Medzi zmenami 7 a X. Na posúdenie blízkosti vzťahu medzi náhodnými premennými sa používajú ukazovatele

Ako sme už povedali, jedným z hlavných rozdielov medzi sledom pozorovaní, ktoré tvoria časové rady, je to, že členovia časových radov sú vo všeobecnosti štatisticky vzájomne závislé. Stupeň tesnosti štatistického vzťahu medzi náhodnými premennými Xt a Xt + T možno merať pomocou párového korelačného koeficientu

Odhad všeobecného parametra sa získa na základe výberového ukazovateľa, pričom sa zohľadní chyba reprezentatívnosti. V inom prípade je vo vzťahu k vlastnostiam všeobecnej populácie predložená hypotéza o hodnote priemeru, rozptylu, charaktere rozdelenia, forme a blízkosti vzťahu medzi premennými. Testovanie hypotéz sa uskutočňuje na základe identifikácie zhody empirických údajov s hypotetickými (teoretickými) údajmi. Ak nezrovnalosť medzi porovnávanými hodnotami neprekročí hranice náhodných chýb, hypotéza sa akceptuje. Zároveň sa nerobia žiadne závery o správnosti samotnej hypotézy, ide len o konzistentnosť porovnávaných údajov. Základom pre testovanie štatistických hypotéz sú údaje náhodných vzoriek. Nezáleží na tom, či sú hypotézy hodnotené oproti skutočnej alebo hypotetickej populácii. Tá otvára cestu pre aplikáciu tejto metódy mimo aktuálnej vzorky pri analýze výsledkov experimentu, údajov z kontinuálneho pozorovania, ale malého počtu. V tomto prípade sa odporúča skontrolovať, či zistená pravidelnosť nie je spôsobená zhodou náhodných okolností, do akej miery je typická pre komplex podmienok, v ktorých sa skúmaná populácia nachádza.

Ukazuje sa, že korelačné a regresné charakteristiky schémy (, m]) sa môžu výrazne líšiť od zodpovedajúcich charakteristík pôvodnej (neskreslenej) schémy (, n). normálne chyby na pôvodnej dvojrozmernej normálnej schéme (, m) vždy znižuje absolútnu hodnotu regresného koeficientu Ql vo vzťahu (B. 15), a tiež oslabuje mieru tesnosti vzťahu medzi u (tj znižuje absolútnu hodnotu korelačného koeficientu r).

Vplyv chýb merania na hodnotu korelačného koeficientu. Chceme odhadnúť mieru blízkosti korelácie medzi zložkami dvojrozmernej normálnej náhodnej premennej (, TJ), ale môžeme ich pozorovať len s niektorými náhodnými chybami merania, respektíve es a e (pozri diagram závislosť D2 v úvode). Preto sú experimentálne údaje (xit i/i), i = 1, 2,. .., n, sú prakticky vzorové hodnoty skreslenej dvojrozmernej náhodnej premennej (, r)), kde =

Metóda R.a. spočíva v odvodení regresnej rovnice (vrátane odhadu jej parametrov), pomocou ktorej sa zistí priemerná hodnota náhodnej premennej, ak je známa hodnota inej (alebo iných pri viacnásobnej alebo viacrozmernej regresii). (Naproti tomu korelačná analýza sa používa na nájdenie a vyjadrenie sily vzťahu medzi náhodnými premennými71.)

Pri štúdiu korelácie znakov, ktoré nie sú spojené dôslednou zmenou v čase, sa každý znak mení pod vplyvom mnohých príčin, braných ako náhodných. V sérii dynamiky sa k nim v priebehu každej série pridáva zmena. Táto zmena vedie k takzvanej autokorelácii - vplyvu zmien úrovní predchádzajúcich sérií na nasledujúce. Preto korelácia medzi úrovňami časových radov správne ukazuje tesnosť spojenia medzi javmi odrážajúcimi sa v časových radoch, len ak v každom z nich neexistuje autokorelácia. Okrem toho autokorelácia vedie k skresleniu stredných štvorcových chýb regresných koeficientov, čo sťažuje zostavenie intervalov spoľahlivosti pre regresné koeficienty, ako aj kontrolu ich významnosti.

