Ako bolo uvedené vyššie, klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že všetky elementárne výsledky sú rovnako pravdepodobné. Ekvivalencia výsledkov experimentu je uzavretá kvôli úvahám o symetrii. Problémy, pri ktorých možno použiť úvahy o symetrii, sú v praxi zriedkavé. V mnohých prípadoch je ťažké odôvodniť presvedčenie, že všetky základné výsledky sú rovnako pravdepodobné. V tejto súvislosti bolo potrebné zaviesť ďalšiu definíciu pravdepodobnosti, ktorá sa nazýva štatistická. Najprv predstavme pojem relatívnej frekvencie.

Relatívna frekvencia udalostí alebo frekvencia je pomer počtu experimentov, v ktorých k tejto udalosti došlo, k počtu všetkých vykonaných experimentov. Označte frekvenciu udalosti A naprieč W(A), potom

kde n je celkový počet experimentov; m je počet experimentov, v ktorých k udalosti došlo A.

Pri malom počte experimentov je frekvencia udalostí prevažne náhodná a môže sa výrazne líšiť od jednej skupiny experimentov k druhej. Napríklad pri desiatich hodoch mincou je celkom možné, že sa erb objaví 2-krát (frekvencia 0,2), pri ďalších desiatich hodoch môžeme získať 8 erbov (frekvencia 0,8). S pribúdajúcim počtom experimentov však frekvencia udalosti čoraz viac stráca svoj náhodný charakter; náhodné okolnosti charakteristické pre každú individuálnu skúsenosť sa navzájom hromadne rušia a frekvencia má tendenciu sa stabilizovať, pričom sa s miernymi výkyvmi blíži k nejakej priemernej konštantnej hodnote. Táto konštanta, ktorá je objektívnou číselnou charakteristikou javu, sa považuje za pravdepodobnosť tejto udalosti.

Štatistická definícia pravdepodobnosti: pravdepodobnosť udalosti sa nazývajú číslo, okolo ktorého sú zoskupené hodnoty frekvencie danej udalosti v rôznych sériách veľkého počtu testov.

Vlastnosť frekvenčnej stability, opakovane overená experimentálne a potvrdená skúsenosťami ľudstva, je jednou z najcharakteristickejších zákonitostí pozorovaných pri náhodných javoch. Medzi frekvenciou udalosti a jej pravdepodobnosťou existuje hlboká súvislosť, ktorú možno vyjadriť nasledovne: keď odhadujeme mieru možnosti udalosti, spájame toto hodnotenie s väčšou alebo menšou frekvenciou výskytu podobných udalostí v praxi. .

geometrická pravdepodobnosť

Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že počet elementárnych výsledkov je konečný. V praxi existujú experimenty, pri ktorých je množina takýchto výsledkov nekonečná. Aby sa prekonal tento nedostatok klasickej definície pravdepodobnosti, ktorá spočíva v tom, že nie je použiteľná na pokusy s nekonečným počtom výsledkov, zavádzame geometrické pravdepodobnosti - pravdepodobnosť pádu bodu do plochy.

Predpokladajme, že na rovine je daná oblasť druhej mocniny G, t.j. oblasť s rozlohou S G. V oblasti G obsahuje oblasť g oblasť Sg. Do oblasti G náhodne sa hodí bodka. Budeme predpokladať, že hodený bod môže spadnúť do nejakej časti oblasti G s pravdepodobnosťou úmernou ploche tejto časti a nezávisle od jej tvaru a umiestnenia. Nechajte udalosť A- „zasiahnutie hodeného bodu v oblasti g“, potom je geometrická pravdepodobnosť tejto udalosti určená vzorcom:

Vo všeobecnom prípade je pojem geometrickej pravdepodobnosti zavedený nasledovne. Označte mieru plochy g(dĺžka, plocha, objem) cez mes g, a miera oblasti G- naprieč mes G ; nech tiež A– udalosť „hodený bod zasiahne oblasť g, ktorý je obsiahnutý v danej oblasti G". Možnosť zásahu oblasti g bod hodený do oblasti G, sa určuje podľa vzorca

.

Úloha. Do kruhu je vpísaný štvorec. Do kruhu sa náhodne hodí bodka. Aká je pravdepodobnosť, že bod padne do štvorca?

Riešenie. Nech je polomer kruhu R, potom je plocha kruhu . Uhlopriečka štvorca je , potom strana štvorca je a plocha štvorca je . Pravdepodobnosť požadovanej udalosti je definovaná ako pomer plochy štvorca k ploche kruhu, t.j. .

Kontrolné otázky

1. Čo sa nazýva test (experiment)?

2. Čo sa nazýva udalosť?

3. Aká udalosť sa nazýva a) spoľahlivá? b) náhodne? c) nemožné?

4. Aké udalosti sa nazývajú a) nezlučiteľné? b) spoločný?

5. Aké udalosti sa nazývajú opačné? Sú a) nezlučiteľné b) spoj je náhodný?

6. Čo sa nazýva úplná skupina náhodných udalostí?

7. Ak sa všetky udalosti v dôsledku testu nemôžu stať spoločne, budú párovo nezlučiteľné?

8. Vytvárajte udalosti A a cela skupina?

9. Aké základné výsledky podporujú túto udalosť?

10. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?

11. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?

12. Za akých podmienok sa uplatňuje klasická pravdepodobnosť?

13. Za akých podmienok sa uplatňuje geometrická pravdepodobnosť?

14. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva geometrická?

15. Aká je frekvencia udalosti?

16. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva štatistická?

Kontrolné úlohy

1. Z písmen slova "zimná záhrada" sa náhodne vyberie jedno písmeno. Nájdite pravdepodobnosť, že toto písmeno je samohláska. Nájdite pravdepodobnosť, že ide o písmeno „o“.

2. Písmená „o“, „p“, „s“, „t“ sú napísané na rovnakých kartičkách. Nájdite pravdepodobnosť, že slovo „lano“ sa objaví na kartách rozložených náhodne v rade.

3. V tíme sú 4 ženy a 3 muži. Medzi členmi brigády sú vyžrebované 4 vstupenky do divadla. Aká je pravdepodobnosť, že medzi držiteľmi lístkov budú 2 ženy a 2 muži?

4. Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na oboch kockách je väčší ako 6.

5. Na piatich rovnakých kartičkách sú napísané písmená l, m, o, o, t. Aká je pravdepodobnosť, že náhodným odoberaním kariet po jednej dostaneme slovo „kladivo“ v poradí ich vypustenia? ?

6. Z 10 tiketov vyhrávajú 2. Aká je pravdepodobnosť, že spomedzi piatich náhodne vybratých tiketov vyhrá jeden?

7. Aká je pravdepodobnosť, že v náhodne vybranom dvojcifernom čísle sú číslice také, že ich súčin je rovný nule.

8. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30. Nájdite pravdepodobnosť, že toto číslo je deliteľom 30.

9. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30. Nájdite pravdepodobnosť, že toto číslo je násobkom 3.

10. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 50. Nájdite pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo.

Náhodnosť výskytu udalostí je spojená s nemožnosťou predpovedať vopred výsledok konkrétneho testu. Ak však vezmeme do úvahy napríklad test: viacnásobné hodenie mincou, ω 1 , ω 2 , … , ω n , potom sa ukáže, že približne v polovici výsledkov ( n / 2) nájde sa určitý vzor, ​​ktorý zodpovedá pojmu pravdepodobnosti.

Pod pravdepodobnosť diania A rozumie sa nejaká číselná charakteristika možnosti výskytu udalosti A. Túto číselnú charakteristiku označujeme R(A). Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť pravdepodobnosť. Hlavné sú štatistické, klasické a geometrické.

