Ďalej zvážime dobre známe metódy na generovanie efektívnych pytagorovských trojíc. Študenti Pytagoriády ako prví vymysleli jednoduchý spôsob generovania pytagorovských trojíc pomocou vzorca, ktorého časti predstavujú pytagorejskú trojicu:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Kde m- nepárové, m>2. naozaj,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Podobný vzorec navrhol staroveký grécky filozof Platón:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Kde m- ľubovoľné číslo. Pre m= 2,3,4,5 vygenerujú sa tieto triplety:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ako vidíte, tieto vzorce nemôžu dať všetky možné primitívne trojnásobky.

Uvažujme o nasledujúcom polynóme, ktorý je rozložený na súčet polynómov:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Preto nasledujúce vzorce na získanie primitívnych trojíc:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Tieto vzorce generujú trojičky, v ktorých sa priemerné číslo líši od najväčšieho presne o jednu, to znamená, že nie sú vygenerované aj všetky možné trojky. Tu sú prvé trojice: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Aby sme určili, ako generovať všetky primitívne trojky, musíme preskúmať ich vlastnosti. Po prvé, ak ( a,b,c) je teda primitívna trojka a A b, b A c, ale A c— musí byť coprime. Nechať byť a A b sa delia na d. Potom a 2 + b 2 je tiež deliteľné d. resp. c 2 a c treba rozdeliť na d. To znamená, že nejde o primitívnu trojku.

Po druhé, medzi číslami a, b jeden musí byť spárovaný a druhý nespárovaný. Skutočne, ak a A b- teda spárované od budú spárované a čísla môžu byť vydelené aspoň 2. Ak sú obe nespárované, potom môžu byť reprezentované ako 2 k+1 i 2 l+1, kde k,l- nejaké čísla. Potom a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tj. od 2, ako aj a 2 + b 2 má pri delení 4 zvyšok 2.

Nechať byť od- ľubovoľné číslo, tj od = 4k+i (i=0,...,3). Potom od 2 = (4k+i) 2 má zvyšok 0 alebo 1 a nemôže mať zvyšok 2. a A b nemožno zrušiť spárovanie, tzn a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 a zvyšok od 2 x 4 by malo byť 1, čo znamená, že od by mal byť nespárovaný.

Takéto požiadavky na prvky pytagorejskej trojky sú splnené nasledujúcimi číslami:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Kde m A n sú coprime s rôznymi pármi. Po prvýkrát sa tieto závislosti stali známymi z diel Euklida, ktorý žil 2300 r. späť.

Dokážme platnosť závislostí (2). Nechať byť ale- teda dvojitý b A c- nepárový. Potom c + b i c − b- páry. Môžu byť zastúpené ako c + b = 2u A c − b = 2v, kde u,v sú nejaké celé čísla. Preto

a 2 = od 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

A preto ( a/2) 2 = UV.

Dá sa to dokázať protirečením u A v sú coprime. Nechať byť u A v- sa delia na d. Potom ( c + b) A ( c − b) sa delia na d. A preto c A b treba rozdeliť na d, a to je v rozpore s podmienkou pre pytagorejskú trojku.

Pretože UV = (a/2) 2 a u A v coprime, je ľahké to dokázať u A v musia byť druhé mocniny niektorých čísel.

Takže existujú kladné celé čísla m A n, také že u = m 2 a v = n 2. Potom

ale 2 = 4UV = 4m 2 n 2 tak
ale = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Pretože b> 0 teda m > n.

Zostáva to ukázať m A n majú rôzne párovania. Ak m A n- teda spárované u A v musia byť spárované, ale to nie je možné, pretože sú coprime. Ak m A n- teda nepárové b = m 2 − n 2 a c = m 2 + n 2 by boli spárované, čo je nemožné, pretože c A b sú coprime.

Každá primitívna pytagorejská trojica teda musí spĺňať podmienky (2). Zároveň aj čísla m A n volal generovanie čísel primitívne trojičky. Majme napríklad primitívnu pytagorejskú trojku (120 119 169). V tomto prípade

ale= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25 a c = 144+25=169,

Kde m = 12, n= 5 - generovanie čísel, 12 > 5; 12 a 5 sú koprimové a rôznych párov.

Dá sa dokázať, že čísla m, n vzorce (2) dávajú primitívnu pytagorejskú trojicu (a,b,c). naozaj,

ale 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

T.j. ( a,b,c) je pytagorejská trojka. Dokážme, že kým a,b,c sú prvočísla podľa rozporu. Nech sa tieto čísla vydelia p> 1. Odkedy m A n mať potom rôzne párovania b A c- nepárový, tzn p≠ 2. Odkedy R rozdeľuje b A c, potom R treba rozdeliť 2 m 2 a 2 n 2 , čo je nemožné, pretože p≠ 2. Preto m, n sú koprimové a a,b,c sú tiež coprime.

Tabuľka 1 ukazuje všetky primitívne pytagorejské trojky generované vzorcami (2) pre m≤10.

Tabuľka 1. Primitívne pytagorejské trojky pre m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analýza tejto tabuľky ukazuje prítomnosť nasledujúcich sérií vzorov:

• alebo a, alebo b sú delené 3;
• jedno z čísel a,b,c je deliteľné 5;
• číslo ale je deliteľné 4;
• práca a· b je deliteľné 12.

V roku 1971 americkí matematici Teigan a Hedwin navrhli také málo známe parametre pravouhlého trojuholníka, ako je jeho výška (výška) na generovanie trojíc. h = c− b a prebytok (úspech) e = a + b − c. Na obr. tieto veličiny sú znázornené na určitom pravouhlom trojuholníku.

