DefiníciaPre funkciu F (X, Y) sa nazýva expresia DZ \u003d F (x + DX, Y + DY) - F (X, Y) plné prírastok .

Ak funkcia F (x, y) má nepretržité súkromné \u200b\u200bderiváty

Potom sa dostaneme, aplikujeme Lagrange Theorem

Pretože Súkromné \u200b\u200bderiváty sú nepretržité, môžete písať rovnosť:

Definícia. Výraz sa nazýva plné prírastokfunkcie F (x, y) v určitom bode (x, y), kde A1 a A2 sú nekonečne malé funkcie s DX® 0 a DU ® 0.

Definícia: Kompletný diferenciálfunkcie Z \u003d F (X, Y) sa nazývajú hlavné lineárne v porovnaní s DX a DU prírastku funkcie DZ v bode (X, Y).

Pre funkciu ľubovoľného počtu premenných:

Príklad. Nájdite celú diferenciálnu funkciu.

Príklad. Nájdite celú diferenciálnu funkciu

Geometrický význam plný diferenciál.

Tangentné lietadlo a normálny povrch.

normálny

dotyčnica

Nech je n a n 0 bodmi tohto povrchu. Strávime priame nn 0. Rovina, ktorá prechádza cez bod n 0 dotyčnica Na povrchu, ak uhol medzi jednotkou NN 0 a táto rovina má tendenciu nulovú, keď vzdialenosť NN 0 má tendenciu nula.

Definícia. Normálnyna povrchu v bode n 0 je priame, prechádzajúce cez bod n 0 kolmého na rovinu dotyčnice k tejto ploche.

V určitom okamihu má povrch, alebo len jednu dotyčnú rovinu alebo to vôbec nemá vôbec.

Ak je povrch nastavený pomocou Z \u003d F (x, Y) rovnice, kde f (x, y) je funkcia, ktorá je diferencovateľná v bode M 0 (x 0, y 0), dotyčnicová rovina v bode n 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) existuje a má rovnicu:

Rovnica je normálna na povrchu v tomto bode:

Geometrický význam Úplná diferenciálna funkcia dvoch premenných f (x, y) v bode (x 0, y 0) je prírastok aplikácií (súradnice z) dotyčnice roviny k povrchu pri pohybe z bodu (x 0, y 0 ) do bodu (x 0 + dx, v 0 + du).

Ako je možné vidieť, geometrický význam kompletnej diferenciálnej funkcie dvoch premenných je priestorový analóg geometrický význam Diferenciálna funkcia jednej premennej.

Príklad Nájdite rovnice dotyčnice a normálne na povrch

V bode m (1, 1, 1).

Rovnica dotyčnice:

Rovnica Normal:

Čiastočné deriváty vyšších zákaziek.

Predpokladajme, že sú niektoré nastavené x vo vesmíre. Každý bod tejto množiny je určený súborom čísel, ktoré sú súradnicami tohto bodu. Hovoríme, že funkcia N-premenných je nastavená na súpravu X, ak je každý bod Podľa určitého zákona je umiestnené jedno číslo Z, t.j. .

Príklad: Nechajte x 1, x 2, x 3 - dĺžka, šírka a hĺbka bazéna. Potom nájdeme povrchovú plochu bazéna.

N-variabilná funkcia nazývaný kontinuálny v mieste Ak je limitová funkcia v tomto bode rovná hodnotám Funkcie na limite, t.j. .

Definícia: Súkromná derivátová funkcia Podľa premennej sa nazývajú derivát z funkcie Z pozdĺž premennej, za predpokladu, že všetky ostatné premenné zostávajú konštantné.

Súkromný derivát.

Príklad

Pre funkciu dvoch premenných môžete zadať štyri čiastkové deriváty druhej objednávky, potom

1. Čítanie: Dva z je dvakrát.

Teorem Zmiešané deriváty, kde sú nepretržité, nezávisia od postupu na výpočet derivátov. Platí to pre zmiešané deriváty akejkoľvek objednávky a pre funkciu ľubovoľného množstva premenných.

Ak je funkcia F (x, y) definovaná v niektorom regióne D, jeho súkromné \u200b\u200bderiváty budú definované aj v tej istej oblasti alebo jeho časti.

Zavoláme tieto deriváty súkromné \u200b\u200bderiváty prvého rádu.

Deriváty týchto funkcií budú súkromné \u200b\u200bderiváty druhej objednávky.

Pokračovať v rozlišovaní získanej rovnosti, dostaneme súkromné \u200b\u200bderiváty vyššieho zákazky.

Definícia Druhy súkromných derivátov atď. zavolaný zmiešané deriváty.

