Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

kde aij a b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n- neznámy. V zápise koeficientov aij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j je počet neznámych, pri ktorých tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budú zapísané vo forme matice , ktorú budeme volať systémová matica.

Čísla na pravej strane rovníc b1,…,b m volal voľných členov.

Agregátne nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie tejto sústavy, ak sa každá rovnica sústavy stane rovnosťou po dosadení čísel do nej c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nezlučiteľné.

Zvážte spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a maticové stĺpce neznámych a voľných členov

Poďme nájsť produkt

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať ako

alebo kratšie A∙X = B.

Tu matice A a B sú známe a matice X neznámy. Treba ju nájsť, pretože. jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná hodnota matice A: . Pokiaľ ide o A-1 A = E a E∙X=X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc je rovnaký ako počet neznámych. Maticový zápis sústavy je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nie je štvorcový a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pri neznámych,

volal systémový determinant.

Ďalšie tri determinanty poskladáme takto: postupne nahradíme 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov.

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom uvažovaný systém má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda o systéme 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobte 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 element 11, 2. rovnica - zap A21 a 3. - dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Zvážte každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu z hľadiska prvkov 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké to vidieť

Dostaneme teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, odkiaľ nasleduje tvrdenie vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinant systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečnú množinu riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Vyriešte sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Predtým uvažované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a je vhodná pre sústavy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Aby sme to dosiahli, vydelíme druhú rovnicu o a 21 a vynásobte - a 11 a potom pridajte s 1. rovnicou. Podobne rozdelíme aj tretiu rovnicu na a 31 a vynásobte - a 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu číslom, vynásobte číslom a pridajte ho k druhému. Potom budeme mať systém rovníc:

Z poslednej rovnice je teda ľahké ju nájsť x 3, potom z 2. rovnice x2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby zameniť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

TO elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. permutácia riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca nenulovým číslom;
3. pridávanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.

Systém lineárnych rovníc je spojením n lineárnych rovníc, z ktorých každá obsahuje k premenných. Píše sa to takto:

Mnohí, keď sa prvýkrát stretávajú s vyššou algebrou, sa mylne domnievajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom premenných. V školskej algebre to zvyčajne platí, ale pre vyššiu algebru to vo všeobecnosti neplatí.

Riešením sústavy rovníc je postupnosť čísel (k 1, k 2, ..., k n ), ktorá je riešením každej rovnice sústavy, t.j. pri dosadení do tejto rovnice namiesto premenných x 1 , x 2 , ..., x n dáva správnu číselnú rovnosť.

Preto riešiť sústavu rovníc znamená nájsť množinu všetkých jej riešení alebo dokázať, že táto množina je prázdna. Keďže počet rovníc a počet neznámych nemusia byť rovnaké, sú možné tri prípady:

1. Systém je nekonzistentný, t.j. množina všetkých riešení je prázdna. Pomerne zriedkavý prípad, ktorý sa dá ľahko zistiť bez ohľadu na to, akou metódou sa má systém vyriešiť.
2. Systém je konzistentný a definovaný, t.j. má presne jedno riešenie. Klasická verzia, dobre známa už zo školy.
3. Systém je konzistentný a nedefinovaný, t.j. má nekonečne veľa riešení. Toto je najťažšia možnosť. Nestačí konštatovať, že „systém má nekonečnú množinu riešení“ – treba opísať, ako je táto množina usporiadaná.

Premenná x i sa nazýva povolená, ak je zahrnutá len v jednej rovnici systému a s koeficientom 1. Inými slovami, v zostávajúcich rovniciach musí byť koeficient pre premennú x i rovný nule.

Ak v každej rovnici vyberieme jednu povolenú premennú, dostaneme množinu povolených premenných pre celý systém rovníc. Samotný systém napísaný v tejto forme sa bude tiež nazývať povolený. Vo všeobecnosti možno jeden a ten istý počiatočný systém zredukovať na rôzne povolené systémy, ale to sa nás teraz netýka. Tu sú príklady povolených systémov:

Oba systémy sú povolené vzhľadom na premenné x 1 , x 3 a x 4 . S rovnakým úspechom však možno tvrdiť, že druhý systém je povolený vzhľadom na x 1 , x 3 a x 5 . Najnovšiu rovnicu stačí prepísať v tvare x 5 = x 4 .

