(niekedy sa táto metóda nazýva aj maticová metóda alebo metóda inverznej matice) si vyžaduje predchádzajúce oboznámenie sa s takou koncepciou, akou je maticová forma zápisu SLAE. Metóda inverznej matice je určená na riešenie tých sústav lineárnych algebraických rovníc, pre ktoré je determinant matice sústavy nenulový. Prirodzene z toho vyplýva, že matica systému je štvorcová (koncept determinantu existuje len pre štvorcové matice). Podstatu metódy inverznej matice možno vyjadriť v troch bodoch:

1. Napíšte tri matice: systémovú maticu $A$, maticu neznámych $X$, maticu voľných členov $B$.
2. Nájdite inverznú maticu $A^(-1)$.
3. Pomocou rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$ získajte riešenie daného SLAE.

Akýkoľvek SLAE môže byť napísaný v maticovej forme ako $A\cdot X=B$, kde $A$ je matica systému, $B$ je matica voľných výrazov, $X$ je matica neznámych. Nech existuje matica $A^(-1)$. Vynásobte obe strany rovnosti $A\cdot X=B$ maticou $A^(-1)$ vľavo:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Keďže $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matica identity), vyššie napísaná rovnosť bude:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Keďže $E\cdot X=X$, potom:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Príklad č. 1

Vyriešte SLAE $ \left \( \začiatok(zarovnané) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(zarovnané) \right.$ pomocou inverznej matice.

$$ A=\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \koniec(pole)\vpravo);\; B=\left(\začiatok(pole) (c) 29\\ -11 \koniec(pole)\vpravo);\; X=\vľavo(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \koniec(pole)\vpravo). $$

Nájdime inverznú maticu k matici sústavy, t.j. vypočítajte $A^(-1)$. V príklade č.2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\začiatok(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\koniec (pole)\vpravo) . $$

Teraz dosaďte všetky tri matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnice $X=A^(-1)\cdot B$. Potom vykonáme násobenie matice

$$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\koniec (pole)\vpravo)\cdot \left(\začiatok (pole) (c) 29\\ -11 \koniec (pole)\vpravo)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \koniec(pole)\vpravo)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 309\\ -206 \end(pole)\vpravo)=\vľavo( \začiatok(pole) (c) -3\\ 2\koniec (pole)\vpravo). $$

Takže máme $\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)=\left(\begin(pole) (c) -3\\ 2\end(pole )\ vpravo) $. Z tejto rovnosti máme: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Odpoveď: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Príklad č. 2

Vyriešte SLAE $ \left\(\začiatok(zarovnané) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(zarovnané)\vpravo .$ metódou inverznej matice.

Zapíšme si maticu sústavy $A$, maticu voľných členov $B$ a maticu neznámych $X$.

$$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\koniec (pole)\vpravo);\; B=\left(\začiatok(pole) (c) -1\\0\\6\koniec (pole)\vpravo);\; X=\vľavo(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \koniec(pole)\vpravo). $$

Teraz je čas nájsť inverznú maticu matice systému, t.j. nájsť $A^(-1)$. V príklade č. 3 na stránke venovanej hľadaniu inverzných matíc už bola inverzná matica nájdená. Využime hotový výsledok a napíšme $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 a 37\koniec (pole)\vpravo). $$

Teraz dosadíme všetky tri matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$, potom vykonáme násobenie matice vpravo strane tejto rovnosti.

$$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) -1\\0\ \6\end(pole)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(pole)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 0\\-104\\234\end(pole)\right)=\left( \začiatok(pole) (c) 0\\-4\\9\koniec (pole)\vpravo) $$

Takže máme $\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)=\left(\begin(pole) (c) 0\\-4\ \9 \koniec(pole)\vpravo)$. Z tejto rovnosti máme: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Maticová metóda riešenia sústav lineárnych rovníc

Zvážte systém lineárnych rovníc nasledujúceho tvaru:

$\left\(\begin(pole)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(pole)\vpravo. .$

Čísla $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ sú koeficienty systému, čísla $b_(i) (i=1..n)$ sú voľné členy .

