Rovnice.

Úvod.

V mnohých problémoch matematiky, fyziky a techniky je potrebné definovať niekoľko funkcií prepojených niekoľkými diferenciálnymi rovnicami.

Na to je potrebné mať, všeobecne povedané, rovnaký počet rovníc. Ak je každá z týchto rovníc diferenciálna, to znamená, že má tvar vzťahu spájajúceho neznáme funkcie a ich derivácie, potom hovoria o sústave diferenciálnych rovníc.

1. Normálny systém diferenciálnych rovníc prvého rádu. Cauchy problém.

Definícia. Systém diferenciálnych rovníc je súbor rovníc obsahujúcich niekoľko neznámych funkcií a ich derivácií, pričom každá z rovníc obsahuje aspoň jednu deriváciu.

Systém diferenciálnych rovníc sa nazýva lineárny, ak neznáme funkcie a ich derivácie vstupujú do každej z rovníc iba v prvom stupni.

Lineárny systém je tzv normálne, ak je to povolené vzhľadom na všetky deriváty

V normálnom systéme neobsahujú pravé strany rovníc derivácie požadovaných funkcií.

rozhodnutie systém diferenciálnych rovníc sa nazýva množina funkcií https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> počiatočné podmienky pre sústavu diferenciálnych rovníc.

Často sú počiatočné podmienky napísané vo formulári

Všeobecné riešenie (integrálne ) sústava diferenciálnych rovníc sa nazýva množina « n» funkcie nezávislej premennej X a « n» ľubovoľné konštanty C1 , C2 , …, Cn:

..……………………..

ktoré spĺňajú všetky rovnice tohto systému.

Ak chcete získať konkrétne riešenie systému, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky, https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> by nadobudli dané hodnoty .

Cauchyho úloha pre normálny systém diferenciálnych rovníc je napísaná nasledovne

Veta o existencii a jedinečnosti na riešenie Cauchyho úlohy.

Pre normálny systém diferenciálnych rovníc (1) je Cauchyho veta o existencii a jedinečnosti riešenia formulovaná takto:

Veta. Nech sú pravé časti rovníc sústavy (1), t.j. funkcie , (i=1,2,…, n) sú spojité vo všetkých premenných v nejakej doméne D a má v sebe spojité parciálne deriváty https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24"> patriace do regiónu D, existuje len jedno systémové riešenie (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Riešenie normálnej sústavy eliminačnou metódou.

Na riešenie normálneho systému diferenciálnych rovníc sa používa metóda eliminácie neznámych alebo Cauchyho metóda.

Nech je daný normálny systém

Diferencovať vzhľadom na X prvá rovnica systému

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> ich vyjadrenia zo sústavy rovníc (1), budeme mať

Výslednú rovnicu diferencujeme a postupujeme podobne ako v predchádzajúcej

Takže máme systém

(2)

Od prvého n-1 rovnice, ktoré definujeme r2 , r3 , … , yn , ich vyjadrením prostredníctvom

A

(3)

Dosadením týchto výrazov do poslednej z rovníc (2) dostaneme rovnice n-tý príkaz určiť r1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Rozlíšenie posledného výrazu n-1čas, nájdite deriváty

ako funkcia . Dosadením týchto funkcií do rovníc (4) definujeme r2 , r3 , … , yn .

Takže máme všeobecné riešenie systému (1)

(6)

Nájsť konkrétne riešenie systému (1), ktoré spĺňa počiatočné podmienky pre

je potrebné nájsť z rovnice (6) zodpovedajúce hodnoty ľubovoľných konštánt С1 , С2 , … , Сn .

Príklad.

Nájdite všeobecné riešenie sústavy rovníc:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

pre nové neznáme funkcie.

Záver.

So sústavami diferenciálnych rovníc sa stretávame pri skúmaní procesov, na ktorých popísanie nestačí jediná funkcia. Napríklad nájdenie vektorových siločiar vyžaduje riešenie systému diferenciálnych rovníc. Riešenie problémov dynamiky krivočiareho pohybu vedie k systému troch diferenciálnych rovníc, v ktorých neznáme funkcie sú projekcie pohybujúceho sa bodu na súradnicových osiach a nezávislá premenná je čas. Neskôr sa dozviete, že riešenie elektrotechnických úloh pre dva elektrické obvody v elektromagnetickej väzbe bude vyžadovať riešenie systému dvoch diferenciálnych rovníc. Počet takýchto príkladov možno ľahko zvýšiť.

Ako vyriešiť systém diferenciálnych rovníc?

Predpokladá sa, že čitateľ už vie celkom dobre riešiť diferenciálne rovnice, najmä homogénne rovnice druhého rádu a nehomogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Na systémoch diferenciálnych rovníc nie je nič zložité a ak ste si istí vyššie uvedenými typmi rovníc, zvládnutie systémov nebude ťažké.

Existujú dva hlavné typy systémov diferenciálnych rovníc:

– Lineárne homogénne sústavy diferenciálnych rovníc
– Lineárne nehomogénne sústavy diferenciálnych rovníc

A dva hlavné spôsoby riešenia systému diferenciálnych rovníc:

– Vylučovacia metóda. Podstatou metódy je, že v priebehu riešenia sa sústava diferenciálnych rovníc redukuje na jednu diferenciálnu rovnicu.

– Použitie charakteristickej rovnice(tzv. Eulerova metóda).

