Grafické riešenie rovnice

Rozkvet, 2009

Úvod

Potreba riešiť kvadratické rovnice v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace s hľadaním oblastí pozemky a so zemnými prácami vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Babylončania vedeli riešiť kvadratické rovnice asi 2000 rokov pred Kristom. Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s modernými, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu prišli.

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Jeho kniha prispela k šíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách.

ale všeobecné pravidlo riešenie kvadratických rovníc, so všetkými možnými kombináciami koeficientov b a c, sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

V roku 1591 François Viet zaviedol vzorce na riešenie kvadratických rovníc.

Niektoré druhy kvadratických rovníc sa dali vyriešiť v starovekom Babylone.

Diophantus Alexandrijský a Euklides, Al-Khwarizmi a Omar Khayyam riešili rovnice geometrickým a grafickým spôsobom.

V 7. ročníku sme študovali funkcie y \u003d C, y=kx, y =kx+ m, y =X 2,y = -X 2, v 8. ročníku - y = √X, y =|X|, y=sekera2 + bx+ c, y =k/ X. V učebnici algebry pre 9. ročník som videl funkcie, ktoré mi ešte neboli známe: y=X 3, y=X 4,y=X 2n, y=X- 2n, y= 3√X, (X– a) 2 + (y -b) 2 = r 2 a ďalšie. Existujú pravidlá na vytváranie grafov týchto funkcií. Zaujímalo by ma, či existujú aj iné funkcie, ktoré sa riadia týmito pravidlami.

Mojou úlohou je študovať grafy funkcií a graficky riešiť rovnice.

1. Aké sú funkcie

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicová rovina, ktorého úsečky sa rovnajú hodnotám argumentov a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Lineárna funkcia je daná rovnicou y=kx+ b, kde k a b- nejaké čísla. Graf tejto funkcie je priamka.

Inverzná proporcionálna funkcia y=k/ X, kde k ¹ 0. Graf tejto funkcie sa nazýva hyperbola.

Funkcia (X– a) 2 + (y -b) 2 = r2 , kde a, b a r- nejaké čísla. Grafom tejto funkcie je kružnica s polomerom r so stredom v bode A ( a, b).

kvadratickej funkcie r= sekera2 + bx+ c kde a,b, S- niektoré čísla a a¹ 0. Graf tejto funkcie je parabola.

Rovnica pri2 (a– X) = X2 (a+ X) . Grafom tejto rovnice bude krivka nazývaná strofoid.

/>Rovnica (X2 + r2 ) 2 = a(X2 – r2 ) . Graf tejto rovnice sa nazýva Bernoulliho lemniskát.

Rovnica. Graf tejto rovnice sa nazýva astroid.

Krivka (X2 r2 – 2 a x)2 = 4 a2 (X2 +y2 ) . Táto krivka sa nazýva kardioidná.

Funkcie: y=X 3 - kubická parabola, y=X 4, y = 1/X 2.

2. Pojem rovnice, jej grafické riešenie

Rovnica je výraz obsahujúci premennú.

vyriešiť rovnicu- to znamená nájsť všetky jeho korene, alebo dokázať, že neexistujú.

Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice vytvorí správnu číselnú rovnosť.

Grafické riešenie rovníc umožňuje nájsť presnú alebo približnú hodnotu koreňov, umožňuje nájsť počet koreňov rovnice.

Pri vykresľovaní grafov a riešení rovníc sa využívajú vlastnosti funkcie, preto sa metóda často nazýva funkčno-grafická.

Aby sme rovnicu vyriešili, „rozdelíme“ ju na dve časti, zavedieme dve funkcie, zostavíme ich grafy, nájdeme súradnice priesečníkov grafov. Úsečky týchto bodov sú koreňmi rovnice.

3. Algoritmus na zostavenie grafu funkcie

Poznanie grafu funkcie y=f(X) , môžete vykresľovať funkcie y=f(X+ m) ,y=f(X)+ l a y=f(X+ m)+ l. Všetky tieto grafy sú získané z grafu funkcie y=f(X) pomocou paralelnej translačnej transformácie: on │ m│ jednotky mierky doprava alebo doľava pozdĺž osi x a ďalej │ l│ jednotky mierky nahor alebo nadol pozdĺž osi r.

4. Grafické riešenie kvadratická rovnica

Napríklad kvadratickej funkcie budeme uvažovať o grafickom riešení kvadratickej rovnice. Graf kvadratickej funkcie je parabola.