Nechajte vyrobiť n testy a zároveň nejaká akcia A prišiel n A krát. číslo n A sa volá absolútna frekvencia(alebo len frekvencia) udalosti A, a vzťah sa nazýva relatívna frekvencia výskytu udalosti A. Relatívna frekvencia akejkoľvek udalosti vyznačujúce sa nasledujúcimi vlastnosťami:

Základom aplikácie metód teórie pravdepodobnosti na štúdium reálnych procesov je objektívna existencia náhodných dejov, ktoré majú vlastnosť frekvenčnej stability. Početné pokusy skúmanej udalosti A ukázať, že pre veľké n relatívna frekvencia ( A) zostáva približne konštantná.

Štatistická definícia pravdepodobnosti spočíva v tom, že pravdepodobnosť udalosti A sa považuje za konštantnú hodnotu p(A), okolo ktorej kolíšu hodnoty relatívnych frekvencií. (A) s neobmedzeným zvyšovaním počtu pokusovn.

Poznámka 1. Všimnite si, že hranice zmeny pravdepodobnosti náhodnej udalosti z nuly na jednu zvolil B. Pascal pre pohodlie jej výpočtu a aplikácie. Pascal v korešpondencii s P. Fermatom poukázal na to, že ako indikovaný interval možno zvoliť ľubovoľný interval, napríklad od nuly do sto a ďalšie intervaly. V úlohách nižšie v tomto návode sa pravdepodobnosti niekedy uvádzajú ako percentá, t.j. od nuly do sto. V tomto prípade treba percentá uvedené v úlohách prepočítať na podiely, t.j. deliť 100.

Príklad 1 Uskutočnil 10 sérií hodov mincou, v každom 1000 hodov. Hodnota ( A) v každej sérii je 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Tieto frekvencie sa zhlukujú okolo R(A) = 0,5.

Tento príklad potvrdzuje, že relatívna frekvencia ( A) sa približne rovná R(A), t.j.

Pravdepodobné lístky.

Teória pravdepodobnosti- odbor matematiky, ktorý študuje zákony náhodných javov: náhodné udalosti, náhodné premenné, ich vlastnosti a operácie s nimi

Teória pravdepodobnostištuduje náhodné javy, náhodné javy sú také, ktoré sa vyskytujú v agregátoch väčšieho počtu rovnakých alebo takmer rovnakých objektov a sú determinované hromadnou povahou javu.

Teória pravdepodobnosti- odráža vzorce vlastné náhodným udalostiam masového charakteru a v podstate táto teória vychádza zo základných pojmov.

Udalosti a ich klasifikácia.

Možnosť určenia udalosti je charakterizovaná pravdepodobnosťou udalosti.

Kde - počet zaujímavých udalostí, - počet pozorovaných udalostí.

Dôveryhodná udalosť ak je pravdepodobnosť jeho výskytu 1.

Nespoľahlivá udalosť sa nazýva, ak je pravdepodobnosť 0.

Nekompatibilné udalosti- udalosti, v ktorých sa 2 z nich nemôžu objaviť v tomto experimente.

Rovnako možné udalosti- udalosti, pri ktorých pri tejto skúsenosti nie je žiadna z nich objektívne možná.

Opačné udalosti– podujatia, ktoré tvoria ucelenú skupinu 2 podujatí.

Nezávislé udalosti- tie, v ktorých je každá z 2 udalostí nezávislá. (Korelácia-nezávislosť)

Spoločné akcie- také udalosti, pri ktorých výskyt 1 z nich nevylučuje vzájomný výskyt v rovnakom zážitku.

Klasické a štatistické definície pravdepodobnosti udalosti

Každý z rovnako možných výsledkov testu (experimentov) sa nazýva elementárny výsledok. Zvyčajne sú označené písmenami. Napríklad sa hádže kockou. Podľa počtu bodov na stranách môže byť šesť základných výsledkov.

Z elementárnych výsledkov môžete poskladať komplexnejšiu udalosť. Udalosť s párnym počtom bodov je teda určená tromi výsledkami: 2, 4, 6.

Kvantitatívnym meradlom možnosti výskytu uvažovanej udalosti je pravdepodobnosť.

Najčastejšie sa používajú dve definície pravdepodobnosti udalosti: klasický a štatistické.

Klasická definícia pravdepodobnosti súvisí s pojmom priaznivý výsledok.

Exodus sa nazýva priaznivý túto udalosť, ak jej výskyt znamená výskyt tejto udalosti.

V uvedenom príklade má uvažovaná udalosť - párny počet bodov na padnutej tvári tri priaznivé výsledky. V tomto prípade generál
počet možných výsledkov. Takže tu môžete použiť klasickú definíciu pravdepodobnosti udalosti.

Klasická definícia. Pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu možných výsledkov

kde je pravdepodobnosť udalosti, je počet priaznivých výsledkov pre udalosť, je celkový počet možných výsledkov.

V uvažovanom príklade

Štatistická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom relatívnej frekvencie výskytu udalosti v experimentoch.

Relatívna frekvencia výskytu udalosti sa vypočíta podľa vzorca

kde je počet výskytov udalosti v sérii experimentov (testov).

Štatistická definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, voči ktorému je relatívna frekvencia stabilizovaná (stanovená) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.

V praktických problémoch sa relatívna frekvencia pre dostatočne veľký počet pokusov berie ako pravdepodobnosť udalosti.

Z týchto definícií pravdepodobnosti udalosti je vidieť, že nerovnosť vždy platí

Na určenie pravdepodobnosti udalosti na základe vzorca (1.1) sa často používajú kombinatorikové vzorce na zistenie počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu možných výsledkov.

Príklad. Je známe, že z 30 prijatých šijacích strojov má 10 vnútornú chybu. Určte pravdepodobnosť, že zo série 5 náhodne odobratých áut budú 3 bez závad.

Riešenie. Na vyriešenie tohto problému zavedieme notáciu. Nech - celkový počet strojov, - počet bezchybných strojov, - počet strojov vybraných pre dávku, - počet bezchybných strojov vo vybranej dávke.

Celkový počet kombinácií áut, t.j. celkový počet možných výsledkov sa bude rovnať počtu kombinácií prvkov o , t.j. . Každá vybraná kombinácia však musí obsahovať tri bezporuchové autá. Počet takýchto kombinácií sa rovná počtu kombinácií prvkov o , t.j. .

S každou takouto kombináciou vo vybranej dávke tvoria aj zostávajúce chybné prvky súbor kombinácií, ktorých počet sa rovná počtu kombinácií prvkov pozdĺž , t.j. .

To znamená, že celkový počet priaznivých výsledkov je určený produktom. kam sa dostaneme

Uvažujme o náhodnom pokuse, v ktorom sa hádže kockou z nehomogénneho materiálu. Jeho ťažisko nie je v geometrickom strede. V tomto prípade nemôžeme považovať výsledky (hodenie jedna, dve atď.) za rovnako pravdepodobné. Z fyziky je známe, že kosť bude padať častejšie na tvár, ktorá je bližšie k ťažisku. Ako určiť pravdepodobnosť získania napríklad troch bodov? Jediné, čo môžete urobiť, je hodiť kockou n-krát (kde n je dostatočne veľké číslo, povedzme n=1000 alebo n=5000), spočítať počet hodov troch n 3 a vypočítať pravdepodobnosť výsledku hodu tromi ako n 3 / n - relatívna frekvencia troch bodov. Podobne môžete určiť pravdepodobnosti ďalších základných výsledkov - jednotiek, dvojíc, štvoriek atď. Teoreticky možno tento postup odôvodniť zavedením štatistickej definície pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť P(w i) je definovaná ako hranica relatívnej frekvencie výskytu výsledku w i v procese neobmedzeného zvyšovania počtu náhodných experimentov n, tj.

kde m n (wi) je počet náhodných experimentov (z celkového počtu n vykonaných náhodných experimentov), ​​v ktorých je zaznamenaný výskyt elementárneho výsledku w i.