Teraz zvážte všeobecnejší prípad. Predpokladajme, že máme celkovo k premenných, z ktorých je povolených r. Potom sú možné dva prípady:

1. Počet povolených premenných r sa rovná celkovému počtu premenných k : r = k . Dostaneme sústavu k rovníc, v ktorých r = k povolených premenných. Takýto systém je kolaboratívny a určitý, pretože x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Počet povolených premenných r je menší ako celkový počet premenných k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Takže vo vyššie uvedených systémoch sú premenné x 2 , x 5 , x 6 (pre prvý systém) a x 2, x 5 (pre druhý) voľné. Prípad, keď existujú voľné premenné, je lepšie formulovať ako vetu:

Poznámka: Toto je veľmi dôležitý bod! V závislosti od toho, ako napíšete konečný systém, môže byť rovnaká premenná povolená aj bezplatná. Väčšina pokročilých učiteľov matematiky odporúča zapisovať premenné v lexikografickom poradí, t.j. vzostupný index. Touto radou sa však vôbec nemusíte riadiť.

Veta. Ak sú v systéme n rovníc povolené premenné x 1 , x 2 , ..., x r a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k sú voľné, potom:

1. Ak voľným premenným priradíme hodnoty (xr + 1 = tr + 1, xr + 2 = tr + 2, ..., xk = tk) a potom nájdeme hodnoty x 1, x 2, ... , xr , dostaneme jedno z riešení.
2. Ak sú hodnoty voľných premenných v dvoch riešeniach rovnaké, potom sú rovnaké aj hodnoty povolených premenných, t.j. riešenia sú rovnocenné.

Aký je význam tejto vety? Na získanie všetkých riešení povolenej sústavy rovníc stačí vyčleniť voľné premenné. Potom priradením rôznych hodnôt voľným premenným získame hotové riešenia. To je všetko - týmto spôsobom môžete získať všetky riešenia systému. Iné riešenia neexistujú.

Záver: povolený systém rovníc je vždy konzistentný. Ak sa počet rovníc v povolenom systéme rovná počtu premenných, systém bude určitý, ak je menší, bude neurčitý.

A všetko by bolo v poriadku, ale vyvstáva otázka: ako získať vyriešenú z pôvodnej sústavy rovníc? Pre toto existuje

Skúmať kompatibilitu systému lineárnych agebraických rovníc (SLAE) znamená zistiť, či má tento systém riešenia alebo nie. Ak existujú riešenia, uveďte koľko ich je.

Budeme potrebovať informácie z témy "Sústava lineárnych algebraických rovníc. Základné pojmy. Maticový zápis". Potrebné sú najmä také pojmy ako matica systému a rozšírená matica systému, pretože na nich je založená formulácia Kronecker-Capelliho vety. Ako obvykle, matica systému bude označená písmenom $A$ a rozšírená matica systému písmenom $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capelliho veta

Systém lineárnych algebraických rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice systému, t.j. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Dovoľte mi pripomenúť, že systém sa nazýva spoločný, ak má aspoň jedno riešenie. Kronecker-Capelliho veta hovorí toto: ak $\rang A=\rang\widetilde(A)$, potom existuje riešenie; ak $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potom tento SLAE nemá žiadne riešenia (je nekonzistentný). Odpoveď na otázku o počte týchto riešení dáva dôsledok Kronecker-Capelliho vety. Vyjadrenie následku používa písmeno $n$, ktoré sa rovná počtu premenných v danom SLAE.

Dôsledok Kronecker-Capelliho vety

1. Ak $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potom je SLAE nekonzistentné (nemá žiadne riešenia).
2. Ak $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ak $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, potom je SLAE určitý (má presne jedno riešenie).

Všimnite si, že formulovaná veta a jej dôsledok nenaznačujú, ako nájsť riešenie SLAE. S ich pomocou môžete len zistiť, či tieto riešenia existujú alebo nie, a ak existujú, tak koľko.