Definícia 1

V prípade, že všetky voľné členy sú rovné nule, systém sa nazýva homogénny, inak - nehomogénny.

Každý SLAE môže byť spojený s niekoľkými maticami a systém môže byť zapísaný v takzvanej maticovej forme.

Definícia 2

Koeficientová matica systému sa nazýva systémová matica a zvyčajne sa označuje písmenom $A$.

Stĺpec voľných členov tvorí stĺpcový vektor, ktorý sa zvyčajne označuje písmenom $B$ a nazýva sa matica voľných členov.

Neznáme premenné tvoria stĺpcový vektor, ktorý sa spravidla označuje písmenom $X$ a nazýva sa matica neznámych.

Vyššie opísané matice sú:

$A=\left(\begin(pole)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \koniec(pole)\vpravo),B=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \koniec(pole)\vpravo),X=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(pole)\vpravo).$

Pomocou matíc možno SLAE prepísať ako $A\cdot X=B$. Takýto zápis sa často nazýva maticová rovnica.

Všeobecne povedané, každý SLAE môže byť napísaný v maticovej forme.

Príklady riešenia sústavy pomocou inverznej matice

Príklad 1

Dana SLAE: $\left\(\begin(pole)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(pole)\right.$.Write systém v maticovej forme.

Riešenie:

$A=\left(\begin(pole)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \koniec(pole)\vpravo),B=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \koniec(pole)\vpravo),X=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ koniec(pole)\vpravo).$

$\left(\begin(pole)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(pole)\right)\cdot \left(\begin(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \koniec(pole)\vpravo)=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \koniec(pole)\ vpravo) $

V prípade, že matica systému je štvorcová, SLAE môže riešiť rovnice maticovým spôsobom.

Vzhľadom na maticovú rovnicu $A\cdot X=B$ môžeme z nej vyjadriť $X$ nasledujúcim spôsobom:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (maticová vlastnosť produktu)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (maticová vlastnosť produktu)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritmus na riešenie systému algebraických rovníc pomocou inverznej matice:

• napísať systém v maticovom tvare;
• vypočítať determinant matice systému;
• ak je determinant systémovej matice nenulový, nájdeme inverznú maticu;
• riešenie sústavy sa vypočíta podľa vzorca $X=A^(-1) \cdot B$.

Ak má matica systému determinant, ktorý sa nerovná nule, potom má tento systém jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť maticovým spôsobom.

Ak má matica systému determinant rovný nule, potom tento systém nemožno vyriešiť maticovou metódou.

Príklad 2

Dana SLAE: $\left\(\begin(pole)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(pole)\right.$ Ak je to možné, vyriešte SLAE pomocou metódy inverznej matice.

Riešenie:

$A=\left(\begin(pole)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \koniec(pole)\vpravo),B=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \koniec(pole)\vpravo),X=\vľavo (\začiatok(pole)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(pole)\vpravo). $

Nájdenie determinantu matice systému:

$\begin(pole)(l) (\det A=\left|\begin(pole)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(pole)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(pole)$ Keďže determinant sa nerovná nule, matica systému má inverznú maticu, a preto je možné sústavu rovníc riešiť metódou inverznej matice. Výsledné riešenie bude jedinečné.

Systém rovníc riešime pomocou inverznej matice:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(pole) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(pole) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(pole )\vpravo|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(pole)\ vpravo|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(pole) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(pole)\ vpravo|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(pole) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(pole) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(pole)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(pole )\vpravo|=2-0=2$

Požadovaná inverzná matica:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(pole)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(pole)\vpravo)=\frac(1)(26) \cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(pole)\vpravo )=\left(\begin(pole)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \koniec(pole)\vpravo)=\vľavo(\začiatok(pole)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(pole)\vpravo).$

Nájdite riešenie pre systém:

$X=\left(\begin(pole)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(pole)\vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(pole)\right)=\left(\begin(pole)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) ​​\\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​​​\end(pole)\vpravo )=\left(\ begin(pole)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(pole)\right)=\left (\začiatok(pole) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \koniec(pole)\vpravo)$

$X=\vľavo(\začiatok(pole)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \koniec(pole)\vpravo)$ - požadované riešenie sústavy rovníc.