Keďže tu nie sú uvedené žiadne dôkazy, môžeme len dúfať, že hranica v poslednom vzorci existuje, čo ospravedlňuje nádej životnou skúsenosťou a intuíciou.

V praxi veľmi často vznikajú problémy, pri ktorých je nemožné alebo mimoriadne ťažké nájsť iný spôsob určenia pravdepodobnosti udalosti okrem štatistickej definície.

Spojitý pravdepodobnostný priestor.

Ako už bolo spomenuté, množina elementárnych výsledkov môže byť viac než spočítateľná (to znamená nespočítateľná). Takže nespočetný súbor výsledkov má experiment spočívajúci v náhodnom hodení bodu na segment. Možno si predstaviť, že experiment spočívajúci v meraní teploty v danom okamihu v danom bode má tiež nespočetné množstvo výsledkov (teplota môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého intervalu, hoci v skutočnosti ju môžeme merať iba pomocou určitú presnosť a praktická realizácia takéhoto experimentu poskytne konečný počet výsledkov). V prípade experimentu s nespočítateľnou množinou W elementárnych výsledkov nemožno žiadnu podmnožinu množiny W považovať za udalosť. Treba poznamenať, že podmnožiny W, ktoré nie sú udalosťami, sú matematickými abstrakciami a nevyskytujú sa v praktických problémoch. Preto je táto časť v našom kurze voliteľná.

Na zavedenie definície náhodnej udalosti uvažujme systém (konečný alebo spočítateľný) podmnožín priestoru elementárnych výsledkov W.

Ak sú splnené dve podmienky:

1) členstvo A v tomto systéme znamená členstvo v tomto systéme;

2) členstvo a členstvo v tomto systéme znamená členstvo A i A j v tomto systéme

takýto systém podmnožín sa nazýva algebra.

Nech W je nejaký priestor elementárnych výsledkov. Uistite sa, že tieto dva podmnožinové systémy sú:

1) W, Æ; 2) W, A, , Æ (tu A je podmnožina W) sú algebry.

Nech A 1 a A 2 patria do nejakej algebry. Dokážte, že A 1 \ A 2 a patria do tejto algebry.

S-algebru nazývame systém I podmnožín množiny W spĺňajúci podmienku 1) a podmienku 2)¢:

2)¢ ak podmnožiny А 1 , А 2 ,0, А n , 0 patria do I, potom ich spočítateľný zväzok (analogicky so sčítaním sa tento spočítateľný zväz stručne zapíše vzorcom ) patrí tiež do I.

Podmnožina A množiny elementárnych výsledkov W je udalosť, ak patrí do nejakej s-algebry.

Dá sa dokázať, že ak si zvolíme ľubovoľný spočítateľný systém udalostí patriacich do nejakej s-algebry a vykonáme s týmito udalosťami akékoľvek operácie akceptované v teórii množín (zjednotenie, prienik, prijatie rozdielu a doplnku), výsledkom bude množina resp. udalosť patriaca do tej istej s- algebry.

Sformulujme axiómu s názvom A.N. Kolmogorov.

Každá udalosť zodpovedá nezápornému číslu P(A) nepresahujúcemu jednu, nazývanému pravdepodobnosť udalosti A, a funkcia P(A) má nasledujúce vlastnosti:

2) ak sú udalosti A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ nezlučiteľné, potom

Ak je daný priestor elementárnych výsledkov W, algebra udalostí a na ňom definovaná funkcia P spĺňajúca podmienky vyššie uvedenej axiómy, potom hovoríme, že je daný pravdepodobnostný priestor.

Táto definícia pravdepodobnostného priestoru môže byť rozšírená na prípad konečného priestoru elementárnych výsledkov W. Potom ako algebru môžeme brať systém všetkých podmnožín množiny W.

geometrická pravdepodobnosť

V jednom špeciálnom prípade uvedieme pravidlo na výpočet pravdepodobnosti udalosti pre náhodný experiment s nespočetným súborom výsledkov.

Ak je možné stanoviť korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou W elementárnych výsledkov náhodného experimentu a množinou bodov nejakého plochého útvaru S (veľká sigma), je možné stanoviť aj vzájomnú korešpondenciu -jedna zhoda medzi množinou elementárnych výsledkov, ktoré uprednostňujú udalosť A a množinou bodov plochého útvaru s (malá sigma), ktorý je súčasťou útvaru S, potom

kde s je plocha obrázku s, S je plocha obrázku S. Tu sa samozrejme rozumie, že obrázky S a s majú plochy. Konkrétne, napríklad, čísla s môžu byť priamym segmentom s plochou rovnou nule.

Všimnite si, že v tejto definícii namiesto plochého útvaru S môžeme uvažovať interval S a namiesto jeho časti s môžeme uvažovať interval s, ktorý celý patrí do intervalu s a predstavuje pravdepodobnosť ako podiel dĺžky zodpovedajúcich intervalov.

Príklad. Dve osoby obedujú v jedálni, ktorá je otvorená od 12 do 13 hodín. Každý z nich príde v náhodný čas a obeduje 10 minút. Aká je pravdepodobnosť ich stretnutia?

Nech x je čas príchodu prvého do jedálne a y je čas príchodu druhého.

Je možné stanoviť korešpondenciu jedna ku jednej medzi všetkými pármi čísel (x; y) (alebo množinou výsledkov) a množinou bodov štvorca so stranou rovnou 1 na rovine súradníc, kde začiatok zodpovedá číslu 12 na osi x a na osi y, ako je znázornené na obrázku 6. Tu napríklad bod A zodpovedá výsledku, ktorý spočíva v tom, že prvý prišiel o 12.30 a druhý - o 13:00 hod. V tomto prípade sa stretnutie zrejme neuskutočnilo.

Ak prvé prišlo najneskôr do druhého (y ³ x), stretnutie sa uskutoční za podmienky 0 £ y - x £ 1/6 (10 minút je 1/6 hodiny).

Ak druhý prišiel najneskôr do prvého (x³y), stretnutie sa uskutoční za podmienky 0 £ x – y £ 1/6..

Medzi súborom výsledkov priaznivých pre stretnutie a súborom bodov v regiónoch, ktoré sú znázornené v tieňovanej forme na obrázku 7, možno vytvoriť vzájomnú zhodu.

Požadovaná pravdepodobnosť p sa rovná pomeru plochy oblasti s k ploche celého štvorca. Plocha štvorca sa rovná jednej a plocha oblasti s môže byť definovaná ako rozdiel medzi jednou a celkovou plochou dvoch trojuholníkov znázornených na obrázku 7. To znamená:

Problémy s riešeniami.

Na šachovnicu so šírkou bunky 5 cm sa hodí minca s polomerom 1,5 cm. Nájdite pravdepodobnosť, že minca nedopadne na žiadnu hranicu bunky.

Úloha II.

Cez rieku je hodený most široký 100 m. V určitom okamihu, keď sú na moste dvaja ľudia, most sa zrúti a obaja spadnú do rieky. Prvý vie plávať a bude zachránený. Druhý nevie plávať a zachráni sa len vtedy, ak spadne najviac 10 metrov od brehu alebo najviac 10 metrov od prvého. Aká je pravdepodobnosť, že sa podarí zachrániť druhú osobu?

