Všeobecné riešenie heterogénneho systému. §6. Nehomogénny systém lineárnych rovníc Nehomogenita systému
Najbežnejšou črtou akéhokoľvek heterogénneho systému je prítomnosť dvoch ( alebo viac) fáz, ktoré sú od seba oddelené výrazným rozhraním. V tejto vlastnosti sa heterogénne systémy líšia od roztokov, ktoré tiež pozostávajú z niekoľkých zložiek, ktoré tvoria homogénnu zmes. Jedna z fáz, kontinuálna, sa bude nazývať disperzná fáza a druhá, jemne rozdelená a distribuovaná v prvej, - dispergovanej fáze. V závislosti od typu disperzného média sa rozlišujú nehomogénne zmesi, kvapalné a plynné zmesi. Tabuľka 5.1 je uvedená klasifikácia nehomogénnych systémov podľa typu rozptýlených a disperzných fáz.
Tabuľka 5.1
Klasifikácia heterogénnych systémov
Klasifikácia a charakteristika heterogénnych systémov
Nehomogénny systém do úvahy sa berie systém, ktorý pozostáva z dvoch alebo viacerých fáz. Každá fáza má svoje vlastné rozhranie a môže byť mechanicky oddelená od ostatných.
Nehomogénny systém pozostáva z vnútornej (dispergovanej) fázy a vonkajšej fázy (disperzné médium), v ktorej sú umiestnené častice dispergovanej fázy. Systémy, v ktorých sú kvapalinou vonkajšia fáza, sa nazývajú nehomogénne kvapalné systémy a ak sú plyny - nehomogénne plynové systémy ... Nehomogénne systémy sa nazývajú heterogénne a homogénne sa nazývajú homogénne. Homogénnym kvapalným systémom sa rozumie čistá kvapalina alebo roztok akejkoľvek látky v nej. Nehomogénny alebo heterogénny tekutý systém sa nazýva kvapalina, v ktorej sú všetky nerozpustené látky vo forme najmenších častíc. Heterogénne systémy sa často nazývajú rozptýlené.
Existujú nasledujúce typy heterogénnych systémov: suspenzie, emulzie, peny, prach, dymy, hmly.
Odpruženie je systém pozostávajúci z kontinuálnej kvapalnej fázy, v ktorej sú suspendované pevné častice. Napríklad omáčky s múkou, škrobové mlieko, melasa s kryštálmi cukru.
Suspenzie sú v závislosti od veľkosti častíc rozdelené na hrubé (veľkosť častíc viac ako 100 mikrónov), jemné (0,1 až 100 mikrónov) a koloidné roztoky obsahujúce tuhé častice s veľkosťou 0,1 mikrónu alebo menšou.
Emulzia je systém pozostávajúci z kvapaliny a v nej distribuovaných kvapiek ďalšej tekutiny, ktoré sa v prvej nerozpustili. Je to napríklad mlieko, zmes rastlinného oleja a vody. Existujú plynové emulzie, v ktorých je disperzné médium kvapalné a dispergovanou fázou je plyn.
Pena je systém pozostávajúci z bublín kvapaliny a plynu, ktoré sú v ňom distribuované. Napríklad krémy a iné šľahané jedlá. Peny majú podobné vlastnosti ako emulzie.
Pre emulzie a peny je charakteristická možnosť prechodu dispergovanej fázy na disperzné médium a naopak. Tento prechod, možný pri určitom hmotnostnom pomere fáz, sa nazýva fázová inverzia alebo jednoducho inverzia.
Aerosóly sa nazýva disperzný systém s plynným disperzným médiom a pevnou alebo kvapalnou disperznou fázou, ktorý pozostáva z častíc od kvázomolekulárnej po mikroskopickú veľkosť, ktoré majú vlastnosť byť v suspenzii viac-menej dlho. Tento koncept spája prach, dym, hmlu. Napríklad múčny prach vytvorený pri mletí, preosievaní, preprave múky; cukrový prach vznikajúci pri sušení cukru a pod. Dym vzniká pri spaľovaní tuhého paliva, hmla - pri kondenzácii pary.
V aerosóloch je disperzným médiom plyn alebo vzduch a rozptýlená fáza v prachu a dyme je pevná látka, v hmlách je kvapalná.
Prach a dym-systémy pozostávajúce z plynu a pevných častíc v nich distribuovaných s veľkosťou 5 až 50 mikrónov, respektíve 0,3 až 5 mikrónov. Hmla je systém pozostávajúci z kvapiek plynu a kvapaliny v ňom distribuovaných 0,3-3 mikrónov, vytvorených v dôsledku kondenzácie.
Kvalitatívnym ukazovateľom charakterizujúcim jednotnosť veľkosti častíc aerosólu je stupeň disperzie. Aerosól sa nazýva monodisperzný, keď majú jeho častice rovnakú veľkosť, a polydisperzný, keď obsahuje častice rôznych veľkostí. Monodisperzné aerosóly v prírode prakticky neexistujú. Existuje iba niekoľko aerosólov, ktoré sa veľkosťou častíc približujú iba k monodisperzným systémom (hubové hýfy, špeciálne získané hmly atď.).
Rozptýlené alebo heterogénne systémy, v závislosti od počtu dispergovaných fáz, môžu byť jedno- a viaczložkové. Napríklad mlieko je viaczložkový systém (má dve rozptýlené fázy: tuk a bielkoviny); omáčky (rozptýlenými fázami sú múka, tuk atď.).
Separačné metódy heterogénne systémy sú klasifikované v závislosti od veľkosti suspendovaných častíc dispergovanej fázy, rozdielu v hustote dispergovanej a kontinuálnej fázy, ako aj od viskozity spojitej fázy. Používajú sa nasledujúce hlavné separačné metódy: sedimentácia, filtrácia, centrifugácia, mokrá separácia a elektrické čistenie.
Sedimentácia je separačný proces, pri ktorom sa pevné alebo kvapalné častice dispergovanej fázy suspendované v kvapaline alebo plyne oddelia od kontinuálnej fázy pôsobením gravitácie, odstredivého alebo elektrostatického. Sedimentácia gravitáciou sa nazýva sedimentácia.
Filtrácia - proces separácia pomocou porézneho usmerňovača schopného prechádzať kvapalinou alebo plynom a zadržiavať tuhé častice suspendované v médiu. Filtrácia sa vykonáva pôsobením tlakových síl a slúži na jemnejšie oddelenie suspenzií a prachu ako pri sedimentácii.
Odstreďovanie- proces oddeľovania suspenzií a emulzií pôsobením odstredivej sily.
Mokré oddelenie- proces zachytávania častíc suspendovaných v plyne pomocou akejkoľvek kvapaliny.
Elektrické čistenie- čistenie plynov pod vplyvom elektrických síl.
Metódy oddeľovania kvapalných a heterogénnych plynových systémov sú založené na rovnakých princípoch, ale použité zariadenie má množstvo vlastností.
§6. Nehomogénny systém lineárnych rovníc
Ak je v systéme lineárnych rovníc (7.1) aspoň jeden z voľných výrazov v i je nenulové, potom sa takýto systém nazýva heterogénne.
Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc, ktoré vo vektorovej forme môžu byť reprezentované ako
, i = 1,2,.. .,Komu, (7.13)
Zvážte zodpovedajúci homogénny systém
i = 1,2,...
,Komu.
(7.14)
Nechajte vektor 
je riešením nehomogénneho systému (7.13) a vektora 
je riešením homogénneho systému (7.14). Potom je ľahké vidieť, že vektor 
je tiež riešením nehomogénneho systému (7.13). Naozaj
Teraz pomocou vzorca (7.12) pre všeobecné riešenie homogénnej rovnice máme
kde 
akékoľvek čísla z R., a 
- základné riešenia homogénneho systému.
