Súťaž pre mladých učiteľov

Bryanská oblasť

„Pedagogický debut - 2014“

Akademický rok 2014-2015

Kurz ukotvenia z matematiky v 6. ročníku

na tému „GCD. Vzájomne prvočísla “

Pracovisko:MBOU „Glinischevskaja stredná škola“ Brianskej oblasti

Ciele:

Vzdelávacie:

• Konsolidovať a organizovať študovaný materiál;
• Precvičte si schopnosti rozkladu čísel na hlavné faktory a nájdenie GCD;
• Otestujte znalosti študentov a identifikujte medzery;

Vývoj:

• Podporovať rozvoj logického myslenia, rečových a mentálnych operácií žiakov;
• Podporovať formovanie schopnosti všímať si vzorce;
• Podporovať zvýšenie úrovne matematickej kultúry;

Vzdelávacie:

• Prispieť k formovaniu záujmu o matematiku; schopnosť vyjadriť svoje myšlienky, počúvať ostatných, brániť svoj uhol pohľadu;
• výchova k nezávislosti, koncentrácii, koncentrácii pozornosti;
• vštepiť zručnosti presnosti pri vedení zápisníka.

Typ lekcie: lekcia zovšeobecnenia a systematizácie znalostí.

Vyučovacie metódy : vysvetľujúca a ilustračná, nezávislá práca.

Vybavenie: počítač, obrazovka, prezentácia, podklady.

Počas vyučovania:

1. Organizačný čas.

"Zvonček zazvonil a stíchol - lekcia sa začína."

Ticho si sadol k svojim stolom, všetci na mňa pozerali.

Prajte si navzájom úspech svojimi očami.

A vpred za novými poznatkami “.

Priatelia, na stoloch vidíte „Scorecard“, t.j. okrem môjho hodnotenia sa budete hodnotiť aj vy, a to splnením každej úlohy.

Hodnotiaci papier

Chlapci, akú tému ste študovali počas niekoľkých lekcií? (Naučilo sa nájsť najväčší spoločný faktor).

Čo si myslíte, že s vami dnes urobíme? Sformulujte tému našej hodiny. (Dnes budeme pokračovať v práci s najväčším spoločným deliteľom. Téma našej hodiny: „Najväčší spoločný deliteľ.“ V tejto lekcii nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa niekoľkých čísel a problémy budeme riešiť pomocou znalosti nachádzania najväčšieho spoločného deliteľa. deliteľ.).

Otvorte zošity, zapíšte si číslo, prácu v triede a tému lekcie: Najväčší spoločný deliteľ. Vzájomne prvočísla “.

1. Aktualizácia znalostí

Niekoľko teoretických otázok

Je tvrdenie správne. "Áno" - __; "Nie" - /\. Snímka 3-4

• Prvočíslo má presne dvoch deliteľov; (správny)
• 1 je prvočíslo; (nepravda)
• Najmenšia dvojciferná prvočíslo je 11; (správny)
• Najväčšie dvojciferné zložené číslo je 99; (správny)
• Čísla 8 a 10 sú spoločné (nie je pravdivé)
• Niektoré zložené čísla nemožno faktorizovať; (nepravda).

Kľúč: _ /\ _ _ /\ /\.

Hodnotili svoju ústnu prácu na výsledkovej listine.

1. Systematizácia znalostí

V dnešnej lekcii bude kúzlo.

Kde sa stretáva mágia? (v rozprávke)

Z kresby uhádnite, do ktorej rozprávky sa dostaneme. ( Snímka 5 ) Rozprávka o husiach-labutiach. Úplnú pravdu. Dobre. Skúsme si teraz všetci spoločne zapamätať obsah tejto rozprávky. Reťaz je veľmi krátka.

Žil tam muž a žena. Mali dcéru a malého syna. Otec a matka išli do práce a požiadali svoju dcéru, aby sa starala o brata.

Položila môjho brata na trávu pod okno a ona vybehla von, hrala sa a išla sa prejsť. Keď sa dievča vrátilo, brat bol preč. Začala ho hľadať, zakričala, zavolala mu, ale nikto nereagoval. Vybehla na otvorené pole a videla iba: husi sa v diaľke vrhli a zmizli za tmavým lesom. Potom si dievča uvedomilo, že odviedli jej brata. Už dlho vedela, že husi labute odnášajú malé deti.