Obrázok 1. Pravý trojuholník a jeho rast a prebytok

Názov „exces“ je odvodený od skutočnosti, že ide o dodatočnú vzdialenosť, ktorú je potrebné prejsť pozdĺž ramien trojuholníka z jedného vrcholu do opačného, ​​ak neprejdete po jeho uhlopriečke.

Prostredníctvom prebytku a rastu možno strany Pytagorovho trojuholníka vyjadriť ako:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nie všetky kombinácie h A e môže zodpovedať pytagorovým trojuholníkom. Za danú h možné hodnoty e je súčin nejakého čísla d. Toto číslo d sa nazýva rast a odkazuje na h nasledujúcim spôsobom: d je najmenšie kladné celé číslo, ktorého druhá mocnina je deliteľná 2 h. Pretože e viacnásobný d, potom sa píše ako e = kd, kde k je kladné celé číslo.

S pomocou párov ( k,h) môžete vygenerovať všetky pytagorejské trojuholníky, vrátane neprimitívnych a zovšeobecnených, takto:

(nevie) 2 (nevie) 2
a = h + nevie, b = nevie + ——, c = h + nevie + ——, (4)
2h 2h

Navyše, trojka je primitívna, ak k A h sú coprime a ak h =± q 2 at q- nepárový.
Navyše to bude presne pytagorejské trojité if k> √2 h/d A h > 0.

Nájsť k A h od ( a,b,c) urobte nasledovné:

• h = c − b;
• zapísať h ako h = pq 2, kde p> 0 a také, ktoré nie je štvorec;
• d = 2pq ak p- nepárové a d = pq, ak p je spárované;
• k = (a − h)/d.

Napríklad pre trojku (8,15,17) máme h= 17−15 = 2 1, takže p= 2 a q = 1, d= 2 a k= (8 − 2)/2 = 3. Táto trojica je teda daná ako ( k,h) = (3,2).

Za trojku (459 1260 1341) máme h= 1341 − 1260 = 81, tj p = 1, q= 9 a d= 18, teda k= (459 − 81)/18 = 21, takže kód tejto trojice je ( k,h) = (21, 81).

Určenie trojíc s h A k má množstvo zaujímavých vlastností. Parameter k rovná sa

k = 4S/(dP), (5)

Kde S = ab/2 je plocha trojuholníka a P = a + b + c je jeho obvod. Vyplýva to z rovnosti eP = 4S, ktorý pochádza z Pytagorovej vety.

Pre pravouhlý trojuholník e sa rovná priemeru kruhu vpísaného do trojuholníka. Vyplýva to zo skutočnosti, že prepona od = (ale − r)+(b − r) = a + b − 2r, kde r je polomer kruhu. Odtiaľ h = c − b = ale − 2r A e = a − h = 2r.

Pre h> 0 a k > 0, k je radový počet trojíc a-b-c v postupnosti pytagorovských trojuholníkov s rastúcim h. Z tabuľky 2, ktorá ukazuje niekoľko variantov tripletov generovaných pármi h, k, je vidieť, že s pribúdajúcimi k strany trojuholníka sa zväčšujú. Na rozdiel od klasického číslovania teda číslovanie v pároch h, k má vyššie poradie v sekvenciách tripletov.

Tabuľka 2. Pytagorejské trojky generované pármi h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Pre h > 0, d spĺňa nerovnosť 2√ h ≤ d ≤ 2h, v ktorom je spodná hranica dosiahnutá pri p= 1 a horná, at q= 1. Preto hodnota d vzhľadom na 2√ h je mierou toho, koľko hďaleko od štvorca nejakého čísla.

Pytagorove trojice čísel

tvorivá práca

študent 8 "A" trieda

MAOU "Gymnázium č. 1"

Oktyabrsky okres Saratov

Panfilová Vladimír

Školiteľ - učiteľ matematiky najvyššej kategórie

Grishina Irina Vladimirovna

Obsah

Úvod……………………………………………………………………………………………………… 3

Teoretická časť práce

Nájdenie základného Pytagorovho trojuholníka

(vzorce starých hinduistov)……………………………………………………………………… 4

Praktická časť práce

Skladanie pytagorovských trojíc rôznymi spôsobmi……………………………….. 6

Dôležitá vlastnosť pytagorovských trojuholníkov………………………………………...8

Záver………………………………………………………………………………………....9

Literatúra………………………………………………………………………………………... 10

Úvod

Tento akademický rok sme na hodinách matematiky študovali jednu z najpopulárnejších viet v geometrii – Pytagorovu vetu. Pytagorova veta sa v geometrii uplatňuje na každom kroku, našla široké uplatnenie v praxi i bežnom živote. Ale okrem samotnej vety sme študovali aj vetu inverznú k Pytagorovej vete. V súvislosti so štúdiom tejto vety sme sa zoznámili s pytagorovskými trojicami čísel, t.j. s množinami 3 prirodzených čísela , b Ac , pre ktorý platí vzťah: = + . Medzi takéto sady patria napríklad tieto trojičky:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Okamžite som mal otázky: koľko pytagorovských trojíc dokážete vymyslieť? A ako ich skladať?

V našej učebnici geometrie, po predložení vety konvertujúcej k Pytagorovej vete, zaznela dôležitá poznámka: možno dokázať, že nohyale Ab a preponuod pravouhlé trojuholníky, ktorých dĺžky strán sú vyjadrené v prirodzených číslach, možno nájsť podľa vzorcov:

ale = 2 km b = k( - )c = k( + , (1)

kdek , m , n sú akékoľvek prirodzené čísla am > n .