Riešenie nehomogénneho systému je teda kombináciou jeho konkrétneho riešenia a všeobecného riešenia zodpovedajúceho homogénneho systému.
Riešenie (7.15) sa nazýva všeobecné riešenie nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc. Z (7.15) vyplýva, že kompatibilný nehomogénny systém lineárnych rovníc má jedinečné riešenie, ak má poradie r(A) hlavnej matice A zodpovedá číslu n neznáme systémy (systém Cramer), ale ak r(A) n, potom má systém nekonečnú množinu riešení a táto množina riešení je ekvivalentná s podpriestorom riešení zodpovedajúceho homogénneho systému rovníc rozmerov n– r.
Príklady.
1. Nech je daný nehomogénny systém rovníc, v ktorom je počet rovníc Komu= 3 a počet neznámych n = 4.
NS 1 – NS 2 + NS 3 –2NS 4 = 1,
NS 1 – NS 2 + 2NS 3 – NS 4 = 2,
5NS 1 – 5NS 2 + 8NS 3 – 7NS 4 = 3.
Určte rady hlavnej matice A a rozšírené A * tento systém. Pokiaľ A a A * nenulové matice a k = 3 n, preto 1 r (A), r * (A * ) 3. Uvažujte o neplnoletých matricách druhého rádu A a A * :
Teda medzi neplnoletými matrík druhého rádu A a A * existuje menšia ako nula, takže 2 r(A),r * (A * ) 3. Teraz zvážte mladistvých tretieho rádu
pretože prvý a druhý stĺpec sú proporcionálne. Podobne pre maloletých 
.
A tak všetci neplnoletí tretieho rádu hlavnej matice A sa rovnajú nule, r(A) = 2. Pre rozšírenú maticu A * existujú aj mladiství tretieho rádu
Preto medzi mladistvými tretieho rádu rozšírenej matice A * preto existuje menšia ako nula r * (A * ) = 3. To znamená, že r(A) r * (A * ) a potom na základe Korneckerovej - Capelliho vety usúdime, že tento systém je nekompatibilný.
2. Vyriešte sústavu rovníc
3NS 1 + 2NS 2 + NS 3 + NS 4 = 1,
3NS 1 + 2NS 2 – NS 3 – 2NS 4 = 2.
Pre tento systém 
a preto 1 r(A),r *
(A *
) 2. Zvážte matice A a A *
mladistvých druhého rádu
Preto r(A)= r * (A * ) = 2, a preto je systém konzistentný. Ako základ si zvolíme akékoľvek dve premenné, pre ktoré molvára druhého rádu zložená z koeficientov týchto premenných nie je rovná nule. Takými premennými môžu byť napr.
NS 3 a NS 4 od 
Potom máme
NS 3 + NS 4 = 1 – 3NS 1 – 2NS 2 ,
– NS 3 – 2NS 4 = 2 – 3NS 1 – 2NS 2 .
Definujme konkrétne riešenie 
heterogénny systém. Za to sme dali NS 1
= NS 2
= 0.
NS 3 + NS 4 = 1,
– NS 3 – 2NS 4 = 2.
Riešenie tohto systému: NS 3
= 4, NS 4 = - 3, preto 
=
(0,0,4, –3).
Teraz definujeme všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice
NS 3 + NS 4 = – 3NS 1 – 2NS 2 ,
–NS 3 – 2NS 4 = – 3NS 1 – 2NS 2 .
Dajme: NS 1 = 1, NS 2 = 0
NS 3 + NS 4 = –3,
–NS 3 – 2NS 4 = –3.
Riešenie tohto systému NS 3 = –9, NS 4 = 6.
Teda 
Teraz daj NS 1 = 0, NS 2 = 1
NS 3 + NS 4 = –2,
–NS 3 – 2NS 4 = –2.
Riešenie: NS 3
= – 6, NS 4 = 4, a potom 
Potom, čo bolo určené konkrétne riešenie 
, nehomogénna rovnica a zásadné riešenia 
a 
zodpovedajúcej homogénnej rovnice, napíšeme všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice.
kde 
akékoľvek čísla z R..
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli
- vyberte optimálnu metódu na riešenie systému lineárnych algebraických rovníc,
- študovať teóriu zvolenej metódy,
- vyriešte svoj systém lineárnych rovníc podrobným zvážením analyzovaných riešení typických príkladov a problémov.
Stručný popis materiálu článku.
Najprv poskytneme všetky potrebné definície a koncepty a predstavíme notáciu.
Ďalej budeme uvažovať o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých je počet rovníc rovný počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa pozastavíme nad Cramerovou metódou, za druhé si ukážeme maticovú metódu na riešenie takýchto sústav rovníc a po tretie analyzujeme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Na upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.
Potom sa obrátime na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je zdegenerovaná hlavná matica systému. Sformulujme Kroneckerovu - Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu základnej menšej matice. Zvážime tiež Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.
Rozhodne sa pozastavíme nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych sústav lineárnych algebraických rovníc. Dajme koncept základného systému riešení a ukážme, ako je všeobecné riešenie SLAE napísané pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.
Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sa redukujú na lineárne, a o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.
Navigácia na stránke.
Definície, koncepty, označenia.
Budeme uvažovať systémy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru
Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné výrazy (tiež reálne alebo komplexné čísla).
Táto forma zápisu SLAE sa nazýva koordinovať.
V. maticová forma notácia, tento systém rovníc má tvar,
kde 
- hlavná matica systému, - maticový stĺpec neznámych premenných, - maticový stĺpec voľných členov.
Ak do matice A ako (n + 1) th stĺpca pridáme maticový stĺpec voľných výrazov, potom dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, to znamená 
Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc je množina hodnôt neznámych premenných, ktorá prevádza všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.
Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, nazýva sa to kĺb.
Ak systém rovníc nemá žiadne riešenia, nazýva sa to nekonzistentné.
Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - nedefinované.
Ak sú voľné termíny všetkých rovníc systému rovné nule 
, potom sa nazýva systém homogénne, inak - heterogénne.
Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.
Ak je počet rovníc systému rovný počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice nie je rovný nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne... Takéto systémy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.
Začali sme študovať takéto SLAE na strednej škole. Pri ich riešení sme vzali jednu rovnicu, vyjadrili jednu neznámu premennú z hľadiska ostatných a dosadili ju do zostávajúcich rovníc, potom vzali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a nahradili ju inými rovnicami atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, pretože v skutočnosti ide o modifikácie Gaussovej metódy.
Hlavnými metódami riešenia elementárnych systémov lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme ich analyzovať.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.
Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc 
v ktorom je počet rovníc rovný počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je nenulový, to znamená.
Nech je determinant hlavnej matice systému a 
- determinanty matíc, ktoré sa získavajú z A nahradením 1., 2., ..., n do stĺpca voľných členov: 
S týmto zápisom sa neznáme premenné vypočítajú podľa vzorcov Cramerovej metódy ako 
... Takto sa nájde riešenie systému lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.
Príklad.
Cramerova metóda 
.
Riešenie.
Hlavná matica systému má tvar 
... Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok): 
Pretože determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť pomocou Cramerovej metódy.
Zostavme a vypočítajme potrebné determinanty 
(determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných prvkov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných prvkov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných prvkov ): 
Nájdite neznáme premenné podľa vzorcov 
:
Odpoveď:
Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov, keď je počet rovníc v systéme viac ako tri.
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).
Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc daná v maticovej forme, kde matica A má rozmer n x a jej determinant je nenulový.
Pretože je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak vynásobíme obe strany rovnosti zľava, potom dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Získali sme teda riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.
Riešenie.
Prepíšeme systém rovníc v maticovej forme: 
Pretože
potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako 
.
Zostrojme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok): 
Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice 
do stĺpcovej matice voľných členov (v prípade potreby si pozrite článok): 
Odpoveď:
alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Hlavným problémom pri hľadaní riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť hľadania inverznej matice, najmä pre štvorcové matice rádu vyššie ako tretie.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.