V drvivej väčšine prípadov treba sústavu diferenciálnych rovníc riešiť prvým spôsobom. Druhá metóda v podmienkach problémov je oveľa menej bežná, v celej svojej praxi som s ňou riešil maximálne 10-20 systémov. Ale stručne to zvážime aj v poslednom odseku tohto článku.

Okamžite sa ospravedlňujem za teoretickú nedokončenosť učiva, no na druhej strane som do hodiny zaradil len tie úlohy, s ktorými sa možno v praxi reálne stretnúť. To, čo padne v meteorickom roji raz za päť rokov, tu pravdepodobne nenájdete a s takýmito prekvapeniami by ste sa mali obrátiť na špecializované tehly pre difúzory.

Lineárne homogénne sústavy diferenciálnych rovníc

Najjednoduchší homogénny systém diferenciálnych rovníc má nasledujúci tvar:

V skutočnosti sú takmer všetky praktické príklady obmedzené na takýto systém =)

Čo je tam?

sú čísla (číselné koeficienty). Najbežnejšie čísla. Najmä jeden, niekoľko alebo dokonca všetky koeficienty môžu byť nulové. Takéto dary sa však zriedka hádžu, takže čísla sa najčastejšie nerovnajú nule.

A sú neznáme funkcie. Premenná pôsobí ako nezávislá premenná – je to „ako x v bežnej diferenciálnej rovnici“.

A sú prvé derivácie neznámych funkcií resp.

Čo znamená riešiť sústavu diferenciálnych rovníc?

To znamená nájsť taký funkcie a ktoré uspokojujú a prvý a druhý systémová rovnica. Ako vidíte, princíp je veľmi podobný bežnému sústavy lineárnych rovníc. Iba tam sú korene čísla a tu sú to funkcie.

Nájdená odpoveď je napísaná ako všeobecné riešenie sústavy diferenciálnych rovníc:

V zložených zátvorkách! Tieto funkcie sú „v jednom tíme“.

Pre systém diaľkového ovládania môžete vyriešiť problém Cauchy, teda nájsť súkromné ​​riešenie systému, ktoré spĺňajú dané počiatočné podmienky. Konkrétne riešenie systému je tiež napísané so zloženými zátvorkami.

Kompaktnejšie je možné systém prepísať takto:

Ale riešenie s deriváciami zapísanými v diferenciáloch je tradične bežnejšie, takže si hneď zvyknite na nasledujúci zápis:
a sú derivátmi prvého rádu;
a sú derivátmi druhého rádu.

Príklad 1

Vyriešte Cauchyho úlohu pre systém diferenciálnych rovníc s počiatočnými podmienkami, .

Riešenie: V problémoch sa systém najčastejšie vyskytuje s počiatočnými podmienkami, takže takmer všetky príklady tejto lekcie budú s Cauchyho problémom. To však nie je dôležité, pretože všeobecné riešenie sa bude musieť nájsť na ceste.

Poďme vyriešiť systém eliminačná metóda. Pripomínam, že podstatou metódy je zredukovať systém na jednu diferenciálnu rovnicu. A čo sa týka diferenciálnych rovníc, dúfam, že riešiš dobre.

Algoritmus riešenia je štandardný:

1) Berieme druhá rovnica systému a vyjadrite z neho:

Túto rovnicu budeme potrebovať ku koncu riešenia a označím ju hviezdičkou. V učebniciach sa stáva, že narazíte na 500 označení a potom odkazujú: „podľa vzorca (253) ...“ a hľadajú tento vzorec niekde 50 strán za sebou. Obmedzím sa na jednu jedinú známku (*).

2) Diferencujte na oboch stranách výslednej rovnice:

S "ťahmi" proces vyzerá takto:

Je dôležité, aby bol tento jednoduchý bod jasný, nebudem sa ním ďalej zaoberať.

3) Nahradiť a do prvej rovnice systému:

A čo najviac zjednodušme:

Prijaté najobyčajnejšie homogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. S "ťahmi" je to napísané takto: .

- získajú sa rôzne skutočné korene, preto:
.

Jedna z funkcií je nájdená na polceste.

Áno, všimnite si, že sme dostali charakteristickú rovnicu s „dobrým“ diskriminantom, čo znamená, že sme nič nepokazili pri nahrádzaní a zjednodušeniach.

4) Ideme na funkciu. Aby sme to dosiahli, vezmeme už nájdenú funkciu a nájsť jeho derivát. Rozlišujeme podľa:

Náhradník a do rovnice (*):

Alebo kratšie:

5) Nájdeme obe funkcie, napíšeme všeobecné riešenie systému:

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Prijatú odpoveď je celkom jednoduché skontrolovať, môžeme ju skontrolovať v troch krokoch:

1) Skontrolujte, či sú počiatočné podmienky skutočne splnené:

Obe počiatočné podmienky sú splnené.

2) Overme si, či nájdená odpoveď vyhovuje prvej rovnici sústavy.

Z odpovede vezmeme funkciu a nájdite jeho derivát:

Náhradník a do prvej rovnice systému:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená odpoveď vyhovuje prvej rovnici systému.

3) Skontrolujte, či odpoveď vyhovuje druhej rovnici sústavy

Z odpovede vezmeme funkciu a nájdeme jej deriváciu:

Náhradník a do druhej rovnice systému:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená odpoveď spĺňa druhú rovnicu systému.

Overenie dokončené. Čo sa kontroluje? Overuje sa splnenie počiatočných podmienok. A čo je najdôležitejšie, skutočnosť, že sa našlo konkrétne riešenie uspokojuje každému pôvodná systémová rovnica .