Metóda inverznej matice nie je ťažké, ak poznáte všeobecné princípy práce s maticovými rovnicami a samozrejme viete vykonávať elementárne algebraické operácie.

Riešenie sústavy rovníc metódou inverznej matice. Príklad.

Najpohodlnejšie je pochopiť metódu inverznej matice na dobrom príklade. Zoberme si sústavu rovníc:

Prvým krokom, ktorý treba urobiť pri riešení tohto systému rovníc, je nájsť determinant. Preto transformujeme náš systém rovníc do nasledujúcej matice:

A nájdite požadovaný determinant:

Vzorec používaný na riešenie maticových rovníc je nasledujúci:

Na výpočet X teda potrebujeme určiť hodnotu matice A-1 a vynásobiť ju b. Pomôže nám s tým ďalší vzorec:

V tomto prípade bude transponovaná matica- teda to isté, pôvodné, ale písané nie v riadkoch, ale v stĺpcoch.

Na to by sa nemalo zabúdať metóda inverznej matice, podobne ako Cramerova metóda, je vhodná len pre systémy, v ktorých je determinant väčší alebo menší ako nula. Ak je determinant rovný nule, musí sa použiť Gaussova metóda.

Ďalším krokom je zostavenie matice maloletých, čo je nasledujúca schéma:

Výsledkom sú tri matice – vedľajšie, algebraické doplnky a transponovaná matica algebraických doplnkov. Teraz môžete pristúpiť k samotnému zostaveniu inverznej matice. Vzorec už poznáme. V našom príklade to bude vyzerať takto.

Nech je daný systém lineárnych rovníc s neznámy:

Budeme predpokladať, že hlavná matica nedegenerované. Potom podľa vety 3.1 existuje inverzná matica
Násobenie maticovej rovnice
do matice
vľavo pomocou definície 3.2, ako aj tvrdenia 8) z vety 1.1 získame vzorec, na ktorom je založená maticová metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc:

Komentujte. Všimnite si, že maticová metóda na riešenie systémov lineárnych rovníc, na rozdiel od Gaussovej metódy, má obmedzené použitie: táto metóda môže riešiť iba systémy lineárnych rovníc, pre ktoré sa po prvé počet neznámych rovná počtu rovníc a po druhé, hlavná matica je nejednotná.

Príklad. Riešte sústavu lineárnych rovníc maticovou metódou.

Daný systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi
kde

Hlavná matica sústavy rovníc je nedegenerovaná, pretože jej determinant je nenulový:

inverzná matica
zostaviť jednou z metód opísaných v odseku 3.

Podľa vzorca maticovej metódy na riešenie sústav lineárnych rovníc získame

5.3. Cramerova metóda

Táto metóda, podobne ako maticová metóda, je použiteľná len pre sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych zhoduje s počtom rovníc. Cramerova metóda je založená na rovnomennej vete:

Veta 5.2. systém lineárne rovnice s neznámy

hlavná matica, ktorej hlavná matica je nesingulárna, má jedinečné riešenie, ktoré možno získať zo vzorcov

kde
determinant matice odvodený od hlavnej matice systém rovníc jeho nahradením
stĺpec stĺpcom voľných členov.

Príklad. Poďme nájsť riešenie systému lineárnych rovníc uvažovaných v predchádzajúcom príklade pomocou Cramerovej metódy. Hlavná matica sústavy rovníc je nedegenerovaná, pretože
Vypočítajte determinanty

Pomocou vzorcov uvedených vo vete 5.2 vypočítame hodnoty neznámych:

6. Štúdium sústav lineárnych rovníc.

Základné riešenie

Skúmať systém lineárnych rovníc znamená určiť, či je tento systém kompatibilný alebo nekonzistentný, a v prípade jeho kompatibility zistiť, či je tento systém určitý alebo neurčitý.