Ponáhľala sa za nimi. Cestou stretla sporák, jabloň, rieku. Ale naša rieka nie je mliečna v želé bankách, ale obvyklá, v ktorej je veľa rýb. Nikto z nich nenavrhol, kam husi odleteli, pretože ona sama ich požiadavky nesplnila.

Dievča dlho bežalo cez polia, po lesoch. Deň sa už prikláňa k večeru, zrazu vidí - na kuracom stehne je chata s jedným oknom a otáča sa okolo seba. V kolibe točí stará Baba Yaga kúdeľ. A jej brat sedí na lavičke pri okne. Dievča nepovedalo, že si prišlo po brata, ale klamalo s tým, že sa stratilo. Nebyť malej myšky, ktorú kŕmila kašou, Baba Yaga by ju v rúre vysmažila a zjedla. Dievča rýchlo chytilo svojho brata a utekalo domov. Husi - labute si ich všimli a leteli za prenasledovaním. A či sa dostanú bezpečne domov - všetko teraz závisí od nás, chlapcov. Pokračujme v príbehu.

Bežia, bežia a bežia k rieke. Požiadali o pomoc rieke.

Rieka im však pomôže skryť sa, iba ak vy „ulovíte“ všetky ryby.

Teraz budete pracovať vo dvojiciach. Každému páru dávam obálku - sieť, do ktorej sú zamotané tri ryby. Vašou úlohou je získať všetky ryby, zapísať si č. 1 a vyriešiť

Úlohy pre ryby. Dokážte, že čísla sú spoločné

1) 40 a 15 2) 45 a 49 3) 16 a 21

Vzájomné overenie. Venujte pozornosť hodnotiacim kritériám. Snímka 6-7

Zovšeobecnenie: Ako dokázať, že čísla sú spolupríslušné?

Podal hodnotenie.

Dobre. Pomohla dievčaťu s chlapcom. Rieka ich pokryla pod svojim brehom. Labutie husi preleteli okolo.

Na znak vďačnosti pre vás chlapec strávi fyzickú minútu (video) Snímka 9

V akom prípade ich jabloň skryje?

Ak dievča ochutná svoje lesné jablko.

Správny. Poďme spolu „zjesť“ lesné jablká. A jablká na ňom nie sú jednoduché, s neobvyklými úlohami, nazývanými LOTO. Veľké jablká „zjedia“ po jednej v skupine, tj. pracujeme v skupinách. Nájdite GCD v každom políčku na malých odpovedných kartičkách. Keď sú všetky bunky zatvorené, otočte karty a mali by ste získať obrázok.

Questy po lesných jablkách

Nájdite GCD:

1. skupina		Skupina 2
GCD (48,84) =	GCD (60,48) =	GCD (60,80) =	GCD (80,64) =
GCD (12,15) =	GCD (15,20) =	GCD (50,30) =	GCD (12,16) =
Skupina 3		4 skupina
GCD (123,72) =	GCD (120,96) =	GCD (90,72) =	GCD (15; 100) =
GCD (45,30) =	GCD (15,9) =	GCD (14,42) =	GCD (34,51) =

Kontrola: Prechádzam riadkami a kontrolujem obrázok

Zhrnutie: Čo musíte urobiť, aby ste našli GCD?

Dobre. Jabloň ich zasypala konármi, zasypala listami. Husi - labute ich stratili a leteli ďalej. Čo teda bude nasledovať?

Znova bežali. Už to nebolo ďaleko, potom ich husi uvideli, začali biť krídlami, chceli brata vytrhnúť z rúk. Utekali k sporáku. Kachle ich skryjú, ak dievča ochutná ražný koláč.

Pomôžme dievčaťu.Priradenie podľa možností, test

TEST

Téma

možnosť 1

1. Ktoré čísla sú bežnými faktormi pre 24 a 16?

1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;

3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.

1. Je 9 najväčším spoločným deliteľom 27 a 36?

1. Áno; 2) č.

1. Dané čísla sú 128, 64 a 32. Ktoré z nich je najväčším deliteľom všetkých troch čísel?

1) 128; 2) 64; 3) 32.

