Téma 2. SYSTÉMY LINEÁRNYCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC.

Základné pojmy.

Definícia 1. systém m lineárne rovnice s n neznámy je systém tvaru:

kde a - čísla.

Definícia 2. Riešenie sústavy (I) je taká množina neznámych, v ktorej sa každá rovnica tejto sústavy mení na identitu.

Definícia 3. Systém (I) sa nazýva kĺb ak má aspoň jedno riešenie a nezlučiteľné ak nemá riešenia. Kĺbový systém je tzv istý ak má jedinečné riešenie a neistý inak.

Definícia 4. Typ rovnice

volal nula a rovnica tvaru

volal nezlučiteľné. Je zrejmé, že systém rovníc obsahujúci nekonzistentnú rovnicu je nekonzistentný.

Definícia 5. Dva systémy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalent ak každé riešenie jednej sústavy je riešením inej sústavy a naopak každé riešenie druhej sústavy je riešením prvej.

Maticový zápis sústavy lineárnych rovníc.

Zvážte systém (I) (pozri § 1).

Označiť:

Koeficientová matica pre neznáme

,

Matrix - stĺpec voľných členov

Matica - stĺpec neznámych

.

Definícia 1. Matica sa nazýva hlavná matica systému(I) a matica je rozšírená matica systému (I).

Podľa definície maticovej rovnosti systém (I) zodpovedá maticovej rovnosti:

.

Pravá strana tejto rovnosti podľa definície súčinu matíc ( pozri definíciu 3 § 5 kapitola 1) možno faktorizovať:

, t.j.

Rovnosť (2) volal maticový zápis sústavy (I).

Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n, t.j. počet rovníc sa rovná počtu neznámych a hlavná matica systému je nedegenerovaná, t.j. . Potom systém (I) z §1 má unikátne riešenie

kde ∆ = det A volal hlavný systémový determinant(ja), ∆ i sa získa z determinantu Δ nahradením i-tý stĺpec do stĺpca voľných členov sústavy (I).

Príklad Vyriešte systém Cramerovou metódou:

.

Podľa vzorcov (3) .

Vypočítame determinanty systému:

,

,

,

.

Aby sme získali determinant, nahradili sme prvý stĺpec v determinante stĺpcom voľných členov; nahradením 2. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov získame ; podobne nahradením 3. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov získame . Systémové riešenie:

Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n a hlavná matica systému je nedegenerovaná. Systém (I) píšeme v maticovom tvare ( pozri §2):

pretože matice A je nedegenerovaný, potom má inverznú maticu ( pozri vetu 1 § 6 kapitoly 1). Vynásobte obe strany rovnice (2) do matrice teda

. (3)

Podľa definície inverznej matice . Z rovnosti (3) máme

Vyriešte systém pomocou inverznej matice

.

Označiť

; ; .

V príklade (§ 3) sme vypočítali determinant , teda maticu A má inverznú maticu. Potom v platnosti (4) , t.j.

. (5)

Nájdite maticu ( pozri § 6 kapitola 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Gaussova metóda.

Nech je daný systém lineárnych rovníc:

. (ja)

Je potrebné nájsť všetky riešenia systému (I) alebo sa uistiť, že systém je nekonzistentný.

Definícia 1.Nazvime elementárnu transformáciu systému(I) ktorýkoľvek z troch úkonov:

1) vypustenie nulovej rovnice;

2) pridanie zodpovedajúcich častí druhej rovnice k obom častiam rovnice, vynásobené číslom l;

3) prehodenie pojmov v rovniciach sústavy tak, aby neznáme s rovnakými číslami vo všetkých rovniciach zaberali rovnaké miesta, t.j. ak sme napríklad v 1. rovnici zmenili 2. a 3. člen, tak to isté treba urobiť vo všetkých rovniciach sústavy.

Gaussova metóda spočíva v tom, že systém (I) sa pomocou elementárnych transformácií redukuje na ekvivalentný systém, ktorého riešenie sa priamo nájde alebo sa zistí jeho neriešiteľnosť.

Ako je opísané v § 2, systém (I) je jednoznačne určený svojou rozšírenou maticou a každá elementárna transformácia systému (I) zodpovedá elementárnej transformácii rozšírenej matice:

.

Transformácia 1) zodpovedá vymazaniu nulového riadku v matici , transformácia 2) je ekvivalentná pripočítaniu ďalšieho riadku k príslušnému riadku matice vynásobenému číslom l, transformácia 3) je ekvivalentná preskupeniu stĺpcov v matici .

