Z praktického hľadiska je použitie derivátu na nájdenie najväčšej a najmenšej funkcie funkcie najväčší záujem. S čím je spojené? Maximalizácia ziskov, minimalizácia nákladov, určovanie optimálneho vybavenia nakladania ... Inými slovami, v mnohých oblastiach života musíte riešiť problémy optimalizácie všetkých parametrov. A toto sú úlohy nájsť najväčšiu a najmenšiu funkciu funkcie.

Treba poznamenať, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne vyhľadáva v určitom intervale X, čo je celá funkcia určovania funkcie alebo časti oblasti definície. Samotný interval x môže byť segment, otvorený interval Nekonečná medzera.

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne špecifikovanej funkcie jednej premennej Y \u003d F (X).

Navigácia.

Najväčšou a najmenšou hodnotou funkcie sú definície, ilustrácie.

Stručne zamerajte na základné definície.

Najväčšia funkčná hodnota čo pre všetky Reálnu nerovnosť.

Najmenšia hodnota funkcie y \u003d f (x) v intervale X zavolajte takúto hodnotu čo pre všetky Reálnu nerovnosť.

Tieto definície sú intuitívne: Najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (malá) hodnota pri posudzovanom intervale počas osídlenia.

Stacionárne body - Toto sú hodnoty argumentu, v ktorom je odvodená funkcia nakreslená na nulu.

Prečo máme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva farmu teorem. Z tejto teorem z toho vyplýva, že ak má diferenciálna funkcia extrémne (miestne minimálne alebo lokálne maximum) v určitom bode, potom tento bod je stacionárny. Funkcia teda často berie svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu v intervale X v jednom z stacionárnych bodov z tejto medzery.

Tiež často najväčšia a najmenšia funkcia môže mať v bodoch, v ktorých nie je prvý derivácia tejto funkcie a samotná funkcia je definovaná.

Okamžite odpovedať na jednu z najbežnejších otázok na túto tému: "Môžete vždy určiť najväčšiu (najmenšiu) funkciu"? Nie vždy. Niekedy hranice X medzera sa zhodujú s hranami funkcie určovania funkcie alebo intervalu X sú nekonečné. A niektoré funkcie na nekonečno a na hranice oblasti definície môžu mať ako nekonečne veľké a nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nie je možné nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre jasnosť dávate grafické ilustrácie. Pozrite sa na výkresy - a veľa sa stane jasnejšími.

Na rezu

V prvom výkrese, funkcia má najväčší (max y) a najmenšie hodnoty (min y) v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6; 6].

Zvážte prípad zobrazený v druhom výkrese. Zmeniť segment. V tomto príklade sa najmenšia funkcia funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčší - v bode s abscisou zodpovedajúcou správnej hranici intervalu.

Obrázok 2, hraničné body segmentu [-3; 2] sú absisie bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Otvorený interval

Vo štvrtej výkrese, funkcia berie najväčší (max y) a najmenšie hodnoty (min y) v stacionárnych bodoch vo vnútri otvoreného intervalu (-6; 6).

V intervale nemôžete urobiť žiadne závery o najväčšej hodnote.

Na nekonečno

V príklade uvedenom v siedmom vzore, funkcia má najvyššiu hodnotu (max y) v stacionárnom bode s abscisskou X \u003d 1 a najmenšia hodnota (min Y) sa dosiahne na pravej hranici intervalu. Na mínus nekonečno sú hodnoty funkcie asymptoticky blížiace sa k Y \u003d 3.

V intervale sa funkcia nedosiahne najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu. Keď X \u003d 2 sa snaží vpravo, hodnoty funkcie majú tendenciu mínus nekonečno (rovný x \u003d 2 je vertikálny asymptota), a keď sa osídlie snažiť o plus nekonečna, hodnoty Funkcia Asymptototicky priblížte y \u003d 3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku č.

Algoritmus pre nájdenie najväčšej a najmenšej nepretržitej funkcie na segmente.

Píšeme algoritmus, ktorý vám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdite funkciu určovania funkcie a skontrolujte, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých nie je prvý derivát a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne takéto body sa používajú v funkciách s argumentom pod označením modulu a funkcií výkonu s frakčným racionálnym indikátorom). Ak nie sú takéto body, potom prejdite na nasledujúcu položku.
3. Definujeme všetky stacionárne body, ktoré patria do segmentu. Na tento účel sme ho prirovnávame, vyriešili získanú rovnicu a vyberte si správne korene. Ak nie sú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, potom sa obrátime na ďalšiu položku.
4. Vypočítajte hodnoty funkcie vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, v ktorých nie je prvý derivát (ak existuje), ako aj s X \u003d A a X \u003d B.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberte najväčší a najmenší - budú najznámejšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Algoritmus budeme analyzovať pri riešení príkladu, aby sme našli najväčšiu a najmenšiu funkciu funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu funkciu

• na segmente;
• na segmente [-4; -1].