Podobne je možné skontrolovať všeobecné riešenie , kontrola bude ešte kratšia, keďže nie je potrebné kontrolovať splnenie počiatočných podmienok.

Teraz sa vráťme k vyriešenému systému a položme si pár otázok. Riešenie začalo takto: zobrali sme druhú rovnicu systému a vyjadrili sme z nej . A bolo možné vyjadriť nie „x“, ale „y“? Ak vyjadríme , tak nám to nič nedá - v tomto výraze vpravo je „y“ aj „x“, takže sa premennej nebudeme vedieť zbaviť a zredukovať riešenie sústavy na riešenie jednej diferenciálnej rovnice.

Otázka dva. Bolo možné začať riešenie nie z druhej, ale z prvej rovnice sústavy? Môcť. Pozrieme sa na prvú rovnicu sústavy: . V ňom máme dve „x“ a jedno „y“, preto je potrebné vyjadrovať striktne „y“ až „x“: . Nasleduje prvá derivácia: . Potom by ste mali nahradiť a do druhej rovnice systému. Riešenie bude úplne ekvivalentné s tým rozdielom, že najskôr nájdeme funkciu a potom .

A práve pre druhú metódu bude príklad nezávislého riešenia:

Príklad 2

Nájdite konkrétne riešenie sústavy diferenciálnych rovníc, ktoré vyhovuje daným počiatočným podmienkam.

Vo vzorovom riešení, ktoré je uvedené na konci hodiny, je vyjadrená z prvej rovnice a od tohto výrazu sa začína celý tanec. Pokúste sa nezávisle vykonať zrkadlové riešenie bod po bode bez toho, aby ste sa pozreli na vzorku.

Môžete ísť aj cestou príkladu č.1 - z druhej rovnice sa vyjadrite (Všimnite si, že by malo byť vyjadrené „x“). Ale táto metóda je menej racionálna, pretože sme dostali zlomok, čo nie je príliš pohodlné.

Lineárne nehomogénne sústavy diferenciálnych rovníc

Takmer to isté, len riešenie bude o niečo dlhšie.

Nehomogénny systém diferenciálnych rovníc, s ktorým sa vo väčšine prípadov môžete stretnúť v úlohách, má nasledujúcu podobu:

V porovnaní s homogénnym systémom každá rovnica navyše pridáva nejakú funkciu, ktorá závisí od „te“. Funkcie môžu byť konštanty (a aspoň jedna z nich je nenulová), exponenty, sínusy, kosínusy atď.

Príklad 3

Nájdite konkrétne riešenie sústavy lineárnej DE zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam

Riešenie: Je daná lineárna nehomogénna sústava diferenciálnych rovníc, konštanty pôsobia ako „aditíva“. Používame eliminačná metóda, pričom samotný algoritmus riešenia je úplne zachovaný. Začnem pre zmenu len prvou rovnicou.

1) Z prvej rovnice sústavy vyjadríme:

Ide o dôležitú vec, preto ju opäť označím hviezdičkou. Je lepšie neotvárať zátvorky, prečo ďalšie zlomky?

A ešte raz si všimnite, že práve „y“ je vyjadrené z prvej rovnice – cez dve „x“ a konštantu.

2) Rozlišujte vzhľadom na obe časti:

Konštanta (trojica) zmizla, pretože derivácia konštanty sa rovná nule.

3) Náhradník a do druhej rovnice systému :

Ihneď po substitúcii je vhodné zbaviť sa zlomkov, preto vynásobíme každú časť rovnice 5:

Teraz urobíme zjednodušenia:

Ako výsledok, lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. To je v skutočnosti celý rozdiel od riešenia homogénneho systému rovníc, o ktorom sme hovorili v predchádzajúcom odseku.

Poznámka: V nehomogénnom systéme však možno niekedy získať homogénnu rovnicu.

Nájdite všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice:

Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:

– získajú sa korene konjugovaného komplexu, preto:
.

Korene charakteristickej rovnice sa opäť ukázali ako „dobré“, čo znamená, že sme na správnej ceste.

Hľadáme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice v tvare .
Poďme nájsť prvú a druhú deriváciu:

Dosaďte do ľavej strany nehomogénnej rovnice:

Touto cestou:

Treba poznamenať, že konkrétne riešenie sa ľahko volí ústne a je celkom prijateľné namiesto dlhých výpočtov napísať: „Je zrejmé, že konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice:“.

Ako výsledok:

4) Hľadáme funkciu. Najprv nájdeme deriváciu už nájdenej funkcie:

Nie je to obzvlášť príjemné, ale často sa musia nájsť podobné deriváty v difúzoch.

Búrka je v plnom prúde a teraz bude deviata šachta. Priviažte sa k palube pomocou lana.

Náhradník
a do rovnice (*):

5) Všeobecné riešenie systému:

6) Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočným podmienkam :

Nakoniec súkromné ​​riešenie:

Vidíte, aký príbeh so šťastným koncom, teraz sa môžete nebojácne plaviť na lodiach po pokojnom mori pod jemným slnkom.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Mimochodom, ak začnete riešiť tento systém z druhej rovnice, výpočty sa ukážu byť oveľa jednoduchšie (môžete to skúsiť), ale mnohí návštevníci stránky požiadali o demontáž ešte zložitejších vecí. Ako môžeš odmietnuť? =) Nech sú vážnejšie príklady.