Teoretické a výberové korelačné koeficienty definované vzťahmi (1.8) a (1.8) možno formálne vypočítať pre akýkoľvek dvojrozmerný pozorovací systém, sú mierou miery tesnosti lineárneho štatistického vzťahu medzi analyzovanými znakmi. Avšak iba v prípade spoločného normálneho rozdelenia študovaných náhodných premenných a u má korelačný koeficient r jasný význam ako charakteristika miery tesnej súvislosti medzi nimi. Najmä v tomto prípade pomer r - 1 potvrdzuje čisto funkčný lineárny vzťah medzi skúmanými veličinami a rovnica r = 0 naznačuje ich úplnú vzájomnú nezávislosť. Okrem toho korelačný koeficient spolu s priemermi a rozptylmi náhodných premenných a TJ tvorí tých päť parametrov, ktoré poskytujú komplexné informácie o

Náhodná veličina je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú neznámu hodnotu.

Príkladmi sú: straty a netesnosti vzduchu, stupeň asimilácie kyslíka, nepresnosti pri vážení zložiek vsádzky, kolísanie chemického zloženia surovín v dôsledku nedostatočného spriemerovania atď.

Vzťah, ktorý vytvára vzťah medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami, sa nazýva distribučný zákon, ktorý je kvantitatívne vyjadrený v dvoch formách.

Ryža. 5.1 Funkcia distribúcie (a) a hustota distribúcie (b)

Pravdepodobnosť udalosti v závislosti od hodnoty sa nazýva distribučná funkcia náhodnej premennej:

. (5.1) je neklesajúca funkcia (obr. 5.1a). Jeho hodnoty pri hraničných hodnotách argumentu sú: a.

Hustota distribúcie

Častejšie používaná forma distribučný zákon je hustota distribúcie náhodnej premennej, ktorá je deriváciou distribučnej funkcie:

. (5.2) Potom pravdepodobnosť nájdenia veličiny v intervale u môžeme vyjadriť pomocou hustoty distribúcie:

. (5.3`) Hustota distribúcie je nezáporná funkcia (obr. 21, b), plocha pod krivkou distribúcie sa rovná jednej:

. (5.4) Distribučnú funkciu možno vyjadriť ako hustotu rozdelenia:

. (5.5) Na riešenie väčšiny praktických problémov distribučný zákonúplná charakterizácia náhodnej premennej je na použitie nepohodlná. Preto sa častejšie používajú číselné charakteristiky náhodnej veličiny, ktoré určujú hlavné znaky distribučný zákon. Najbežnejšie z nich sú matematické očakávania a disperzia(alebo štandardná odchýlka).

Očakávaná hodnota

Matematické očakávanie náhodnej premennej je definované nasledovne

. (5.6) kde

Matematické očakávanie náhodnej premennej sa zvyčajne odhaduje jej aritmetickým priemerom, ktorý sa so zvyšujúcim sa počtom experimentov približuje k matematickému očakávaniu.

. (5.7) kde sú pozorované hodnoty náhodnej premennej.

Je dôležité si uvedomiť, že ak sa hodnota plynule mení v čase (teplota kupoly, steny, chemické zloženie splodín horenia), potom je potrebné brať ako hodnotu veličiny hodnoty veličiny oddelené také časové intervaly, aby ich bolo možné považovať za nezávislé experimenty. V praxi to spočíva v zohľadnení zotrvačnosti cez príslušné kanály. Metódy hodnotenia zotrvačnosti objektov budú diskutované nižšie.