Je ľahké vidieť, že naopak, každá elementárna transformácia matice zodpovedá elementárnej transformácii systému (I). Vzhľadom na to, čo bolo povedané, namiesto operácií so systémom (I) budeme pracovať s rozšírenou maticou tohto systému.

V matici tvoria 1. stĺpec koeficienty at x 1, 2. stĺpec - z koeficientov at x 2 atď. V prípade preskupenia stĺpov treba brať do úvahy, že táto podmienka je porušená. Napríklad, ak zameníme 1. a 2. stĺpec, tak teraz v 1. stĺpci budú koeficienty na x 2, a v 2. stĺpci - koeficienty pri x 1.

Systém (I) budeme riešiť Gaussovou metódou.

1. Prečiarknite všetky nulové riadky v matici, ak nejaké sú (t. j. prečiarknite všetky nulové rovnice v sústave (I).

2. Skontrolujte, či medzi riadkami matice existuje riadok, v ktorom sú všetky prvky okrem posledného rovné nule (nazvime takýto riadok nekonzistentný). Je zrejmé, že takáto čiara zodpovedá nekonzistentnej rovnici v systéme (I), preto systém (I) nemá žiadne riešenia a tu sa proces končí.

3. Nech matica neobsahuje nekonzistentné riadky (systém (I) neobsahuje nekonzistentné rovnice). Ak a 11 = 0, potom nájdeme v 1. riadku nejaký prvok (okrem posledného), ktorý je odlišný od nuly a preusporiadame stĺpce tak, aby v 1. riadku na 1. mieste nebola nula. Teraz predpokladáme, že (t. j. zameníme zodpovedajúce členy v rovniciach systému (I)).

4. 1. riadok vynásobte a výsledok pridajte do 2. riadku, potom vynásobte 1. riadok a výsledok pridajte do 3. riadku atď. Je zrejmé, že tento proces je ekvivalentný odstraňovaniu neznámeho x 1 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. V novej matici dostaneme nuly v 1. stĺpci pod prvkom 11:

.

5. Prečiarknite všetky nulové riadky v matici, ak nejaké sú, skontrolujte, či tam nie je nesúladný riadok (ak áno, potom je systém nekonzistentný a tam sa riešenie končí). Skontrolujeme, či a 22/=0, ak áno, potom nájdeme prvok v 2. riadku, ktorý je iný ako nula a preusporiadame stĺpce tak, aby . Ďalej vynásobíme prvky 2. riadku o a pridajte so zodpovedajúcimi prvkami 3. riadku, potom - prvky 2. riadku ďalej a sčítajte so zodpovedajúcimi prvkami 4. riadku atď., kým nedostaneme nuly pod 22/

.

Vykonané akcie sú ekvivalentné eliminácii neznámeho x 2 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. a 2. Keďže počet riadkov je konečný, teda po konečnom počte krokov dostaneme, že buď je systém nekonzistentný, alebo prídeme na krokovú maticu ( pozri definíciu 2 § 7 kapitola 1) :

,

Zapíšme si sústavu rovníc zodpovedajúcu matici. Tento systém je ekvivalentný systému (I)

.

Z poslednej rovnice vyjadríme ; dosadíme do predchádzajúcej rovnice, nájdeme atď., až kým nedostaneme .

Poznámka 1. Pri riešení sústavy (I) Gaussovou metódou sa teda dostávame k jednému z nasledujúcich prípadov.

1. Systém (I) je nekonzistentný.

2. Systém (I) má jedinečné riešenie, ak sa počet riadkov v matici rovná počtu neznámych ().

3. Systém (I) má nekonečný počet riešení, ak je počet riadkov v matici menší ako počet neznámych ().

Preto platí nasledujúca veta.

Veta. Systém lineárnych rovníc je buď nekonzistentný, alebo má jedinečné riešenie, alebo existuje nekonečná množina riešení.

Príklady. Vyriešte sústavu rovníc Gaussovou metódou alebo dokážte jej nekonzistentnosť:

a) ;

b) ;

v) .

a) Prepíšme daný systém do tvaru:

.

Pre zjednodušenie výpočtov sme zamenili 1. a 2. rovnicu pôvodného systému (namiesto zlomkov budeme pri takejto permutácii pracovať len s celými číslami).

Zostavíme rozšírenú maticu:

.