Predpokladajme, že musíme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými 
determinant hlavnej matice je nenulový.
Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych premenných: po prvé, x 1 je vylúčené zo všetkých rovníc systému, začínajúc druhou, potom x 2 je vylúčené zo všetkých rovníc, začínajúc treťou a tak ďalej, až kým zostane iba neznáma premenná xn zostáva v poslednej rovnici. Tento proces transformácie rovníc systému na postupné odstraňovanie neznámych premenných sa nazýva priamym priebehom Gaussovej metódy... Po dokončení postupu vpred Gaussovou metódou sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa x n-1 vypočíta z predposlednej rovnice a podobne, x 1 sa zistí z prvej rovnice. Volá sa proces výpočtu neznámych premenných pri prechode z poslednej rovnice systému do prvej zaostalá Gaussova metóda.
V krátkosti popíšeme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.
Budeme to predpokladať, pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, začínajúc druhou. Aby sme to urobili, do druhej rovnice systému pridáme prvú vynásobenú, do tretej rovnice pridáme prvú vynásobenú a podobne, do n-tej rovnice pridáme prvú vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách má formu 
kde a 
.
K rovnakému výsledku by sme dospeli, keby sme x 1 vyjadrili inými neznámymi premennými v prvej rovnici systému a nahradili výsledný výraz vo všetkých ostatných rovniciach. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, začínajúc druhou.
Ďalej konáme podobne, ale iba s časťou výsledného systému, ktorá je vyznačená na obrázku 
Aby sme to urobili, k tretej rovnici systému pripočítame druhú vynásobenú, k štvrtej rovnici pripočítame druhú vynásobenú a podobne, k n-tej rovnici pripočítame druhú vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách má formu 
kde a 
... Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, začínajúc od tretej.
Ďalej pristúpime k eliminácii neznámych x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou systému označenou na obrázku 
Pokračujeme teda v priamom priebehu Gaussovej metódy, kým systém nedostane formu 
Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: vypočítame xn z poslednej rovnice tak, že pomocou získanej hodnoty xn nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice a tak ďalej nájdeme x 1 z prvá rovnica.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussovou metódou.
Riešenie.
Odstráňte neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému. Za týmto účelom pridajte zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a, na obe strany druhej a tretej rovnice: 
Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pripočítame ľavú a pravú stranu druhej rovnice vynásobenú: 
Tým sa dokončí pohyb dopredu Gaussovou metódou a začneme pohyb späť.
Z poslednej rovnice výsledného systému rovníc nájdeme x 3: 
Z druhej rovnice dostaneme.
Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.
Odpoveď:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.
Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc v sústave p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:
Také SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo majú nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých základná matica je štvorcová a degenerovaná.
Kroneckerova - Capelliho veta.
Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy je nekompatibilný, dáva Kroneckerova - Capelliho veta:
aby bol systém p rovníc s n neznámym (p sa môže rovnať n) konzistentný, je nevyhnutné a dostatočné, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, to znamená poradie (A) = Poradie (T).
Uvažujme príkladom o použití Kroneckerovej - Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.
Príklad.
Zistite, či systém lineárnych rovníc má 
riešenia.
Riešenie.
... Použime metódu ohraničenia mladistvých. Menšia z druhého rádu 
nenulové. Vyriešime neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním susedia: 
Pretože všetky hraničné neplnoleté osoby tretieho rádu sú rovné nule, hodnosť hlavnej matice sa rovná dvom.
Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice 
sa rovná trom, pretože menší je tretieho rádu 
nenulové.
Preto Rang (A), podľa Kroneckerovej -Capelliho vety môžeme dospieť k záveru, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.
Odpoveď:
Systém nemá žiadne riešenia.
Naučili sme sa teda zistiť nekonzistentnosť systému pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety.
Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak bola stanovená jeho kompatibilita?
Na to potrebujeme koncept základnej menšej matice a vetu o hodnosti matice.
Volá sa minorita najvyššieho rádu matice A, odlišná od nuly základné.
Z definície základného molla vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže existovať niekoľko základných neplnoletých; vždy existuje jedna základná mollová.
Uvažujme napríklad o matici 
.
Všetky neplnoleté osoby tejto matice tretieho rádu sa rovnajú nule, pretože prvky tretieho radu tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého radu.
Nasledujúci mladiství druhého rádu sú zásadní, pretože nie sú nenuloví 
Mladiství 
nie sú zásadité, pretože sa rovnajú nule.
Veta o hodnosti matice.
Ak je poradie matice rádu p podľa n rovné r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria vybranú základnú minoritu, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich prvkov riadkov ( a stĺpce), ktoré tvoria základnú minoritu.
Čo nám dáva veta o poradí matice?
Ak sme podľa Kroneckerovej a Capelliho vety stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú minoritu základnej matice systému (jej poradie je r) a zo systému vylúčime všetky rovnice, ktoré sa netvoria. zvolený základný moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnej, pretože vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o hodnosti matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).
Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.
Ak sa počet rovníc r vo výslednom systéme rovná počtu neznámych premenných, potom bude definitívny a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.
Príklad.
.
Riešenie.
Poradie hlavnej matice systému 
sa rovná dvom, od druhého rádu mol 
nenulové. Rozšírené poradie matice 
sa tiež rovná dvom, pretože jediná menšia hodnota tretieho rádu sa rovná nule 
a maloletý druhého rádu uvažovaný vyššie je nenulový. Na základe Kroneckerovej - Capelliho vety môžeme potvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, pretože Poradie (A) = Poradie (T) = 2.
Berieme ako základnú maloletú osobu ... Je tvorený koeficientmi prvej a druhej rovnice: 
Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na vytváraní základnej mollovej skupiny, preto ju vylučujeme zo systému na základe vety o hodnosti matice: 
Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Vyriešime to Cramerovou metódou: 
Odpoveď:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Ak je počet rovníc r v získanom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom na ľavej strane rovníc ponecháme výrazy tvoriace základnú menšiu hodnotu, zvyšné členy sa prenesú na pravé strany rovníc systému s opačným znamienkom.
Nazývajú sa neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavých stranách rovníc hlavný.
Nazývajú sa neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sa objavujú na pravých stranách zadarmo.
Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu mať ľubovoľné hodnoty a r základné neznáme premenné budú vyjadrené v termínoch voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich expresiu je možné nájsť riešením získaného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.
Zoberme si príklad.
Príklad.
Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc 
.
Riešenie.
Nájdite poradie hlavnej matice systému 
metódou hraničenia s mladistvými. 1 1 = 1 berieme ako nenulový maloletý prvého rádu. Začnime hľadať nenulový maloletý druhého rádu, ktorý obklopuje tohto maloletého: 
Takto sme našli nenulového maloletého druhého rádu. Začnime hľadať nenulovú hraničnú skupinu tretieho rádu: 
Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice je tiež tri, to znamená, že systém je konzistentný.
Nájdený nenulový maloletý tretieho rádu považujeme za základný.
Pre zrozumiteľnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základnú menšinu: 
Ponecháme na ľavej strane rovníc systému pojmy zúčastňujúce sa na základnej minorite, ostatné sa prenesú s opačnými znakmi na pravé strany: 
Priraďme voľným neznámym premenným x 2 a x 5 ľubovoľné hodnoty, to znamená, že vezmeme 
, kde sú ľubovoľné čísla. V takom prípade bude mať formu SLAE 
Výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc je vyriešený Cramerovou metódou: 
Preto,.
Nezabudnite vo svojej odpovedi zadať bezplatné neznáme premenné.
Odpoveď:
Kde sú ľubovoľné čísla.
Zhrňte.