Rozptyl a štandardná odchýlka

Rozptyl určuje rozptyl náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania

. (5.8) Rozptyl sa odhaduje podľa vzorca

. (5.9) a smerodajnú odchýlku podľa vzorca

Korelačný koeficient

Korelačný koeficient charakterizuje mieru lineárneho vzťahu medzi veličinami u, t.j. tu už máme do činenia so systémom náhodných veličín. Hodnotenie sa robí podľa vzorca

. (5.10)

Stanovenie chýb a intervalov spoľahlivosti pre charakteristiky náhodných premenných

Aby sa uvažované charakteristiky náhodných veličín mohli používať s určitou spoľahlivosťou, je potrebné okrem naznačených odhadov pre každú z nich vypočítať aj chyby alebo intervaly spoľahlivosti, ktoré závisia od stupňa rozptylu, počtu experimentov a danej pravdepodobnosti spoľahlivosti. Chyba pre matematické očakávanie je približne určená vzorcom

. (5.11) kde je kritérium študenta; sa vyberie z tabuliek v závislosti od danej pravdepodobnosti spoľahlivosti a počtu experimentov (napríklad prii,).

Skutočná hodnota matematického očakávania je teda v intervale spoľahlivosti s pravdepodobnosťou

. (5.12) Pri danej presnosti a spoľahlivosti výpočtu možno použiť rovnaké vzorce na výpočet požadovaného počtu nezávislých experimentov.

Podobne chyba hodnôt a

. (5.13) Verí sa, že lineárny vzťah medzi a skutočne existuje, ak

. alebo

. (5.14) Napríklad závislosť medzi skúmanými veličinami skutočne prebieha, ak

. (5.15) V opačnom prípade je existencia vzťahu medzi množstvami a nespoľahlivá.

Náhodná hodnota

Definícia pojmu náhodná premenná

Forma spojenia medzi náhodnými premennými je určená regresnou čiarou, ktorá ukazuje, ako sa hodnota v priemere mení

keď sa hodnota zmení, čo je charakterizované podmieneným matematickým očakávaním hodnoty, vypočítanej za podmienky, že hodnota nadobudla určitú hodnotu. Regresná krivka je teda závislosť podmieneného očakávania od známej hodnoty

. (5.16) kde,– parametre rovnice (koeficienty).

Zmeny v náhodnej premennej sú spôsobené variabilitou náhodnej premennej, ktorá je s ňou stochasticky spojená, ako aj ďalšími faktormi, ktoré ovplyvňujú, ale nezávisia od nich. Proces stanovenia regresnej rovnice pozostáva z dvoch najdôležitejších etáp: výber typu rovnice, teda nastavenie funkcie a výpočet parametrov regresnej rovnice.

Výber typu regresnej rovnice

Tento typ je vybraný na základe vlastností skúmaného systému náhodných premenných. Jedným z možných prístupov je v tomto prípade experimentálny výber typu regresnej rovnice podľa typu získaného korelačného poľa medzi veličinami, prípadne účelové vyčíslenie štruktúr rovníc a vyhodnotenie každej z nich, napríklad podľa kritéria primeranosti. V prípade, že o objekte existujú určité apriórne (predexperimentálne) informácie, je na tento účel efektívnejšie použiť teoretické predstavy o procesoch a typoch vzťahov medzi skúmanými parametrami. Tento prístup je obzvlášť dôležitý, keď je potrebné kvantifikovať a určiť vzťahy príčin a následkov.

Napríklad, ak len trochu porozumieme teórii procesov výroby ocele, možno vyvodiť záver o príčinných a následných vzťahoch pre závislosť rýchlosti oduhličenia od prietoku kyslíka vháňaného do konvertorového kúpeľa alebo od odsírovacej schopnosti konvertora. troska na jej zásaditosti a oxidácii. A na základe koncepcie hyperbolického charakteru závislosti obsahu kyslíka v kove od obsahu uhlíka možno vopred predpokladať, že lineárna rovnica pre závislosť rýchlosti oduhličenia od intenzity fúkania v oblasti nízky obsah uhlíka (menej ako 0,2 %) bude neadekvátny, a tak sa vyhnete niekoľkým krokom experimentálne výber typu rovnice.