Príklad je jednoduchšie vyriešiť sami:

Príklad 4

Nájdite konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej sústavy diferenciálnych rovníc zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam

Tento problém som vyriešil podľa príkladu z príkladu č. 1, teda „x“ je vyjadrené z druhej rovnice. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V uvažovaných príkladoch nebolo náhodou, že som použil rôzne označenia, aplikoval rôzne riešenia. Takže napríklad deriváty v tej istej úlohe boli napísané tromi spôsobmi: . Vo vyššej matematike sa netreba báť všelijakých kľučiek, hlavné je pochopiť algoritmus riešenia.

Metóda charakteristických rovníc(Eulerova metóda)

Ako bolo uvedené na začiatku článku, je dosť zriedkavé, že je potrebné vyriešiť systém diferenciálnych rovníc pomocou charakteristickej rovnice, takže v poslednom odseku sa budem zaoberať iba jedným príkladom.

Príklad 5

Daný lineárny homogénny systém diferenciálnych rovníc

Nájdite všeobecné riešenie sústavy rovníc pomocou charakteristickej rovnice

Riešenie: Pozrieme sa na systém rovníc a zostavíme determinant druhého rádu:

Podľa akého princípu je determinant zložený, myslím, že každý vidí.

Urobme preto charakteristickú rovnicu z každého čísla, ktoré sa nachádza na hlavná uhlopriečka, odčítajte nejaký parameter:

Na čistopis by ste si, samozrejme, mali okamžite zapísať charakteristickú rovnicu, podrobne vysvetľujem, krok za krokom, aby bolo jasné, z čoho vzišlo.

Otvorenie determinantu:

A nájdeme korene kvadratickej rovnice:

Ak charakteristická rovnica má dva rôzne skutočné korene, potom má všeobecné riešenie sústavy diferenciálnych rovníc tvar:

Koeficienty v exponentoch už poznáme, zostáva nájsť koeficienty

1) Zvážte koreň a dosaďte ho do charakteristickej rovnice:

(tieto dva determinanty na čistopise tiež nemožno zapísať, ale ihneď ústne zostaviť nižšie uvedený systém)

Z čísel determinantu zostavíme sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi:

Z oboch rovníc vyplýva rovnaká rovnosť:

Teraz si treba vybrať najmenej hodnotu takú, že hodnota je celé číslo. Samozrejme, mali by ste nastaviť . A ak, tak potom

Mnoho sústav diferenciálnych rovníc, homogénnych aj nehomogénnych, možno zredukovať na jednu rovnicu vzhľadom na jednu neznámu funkciu. Ukážme si metódu na príkladoch.

Príklad 3.1. Vyriešte systém

Riešenie. 1) Rozlišovanie vzhľadom na t prvej rovnice a pomocou druhej a tretej rovnice nahradiť a , nájdeme

Výsledná rovnica je diferencovateľná vzhľadom na znova

1) Vytvárame systém

Z prvých dvoch rovníc sústavy vyjadríme premenné a naprieč
:

Nahradme nájdené výrazy za a do tretej rovnice sústavy

Takže nájsť funkciu
získali diferenciálnu rovnicu tretieho rádu s konštantnými koeficientmi

.

2) Poslednú rovnicu integrujeme štandardnou metódou: zostavíme charakteristickú rovnicu
, nájsť svoje korene
a zostavte všeobecné riešenie vo forme lineárnej kombinácie exponentov, berúc do úvahy násobnosť jedného z koreňov:.

3) Ďalej nájdete dve zostávajúce funkcie
a
, derivujeme dvakrát získanú funkciu

Pomocou spojení (3.1) medzi systémovými funkciami obnovíme zostávajúce neznáme

.

Odpoveď. ,
,.

Môže sa ukázať, že všetky známe funkcie okrem jednej sú vylúčené zo systému tretieho rádu aj po jedinej diferenciácii. V tomto prípade bude poradie diferenciálnej rovnice na jej nájdenie menšie ako počet neznámych funkcií v pôvodnom systéme.

Príklad 3.2. Integrujte systém

(3.2)

Riešenie. 1) Rozlišovanie vzhľadom na nájdeme prvú rovnicu

Vrátane premenných a z rovníc

budeme mať rovnicu druhého rádu vzhľadom na

(3.3)

2) Z prvej rovnice sústavy (3.2) máme

(3.4)

Dosadením do tretej rovnice sústavy (3.2) nájdené výrazy (3.3) a (3.4) pre a , získame diferenciálnu rovnicu prvého rádu na určenie funkcie

Zistíme, že integrovaním tejto nehomogénnej rovnice s konštantnými koeficientmi prvého rádu
Pomocou (3.4) nájdeme funkciu

Odpoveď.
,,
.

Úloha 3.1. Riešiť homogénne systémy redukciou na jednu diferenciálnu rovnicu.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Riešenie sústav lineárnych homogénnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi hľadaním fundamentálnej sústavy riešení

Všeobecné riešenie sústavy lineárnych homogénnych diferenciálnych rovníc možno nájsť ako lineárnu kombináciu základných riešení sústavy. V prípade systémov s konštantnými koeficientmi možno na nájdenie fundamentálnych riešení použiť metódy lineárnej algebry.

Príklad 3.3. Vyriešte systém

(3.5)

Riešenie. 1) Prepíšte systém do maticového tvaru

. (3.6)

2) Budeme hľadať zásadné riešenie systému vo forme vektora
. Substitučné funkcie
v (3.6) a zníženie o , dostaneme

, (3.7)

to je číslo musí byť vlastnou hodnotou matice
a vektor zodpovedajúci vlastný vektor.