Úloha III.

Protitankové míny sú umiestnené na priamke každých 15 m. Kolmo na túto priamku sa pohybuje tank široký 2 m. Aká je pravdepodobnosť, že ho nevyhodí do vzduchu mína?

Úloha VI.

Na intervale (0; 2) sú náhodne vybrané dve čísla. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá mocnina väčšieho čísla je menšia ako menšia

Dva body sú náhodne hodené na segment. Rozdeľujú segment na tri časti. Aká je pravdepodobnosť, že výsledné úsečky vytvoria trojuholník?

Úloha VI.

Tri body sú náhodne hodené na segment, jeden po druhom. Aká je pravdepodobnosť, že tretí bod padne medzi prvé dva?

Úloha I. Poloha mince na šachovnici je úplne určená polohou jej geometrického stredu. Celý súbor výsledkov môže byť znázornený ako štvorec S so stranou 5. Celý súbor priaznivých výsledkov je potom znázornený ako štvorec s ležiaci vo vnútri štvorca S, ako je znázornené na obrázku 1.

Požadovaná pravdepodobnosť sa potom rovná pomeru plochy malého štvorca k ploche veľkého štvorca, teda 4/25

Úloha II. X označujeme vzdialenosť od ľavého brehu rieky k miestu, kde padne prvá osoba, a y vzdialenosť od ľavého brehu k miestu pádu druhej osoby. Je zrejmé, že x aj y patria do intervalu (0;100). Môžeme teda konštatovať, že celú množinu výsledkov je možné zobraziť na štvorci, ktorého ľavý dolný roh leží v počiatku súradníc a pravý horný roh leží v bode so súradnicami (100;100). Dva pruhy: 0 x, to znamená, že druhý padol bližšie k pravému brehu ako prvý, potom, aby sa zachránil, podmienka y<х+10. Если уx–10. Z vyššie uvedeného vyplýva, že všetky výsledky priaznivé pre druhú osobu sú zobrazené v tieňovanej oblasti na obrázku 2. Plochu tejto oblasti je najjednoduchšie vypočítať odčítaním plochy celého štvorca plochy dva nevytieňované trojuholníky, výsledkom čoho je 10000–6400=3600. Požadovaná pravdepodobnosť je 0,36.

Úloha III.

Podľa stavu problému je poloha nádrže v medzere medzi dvoma susednými mínami úplne určená polohou priamky v rovnakej vzdialenosti od strán nádrže. Táto čiara je kolmá na čiaru, pozdĺž ktorej sú míny položené, a nádrž je vyhodená do vzduchu mínou, ak je táto čiara umiestnená bližšie ako 1 meter od okraja medzery. Celý súbor výsledkov je teda mapovaný na rozsah dĺžky 15 a súbor priaznivých výsledkov je mapovaný na rozsah dĺžky 13, ako je znázornené na obrázku 3. Požadovaná pravdepodobnosť je 13/15.

Úloha IV.

Označme jedno z čísel ako x a druhé ako y. Celá množina možných výsledkov je zmapovaná do štvorca OBCD , ktorého dve strany sa zhodujú so súradnicovými osami a majú dĺžku rovnú 2, ako je znázornené na obrázku 4. Predpokladajme, že y je menšie číslo. Potom sa súbor výsledkov zmapuje do trojuholníka OCD s plochou rovnou 2. Zvolené čísla musia spĺňať dve nerovnosti:

pri<х, у>x 2

Súbor čísel, ktoré spĺňajú tieto nerovnosti, je zobrazený v tieňovanej oblasti na obrázku 4. Plocha tejto oblasti je definovaná ako rozdiel medzi plochou trojuholníka OEG, ktorá sa rovná 1/2, a plochou krivočiary trojuholník OFEG. Plocha s tohto krivočiareho trojuholníka je daná ako

a rovná sa 1/3. Odtiaľto dostaneme, že plocha tieňovaného obrázku OEF sa rovná 1/6. Požadovaná pravdepodobnosť je teda 1/12.

Nech je dĺžka segmentu rovná l. Ak vezmeme za x a y vzdialenosti od ľavého konca úsečky k bodom uvedeným v podmienke úlohy, potom množinu všetkých výsledkov môžeme zobraziť na štvorci so stranou l, ktorého jedna strana leží na súradnicovej osi x a druhý na súradnicovej osi y . Ak prijmeme podmienku y>x, potom sa množina výsledkov zobrazí na trojuholníku OBC znázornenom na obrázku 5. Plocha tohto trojuholníka sa rovná l 2 /2. Výsledné segmenty budú mať dĺžky: x, y-x a l-y. Teraz sa pozrime na geometriu. Tri segmenty môžu tvoriť trojuholník práve vtedy, ak je dĺžka každého segmentu menšia ako súčet dĺžok ostatných dvoch segmentov. Táto podmienka v našom prípade vedie k systému troch nerovností

Prvá nerovnosť sa transformuje do tvaru x l/2, a tretia nerovnosť - do tvaru y<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Úloha VI.

Zoberme si dĺžku segmentu ako l. Nech je vzdialenosť od ľavého konca segmentu k prvému bodu x, k druhému bodu - y a k tretiemu bodu - z. Potom sa celá množina výsledkov zmapuje do kocky, ktorej tri hrany ležia na osiach x, y a z pravouhlého súradnicového systému a s hranou dĺžky l. Povedzme y>x. Potom sa množina výsledkov zobrazí v priamom hranole ABCA 1 B 1 C 1 znázornenom na obrázku 6. Podmienka z>x znamená, že všetky výsledky budú zobrazené v oblasti ležiacej nad rovinou AD 1 C 1 B znázornenou na obrázku 7. Táto rovina je teraz všetky platné výsledky budú zobrazené v pyramíde so štvorcom AA 1 B 1 B na základni a s výškou B 1 C 1 . Všetky výsledky spĺňajú podmienku z

Úlohy na samostatné riešenie.

1. Dva parníky sa musia priblížiť k rovnakému mólu. Čas príchodu oboch lodí je nezávislý a rovnako možný počas daného dňa. Určte pravdepodobnosť, že jeden z parníkov bude musieť čakať na uvoľnenie kotviska, ak prvý parník stojí jednu hodinu a druhý dve hodiny. Odpoveď: 139/1152.

2. Na križovatke je inštalovaný automatický semafor, v ktorom svieti zelené svetlo jednu minútu a červené pol minúty, potom opäť jednu minútu - zelené a červené pol minúty atď. V náhodnom čase sa ku križovatke pristaví auto. Aká je pravdepodobnosť, že prejde križovatkou bez zastavenia? Odpoveď: 2/3

3. Na nekonečnú šachovnicu so šírkou bunky 5 cm sa hodí minca s polomerom 1,5 cm. Nájdite pravdepodobnosť, že minca sa nenachádza vo viac ako dvoch bunkách šachovnice. Odpoveď: 25.16.

4. Do kruhu sa náhodne vloží trojuholník. Aká je pravdepodobnosť, že je akútna? Odpoveď: 1/4.

5. Do kruhu sa náhodne vloží trojuholník. Aká je pravdepodobnosť, že je obdĺžnikový? odpoveď: 0.

6. Tyč dĺžky a sa náhodne rozlomí na tri časti. Nájdite pravdepodobnosť, že dĺžka každej časti je väčšia ako a/4. Odpoveď: 1/16.

Klasická a štatistická definícia pravdepodobnosti. geometrická pravdepodobnosť.