Neexistujú žiadne nulové riadky; žiadne nekompatibilné linky, ; zo všetkých rovníc sústavy okrem 1. vylúčime 1. neznámu. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky 1. riadku matice "-2" a pridáme ich k zodpovedajúcim prvkom 2. riadku, čo je ekvivalentné vynásobeniu 1. rovnice "-2" a jej pripočítaniu do 2. rovnica. Potom prvky 1. riadku vynásobíme "-3" a pripočítame k zodpovedajúcim prvkom tretieho radu, t.j. vynásobte 2. rovnicu danej sústavy "-3" a pridajte ju k 3. rovnici. Získajte

.

Matica zodpovedá sústave rovníc

Pridelenie služby. Pomocou tejto online kalkulačky sa neznáme (x 1 , x 2 , ..., x n ) vypočítajú v sústave rovníc. Rozhoduje sa metóda inverznej matice. kde:

• vypočíta sa determinant matice A;
• pomocou algebraických sčítaní sa nájde inverzná matica A -1;
• v Exceli sa vytvorí šablóna riešenia;

Riešenie sa vykonáva priamo na stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word.

Poučenie. Pre získanie riešenia metódou inverznej matice je potrebné špecifikovať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A a výsledný vektor B .

Pripomeňme, že riešením sústavy lineárnych rovníc je ľubovoľná množina čísel (x 1 , x 2 , ..., x n ), ktorých substitúcia do tejto sústavy namiesto zodpovedajúcich neznámych zmení každú rovnicu sústavy na identitu.
Systém lineárnych algebraických rovníc sa zvyčajne píše ako (pre 3 premenné): Pozri tiež Riešenie maticových rovníc.

Algoritmus riešenia

1. Vypočíta sa determinant matice A. Ak je determinant nula, potom koniec riešenia. Systém má nekonečné množstvo riešení.
2. Keď je determinant odlišný od nuly, inverzná matica A -1 sa nájde pomocou algebraických sčítaní.
3. Rozhodovací vektor X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) získame vynásobením inverznej matice výsledným vektorom B .

Príklad č. 1. Nájdite riešenie sústavy maticovou metódou. Maticu zapisujeme v tvare:

Algebraické sčítania.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3,2 = (-1) 3+2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Vyšetrenie:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Príklad č. 2. Vyriešte SLAE pomocou metódy inverznej matice.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Maticu zapisujeme v tvare:

Vektor B:
B T = (1,2,3,4)
Hlavný determinant
Vedľajšie miesto pre (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Vedľajšie miesto pre (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Vedľajšie miesto pre (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Vedľajšie miesto pre (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Vedľajší determinant
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Príklad č. 4. Napíšte sústavu rovníc v maticovom tvare a vyriešte pomocou inverznej matice.
Riešenie: xls

Príklad číslo 5. Je daný systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi. Vyžaduje sa: 1) nájsť riešenie pomocou Cramerových vzorcov; 2) napíšte systém v maticovom tvare a vyriešte ho pomocou maticového počtu.
Smernice. Po vyriešení Cramerovou metódou nájdite tlačidlo „Riešenie inverznej matice pre počiatočné dáta“. Dostanete príslušné rozhodnutie. Údaje sa tak nebudú musieť znova vypĺňať.
Riešenie. Označme A - maticu koeficientov pre neznáme; X - stĺpcová matica neznámych; B - maticový stĺpec voľných členov:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Vektor B:
B T = (4,-3,-3)
Vzhľadom na tieto zápisy má tento systém rovníc nasledujúci maticový tvar: A*X = B.
Ak je matica A nesingulárna (jej determinant je nenulový, potom má inverznú maticu A -1. Vynásobením oboch strán rovnice A -1 dostaneme: A -1 * A * X \u003d A -1*B,A-1*A=E.
Táto rovnosť sa nazýva maticový zápis riešenia sústavy lineárnych rovníc. Na nájdenie riešenia sústavy rovníc je potrebné vypočítať inverznú maticu A -1 .
Systém bude mať riešenie, ak determinant matice A bude nenulový.
Poďme nájsť hlavný determinant.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Takže determinant je 14 ≠ 0, takže pokračujeme v riešení. Aby sme to dosiahli, nájdeme inverznú maticu pomocou algebraických sčítaní.
Nech máme nesingulárnu maticu A:
Počítame algebraické sčítania.