Aby sme vyriešili sústavu lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, najskôr zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety. Ak sa hodnosť hlavnej matice nerovná hodnosti rozšírenej matice, potom usúdime, že systém je nekompatibilný.
Ak je hodnosť hlavnej matice rovnaká ako hodnosť rozšírenej matice, potom zvolíme základnú menšinu a vyradíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej menšiny.
Ak je poradie základnej mollovej rovné počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré nájdeme akoukoľvek známou metódou.
Ak je poradie zásadnej menšej hodnoty menšie ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane rovníc systému ponecháme výrazy so základnými neznámymi premennými, zvyšné členy prenesieme na pravé strany a dávať ľubovoľné hodnoty voľným neznámym premenným. Z výsledného systému lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy.
Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.
Gaussovu metódu je možné použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najskôr skúmala ich kompatibilita. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje dospieť k záveru o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE, a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.
Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia gaussovská metóda.
Podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecnej formy.
Písanie všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.
V tejto časti sa zameriame na kompatibilné homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc s nekonečnou množinou riešení.
Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.
Základný rozhodovací systém Homogénny systém p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množina (n - r) lineárne nezávislých riešení tohto systému, kde r je poradie základnej mollovej základnej matice systému.
Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) sú n-by-1 stĺpcové matice), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1, С 2, ..., С (nr), to znamená ,.
Čo znamená pojem všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?
Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, pričom preberá ľubovoľný súbor hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, ..., С (nr), podľa vzorca my získajte jedno z riešení pôvodnej homogénnej SLAE.
Ak teda nájdeme základný systém riešení, budeme schopní špecifikovať všetky riešenia tohto homogénneho SLAE as.
Ukážme proces vytvárania základného systému riešení homogénneho SLAE.
Vyberieme základnú molál pôvodného systému lineárnych rovníc, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky pojmy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravé strany rovníc systému s opačnými znamienkami. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0, ..., 0 a vypočítajme hlavné neznáme vyriešením získaného elementárneho systému lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. To poskytne X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0, ..., 0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2). Atď. Ak dáme hodnoty 0,0, ..., 0,1 voľným neznámym premenným a vypočítame základné neznáme, dostaneme X (n-r). Takto bude zostrojený základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť napísané vo forme.
Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované vo forme, kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému, a je konkrétnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame poskytnutím hodnôt voľným neznámym hodnotám. 0,0, ..., 0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.
Pozrime sa na príklady.
Príklad.
Nájdite základný systém riešení a všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc 
.
Riešenie.
Poradie hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdeme hodnosť hlavnej matice metódou hraničiacich s mladistvými. Ako nenulový minor menšieho rádu vezmeme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite ohraničujúcu nenulovú maloletú osobu druhého rádu: 
Našiel sa nenulový maloletý druhého rádu. Zopakujme iteráciu mladistvých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulového: 
Všetky hraničné neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, takže hodnosť hlavnej a rozšírenej matice sa rovná dvom. Berte to ako základnú maloletú osobu. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria: 
Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej mollovej, preto ju možno vylúčiť: 
Na pravej strane rovníc ponecháme výrazy obsahujúce hlavné neznáme a na pravej strane prenesieme výrazy s voľnými neznámymi:
Zostavme základný systém riešení pôvodného homogénneho systému lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, pretože pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej vedľajšej hodnoty je dve. Aby sme našli X (1), priradíme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom zo sústavy rovníc nájdeme hlavné neznáme 
.
2.4.1. Definícia. Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc
Zvážte homogénny systém
ktorého matica koeficientov sa zhoduje s maticou koeficientov systému (2.4.1). Potom sa zavolá systém (2.4.2) redukovaný homogénny systém (2.4.1).
2.4.2. Veta. Všeobecné riešenie nehomogénneho systému sa rovná súčtu určitého riešenia nehomogénneho systému a všeobecného riešenia redukovaného homogénneho systému.
Na nájdenie všeobecného riešenia nehomogénneho systému (2.4.1) teda stačí:
1) Preskúmajte kompatibilitu. V prípade kompatibility:
2) Nájdite všeobecné riešenie tohto redukovaného homogénneho systému.
3) Nájdite konkrétne riešenie pôvodného (nehomogénneho).
4) Sčítaním nájdeného konkrétneho riešenia a všeobecného riešenia daného nájdite všeobecné riešenie pôvodného systému.
2.4.3. Cvičenie. Preskúmajte kompatibilitu systému a v prípade kompatibility nájdite jeho všeobecné riešenie v podobe súčtu kvocientu a všeobecného daného.
Riešenie. a) Na vyriešenie problému používame vyššie uvedenú schému:
1) Kontrola kompatibility systému (ohraničením neplnoletých): Poradie hlavnej matice je 3 (pozri riešenie cvičenia 2.2.5, a) a nenulová menšina maximálneho poradia je zložená z prvkov 1., 2., 4. radu a 1., 3., 4. stĺpec. Aby sme našli hodnosť rozšírenej matice, ohraničíme ju 3. riadkom a 6. stĺpcom rozšírenej matice: = 0. Prostriedky, rg A =rg= 3 a systém je kompatibilný. Najmä je ekvivalentný systému
2) Nájdite všeobecné riešenie X 0 znížená homogenita tohto systému
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R.}
(pozri riešenie cvičenia 2.2.5, a)).
3) Nájdeme nejaké konkrétne riešenie x h pôvodného systému ... Za týmto účelom v systéme (2.4.3), ktorý je ekvivalentný pôvodnému, voľné neznáme X 2 a X 5 je nastavený na rovnakú hodnotu, napríklad na nulu (toto sú najvhodnejšie údaje):
a vyriešiť výsledný systém: X 1 =- , X 3 =- , X 4 = -5. ( -; 0; -; -5; 0) je teda konkrétnym riešením systému.
4) Nájdite všeobecné riešenie X n v pôvodnom systéme :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Komentovať. Porovnajte odpoveď, ktorú ste dostali, s druhou odpoveďou v príklade 1.2.1 c). Aby sme získali odpoveď v prvom formulári pre 1.2.1 c), vezmeme X 1 , X 3 , X 5 (moll, pre ktorý sa tiež nerovná nule), a ako voľný ¾ X 2 a X 4 .
§3. Niektoré aplikácie.
3.1. K otázke maticových rovníc. Pripomíname vám to maticová rovnica nad poľom F sa nazýva rovnica, v ktorej neznáma je nejaká matica nad poľom F .
Najjednoduchšie maticové rovnice sú rovnice tvaru
AX=B , XA =B (2.5.1)
kde A , B ¾ dané (známe) matice nad poľom F , a X ¾ matice také, že po ich nahradení sa rovnice (2.5.1) stanú skutočnými maticovými rovnosťami. Maticová metóda určitých systémov sa redukuje na riešenie maticovej rovnice.
V prípade, že matice A v rovniciach (2.5.1) sú nedegenerované, majú riešenia, resp X =A B a X =BA .
V prípade, že je degenerovaná aspoň jedna z matíc na ľavej strane rovníc (2.5.1), táto metóda už nie je vhodná, pretože zodpovedajúca inverzná matica A neexistuje. V tomto prípade sa hľadanie riešení rovníc (2.5.1) redukuje na systémy riešenia.
Najprv si však predstavíme niektoré pojmy.
Bude sa volať súbor všetkých riešení systému spoločné rozhodnutie ... Bude sa nazývať samostatne prijaté riešenie neurčitého systému súkromným rozhodnutím .
3.1.1. Príklad. Vyriešte maticovú rovnicu nad poľom R..
a) X =; b) X =; v) X = .