1. Sú čísla 7 a 418 navzájom prvočíselné?

1) áno; 2) č.

1) 5 a 25;

2) 64 a 2;

3) 12 a 10;

4) 100 a 9.

TEST

Téma : GCD. Vzájomne prvočísla.

možnosť 1

1. Ktoré čísla sú bežnými faktormi pre 18 a 12?

1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;

3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.

1. Je 4 najväčší spoločný deliteľ 16 a 32?

1. Áno; 2) č.

1. Dané čísla 300, 150 a 600. Ktoré z nich je najväčším deliteľom všetkých troch čísel?

1) 600; 2) 150; 3) 300.

1. Sú čísla 31 a 44 navzájom prvočíselné?

1) áno; 2) č.

1. Ktoré čísla sú spoločné?

1) 9 a 18;

2) 105 a 65;

3) 44 a 45;

4) 6 a 16.

Vyšetrenie. Autotest zo snímky. Hodnotiace kritériá. Snímka 10-11

Dobre. Jedli sme koláče. Dievča a jej brat si sadli do stomatov a skryli sa. Husi-labute lietali, lietali, kričali, kričali a bez ničoho odleteli na Baba Yaga.

Dievča poďakovalo kachliam a utekalo domov.

Otec a matka prišli čoskoro z práce.

Zhrnutie lekcie. Aké témy sme si zopakovali, keď sme pomáhali dievčaťu a chlapcovi. (Nájdenie gcd dvoch čísel, spoločných čísel.)

Ako nájsť gcd niekoľkých prirodzených čísel?

Ako dokážem, že sa jedná o spoločné čísla?

Počas hodiny som vám za každú úlohu dal známky a vy ste známkovali. Ich porovnaním sa stanoví priemerná známka za hodinu.

Odraz.

Drahí priatelia! Keď zhrniem lekciu, chcel by som počuť váš názor na lekciu.

• Čo bolo na hodine zaujímavé a poučné?
• Môžem si byť istý, že sa s týmto typom úlohy vyrovnáte?
• Ktorá z úloh sa ukázala ako najťažšia?
• Aké medzery vo vedomostiach boli v lekcii odhalené?
• Aké problémy priniesla táto lekcia?
• Ako hodnotíte úlohu učiteľa? Pomohol vám získať zručnosti a znalosti na riešenie tohto typu problému?

Prilepte jablká na strom. Kto sa vyrovnal so všetkými úlohami a všetko bolo jasné - prilepte červené jablko. Kto mal otázku - zelenú, kto nerozumel - žltú. Snímka 12

Je tvrdenie pravdivé? Najmenšia dvojciferná prvočíslo je 11

Je tvrdenie pravdivé? Najväčšie dvojciferné zložené číslo je 99

Je vyhlásenie pravdivé? Čísla 8 a 10 sú relatívne prvočíselné

Je tvrdenie pravdivé? Niektoré zložené čísla nemožno faktorizovať

Kľúč k diktátu: _ / \ _ _ / \ / \ Hodnotiace kritériá Žiadne chyby - „5“ 1-2 chyby - „4“ 3 chyby - „3“ Viac ako tri - „2“

Dokážte, že 16 a 21 sú súbežné 3 Dokážte, že 40 a 15 sú súbežné Dokážte, že 45 a 49 sú súbežné 2 1 40 = 2 2 2 5 15 = 3 5 GCD (40; 15) = 5, čísla nie sú súbežné 45 = 3 3 5 49 = 7 7 GCD (45; 49) =, čísla sú spolupôsobiace 16 = 2 2 2 2 21 = 3 7 GCD (45; 49) = 1, čísla sú súbežné

Kritériá hodnotenia Žiadne chyby - „5“ 1 chyba - „4“ 2 chyby - „3“ Viac ako dve - „2“

Skupina 1 GCD (48,84) = GCD (60,48) = GCD (12,15) = GCD (15,20) = Skupina 3 GCD (123,72) = GCD (120,96) = GCD (45, 30) = GCD (15,9) = Skupina 2 GCD ( 60,80) = GCD (80,64) = GCD (50,30) = GCD (12,16) = Skupina 4 GCD (90,72) = GCD (15,100) = GCD (14,42) = GCD (34,51) =

Úlohy zo sporáka B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3

Kritériá hodnotenia Žiadne chyby - „5“ 1-2 chyby - „4“ 3 chyby - „3“ Viac ako tri - „2“

Reflexia Rozumel som všetkému, zvládol som všetky úlohy, vyskytli sa menšie problémy, ale zvládol som ich, bolo niekoľko otázok

Rovnaké darčeky je možné vyrobiť zo 48 cukríkov Lastochka a 36 Cheburashka, ak potrebujete použiť všetky cukríky?