Prirodzene vyvstáva otázka - ako tieto vzorce dokázať? A len pomocou týchto vzorcov možno vytvoriť pytagorejské trojky?

Vo svojej práci som sa pokúsil odpovedať na otázky, ktoré mi vyvstali v mysli.

Teoretická časť práce

Nájdenie hlavného pytagorejského trojuholníka (vzorce starých hinduistov)

Najprv dokážme vzorce (1):

Označme dĺžky nôh cezX Apri a dĺžka prepony cezz . Podľa Pytagorovej vety máme rovnosť:+ = .(2)

Táto rovnica sa nazýva Pytagorova rovnica. Štúdium pytagorovských trojuholníkov sa redukuje na riešenie rovnice (2) v prirodzených číslach.

Ak sa každá strana nejakého pytagorejského trojuholníka zväčší o rovnaký počet, tak dostaneme nový pravouhlý trojuholník podobný danému so stranami vyjadrenými v prirodzených číslach, t.j. opäť Pytagorov trojuholník.

Medzi všetkými podobnými trojuholníkmi je ten najmenší, je ľahké uhádnuť, že to bude trojuholník, ktorého stranyX Apri vyjadrené v hlavných číslach

(gcd (x, y )=1).

Takýto pytagorovský trojuholník nazývamehlavné .

Nájdenie hlavných pytagorovských trojuholníkov.

Nechajte trojuholník (X , r , z ) je hlavný pytagorejský trojuholník. číslaX Apri sú coprime, a preto nemôžu byť obe párne. Dokážme, že nemôžu byť oboje nepárne. Na tento účel poznamenávameDruhá mocnina nepárneho čísla pri delení 8 dáva zvyšok 1. Akékoľvek nepárne prirodzené číslo môže byť reprezentované ako2 k -1 , kdek patríN .

Odtiaľ: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

čísla( k -1) Ak sú za sebou, jeden z nich musí byť párny. Potom výrazk ( k -1) deleno2 , 4 k ( k -1) je deliteľné 8, čo znamená pri delení 8 je zvyšok 1.

Súčet druhých mocnín dvoch nepárnych čísel dáva pri delení 8 zvyšok 2, preto súčet druhých mocnín dvoch nepárnych čísel je párne číslo, ale nie násobok 4, a preto toto číslonemôže byť druhou mocninou prirodzeného čísla.

Takže rovnosť (2) nemôže platiť, akX Apri obaja sú zvláštne.

Ak teda Pytagorejský trojuholník (x, y, z ) - hlavný, potom medzi číslamiX Apri jeden musí byť párny a druhý musí byť nepárny. Nech je číslo y párne. číslaX Az nepárny (nepárnyz vyplýva z rovnosti (2)).

Z rovnice+ = chápeme to= ( z + X )( z - X ) (3).

číslaz + X Az - X keďže súčet a rozdiel dvoch nepárnych čísel sú párne čísla, a preto (4):

z + X = 2 a , z - X = 2 b , kdeale Ab patriaN .

z + X =2 a , z - X = 2 b ,

z = a+b , X = a - b. (5)

Z týchto rovností vyplýva, žea Ab sú relatívne prvočísla.

Dokazujeme to tvrdením o opaku.

Nechajte GCD (a , b )= d , kded >1 .

Potomd z AX , a teda tie číslaz + X Az - X . Potom na základe rovnosti (3) by bol deliteľ . V tomto prípaded by bol spoločným deliteľom číselpri AX , ale číslapri AX musí byť coprime.

číslopri je známe, že je párne, takžey = 2 s , kdeod - prirodzené číslo. Rovnosť (3) založená na rovnosti (4) má nasledujúcu formu: = 2a*2 b , alebo =ab.

Z aritmetiky je známe, žeak súčin dvoch prvočísel je druhou mocninou prirodzeného čísla, potom každé z týchto čísel je tiež druhou mocninou prirodzeného čísla.

znamená,a = Ab = , kdem An sú prvočísla, pretože sú deliteľmi prvočíselale Ab .

Na základe rovnosti (5) máme:

z = + , X = - , = ab = * = ; c = mn

Potomy = 2 mn .

číslam An , pretože sú coprime, nemôžu byť párne súčasne. Ale nemôžu byť zároveň nepárne, pretože v tomto prípadex = - by bolo rovnomerné, čo je nemožné. Takže jedno z číselm alebon je párne a druhé je nepárne. samozrejme,y = 2 mn je deliteľné 4. Preto v každom hlavnom pytagorejskom trojuholníku je aspoň jedna z ramien deliteľná 4. Z toho vyplýva, že neexistujú pytagorejské trojuholníky, ktorých všetky strany sú prvočísla.

Získané výsledky možno vyjadriť ako nasledujúca veta:

Všetky hlavné trojuholníky, v ktorýchpri je párne číslo, sa získajú zo vzorca

x = - , r =2 mn , z = + ( m > n ), kdem An - všetky dvojice prvočísel, z ktorých jeden je párny a druhý nepárny (je jedno ktoré). Každá základná pytagorejská trojica (x, y, z ), kdepri – dokonca, je určená jednoznačne týmto spôsobom.

číslam An nemôže byť oboje párne alebo oboje nepárne, pretože v týchto prípadoch

x = by bolo rovnomerné, čo je nemožné. Takže jedno z číselm alebon párne a druhé nepárner = 2 mn deliteľné 4).

Praktická časť práce

Skladanie pytagorovských trojíc rôznymi spôsobmi

V hinduistických vzorcochm An - coprime, ale môžu to byť čísla s ľubovoľnou paritou a je dosť ťažké pomocou nich vytvoriť pytagorejské trojky. Skúsme preto nájsť iný prístup k zostavovaniu pytagorovských trojíc.