Príklad č. 1

Preskúmať SLAE $ \left \(\začiatok(zarovnané) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(zarovnané )\right.$ pre konzistenciu Ak je SLAE konzistentné, uveďte počet riešení.

Na zistenie existencie riešení daného SLAE používame Kroneckerovu-Capelliho vetu. Potrebujeme maticu systému $A$ a rozšírenú maticu systému $\widetilde(A)$, zapíšeme si ich:

$$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(pole) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(pole) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \koniec(pole)\vpravo). $$

Musíme nájsť $\rang A$ a $\rang\widetilde(A)$. Existuje mnoho spôsobov, ako to urobiť, niektoré z nich sú uvedené v sekcii Matrix Rank. Na štúdium takýchto systémov sa zvyčajne používajú dve metódy: "Výpočet hodnosti matice podľa definície" alebo "Výpočet hodnosti matice metódou elementárnych transformácií".

Metóda číslo 1. Výpočet hodností podľa definície.

Podľa definície je hodnosť najvyšším poradím neplnoletých v matici , medzi ktorými je aspoň jeden iný ako nula. Štúdium zvyčajne začína s maloletými 1. rádu, ale tu je vhodnejšie pristúpiť hneď k výpočtu 3. rádu minor z matice $A$. Prvky moll tretieho rádu sú v priesečníku troch riadkov a troch stĺpcov uvažovanej matice. Keďže matica $A$ obsahuje len 3 riadky a 3 stĺpce, je determinantom matice $A$ menší tretí rád matice $A$, t.j. $\DeltaA$. Na výpočet determinantu použijeme vzorec č.2 z témy "Vzorce na výpočet determinantov druhého a tretieho rádu":

$$ \Delta A=\left| \začiatok(pole) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(pole) \right|=-21. $$

Existuje teda minorita tretieho rádu matice $A$, ktorá sa nerovná nule. Nemožno zložiť 4. rád, pretože vyžaduje 4 riadky a 4 stĺpce a matica $A$ má len 3 riadky a 3 stĺpce. Najvyšší rad minorov matice $A$, medzi ktorými je aspoň jedna nenulová jednotka, je teda rovný 3. Preto $\rang A=3$.

Musíme tiež nájsť $\rang\widetilde(A)$. Pozrime sa na štruktúru matice $\widetilde(A)$. Až po riadok v matici $\widetilde(A)$ sú prvky matice $A$ a zistili sme, že $\Delta A\neq 0$. Preto má matica $\widetilde(A)$ vedľajšiu hodnotu tretieho rádu, ktorá sa nerovná nule. Nemôžeme skladať neplnoleté deti štvrtého rádu matice $\widetilde(A)$, takže sme dospeli k záveru: $\rang\widetilde(A)=3$.

Keďže $\rang A=\rang\widetilde(A)$ je podľa Kronecker-Capelliho vety systém konzistentný, t.j. má riešenie (aspoň jedno). Na označenie počtu riešení berieme do úvahy, že náš SLAE obsahuje 3 neznáme: $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Keďže počet neznámych je $n=3$, usúdime: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, teda podľa následku Kronecker-Capelliho vety je systém určitý, t.j. má unikátne riešenie.

Problém je vyriešený. Aké sú nevýhody a výhody tejto metódy? Najprv si povedzme o plusoch. Najprv sme potrebovali nájsť iba jeden determinant. Potom sme okamžite urobili záver o počte riešení. Zvyčajne sa v štandardných typických výpočtoch uvádzajú sústavy rovníc, ktoré obsahujú tri neznáme a majú jediné riešenie. Pre takéto systémy je táto metóda veľmi pohodlná, pretože vopred vieme, že existuje riešenie (inak by v typickom výpočte nebol žiadny príklad). Tie. potrebujeme len čo najrýchlejšie ukázať existenciu riešenia. Po druhé, vypočítaná hodnota determinantu matice systému (t. j. $\Delta A$) sa nám bude hodiť neskôr: keď daný systém začneme riešiť Cramerovou metódou alebo pomocou inverznej matice .