3) Z priebehu lineárnej algebry je známe, že systém (3.7) má netriviálne riešenie, ak je jeho determinant rovný nule

,

to je . Odtiaľto nájdeme vlastné hodnoty
.

4) Nájdite zodpovedajúce vlastné vektory. Dosadenie do (3.7) prvej hodnoty
, získame systém na nájdenie prvého vlastného vektora

Odtiaľ dostávame spojenie medzi neznámym
. Stačí, aby sme si vybrali jedno netriviálne riešenie. Za predpokladu
, potom
, teda vektor je vlastná hodnota pre vlastnú hodnotu
a funkčný vektor
fundamentálne riešenie danej sústavy diferenciálnych rovníc (3.5). Podobne pri nahradení druhého koreňa
v (3.7) máme maticovú rovnicu pre druhý vlastný vektor
. Odkiaľ získame spojenie medzi jeho komponentmi
. Máme teda druhé zásadné riešenie

.

5) Všeobecné riešenie sústavy (3.5) je zostrojené ako lineárna kombinácia dvoch získaných fundamentálnych riešení

alebo v súradnicovej forme

.

Odpoveď.

.

Úloha 3.2. Riešte systémy hľadaním základného systému riešení.

Základné pojmy a definície Najjednoduchší problém dynamiky bodu vedie k sústave diferenciálnych rovníc: sú dané sily pôsobiace na hmotný bod; nájdite pohybový zákon, teda nájdite funkcie x = x(t), y = y(t), z = z(t), vyjadrujúce závislosť súradníc pohybujúceho sa bodu od času. Systém, ktorý sa v tomto prípade získa, má vo všeobecnom prípade tvar Tu x, y, z sú súradnice pohybujúceho sa bodu, t je čas, f, g, h sú známe funkcie ich argumentov. Systém tvaru (1) sa nazýva kanonický. Prejdime k všeobecnému prípadu sústavy m diferenciálnych rovníc s m neznámymi funkciami argumentu t, sústavu tvaru riešeného vzhľadom na vyššie derivácie nazývame kanonickou. Systém rovníc prvého rádu, vyriešený s ohľadom na derivácie požadovaných funkcií, sa nazýva normálny. Ak sa to vezme ako nové pomocné funkcie, potom všeobecný kanonický systém (2) môže byť nahradený ekvivalentným normálnym systémom pozostávajúcim z rovníc. Preto stačí zvážiť iba normálne systémy. Napríklad jedna rovnica je špeciálny prípad kanonického systému. Nastavením ^ = y budeme na základe pôvodnej rovnice mať Výsledkom získame normálnu sústavu rovníc SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC Integračné metódy Metódy eliminácie Metóda integrovateľných kombinácií Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc Základná matica Metóda variácie konštánt Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Maticová metóda ekvivalentná pôvodnej rovnici. Definícia 1. Riešením normálnej sústavy (3) na intervale (a, b) zmeny argumentu t je ľubovoľná sústava n funkcií "diferencovateľných na intervale, ktorá prevádza rovnice sústavy (3) na identity s vzhľadom na t na intervale (a, b) Cauchyho úloha pre sústavu (3) je formulovaná nasledovne: nájdite riešenie (4) sústavy, ktoré spĺňa počiatočné podmienky pre t = do dimenzionálnej oblasti D zmien v premenné t, X\, x 2, ..., xn. Ak existuje okolie ft, je to jemné, v ktorom sú funkcie ft spojité v množine argumentov a majú obmedzené parciálne derivácie vzhľadom na premenné X1, x2, . .., xn, potom existuje interval do - L0 zmeny t, na ktorom existuje jednoznačné riešenie normálneho systému (3), ktoré spĺňa počiatočné podmienky Definícia 2. Systém n funkcií ľubovoľných konštánt závislých od tun sa nazýva všeobecné riešenie normálu systém (3) v niektorej oblasti П existencie a jedinečnosti riešenia Cauchyho úlohy, ak 1) pre akékoľvek prípustné hodnoty systém funkcií (6) premení rovnice (3) na identity, 2) v oblasti П funkcie (6) riešia akýkoľvek Cauchyho problém. Riešenia získané zo všeobecných pre konkrétne hodnoty konštánt sa nazývajú konkrétne riešenia. Pre prehľadnosť sa obráťme na normálny systém dvoch rovníc. Systém hodnôt t> X\, x2 budeme považovať za pravouhlé karteziánske súradnice bodu v trojrozmernom priestore, ktorý sa vzťahuje na súradnicový systém Otx\x2. Riešenie sústavy (7), ktorá nadobúda hodnoty pri t - to, určuje v priestore určitú priamku prechádzajúcu bodom) - Táto priamka sa nazýva integrálna krivka normálnej sústavy (7). Úloha Ko-shi pre systém (7) dostáva nasledujúcu geometrickú formuláciu: v priestore premenných t > X\, x2 nájdite integrálnu krivku prechádzajúcu daným bodom Mo(to,x1,x2) (obr. 1) . Veta 1 stanovuje existenciu a jedinečnosť takejto krivky. Normálnu sústavu (7) a jej riešenie možno interpretovať aj takto: za parameter budeme považovať nezávislú premennú t a riešenie sústavy za parametrické rovnice krivky v rovine x\Ox2. Táto rovina premenných X\X2 sa nazýva fázová rovina. Vo fázovej rovine je riešenie (0 systému (7), ktoré pri t = t0 nadobúda počiatočné hodnoty x°(, x2, reprezentované krivkou AB prechádzajúcou bodom). Táto krivka sa nazýva trajektória systému (fázová trajektória). Trajektória systému (7) je projekcia 2. Metódy