A1,1 = (-1) 1+1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A1,2 = (-1) 1+2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A1,3 = (-1) 1+3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2,1 = (-1) 2+1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3,1 = (-1) 3+1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

X = 1/14

-3))

Hlavný determinant
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Transponovaná matica
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A1,2 = (-1) 1+2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A1,3 = (-1) 1+3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2,1 = (-1) 2+1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 = (-1) 2+2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 = (-1) 2+3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3,1 = (-1) 3+1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3,2 = (-1) 3+2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 = (-1) 3+3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E=A*A-1=

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

A*A-1=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Príklad číslo 7. Riešenie maticových rovníc.
Označiť:

A=

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

Algebraické sčítania

A 1,1 = (-1) 1+1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A1,2 = (-1) 1+2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1,3 = (-1) 1+3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A2,2 = (-1) 2+2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vektor B:
BT = (31,13,10)

X T = (4,05; 6,13; 7,54)
x 1 \u003d 158/39 \u003d 4,05
x 2 \u003d 239 / 39 \u003d 6,13
x 3 \u003d 294 / 39 \u003d 7,54
Vyšetrenie.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Príklad číslo 9. Označme A - maticu koeficientov pre neznáme; X - stĺpcová matica neznámych; B - maticový stĺpec voľných členov:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Vektor B:
BT = (31,13,10)

X T = (5,21; 4,51; 6,15)
x 1 \u003d 276 / 53 \u003d 5,21
x 2 \u003d 239 / 53 \u003d 4,51
x 3 \u003d 326 / 53 \u003d 6,15
Vyšetrenie.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Príklad #10. Riešenie maticových rovníc.
Označiť:

Algebraické sčítania
A 11 \u003d (-1) 1 + 1 -3 \u003d -3; A 12 \u003d (-1) 1 + 2 3 \u003d -3; A 21 \u003d (-1) 2 + 1 1 \u003d -1; A 22 \u003d (-1) 2 + 2 2 \u003d 2;
Inverzná matica A-1.
1/-9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

odpoveď:

X=

1 -2 1 1

Maticová metóda riešenia SLAU používa sa na riešenie sústav rovníc, v ktorých počet rovníc zodpovedá počtu neznámych. Metóda sa najlepšie používa na riešenie systémov nízkeho rádu. Maticová metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc je založená na aplikácii vlastností násobenia matíc.

Inými slovami takto metóda inverznej matice, nazýva sa tak, pretože riešenie je redukované na obvyklú maticovú rovnicu, na riešenie ktorej musíte nájsť inverznú maticu.

Maticová metóda riešenia SLAE s determinantom väčším alebo menším ako nula je takýto:

Predpokladajme, že existuje SLE (systém lineárnych rovníc) s n neznáme (v ľubovoľnom poli):

Je teda ľahké to preložiť do maticovej formy:

AX=B, kde A je hlavnou maticou systému, B a X- stĺpce voľných členov a riešení systému, resp.

Vynásobte túto maticovú rovnicu vľavo číslom A -1- inverzná matica k matici A: A −1 (AX)=A −1 B.

Pretože A −1 A=E, znamená, X = A -1 B. Pravá strana rovnice uvádza stĺpec riešení počiatočného systému. Podmienkou použiteľnosti maticovej metódy je nedegenerácia matice A. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na to je, že determinant matice A:

detA≠0.

Pre homogénna sústava lineárnych rovníc, t.j. ak je vektor B = 0, platí opačné pravidlo: systém AX = 0 je netriviálne (t.j. nerovná sa nule) riešenie len vtedy, keď detA=0. Táto súvislosť medzi riešeniami homogénnych a nehomogénnych sústav lineárnych rovníc sa nazýva alternatíva k Fredholmu.

Riešenie SLAE matricovou metódou sa teda robí podľa vzorca . Alebo sa riešenie SLAE nájde pomocou inverzná matica A -1.

Je známe, že štvorcová matica A objednať n na n existuje inverzná matica A -1 iba ak je jeho determinant nenulový. Teda systém n lineárne algebraické rovnice s n neznáme sa maticovou metódou riešia len vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Napriek tomu, že existujú obmedzenia týkajúce sa možnosti použitia takejto metódy a existujú problémy s výpočtom pre veľké hodnoty koeficientov a systémy vysokého rádu, metóda sa dá ľahko implementovať na počítači.

Príklad riešenia nehomogénneho SLAE.

Najprv skontrolujme, či sa determinant matice koeficientov pre neznáme SLAE nerovná nule.

Teraz nájdeme aliančná matica, transponovať a dosadiť do vzorca na určenie inverznej matice.