TeoremAk sú funkcia F (x, y) a jeho súkromné \u200b\u200bderiváty určené a kontinuálne v bode m (x, y) a jeho okolí, potom je pomer pravdivý :.

potom sa nazýva bod m 0 minimum.

Teorem (potrebné podmienky extrému) Ak funkcia F (x, y) v bode (x 0, y 0) má extrémne, potom v tomto bode buď obidva súkromné \u200b\u200bderiváty prvej objednávky sú nula, alebo aspoň jeden z nich neexistuje.

Tento bod (x 0, y 0) bude volaný kritický bod.

Veta (dostatočné podmienky extrému) Povtedy v blízkosti kritického bodu (x 0, y), funkcia F (x, y) má nepretržité súkromné \u200b\u200bderiváty do druhej objednávky vrátane. Zvážte výraz:

1) Ak d (x 0, y 0)\u003e 0, potom v bode (x 0, y 0) funkcia f (x, y) má extrémne

2) - 0, potom v bode (x 0, y 0) funkcia f (x, y) nemá extrémne

V prípade D \u003d 0 sa nedá urobiť záver o prítomnosti extrému.

Pre funkciu jednej premennej y. = f.(x.) v mieste x. 0 geometrický význam diferenciálu znamená prírastok ordinácie dotyčnice, vykonané na graf funkcie v bode s abscisou x. 0 Pri prechode na miesto x. 0 +  x.. A diferenciálna funkcia dvoch premenných v tomto pláne je prírastok aplikáciadotyčnica rovinavykonané na povrch určený rovnicou z. = f.(x., y.) v mieste M. 0 (x. 0 , y. 0 ) pri prechode na miesto M.(x. 0 +  x., y. 0 +  y.). Dávame definíciu dotyčnice roviny na nejaký povrch:

DF. . Lietadlo prechádzajúcej bodom Ročník 0 Povrchu S.zavolal dotyčnicav tomto bode, ak je uhol medzi touto rovinou a sekvenčným prechodom cez dva body Ročník 0 a Ročník(Akýkoľvek povrchový bod S.) má tendenciu nula, keď bod Ročníkhľadá na tomto povrchu do bodu Ročník 0 .

Nechajte povrch S.publikované podľa rovnice z. = f.(x., y.). Potom sa dá ukázať, že tento povrch má v bode P. \\ t 0 (x. 0 , y. 0 , z. 0 ) tangenta lietadla potom a len vtedy, ak funkcia z. = f.(x., y.) v tomto bode. V tomto prípade je dotyčnica daná rovnicou:

z. – z. 0 = +
(6).

§päť. Derivát v smere, gradientová funkcia.

Funkcie čiastočných derivátov y.= f.(x. 1 , x. 2 .. x. n. ) premenných x. 1 , x. 2 . . . x. n. Vyjadrite rýchlosť zmien v smere súradnicových osí. Napríklad, existuje zmena rýchlosti funkcie h. 1 - To znamená, že sa predpokladá, že bod patriaci do oblasti definície poľa sa pohybuje len paralelne s osou Ohovárať 1 A všetky ostatné súradnice zostávajú nezmenené. Dá sa však predpokladať, že funkcia sa môže líšiť v inom smere, ktorá sa nezhoduje so smeromami niektorou z osí.

Zvážte funkciu troch premenných: u.= f.(x., y., z.).

Opraviť bod M. 0 (x. 0 , y. 0 , z. 0 ) a niektoré smerované rovno (os) l.cez tento bod. Byť M (x., y., z.) - ľubovoľný bod tejto rovnosti a  M. 0 M.- Vzdialenosť OT M. 0 predtým M.

u. = f. (x., y., z.) – f.(x. 0 , y. 0 , z. 0 ) - prírastok funkcie v bode M. 0 .

Nájdite pomer prírastku funkcie na dĺžku vektora
:

DF. . Odvodená funkcia u. = f. (x., y., z.) smerom k l. v mieste M. 0 Nazývaný limit vzťahu funkcie prírastku na dĺžku vektora M. 0 M. v túžbe druhé na 0 (alebo to isté, s neobmedzenou aproximáciou M.na M. 0 ):

(1)

Tento derivát charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v bode M. 0 v smere l..

Nechať os l. (vektor M. 0 M.) formuláre s osami VÔL., Oy., Oz.rohy
resp.

Označujú x-x 0 \u003d
;

y - y 0 \u003d
;

z - Z 0 \u003d
.

Potom vektor M. 0 M \u003d (x. - x. 0 , y. - y. 0 , z. - z. 0 )=
a jeho sprievodcovi:

;

;

.

(4).

(4) - Vzorec pre výpočet derivátu v smere.