integrácie sústav diferenciálnych rovníc 2.1 Eliminačná metóda Jednou z metód integrácie je eliminačná metóda.riešené vzhľadom na najvyššiu deriváciu, Zavedením nových funkcií rovnica nasledujúcim normálnym systémom n rovníc: nahradíme túto jednu rovnicu n-tého rádu ekvivalentnou normálnemu systému (1) Toto je základ eliminačnej metódy pre integráciu systémov diferenciálnych rovníc. . Robí sa to takto. Nech máme normálny systém diferenciálnych rovníc Derivujme prvú z rovníc (2) vzhľadom na t. Na pravej strane produktu máme Nahradenie alebo skrátka rovnica (3) je opäť diferencovateľná vzhľadom na t. Ak vezmeme do úvahy systém (2), získame alebo Pokračujeme v tomto procese, zistíme, že determinant (jakobián systému funkcií je pre uvažované hodnoty nenulový, potom systém rovníc zložený z prvej rovnice systému ( 2) a rovnice budú riešiteľné vzhľadom na neznáme budú vyjadrené cez Zavedením nájdených výrazov do rovnice dostaneme jednu rovnicu n-tého rádu Už zo samotného spôsobu jej konštrukcie vyplýva, že ak) existujú riešenia sústavy (2), potom funkcia X\(t) bude riešením rovnice (5). Naopak, nech je riešením rovnice (5). Diferencovaním tohto riešenia vzhľadom na t vypočítame a dosadíme nájdené hodnoty ako známe funkcie.Za predpokladu, že tento systém je možné riešiť vzhľadom na xn ako funkciu t. Dá sa ukázať, že takto zostrojený systém funkcií predstavuje riešenie systému diferenciálnych rovníc (2). Príklad. Systém je potrebné integrovať Diferencovaním prvej rovnice systému získame pomocou druhej rovnice lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi s jednou neznámou funkciou. Jeho všeobecné riešenie má tvar Na základe prvej rovnice systému nájdeme funkciu. Nájdené funkcie x(t), y(t), ako je ľahké skontrolovať, pre ľubovoľné hodnoty С| a C2 vyhovujú danej sústave. Funkcie je možné znázorniť vo forme, z ktorej je zrejmé, že integrálne krivky systému (6) sú špirálové čiary so stúpaním so spoločnou osou x = y = 0, čo je tiež integrálna krivka (obr. 3) . Eliminovaním parametra vo vzorcoch (7) dostaneme rovnicu tak, že fázové trajektórie daného systému sú kružnice so stredom v počiatku - priemety špirálových čiar do roviny Pri A = 0 sa fázová trajektória skladá z jedného bodu, nazývaný odpočinkový bod systému. ". Môže sa ukázať, že funkcie nemožno vyjadriť výrazmi Potom rovnice n-tého rádu, ekvivalentné pôvodnému systému, nedostaneme. Tu je jednoduchý príklad. Systém rovníc nemožno nahradiť ekvivalentnou rovnicou druhého rádu pre x\ alebo x2. Tento systém je zložený z dvojice rovníc 1. rádu, z ktorých každá je nezávisle integrovaná, čo dáva metódu integrovateľných kombinácií Integrácia normálnych systémov diferenciálnych rovníc dXi sa niekedy uskutočňuje metódou integrovateľných kombinácií. Integrovateľná kombinácia je diferenciálna rovnica, ktorá je dôsledkom rovnice (8), ale je už ľahko integrovateľná. Príklad. Integrujte systém SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC Metódy integrácie Metóda eliminácie Metóda integrovateľných kombinácií Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc Fundamentálna matica Metóda variácie konštánt Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Maticová metóda 4 Sčítaním po členoch týchto rovníc nájdeme jednu integrovateľná kombinácia: druhá integrovateľná kombinácia: odkiaľ Našli sme dve konečné rovnice, z ktorých možno ľahko určiť všeobecné riešenie systému: Jedna integrovateľná kombinácia umožňuje získať jednu rovnicu týkajúcu sa nezávislej premennej t a neznámych funkcií. Takáto konečná rovnica sa nazýva prvý integrál systému (8). Inými slovami: prvý integrál systému diferenciálnych rovníc (8) je diferencovateľná funkcia, ktorá nie je identicky konštantná, ale zachováva si konštantnú hodnotu na ľubovoľnej integrálnej krivke tohto systému. Ak sa nájde n prvých integrálov systému (8) a všetky sú nezávislé, tj Jacobián systému funkcií je nenulový: Systém diferenciálnych rovníc sa nazýva lineárny, ak je lineárny vzhľadom na neznáme funkcie a ich derivácie vrátane v rovnici. Systém n lineárnych rovníc prvého rádu zapísaných v normálnom tvare má tvar alebo v maticovom tvare vetu 2. Ak sú všetky funkcie spojité na intervale, potom v dostatočne malom okolí každého bodu xn), kde), sú splnené podmienky existencie vety a jedinečnosť riešenia Cauchiiho úlohy, preto každým takýmto bodom prechádza jedinečná integrálna krivka systému (1). V tomto prípade sú pravé strany systému (1) spojité vzhľadom na množinu argumentov t)x\,x2)..., xn a ich parciálne derivácie vzhľadom na, sú ohraničené, keďže tieto derivácie sa rovnajú koeficientom spojitým na intervale Zavedieme lineárny operátor Potom sústavu ( 2) zapíšeme v tvare Ak je matica F nulová, na