= - = ( z - r )( z + r ), kdeX - zvláštny,r - dokonca,z - zvláštny

v = z - r , u = z + r

= UV , kdeu - zvláštny,v – nepárny (koprimový)

Pretože súčin dvoch nepárnych prvočísel je potom druhou mocninou prirodzeného číslau = , v = , kdek Al sú nepárne čísla.

z - r = z + r = k 2 , takže sčítaním rovnosti a odčítaním od seba dostaneme:

2 z = + 2 r = - t.j

z= y= x = kl

k

l

X

r

z

37

9

1

9

40

41 (snuly)*(100…0 (snuly) +1)+1 =200…0 (s-1nuly) 200…0 (s-1nuly) 1

Dôležitá vlastnosť pytagorovských trojuholníkov

Veta

V hlavnom pytagorejskom trojuholníku je jedna z nôh nutne deliteľná 4, jedna z nôh je nutne deliteľná 3 a plocha pytagorejského trojuholníka je nevyhnutne násobkom 6.

Dôkaz

Ako vieme, v každom Pytagorovom trojuholníku je aspoň jedna z nôh deliteľná 4.

Dokážme, že jedna z nôh je tiež deliteľná 3.

Aby sme to dokázali, predpokladajme, že v Pytagorovom trojuholníku (X , r , z X alebor násobok 3.

Teraz dokážeme, že oblasť Pytagorovho trojuholníka je deliteľná 6.

Každý pytagorovský trojuholník má obsah vyjadrený ako prirodzený násobok 6. Vyplýva to zo skutočnosti, že aspoň jedna z nožičiek je deliteľná 3 a aspoň jedna z nožičiek je deliteľná 4. Plocha trojuholníka, určený polovičným súčinom nôh, musí byť vyjadrený násobkom 6 .

Záver

V práci

- osvedčené receptúry starých hinduistov

- vykonala štúdiu o počte pytagorovských trojíc (je ich nekonečne veľa)

- sú indikované metódy na nájdenie pytagorových trojíc

- Študoval niektoré vlastnosti pytagorovských trojuholníkov

Pre mňa to bola veľmi zaujímavá téma a hľadanie odpovedí na moje otázky sa stalo veľmi zaujímavou činnosťou. V budúcnosti plánujem zvážiť spojenie Pytagorových trojíc s Fibonacciho postupnosťou a Fermatovou vetou a naučiť sa mnoho ďalších vlastností Pytagorových trojuholníkov.

Literatúra

L.S. Atanasyan "Geometria. 7-9 ročníkov" M.: Vzdelávanie, 2012.

V. Serpinsky „Pytagorejské trojuholníky“ M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014

"Regionálne centrum vzdelávania"

Metodický vývoj

Použitie pytagorovských trojíc pri riešení

geometrické úlohy a goniometrické úlohy POUŽITIE

Kaluga, 2016

I. úvod

Pytagorova veta je jednou z hlavných a dalo by sa povedať aj najdôležitejšou vetou geometrie. Jeho význam spočíva v tom, že z neho alebo s jeho pomocou možno odvodiť väčšinu geometrických teorémov. Pytagorova veta je pozoruhodná aj tým, že sama o sebe nie je vôbec zrejmá. Napríklad vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je možné vidieť priamo na výkrese. Ale bez ohľadu na to, ako sa pozeráte na pravouhlý trojuholník, nikdy neuvidíte, že medzi jeho stranami existuje taký jednoduchý pomer: a2+b2=c2. Nebol to však Pytagoras, kto objavil vetu, ktorá nesie jeho meno. Bolo to známe ešte skôr, ale možno len ako fakt odvodený z meraní. Pytagoras to pravdepodobne vedel, ale našiel dôkaz.

Prirodzených čísel je nekonečne veľa a, b, c, uspokojenie vzťahu a2+b2=c2.. Nazývajú sa pytagorejské čísla. Podľa Pytagorovej vety môžu takéto čísla slúžiť ako dĺžky strán nejakého pravouhlého trojuholníka – budeme ich nazývať Pytagorove trojuholníky.

Cieľ:študovať možnosť a efektívnosť využitia pytagorovských trojíc pri riešení úloh školského kurzu matematiky, zadania USE.

Na základe účelu práce nasledujúce úlohy:

Študovať históriu a klasifikáciu pytagorovských trojíc. Analyzujte úlohy pomocou pytagorovských trojíc, ktoré sú dostupné v školských učebniciach a nachádzajú sa v kontrolných a meracích materiáloch skúšky. Zhodnoťte efektívnosť použitia pytagorovských trojíc a ich vlastnosti pri riešení úloh.

Predmet štúdia: Pytagorejské trojky čísel.

Predmet štúdia: úlohy školského kurzu trigonometrie a geometrie, v ktorom sa používajú pytagorejské trojky.

Relevantnosť výskumu. Pytagorove trojice sa často používajú v geometrii a trigonometrii, ich znalosť odstráni chyby vo výpočtoch a ušetrí čas.

II. Hlavná časť. Riešenie problémov pomocou Pytagorových trojíc.

2.1. Tabuľka trojíc pytagorovských čísel (podľa Perelmana)

Pytagorejské čísla majú tvar a= m n, , kde m a n sú niektoré nepárne čísla v prvom rade.

Pytagorejské čísla majú niekoľko zaujímavých funkcií:

Jedna z "nohy" musí byť násobkom troch.

Jedna z "nohy" musí byť násobkom štyroch.

Jedno z pytagorovských čísel musí byť násobkom piatich.