Základným konceptom teórie pravdepodobnosti je koncept náhodnej udalosti. Náhodná udalosť je udalosť, ktorá za určitých podmienok môže, ale nemusí nastať. Napríklad zasiahnutie alebo vynechanie predmetu pri streľbe na tento predmet danou zbraňou je náhodná udalosť.

Udalosť sa nazýva istá, ak v dôsledku testu nevyhnutne nastane. Nemožná udalosť je udalosť, ktorá v dôsledku testu nemôže nastať.

O náhodných udalostiach sa hovorí, že sú v danom procese nekonzistentné, ak sa žiadne dve z nich nemôžu objaviť spolu.

Náhodné udalosti tvoria kompletnú skupinu, ak sa pri každom pokuse môže objaviť ktorákoľvek z nich a nemôže sa objaviť žiadna iná udalosť, ktorá by s nimi nebola v súlade.

Zvážte celú skupinu rovnako možných nekompatibilných náhodných udalostí. Takéto udalosti sa budú nazývať výsledky. Výsledok sa nazýva priaznivý pre výskyt udalosti A, ak výskyt tejto udalosti znamená výskyt udalosti A.

Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu m výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu n všetkých rovnako možných nezlučiteľných základných výsledkov, ktoré tvoria úplnú skupinu

Geometrická pravdepodobnosť je jedným zo spôsobov špecifikácie pravdepodobnosti; nech Ω je ohraničená množina euklidovského priestoru s objemom λ(Ω) (resp. dĺžka alebo plocha v jednorozmernej alebo dvojrozmernej situácii), nech ω je náhodne vybraný bod z Ω, nech je pravdepodobnosť, že bod bude prevzaté z podmnožiny byť úmerné jej objemu λ (x), potom je geometrická pravdepodobnosť podmnožiny definovaná ako pomer objemov: Geometrická definícia pravdepodobnosti sa často používa v metódach Monte Carlo, napríklad na aproximáciu hodnôt viacerých určitých integrálov.

Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností

Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností

Súčet dvoch dejov A a B je dej C, ktorý spočíva v tom, že nastane aspoň jeden z dejov A alebo B.

Sčítací teorém

Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

P (A + B) = P (A) + P (B).

V prípade, že udalosti A a B sú spoločné, hodnota ich súčtu je vyjadrená vzorcom

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB),

kde AB je súčin udalostí A a B.

O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú závislé, ak pravdepodobnosť jednej z nich závisí od výskytu alebo neprítomnosti druhej. v prípade závislých udalostí sa zavádza pojem podmienenej pravdepodobnosti udalosti.

Podmienená pravdepodobnosť P(A/B) udalosti A je pravdepodobnosť udalosti A vypočítaná za predpokladu, že udalosť B nastala. Podobne P(B/A) označuje podmienenú pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že udalosť A nastala.

Súčinom dvoch udalostí A a B je udalosť C, ktorá spočíva v spoločnom výskyte udalosti A a udalosti B.

Veta o násobení pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť súčinu dvoch udalostí sa rovná hodnote jednej z nich, vynásobenej podmienenou pravdepodobnosťou druhej udalosti v prítomnosti prvej:

P (AB) \u003d P (A) P (B / A) alebo P (AB) \u003d P (B) P (A / B).

Dôsledok. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch nezávislých udalostí A a B sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

P (AB) \u003d P (A) P (B).

Dôsledok. V prípade n identických nezávislých pokusov, z ktorých každý sa jav A objaví s pravdepodobnosťou p, sa pravdepodobnosť výskytu javu A aspoň raz rovná 1 - (1 - p)n

Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna udalosť. Príklad. Bayesov vzorec.

Pravdepodobnosť, že urobíte aspoň jednu chybu na stránke poznámkového bloku je p=0,1. V zošite je napísaných 7 strán. Aká je pravdepodobnosť P, že je v zápisníku aspoň jedna chyba?

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A, pozostávajúcej z udalostí A1, A2, ..., An, nezávislých v súhrne, sa rovná rozdielu medzi jednotou a súčinom pravdepodobností opačných udalostí Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.

P(A) = 1 - q1q2…qn

Pravdepodobnosť opačného deja q = 1 - p.

Najmä, ak majú všetky udalosti rovnakú pravdepodobnosť rovnajúcu sa p, potom pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z týchto udalostí sa rovná:

P(A) = 1 - qn = 1 - (1 - p)n = 1 - (1 - 0,1)7 = 0,522

Odpoveď: 0,522

Bayesov vzorec.

Predpokladajme, že sa vykonáva nejaký experiment a o podmienkach jeho vykonania možno vysloviť n jedinečných a nezlučiteľných hypotéz s pravdepodobnosťou Nech udalosť A nastane alebo nenastane ako výsledok experimentu a je známe, že ak experiment nastane, keď sa naplní hypotéza, potom pravdepodobnosti hypotéz, ak sa zistilo, že sa stala udalosť A? Inými slovami, zaujímajú nás pravdepodobnosti Na základe vzťahov (4) a (5) máme odkiaľ Ale podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti teda Vzorec (12) sa nazýva Bayesov vzorec*.

6. Bernoulliho vzorec. Príklady.

Bernoulliho vzorec je vzorec v teórii pravdepodobnosti, ktorý vám umožňuje nájsť pravdepodobnosť udalosti A, ktorá nastane v nezávislých pokusoch. Bernoulliho vzorec vám umožňuje zbaviť sa veľkého množstva výpočtov – sčítania a násobenia pravdepodobností – s dostatočne veľkým počtom testov. Pomenovaný podľa vynikajúceho švajčiarskeho matematika Jacoba Bernoulliho, ktorý tento vzorec vyvinul.

Znenie

Veta: Ak je pravdepodobnosť p výskytu javu Α v každom pokuse konštantná, potom pravdepodobnosť, že udalosť A nastane k-krát v n nezávislých pokusoch, sa rovná: kde. .

Dôkaz

Keďže v dôsledku nezávislých testov vykonaných za rovnakých podmienok dôjde k udalosti s pravdepodobnosťou , teda k opačnej udalosti s pravdepodobnosťou Výskyt udalosti v teste označme číslom Keďže podmienky na uskutočnenie experimentov sú rovnaké, tieto pravdepodobnosti sú rovnaké. Nech udalosť nastane raz ako výsledok experimentov, potom ostatné časy táto udalosť nenastane. Udalosť sa môže v testoch objaviť raz v rôznych kombináciách, ktorých počet sa rovná počtu kombinácií prvkov podľa. Tento počet kombinácií sa zistí podľa vzorca: Pravdepodobnosť každej kombinácie sa rovná súčinu pravdepodobností: Aplikovaním adičnej vety pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí dostaneme konečný Bernoulliho vzorec:

Lokálne a integrálne Laplaceove vety. Príklady.

Lokálne a integrálne Laplaceove vety

Miestna Laplaceova veta. Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch, z ktorých v každom je pravdepodobnosť výskytu udalosti rovná p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
Na určenie hodnôt φ(x) môžete použiť špeciálnu tabuľku.

Laplaceova integrálna veta. Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch, z ktorých v každom je pravdepodobnosť výskytu udalosti rovná p (0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")

Tu -Laplaceova funkcia Hodnoty Laplaceovej funkcie sa nachádzajú podľa špeciálnej tabuľky.

Príklad. Nájdite pravdepodobnosť, že udalosť A nastane presne 70-krát v 243 pokusoch, ak pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti v každom pokuse je 0,25.

Riešenie. Podľa podmienok n=243; k = 70; p = 0,25; q = 0,75. Keďže n=243 je pomerne veľké číslo, použijeme lokálnu Laplaceovu vetu: kde x = (k-np)/√npq.