Zvážte vektor, ktorého súradnice sú funkcie súkromného odvodeného u.= f.(x., y., z.) v mieste M. 0 :

grad. u. - Funkcia gradientu u.= f.(x., y., z.) v mieste M (x., y., z.)

Vlastnosti gradientu:

Výkon: Dĺžka gradientu funkcie u.= f.(x., y., z.) - je najdostupnejšia hodnota v tomto bode M (x., y., z.) a smer vektora grad. u.sa zhoduje so smerom vektora, ktorý vychádza z bodu M., pozdĺž ktorej sa funkcia zmení rýchlejšie. To znamená, že smer funkcie gradientu grad. u. - Existuje smer definície funkcie.

Geometrický význam kompletnej diferenciálnej funkcie dvoch premenných F (x, y) v bode (x 0, y) je prírastkom aplikácií (z súradníc) pomocou dotyčnej roviny na povrch pri pohybe z bodu (x 0, y 0) do bodu (x 0 + dx, v 0 + du).

Čiastočné deriváty vyšších zákaziek. :Ak je funkcia F (x, y) definovaná v niektorom regióne D, jeho súkromné \u200b\u200bderiváty budú definované aj v tej istej oblasti alebo jeho časti. Zavoláme tieto deriváty súkromných derivátov prvého rádu.

Deriváty týchto funkcií budú čiastkové deriváty druhej objednávky.

Pokračovať v rozlišovaní získanej rovnosti, dostaneme súkromné \u200b\u200bderiváty vyššieho zákazky. Definícia. Druhy súkromných derivátov atď. Nazývané zmiešané deriváty. Schwartz Theorem:

Ak sú súkromné \u200b\u200bderiváty vyšších zákaziek F.M.P. Nepretržité, potom zmiešané deriváty jednej objednávky, ktoré sa líšia len postupom pre diferenciáciu \u003d navzájom.

Tu n je symbolický stupeň derivátu, ktorý je nahradený skutočným titulom po výstavbe výrazu, ktorý stojí v ňom.

14. Rovnica dotyčnice a normálne na povrch!

Nech je n a n 0 bodmi tohto povrchu. Strávime priame nn 0. Rovina, ktorá prechádza cez bod n 0 dotyčnica Na povrchu, ak uhol medzi jednotkou NN 0 a táto rovina má tendenciu nulovú, keď vzdialenosť NN 0 má tendenciu nula.

Definícia. Normálnyna povrchu v bode n 0 je priame, prechádzajúce cez bod n 0 kolmého na rovinu dotyčnice k tejto ploche.

V určitom okamihu má povrch, alebo len jednu dotyčnú rovinu alebo to vôbec nemá vôbec.

Ak je povrch nastavený na rovnicu Z \u003d F (x, y), kde F (x, Y) je funkcia, ktorá je diferencovateľná v bode M 0 (x 0, y 0), dotyčnica V bode n 0 (x 0, y 0, (x 0, y)) existuje a má rovnicu:

Rovnica je v tomto bode normálna.:

Geometrický význam Úplná diferenciálna funkcia dvoch premenných f (x, y) v bode (x 0, y 0) je prírastok aplikácií (súradnice z) dotyčnice roviny k povrchu pri pohybe z bodu (x 0, y 0 ) do bodu (x 0 + dx, v 0 + du).

Ako možno vidieť, geometrický význam kompletnej diferenciálnej funkcie dvoch premenných je priestorový analóg geometrického významu diferenciálnej funkcie jednej premennej.

16. Skarové pole a jeho vlastnosti. Linka ulni, deriváty v smere, gradientom skalárneho poľa.

Ak je každý bod priestoru vložený v súlade so skalárnou hodnotou, vyskytne sa skalárne pole (napríklad teplotné pole, elektrické potenciálne pole). Ak sa zavádzajú karteziánske súradnice, je tiež označený alebo Pole môže byť ploché, ak je centrálny (sférické), ak valcový, ak

Povrchy a linka: Vlastnosti skalárnych polí sa môžu vizuálne študovať pomocou rovných povrchov. Tieto povrchy v priestore, na ktorom trvá konštantnú hodnotu. Ich rovnica: . V plochom skalárnom poli, úroveň riadkov volajú krivky, na ktorých sa pole berie konštantnú hodnotu: V niektoré prípady Liečebné riadky môžu degenerovať do bodu a povrchov povrchového bodu a kriviek.