Kniha „Zábavná algebra“ obsahuje tabuľku pytagorovských trojíc obsahujúcu čísla do sto, ktoré nemajú spoločné faktory.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Shustrova klasifikácia pytagorovských trojíc.

Shustrov objavil nasledujúci vzorec: ak sú všetky pytagorejské trojuholníky rozdelené do skupín, potom pre nepárne rameno x, párne y a preponu z platia nasledujúce vzorce:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-l); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, kde N je číslo rodiny a n je poradové číslo trojuholníka v rodine.

Nahradením všetkých kladných celých čísel vo vzorci namiesto N a n od jedného získate všetky hlavné pytagorejské trojice čísel, ako aj násobky určitého typu. Môžete si vytvoriť tabuľku všetkých pytagorových trojíc pre každú rodinu.

2.3. Úlohy z planimetrie

Pozrime sa na problémy z rôznych učebníc o geometrii a zistime, ako často sa v týchto úlohách nachádzajú pytagorejské trojice. Triviálne problémy pri hľadaní tretieho prvku v tabuľke pytagorovských trojíc sa nebudú brať do úvahy, hoci sa nachádzajú aj v učebniciach. Ukážme si, ako zredukovať riešenie úlohy, ktorej dáta nie sú vyjadrené prirodzenými číslami, na pytagorejské trojice.

Zvážte úlohy z učebnice geometrie pre ročníky 7-9.

№ 000. Nájdite preponu pravouhlého trojuholníka ale=, b=.

Riešenie. Vynásobte dĺžky nôh 7, dostaneme dva prvky z pytagorejskej trojky 3 a 4. Chýbajúci prvok je 5, ktorý vydelíme 7. Odpoveď.

№ 000. V obdĺžniku ABCD nájdite BC, ak CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Riešenie. Poďme vyriešiť pravouhlý trojuholník ACD. Dĺžky vynásobíme 2, dostaneme dva prvky z pytagorejskej trojky 3 a 5, chýbajúci prvok je 4, ktorý vydelíme 2. Odpoveď: 2.

Pri riešení ďalšieho čísla skontrolujte pomer a2+b2=c2 je to úplne voliteľné, stačí použiť pytagorejské čísla a ich vlastnosti.

№ 000. Zistite, či je trojuholník pravouhlý, ak sú jeho strany vyjadrené číslami:

a) 6,8,10 (pytagorejská trojka 3,4,5) - áno;

Jedna z ramien pravouhlého trojuholníka musí byť deliteľná 4. Odpoveď: nie.

c) 9,12,15 (pytagorejská trojka 3,4,5) - áno;

d) 10,24,26 (pytagorejská trojka 5,12,13) ​​- áno;

Jedno z pytagorovských čísel musí byť násobkom piatich. odpoveď: nie.

g) 15, 20, 25 (pytagorejská trojka 3,4,5) - áno.

Z tridsiatich deviatich úloh v tejto časti (Pytagorova veta) je dvadsaťdva riešených ústne pomocou Pytagorových čísel a znalosti ich vlastností.

Zvážte problém #000 (zo sekcie "Ďalšie úlohy"):

Nájdite plochu štvoruholníka ABCD, kde AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Úlohou je skontrolovať pomer a2+b2=c2 a dokážte, že daný štvoruholník pozostáva z dvoch pravouhlých trojuholníkov (inverzná veta). A znalosť pytagorovských trojíc: 3, 4, 5 a 5, 12, 13 eliminuje potrebu výpočtov.

Uveďme riešenia niekoľkých problémov z učebnice geometrie pre ročníky 7-9.

Úloha 156 (h). Nohy pravouhlého trojuholníka sú 9 a 40. Nájdite medián nakreslený k prepone.

Riešenie . Medián k prepone sa rovná jej polovici. Pytagorova trojica je 9,40 a 41. Preto je medián 20,5.

Úloha 156 (i). Strany trojuholníka sú: ale= 13 cm, b= 20 cm a výška hс = 12 cm Nájdite základňu od.

Úloha (KIM USE). Nájdite polomer kružnice vpísanej do ostrého trojuholníka ABC, ak výška BH je 12 a je známe, že hriech A=,hriech C \u003d vľavo "\u003e

Riešenie. Riešime pravouhlé ∆ ASC: sin A=, BH=12, teda AB=13,AK=5 (Pytagorova trojica 5,12,13). Vyriešte obdĺžnikové ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (pytagorejčina trojitý 3,4,5). Polomer nájdeme podľa vzorca r === 4. Odpoveď.4.

2.4. Pytagorove trojice v trigonometrii

Hlavná trigonometrická identita je špeciálnym prípadom Pytagorovej vety: sin2a + cos2a = 1; (a/c)2 + (b/c)2 = 1. Preto sa niektoré trigonometrické úlohy ľahko riešia ústne pomocou pytagorovských trojíc.

Problémy, v ktorých je potrebné nájsť hodnoty iných goniometrických funkcií z danej hodnoty funkcie, je možné vyriešiť bez umocnenia a extrakcie druhej odmocniny. Všetky úlohy tohto typu v školskej učebnici algebry (10-11) Mordkovich (č. 000-č. 000) je možné riešiť ústne, pričom poznáte len niekoľko pytagorovských trojíc: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Uvažujme o riešeniach dvoch úloh.

č. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Riešenie. Pytagorejská trojica: 3, 4, 5. Preto cos t = -3/5; tg t = -4/3,

č. 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Riešenie. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pytagorova trojka 5,12,13. Vzhľadom na znamenia dostaneme sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Kontrolné a meracie materiály skúšky

a) cos (arcsin 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

b) hriech (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) skontrolujte platnosť rovnosti:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Riešenie. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

hriech (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = hriech (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Záver

Pri geometrických úlohách treba často riešiť pravouhlé trojuholníky, niekedy aj viackrát. Po rozbore úloh školských učebníc a USE materiálov môžeme konštatovať, že sa používajú najmä trojčatá: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; ktoré sú ľahko zapamätateľné. Pri riešení niektorých goniometrických úloh si klasické riešenie pomocou goniometrických vzorcov a veľkého množstva výpočtov vyžaduje čas a znalosť pytagorovských trojíc odstráni chyby vo výpočtoch a ušetrí čas na riešenie náročnejších úloh na skúške.

Bibliografický zoznam

1. Algebra a začiatky analýzy. 10-11 ročníkov. O 2 hod.. Časť 2. Zošit pre vzdelávacie inštitúcie / [a iné]; vyd. . - 8. vydanie, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : chorý.

2. Perelmanova algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 s.

3. Roganovský: Proc. Pre 7-9 buniek. s hlbokým štúdium všeobecnovzdelávacej matematiky. škola z ruštiny lang. učenie, - 3. vyd. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: chor.

4. Matematika: Čítanka z histórie, metodológie, didaktiky. / Comp. . - M.: Vydavateľstvo URAO, 2001. - 384 s.

5. Časopis „Matematika v škole“ číslo 1, 1965.

6. Kontrolné a meracie materiály skúšky.

7. Geometria, 7-9: Proc. pre vzdelávacie inštitúcie / atď - 13. vydanie - M .: Vzdelávanie, 2003. – 384 s. : chorý.

8. Geometria: Proc. pre 10-11 buniek. priem. škola / atď - 2.vyd. - M .: Školstvo, 1993, - 207 s.: chor.

Perelmanova algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 s.

Časopis "Matematika v škole" číslo 1, 1965.

Geometria, 7-9: Proc. pre vzdelávacie inštitúcie / atď - 13. vydanie - M .: Vzdelávanie, 2003. – 384 s. : chorý.

Roganovský: Proc. Pre 7-9 buniek. s hlbokým štúdium všeobecnovzdelávacej matematiky. škola z ruštiny lang. učenie, - 3. vyd. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: chor.

Algebra a začiatky analýzy. 10-11 ročníkov. O 2 hod.. Časť 2. Zošit pre vzdelávacie inštitúcie / [a iné]; vyd. . - 8. vydanie, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : chor., s.18.

Vlastnosti

Od rovnice X 2 + r 2 = z 2 homogénne, keď sa násobí X , r A z za rovnaké číslo dostanete ďalšiu pytagorovskú trojku. Pytagorova trojica sa nazýva primitívny, ak sa to nedá získať týmto spôsobom, teda - relatívne prvočísla.

Príklady

Niektoré pytagorejské trojky (zoradené vzostupne podľa maximálneho počtu, primitívne sú zvýraznené):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Na základe vlastností Fibonacciho čísel z nich môžete urobiť napríklad také pytagorejské trojky:

.

História

Pytagorejské trojky sú známe už veľmi dlho. V architektúre starých mezopotámskych náhrobných kameňov sa nachádza rovnoramenný trojuholník zložený z dvoch pravouhlých so stranami 9, 12 a 15 lakťov. Pyramídy faraóna Snefru (XXVII. storočie pred Kristom) boli postavené pomocou trojuholníkov so stranami 20, 21 a 29, ako aj 18, 24 a 30 desiatok egyptských lakťov.

pozri tiež

Odkazy

• E. A. Gorin Mocniny prvočísel v pytagorejských trojiciach // Matematické vzdelanie. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo sú „pytagorejské čísla“ v iných slovníkoch:

Trojky prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je pravouhlý, napr. trojica čísel: 3, 4, 5… Veľký encyklopedický slovník

Trojky prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je pravouhlý, napríklad trojica čísel: 3, 4, 5. * * * PYTAGORANSKÉ ČÍSLA PYTAGORANSKÉ ČÍSLA, trojice prirodzených čísel napr. že ... ... encyklopedický slovník

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžka strán je úmerná (alebo sa rovná) týmto číslam, je pravouhlý trojuholník. Podľa vety, inverznej k Pytagorovej vete (pozri Pytagorovu vetu), na to stačí, že ... ...

Trojice kladných celých čísel x, y, z spĺňajúce rovnicu x2+y 2=z2. Všetky riešenia tejto rovnice a následne všetky P. p. sú vyjadrené vzorcami x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, kde a, b sú ľubovoľné kladné celé čísla (a>b). P. h... Matematická encyklopédia

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je napríklad pravouhlý. trojica čísel: 3, 4, 5… Prírodná veda. encyklopedický slovník

V matematike sú Pytagorejské čísla (Pytagorejská trojica) n-ticou troch celých čísel, ktoré spĺňajú pytagorovský vzťah: x2 + y2 = z2. Obsah 1 Vlastnosti 2 Príklady ... Wikipedia

Kučeravé čísla sú všeobecným názvom čísel spojených s konkrétnym geometrickým útvarom. Tento historický koncept siaha až k Pytagorejcom. Výraz „štvorec alebo kocka“ pravdepodobne vznikol zo zložených čísel. Obsah ... ... Wikipedia

Kučeravé čísla sú všeobecným názvom čísel spojených s konkrétnym geometrickým útvarom. Tento historický koncept siaha až k Pytagorejcom. Existujú nasledujúce typy zložených čísel: Lineárne čísla sú čísla, ktoré sa nerozkladajú na faktory, teda ich ... ... Wikipedia