Riešenie. Každé z čísiel 48 a 36 musí byť deliteľné počtom darčekov. Preto najskôr napíšeme všetky delitele čísla 48.

Získame: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Potom vypíšeme všetky delitele čísla 36.

Získame: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Spoločnými deliteľmi 48 a 36 sú 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Vidíme, že najväčšie z týchto čísel je 12. Hovorí sa mu najväčší spoločný deliteľ čísel 48 a 36.

To znamená, že je možné urobiť 12 darčekov. Každý darček bude obsahovať 4 sladkosti lastovičky (48: 12 = 4) a 3 sladkosti Cheburashka (36: 12 = 3).

Obsah lekcie osnova lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, úlohy domáca úloha diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafy, tabuľky, schémy humor, anekdoty, zábava, komiksové podobenstvá, porekadlá, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheatov učebnice základné a doplnkové slovníky pojmov ostatné Zdokonaľovanie učebníc a lekciíopravy chýb v návode aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných znalostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované hodiny

V tomto článku budeme hovoriť o tom, aké sú počty spoluvlastníckych podielov. V prvej časti sformulujeme definície pre dve, tri alebo viac súbežných čísel, uvedieme niekoľko príkladov a ukážeme, v ktorých prípadoch možno dve čísla navzájom považovať za prvočíselné. Potom prejdeme k formulácii hlavných vlastností a ich dôkazov. V poslednom odseku si povieme o príbuznom koncepte - párových prvočíslach.

Čo sú to spoločné čísla

Dve alebo viac celých čísel môžu byť navzájom primárne. Na začiatok predstavíme definíciu dvoch čísel, pre ktoré potrebujeme koncept ich najväčšieho spoločného deliteľa. V prípade potreby zopakujte materiál, ktorý je mu venovaný.

Definícia 1

Dve také čísla a a b budú vzájomne prvočíselné, pričom najväčší spoločný deliteľ je 1, t.j. GCD (a, b) = 1.

Z tejto definície môžeme vyvodiť záver, že jediný kladný spoločný deliteľ dvoch koprime čísel bude rovný 1. Iba dve také čísla majú dva spoločné faktory - jeden a mínus jeden.

Aké sú príklady vzájomne prvočíselných čísel? Napríklad taký pár bude 5 a 11. Majú iba jedného spoločného kladného deliteľa rovného 1, čo je potvrdením ich vzájomnej jednoduchosti.

Ak vezmeme dve prvočísla, potom vo vzťahu k sebe navzájom budú vo všetkých prípadoch navzájom prvočíselné, ale také vzájomné vzťahy sa tvoria aj medzi zloženými číslami. Existujú prípady, keď je jedno číslo v páre vzájomne prvočíselných hodnôt zložené a druhé je prvočíselné, alebo obidve sú zložené.

Toto tvrdenie ilustruje nasledujúci príklad: zložené čísla - 9 a 8 tvoria spolupôsobiaci pár. Dokážme to výpočtom ich najväčšieho spoločného deliteľa. Za týmto účelom si zapíšte všetky ich delitele (odporúčame si znova prečítať článok o hľadaní deliteľov čísla). Pre 8 to budú čísla ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 a pre 9 - ± 1, ± 3, ± 9. Zo všetkých deliteľov vyberáme ten, ktorý bude spoločný a najväčší - toto je jeden. Ak teda GCD (8, - 9) = 1, potom 8 a - 9 budú voči sebe navzájom primárne.