Riešenie. a) Pretože = 0, vzorec X =A B nie je vhodný na riešenie tejto rovnice. Ak v práci XA =B matica A má 2 riadky, potom maticu X má 2 stĺpce. Počet riadkov X sa musí zhodovať s počtom riadkov B ... Preto X má 2 riadky. Preto X ¾ nejaká štvorcová matica druhého rádu: X =. Náhradník X k pôvodnej rovnici:
Vynásobením matíc na ľavej strane (2.5.2) dôjdeme k rovnosti
Dve matice sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak majú rovnaké rozmery a zodpovedajúce prvky sú si rovné. Preto je (2.5.3) ekvivalentom systému
Tento systém je ekvivalentný systému
Keď to vyriešime napríklad Gaussovou metódou, dostaneme sa k množine riešení (5-2 b , b , -2d , d ), kde b , d bežať nezávisle na sebe R.... Preto X = .
b) Podobne ako a) máme X = a.
Tento systém je nekompatibilný (pozrite sa na to!). Preto táto maticová rovnica nemá žiadne riešenia.
c) Túto rovnicu označíme ako AX =B ... Pretože A má 3 stĺpce a B má teda 2 stĺpce X ¾ nejaká matica rozmeru 3´2: X =. Preto máme nasledujúci reťazec ekvivalentov:
Posledný systém riešime Gaussovou metódou (vynechať komentáre)
Tým sa dostávame k systému
ktorého riešením je (11 + 8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) kde z , w bežať nezávisle R..
Odpoveď: a) X = , b , d Î R..
b) Neexistujú žiadne riešenia.
v) X = z , w Î R..
3.2. K otázke priepustnosti matíc. Vo všeobecnom prípade je súčin matríc nepriepustný, to znamená, ak A a B také, že AB a BA sú definované, potom, všeobecne povedané, AB ¹ BA ... Ale príklad matice identity E ukazuje, že priepustnosť AE =EA pre akúkoľvek maticu A , Kiežby AE a EA boli určené.
V tomto podsekcii sa zaoberáme problémom nájdenia množiny všetkých matíc, ktoré permutujú s danou maticou. Preto
Neznáme X 1 , r 2 a z 3 môže mať akékoľvek hodnoty: X 1 =a , r 2 =b , z 3 =g ... Potom
Preto X = .
Odpoveď. a) X d ¾ ľubovoľné číslo.
b) X ¾ množina matíc formulára, kde a , b a g ¾ akékoľvek čísla.
1. otázka Skúška
1. Metodika systémovej analýzy. Koncepcia systému. Statické vlastnosti systému. Otvorenosť. Ťažkosti s budovaním modelu čiernej skrinky. Nehomogenita zloženia. Ťažkosti s budovaním modelu družstva. Štruktúrovanosť. Ťažkosti pri vytváraní modelu štruktúry.
Statické vlastnosti pomenujme vlastnosti konkrétneho stavu systému. To je to, čo systém má v každom, ale pevnom časovom bode.
Otvorenosť - druhá vlastnosť systému. Rozlíšiteľný, rozlíšiteľný systém nie je izolovaný od prostredia. Naopak, sú prepojené a vymieňajú si navzájom všetky druhy zdrojov (hmota, energia, informácie atď.). Pomstime sa, že prepojenia systému s prostredím majú smerový charakter; u niektorých prostredie ovplyvňuje systém (nazývajú sa systémové vstupy), u iných systém ovplyvňuje prostredie, robí niečo v prostredí, vydáva niečo do prostredia (takéto spojenia sa nazývajú systémové výstupy). Zoznam vstupov a výstupov systému sa nazýva model čiernej skrinky ... Tento model nemá informácie o vnútorných funkciách systému. Napriek (zdanlivej) jednoduchosti a chudobe obsahu modelu čiernej skrinky tento model často úplne postačuje na prácu so systémom.
Ťažkosti pri stavbe modelu čiernej skrinky ... Všetky vychádzajú zo skutočnosti, že model vždy obsahuje konečný zoznam odkazov, pričom ich počet v skutočnom systéme nie je obmedzený. Vynára sa otázka: ktoré z nich by mali byť zahrnuté v modeli a ktoré nie? Odpoveď už poznáme: model by mal odrážať všetky súvislosti, pre ktoré sú prirodzené
dosiahnutie cieľa.
Štyri typy chýb pri vytváraní modelu čiernej skrinky:
K chybe prvého druhu dochádza vtedy, ak subjekt považuje spojenie za zásadné a rozhodne sa ho zahrnúť do modelu, pričom v skutočnosti je vo vzťahu k stanovenému cieľu bezvýznamné a nemožno ho ignorovať. To vedie k tomu, že sa v modeli objavujú „extra“ prvky, v skutočnosti zbytočné.
Chyby druhého druhu sa subjekt naopak dopustí, keď rozhodne, že toto spojenie je bezvýznamné a nezaslúži si byť zahrnuté do modelu, hoci v skutočnosti bez neho nemôže byť náš cieľ úplne alebo dokonca úplne dosiahnuté.
Klam tretieho druhu sa považuje za dôsledok nevedomosti. Na to, aby sme mohli posúdiť význam určitého spojenia, musíme vedieť, že vôbec existuje. Ak to nie je známe, otázka zahrnutia alebo nezaradenia do modelu vôbec nevzniká: modely majú iba to, čo poznáme. Ale pretože si nie sme vedomí existencie určitého spojenia, neprestáva existovať a prejavuje sa v skutočnosti. A potom všetko závisí od toho, aké dôležité je dosiahnuť náš cieľ. Ak je bezvýznamný, potom v praxi jeho prítomnosť v realite a jeho absenciu v modeli nezaznamenáme. Ak je to významné, zažijeme rovnaké ťažkosti ako s chybou druhého druhu. Rozdiel je v tom, že chybu tretieho druhu je ťažšie napraviť: je potrebné získať nové znalosti.
Chyba štvrtého druhu môže nastať vtedy, ak je známy a rozpoznaný významný vzťah nesprávne priradený k počtu vstupov alebo výstupov.
Vnútorná heterogenita: rozlíšiteľnosť častí (tretia vlastnosť systému). Ak sa pozriete dovnútra „čiernej skrinky“, ukáže sa, že systém nie je homogénny, nie je monolitický; možno prídete na to, že rôzne kvality sa líšia miesto od miesta. Opis vnútornej heterogenity systému sa redukuje na izoláciu relatívne homogénnych oblastí, pričom sa medzi nimi vymedzujú hranice. Tak sa javí koncept častí systému. Pri bližšom skúmaní sa ukazuje, že vybrané veľké diely tiež nie sú homogénne, čo si vyžaduje výber ešte menších dielov. Výsledkom je hierarchický zoznam častí systému, ktorý budeme nazývať model zloženia systému.
Ťažkosti s budovaním modelu družstva Každý, koho musí prekonať, môže byť reprezentovaný v troch polohách:
Najprv. Celok je možné rozdeliť na časti rôznymi spôsobmi (napríklad nakrájať bochník chleba na plátky rôznych veľkostí a tvarov). A ako presne je to potrebné? Odpoveď: spôsob, akým potrebujete dosiahnuť svoj cieľ.
Druhý. Počet častí v kompozičnom modeli závisí aj od úrovne, na ktorej sa má zastaviť fragmentácia systému. Časti na konečných vetvách výsledného hierarchického stromu sa nazývajú prvky .
Tretí. Každý systém je súčasťou väčšieho systému (a často je súčasťou viacerých systémov naraz). A tento metasystém možno tiež rozdeliť na podsystémy rôznymi spôsobmi. To znamená, že vonkajšia hranica systému má relatívny, podmienený charakter. Dokonca aj „zrejmá“ hranica systému (ľudská koža, plot podniku atď.) Za určitých podmienok sa ukazuje ako nedostatočná na stanovenie hranice za týchto podmienok.