Po výbere typu regresnej rovnice sa vypočítajú jej parametre (koeficienty), pre ktoré sa najčastejšie používa metóda najmenších štvorcov, o ktorom bude reč nižšie.

Priamy výklad pojmu korelácia - stochastický, pravdepodobný, možný spojenie medzi dvoma (pármi) alebo viacerými (viacerými) náhodnými premennými.

Vyššie bolo povedané, že ak pre dva SW ( X a Y) máme rovnosť P(XY) =P(X) P(Y), potom množstvá X a Y považovaný za nezávislý. No čo ak nie!?

Koniec koncov, otázka je vždy dôležitá - a aké silné závisí jeden SW od druhého? A pointa nie je vlastná túžbe ľudí analyzovať niečo nevyhnutne v numerickej dimenzii. Už teraz je jasné, že systémová analýza znamená nepretržité výpočty, s ktorými nás použitie počítača núti pracovať čísla, nie koncepty.

Na numerické vyhodnotenie možného vzťahu medzi dvoma náhodnými premennými: Y(s priemerom M rSy) a - X(s priemerom M x a štandardná odchýlka S x) je zvykom používať tzv korelačný koeficient

Rxy = . {2 - 11}

Tento koeficient môže nadobúdať hodnoty od -1 do +1 - v závislosti od tesnosti vzťahu medzi týmito náhodnými premennými.

Ak je korelačný koeficient nulový, potom X a Y volal nekorelované . Zvyčajne nie je dôvod považovať ich za nezávislé - ukazuje sa, že spravidla existujú nelineárne vzťahy veličín, za ktorých Rxy = 0, hoci množstvá závisia jedna od druhej. Opak je vždy pravdou – ak hodnoty nezávislý , potom Rxy = 0 . Ale ak modul Rxy= 1, to znamená, že existuje každý dôvod predpokladať prítomnosť lineárne Komunikácia medzi Y a X. Preto často hovoria o lineárna korelácia pri použití tejto metódy odhadu spojenia medzi CB.

Zaznamenali sme ďalší spôsob, ako posúdiť koreláciu medzi dvoma náhodnými premennými - ak spočítame súčin odchýlok každej z nich od jej priemernej hodnoty, výsledná hodnota je

C xy \u003d S (X – M x)· (Y-My)

alebo kovariancia množstvá X a Y rozlišuje dva ukazovatele od korelačného koeficientu : po prvé, spriemerovanie(vydelené počtom pozorovaní alebo párov X, Y) a po druhé, prídelový vydelením zodpovedajúcimi štandardnými odchýlkami.

Takéto hodnotenie väzieb medzi náhodnými premennými v komplexnom systéme je jednou z počiatočných fáz systémovej analýzy, takže tu vyvstáva otázka dôvery v záver o prítomnosti alebo neprítomnosti väzieb medzi dvoma SW v celej svojej ostrosti.

V moderných metódach systémovej analýzy sa to zvyčajne robí. Podľa nájdenej hodnoty R vypočítajte pomocnú hodnotu:

W = 0,5 Ln[(1+R)/(1-R)]{2 - 12}

a otázka spoľahlivosti korelačného koeficientu sa redukuje na intervaly spoľahlivosti pre náhodnú premennú W, ktoré sú určené štandardnými tabuľkami alebo vzorcami.

V niektorých prípadoch systémovej analýzy je potrebné riešiť otázku vzťahov medzi viacerými (viac ako 2) náhodnými premennými, resp. viacnásobná korelácia.

Nechaj X, Y a Z- náhodné premenné podľa pozorovaní, pre ktoré sme stanovili ich priemer M x, M r,mz a štandardné odchýlky S x, S y , S z .