500 a 45 nie sú navzájom prvočísla, pretože majú ešte jedného spoločného deliteľa - 5 (pozri článok o kritériách deliteľnosti 5). Päť je viac ako jedna a je kladné číslo. Ďalší podobný pár môže byť - 201 a 3, pretože oba môžu byť delené 3, ako to naznačuje zodpovedajúce kritérium deliteľnosti.

V praxi je pomerne často potrebné určiť vzájomnú jednoduchosť dvoch celých čísel. Zistenie tohto môže byť redukované na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa a jeho porovnanie s jednotou. Je tiež vhodné použiť tabuľku prvočísel, aby sa nevykonávali zbytočné výpočty: ak je v tejto tabuľke jedno z daných čísel, je deliteľné iba jedným a samo sebou. Analyzujme riešenie podobného problému.

Príklad 1

Stav: zistite, či sú 275 a 84 súbežne.

Riešenie

Obe čísla majú jednoznačne viac ako jedného deliteľa, takže ich nemôžeme okamžite nazvať coprime.

Vypočítajte najväčšieho spoločného deliteľa pomocou Euklidovho algoritmu: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 1.

Odpoveď: pretože GCD (84, 275) = 1, potom budú tieto čísla relatívne prvočíselné.

Ako sme už povedali, definíciu takýchto čísel je možné rozšíriť na prípady, keď nemáme dve čísla, ale viac.

Definícia 2

Celé čísla a 1, a 2,…, a k, k> 2 budú navzájom prvočíselné, ak majú najväčší spoločný deliteľ rovný 1.

Inými slovami, ak máme množinu niektorých čísel s najväčším kladným deliteľom väčším ako 1, potom všetky tieto čísla nie sú navzájom inverzné.

Zoberme si niekoľko príkladov. Celé čísla - 99, 17 a - 27 - sú teda súbežné. Všetkým členom populácie bude zodpovedať ľubovoľný počet pripravení, ako napríklad v sekvencii 2, 3, 11, 19, 151, 293 a 667. Ale čísla 12, - 9, 900 a − 72 Nebudú spoluvlastníkmi, pretože okrem jednoty budú mať ešte jedného pozitívneho deliteľa rovného 3. To isté platí pre čísla 17, 85 a 187: okrem jedného môžu byť všetky delené 17.

Vzájomná jednoduchosť čísel spravidla nie je na prvý pohľad zrejmá, túto skutočnosť je potrebné dokázať. Aby ste zistili, či sú niektoré čísla relatívne prvočíselné, musíte nájsť ich najväčšieho spoločného deliteľa a vyvodiť záver na základe jeho porovnania s jednotou.

Príklad 2

Stav: Určte, či sú čísla 331, 463 a 733 súbežné.

Riešenie

Pozrime sa na tabuľku prvočísel a zistíme, že sú v nej všetky tri tieto čísla. Potom môže byť ich spoločným deliteľom iba jeden.

Odpoveď: všetky tieto čísla budú voči sebe navzájom primárne.

Príklad 3

Stav: poskytnúť dôkaz, že čísla - 14, 105, - 2 107 a - 91 nie sú súbežné.

Riešenie

Začnime identifikáciou ich najväčšieho spoločného deliteľa a potom sa uistite, že sa nerovná 1. Pretože záporné čísla majú rovnakých deliteľov ako zodpovedajúce kladné čísla, potom GCD ( - 14, 105, 2 107, - 91) = GCD (14, 105, 2 107, 91). Podľa pravidiel, ktoré sme uviedli v článku o hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa, sa v tomto prípade GCD bude rovnať siedmim.

Odpoveď: sedem je viac ako jedna, čo znamená, že tieto čísla nie sú navzájom prvočíselné.

Základné vlastnosti coprime čísel

Takéto čísla majú niektoré prakticky dôležité vlastnosti. Uvádzame ich v poradí a dokazujeme.

Definícia 3

Ak vydelíme celé čísla a a b číslom zodpovedajúcim ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi, dostaneme číselné súčty. Inými slovami, a: gcd (a, b) a b: gcd (a, b) budú relatívne prvočíselné.

Túto vlastnosť sme už dokázali. Dôkaz nájdete v článku o vlastnostiach najväčšieho spoločného deliteľa. Vďaka nemu dokážeme určiť páry vzájomne prvočísel: stačí vziať akékoľvek dve celé čísla a rozdeliť podľa GCD. V dôsledku toho by sme mali dostať vzájomne prvočísla.