Štruktúrovanosť Štvrtou statickou vlastnosťou je, že časti systému nie sú nezávislé, nie sú navzájom izolované; sú navzájom prepojené, vzájomne pôsobia. V tomto prípade vlastnosti systému ako celku v zásade závisia od toho, ako presne jeho časti interagujú. Preto sú informácie o vzťahoch týchto častí často dôležité. Zoznam základných spojení medzi prvkami systému sa nazýva model štruktúry systému. Nedeliteľnosť akéhokoľvek systému určitou štruktúrou sa bude nazývať štvrtou statickou vlastnosťou systémov - štruktúrovanosťou.
Problémy s budovaním štruktúrneho modelu ... Zdôrazňujeme, že pre daný systém je možné navrhnúť mnoho rôznych štruktúrnych modelov. Je zrejmé, že na dosiahnutie určitého cieľa je potrebný jeden, ich konkrétny a najvhodnejší model. Náročnosť výberu z existujúcich alebo zostavenie modelu špeciálne pre náš prípad vyplýva zo skutočnosti, že štruktúrny model je podľa definície zoznam základných odkazov.
Prvá ťažkosť je spojená so skutočnosťou, že model štruktúry je určený po výbere kompozičného modelu a závisí od toho, aké je zloženie systému. Ale aj pri fixnej kompozícii je model štruktúry variabilný - kvôli možnosti odlišného určovania významu vzťahov.
Druhá ťažkosť vyplýva zo skutočnosti, že každý prvok systému je „malá čierna skrinka“. Takže všetky štyri typy chýb sú MOŽNÉ pri definovaní vstupov a výstupov každého prvku, ktorý má byť zahrnutý do modelu štruktúry.
2. Metodika systémovej analýzy. Koncepcia systému. Dynamické vlastnosti systému: funkčnosť, motivácia, variabilita systému v čase, existencia v meniacom sa prostredí. Syntetické vlastnosti systému: vznik, nerozdeliteľnosť na časti, zotrvačnosť, účelnosť.
Dynamické vlastnosti systému:
Funkčnosť - piata vlastnosť systému. Za jeho funkcie sa považujú procesy Y (t) prebiehajúce na výstupoch systému (Y (1) ^ (yi (t), Y (1), -, Yn (0)). Funkcie systému - je to jej správanie vo vonkajšom prostredí; zmeny vykonané systémom v životnom prostredí; výsledky svojej činnosti; produkty vyrobené systémom. Množstvo výstupov znamená množstvo funkcií, z ktorých každú môže niekto a na niečo použiť. Rovnaký systém preto môže slúžiť rôznym účelom.
Stimulovateľnosť - šiesta vlastnosť systému. Na vstupoch systému sa vyskytujú aj určité procesy X (t) = (x ^ (t), X2 (t), x ^ (t)), ktoré ovplyvňujú systém a otáčajú sa (po sérii transformácií v systéme) do Y (t). Vplyvy nazveme X (t) podnety a samotná náchylnosť akéhokoľvek systému na vonkajšie vplyvy a zmena jeho správania pod týmito vplyvmi sa bude nazývať stimulovateľnosť.
Variabilita systému v čase je siedmou vlastnosťou systému. Zmeny nastávajú v každom systéme, ktorý je potrebné vziať do úvahy; zabezpečiť a zahrnúť do projektu budúceho systému; propagovať alebo pôsobiť proti nim tým, že ich pri práci s existujúcim systémom urýchli alebo spomalí. V systéme sa môže zmeniť čokoľvek, ale pokiaľ ide o naše modely, môžeme dať jasnú klasifikáciu zmien: hodnoty vnútorných premenných (parametrov) Z (t), zloženie a štruktúra systému a všetky ich kombinácie , sa môže zmeniť.
Existencia v meniacom sa prostredí je ôsma vlastnosť systému. Mení sa nielen tento systém, ale aj všetky ostatné. Pre daný systém to vyzerá na nepretržitú zmenu prostredia. Nevyhnutnosť existencie v neustále sa meniacom prostredí má mnoho dôsledkov na samotný systém, od potreby prispôsobiť sa vonkajším zmenám, aby nezahynul, až po rôzne ďalšie reakcie systému. Pri zvažovaní konkrétneho systému na konkrétny účel sa pozornosť zameriava na niektoré špecifické vlastnosti jeho reakcie.
Syntetické vlastnosti systému:
Syntetický ... Tento termín označuje zovšeobecňujúce, kolektívne, integrálne vlastnosti, ktoré berú do úvahy to, čo bolo povedané predtým, ale zameriavajú sa na interakciu systému s prostredím, na integritu v najvšeobecnejšom zmysle.
Vznik - deviata vlastnosť systému. Možno táto vlastnosť hovorí o povahe systémov viac ako ktokoľvek iný. Zjednotenie častí do systému dáva vzniknúť kvalitatívne novým vlastnostiam v systéme, ktoré nie sú redukovateľné na vlastnosti častí, nie sú odvodené z vlastností častí, sú vlastné iba samotnému systému a existujú iba vtedy, ak je systém jedným celkom. . Systém je viac ako jednoduchá zbierka dielov. Vlastnosti systému, ktoré sú mu vlastné, sa nazývajú emergentné (z angličtiny „vzniknúť“).
Nerozdeliteľnosť na časti je desiata vlastnosť systému. Aj keď je táto vlastnosť jednoduchým dôsledkom vzniku, jej praktický význam je taký veľký a jej podceňovanie je také bežné, že je vhodné zdôrazniť ju oddelene. Ak potrebujeme samotný systém, a nie niečo iné, potom ho nemožno rozdeliť na časti. Po odstránení súčiastky zo systému nastanú dve dôležité udalosti.
Po prvé, toto zmení zloženie systému, a tým aj jeho štruktúru. Bude to iný systém s rôznymi vlastnosťami. Pretože predchádzajúci systém má mnoho vlastností, niektoré vlastnosti súvisiace s touto konkrétnou časťou úplne zmiznú (môže sa ukázať, že sú buď naliehavé alebo nie. Niektoré vlastnosti sa zmenia, ale čiastočne zostanú. A niektoré vlastnosti systému sú vo všeobecnosti bezvýznamné. Zdôrazňujeme ešte raz, že stiahnutie časti zo systému bude mať významný vplyv alebo nie - vec posúdenia dôsledkov.
Druhým dôležitým dôsledkom vyňatia časti zo systému je, že časť v systéme a mimo neho nie je to isté. Jeho vlastnosti sa menia v dôsledku skutočnosti, že vlastnosti objektu sa prejavujú v interakciách s okolitými predmetmi, a keď sú odstránené zo systému, prostredie prvku sa stáva úplne iným.
Ingresencia je jedenásta vlastnosť systému. Povieme, že systém je o to infekčnejší (z angličtiny inherentný - ktorý je neoddeliteľnou súčasťou niečoho), čím lepšie je koordinovaný, prispôsobený prostrediu, kompatibilný s ním. Stupeň zotrvačnosti je rôzny a môže sa meniť (učenie, zabúdanie, evolúcia, reformy, vývoj, degradácia atď.). Skutočnosť, že sú všetky systémy otvorené, neznamená, že sú všetky rovnako dobre koordinované s prostredím.
Uskutočniteľnosť - dvanásta vlastnosť systému. V systémoch vytvorených človekom je podriadenosť všetkého (zloženia aj štruktúry) stanovenému cieľu taká zrejmá, že by mala byť uznaná ako základná vlastnosť akéhokoľvek umelého systému. Cieľ, pre ktorý je systém vytvorený, určuje, ktorá vznikajúca vlastnosť zabezpečí realizáciu cieľa, a to zase diktuje výber zloženia a štruktúry systému. Jednou z definícií systému je znie: systém je prostriedkom na dosiahnutie cieľa. Rozumie sa, že ak predložený cieľ nemožno dosiahnuť kvôli existujúcim možnostiam, subjekt zostavuje nový systém z predmetov, ktoré ho obklopujú, špeciálne vytvorený tak, aby pomohol dosiahnuť tento cieľ. Stojí za zmienku, že cieľ málokedy jednoznačne určuje zloženie a štruktúru vytváraného systému: je dôležité, aby sa implementovala požadovaná funkcia, a to sa často dá dosiahnuť rôznymi spôsobmi.