Metóda výpočtu poradia je však podľa definície nežiaduca, ak je systémová matica $A$ pravouhlá. V tomto prípade je lepšie použiť druhú metódu, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Okrem toho, ak $\Delta A=0$, potom nebudeme môcť povedať nič o počte riešení pre daný nehomogénny SLAE. Možno má SLAE nekonečné množstvo riešení, možno žiadne. Ak $\Delta A=0$, potom je potrebný ďalší výskum, ktorý je často ťažkopádny.

Zhrnutím toho, čo bolo povedané, poznamenávam, že prvá metóda je dobrá pre tie SLAE, ktorých systémová matica je štvorcová. Samotný SLAE zároveň obsahuje tri alebo štyri neznáme a je prevzatý zo štandardných štandardných výpočtov alebo kontrolných prác.

Metóda číslo 2. Výpočet poradia metódou elementárnych transformácií.

Táto metóda je podrobne opísaná v príslušnej téme. Vypočítame hodnosť matice $\widetilde(A)$. Prečo matice $\widetilde(A)$ a nie $A$? Ide o to, že matica $A$ je súčasťou matice $\widetilde(A)$, takže výpočtom hodnosti matice $\widetilde(A)$ súčasne zistíme hodnosť matice $A$. .

\začiatok(zarovnané) &\widetilde(A) =\left(\začiatok(pole) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \koniec (pole) \vpravo) \šípka vpravo \vľavo|\text(prehodiť prvý a druhý riadok)\vpravo| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\začiatok(pole) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(pole) \right) \begin(pole) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(pole) \rightarrow \left(\begin(pole) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(pole) \right) \begin(pole) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(pole)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(pole) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end (pole) \vpravo) \end (zarovnané)

Maticu $\widetilde(A)$ sme zredukovali na stupňovitý tvar . Výsledná matica krokov má tri nenulové riadky, takže jej poradie je 3. Preto je poradie matice $\widetilde(A)$ tiež 3, t.j. $\rank\widetilde(A)=3$. Pri transformáciách s prvkami matice $\widetilde(A)$ sme súčasne transformovali prvky matice $A$ umiestnené pred čiarou. Matica $A$ je tiež stupňovitá: $\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(pole) \ vpravo) $. Záver: poradie matice $A$ sa tiež rovná 3, t.j. $\rank A=3$.

Keďže $\rang A=\rang\widetilde(A)$ je podľa Kronecker-Capelliho vety systém konzistentný, t.j. má riešenie. Na označenie počtu riešení berieme do úvahy, že náš SLAE obsahuje 3 neznáme: $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Keďže počet neznámych je $n=3$, usúdime: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, preto je podľa následku Kronecker-Capelliho vety systém definovaný, t.j. má unikátne riešenie.

Aké sú výhody druhej metódy? Hlavnou výhodou je jeho všestrannosť. Je nám jedno, či je matica sústavy štvorcová alebo nie. Okrem toho sme v skutočnosti vykonali transformácie Gaussovej metódy dopredu. Zostáva už len pár krokov a mohli by sme získať riešenie tohto SLAE. Úprimne povedané, druhý spôsob sa mi páči viac ako prvý, ale výber je vecou vkusu.

Odpoveď: Daný SLAE je konzistentný a definovaný.

Príklad č. 2

Preskúmať SLAE $ \left\( \začiatok(zarovnané) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(zarovnané) \right.$ kvôli kompatibilite.

Hodnoty matice sústavy a rozšírenej matice sústavy nájdeme metódou elementárnych transformácií. Rozšírená systémová matica: $\widetilde(A)=\left(\begin(pole) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(pole) \vpravo)$. Poďme nájsť požadované úrovne transformáciou rozšírenej matice systému:

$$ \left(\begin(pole) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \koniec (pole) \vpravo) \začiatok (pole) (l) \fantóm(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(pole)\rightarrow \left(\začiatok(pole) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \koniec (pole) \vpravo) \začiatok (pole) (l) \fantóm (0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(pole)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(pole) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole) \ vpravo) \začiatok(pole) (l) \fantóm(0)\\\fantóm(0)\\\fantóm(0)\\ r_4-r_3\\\fantóm(0)\koniec (pole)\šípka doprava \vľavo (\begin(pole) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole) \vpravo) $$

Rozšírená matica systému je zredukovaná na stupňovitú formu. Hodnosť matice krokov sa rovná počtu jej nenulových riadkov, takže $\rang\widetilde(A)=3$. Matica $A$ (až po riadok) je tiež zredukovaná na stupňovitý tvar a jej poradie je rovné 2, $\rang(A)=2$.