Rozhodnutie.

Oblasť definície poľa je všetky platné čísla, s výnimkou nuly, to znamená. Obe segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdite derivátovú funkciu:

Samozrejme, že derivátová funkcia existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4; -1].

Stacionárne body definujeme z rovnice. Jediný platný koreň je x \u003d 2. Tento stacionárny bod vstupuje do prvého segmentu.

Pre prvý prípad vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, to znamená, že v X \u003d 1, X \u003d 2 a X \u003d 4:

Preto najväčšia hodnota funkcie dosiahnuté v x \u003d 1 a najmenšia hodnota - pri x \u003d 2.

Pre druhý prípad vypočítajte hodnoty funkcie len na koncoch segmentu [-4; -1] (pretože neobsahuje jeden stacionárny bod):

Rozhodnutie.

Začnime s oblasťou definície poľa. Square Threesthals v Denomote Denoter by nemali pridať do nuly:

Je ľahké overiť, či všetky intervaly od stavu úlohy patria do oblasti definície poľa.

Funkcia diferenciácie:

Je zrejmé, že derivát existuje v celej oblasti definície funkcie.

Nájdite stacionárne body. Derivát označuje nulu. Tento stacionárny bod spadá do intervalov (-3; 1] a (-3; 2).

A teraz môžete zodpovedať výsledkom získaným v každej položke s funkčným grafom. Modré prerušované čiary označujú asymptoty.

To môže byť dokončené so zistením najväčšej a najmenšej funkcie funkcie. Algoritmy demontované v tomto článku umožňujú získať výsledky za minimum akcie. Je však užitočné najprv určiť medzery zvyšovania a poklesu funkcie a až po tom, čo vyvodia závery o najväčšej a najnižšej hodnote funkcie v akomkoľvek intervale. To dáva jasnejší obraz a prísne odôvodnenie výsledkov.

V praxi je často potrebné použiť derivát s cieľom vypočítať najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie. Túto činnosť vykonávame, keď zistíme, ako minimalizovať náklady, zvýšiť zisky, vypočítajte optimálne zaťaženie výroby, atď., To znamená, že v prípadoch, keď potrebujete určiť optimálnu hodnotu akéhokoľvek parametra. Aby ste takéto úlohy správne vyriešili, je potrebné dobre pochopiť, čo najväčšia a najmenšia hodnota funkcie.

Zvyčajne definujeme tieto hodnoty v rámci určitého intervalu X, ktorý môže zase zodpovedať celej oblasti definovania funkcie alebo jej časti. Môže to byť ako segment [A; b] a otvorený interval (A; B), (A; B], [A; B), nekonečný interval (A; B), (A; B], [A; B) alebo nekonečná medzera - ∞ ; \\ T A, (- ∞ a], [A; + ∞), (- ∞; + ∞).

V tomto materiáli popíšeme, ako sa vypočíta najväčšia a najmenšia hodnota explicitne špecifikovanej funkcie s jednou premennou y \u003d f (x) y \u003d f (x).

Hlavné definície

Začnime, ako vždy, s formulovaním základných definícií.

Definícia 1.

Najväčšia hodnota funkcie y \u003d f (x) v určitej medzere je MAXY \u003d F (x 0) x ∈ x, ktorý, s akoukoľvek významom xx ∈ x, x ≠ x 0 robí nerovnosť F (x) ≤ f ( x 0).

Definícia 2.

Najmenšia hodnota funkcie y \u003d f (x) v určitej medzere je minx ∈ xy \u003d f (x 0), ktorý s ľubovoľnou hodnotou x ∈ x, x ≠ x 0 robí nerovnosť f (x f (x) ≥ F (x 0).

Tieto definície sú celkom zrejmé. Je ešte jednoduchšie povedať: Najväčšia hodnota funkcie je jeho najviac veľký význam V známe interval v osi x 0 a najmenšia je najmenšia hodnota v rovnakom intervale na x 0.

Definícia 3.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu funkcie, v ktorých je jeho derivát označovaný 0.

Prečo potrebujeme vedieť, aké body skládok? Ak chcete odpovedať na túto otázku, musíte si spomenúť na teorem. Z toho vyplýva, že stacionárny bod je taký bod, v ktorom sa nachádza extrémne diferenciálnej funkcie (to znamená jeho lokálne minimum alebo maximálne). V dôsledku toho bude fungovať najmenšie alebo najdôležitejšie v určitom intervale v jednom z stacionárnych bodov.