3. Metodika systémovej analýzy. Modely a modelovanie. Pojem model ako systém. Analýza a syntéza ako metódy konštrukcie modelov. Umelá a prirodzená klasifikácia modelov. Súlad modelov s kultúrou subjektu.
Podľa toho, čo potrebujeme vedieť, vysvetliť - ako systém funguje alebo ako interaguje s prostredím, rozlišujeme dva spôsoby poznávania: 1) analytické; 2) syntetické.
Postup analýzy spočíva v postupnom vykonávaní nasledujúcich troch operácií; 1) rozdeliť komplexný celok na menšie časti, pravdepodobne jednoduchšie; 2) poskytnite jasné vysvetlenie prijatých fragmentov; 3) skombinujte vysvetlenie častí s vysvetlením celku. Ak je niektorá časť systému stále nepochopiteľná, operácia rozkladu sa zopakuje a znova sa pokúsime vysvetliť nové, ešte menšie fragmenty.
Prvým produktom analýzy je, ako je zrejmé z diagramu, zoznam prvkov systému, t.j. ... model zloženia systému ... Druhý produkt analýzy je model štruktúry systému ... Tretí produkt analýzy je model čiernej skrinky pre každý prvok systému.
Syntetická metóda spočíva v postupnom vykonávaní troch operácií: 1) výber väčšieho systému (metasystému), do ktorého je zahrnutý systém, ktorý nás zaujíma; 2) zváženie zloženia a štruktúry metasystému (jeho analýza): 3) vysvetlenie úlohy, ktorú náš systém zohráva v metasystéme prostredníctvom jeho prepojenia s inými subsystémami metasystému. Konečným produktom syntézy je znalosť prepojení nášho systému s inými časťami metasystému, t.j. model čiernej skrinky. Aby sme ho však mohli vybudovať, museli sme po ceste vytvárať modely zloženia a štruktúry metasystému ako vedľajších produktov.
Analýza a syntéza nie sú protiklady, ale komplementárne. Navyše v analýze je syntetická zložka a v syntéze je analýza metasystému.
Existujú dva typy klasifikácií: umelé a prírodné . S umelou klasifikáciou rozdelenie do tried prebieha „ako má“, t.j. na základe cieľa - pre toľko tried a s takými hranicami, aké diktuje cieľ. Klasifikácia sa robí trochu inak, keď je uvažovaná množina jasne nehomogénna. Prirodzené zoskupenia (v štatistikách sa im hovorí klastre) sa ako keby navrhovali definovať ako triedy , ((preto je názov klasifikácie prirodzený) ... Treba však mať na pamäti, že prirodzená klasifikácia je len zjednodušeným a hrubým modelom reality .
Súlad modelov s kultúrou subjektu ... Na to, aby si model uvedomil svoju modelovú funkciu, nestačí len samotný model. Je potrebné, aby model bol kompatibilný, v súlade s prostredím, ktoré je pre model kultúrou (svetom modelov) používateľa. Pri zvažovaní vlastností systémov sa táto podmienka nazýva zotrvačnosť: zotrvačnosť modelu voči kultúre je nevyhnutnou požiadavkou na modelovanie. Stupeň zotrvačnosti modelu sa môže meniť: zvyšovať (školenie používateľov, vzhľad adaptéra, akým je napríklad kameň Rosetta a podobne) alebo klesať (zabúdanie, ničenie kultúry) v dôsledku zmien prostredia alebo samotného modelu. Do metasystému modelovania by teda mal byť zahrnutý ešte jeden prvok - kultúra.
4. Metodika systémovej analýzy. Ovládanie. Päť ovládacích prvkov. Sedem typov riadenia.
Ovládanie - účelový vplyv na systém.
Päť ovládacích prvkov:
Prvým riadiacim komponentom je samotný riadiaci objekt, riadený systém.
Druhou povinnou súčasťou systému riadenia je cieľ riadenia.
Riadiaca akcia U (t) je treťou kontrolnou zložkou ... Skutočnosť, že vstupy a výstupy systému sú prepojené nejakým vzťahom Y (t) = S, nám umožňuje dúfať, že existuje taká riadiaca akcia, pri ktorej sa cieľ V * (t) realizuje na výstupe.
Systémový model sa stáva štvrtou súčasťou procesu riadenia.
Musia byť vykonané všetky činnosti potrebné pre manažment. Táto funkcia je na to zvyčajne priradená špeciálne vytvorenému systému. (piata zložka procesu riadenia). Nazýva sa riadiaca jednotka alebo riadiaci systém (subsystém), riadiace zariadenie atď. V realite Riadiaci blok môže to byť subsystém riadeného systému (ako;) avodoirvlefae - súčasť závodu, autopilot - časť lietadla), ale môže to byť aj externý systém (ako ministerstvo pre podriadený podnik, ako dispečer letiska pre lietadlo pristávajúce).
Sedem typov ovládania:
Prvým typom ovládania je ovládanie jednoduchého systému, alebo ovládanie programu.
Druhým typom riadenia je riadenie komplexného systému.
Tretím typom riadenia je riadenie parametrov alebo regulácia.
Štvrtým typom riadenia je manažment štruktúry.
Piaty typ riadenia je riadenie podľa cieľov.
Šiestym typom riadenia je správa veľkých systémov.
Siedmy typ riadenia. Okrem prvého typu kontroly, keď je k dispozícii všetko potrebné na realizáciu cieľa, sú ďalšie zvažované typy kontroly spojené s prekonaním faktorov, ktoré bránia dosiahnutiu cieľa: nedostatok informácií o kontrolnom objekte (druhý typ), drobné zvuky tretej strany, ktoré mierne odchyľujú systém od trajektórie cieľa (tretí typ), nesúlad medzi vznikajúcimi vlastnosťami systému a cieľom (štvrtý typ), nedostatok materiálnych zdrojov, robí cieľ nedosiahnuteľným a vyžaduje jeho náhrada (piaty typ), nedostatok času na nájdenie najlepšieho riešenia (šiesty typ).
5. Technológia systémovej analýzy. Podmienky úspechu výskumu systémov. Fázy systémového výskumu: odstránenie problému, diagnostika problému, zostavenie zoznamu zainteresovaných strán, identifikácia problémového neporiadku.
Podmienky úspechu výskumu systémov :
zaručiť prístup k všetkým potrebným informáciám (zatiaľ čo analytik za seba zaručuje dôvernosť);
záruka osobnej účasti najvyšších predstaviteľov organizácií-povinných účastníkov problémovej situácie (vedúci systémov obsahujúcich problémy a ich riešenie);
odmietnutie požiadavky vopred sformulovať potrebný výsledok („referenčné podmienky“), pretože existuje veľa zlepšujúcich sa zásahov a nie sú vopred známe, najmä to, čo sa vyberie na implementáciu.
Vyriešenie problému - úloha sformulovať problém a zdokumentovať ho. Vyhlásenie o probléme si vyvíja klient sám; úlohou analytika je zistiť, na čo sa klient sťažuje, s čím je nespokojný. Toto je problém klienta, ako ho vidí. Človek by sa mal zároveň snažiť neovplyvňovať jeho názor, nie ho skresľovať.
Diagnostika problému ... To, ktorý zo spôsobov riešenia problémov použiť na vyriešenie daného problému, závisí od toho, či sa rozhodneme ovplyvniť nespokojného subjektu sám alebo zasiahnuť do reality, s ktorou nie je spokojný (môžu nastať prípady, keď je vhodná kombinácia oboch vplyvov) . Úlohou tejto etapy je stanoviť diagnózu - určiť, k akému typu problému patrí.