Definícia 4

Nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou vzájomnej jednoduchosti čísel a a b je existencia takýchto celých čísel u 0 a v 0 pre ktoré rovnosť a u 0 + b v 0 = 1 bude to pravda

Dôkaz 1

Začnime tým, že dokážeme nevyhnutnosť tejto podmienky. Povedzme, že máme dve spoločné čísla, označené a a b. Potom podľa definície tohto pojmu bude ich najväčší spoločný deliteľ rovný jednej. Z vlastností GCD vieme, že pre celé čísla a a b existuje Bezoutov vzťah a u 0 + b v 0 = gcd (a, b)... Z toho to máme a u 0 + b v 0 = 1... Potom musíme dokázať dostatočnosť stavu. Nechajte rovnosť a u 0 + b v 0 = 1 bude to pravda, v takom prípade, ak GCD (a, b) rozdeľuje a a , a b, potom sa rozdelí a súčet a u 0 + b v 0, a jednota, v tomto poradí (to možno tvrdiť z vlastností deliteľnosti). A to je možné iba vtedy, ak Gcd (a, b) = 1, čo dokazuje vzájomnú jednoduchosť a a b.

Skutočne, ak a a b sú súbežné, potom podľa predchádzajúcej vlastnosti rovnosť a u 0 + b v 0 = 1... Vynásobíme obe strany c a dostaneme to a c u 0 + b c v 0 = c... Prvý termín môžeme rozdeliť a c u 0 + b c v 0 b, pretože to je možné pre a · c, a druhý člen je tiež deliteľný b, pretože jeden z faktorov, ktoré máme, je b. Z toho usudzujeme, že celú sumu je možné rozdeliť na b, a pretože tento súčet sa rovná c, potom c je možné rozdeliť na b.

Definícia 5

Ak sú dve celé čísla a a b súbežne, potom GCD (a c, b) = GCD (c, b).

Dôkaz 2

Dokážme, že GCD (a c, b) bude deliť GCD (c, b), a potom, že GCD (c, b) delí GCD (a c, b), čo dokazuje, že rovnosť GCD (a C, b ) = gcd (c, b).

Pretože GCD (ac, b) delí ac aj b a GCD (ac, b) delí b, bude tiež rozdeľovať bc. Preto GCD (a c, b) delí ac aj b c, a preto na základe vlastností GCD rozdeľuje aj GCD (ac, b c), ktoré sa bude rovnať c GCD (a, b) = c. Preto GCD (ac, b) delí b aj c, preto GCD (c, b) tiež delí.

Môžete tiež povedať, že pretože GCD (c, b) delí c aj b, rozdelí c aj a · c. Preto GCD (c, b) delí ac aj b, preto GCD (ac, b) tiež delí.

Gcd (ac, b) a gcd (c, b) sa teda navzájom zdieľajú, čo znamená, že sú si rovné.

Definícia 6

Ak sú čísla zo sekvencie a 1, a 2,…, a k bude spoločný pre čísla v sekvencii b 1, b 2, ..., b m(pre prirodzené hodnoty k a m), potom ich produkty a 1 · a 2 ·… · a k a b 1 b 2… b m sú tiež spolupríspevky, najmä, a 1 = a 2 =… = a k = a a b 1 = b 2 = ... = b m = b potom a k a b m- vzájomne jednoduché.

Dôkaz 3

Podľa predchádzajúcej vlastnosti môžeme zapísať rovnosti nasledujúceho tvaru: GCD (a 1 · a 2 ·… · ak, bm) = GCD (a 2 ·… · ak, bm) = ... = GCD (ak, bm ) = 1. Možnosť posledného prechodu je zaistená skutočnosťou, že a k a b m sú navzájom podmienkovo ​​jednoduché. Preto GCD (a 1 · a 2 ·… · a k, b m) = 1.