Čo vedeli starí Gréci o parabole?

Moderná matematická symbolika vznikla v 16. storočí.

Starovekí grécki matematici nemali ani súradnicovú metódu, ani pojem funkcie. Vlastnosti paraboly však podrobne skúmali. Vynaliezavosť starovekých matematikov je jednoducho úžasná, pretože vedeli používať iba kresby a slovné opisy závislostí.

Najviac plne preskúmaná parabola, hyperbola a elipsa Apollonius z Pergy, ktorý žil v 3. storočí pred Kristom. Tieto krivky pomenoval a naznačil, aké podmienky spĺňajú body ležiace na konkrétnej krivke (napokon neexistovali žiadne vzorce!).

Existuje algoritmus na zostavenie paraboly:

Nájdite súradnice vrcholu paraboly A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=aho2+in0+s;

Nájdite os súmernosti paraboly (priamka x=x0);

ZLOM STRANY--

Zostavenie tabuľky hodnôt pre stavebné kontrolné body;

Získané body zostrojíme a zostrojíme k nim body symetrické vzhľadom na os súmernosti.

1. Zostavme parabolu podľa algoritmu r= X2 – 2 X– 3 . Úsečky priesečníkov s osou X a sú koreňmi kvadratickej rovnice X2 – 2 X– 3 = 0.

Existuje päť spôsobov, ako túto rovnicu graficky vyriešiť.

2. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r= X2 a r= 2 X+ 3

3. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r= X2 –3 a r=2 X. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly s priamkou.

4. Transformujte rovnicu X2 – 2 X– 3 = 0 výberom celého štvorca na funkcii: r= (X–1) 2 a r=4. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly s priamkou.

5. Člen po člene obe časti rovnice rozdelíme X2 – 2 X– 3 = 0 na X, dostaneme X– 2 – 3/ X= 0 Rozdeľme túto rovnicu na dve funkcie: r= X– 2, r= 3/ X. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov priamky a hyperboly.

5. Grafické riešenie stupňových rovnícn

Príklad 1 vyriešiť rovnicu X5 = 3 – 2 X.

r= X5 , r= 3 – 2 X.

odpoveď: x = 1.

Príklad 2 vyriešiť rovnicu 3 √ X= 10 – X.

Korene tejto rovnice sú úsečkou priesečníka grafov dvoch funkcií: r= 3 √ X, r= 10 – X.

odpoveď: x=8.

Záver

Vzhľadom na funkčné grafy: y=sekera2 + bx+ c, y =k/ X, y = √X, y =|X|, y=X 3, y=X 4,y= 3√X, Všimol som si, že všetky tieto grafy sú zostavené podľa pravidla paralelného prekladu vzhľadom na osi X a r.

Na príklade riešenia kvadratickej rovnice môžeme konštatovať, že grafická metóda je použiteľná aj pre rovnice stupňa n.

Grafické metódy riešenia rovníc sú krásne a zrozumiteľné, no nedávajú 100% záruku vyriešenia akejkoľvek rovnice. Úsečky priesečníkov grafov môžu byť približné.

V 9. ročníku a vo vyšších ročníkoch sa ešte zoznámim s ďalšími funkciami. Zaujíma ma, či tieto funkcie dodržiavajú pravidlá paralelného prekladu pri vykresľovaní svojich grafov.

Na ďalší rok Rád by som sa zamyslel aj nad problematikou grafického riešenia sústav rovníc a nerovníc.

Literatúra

1. Algebra. 7. trieda. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. Moskva: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. trieda. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. Moskva: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. ročník Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. Moskva: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. História matematiky v škole. VII-VIII triedy. – M.: Osveta, 1982.

5. Časopis Matematika №5 2009; č. 8 2007; č. 23 2008.

6. Grafické riešenie rovníc Internetové stránky: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Grafické znázornenie funkcií umožňuje približne riešiť nerovnice s jednou neznámou a sústavy nerovníc s jednou a dvomi neznámymi. Graficky vyriešiť nerovnosť s jednou neznámou, je potrebné presunúť všetkých jeho členov do jednej časti, t.j. uveďte do formulára:

f(X) > 0 ,

a nakreslite funkciu y = f(X). Potom pomocou vytvoreného grafu môžete nájsť funkčné nuly, ktorý bude zdieľať os X na niekoľko intervalov. Teraz na základe toho určíme intervaly X, vo vnútri ktorého znak funkcie zodpovedá znaku nerovnosti. Napríklad nuly našej funkcie: a a b(obr. 30). Potom je z grafu zrejmé, že intervaly v rámci ktorých f(X) > 0: X < a a X> b(sú označené hrubými šípkami). Je jasné, že znak > je tu podmienený; môže byť nahradený akýmkoľvek iným:< , .