- „Pí paradox“ je vtip na tému matematiky, ktorý bol v obehu medzi študentmi až do 80-tych rokov (v skutočnosti pred masovým rozšírením mikrokalkulátorov) a bol spojený s obmedzenou presnosťou výpočtu goniometrických funkcií a ... ... Wikipedia

- (grécka aritmetika, z aritmického čísla) veda o číslach, predovšetkým prirodzených (kladných celých) číslach a (racionálnych) zlomkoch a operáciách s nimi. Vlastníctvo dostatočne vyvinutého pojmu prirodzeného čísla a schopnosť ... ... Veľká sovietska encyklopédia

knihy

• Archimedovské leto, alebo história komunity mladých matematikov. Binárny číselný systém, Bobrov Sergey Pavlovič. Binárny číselný systém, „hanojská veža“, rytiersky ťah, magické políčka, aritmetický trojuholník, zložené čísla, kombinácie, pojem pravdepodobnosti, Möbiov prúžok a Kleinova fľaša...

Belotelov V.A. Pytagorejské trojky a ich počet // Encyklopédia Nesterovcov

Tento článok je odpoveďou jednému profesorovi – pinčovi. Pozrite, pán profesor, ako to robia v našej dedine.

Región Nižný Novgorod, Zavolzhye.

Vyžaduje sa znalosť algoritmu na riešenie diofantických rovníc (ADDE) a znalosť polynomických priebehov.

IF je prvočíslo.

MF je zložené číslo.

Nech existuje nepárne číslo N. Pre akékoľvek nepárne číslo iné ako jedna môžete napísať rovnicu.

p 2 + N \u003d q 2,

kde р + q = N, q – р = 1.

Napríklad pre čísla 21 a 23 by rovnice boli: -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Ak je N prvočíslo, táto rovnica je jedinečná. Ak je číslo N zložené, potom je možné zostaviť podobné rovnice pre počet párov faktorov reprezentujúcich toto číslo, vrátane 1 x N.

Zoberme si číslo N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Sníval som, ale je možné, držiac sa tohto rozdielu medzi IF a MF, nájsť spôsob ich identifikácie.

Predstavme si notáciu;

Zmeňme spodnú rovnicu, -

N \u003d v 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Zoskupme hodnoty N podľa kritéria v - a, t.j. urobme si stôl.

Čísla N boli zhrnuté v matici, -

Práve kvôli tejto úlohe som sa musel vysporiadať s postupnosťami polynómov a ich matíc. Všetko sa ukázalo byť márne - obrana PCh je silne držaná. Zadajte stĺpec do tabuľky 1, kde je - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Ešte raz. Tabuľka 2 bola získaná ako výsledok pokusu vyriešiť problém identifikácie IF a MF. Z tabuľky vyplýva, že pre akékoľvek číslo N existuje toľko rovníc v tvare a 2 + N \u003d v 2, na koľko párov faktorov možno číslo N rozdeliť, vrátane faktora 1 x N. Okrem toho na čísla N \u003d ℓ 2, kde

ℓ – FC. Pre N = ℓ2, kde ℓ je IF, existuje jedinečná rovnica p2 + N = q2. O akom dodatočnom dôkaze môžeme hovoriť, ak tabuľka uvádza menšie faktory z dvojíc faktorov tvoriacich N, od jednej po ∞. Stôl 2 umiestnime do truhlice a truhlicu schováme do skrine.

Vráťme sa k téme uvedenej v nadpise článku.

Tento článok je odpoveďou jednému profesorovi – pinčovi.

Požiadal som o pomoc - potreboval som sériu čísel, ktoré som nemohol nájsť na internete. Narazil som na otázky typu: - "načo?", "Ale ukáž mi metódu." Predovšetkým tu bola otázka, či je rad pytagorovských trojíc nekonečný, „ako to dokázať?“. Nepomohol mi. Pozrite, pán profesor, ako to robia v našej dedine.

Zoberme si vzorec pytagorovských trojíc, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (jeden)

Poďme cez ARDU.

Možné sú tri situácie:

I. x je nepárne číslo,

y je párne číslo

z je párne číslo.

A existuje podmienka x > y > z.

II. x je nepárne číslo

y je párne číslo

z je nepárne číslo.

x > z > y.

III.x - párne číslo,

y je nepárne číslo

z je nepárne číslo.

x > y > z.

Začnime s I.

Predstavme si nové premenné

Dosaďte do rovnice (1).

Zrušme menšou premennou 2γ.

(2a - 2y + 2k + 1)2 = (2p - 2y + 2k)2 + (2k + 1)2.

Znížime premennú 2β – 2γ na menšiu so súčasným zavedením nového parametra ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Potom 2α - 2p = x - y - 1.

Rovnica (2) bude mať tvar –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Urobme to na druhú -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU dáva cez parametre vzťah medzi nadradenými členmi rovnice, takže sme dostali rovnicu (3).

Nie je solídne zaoberať sa výberom riešení. Ale po prvé, nie je kam ísť, a po druhé, týchto riešení je potrebných niekoľko a vieme obnoviť nekonečné množstvo riešení.

Pre ƒ = 1, k = 1 máme x – y = 1.

Pri ƒ = 12, k = 16 máme x - y = 9.

Keď ƒ = 4, k = 32, máme x - y = 25.

Môžete to vyzdvihnúť dlho, ale nakoniec séria bude mať formu -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Zvážte možnosť II.

Zavedme nové premenné do rovnice (1)

(2a + 2k + 1)2 = (2p + 2k)2 + (2y + 2k + 1)2.