Derivát v smere a gradiente skalárneho poľa:

Nechajte jeden vektor s súradnicami - skalárnym poľom. Derivát v smere charakterizuje zmenu v odbore v tomto smere a vypočíta sa derivátovým vzorcom v smere je skalárny produkt vektora a vektora so súradnicami ktorý sa nazýva funkcia gradientu a je indikovaná. komunikácia Tam, kde uhol medzi a potom vektorom označuje smer rýchleho zvýšenia poľa a jeho modul sa rovná derivátu v tomto smere. Vzhľadom k tomu, gradientové zložky sú čiastkové deriváty, nie je ťažké získať nasledujúce gradientové vlastnosti:

17. Extrémy F.M.P. Slepé extrémne F.M., potrebné a dostatočné podmienky pre jeho existenciu. Najväčší I. najmenšia hodnota F.M.P. V OGRAN. uzavretá plocha.

Nech je funkcia z \u003d ƒ (x; y) definovaná v určitej oblasti D, bod n (x0; y0)

Bod (x0; U0) sa nazýva maximálny bod funkcie Z \u003d ƒ (x; y), ak existuje taká D-susedstvo bodu (x0; U0), ktorý je pre každý bod (x; y) , Iné ako (Ho; UH), z tohto susedstva, nerovnosť ƒ (x; y)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ (x0; U0). Hodnota funkcie v maximálnom bode (minimum) sa nazýva maximálna (minimálna) funkcia. Maximálne a minimálne funkcie sa nazývajú jeho extrémy. Všimnite si, že podľa definície, bodu extrému funkcie leží vo vnútri funkcie určovania funkcie; Maximálne a minimum majú miestny (lokálny) znak: hodnota funkcie v bode (x0; U0) sa porovnáva s jeho hodnotami v bodoch blízkeho (X0; U0). V oblasti D môže mať funkcia niekoľko extrémnych látok alebo nemá nikoho.

(1) a dostatočné (2) podmienky existencie: \\ t

(1) Ak v bode n (x0; y0), diferenciálna funkcia z \u003d ƒ (x; y) má extrémne, potom jeho súkromné \u200b\u200bderiváty v tomto bode sú nula: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y ( x0; y0) \u003d 0. Komentár. Funkcia môže mať extrémne v bodoch, kde aspoň jeden z čiastkových derivátov neexistuje. Bod, v ktorom sú súkromné \u200b\u200bderiváty prvého poradia funkcie z ≈ ƒ (x; y) sú nulové, t.j. f "x \u003d 0, f" y \u003d 0, sa nazýva stacionárny bod funkcie z.

Stacionárne body a body, v ktorých aspoň jeden súkromný derivát neexistuje, sa nazývajú kritické body

(2) Predpokladajme, že v stacionárnom bode (HO; UH) a niektoré z jeho okolia, funkcia ƒ (x; y) má nepretržité súkromné \u200b\u200bderiváty do druhého poriadku vrátane. Vypočítajte v bode (X0; U0) Hodnoty A \u003d F "XX (x0; Y0), B \u003d ƒ" "XY (X0; U0), C \u003d ƒ" "OY (X0; U0). Označiť Potom:

1. Ak δ\u003e 0, potom funkcia ƒ (x; y) v bode (x0; U0) má extrémne: maximum, ak a< 0; минимум, если А > 0;

2. Ak δ.< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. V prípade δ \u003d 0 extrémne v bode (x0; U0) nemusí byť. Je potrebný ďalší výskum.

$ E Podskupina MATHBB (R) ^ (n) $. Hovorí sa, že $ F $ miestne maximum V bode $ x_ (0) v e $, ak existuje taká susedstvo $ U $ body $ x_ (0) $, že pre všetky $ x x v U $, nerovnosť je $ f vľavo (x Vpravo) Leqslant F, vľavo (X_ (0) Right) $.

Miestne maximum prísny Ak je susedstvo $ u $ u $, takže pre všetky $ x v U $, odlišné od $ x_ (0) $, tam bolo $ f, vľavo (x vpravo)< f\left(x_{0}\right)$.

Definícia
Nech $ F $ BE Skutočná funkcia na otvorenom množine $ E E podskupina MathBB (R) ^ (n) $. Hovorí sa, že $ F $ miestny V bode $ x_ (0) v E $, ak existuje taká susedstvo $ U $ body $ x_ (0) $, že pre všetky $ x v U $, nerovnosť $ f, vľavo (x Right) Geqslant F, vľavo (X_ (0) Right) $.

Miestny minimum sa nazýva prísny, ak sa susedstvo $ U $ učí, takže pre všetky $ x x v U $, odlišné od $ x_ (0) $, tam bolo $ f, vľavo (X \\ Right)\u003e F \\ t Vľavo (X_ (0) Right) $.

Miestnemu extrému kombinuje koncepcie lokálneho minima a miestneho maxima.