Pre grafické riešenie sústavy nerovníc s jednou neznámou je potrebné preniesť všetky členy v každej z nich do jednej časti, t.j. uveďte nerovnosti do tvaru:

a nakreslite funkcie y = f(X), r = g(X) , ... , r = h(X). Každá z týchto nerovností je vyriešená grafickou metódou opísanou vyššie. Potom musíte nájsť priesečník riešení všetky nerovnosti, t.j. ich spoločná časť.

PRÍKLAD Vyriešte graficky systém nerovností:

Riešenie Najprv nakreslite grafy funkcií r = - 2 / 3 X+ 2 a

r = X 2-1 (obr. 31):

Riešením prvej nerovnosti je interval X> 3, označený na obr. 31 čiernou šípkou; riešenie druhej nerovnosti pozostáva z dvoch intervalov: X < -1 и X> 1, označené na Obr. 31 sivými šípkami.

Z grafu je vidieť, že priesečníkom týchto dvoch riešení je interval X> 3. Ide o riešenie danej sústavy nerovníc.

Ak chcete graficky vyriešiť systém dvoch nerovníc v dvoch neznámych, musíte:

1) v každom z nich preniesť všetky pojmy do jednej časti, t.j. viesť

nerovnosti vo forme:

2) zostrojte grafy implicitne daných funkcií: f(x, y) = 0 a g(x, y) = 0;

3) každý z týchto grafov rozdeľuje rovinu súradníc na dve časti:

v jednom z nich nerovnosť spravodlivý, v druhom - nie;vyriešiť

graficky každú z týchto nerovností stačí skontrolovať

platnosť nerovnosti v jednom ľubovoľnom bode vo vnútri ľubovoľného

časti lietadla; ak nerovnosť v tomto bode platí, potom

táto časť súradnicovej roviny je jej riešením, ak nie, tak

riešením je opačná časť roviny;

4) riešením danej sústavy nerovníc je priesečník

(všeobecná oblasť) časti súradnicovej roviny.

PRÍKLAD Vyriešte systém nerovností:

Riešenie Najprv vytvoríme grafy lineárne funkcie: 5X - 7r= -11 a

2X + 3r= 10 (obr. 32). Pre každú z nich nájdeme polrovinu,

Vo vnútri ktorej zodpovedajúca daná nerovnosť

Fér. Vieme, že si stačí skontrolovať platnosť

Nerovnosti v jednom ľubovoľnom bode regiónu; v tomto

Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je použiť pôvod O (0, 0).

Nahradením jeho súradníc do našich nerovností namiesto X a r,

Získame: 5 0 - 7 0 \u003d 0\u003e -11, teda čím nižšie

Polrovina (žltá) je riešením prvej

nerovnosti; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

Má tiež spodnú polrovinu (modrá

Farby). Priesečník týchto polrovín (oblasť tyrkysovej farby)

Je to riešenie nášho systému nerovností.

Žiak 10. ročníka Yury Kotovchikhin

Žiaci začínajú študovať rovnice s modulmi už od 6. ročníka, študujú štandardný spôsob riešenia pomocou rozšírenia modulov o intervaloch stálosti submodulárnych výrazov. Túto konkrétnu tému som si vybral, pretože si myslím, že si vyžaduje hlbšie a dôkladnejšie štúdium, úlohy s modulom spôsobujú študentom veľké ťažkosti. V školské osnovy existujú úlohy obsahujúce modul ako úlohy so zvýšenou zložitosťou a na skúškach, preto musíme byť pripravení stretnúť sa s takouto úlohou.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská vzdelávacia inštitúcia

Stredná všeobecná škola №5

Výskumná práca na tému:

« Algebraické a grafické riešenie rovníc a nerovníc obsahujúcich modul»

Urobil som prácu:

Žiak 10. ročníka

Kotovčichin Jurij

vedúci:

Učiteľ matematiky

Shanta N.P.