Keďže $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potom podľa Kronecker-Capelliho vety je systém nekonzistentný (tj nemá žiadne riešenia).

Odpoveď: Systém je nekonzistentný.

Príklad č. 3

Preskúmať SLAE $ \left\( \začiatok(zarovnané) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-4x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(zarovnané) \right.$ kvôli kompatibilite.

Prinášame rozšírenú maticu systému do stupňovitej formy:

$$ \left(\begin(pole)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end (pole) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(pole)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(pole) \vpravo) \začiatok(pole) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( pole) \rightarrow \left(\begin(pole)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \koniec (pole) \vpravo) \začiatok( pole) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(pole) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\začiatok (pole)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(pole) \vpravo) \začiatok(pole) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4 -r_3 \\ r_5+r_2 \end(pole) \rightarrow \left(\začiatok(pole)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end (pole) \vpravo) $$

Rozšírenú maticu systému a maticu samotného systému sme zredukovali na stupňovitú formu. Hodnosť rozšírenej matice systému sa rovná trom, hodnosť matice systému sa tiež rovná trom. Keďže systém obsahuje $n=5$ neznámych, t.j. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, potom je podľa následku Kronecker-Capelliho vety táto sústava neurčitá, t.j. má nekonečné množstvo riešení.

Odpoveď: systém je neurčitý.

V druhej časti rozoberieme príklady, ktoré sú často súčasťou štandardných výpočtov alebo testov vo vyššej matematike: štúdia kompatibility a riešenie SLAE v závislosti od hodnôt parametrov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc po podrobnom zvážení riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme nejaký zápis.

Ďalej uvažujeme o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom prejdeme k riešeniu systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Formulujeme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Nezabudnite sa pozastaviť nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sú redukované na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n ) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma SLAE sa nazýva koordinovať.

V matricový formulár tento systém rovníc má tvar,
kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom budeme takéto SLAE nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a sú determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

Pri takomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajte jej determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavte a vypočítajte potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc systému viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc zadaná v maticovom tvare , kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica . Ak obe časti rovnosti vynásobíme vľavo, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostavme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice na maticovom stĺpci voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom vylúčení neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná xn zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Ak to chcete urobiť, pridajte druhú rovnicu vynásobenú k tretej rovnici systému, pridajte druhú vynásobenú k štvrtej rovnici atď., Pridajte druhú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: xn vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty xn zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z prvej rovnica.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom častiam druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp.

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej časti pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené:

Týmto je dopredný kurz Gaussovej metódy dokončený, začíname opačný kurz.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kronecker-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
pre konzistentnosť sústavy p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n ) je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda Rank( A) = Poradie (T) .

Uvažujme ako príklad aplikáciu Kronecker-Cappelliho vety na určenie kompatibility sústavy lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Poďme na neplnoletých tretieho rádu, ktorí to obklopujú:

Keďže všetky hraničiace maloleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže moll tretieho rádu

odlišný od nuly.

Touto cestou, Rang(A) , teda podľa Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Neexistuje systém riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných minorov, vždy je jeden základný minor.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce neplnoleté osoby druhého rádu sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak je poradie matice rádu p x n r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov (a stĺpcov). ), ktoré tvoria základ minor.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou-Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú vedľajšiu hlavnú maticu systému (jej poradie je rovné r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré tvoria zvolenú základnú moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nadmerných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie môže nájsť Cramerova metóda, maticová metóda alebo Gaussova metóda.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže moll druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírená matica hodnosti sa tiež rovná dvom, pretože jediný druh z tretieho rádu sa rovná nule

a minor druhého rádu uvažovaného vyššie je iný ako nula. Na základe Kronecker-Capelliho vety je možné tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ako základ minor berieme . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o poradí matice:


Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Vyriešime to Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n , potom v ľavých častiach rovníc ponecháme členy, ktoré tvoria základnú moll, a zvyšné členy prenesieme do pravých častí rovníc. systému s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú hlavný.