Zoznam zainteresovaných strán .Naším konečným cieľom je implementovať zlepšujúci sa zásah. Každá etapa by nás k nej mala priblížiť o jeden krok, ale musíme si dávať obzvlášť pozor, aby bol tento krok presne správnym smerom, a nie opačným. Aby ste mohli následne zohľadniť záujmy všetkých účastníkov problémovej situácie (konkrétne na čom je založený koncept zlepšovania intervencie), musíte najskôr zistiť, kto je do problémovej situácie zapojený, a urobiť si ich zoznam. Zároveň je dôležité, aby ste nikomu nechýbali; predsa nie je možné vziať do úvahy záujmy niekoho, kto je nám neznámy, a nezohľadnenie niekoho hrozí, že sa náš zásah nezlepší. Zoznam účastníkov problémovej situácie preto musí byť úplný.
Identifikácia problému kašou ... Zainteresované strany majú záujmy, ktoré musíme vziať do úvahy. Ale na to ich musíte poznať. Medzitým máme iba zoznam vlastníkov záujmov. Prvou informáciou, ktorú musíte o zainteresovanej strane získať, je jeho vlastné posúdenie situácie, ktorá je pre nášho klienta problematická. Môže to byť rôzne: niektoré zainteresované strany môžu mať svoje vlastné problémy (hodnotenie je negatívne), niekto je celkom spokojný (hodnotenie je pozitívne), iní môžu mať neutrálny prístup k realite. Takže sa vyjasní<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.
6. Technológia systémovej analýzy. Operácie analýzy systému. Fázy výskumu systému: definícia konfigurátora, zacielenie, definícia kritérií, experimentálny výskum.
Operácie analýzy systému ... Ak klient súhlasí s podmienkami zmluvy, analytik prejde do prvej etapy, po jej dokončení začne druhú a ďalšie až do posledného etánu, na konci ktorého by mal byť získaný implementovaný zlepšujúci zásah.
Definovanie konfigurátora ... Nevyhnutnou podmienkou úspešného riešenia problému je prítomnosť adekvátneho modelu problémovej situácie, s jeho pomocou bude možné testovať a porovnávať možnosti navrhovaných opatrení. Tento model (alebo sada modelov) musí byť nevyhnutne zostavený pomocou určitého jazyka (alebo jazykov). Vynára sa otázka, koľko a ktoré jazyky sú potrebné na riešenie tohto problému a ako si ich vybrať. Konfigurátor sa nazýva minimálny súbor odborných jazykov, čo umožňuje podať úplný (adekvátny) popis problémovej situácie a jej transformácií. Všetky práce v priebehu riešenia problému budú prebiehať v jazykoch konfigurátora. A iba na nich. Definovanie konfigurátora je úlohou tejto fázy. Zdôrazňujeme, že konfigurátor nie je umelým vynálezom systémových analytikov, ktorý bol vytvorený s cieľom uľahčiť im prácu.... Konfigurátor je na jednej strane určený povahou problému. Na druhej strane možno konfigurátor vnímať ako ďalšiu VLASTNÍCTVO systémov, ako prostriedok, pomocou ktorého systém rieši svoj problém.
Detekcia cieľa ... Keď sa snažíme implementovať zlepšujúce intervencie, musíme zabezpečiť, aby to žiadna zainteresovaná strana nevnímala negatívne. Ľudia hodnotia zmenu pozitívne, ak ju priblíži k cieľu, a negatívnu, ak ju od nej posunie. Preto, aby bolo možné navrhnúť intervenciu, je potrebné poznať ciele všetkých zainteresovaných strán. Hlavným zdrojom informácií je samozrejme samotný zainteresovaný subjekt.
Definovanie kritérií ... V priebehu riešenia problému bude potrebné porovnať navrhované možnosti, posúdiť stupeň dosiahnutia cieľa alebo odchýlku od neho a monitorovať priebeh udalostí. To sa dosiahne zvýraznením niektorých vlastností uvažovaných predmetov a procesov. Tieto znaky by mali byť spojené s vlastnosťami uvažovaných predmetov alebo procesov, ktoré nás zaujímajú, by mali byť k dispozícii na pozorovanie a meranie. Potom podľa získaných výsledkov meraní budeme môcť vykonať potrebnú kontrolu. Tieto charakteristiky sa nazývajú kritériá. Každá štúdia (vrátane našej) bude vyžadovať kritériá. Koľko, čo a ako vybrať kritériá? Po prvé, o počte kritérií. Je zrejmé, že čím menej kritérií budete potrebovať, tým jednoduchšie bude porovnanie. To znamená, že je žiaduce minimalizovať počet kritérií; bolo by dobré ich obmedziť na jedno. Voľba kritérií . Kritériá sú kvantitatívne modely kvalitatívnych cieľov. Vytvorené kritériá v budúcnosti v istom zmysle predstavujú a nahrádzajú ciele: optimalizácia podľa kritérií by mala zaistiť maximálnu aproximáciu k cieľu. Kritériá samozrejme nie sú totožné s cieľom, je to zdanie cieľa, jeho modelu. Stanovenie hodnoty kritéria pre danú alternatívu je v zásade meraním stupňa jeho vhodnosti ako prostriedku na dosiahnutie cieľa.
Experimentálne štúdium systémov. Experiment a model. Chýbajúce informácie o systéme je často možné získať iba zo samotného systému vykonaním špeciálne navrhnutého experimentu. Informácie obsiahnuté v protokole experimentu sa extrahujú podrobením získaných údajov spracovaniu, transformácii do formy vhodnej na zahrnutie do modelu systému. Poslednou akciou je oprava modelu, ktorá obsahuje informácie získané v modeli. Je zrejmé, že experiment je potrebný na zlepšenie modelu. Je tiež dôležité pochopiť, že experiment nie je možný bez modelu. Sú v rovnakom cykle. Rotácia v tomto cykle však nepripomína kolovrátok, ale valiacu sa snehovú guľu - s každou otáčkou nadobúda čoraz väčšiu váhu.
7. Technológia systémovej analýzy. Etapy výskumu systémov: vytváranie a zlepšovanie modelov, generovanie alternatív, rozhodovanie, +.
Vytváranie a vylepšovanie modelov. V systémovej analýze je model problematický a je na to potrebná situácia „Prehrať“ je možné možnosti intervencií na odrezanie nielen tých, ktoré sa nezlepšujú, ale aj výberu spomedzi tých, ktoré sa zlepšujú najviac (podľa našich kritérií). Je potrebné zdôrazniť, že príspevok k vytvoreniu modelu situácie je prínosom v každej predchádzajúcej a vo všetkých následných fázach (jednak ich vlastným prínosom, jednak rozhodnutím vrátiť sa do nejakej ranej fázy s cieľom doplniť model o informácie). Preto v skutočnosti neexistuje žiadna samostatná, špeciálna „etapa budovania modelu“, A napriek tomu stojí za to zamerať sa na vlastnosti stavebných modelov, alebo skôr na ich "Dokončenie" (t.j. pridanie nových prvkov alebo odstránenie nepotrebných).
Generovanie alternatív ... V opísanej technológii sa táto akcia vykonáva v dvoch fázach:
identifikácia nezrovnalostí medzi problémovými a cieľovými zmesami. Je potrebné jasne formulovať rozdiel medzi súčasným (a neuspokojivým) stavom organizácie a budúcim, najžiadanejším a ideálnym stavom, ktorý je potrebné hľadať. Tieto rozdiely sú tie medzery, ktorých odstránenie by malo byť naplánované;
navrhnutie možných možností na odstránenie alebo zníženie zistených nezrovnalostí. Akcie, postupy, pravidlá, projekty, programy a politiky, ktoré sa majú implementovať, musia byť vynájdené - všetky súčasti riadenia.