Premenné dosadíme do vzorca:

Teraz nájdeme neznáme vynásobením inverznej matice a stĺpca voľných členov.

takze x = 2; y = 1; z=4.

Pri prechode z bežnej formy SLAE na maticovú formu buďte opatrní s poradím neznámych premenných v systémových rovniciach. napríklad:

NEPÍŠTE ako:

Najprv je potrebné zoradiť neznáme premenné v každej rovnici systému a až potom prejsť na maticový zápis:

Okrem toho musíte byť opatrní s označením neznámych premenných, namiesto toho x 1, x 2, …, x n môžu tam byť aj iné písmená. Napríklad:

v maticovom tvare píšeme:

Maticovou metódou je lepšie riešiť sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice sústavy sa nerovná nule. Ak sú v systéme viac ako 3 rovnice, nájdenie inverznej matice bude vyžadovať viac výpočtového úsilia, preto je v tomto prípade vhodné použiť na riešenie Gaussovu metódu.

V prvej časti sme uvažovali o niektorých teoretických materiáloch, o substitučnej metóde, ako aj o metóde sčítania systémových rovníc po členoch. Všetkým, ktorí sa na stránku dostali cez túto stránku, odporúčam prečítať si prvú časť. Možno sa niektorým návštevníkom bude zdať látka príliš jednoduchá, ale v rámci riešenia sústav lineárnych rovníc som vyslovil niekoľko veľmi dôležitých poznámok a záverov týkajúcich sa riešenia matematických úloh vo všeobecnosti.

A teraz si rozoberieme Cramerovo pravidlo, ako aj riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice (maticová metóda). Všetky materiály sú prezentované jednoducho, podrobne a jasne, takmer všetci čitatelia sa budú môcť naučiť riešiť systémy pomocou vyššie uvedených metód.

Najprv podrobne zvážime Cramerovo pravidlo pre systém dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Za čo? „Najjednoduchší systém sa dá predsa vyriešiť školskou metódou, sčítaním po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy, ale existuje taká úloha - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť presne podľa Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant , tzv hlavným determinantom systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
a

V praxi môžu byť vyššie uvedené kvalifikátory označené aj latinkou.

Korene rovnice nájdeme podľa vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné zlomky s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade určite dostanete strašné efektné zlomky, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen po člene, ale tu sa objavia rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, keďže úloha sa rieši podľa hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití tejto metódy povinné Fragment zadania je nasledujúci fragment: "takže systém má jedinečné riešenie". V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebude zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty na ľavej strane každej rovnice systému. V dôsledku toho by sa s malou chybou mali získať čísla, ktoré sú na pravej strane.

Príklad 8

Vyjadrite svoju odpoveď v obyčajných nesprávnych zlomkoch. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad samostatného riešenia (príklad jemného dizajnu a odpovede na konci hodiny).

Prejdeme k úvahe o Cramerovom pravidle pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, treba použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta podľa vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“, stĺpec voľných výrazov postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Vyriešme sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, takže systém má unikátne riešenie.

Odpoveď: .

Vlastne tu nie je opäť nič zvláštne komentovať, vzhľadom na to, že sa rozhoduje podľa hotových vzorcov. Existuje však niekoľko poznámok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci "liečebný" algoritmus. Ak nie je po ruke počítač, urobíme toto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ výstrel, musíte okamžite skontrolovať, či je podmienka prepísaná správne. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistili žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienke zadania. V tomto prípade pokojne a OPATRNE vyriešte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí ho vyhotoví na čistopis. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý, no, naozaj rád dáva mínus za každú zlú vec. Ako zaobchádzať so zlomkami je podrobne uvedené v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na jeho kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), hneď uvidíte medzikrok, v ktorom ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa vložia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami v riadku (stĺpci), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad na samoriešenie (dokončenie ukážky a odpoveď na konci hodiny).

Pre prípad sústavy 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zníženie poradia determinantu - päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Na preštudovanie tejto časti musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú maticu a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú uvedené v priebehu vysvetľovania.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Systém zapíšeme v maticovom tvare:
, kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Akým princípom zapisujeme prvky do matíc, myslím si, že každý chápe. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na príslušné miesta v matici dosadiť nuly.

Inverznú maticu nájdeme podľa vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice .

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený o prvý riadok.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený elimináciou neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíte vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci, zatiaľ čo napríklad prvok je v 3. riadku, 2. stĺpci