Volajú sa neznáme premenné (je ich n - r), ktoré skončili na pravej strane zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo r hlavných neznámych premenných bude vyjadrené pomocou voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou hraničiacich maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulový vedľajší prvok prvého poriadku. Začnime hľadať nenulového neplnoletého druhoradého okolo tohto maloletého:


Našli sme teda nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný sa bude brať nájdený nenulový vedľajší stupeň tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:


Pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, ponecháme na ľavej strane rovníc systému a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:


Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 dávame ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade má SLAE formu


Získanú elementárnu sústavu lineárnych algebraických rovníc riešime Cramerovou metódou:


Preto, .

V odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jeho kompatibilitu pomocou Kroneckerovej-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekonzistentný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie vedľajšej bázy menšie ako počet neznámych premenných, potom členy s hlavnými neznámymi premennými necháme na ľavej strane rovníc systému, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a priradíme ľubovoľné hodnoty ​na voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Pomocou Gaussovej metódy je možné riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez ich predbežného skúmania kompatibility. Proces postupného vylúčenia neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekonzistencii SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Jej podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Záznam všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.

V tejto časti sa zameriame na spojené homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.

Základný rozhodovací systém homogénnej sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množina (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád malej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1) , X (2) , …, X (nr) (X (1) , X (2) , …, X (nr) je n x 1 stĺpcových matíc ), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1 , С 2 , …, С (nr) , teda .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec definuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1 , C 2 , ..., C (nr) , podľa vzorca my získa jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme všetky riešenia tohto homogénneho SLAE nastaviť ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení pre homogénny SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a na pravú stranu rovníc systému prenesieme s opačnými znamienkami všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výsledného elementárneho systému lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. Tak dostaneme X (1) - prvé riešenie fundamentálnej sústavy. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . Atď. Ak dáme voľným neznámym premenným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie je možné zapísať do tvaru .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované ako

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime hodnosť hlavnej matice metódou fringing minors. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Nájde sa minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice dve. Vezmime si základnú mollovú. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.

Naďalej sa zaoberáme sústavami lineárnych rovníc. Doteraz som zvažoval systémy, ktoré majú jediné riešenie. Takéto systémy je možné vyriešiť akýmkoľvek spôsobom: substitučná metóda("škola") podľa Cramerových vzorcov, maticová metóda, Gaussova metóda. V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady:

– Systém je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia);
Systém má nekonečne veľa riešení.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda. V podstate k odpovedi povedie aj „školská“ metóda, no vo vyššej matematike je zvykom používať Gaussovu metódu postupného odstraňovania neznámych. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr preštudujte lekciu Gaussova metóda pre figuríny.

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude na konci riešenia. Najprv zvážte niekoľko príkladov, kde systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Čo vám na tomto systéme okamžite padne do oka? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Ak je počet rovníc menší ako počet premenných, potom môžeme okamžite povedať, že systém je buď nekonzistentný, alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je celkom obyčajný - napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(1) V ľavom hornom kroku musíme získať +1 alebo -1. V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nebude fungovať. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle, a to možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: K prvému riadku pridajte tretí riadok vynásobený -1.

(2) Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. Do druhého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 5.

(3) Po dokončení transformácie je vždy vhodné zistiť, či je možné zjednodušiť výsledné reťazce? Môcť. Druhý riadok vydelíme 2 a zároveň získame požadovanú -1 v druhom kroku. Tretí riadok vydeľte -3.

(4) Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku.

Pravdepodobne každý venoval pozornosť zlej línii, ktorá bola výsledkom elementárnych transformácií: . Je jasné, že to tak nemôže byť. Výslednú maticu skutočne prepíšeme späť do systému lineárnych rovníc: