarovnané) vpravo. $ Za jednotky.

Dávame rozšírenú systémovú maticu na typ kroku:

$$, vľavo (začiatok (pole) (CCCCC | C) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 & 0 & -7 & -64 7 & -4 & -7 & -90 7 & -4 & 23 & 0 & 15 & 132 End (Array) vpravo) DESAVE (R_1 LEFTROGHTROW (R_3)) ( "RightArrow) $$$$ RAFTROW Vľavo (Začiatok (Array) (CCCCC | C) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\\\ 2 & 7 & -5 & 11 & 17 -7 &--64 -5 & 17 & -64 & -5 & -5 & -5 & -90 9 & -4 & -7 & -90 9 & -17 & 23 & 0 & -7 & 132 (Array ) Right) Začiatok (pole) (L) Phantom (0) R_2-2R_1 R_3 + 3R_1 R_4 + 5R_1 DOPLNKU (ARRAY) RIMORROW RIGHT (NÁKLADY) (CCCCC | C) 1 & -2 & 3 & 0 & 17 0 & 4 & 1 & 3 & 7 & 8 a 3 & - 2 & 0 & -1 & -13 \\\\ 0 & 7 & - 1 & -5 & 6 & 0 & 1 End (Array) vpravo) Začiatok (pole) (L) Phantom (0) PHANTOM (0) 4R_3 + 3R_2 \\\\ 4R_4-7R_2 4R_5 + 3R_2 END (ARRAY) RIMORROW $$$$ RAFROUROW LEFT (Začiatok (Array) (CCCCC | C) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\\\ 0 & 1 & -5 & 7 & 8 a 0 & -76 & 15 & -72 & -76 \\\\ 0 & -76 & -11 & -22 & -25 & -76 \\\\ 0 & 76 END (ARRAY) RIGHT) Začiatok (pole) (L) PHANTOM (0) PHANTOM (0) PHANTOM (0) R_4-R_3 R_5 + R_2 (Pole) Righter Right Right (začiatok (pole) (CCCCC | C) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 0 & 1 & -5 & 7 &7 -76 0 & 0 & 0 & 0 & 0. koniec (pole) vpravo) $$

Viedli sme rozšírenú systémovú matricu a systémový maticu na stupňovitú formu. Rank rozšírenej systémovej matrice je tri, hodnosť systémovej matrice je rovnaká ako tri. Keďže systém obsahuje $ n \u003d $ 5 neznámy, t.j. $ Righ Rig Videlilde (A) \u003d RASE (A) (n) $, potom podľa následku cappeli Capera teorem, tento systém je neistý, t.j. Má nekonečný počet riešení.

Odpoveď: Systém je neistý.

V druhej časti budeme analyzovať príklady, ktoré sú často zahrnuté v typických výpočtoch alebo skúšobnej práci na vyššej matematike: Výskum jednotiek a riešenie svahu v závislosti od hodnôt parametrov zahrnutých v ňom.

Ak systém

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + A 1N X N \u003d B 1,

21 x 1 + a 22 x 2 + ... + A 2N X N \u003d B2,

m1 x 1 + A M1 X 2 + ... + A MN X N \u003d B m. (5.1)

ukázalo sa, že je to kĺb, to znamená, že matrica systému A a matrica rozšíreného systému (s stĺpcom voľných členov) A | B majú rovnakú hodnosť, potom môžu byť zavedené dve možnosti - a) r \u003d n; b) R.< n:

a) Ak R \u003d N, máme n nezávislé rovnice s N neznámym a determinant D tohto systému sa líši od nuly. Takýto systém má jediné riešenie získané softvérom;

b) ak r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Prenesieme zbytočné neznáme X R + 1, X R + 2, ..., X N, ktoré sa nazývajú zadarmo, v pravej časti; Naša systém lineárnych rovníc bude mať formu:

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + A 1R X R \u003d B 1 - A 1, R + 1 x R + 1 -... - A 1N X N,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2R X R \u003d B 2 - A 2, R + 1 x R + 1 -... - A 2N X N,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

r1 x 1 + A R2 x 2 + ... + A RR X R \u003d B R - A R, R + 1 x R + 1 -... - RN x n.

Môže byť vyriešený v porovnaní s x 1, x 2, ..., x R, pretože determinant tohto systému (poradie RTH) sa líši od nuly. Dať bezplatné neznáme ľubovoľné číselné hodnoty, získavame zodpovedajúce číselné hodnoty pre x 1, x 2, ..., x r. Tak, keď r< n имеем бесчисленное множество решений.

Systém (5.1) sa nazýva uniformaAk všetko b i \u003d 0, t.j. vyzerá to:

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + A 1N XN \u003d 0, 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2N XN \u003d 0, (5.5) ... .. ... ... ... ... ... A M1 X 1 + A M1 X 2 + ... + A MN XN \u003d 0.

Z Kronkener-Capelli teorem z toho vyplýva, že je vždy spoluvinutý, pretože pridanie stĺpca z nuly nemôže zvýšiť stupeň matrice. To je však viditeľné a priamo - systém (5.5) pozná nulu alebo triviálne, pričom roztok x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d xn \u003d 0. Nechajte matricu a systém (5.5) R. Ak R \u003d N, potom nulový roztok bude jediným riešením systému (5.5); V R.< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется vlastná lineárna konverzia vektora (štvorcová matrica A. ), ak existuje také číslo λ, že bude vykonaná rovnosť

Číslo λ sa nazýva vlastná lineárna transformácia (matrica A. ), Zodpovedajúci vektor X. Matrica A má objednať n. V matematickom hospodárstve sa tzv. produktívne matrice. Je dokázané, že matrica A je produktívna, ak je len vtedy, ak sú všetky vlastné vlastnosti matricovej modulu menšie ako jeden. Ak chcete nájsť vlastné vlastnosti matice A, prepíšte rovnosť ax \u003d λx vo forme (A - λe) x \u003d 0, kde E-Single matricu N-TH objednávky alebo v súradnicovom formulári:

(a 11 -λ) x 1 + A 12 x 2 + ... + A 1N x n \u003d 0,

21 x 1 + (a 22 -λ) x 2 + ... + A 2N x n \u003d 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + (a nn -λ) xn \u003d 0 .

Dostal systém lineárnych homogénnych rovníc, ktoré majú nenulé riešenia, ak je len vtedy, ak je determinant tohto systému nulový, t.j.

Dostali rovnicu n-esenciálnu v porovnaní s neznámym λ, ktorá sa nazýva charakteristická rovnica matrice A, polynóm charakteristická polynómová matrica A, a jeho korene - charakteristické číselné čísla alebo EigenValues, Matrix A. Ak chcete nájsť svoje vlastné matrice A vo vektorovej rovnici (A - λe) x \u003d 0 alebo do príslušného systému homogénnych rovníc (5.6), je potrebné nahradiť nájdené hodnoty λ a vyriešiť obvyklým spôsobom. Príklad 2.16.. Preskúmajte systém rovníc a vyriešite ho, ak je koordinovaný.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 \u003d 1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 \u003d 4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 \u003d 0 .

Rozhodnutie.Nájdeme triedy matríc A a A | B základnými transformáciami, pričom systém prinášajú do kroku v rovnakom čase:

Samozrejme, R (A) \u003d R ( A | B) \u003d 2. Počiatočný systém je ekvivalentom nasledujúcej, zobrazený k kroku:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 \u003d 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 \u003d 1.

Odhodeného v neznámom x 1 a x 2 Odlišné od nuly, môžu byť považované za hlavné a prepísať systém vo forme:

x 1 + x 2 \u003d 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 \u003d - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Kde X2 \u003d 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, X1 \u003d 1/4 x 3 -3/4 x 4 - X5 + 5/4 je všeobecným roztokom systému, ktorý má nespočetné množstvo Riešenia. Dať zdarma neznáme x 3, x 4, x 5 Špecifické numerické hodnoty, dostaneme súkromné \u200b\u200briešenia. Napríklad pri x 3 \u003d x 4 \u003d x 5 \u003d 0 x 1 \u003d 5/4, x 2 \u003d - 1/4. Vektor C (5/4, - 1/4, 0, 0, 0) je súkromným riešením tohto systému. Príklad 2.17. Preskúmajte systém rovníc a nájdite všeobecné riešenie v závislosti od hodnoty parametra ale.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 \u003d 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 \u003d 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 \u003d a.

Rozhodnutie.Tento systém zodpovedá matrici . Máme

v dôsledku toho je počiatočný systém rovnocenný tomuto:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 \u003d 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 \u003d A-2,

Je možné vidieť, že systém je zdieľaný len na A \u003d 5. Všeobecné riešenie v tomto prípade má formu:

x2 \u003d 3/5 + 3/5X 3 - 7/5X 4, X1 \u003d 4/5 - 1/5X 3 - 6/5X 4.

Príklad 2.18. Zistite, či systém vektorov bude lineárne závislý:

a. 1 =(1, 1, 4, 2),

a. 2 = (1, -1, -2, 4),

a. 3 = (0, 2, 6, -2),

a. 4 =(-3, -1, 3, 4),

a. 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Rozhodnutie.Systém vektorov je lineárne závislý, ak sú takéto čísla x 1, x 2, x 3, x 4, x 5,z ktorých aspoň jeden sa líši od nuly
(Pozri odsek 1. Oddiel I), že vykonáva sa vektorová rovnosť:

x 1 A. 1 + x 2 A. 2 + x 3 A. 3 + x 4 A. 4 + x 5 A. 5 = 0.

Vo koordinátorskom zázname je to rovnocenné systému rovníc: \\ t

x 1 + X 2 - 3X 4 - X5 \u003d 0, X 1 - X2 + 2X 3 - X 4 \u003d 0, 4X 1 - 2X 2 + 6X 3 + 3X 4 - 4X 5 \u003d 0, 2X 1 + 4X 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 \u003d 0.