Urjupinsk

1.Úvod………………………………………………………………..3

2. Pojmy a definície……………………………………………….5

3. Dôkaz viet………………………………………………..6

4. Metódy riešenia rovníc obsahujúcich modul………………...7

12

4.2. Použitie geometrickej interpretácie modulu na riešenie rovníc………………………………………………………………………..14

4.3 Grafy najjednoduchších funkcií obsahujúce znamienko absolútnej hodnoty.

………………………………………………………………………15

4.4 Riešenie neštandardných rovníc obsahujúcich modul .... 16

5.Záver……………………………………………………………….17

6. Zoznam použitej literatúry……………………………………………………………………………………………………………………… 18

Cieľ práce: študenti začínajú študovať rovnice s modulmi už od 6. ročníka, študujú štandardný spôsob riešenia pomocou rozšírenia modulov o intervaloch stálosti submodulárnych výrazov. Túto konkrétnu tému som si vybral, pretože si myslím, že si vyžaduje hlbšie a dôkladnejšie štúdium, úlohy s modulom spôsobujú študentom veľké ťažkosti. V školských osnovách sú úlohy obsahujúce modul ako úlohy so zvýšenou zložitosťou a na skúškach, preto musíme byť pripravení stretnúť sa s takouto úlohou.

1. Úvod:

Slovo „modul“ pochádza z latinského slova „modulus“, čo znamená „merať“. Ide o viachodnotové slovo (homonymum), ktoré má mnoho významov a používa sa nielen v matematike, ale aj v architektúre, fyzike, inžinierstve, programovaní a iných exaktných vedách.

V architektúre je to počiatočná jednotka merania stanovená pre danú architektonickú štruktúru a používa sa na vyjadrenie viacnásobných pomerov jej základných prvkov.

V strojárstve je to pojem používaný v rôznych oblastiach techniky, ktorý nemá univerzálny význam a slúži na označenie rôznych koeficientov a veličín, napríklad modul záberu, modul pružnosti atď.

Objemový modul (vo fyzike) je pomer normálového napätia v materiáli k predĺženiu.

2. Pojmy a definície

Modul - absolútna hodnota - Reálne číslo A je označené |A|.

Študovať do hĺbky táto téma, musíte sa zoznámiť s najjednoduchšími definíciami, ktoré budem potrebovať:

Rovnica je rovnosť obsahujúca premenné.

Rovnica s modulom je rovnica obsahujúca premennú pod znakom absolútnej hodnoty (pod znakom modulu).

Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene, alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú.

3. Dôkaz viet

Veta 1. Absolútna hodnota reálneho čísla sa rovná väčšiemu z dvoch čísel a alebo -a.

Dôkaz

1. Ak je číslo a kladné, potom -a je záporné, teda -a

Napríklad číslo 5 je kladné, potom -5 je záporné a -5

V tomto prípade |a| = a, t.j. |a| sa zhoduje s väčším z dvoch čísel a a - a.

2. Ak je a záporné, potom -a je kladné a a

Dôsledok. Z vety vyplýva, že |-a| = |a|.

Obe a sa totiž rovnajú väčšiemu z čísel -a a a, a preto sú si navzájom rovné.

Veta 2. Absolútna hodnota akéhokoľvek reálneho čísla a sa rovná aritmetickej druhej odmocnine z A 2 .

V skutočnosti, ak potom, podľa definície modulu čísla, budeme mať lAl>0. Na druhej strane, pre A>0, potom |a| = √A 2

Ak 2

Táto veta umožňuje nahradiť |a| na

Geometricky |a| znamená vzdialenosť na súradnicovej čiare od bodu reprezentujúceho číslo a po začiatok.

Ak potom na súradnicovej čiare sú dva body a a -a, rovnako vzdialené od nuly, ktorých moduly sú rovnaké.

Ak a = 0, potom na súradnicovej čiare |a| reprezentovaný bodom 0

4. Metódy riešenia rovníc obsahujúcich modul.

Pri riešení rovníc obsahujúcich znamienko absolútnej hodnoty budeme vychádzať z definície modulu čísla a vlastností absolútnej hodnoty čísla. Budeme riešiť niekoľko príkladov rôzne cesty a uvidíte, akým spôsobom je jednoduchšie vyriešiť rovnice obsahujúce modul.