Označme a 1 a 2… ak = A a získajme, že GCD (b 1 b 2… bm, a 1 a 2… ak) = GCD (b 1 b 2… bm, A) = GCD (b 2 ... b bm, A) = ... = GCD (bm, A) = 1. To bude platiť kvôli poslednej rovnosti v reťazci skonštruovanom vyššie. Získali sme teda rovnosť GCD (b 1 b 2… b m, a 1 a 2… a k) = 1, ktorú je možné použiť na preukázanie vzájomnej jednoduchosti produktov a 1 · a 2 ·… · a k a b 1 b 2… b m

To sú všetky vlastnosti súbežných čísel, o ktorých by sme vám chceli povedať.

Koncept párových prvočísel

Keď vieme, čo sú to čísla spolupôsobenia, môžeme sformulovať definíciu párových prvočísel.

Definícia 7

Párové prvočísla Je to postupnosť celých čísel a 1, a 2, ..., a k, kde každé číslo bude vzhľadom na ostatné vzájomne prvočíselné.

Príklad sekvencie párových prvočísel by bol 14, 9, 17 a - 25. Tu sú všetky páry (14 a 9, 14 a 17, 14 a - 25, 9 a 17, 9 a - 25, 17 a - 25) spoločné. Všimnite si toho, že podmienka vzájomnej jednoduchosti je povinná pre párové prvočísla, ale čísla súčinnosti nebudú vo všetkých prípadoch párovo prvočíselné. Napríklad v sekvencii 8, 16, 5 a 15 čísla nie sú, pretože 8 a 16 nebudú súbežné.

Mali by ste sa tiež pozastaviť nad konceptom zbierky určitého počtu prvočísel. Vždy budú vzájomne aj párovo jednoduché. Príkladom môže byť sekvencia 71, 443, 857, 991. V prípade prvočísel sa pojmy vzájomnej a párovej jednoduchosti zhodujú.

Ak si v texte všimnete chybu, vyberte ju a stlačte kombináciu klávesov Ctrl + Enter

Dokončená práca

DIPLOMA FUNGUJE

Veľa je už za vami a teraz ste absolventom, ak samozrejme napíšete diplomovú prácu včas. Ale život je taká vec, že ​​až teraz vám je jasné, že keď prestanete byť študentom, prídete o všetky študentské radosti, z ktorých mnohé ste nikdy neskúsili, všetko odložíte a odložíte na neskôr. A teraz namiesto toho, aby ste nahradili stratený čas, tvrdo pracujete na svojej diplomovej práci? Existuje vynikajúce východisko: stiahnite si diplomovú prácu, ktorú potrebujete, z nášho webu - a okamžite budete mať veľa voľného času!
Práce boli úspešne obhájené na popredných univerzitách Kazašskej republiky.
Náklady na prácu od 20 000 tenge

KURZ FUNGUJE

Projekt kurzu je prvou serióznou praktickou prácou. Práve napísaním semestrálnej práce sa začína príprava na vypracovanie diplomových projektov. Ak sa študent naučí, ako správne prezentovať obsah témy v projektovom kurze a správne ho navrhnúť, nebude mať v budúcnosti problémy ani s písaním správ, ani s vypracovávaním prác, ani s implementáciou ďalších praktických úloh. . S cieľom pomôcť študentom pri písaní tohto typu študentskej práce a objasniť otázky, ktoré vznikajú pri jeho príprave, bola v skutočnosti vytvorená táto informačná časť.
Náklady na prácu od 2 500 tenge

MAJSTROVSKÉ REZERTÁCIE

V súčasnosti je vo vysokoškolských inštitúciách Kazachstanu a krajín SNŠ úroveň vyššieho odborného vzdelávania veľmi bežná, čo nasleduje po bakalárskom - magisterskom stupni. V magisterskom štúdiu študujú s cieľom získať magisterský titul, ktorý je vo väčšine krajín sveta uznávaný viac ako bakalársky a uznávajú ho aj zahraniční zamestnávatelia. Výsledkom štúdia v magisterskom stupni je obhajoba diplomovej práce.
Poskytneme vám aktuálny analytický a textový materiál, v cene sú 2 vedecké články a abstrakt.
Náklady na prácu od 35 000 tenge

PRAXNÉ SPRÁVY

Po absolvovaní akéhokoľvek typu študentskej praxe (vzdelávacej, priemyselnej, pred diplomovej) je povinný vypracovať správu. Tento dokument bude potvrdením praktickej práce študenta a podkladom pre vypracovanie hodnotenia pre prax. Na vypracovanie správy o praxi je spravidla potrebné zozbierať a analyzovať informácie o podniku, zvážiť štruktúru a rozvrh práce organizácie, v ktorej sa prax vykonáva, vypracovať harmonogram a opísať svoju prax.
Pomôžeme vám napísať správu o stáži s prihliadnutím na špecifiká aktivít konkrétneho podniku.