Potom sa dá nájsť spárované korelačné koeficienty Rxy, R xz, R yz podľa vyššie uvedeného vzorca. To však zjavne nestačí - koniec koncov, v každom z troch štádií sme jednoducho zabudli na prítomnosť tretej náhodnej premennej! Preto v prípadoch viacnásobnej korelačnej analýzy je niekedy potrebné hľadať tzv. súkromné korelačné koeficienty – napríklad wobble score Z pre komunikáciu medzi X a Y vyrobené pomocou koeficientu

Rxy.z = {2 - 13}

A nakoniec si môžeme položiť otázku – aký je vzťah medzi týmto SV a súhrnom zvyšku? Odpoveď na takéto otázky dávajú koeficienty viacnásobné korelácie R x.yz , R y.zx , R z.xy , vzorce na výpočet, ktoré sú zostavené podľa rovnakých princípov - berúc do úvahy spojenie jednej z veličín so všetkými ostatnými v súhrne.

Zložitosť výpočtu všetkých opísaných ukazovateľov korelácií môžete ignorovať - ​​programy na ich výpočet sú pomerne jednoduché a sú k dispozícii v hotovej forme v mnohých PPP moderných počítačov.

Stačí pochopiť to hlavné - ak pri formálnom popise prvku komplexného systému, súboru takýchto prvkov vo forme subsystému alebo nakoniec systému ako celku uvažujeme spojenia medzi jeho jednotlivými časťami, potom mieru blízkosti tohto prepojenia v podobe vplyvu jedného SW na druhý možno a treba posudzovať na úrovni korelácie.

Na záver poznamenávame ešte jednu vec – vo všetkých prípadoch systémovej analýzy na korelačnej úrovni sa za „rovnaké“ považujú obe náhodné premenné s párovou koreláciou alebo všetky s násobkom – teda hovoríme o vzájomnom ovplyvňovaní SW na seba.

Nie vždy je to tak – veľmi často je to otázka súvislostí Y a X je umiestnená v inej rovine - jedna z veličín je závislá (funkcia) na druhej (argument).

Vzťah, ktorý existuje medzi náhodnými premennými rôzneho charakteru, napríklad medzi hodnotou X a hodnotou Y, nemusí byť nevyhnutne dôsledkom priamej závislosti jednej premennej od druhej (tzv. funkčný vzťah). V niektorých prípadoch obe veličiny závisia od celého súboru rôznych faktorov spoločných pre obe veličiny, v dôsledku čoho sa vytvárajú navzájom súvisiace vzorce. Keď sa pomocou štatistík zistí vzťah medzi náhodnými premennými, nemôžeme tvrdiť, že sme odhalili príčinu prebiehajúcej zmeny parametrov, skôr sme videli iba dva vzájomne prepojené dôsledky.

Napríklad deti, ktoré viac pozerajú v televízii americké akčné filmy, menej čítajú. Deti, ktoré viac čítajú, sa lepšie učia. Nie je také ľahké rozhodnúť, ktoré sú príčiny a ktoré dôsledky, ale to nie je úlohou štatistiky. Štatistika môže predložiť iba hypotézu o prítomnosti spojenia, podložiť ju číslami. Ak skutočne existuje spojenie, tieto dve náhodné premenné sú korelované. Ak je nárast jednej náhodnej premennej spojený so zvýšením druhej náhodnej premennej, korelácia sa nazýva priama. Napríklad počet prečítaných stránok za rok a priemerné skóre (výkon). Ak je naopak nárast jednej hodnoty spojený s poklesom inej, hovorí sa o inverznej korelácii. Napríklad počet akčných filmov a počet prečítaných strán.

Vzájomný vzťah dvoch náhodných premenných sa nazýva korelácia, korelačná analýza umožňuje určiť prítomnosť takéhoto vzťahu, posúdiť, nakoľko je tento vzťah blízky a významný. Toto všetko je vyčíslené.