Veta (požadovaný stav extrémnej diferenciálnej funkcie)
Nech $ F $ BE Skutočná funkcia na otvorenom množine $ E E podskupina MathBB (R) ^ (n) $. Ak v bode $ x_ (0) v E $, funkcia $ F má lokálne extrémne a v tomto bode, potom $$ tex (d) F, vľavo (X_ (0) vpravo) \u003d 0 $$ Rovnosť Zero Diferenciál je ekvivalentný skutočnosti, že všetky sú nula, t.j. $$ displaystyle frac (parciálne f) (čiastočné x_ (i)) vľavo (x_ (0) vpravo) \u003d 0 $$

V jednosmernom prípade je. NEZNAČOVANÉ POTREBUJÚCE ROZHODNUTIE (T. RIGHT) \u003d F, vľavo (x_ (0) + th) $, kde $ h $ je ľubovoľný vektor. Funkcia $ $ $ $ je definovaná s dostatočne malými hodnotami modulu $ t $. Okrem toho, podľa, podľa, je to diferencovateľné, a $ (phi) 'vľavo (t vpravo) \u003d text (d) f, vľavo (x_ (0) + th vpravo) H $.
Nech $ F $ máte miestne maximum na $ 0 $ bodu. Znamená to, že funkcia $ phi $ s $ t \u003d 0 $ má miestne maximum a podľa farmy teorem, $ (PHI) 'vľavo (0 \\ RIGHT) \u003d 0 $.
Takže sme dostali, že $ df vľavo (x_ (0) vpravo) \u003d 0 $, t.j. Funkcie $ F $ v bode $ x_ (0) $ je nula na ľubovoľnom vektore $ h $.

Definícia
Body, v ktorých je diferenciál nula, t.j. Takéto, v ktorých sú všetky súkromné \u200b\u200bderiváty nula, sa nazývajú stacionárne. Kritické body Funkcie $ F $ sa nazývajú takéto body, v ktorých $ F $ nie je diferencované alebo rovné nule. Ak je bod stacionárny, potom to ešte nedosiahne, že v tomto bode funkcia má extrémne.

Príklad 1.
Nechajte $ f vľavo (x, y vpravo) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. Potom $ Displaystyle frac (parciálne f) (\\ t čiastočné x) \u003d 3 cdot x ^ (2) $, $ displaystyle frac (parciálne f) (\\ t čiastočné y) \u003d 3 cdot y ^ (2 ) $, takže $$ (0.0 vpravo) $ je stacionárny bod, ale v tomto bode funkcia nemá extrémne. Skutočne, $ F, vľavo (0.0 vpravo) \u003d 0 $, ale je ľahké vidieť, že v akejkoľvek susedstve ľavého bodu $ (0.0 majú funkciu $, berie pozitívne aj záporné hodnoty.

Príklad 2.
Funkcia je $ f vľavo (x, y vpravo) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ štart - stacionárny bod, ale je jasné, že v tomto bode neexistuje žiadne extrie.

Teorem (dostatok stavu extrému).
Nechajte funkciu $ F $ Double-Contively indikátorible na otvorenom množine $ E E-SUBY MATHBB (R) ^ (n) $. Nechajte $ x_ (0) v e $ - stacionárny bod a $$ displejystyle q_ (x_ (0)) vľavo (Hra vpravo) equiv cum_ (i \u003d 1) ^ n \\ t ) ^ n frac (čiastočné ^ (2) f) (\\ t čiastočné x_ (i) čiastočné x_ (j)) vľavo (x_ (0) vpravo) h ^ (i) h ^ (j). $ Potom

1. ak $ q_ (x_ (0)) $ -, potom funkcia $ F $ na $ X_ (0) $ má lokálne extrémne, menovite minimálne, ak je formulár pozitívne definovaný, a maximum, ak je formulár je negatívne definovaný;
2. ak kvadratická forma $ Q_ (x_ (0)) $ neistý, potom funkcia $ F $ v bode $ x_ (0) $ nemá extrémne.

Používame rozklad pomocou taylor vzorca (12,7 p. 292). Vzhľadom na to, že individuálne deriváty prvej objednávky v bode $ x_ (0) $ sú nulové, dostaneme $$ displaystyle f, vľavo (x_ (0) + h vpravo) -f vľavo (x_ (0) ) \u003d Frac (1) (2) sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1) ^ n frac (\\ t čiastočné ^ (2) f) (\\ t čiastočné x_ (i) parcial x_ (\\ t j) vľavo (x_ (0) + theta h vpravo) h ^ (i) h ^ (j), $$, kde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, a $ epsilon, vľavo (Hra vpravo) RightROW 0 $ s $ h Rarrororow 0 $, potom pravá strana bude pozitívna s akýmkoľvek vektorom $ h $ dostatočne malá dĺžka.
Takže sme prišli k tomu, že v niektorých susedstve bodu $ x_ (0) $ to bola nerovnosť $ f, vľavo (x vpravo)\u003e f, vľavo (x_ (0) vpravo) $, ak len $ x X_ (0) $ (Dali sme $ X \u003d X_ (0) + H $ \\ Right). To znamená, že v bode $ x_ (0) $ funkcia má prísne miestne minimum, a tak dokázali prvú časť našej teorem.
Predpokladajme, že teraz $ q_ (x_ (0)) $ je neurčitý formulár. Potom sú tu vektory $ h_ (1) $, $ h_ (2) $, napríklad $ q_ (x_ (0)) vľavo (h_ (1)) vpravo (H_ (1)) \u003d LAMBDA_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (x_ (0)) vľavo (H_ (2) vpravo) \u003d LAMBDA_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Potom dostaneme $$ F, vľavo (x_ (0) + th_ (1) vpravo) -f vľavo (x_ (0) vpravo) \u003d frac (1) (2) vľavo [t ^ (2) labda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) epsilon vľavo (th_ (1) pravý) vpravo] \u003d frac (1) (2) t ^ (2) vľavo [Lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) epsilon vľavo (th_ (1) vpravo) vpravo]. $$ s dostatočne malým $ t\u003e 0 $ pravej časti je pozitívny. To znamená, že v akejkoľvek susedstve bodu $ x_ (0) $, $ F $ Function berie hodnoty $ F, vľavo (x) $, veľké ako $ F \\ t Vpravo) $.
Podobne získavame to, že v ktoromkoľvek okolí bodu $ x_ (0) $ Funkcia $ F $ berie hodnoty menšie ako $ f, vľavo (x_ (0) vpravo) $. To, spolu s predchádzajúcim, znamená, že v bode $ x_ (0) $ funkcia $ F $ nemá extrémne.

Zvážiť súkromný prípad Táto veta pre funkciu $ F, vľavo (x, y vpravo) $ Dva premenné definované v niektorých susedstve bodu ľavice (x_ (0), y_ (0) vpravo) $ a mať nepretržité súkromné \u200b\u200bderiváty susedstva a druhé objednávky. Predpokladajme, že $$ (X_ (0), Y_ (0), Y___________ (0) vpravo) $ je stacionárny bod, a označuje $$ disdalSstyle A_ (11) \u003d frac (\\ t ^ (2)) vľavo (x_ (0), y_ (0) vpravo), A_ (12) \u003d frac (\\ t čiastočné ^ (2) f) (\\ t \\ t 0), y_ (0) vpravo), A_ (22) \u003d frac (čiastočné ^ (2) f) (Čiastočné y ^ (2)) vľavo (x_ (0), y_ (0) správne ) $$ Potom predchádzajúca veta bude mať nasledujúci formulár.

Teorem
Nechajte $ delta \u003d A_ (11) CDOT A_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Potom:

1. ak $ delta\u003e 0 $, potom $ F funkcia má ľavicu $ (x_ (0), y_ (0) vpravo) $ miestne extrém, menovite, aspoň ak $ A_ (11)\u003e 0 $, a maximálne, ak $ A_ (11)<0$;
2. ak $ delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Príklady riešenia problémov

Algoritmus pre nájdenie extrémnych funkcií mnohých premenných:

1. Nájdeme stacionárne body;
2. Na všetkých stacionárnych bodoch nájdeme diferenciál 2. objednávky
3. Pomocou dostatočného stavu pre extrémne funkcie mnohých premenných považujeme druhou objednávkou v každom stacionárnom bode

1. Preskúmať funkciu na extrémne $ f, vľavo (x, y vpravo) \u003d x ^ (3) + 8 cdot y ^ (3) + 18 cdot x - 30 cdot y $.
   Rozhodnutie