Znížime o menšiu premennú 2 β, -

(2a - 2p + 2k + 1)2 = (2a - 2p + 2k+1)2 + (2k)2.

Znížime o menšiu premennú 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k)2. (4)

2α - 2γ = x - z a dosaďte do rovnice (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Pri ƒ = 3, k = 4 máme x - z = 2.

Pri ƒ = 8, k = 14 máme x - z = 8.

Keď ƒ = 3, k = 24, máme x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Nakreslíme lichobežník -

Napíšeme vzorec.

kde n=1, 2,...∞.

Prípad III nebude opísaný – neexistujú žiadne riešenia.

Pre podmienku II bude súbor trojíc takýto:

Rovnica (1) je kvôli prehľadnosti prezentovaná ako x 2 = z 2 + y 2.

Pre podmienku I bude množina trojíc nasledovná:

Celkovo je namaľovaných 9 stĺpcov trojíc, v každom päť trojíc. A každý z prezentovaných stĺpcov môže byť napísaný až do ∞.

Ako príklad zvážte trojičky posledného stĺpca, kde x - y \u003d 81.

Pre hodnoty x píšeme lichobežník, -

Napíšeme vzorec

Pre hodnoty píšeme lichobežník, -

Napíšeme vzorec

Pre hodnoty z píšeme lichobežník, -

Napíšeme vzorec

Kde n = 1 ÷ ∞.

Ako sme sľúbili, séria trojíc s x - y = 81 letí na ∞.

Pre prípady I a II došlo k pokusu o zostavenie matíc pre x, y, z.

Napíšte posledných päť stĺpcov x z horných riadkov a postavte lichobežník.

Nefungovalo to a vzor by mal byť kvadratický. Aby bolo všetko v prelamovaní, ukázalo sa, že bolo potrebné spojiť stĺpce I a II.

V prípade II sa opäť zamieňajú veličiny y, z.

Podarilo sa nám zlúčiť z jedného dôvodu – karty v tejto úlohe dobre zapadli – mali sme šťastie.

Teraz môžete písať matice pre x, y, z.

Zoberme si z posledných piatich stĺpcov hodnoty x z horných riadkov a postavíme lichobežník.

Všetko je v poriadku, môžete zostaviť matice a začnime maticou pre z.

Bežím do skrine po truhlicu.

Spolu: Okrem jedného sa na tvorbe pytagorovských trojíc podieľa každé nepárne číslo číselnej osi rovnakým počtom dvojíc faktorov tvoriacich toto číslo N, vrátane faktora 1 x N.

Číslo N \u003d ℓ 2, kde ℓ - IF, tvorí jednu pytagorejskú trojicu, ak ℓ je MF, potom na faktoroch ℓхℓ nie je žiadna trojica.

Zostavme matice pre x, y.

Začnime maticou pre x. Aby sme to urobili, natiahneme na ňu súradnicovú sieť z problému identifikácie IF a MF.

Číslovanie zvislých riadkov je normalizované výrazom

Odstránime prvý stĺpec, pretože

Matica bude mať formu -

Popíšme zvislé riadky, -

Popíšme koeficienty v "a", -

Poďme popísať voľných členov, -

Urobme všeobecný vzorec pre "x", -

Ak urobíme podobnú prácu pre "y", dostaneme -

K tomuto výsledku môžete pristupovať z druhej strany.

Zoberme si rovnicu,

a 2 + N = v 2.

Poďme to trochu zmeniť -

N \u003d v 2 - a 2.

Urobme to na druhú -

N 2 \u003d v 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Na ľavú a pravú stranu rovnice pridajte veľkosť 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d v 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

A nakoniec -

(v 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pytagorejské trojice sa skladajú takto:

Zoberme si príklad s číslom N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Vertikálne stĺpce tabuľky 2 sú očíslované hodnotami v - a, zatiaľ čo zvislé stĺpce tabuľky 3 sú očíslované hodnotami x - y.

x – y \u003d (c – a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Zostavme tri rovnice.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6 845, y 1 = 6 844, z 1 = 117.

x2 = 765, y2 = 756, z2 = 117 (x2 = 85, y2 = 84, z2 = 13).

x3 = 125, y3 = 44, z3 = 117.

Faktory 3 a 39 nie sú relatívne prvočísla, takže jedna trojka vyšla s faktorom 9.

Zobrazme vyššie uvedené napísané všeobecnými symbolmi, -

V tejto práci je všetko, vrátane príkladu na výpočet pytagorovských trojíc s číslom

N = 117, viazané na menší faktor v - a. Explicitná diskriminácia vo vzťahu k faktoru v + a. Napravme túto nespravodlivosť – zostavíme tri rovnice s faktorom v + a.

Vráťme sa k otázke identifikácie IF a MF.

V tomto smere sa urobilo veľa vecí a dnes prebehla nasledujúca myšlienka – neexistuje žiadna identifikačná rovnica a neexistuje nič také, ako určiť faktory.

Predpokladajme, že sme našli vzťah F = a, b (N).

Existuje vzorec

Môžete sa zbaviť vo vzorci F z in a dostanete homogénnu rovnicu n-tého stupňa vzhľadom na a, t.j. F = a(N).

Pre každý stupeň n tejto rovnice existuje číslo N s m pármi faktorov, pre m > n.

V dôsledku toho musí mať homogénna rovnica stupňa n m koreňov.

Áno, to nemôže byť.

V tomto príspevku boli čísla N uvažované pre rovnicu x 2 = y 2 + z 2, keď sú v rovnici na mieste z. Keď je N na mieste x, je to ďalšia úloha.

S pozdravom Belotelov V.A.