intervale (a, 6) je sústava (2) nazývaný lineárny homogénny a má tvar Uveďme niektoré vety, ktoré stanovujú vlastnosti riešení lineárnych systémov. Veta 3. Ak X(t) je riešením lineárnej homogénnej sústavy, kde c je ľubovoľná konštanta, je riešením tej istej sústavy. Veta 4. Súčet dvoch riešení homogénnej lineárnej sústavy rovníc je riešením tej istej sústavy. Dôsledok. Lineárna kombinácia riešení lineárneho homogénneho systému diferenciálnych rovníc s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi c je riešením toho istého systému. Veta 5. Ak X(t) je riešením lineárnej nehomogénnej sústavy - riešením zodpovedajúcej homogénnej sústavy, tak súčet bude riešením nehomogénnej sústavy Skutočne, podľa podmienky, Pomocou aditívnej vlastnosti operátora, získame Znamená to, že súčet je riešením nehomogénneho systému rovníc Definícia. Vektory kde sa nazývajú lineárne závislé od intervalu, ak existujú konštantné čísla také, že pre , a aspoň jedno z čísel a sa nerovná nule. Ak identita (5) platí len pre, potom sa vektory považujú za lineárne nezávislé od (a, b). Všimnite si, že jedna vektorová identita (5) je ekvivalentná n identitám: . Determinant sa nazýva Wronského determinant sústavy vektorov. Definícia. Majme lineárny homogénny systém, kde je matica s prvkami Systém n riešení lineárneho homogénneho systému (6), lineárne nezávislý na intervale, sa nazýva fundamentálny. Veta 6. Wronského determinant W(t) sústavy fundamentálnych riešení na intervale lineárneho homogénneho systému (6) s koeficientmi a-ij(t) spojitými na segmente ab je nenulový vo všetkých bodoch intervalu (a , 6). Veta 7 (o štruktúre všeobecného riešenia lineárneho homogénneho systému). Všeobecné riešenie v obore lineárnej homogénnej sústavy s koeficientmi spojitými na intervale je lineárna kombinácia n riešení sústavy (6) lineárne nezávislých na intervale a: ľubovoľné konštantné čísla. Príklad. Systém má, ako je ľahké overiť, riešenia Esh riešení sú lineárne nezávislé, pretože Wronského determinant je odlišný od nuly: "Všeobecné riešenie systému má tvar alebo sú ľubovoľné konštanty). 3.1. Základná matica Štvorcová matica, ktorej stĺpce sú lineárne nezávislé riešenia systému (6), Je ľahké skontrolovať, či základná matica spĺňa maticovú rovnicu Ak X(t) je základná matica systému (6), potom všeobecné riešenie systému môže byť reprezentovaná ako konštantná stĺpcová matica s ľubovoľnými prvkami. , Matica sa nazýva Cauchyho matica. S jej pomocou môže byť riešenie systému (6) reprezentované nasledovne: Veta 8 (o štruktúre všeobecného riešenia lineárnej nehomogénnej sústavy diferenciálnych rovníc).Všeobecné riešenie v obore lineárnej nehomogénnej sústavy diferenciálnych rovníc so spojitými koeficientmi na intervale a na pravej strane fi (t) sa rovná súčtu všeobecného riešenia. zodpovedajúci homogénny systém a niektoré konkrétne riešenie X(t) nehomogénneho systému (2): 3.2. Metóda variácie konštánt Ak je známe všeobecné riešenie lineárneho homogénneho systému (6), potom konkrétne riešenie nehomogénneho systému možno nájsť metódou variácie konštánt (Lagrangeova metóda). Nech existuje všeobecné riešenie homogénnej sústavy (6), potom dXk a riešenia sú lineárne nezávislé. Budeme hľadať konkrétne riešenie nehomogénneho systému, kde sú neznáme funkcie t. Diferencovaním máme Dosadzovaním dostávame Keďže pre definíciu dostaneme systém alebo v rozšírenej forme Systém (10) je lineárny algebraický systém vzhľadom na 4(0 >, ktorého determinantom je Wronského determinant W(t) fundamentálnej sústavy riešení. Tento determinant je odlišný od nuly všade na intervale, takže sústava) má jedinečné riešenie, kde MO sú známe spojité funkcie. Integráciou posledných vzťahov nájdeme Nahradením týchto hodnôt nájdeme konkrétne riešenie systému (2): Celkovo sa takýto systém integruje jeho redukciou na jedinú rovnicu vyššieho rádu a táto rovnica bude tiež lineárna s konštantné koeficienty.Ďalšou účinnou metódou na integráciu systémov s konštantnými koeficientmi je metóda Laplaceovej transformácie.Uvažujeme aj o Eulerovej metóde na integráciu lineárnych homogénnych systémov diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Pozostáva z: Eulerovej metódy systém (3) lineárny homogénny x algebraických rovníc s n neznámymi an má netriviálne riešenie, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol rovný nule: Rovnica (4) sa nazýva charakteristika. Na jeho ľavej strane je polynóm v A stupňa n. Z tejto rovnice sú určené tie hodnoty A, pre ktoré systém (3) má netriviálne riešenia a\. Ak všetky korene charakteristickej rovnice (4) ) sú rôzne, potom ich dosadením do sústavy ( 3) nájdeme im zodpovedajúce netriviálne riešenia tejto sústavy, a preto nájdeme n riešení pôvodnej