   Nájdeme súkromné \u200b\u200bderiváty 1. objednávky: $$ displaystyle frac (parciálne f) (\\ t čiastočné x) \u003d 3 cdot x ^ (2) - 6 cdot y; $$$$ Displaystyle \\ frac ( Čiastkové F) (Čiastkové Y) \u003d 24 CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X. $$ Urobiť a vyriešiť systém: $$ \\ t \\ t x) \u003d 0 frac (parciálne f) (parciálne y) \u003d 0 - koniec (prípady) Right Začiatok (puzdrá) 3 cdot X ^ (2) - 6 CDOT Y \u003d 0 24 CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X \u003d 0 END (PREDPULÁRANIE) SPREČNOSTI STAND (Puzdrá) X ^ (2) - 2 cdot y \u003d 0 4 cdot y ^ (2) - x \u003d 0 End (kufre) $$ od 2. rovnice Express $ X \u003d 4 CDOT Y ^ (2) $ - Nahrádzame v 1. Rovnováhe: $$ displaystyleľa (4 cdot y ^ (2) \\ t Vpravo) ^ (2) -2 cdot y \u003d 0 $$$$ 16 cdot y ^ (4) - 2 cdot y \u003d 0 $$$$ 8 CDOT Y ^ (4) - Y \u003d 0 € $$ $$ y, vľavo (8 cdot y ^ (3) -1 vpravo) \u003d 0 $$ V dôsledku toho sa získali 2 stacionárne body:
   1) $ y \u003d 0 pravma x \u003d 0, m_ (1) \u003d vľavo (0, 0, vpravo) $;
   2) $ Displaystyle 8 cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 správ y ^ (3) \u003d frac (1) (8) RightArrow y \u003d frac (1) (2) RightArrow X \u003d 1 , M_ (2) \u003d vľavo (frac (1) (2), 1 vpravo) $
   Skontrolujte implementáciu dostatočných podmienok extrému:
   $$ Displaystyle frac (čiastočné ^ (2) f) (\\ t čiastočné x ^ (2)) \u003d 6 cdot X; Frac (parciálne ^ (2) f) (\\ t čiastočné x čiastočné Y) \u003d - 6; Frac (\\ t čiastočne ^ (2) f) (čiastočné y ^ (2)) \u003d 48 cdot y $$
   1) Pre bod $ m_ (1) \u003d vľavo (0.0 vpravo) $:
   $$ Displaystyle A_ (1) \u003d frac (čiastočné ^ (2) f) (\\ t čiastočné x ^ (2)) vľavo (0,0 vpravo) \u003d 0; B_ (1) \u003d frac (čiastočné ^ (2) f) (čiastočné x čiastočné y) vľavo (0,0 vpravo) \u003d - 6; C_ (1) \u003d frac (parciálne ^ (2) f) (\\ t čiastočné y ^ (2)) vľavo (0,0 vpravo) \u003d 0; $$
   $ A_ (1) CDOT B_ (1) - C_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pre $ M_ (2) bod $:
   $$ Displaystyle A_ (2) \u003d frac (\\ t čiastočné ^ (2) f) (\\ t čiastočné X ^ (2)) vľavo (1, frac (1) (2) vpravo) \u003d 6; B_ (2) \u003d frac (parciálne ^ (2) f) (\\ t čiastočné x čiastočné Y) vľavo (1, frac (1) (2) vpravo) \u003d - 6; C_ (2) \u003d frac (\\ t čiastočné ^ (2) f) (\\ _ (1, frac (1) (2) vpravo) \u003d 24; $$
   $ A_ (2) cdot b_ (2) - c_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, to znamená, že v bode $ m_ (2) $ je extrémne, a pretože $ A_ (2)\u003e 0 $, to je minimum.
   Odpoveď: Bod $ Displaystyle M_ (2) Vľavo (1, Frac (1) (2) Right) $ je bod minimálnej funkcie $ F $.
   

2. Preskúmajte funkciu na extrémne $ f \u003d y ^ (2) + 2 cdot x cdot y - 4 cdot x - 2 cdot y - $ 3.
   Rozhodnutie

   Nájdite stacionárne body: $$ Displaystyle frac (parciálne f) (\\ t čiastočné x) \u003d 2 cdot y - 4; $$$$ Displaystyle \\ frac (parciálne f) (Čiastočná Y) \u003d 2 CDOT Y + 2 cdot X - 2. $$
   Riešime tiež systém: $$ displaystyle začína (puzdrá) frac (\\ t čiastočné f) (\\ freatiálne x) \u003d 0 frac (\\ _) (Čiastočne Y) \u003d 0 \\ t ) Right Začiatok (puzdrá) 2 CDOT Y - 4 \u003d 0 2 cdot y + 2 cdot X - 2 \u003d 0 Skonge (Puzdrá) Right Začiatok (puzdrá) Y \u003d 2 Y + X \u003d 1 END (STRUKNOSŤ) RIMORROW X \u003d -1 $$
   $ M_ (0) Ľavý (-1, 2 pravý) $ - stacionárny bod.
   Skontrolujte vykonanie dostatočného stavu extrémneho stavu: $$ displaystyle A \u003d frac (parciálne ^ (2) f) (čiastočné X ^ (2)) vľavo (-1,2 vpravo) \u003d 0; B \u003d frac (čiastočné ^ (2) f) (\\ t čiastočné x čiastočné Y) vľavo (-1,2 vpravo) \u003d 2; C \u003d frac (čiastočné ^ (2) f) (čiastočné y ^ (2)) vľavo (-1,2 vpravo) \u003d 2; $$
   $ A CDOT B - C ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpoveď: Extrémy chýbajú.
   