Nájdite hodnotu x Podľa tabuľky n nájdeme f (1,37) \u003d 0,1561. Požadovaná pravdepodobnosť

P(243)(70) = 1/6,75 x 0,1561 = 0,0231.

Číselné charakteristiky diskrétnych veličín. Príklady

Numerické charakteristiky diskrétnych náhodných premenných

Distribučný zákon plne charakterizuje náhodnú premennú. Ak však nie je možné nájsť zákon rozdelenia alebo to nie je potrebné, môžeme sa obmedziť na hľadanie hodnôt, ktoré sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej. Tieto veličiny určujú nejakú priemernú hodnotu, okolo ktorej sú zoskupené hodnoty náhodnej premennej, a stupeň ich rozptylu okolo tejto priemernej hodnoty.

Definícia. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a ich pravdepodobností.

Matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.

Z hľadiska pravdepodobnosti môžeme povedať, že matematické očakávanie sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej.

teoretické momenty. Príklady.

Myšlienkou tejto metódy je stotožniť teoretické a empirické momenty. Preto začneme diskusiou o týchto pojmoch.

Nechaj -- nezávislá vzorka z distribúcie závislá od neznámeho parametra Teoretickým momentom tého rádu je funkcia kde je náhodná premenná s distribučnou funkciou . Zvlášť si všimneme, že teoretický moment je funkciou neznámych parametrov, pokiaľ rozdelenie závisí od týchto parametrov. Budeme predpokladať, že matematické očakávania existujú aspoň pre empirický moment tzv Všimnite si, že podľa definície sú empirické momenty funkciami vzorky. Všimni si je dobre známy priemer vzorky.

Aby sme našli odhady neznámych parametrov pomocou metódy momentov, mali by sme:

explicitne vypočítajte teoretické momenty a zostavte nasledujúci systém rovníc pre neznáme premenné

V tomto systéme sa považujú za pevné parametre.

vyriešiť systém (35) vzhľadom na premenné Keďže pravá strana systému závisí od vzorky, výsledkom budú funkcie Toto sú požadované odhady parametrov metódou momentov.

12. Čebyševova nerovnosť. Zákon veľkých čísel.

Čebyševova nerovnosť, tiež známa ako Bieneme-Čebyševova nerovnosť, je bežná nerovnosť v teórii miery a teórii pravdepodobnosti. Prvýkrát ho získal Biename (Francúz) v roku 1853 a neskôr aj Čebyšev. Nerovnosť používaná v teórii mier je všeobecnejšia, v teórii pravdepodobnosti sa používa jej dôsledok.

Čebyševova nerovnosť v teórii miery

Čebyševova nerovnosť v teórii miery opisuje vzťah medzi Lebesgueovým integrálom a mierou. Analógom tejto nerovnosti v teórii pravdepodobnosti je Markovova nerovnosť. Čebyševova nerovnosť sa používa aj na dôkaz vloženia priestoru do slabého priestoru

Znenie

Nech je priestor s mierou. Nechajte tiež

sčítateľné podľa funkcie

Potom je nerovnosť pravdivá:

Viac všeobecne:

Ak je nezáporná reálna merateľná funkcia, ktorá je neklesajúca na doméne definície, potom v podmienkach priestoru Let Then

Čebyševova nerovnosť v teórii pravdepodobnosti

Čebyševova nerovnosť v teórii pravdepodobnosti uvádza, že náhodná premenná v zásade nadobúda hodnoty blízke jej priemeru. Presnejšie, dáva odhad pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobudne hodnotu, ktorá je ďaleko od jej priemeru. Čebyševova nerovnosť je dôsledkom Markovovej nerovnosti.

Znenie

Nech je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom priestore a jej matematické očakávanie a rozptyl nech sú konečné. Potom kde Ak , Kde je štandardná odchýlka a , Potom dostaneme Najmä náhodná premenná s konečným rozptylom sa odchyľuje od priemeru o viac ako štandardné odchýlky s pravdepodobnosťou menšou ako .Odchyľuje sa od priemeru o štandardné odchýlky s pravdepodobnosťou menšou ako .

Zákon veľkých čísel

Základnými pojmami teórie pravdepodobnosti sú pojmy náhodná udalosť a náhodná premenná. Zároveň nie je možné vopred predpovedať výsledok testu, v ktorom sa môže alebo nemusí objaviť jedna alebo druhá udalosť alebo nejaká špecifická hodnota náhodnej premennej, pretože výsledok testu závisí od mnohých náhodných príčin, ktoré nemožno brať do úvahy.

Pri opakovanom opakovaní testov sa však pozorujú zákonitosti, ktoré sú charakteristické pre hromadné náhodné javy. Tieto vzory majú vlastnosť stability. Podstatou tejto vlastnosti je, že špecifické črty každého jednotlivého náhodného javu nemajú takmer žiadny vplyv na priemerný výsledok veľkého počtu podobných javov a charakteristiky náhodných udalostí a náhodných premenných pozorované v testoch, s neobmedzeným nárastom počet testov, sa stávajú prakticky nenáhodnými.

Nechajte vykonať veľkú sériu experimentov rovnakého typu. Výsledok každej individuálnej skúsenosti je náhodný, neurčitý. Priemerný výsledok celej série experimentov však napriek tomu stráca svoj náhodný charakter a stáva sa pravidelným.

Pre prax je veľmi dôležité poznať podmienky, za ktorých kumulatívne pôsobenie mnohých náhodných príčin vedie k výsledku, ktorý je takmer nezávislý od náhody, keďže umožňuje predvídať priebeh javov. Tieto podmienky sú uvedené vo vetách nesúcich všeobecný názov zákona veľkých čísel.

Zákon veľkých čísel by sa nemal chápať ako jeden všeobecný zákon spojený s veľkými číslami. Zákon veľkých čísel je zovšeobecnený názov pre niekoľko teorémov, z ktorých vyplýva, že pri neobmedzenom zvyšovaní počtu pokusov majú priemerné hodnoty tendenciu k určitým konštantám.

Patria sem Čebyševova a Bernoulliho veta. Čebyševova veta je najvšeobecnejší zákon o veľkých číslach, Bernoulliho veta je najjednoduchšia.

Základom dôkazu teorémov, spojených pojmom „zákon veľkých čísel“, je Čebyševova nerovnosť, ktorá určuje pravdepodobnosť odchýlky od jej matematického očakávania:

Matematická formulácia

Je potrebné určiť maximum lineárnej účelovej funkcie (lineárnej formy) za podmienok Niekedy je uvalená aj určitá množina obmedzení v podobe rovnosti, ktorých sa však môžete zbaviť postupným vyjadrením jednej premennej cez ostatné a jej dosadením do všetkých ostatných rovnosti a nerovností (ako aj do funkcie ). Takýto problém sa v lineárnom programovaní nazýva „základný“ alebo „štandardný“.

Geometrická metóda riešenia úloh lineárneho programovania pre dve premenné. Príklad.

Oblasť riešenia lineárnej nerovnosti s dvoma premennými je polovičná rovina. Aby ste určili, ktorá z dvoch polrovín zodpovedá tejto nerovnosti, musíte ju uviesť do tvaru alebo Potom sa požadovaná polrovina v prvom prípade nachádza nad čiarou a0 + a1x1 + a2x2 = 0 a v druhý - pod ním. Ak a2=0, potom nerovnosť (8) má tvar ; v tomto prípade dostaneme buď - pravú polrovinu, alebo - ľavú polrovinu.