Ako zistiť, či medzi hodnotami existuje korelácia? Vo väčšine prípadov to možno vidieť na bežnom grafe. Napríklad pre každé dieťa v našej vzorke môžete určiť hodnotu X i (počet strán) a Y i (priemerné skóre ročného hodnotenia) a zaznamenať tieto údaje vo forme tabuľky. Zostavte osi X a Y a potom nakreslite celú sériu bodov do grafu tak, aby každý z nich mal špecifický pár súradníc (X i, Y i) z našej tabuľky. Keďže v tomto prípade ťažko určíme, čo možno považovať za príčinu a čo za následok, nezáleží na tom, ktorá os je vertikálna a ktorá horizontálna.

Ak graf vyzerá ako a), potom to naznačuje prítomnosť priamej korelácie, ak vyzerá ako b) - korelácia je inverzná. Nedostatok korelácie
Pomocou korelačného koeficientu môžete vypočítať, ako blízko existuje vzťah medzi hodnotami.

Predpokladajme, že existuje korelácia medzi cenou a dopytom po produkte. Počet zakúpených jednotiek tovaru v závislosti od ceny u rôznych predajcov je uvedený v tabuľke:

Je vidieť, že máme do činenia s inverznou koreláciou. Na kvantifikáciu tesnosti spojenia sa používa korelačný koeficient:

Koeficient r vypočítame v Exceli pomocou funkcie f x, potom štatistických funkcií, funkcie CORREL. Na výzvu programu zadáme myšou dve rôzne polia (X a Y) do dvoch zodpovedajúcich polí. V našom prípade korelačný koeficient vyšiel r = - 0,988. Treba si uvedomiť, že čím je korelačný koeficient bližšie k 0, tým je vzťah medzi hodnotami slabší. Najbližší vzťah s priamou koreláciou zodpovedá koeficientu r blízkemu +1. V našom prípade je korelácia inverzná, ale aj veľmi tesná a koeficient sa blíži k -1.

Čo možno povedať o náhodných premenných, ktorých koeficient má strednú hodnotu? Napríklad, ak dostaneme r=0,65. V tomto prípade nám štatistiky umožňujú povedať, že dve náhodné premenné spolu čiastočne súvisia. Povedzme, že 65 % vplyvu na počet nákupov malo cena a 35% - iné okolnosti.

A treba spomenúť ešte jednu dôležitú okolnosť. Keďže hovoríme o náhodných premenných, vždy existuje možnosť, že spojenie, ktoré sme si všimli, je náhodná okolnosť. Navyše, pravdepodobnosť nájdenia spojenia tam, kde nie je, je obzvlášť vysoká, keď je vo vzorke málo bodov a pri hodnotení ste nezostavili graf, ale jednoducho vypočítali hodnotu korelačného koeficientu na počítači. Ak teda v ľubovoľnej vzorke ponecháme iba dva rôzne body, korelačný koeficient sa bude rovnať buď +1 alebo -1. Z kurzu školskej geometrie vieme, že vždy sa dá nakresliť priamka cez dva body. Na posúdenie štatistickej významnosti skutočnosti vami objaveného spojenia je užitočné použiť takzvanú koreláciu:

Zatiaľ čo úlohou korelačnej analýzy je zistiť, či tieto náhodné premenné súvisia, cieľom regresnej analýzy je opísať tento vzťah s analytickou závislosťou, t.j. pomocou rovnice. Budeme uvažovať o najjednoduchšom prípade, keď spojenie medzi bodmi na grafe môže byť znázornené priamkou. Rovnica tejto priamky je Y=aX+b, kde a=Yav.-bXav.,

Keď vieme , môžeme nájsť hodnotu funkcie podľa hodnoty argumentu v tých bodoch, kde je známa hodnota X, ale nie Y. Tieto odhady sú veľmi užitočné, ale treba ich používať opatrne, najmä ak vzťah medzi veličinami nie je príliš tesný.

Poznamenávame tiež, že z porovnania vzorcov pre b a r je vidieť, že koeficient neudáva hodnotu sklonu priamky, ale ukazuje len samotný fakt existencie súvislosti.