Podmienka kompatibility pre sústavu lineárnych rovníc je daná nasledujúcou vetou

Veta 6.1 (Kronecker–Capelli).

Systém lineárnych rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť hlavnej matice systému rovná hodnote jeho rozšírenej matice:

Pre konzistentný systém lineárnych rovníc sa otázka jeho istoty alebo neistoty rieši pomocou nasledujúcich viet.

Veta 6.2. Ak sa poradie hlavnej matice spoločného systému rovná počtu neznámych, potom je systém určitý

Veta 6.3. Ak je poradie hlavnej matice spoločného systému menšie ako počet neznámych, potom je systém neurčitý.

Formulované vety teda znamenajú metódu na štúdium systémov lineárnych algebraických rovníc. Nechaj n je počet neznámych,

potom:

Definícia 6.1. Základným riešením neurčitej sústavy lineárnych rovníc je také riešenie, v ktorom sú všetky voľné neznáme rovné nule.

Príklad. Preskúmajte systém lineárnych rovníc. Ak je systém neistý, nájdite jeho základné riešenie.

Vypočítajte hodnosti hlavných a rozšírená matica tejto sústavy rovníc, pre ktorú uvádzame rozšírenú (a zároveň hlavnú) maticu sústavy do stupňovitého tvaru:

Druhý riadok matice sčítame s jej prvým riadkom, vynásobený tretí riadok - s prvým riadkom vynásobeným
a štvrtý riadok - s prvým, vynásobený dostaneme maticu

K tretiemu riadku tejto matice pridajte druhý riadok vynásobený číslom
a do štvrtého riadku - prvý, vynásobený
V dôsledku toho dostaneme maticu

vymazanie, z ktorého tretieho a štvrtého riadku dostaneme krokovú maticu

Touto cestou,

Preto je tento systém lineárnych rovníc konzistentný a keďže poradie je menšie ako počet neznámych, systém je neurčitý. Kroková matica získaná ako výsledok elementárnych transformácií zodpovedá systému rovníc

Neznámy a sú hlavné a neznáme a
zadarmo. Priradením nulových hodnôt voľným neznámym získame základné riešenie tohto systému lineárnych rovníc.

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

kde aij a b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n- neznámy. V zápise koeficientov aij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j je počet neznámych, pri ktorých tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budú zapísané vo forme matice , ktorú budeme volať systémová matica.

Čísla na pravej strane rovníc b1,…,b m volal voľných členov.

Agregátne nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie tejto sústavy, ak sa každá rovnica sústavy stane rovnosťou po dosadení čísel do nej c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nezlučiteľné.

Zvážte spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a maticové stĺpce neznámych a voľných členov

Poďme nájsť produkt

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať ako

alebo kratšie A∙X = B.

Tu matice A a B sú známe a matice X neznámy. Treba ju nájsť, pretože. jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná hodnota matice A: . Pokiaľ ide o A-1 A = E a E∙X=X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc je rovnaký ako počet neznámych. Maticový zápis sústavy je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nie je štvorcový a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pri neznámych,

volal systémový determinant.

Ďalšie tri determinanty poskladáme takto: postupne nahradíme 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom uvažovaný systém má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda o systéme 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobte 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 element 11, 2. rovnica - zap A21 a 3. - dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Zvážte každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu z hľadiska prvkov 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké to vidieť

Dostaneme teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, odkiaľ nasleduje tvrdenie vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečnú množinu riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Vyriešte sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Predtým uvažované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a je vhodná pre sústavy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Aby sme to dosiahli, vydelíme druhú rovnicu o a 21 a vynásobte - a 11 a potom pridajte s 1. rovnicou. Podobne rozdelíme aj tretiu rovnicu na a 31 a vynásobte - a 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu číslom, vynásobte číslom a pridajte ho k druhému. Potom budeme mať systém rovníc:

Z poslednej rovnice je teda ľahké ju nájsť x 3, potom z 2. rovnice x2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby zameniť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

TO elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. permutácia riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca nenulovým číslom;
3. pridávanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.