sústavy diferenciálnych rovníc (1) v tvar, kde druhý index označuje číslo riešenia a prvý index označuje číslo neznámej funkcie. Takto zostrojených n čiastkových riešení lineárnej homogénnej sústavy (1) tvorí, ako možno overiť, základnú sústavu riešení tejto sústavy. V dôsledku toho má všeobecné riešenie homogénnej sústavy diferenciálnych rovníc (1) tvar - ľubovoľné konštanty. Prípad, keď má charakteristická rovnica viacero koreňov, sa nebude brať do úvahy. M Hľadáme riešenie v tvare Charakteristická rovnica Sústava (3) na určenie 01.02 vyzerá takto: Dosadzovaním dostaneme z Preto za predpokladu, že teda nájdeme Všeobecné riešenie tejto sústavy: SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC Integračné metódy Metóda eliminácie Integrovateľné kombinácie metóda Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc Základná matica Konštanty variačnej metódy Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Maticová metóda Popíšme si aj maticovú metódu na integráciu homogénneho systému (1). Sústavu (1) píšeme ako maticu s konštantnými reálnymi prvkami a,j. Pripomeňme si niektoré pojmy z lineárnej algebry. Vektor g F O sa nazýva vlastný vektor matice A, ak sa číslo A nazýva vlastná hodnota matice A zodpovedajúcej vlastnému vektoru g a je koreňom charakteristickej rovnice, kde I je matica identity. Budeme predpokladať, že všetky vlastné hodnoty An matice A sú odlišné. V tomto prípade sú vlastné vektory lineárne nezávislé a existuje nx n-matica T, ktorá redukuje maticu A na diagonálny tvar, tj tak, že stĺpce matice T sú súradnicami vlastných vektorov. pojmov. Nech B(t) je nx n-matica, ktorej prvky 6,;(0 sú funkciami argumentu t, definovaného na množine. Matica B(f) sa nazýva spojitá na Π, ak všetky jej prvky 6, j(f) sú spojité na Q Maticu B(*) nazývame diferencovateľnou na Π, ak sú všetky prvky tejto matice diferencovateľné na Q. V tomto prípade je deriváciou ^p-matice B(*) matica, ktorej prvky sú deriváty -zodpovedajúcich prvkov matice B(*).stĺpec-vektor Berúc do úvahy pravidlá maticovej algebry, priamou kontrolou overíme platnosť vzorca má tvar kde sú vlastné vektory-stĺpce matice ľubovoľné konštantné čísla Zavedme nový neznámy stĺpcový vektor pomocou vzorca kde T je matica, ktorá redukuje maticu A na diagonálny tvar. že T 1 AT \u003d A, dostaneme sa k systému Získali sme systém n nezávislých rovníc, ktoré možno ľahko integrovať: (12) Tu sú ľubovoľné konštantné čísla. Zavedením jednotkových n-rozmerných stĺpcových vektorov je možné riešenie reprezentovať ako Keďže stĺpce matice T sú vlastné vektory matice, vlastný vektor matice A. Preto dosadením (13) do (11) dostaneme vzorec ( 10): Ak má teda matica A sústava diferenciálnych rovníc (7) rôzne vlastné hodnoty, na získanie všeobecného riešenia tejto sústavy: 1) nájdeme vlastné hodnoty „matice ako korene algebraickej rovnice 2) nájdeme všetky vlastné vektory 3) všeobecné riešenie sústavy diferenciálnych rovníc (7) vypíšeme vzorcom (10 ). Príklad 2. Riešte sústavu Maticová metóda 4 Matica A sústavy má tvar 1) Zostavte charakteristickú rovnicu Korene charakteristickej rovnice. 2) Nájdeme vlastné vektory Pre A = 4 dostaneme sústavu kde = 0|2, takže Podobne pre A = 1 nájdeme I 3) Pomocou vzorca (10) dostaneme všeobecné riešenie sústavy diferenciálnych rovníc Korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné a zložité. Pretože za predpokladu, že koeficienty ay systému (7) sú reálne, charakteristická rovnica bude mať reálne koeficienty. Preto spolu s komplexným koreňom A bude mať aj koreň \*, komplexne konjugovaný s A. Je ľahké ukázať, že ak g je vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote A, potom A* je tiež vlastná hodnota, ktorá zodpovedá na vlastný vektor g*, komplex konjugovaný s g. Pre komplex A bude riešenie systému (7) taioKe zložité. Reálnou a imaginárnou časťou tohto riešenia sú riešenia sústavy (7). Vlastná hodnota A* bude zodpovedať dvojici reálnych riešení. rovnaký pár ako pre vlastnú hodnotu A. Dvojica A, A* komplexne združených vlastných hodnôt teda zodpovedá dvojici reálnych riešení systému (7) diferenciálnych rovníc. Nech sú skutočné vlastné hodnoty, komplexné vlastné hodnoty. Potom každé reálne riešenie sústavy (7) má tvar, kde c, sú ľubovoľné konštanty. Príklad 3. Riešte sústavu -4 Matica sústavy 1) Charakteristická rovnica sústavy Jej korene Vlastné vektory matice 3) Riešenie sústavy, kde sú ľubovoľné komplexné konštanty. Poďme nájsť skutočné riešenia systému. Pomocou Eulerovho vzorca dostaneme Preto každé reálne riešenie sústavy má tvar ľubovoľných reálnych čísel. Cvičenia Integrujte systémy eliminačnou metódou: Integrujte systémy metódou integrovateľných kombinácií: Integrujte systémy maticovou metódou: Odpovede