Príklad 1. Analyticky a graficky riešime rovnicu |x + 2| = 1.

Riešenie

Analytický roztok

1. spôsob

Budeme uvažovať na základe definície modulu. Ak je výraz pod modulom nezáporný, tj x + 2 ≥0 , potom „opustí“ znamienko modulu so znamienkom plus a rovnica bude mať tvar: x + 2 = 1. Ak hodnoty výrazu pod znamienkom modulu sú záporné , potom sa podľa definície bude rovnať: alebo x + 2=-1

Dostaneme teda buď x + 2 = 1, alebo x + 2 = -1. Pri riešení výsledných rovníc nájdeme: X + 2 \u003d 1 alebo X + 2 + -1

X = -1 X = 3

Odpoveď: -3; -1.

Teraz môžeme vyvodiť záver: ak sa modul nejakého výrazu rovná reálnemu kladnému číslu a, potom výraz pod modulom je buď a alebo -a.

Grafické riešenie

Jedným zo spôsobov riešenia rovníc obsahujúcich modul je grafická metóda. Podstatou tejto metódy je zostavenie grafov týchto funkcií. Ak sa grafy pretínajú, priesečníky týchto grafov budú koreňmi našej rovnice. Ak sa grafy nepretínajú, môžeme konštatovať, že rovnica nemá korene. Táto metóda sa pravdepodobne používa menej často ako iné na riešenie rovníc obsahujúcich modul, pretože po prvé, zaberá veľa času a nie je vždy racionálna, a po druhé, výsledky získané pri vykresľovaní grafov nie sú vždy presné.

Ďalším spôsobom riešenia rovníc obsahujúcich modul je rozdelenie číselnej osi na intervaly. V tomto prípade musíme číselný rad rozdeliť tak, aby sa definíciou modulu dalo odstrániť znamienko absolútnej hodnoty v týchto intervaloch. Potom pre každú z medzier budeme musieť vyriešiť túto rovnicu a vyvodiť záver týkajúci sa výsledných koreňov (či už vyhovujú našej medzere alebo nie). Korene uspokojujúce medzery dajú konečnú odpoveď.

2. spôsob

Stanovme si, pri akých hodnotách x sa modul rovná nule: |X+2|=0 , X=2

Dostaneme dva intervaly, na každom z nich riešime rovnicu:

Dostaneme dva zmiešané systémy:

(1) X+20

X-2=1 X+2=1

Poďme vyriešiť každý systém:

X=-3 X=-1

Odpoveď: -3; -1.

Grafické riešenie

y= |X+2|, y= 1.

Grafické riešenie

Pre grafické riešenie rovnice je potrebné vykresliť funkcie a

Na vykreslenie grafu funkcie nakreslíme graf funkcie – ide o funkciu, ktorá v bodoch pretína os OX a os OY.

Úsečky priesečníkov funkčných grafov poskytnú riešenia rovnice.

Priamy graf funkcie y=1 sa pretína s grafom funkcie y=|x + 2| v bodoch so súradnicami (-3; 1) a (-1; 1) budú teda riešenia rovnice úsečkami bodov:

x=-3, x=-1

Odpoveď: -3;-1

Príklad 2. Analyticky a graficky riešte rovnicu 1 + |x| = 0,5.

Riešenie:

Analytický roztok

Transformujme rovnicu: 1 + |x| = 0,5

|x| = 0,5-1

|x|=-0,5

Je jasné, že v tomto prípade rovnica nemá žiadne riešenia, pretože podľa definície je modul vždy nezáporný.

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

Grafické riešenie

Transformujme rovnicu: : 1 + |x| = 0,5

|x| = 0,5-1

|x|=-0,5

Grafom funkcie sú lúče - osi 1. a 2. súradnicového uhla. Grafom funkcie je priamka rovnobežná s osou OX a prechádzajúca bodom -0,5 na osi OY.

Grafy sa nepretínajú, takže rovnica nemá riešenia.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Príklad 3. Analyticky a graficky vyriešte rovnicu |-x + 2| = 2x + 1.

Riešenie:

Analytický roztok

1. spôsob

Najprv musíte nastaviť rozsah platných hodnôt pre premennú. Prirodzene vyvstáva otázka, prečo to v predchádzajúcich príkladoch nebolo potrebné, ale teraz sa to objavilo.