Oblasť riešenia sústavy nerovníc je priesečník konečného počtu polrovín opísaných každou jednotlivou nerovnicou. Tento priesečník je polygonálna oblasť G. Môže byť ohraničená aj neohraničená a dokonca aj prázdna (ak je systém nerovníc nekonzistentný).
Ryža. 2

Oblasť riešenia G má dôležitú vlastnosť konvexnosti. Oblasť sa nazýva konvexná, ak ľubovoľné dva jej body môžu byť spojené segmentom, ktorý úplne patrí do tejto oblasti. Na obr. 2 znázorňuje konvexnú oblasť G1 a nekonvexnú oblasť G2. V oblasti G1 môžu byť dva jej ľubovoľné body A1 a B1 spojené úsečkou, ktorej všetky body patria do oblasti G1. V oblasti G2 je možné zvoliť dva jej body A2 a B2 tak, že nie všetky body segmentu A2B2 patria do oblasti G2.

Referenčná čiara je čiara, ktorá má aspoň jeden spoločný bod s oblasťou, pričom celá oblasť je umiestnená na jednej strane tejto čiary. Na obr. Obrázok 2 zobrazuje dve referenčné čiary 11 a 12, t.j. v tomto prípade čiary prechádzajú cez vrchol mnohouholníka a cez jednu z jeho strán.

Podobne je možné poskytnúť geometrickú interpretáciu systému nerovností s tromi premennými. V tomto prípade každá nerovnosť opisuje polpriestor a celý systém opisuje priesečník polpriestorov, t.j. mnohosten, ktorý má tiež vlastnosť konvexnosti. Tu referenčná rovina prechádza cez vrchol, hranu alebo plochu mnohostennej oblasti.

Na základe predstavených pojmov uvažujeme o geometrickej metóde riešenia problému lineárneho programovania. Nech je daná lineárna účelová funkcia f = c0 + c1x1 + c2x2 dvoch nezávislých premenných, ako aj nejaký spoločný systém lineárnych nerovníc opisujúcich definičný obor riešení G. Medzi realizovateľnými riešeniami je potrebné nájsť také, pre ktoré je lineárna účelová funkcia f nadobúda najmenšiu hodnotu.

Nech sa funkcia f rovná nejakej konštantnej hodnote C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Táto hodnota sa dosiahne v bodoch priamky, ktoré vyhovujú rovnici. Ak je táto priamka preložená rovnobežne v kladnom smere normály vektora n(c1,c2), lineárna funkcia f sa zväčší a pri opačnom prenose sa zníži.

Predpokladajme, že priamka napísaná v tvare (9) , s rovnobežným prekladom v kladnom smere vektora n, sa najskôr v niektorom zo svojich vrcholov stretne s oblasťou realizovateľných riešení G, pričom hodnota účelovej funkcie sa rovná C1 a priamka sa stane referenčnou. Potom bude hodnota C1 minimálna, pretože ďalší pohyb priamky v rovnakom smere zvýši hodnotu f.

K optimalizácii lineárnej účelovej funkcie na polygóne realizovateľných riešení teda dochádza v priesečníkoch tohto mnohouholníka s podpernými čiarami zodpovedajúcimi danej cieľovej funkcii. V tomto prípade môže byť priesečník v jednom bode (vo vrchole mnohouholníka) alebo v nekonečnom počte bodov (na okraji mnohouholníka).

Algoritmus simplexnej metódy na riešenie všeobecného problému lineárneho programovania. Tabuľka.

Algoritmy riešenia

Najznámejšia a v praxi najpoužívanejšia na riešenie všeobecného problému lineárneho programovania (LP) je simplexná metóda. Napriek tomu, že simplexová metóda je pomerne efektívny algoritmus, ktorý vykazuje dobré výsledky pri riešení aplikovaných úloh LP, ide o algoritmus s exponenciálnou zložitosťou. Dôvodom je kombinatorický charakter simplexovej metódy, ktorá postupne vyčísluje vrcholy mnohostenu prípustných riešení pri hľadaní optimálneho riešenia.

Prvý polynomiálny algoritmus, elipsoidnú metódu, navrhol v roku 1979 sovietsky matematik L. Khachiyan, čím vyriešil problém, ktorý zostal dlho nevyriešený. Elipsoidná metóda má úplne iný, nekombinatorický charakter ako simplexová metóda. Z výpočtového hľadiska sa však táto metóda ukázala ako neperspektívna. Avšak samotná skutočnosť polynomiálnej zložitosti problémov viedla k vytvoreniu celej triedy efektívnych LP algoritmov - metód vnútorných bodov, z ktorých prvou bol algoritmus N. Karmarkara navrhnutý v roku 1984. Algoritmy tohto typu využívajú kontinuálnu interpretáciu úlohy LP, keď namiesto enumerácie vrcholov polytopu riešení úlohy LP sa hľadá po trajektóriách v priestore premenných problému, ktoré neprechádzajú cez vrcholy. polytopu. Metóda vnútorných bodov, ktorá na rozdiel od simplexovej metódy obchádza body z vnútra tolerančného rozsahu, využíva metódy logaritmickej bariérovej funkcie nelineárneho programovania vyvinuté v 60. rokoch 20. storočia Fiaccom a McCormickom.

24. Špeciálne prípady v simplexovej metóde: degenerované riešenie, nekonečná množina riešení, žiadne riešenie. Príklady.

Použitie metódy umelej bázy na riešenie všeobecného problému lineárneho programovania. Príklad.

Metóda umelej bázy.

Metóda umelej bázy sa používa na nájdenie prijateľného základného riešenia problému lineárneho programovania, keď v podmienke existujú obmedzenia typu rovnosti. Zvážte problém:

max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).

Takzvané "umelé premenné" Rj sa zavádzajú do obmedzení a do cieľovej funkcie takto:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

Pri zavádzaní umelých premenných v metóde umelej bázy je objektívnej funkcii priradený dostatočne veľký koeficient M, ktorý má význam pokuty za zavedenie umelých premenných. V prípade minimalizácie sa umelé premenné pridávajú k cieľovej funkcii koeficientom M. Zavedenie umelých premenných je prípustné, ak v procese riešenia problému sústavne zanikajú.

Simplexová tabuľka, ktorá sa zostavuje počas procesu riešenia metódou umelej bázy, sa nazýva rozšírená. Od bežného sa líši tým, že obsahuje dva riadky pre cieľovú funkciu: jeden pre komponent F = ∑cixi a druhý pre komponent M ∑Rj Uvažujme o postupe riešenia úlohy na konkrétnom príklade.

Príklad 1. Nájdite maximum funkcie F(x) = -x1 + 2x2 - x3 pod obmedzeniami:

x1≥0, x2≥0, x3≥0.

Aplikujeme metódu umelého základu. Zavedme umelé premenné do obmedzení problému

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2;

Cieľová funkcia F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).

Vyjadrime súčet R1 + R2 zo systému obmedzení: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, potom F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .

Pri zostavovaní prvej simplexnej tabuľky (tabuľka 1) budeme predpokladať, že počiatočné premenné x1, x2, x3 sú nebázické a zavedené umelé premenné sú základné. V úlohách maximalizácie je znamienko koeficientov pre nebázické premenné v F- a M-riadkoch obrátené. Znamienko konštantnej hodnoty v M-čiare sa nemení. Optimalizácia sa vykonáva najskôr pozdĺž línie M. Voľba vodiaceho stĺpca a riadku, všetky simplexné transformácie pri použití metódy umelej bázy sa vykonávajú ako pri bežnej simplexnej metóde. Maximálny záporný koeficient (-4) v absolútnej hodnote určuje vedúci stĺpec a premennú x3, ktorá vstúpi do základu. Minimálny simplexný pomer (2/3) zodpovedá druhému riadku tabuľky, preto treba premennú R2 zo základu vylúčiť. Vedúci prvok je načrtnutý.
Pri metóde umelej bázy sa do nej už nevracajú umelé premenné vylúčené z bázy, takže stĺpce prvkov takýchto premenných sú vynechané. Tab. 2. znížená o 1 stĺpec. Po vykonaní prepočtu tejto tabuľky prejdite na tabuľku. 3., v ktorom je riadok M nastavený na nulu, môže byť odstránený. Po vylúčení všetkých umelých premenných zo základu získame prijateľné základné riešenie pôvodného problému, ktoré je v uvažovanom príklade optimálne:

x1=0; x2 = 7/9; Fmax = 8/9.

Ak pri eliminácii M-radu riešenie nie je optimálne, tak postup optimalizácie pokračuje a vykonáva sa obvyklou simplexovou metódou. Zoberme si príklad, v ktorom existujú obmedzenia všetkých typov: ≤,=,≥

Duálne symetrické problémy lineárneho programovania. Príklad.

Dvojitá definícia problému

Každý problém lineárneho programovania môže byť určitým spôsobom spojený s nejakým iným problémom (lineárneho programovania), ktorý sa nazýva duálny alebo konjugovaný vzhľadom na pôvodný alebo priamy problém. Definujme duálny problém s ohľadom na všeobecný problém lineárneho programovania, ktorý, ako už vieme, spočíva v nájdení maximálnej hodnoty funkcie za podmienok

sa nazýva duálny vzhľadom na problém (32) – (34). Úlohy (32) - (34) a (35) - (37) tvoria pár problémov, ktorý sa v lineárnom programovaní nazýva duálny pár. Pri porovnaní dvoch formulovaných problémov vidíme, že duálny problém sa skladá podľa nasledujúcich pravidiel:

1. Objektívna funkcia pôvodného problému (32) - (34) je nastavená na maximum a objektívna funkcia duálu (35) - (37) je nastavená na minimum.

2. Matica zložené z koeficientov pre neznáme obmedzenia v systéme (33) pôvodného problému (32) – (34) a podobnej matice v duálnom probléme (35) - (37) sa získajú navzájom transpozíciou (t. j. nahradením riadkov stĺpcami a nahradením stĺpcov riadkami).

3. Počet premenných v duálnom probléme (35) - (37) sa rovná počtu obmedzení v systéme (33) pôvodného problému (32) - (34), a počtu obmedzení v systéme (36) duálneho problému sa rovná počtu premenných v pôvodnom probléme.

4. Koeficienty neznámych v účelovej funkcii (35) duálnej úlohy (35) - (37) sú voľné členy v sústave (33) pôvodnej úlohy (32) - (34) a pravé časti vo vzťahoch systému (36) duálnej úlohy sú koeficienty pre neznáme v cieľovej funkcii (32) pôvodnej úlohy.

5. Ak premenná xj pôvodnej úlohy (32) - (34) môže nadobúdať iba kladné hodnoty, potom j-tá podmienka v systéme (36) duálnej úlohy (35) - (37) je nerovnosťou tvaru “ ". Ak premenná xj môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty, potom 1 - pomer v sústave (54) je rovnica. Podobné súvislosti prebiehajú medzi obmedzeniami (33) pôvodného problému (32) – (34) a premennými duálneho problému (35) – (37). Ak i - pomer v systéme (33) pôvodného problému je nerovnosť, potom i-tá premenná duálneho problému . V opačnom prípade môže premenná yj nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.

Duálne dvojice problémov sa zvyčajne delia na symetrické a asymetrické. V symetrickej dvojici duálnych problémov sú obmedzenia (33) primárneho problému a vzťahy (36) duálneho problému nerovnosťami tvaru „ “. Premenné oboch problémov teda môžu nadobúdať iba nezáporné hodnoty.

Vzťah medzi premennými priameho a duálneho problému. Príklad.

30.Ekonomický výklad duálnych úloh. Hodnota nulových odhadov pri riešení ekonomického problému. Príklady.

Pôvodná úloha I mala špecifický ekonomický význam: hlavné premenné xi označovali množstvo produktov i-tého typu, doplnkové premenné označovali množstvo prebytku zodpovedajúceho typu zdroja, každá z nerovností vyjadrovala spotrebu určitého druhu. druh suroviny v porovnaní so zásobou tejto suroviny. Cieľová funkcia určovala zisk pri predaji všetkých produktov. Predpokladajme teraz, že spoločnosť má schopnosť predávať suroviny na stranu. Aká minimálna cena by mala byť stanovená za jednotku každého druhu suroviny za predpokladu, že príjem z predaja všetkých jej zásob nie je nižší ako príjem z predaja výrobkov, ktoré možno z tejto suroviny vyrobiť.

Premenné y1, y2, y3 budú označovať podmienenú odhadovanú cenu za zdroj 1, 2, 3, resp. Potom sa príjem z predaja surovín použitých na výrobu jednej jednotky produkcie I rovná: 5y1 + 1 · y3. Pretože cena výrobkov typu I sa rovná 3 jednotkám, potom 5y1 + y3 3, pretože záujmy podniku vyžadujú, aby príjem z predaja surovín nebol nižší ako z predaja výrobkov. Práve kvôli tejto ekonomickej interpretácii má systém obmedzení duálneho problému podobu: A účelová funkcia G = 400y1 + 300y2 + 100y3 vypočíta podmienené celkové náklady na všetky dostupné suroviny. Je jasné, že na základe teorému duality I, rovnosť F(x*) = G(y*) znamená, že maximálny zisk z predaja všetkých hotových výrobkov sa zhoduje s minimálnou podmienenou cenou zdrojov. Podmienené optimálne ceny yi ukazujú najnižšie náklady na zdroje, pri ktorých je ziskové premeniť tieto zdroje na produkty, vyrábať.

Venujme ešte raz pozornosť tomu, že yi sú len podmienené, predpokladané, a nie skutočné ceny surovín. V opačnom prípade sa môže čitateľovi zdať zvláštne, že napríklad y1* = 0. Tento fakt vôbec neznamená, že skutočná cena prvého zdroja je nulová, na tomto svete nie je nič zadarmo. Rovnosť podmienenej ceny na nulu znamená len to, že tento zdroj nebol úplne vyčerpaný, je prebytok, nie nedostatok. Skutočne, pozrime sa na prvú nerovnosť v systéme obmedzení problému I, v ktorom sa počíta spotreba prvého zdroja: 5x1* + 0,4x2* + 2x3* + 0,5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.

Ak výrobca stojí pred otázkou, „je výhodné vyrábať akýkoľvek výrobok za predpokladu, že náklady na jednotku výroby sú 3, 1, 4 jednotky 1., 2., 3. druhu surovín, resp. z predaja je 23 jednotiek“, potom Z ekonomického výkladu problému nie je ťažké odpovedať na túto otázku, pretože náklady a podmienené ceny zdrojov sú známe. Náklady sú 3, 1, 4 a ceny y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. Môžeme teda vypočítať celkové podmienené náklady na zdroje potrebné na výrobu tohto nového produktu: 3 0 + 1 1 + 4 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.

31. Použitie optimálneho plánu a simplexnej tabuľky na určenie intervalov citlivosti počiatočných údajov.

32. Použitie optimálnej konštrukcie a simplexnej tabuľky na analýzu citlivosti objektívnej funkcie. Príklad.

Dopravný problém a jeho vlastnosti. Príklad.