Časový limit: 0

Navigácia (len čísla pracovných miest)

0 zo 4 úloh

Informácie

Dokončite tento test na testovanie svojich vedomostí o témach "miestnych extrémnych funkcií mnohých premenných".

Už ste testovali test skôr. Nemôžete ho znova spustiť.

Test je načítaný ...

Na spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Nasledujúce testy musíte dokončiť, aby ste mohli spustiť:

výsledok

Správne odpovede: 0 zo 4

Tvoj čas:

Čas vypršal

Strelili ste 0 z 0 bodov (0)

Váš výsledok bol zaznamenaný v tabuľke vodcov

1. S odpoveďou
2. S markerom

Úloha 1 zo 4

1 .

Počet bodov: 1

Preskúmajte funkciu $ F $ za extrémy: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 cdot y ^ (2)) $

Správny


Vhodný


1. Úloha 2 zo 4

   2 .

   Počet bodov: 1

   Existuje extrémnosť vo funkcii $ f \u003d 4 + sqrt (((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

   Správny

Tangentné lietadlo a normálny povrch.

dotyčnica

Nech je n a n 0 bodmi tohto povrchu. Strávime priame nn 0. Rovina, ktorá prechádza cez bod n 0 dotyčnica Na povrchu, ak uhol medzi jednotkou NN 0 a táto rovina má tendenciu nulovú, keď vzdialenosť NN 0 má tendenciu nula.

Definícia. Normálnyna povrchu v bode n 0 je priame, prechádzajúce cez bod n 0 kolmého na rovinu dotyčnice k tejto ploche.

V určitom okamihu má povrch, alebo len jednu dotyčnú rovinu alebo to vôbec nemá vôbec.

Ak je povrch nastavený pomocou Z \u003d F (x, Y) rovnice, kde f (x, y) je funkcia, ktorá je diferencovateľná v bode M 0 (x 0, y 0), dotyčnicová rovina v bode n 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) existuje a má rovnicu:

Rovnica je normálna na povrchu v tomto bode:

Geometrický význam Kompletná diferenciálna funkcia dvoch premenných F (x, y) v bode (x 0, y) je prírastku aplikácií (z súradníc) pomocou dotykovej roviny k povrchu pri pohybe z bodu (x 0, y 0 ) do bodu (x 0 + , 0 + ).

Ako možno vidieť, geometrický význam kompletnej diferenciálnej funkcie dvoch premenných je priestorový analóg geometrického významu diferenciálnej funkcie jednej premennej.

Príklad. Nájdite rovnice dotyčnice a normálne na povrch

v bode m (1, 1, 1).

Rovnica dotyčnice:

Rovnica Normal:

20.4. Približné výpočty pomocou kompletného diferenciálu.

Nechajte funkciu F (x, y) líšiť v bode (x, y). Nájdite plný prírastok tejto funkcie:

Ak nahradíme výraz do tohto vzorca

získame približný vzorec:

Príklad. Vypočítajte približnú hodnotu na základe hodnoty funkcie \u003d 1, Y \u003d 2, Z \u003d 1.

Zo špecifikovaného výrazu definujeme x \u003d 1,04 - 1 \u003d 0,04, Y \u003d 1,99 - 2 \u003d -0,01,

Z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,02.

Nájdite hodnotu funkcie U (X, Y, Z) \u003d

Nájsť súkromné \u200b\u200bderiváty:

Plná diferenciálna funkcia u je rovnaká:

Presná hodnota tohto výrazu: 1,049275225687319176.

20.5. Čiastočné deriváty vyšších zákaziek.

Ak je funkcia F (x, y) definovaná v niektorom regióne D, jeho súkromné \u200b\u200bderiváty budú definované v tej istej oblasti alebo časti.

Zavoláme tieto deriváty súkromné \u200b\u200bderiváty prvého rádu.

Deriváty týchto funkcií budú súkromné \u200b\u200bderiváty druhej objednávky.

Pokračovať v rozlišovaní získanej rovnosti, dostaneme súkromné \u200b\u200bderiváty vyššieho zákazky.

Definícia. Druhy súkromných derivátov atď. zavolaný zmiešané deriváty.

Teorem. Ak je funkcia F (x, y) a jej súkromné \u200b\u200bderiváty určené a kontinuálne v bode m (x, y) a jeho okolí, potom je pomer pravdivý:

Tí. Súkromné \u200b\u200bderiváty vyšších zákaziek nezávisia od postupu pre diferenciáciu.

Podobne sa určia rozdiely vyššieho príkazu.

…………………

Tu n je symbolický stupeň derivátu, ktorý je nahradený skutočným titulom po výstavbe výrazu, ktorý stojí v ňom.