Faktom je, že v tomto príklade je na ľavej strane rovnice modul nejakého výrazu a na pravej strane nie je číslo, ale výraz s premennou - práve táto dôležitá okolnosť odlišuje tento príklad od predchádzajúce.

Keďže na ľavej strane je modul a na pravej strane výraz obsahujúci premennú, je potrebné vyžadovať, aby tento výraz bol nezáporný, t.j. rozsah platných

hodnoty modulu

Teraz môžeme uvažovať rovnakým spôsobom ako v príklade 1, keď pravá strana rovnosti obsahovala kladné číslo. Dostaneme dva zmiešané systémy:

(1) -X+2>0 a (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Poďme vyriešiť každý systém:

(1) vstupuje do intervalu a je koreňom rovnice.

X≤2

X = ⅓

(2) X>2

X = -3

X = -3 nie je zahrnuté v intervale a nie je koreňom rovnice.

Odpoveď: ⅓.

4.1 Riešenie pomocou závislostí medzi číslami a a b, ich modulmi a druhými mocninami týchto čísel.

Okrem metód, ktoré som uviedol vyššie, existuje určitá ekvivalencia medzi číslami a modulmi daných čísel, ako aj medzi štvorcami a modulmi daných čísel:

|a|=|b| a=b alebo a=-b

A2=b2 a=b alebo a=-b

Z toho zasa dostaneme to

|a|=|b| a 2 = b 2

Príklad 4. Riešime rovnicu |x + 1|=|2x - 5| dvoma rôznymi spôsobmi.

1. Vzhľadom na vzťah (1) dostaneme:

X + 1 = 2x - 5 alebo x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

Koreň prvej rovnice je x=6, koreň druhej rovnice je x=11/3

Teda korene pôvodnej rovnice x 1=6, x2=11/3

2. Na základe vzťahu (2) dostaneme

(x + 1)2=(2x - 5)2 alebo x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> rovnica má 2 rôzne korene.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

Ako ukazuje riešenie, koreňmi tejto rovnice sú tiež čísla 11/3 a 6

Odpoveď: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

Príklad 5. Vyriešte rovnicu (2x + 3) 2 = (x - 1) 2.

Ak vezmeme do úvahy vzťah (2), dostaneme, že |2x + 3|=|x - 1|, odkiaľ podľa modelu z predchádzajúceho príkladu (a podľa vzťahu (1)):

2x + 3=x - 1 alebo 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Korene rovnice sú teda x1=-4 a x2=-0,(6)

Odpoveď: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

Príklad 6. Riešime rovnicu |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Pomocou pomeru dostaneme:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 alebo x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 pr.c.

==> nie sú tam žiadne korene.

X 1 \u003d (4-2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

Kontrola: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5 (I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (A)

Odpoveď: x 1 = 1; x2=3

4.2 Použitie geometrickej interpretácie modulu na riešenie rovníc.

Geometrický význam modulu magnitúdového rozdielu je vzdialenosť medzi nimi. napr. geometrický význam výrazy |x - a | - dĺžka segmentu súradnicovej osi spájajúcej body s úsečkami a a x. Preklad algebraického problému do geometrického jazyka často umožňuje vyhnúť sa ťažkopádnym riešeniam.

Príklad7. Vyriešme rovnicu |x - 1| + |x - 2|=1 s použitím geometrickej interpretácie modulu.

Budeme argumentovať nasledovne: na základe geometrickej interpretácie modulu je ľavá strana rovnice súčtom vzdialeností od nejakého bodu na úsečke x k dvom pevným bodom s úsečkami 1 a 2. Potom je zrejmé, že všetky body s úsečkami zo segmentu majú požadovanú vlastnosť a body nachádzajúce sa mimo tohto segmentu - č. Preto odpoveď: množinou riešení rovnice je segment.

odpoveď:

Príklad8. Vyriešme rovnicu |x - 1| - |x - 2|=1 1 s použitím geometrickej interpretácie modulu.

Budeme argumentovať podobne ako v predchádzajúcom príklade a zistíme, že rozdiel vo vzdialenostiach bodov s úsečkami 1 a 2 sa rovná jednej len pre body nachádzajúce sa na súradnicovej osi vpravo od čísla 2. Preto je riešením táto rovnica nebude segmentom medzi bodmi 1 a 2 a lúčom vychádzajúcim z bodu 2 a smerujúcim v kladnom smere osi OX.

odpoveď :)