Charakteristiky vzťahu medzi náhodnými premennými

Spolu s regresnou funkciou ekonometria využíva aj kvantitatívne charakteristiky vzťahu dvoch náhodných premenných. Patria sem kovariancia a korelačný koeficient.

Kovariancia náhodných premennýchX ay je matematické očakávanie súčinu odchýlok týchto veličín od ich matematických očakávaní a vypočíta sa podľa pravidla:

kde a sú matematické očakávania premenných X a r.

Kovariancia je konštanta, ktorá odráža stupeň závislosti medzi dvoma náhodnými premennými a označuje sa ako

Pre nezávislé náhodné premenné je kovariancia nulová, ak medzi premennými existuje štatistický vzťah, potom je zodpovedajúca kovariancia nenulová. Znak kovariancie sa používa na posúdenie povahy vzťahu: jednosmerný () alebo viacsmerný ().

Všimnite si, že ak premenné X a pri sa zhoduje, definícia (3.12) sa stáva definíciou rozptylu náhodnej premennej:

Kovariancia je rozmerová veličina. Jeho rozmer je súčinom rozmerov premenných. Prítomnosť dimenzie v kovariancii sťažuje jej použitie na posúdenie stupňa závislosti náhodných premenných.

Spolu s kovarianciou sa korelačný koeficient používa na posúdenie vzťahu medzi náhodnými premennými.

Korelačný koeficient dvoch náhodných premennýchje pomer ich kovariancie k súčinu štandardných chýb týchto veličín:

Korelačný koeficient je bezrozmerná hodnota, ktorej rozsah možných hodnôt je interval [+1; -jedna]. Pre nezávislé náhodné premenné je korelačný koeficient rovný nule, ak to však naznačuje prítomnosť lineárneho funkčného vzťahu medzi premennými.

Analogicky s náhodnými premennými sa pre náhodný vektor zavádzajú aj kvantitatívne charakteristiky. Existujú dve takéto charakteristiky:

1) vektor očakávaných hodnôt komponentov

tu je náhodný vektor, sú matematické očakávania komponentov náhodného vektora;

2) kovariančná matica

(3.15)

Kovariančná matica súčasne obsahuje informácie o miere neistoty náhodných zložiek vektora a informácie o stupni vzťahu každej dvojice zložiek vektora.

V ekonómii koncept náhodného vektora a najmä jeho charakteristiky našli uplatnenie pri analýze operácií na akciovom trhu. Známy americký ekonóm Harry Markowitz navrhol nasledujúci prístup. Nech na akciovom trhu koluje n rizikových aktív. Ziskovosť každého aktíva za určité časové obdobie je náhodná veličina. Zavádza sa návratový vektor a zodpovedajúci očakávaný návratový vektor. Vektor očakávaných výnosov Markovets navrhol zvážiť ako ukazovateľ atraktívnosti konkrétneho aktíva a prvky hlavnej diagonály kovariančnej matice - ako výšku rizika pre každé aktívum. Diagonálne prvky odrážajú hodnoty spojenia zodpovedajúcich párov návratov zahrnutých vo vektore. Podobu dostal parametrický model burzy Markowitz

Tento model je základom teórie optimálneho portfólia cenných papierov.

Vlastnosti operácií na výpočet kvantitatívnych charakteristík náhodných premenných

Uvažujme o hlavných vlastnostiach operácií na výpočet kvantitatívnych charakteristík náhodných premenných a náhodného vektora.

Operácie na výpočet matematického očakávania:

1) ak ide o náhodnú premennú x = s, kde S je teda konštanta

2) ak x a y - náhodné premenné, ai sú teda ľubovoľné konštanty

3) ak X a pri potom nezávislé náhodné premenné

Operácie výpočtu odchýlky:

1) ak ide o náhodnú premennú x = c, kde c je ľubovoľná konštanta, potom

2) ak X

3) ak X náhodná premenná a c je teda ľubovoľná konštanta

4) ak X a r sú náhodné premenné a ai sú ľubovoľné konštanty