Spoloční delitelia

Príklad 1

Nájdite spoločného deliteľa 15 USD a 25 USD.

Riešenie.

Delitelia čísla 15 dolárov: 1, 3, 5, 15 dolárov a ich opak.

Delitelia čísla $ –25: 1, 5, 25 $ a ich opak.

Odpoveď: čísla 15 $ $ a $ –25 $ majú spoločného deliteľa 1 $, 5 $ a ich opak.

Podľa vlastností deliteľnosti sú $ −1 $ a $ 1 $ deliteľmi akéhokoľvek celého čísla, takže −1 $ a $ 1 $ budú vždy spoločnými deliteľmi pre všetky čísla.

Akákoľvek množina celých čísel bude mať vždy najmenej 2 $ spoločného deliteľa: $ 1 $ a $ −1 $.

Všimnite si toho, že ak je celé číslo $ a $ spoločným deliteľom niektorých celých čísel, potom –а bude tiež spoločným deliteľom pre tieto čísla.

V praxi sa najčastejšie obmedzujú iba na kladné delitele, ale nezabúdajte, že každé celé číslo opačné ako kladný deliteľ bude tiež deliteľom tohto čísla.

Určenie najväčšieho spoločného deliteľa (GCD)

Podľa vlastností deliteľnosti má každé celé číslo najmenej jedného nenulového deliteľa a počet takýchto deliteľov je konečný. V tomto prípade sú spoločné delitele daných čísel tiež konečné. Zo všetkých spoločných deliteľov daných čísel je možné vybrať najväčšie číslo.

Ak sú všetky tieto čísla rovné nule, najväčšie zo spoločných deliteľov nemožno určiť, pretože nula je deliteľná akýmkoľvek celým číslom, ktorých je nekonečné množstvo.

Najväčší spoločný deliteľ čísel $ a $ a $ b $ v matematike je označený $ gcd (a, b) $.

Príklad 2

Nájdite GCD pre celé čísla 412 USD a –30 $ ..

Riešenie.

Poďme nájsť delitele každého z čísel:

$ 12 $: čísla $ 1, 3, 4, 6, 12 $ a ich opak.

$ –30 $: čísla $ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 $ a ich opak.

Bežnými deliteľmi $ 12 $ a $ –30 $ sú $ 1, 3, 6 $ a ich opak.

$ Gcd (12, –30) = 6 $.

Určenie GCD troch alebo viacerých celých čísel môže byť podobné definícii GCD dvoch čísel.

GCD z troch alebo viacerých celých čísel je najväčšie celé číslo, ktoré rozdeľuje všetky čísla súčasne.

Označte najväčšieho deliteľa $ n $ čísel $ gcd (a_1, a_2,…, a_n) = b $.

Príklad 3

Nájdite GCD troch celých čísel $ –12, 32, 56 $.

Riešenie.

Poďme nájsť všetky delitele každého z čísel:

$ –12 $: čísla $ 1, 2, 3, 4, 6, 12 $ a ich opak;

32 dolárov: čísla 1, 2, 4, 8, 16, 32 $ a ich opak;

56 dolárov: Čísla 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 dolárov a ich opak.

Bežní delitelia $ –12, 32, 56 $ sú 1, 2, 4 $ a ich opak.

Nájdite najväčšie z týchto čísel porovnaním iba kladných: 1 dolár

$ Gcd (–12, 32, 56) = 4 doláre.

V niektorých prípadoch môže byť gcd celých čísel jedným z týchto čísel.

Vzájomne prvočísla

Definícia 3

Celé čísla $ a $ a $ b $ - vzájomne jednoduché ak $ gcd (a, b) = 1 $.

Príklad 4

Ukážte, že čísla 7 $ a 13 $ sú spoločné.