Takže dostali systém lineárnych homogénnych rovníc. Riešime ho s vylúčením neznámych rokov:

Systém je uvedený v rýchlom bode, rovný 3, čo znamená, že homogénny systém rovníc má iné riešenia ako nula (r< n). Определитель при неизвестных x 1, X 2, X 4 Odlišné od nuly, takže môžu byť zvolené ako hlavné a prepísať systém vo forme:

x1 + X2-3X4 \u003d X5, -2X 2 + 2X 4 \u003d -2X 3 - X 5, - 3x 4 \u003d - X 5.

Máme: X4 \u003d 1/3 x 5, X2 \u003d 5 / 6x 5 + x 3, X1 \u003d 7/6 x 5 -X 3. Systém má nespočetné riešenia; Ak je zadarmo neznáme x 3. a x 5. Zároveň sa rovná nule, potom sa hlavné neznáme osoby líšia od nuly. Preto vektorová rovnica

x 1 A. 1 + x 2 A. 2 + x 3 A. 3 + x 4 A. 4 + x 5 a. 5 = 0

c) (x + y "\u003d 1, d) (x" + y "\u003d 2a - 1,

(HU \u003d A; (HU \u003d A - 1?

9.198. Nájdite počet riešení systému rovníc ((x (+) y ~ \u003d !,,,

v závislosti od parametra a.

9.199. Koľko riešení závisí od systému rovníc:

a) (x "+ y" \u003d 9, b) (x "+ y" +! OH \u003d 0,

(~ x ~ \u003d y - a; (y \u003d ~ x - A ~?

9.200. V akých hodnotách parametra systém rovníc

má tri riešenia? Nájdite riešenie STI.

9.201. Za akmi hodnoty parametra R systému rovníc

(RU + X) (X - R Dlhopisy) \u003d O

má tri riešenia?

9.202. Za akmi hodnoty parametra B systému rovníc

a) 1 ~ x ~ +4) y \u003d b, b) 1 x ~ +2 ~ y (\u003d 1, c) (~ y! + x \u003d 4

! ~ y! + xg \u003d 1! ~ y! + xg \u003d b (x + y \u003d b

má štyri rôzne riešenia?

9.208. V akých hodnotách parametra so systémom rovníc

robí osem rôznych riešení?

9.204. Vyriešiť systém rovníc

kde a) o, a dokázať, že ak je celé číslo, potom

každý roztok (x; y) tohto systému číslo 1 + HU je štvorcový celé číslo.

9.205. V akých hodnotách parametra systém rovníc

x "+ y" + 2H - BH - BU + 10 - A \u003d O,

x "+ Y" - 2H - 2X + 2Y + A \u003d O

má aspoň jedno riešenie?

Vyriešte systém so zistenými hodnotami.

9.206. Nájdite všetky hodnoty parametra A, v ktorom systém

rovnice (X "+ (Y-2)" \u003d 1, má aspoň jeden roztok.

9.207. Nájdite všetky hodnoty parametra A, pri ktorom kruhy X "+ D" \u003d 1 a (X - A) "+ D" \u003d 4 vzťahujú.

9.208. Nájdite všetky hodnoty parametra A (A\u003e O), pri ktorom kruhy X "+ D" \u003d 1 a (X - 3) "+ (D - 4)" \u003d "obavy.

Nájdite súradnice dotykového bodu.

9.209. Nájdite všetky hodnoty A (A\u003e 0), pod ktorým kruh

x "+ D" \u003d A "sa vzťahuje na priame CX + 4D \u003d 12. Nájdite súradnice dotykového bodu.

D "- 2x + 4D \u003d 21. Nájdite súradnice priesečníckych bodov

priamy a kruh.

9.211. S akou hodnotu parametra a priamym ed \u003d x + 1 bude

prejdite cez stred kruhu (X - 1) + (D - A) "\u003d 8?

Nájdite súradnice priesečníka priameho a kruhu.

9 212. Je známe, že rovno D \u003d 12x - 9 a parabola d \u003d Ah "

len jeden spoločný bod. Nájsť súradnice tohto bodu.

9.213. Za akých hodnôt b a g (b\u003e 0, r\u003e 0) kruh

(X - 1) "+ (D - B)" \u003d G "sa bude týkať priamy D \u003d 0 a D \u003d - X?

Nájdite súradnice dotykových bodov.

9.214. Poloha na súradnicovej rovinnej sade bodov

súradnice (A; B) takýto systém rovníc

má aspoň jedno riešenie.

9.215. V akých hodnotách parametra systém rovníc

a (x "+ 1) \u003d d - ~ x ~ + 1,

má jediné riešenie?

9 1. Textové úlohy

Textové úlohy spravidla rozhodnú o nasledujúcej schéme: Vyberte si neznáme; Uvádza sa rovnica alebo systém rovníc av niektorých problémoch - nerovnosť alebo nerovnosť; Vyriešte výsledný systém (niekedy stačí nájsť nejakú kombináciu neznámych zo systému a nerieši ju v obvyklom zmysle).