Ďalšia funkcia môže mať najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v tých bodoch, v ktorých je definovaná samotná funkcia a jeho prvý derivát neexistuje.

Prvá otázka, ktorá sa vyskytuje pri štúdiu tejto témy: Vo všetkých prípadoch môžeme určiť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie na daný segment? Nie, nemôžeme to urobiť, keď hranice špecifikovanej medzery sa zhodujú s hranice oblasti definície, alebo ak sa zaoberáme nekonečným intervalom. Stáva sa tiež, že funkcia v danej segmente alebo v nekonečno bude nekonečne malé alebo nekonečne veľké hodnoty. V týchto prípadoch nie je možné určiť najväčšiu a / alebo najmenšiu hodnotu.

Zrozumiteľné tieto momenty budú po obrázku na plánoch:

Prvá kresba nám ukazuje funkciu, ktorá berie najväčšie a najmenšie hodnoty (m a x y a m i n y) v stacionárnych bodoch umiestnených na segmente [- 6; 6].

Podrobne analyzujeme prípad uvedený v druhej tabuľke. Zmeňte hodnotu segmentu na [1; 6] A získavame, že najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne v bode s abscisskou na správnej hranici intervalu a najmenší - v stacionárnom bode.

V treťom výkrese osice, body sú hraničnými bodmi segmentu [- 3; 2]. Zodpovedajú najväčšej a najmenšej hodnote zadanej funkcie.

Pozrite sa na štvrtú kresbu. Funkcia v ňom trvá m a x y (najväčšia hodnota) a m i n y (najmenšia hodnota) v stacionárnych bodoch v otvorenom intervale (- 6; 6).

Ak berieme interval [1; 6), možno povedať, že najmenšia hodnota funkcie na nej sa dosiahne v stacionárnom bode. Bude to neznáma ako najväčšia hodnota. Funkcia by mohla mať najvyššiu hodnotu pri X, rovnej 6, ak X \u003d 6 patrila do intervalu. Tento prípad sa vypracuje na grafe 5.

Na grafe 6, najmenšia hodnota tejto funkcie získava na pravú hranicu intervalu (- 3; 2] a nemôžeme urobiť určité závery o najväčšej hodnote.

Na obr. 7 vidíme, že funkcia bude mať M A X Y v stacionárnom bode, ktorý má abscisku rovnú 1. Najmenšia funkcia sa dosiahne na hranici intervalu na pravej strane. Na mínus nekonečno sa hodnoty funkcie asymptoticky približujú k y \u003d 3.

Ak berieme interval x ∈ 2; + ∞, uvidíme, že špecifikovaná funkcia neberie na to najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu. Ak X sa snaží 2, hodnoty funkcie sa budú usilovať o mínus nekonečna, pretože priamy X \u003d 2 je vertikálna asimptota. Ak abscisa má tendenciu plus nekonečno, potom hodnoty funkcie budú asymptoticky priblížené Y \u003d 3. Tento prípad je znázornený na obrázku 8.

V tomto bode predstavujeme postupnosť činností, ktoré je potrebné vykonať na nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie na určitom segmente.

1. Ak chcete začať, nájdeme oblasť definície poľa. Skontrolujte, či je v stave segmentu obsiahnutá.
2. Teraz vypočítame body obsiahnuté v tomto segmente, v ktorom nie je prvý derivát. Najčastejšie sa nachádzajú v funkciách, ktorých argument je zaznamenaný pod znakom modulu, alebo v elektrických funkciách, ktorých indikátor je frakčné racionálne číslo.
3. Ďalej zistite, ktoré stacionárne body budú spadať do daného segmentu. Aby ste to urobili, je potrebné vypočítať derivát funkcie, potom ho zodpovedať 0 a vyriešiť rovnicu, čo má za následok, po ktorom je možné zvoliť príslušné korene. Ak neuspejeme v jednom stacionárnom bode, alebo nebudú spadnúť do daného segmentu, potom ideme do ďalšieho kroku.
4. Definujeme, aké hodnoty dostanú funkciu v určených stacionárnych bodoch (ak existujú), alebo v tých bodoch, v ktorých nie je prvý derivát (ak existuje), alebo vypočítajte hodnoty pre X \u003d A a X \u003d B .
5. 5. Ukázali sme niekoľko funkcií funkcie, z ktorých teraz si musíte vybrať najviac a najmenší. To bude najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií, ktoré potrebujeme nájsť.

Pozrime sa, ako správne aplikovať tento algoritmus pri riešení úloh.

Príklad 1.

Stav: Funkcia y \u003d x 3 + 4 x 2 je zadaná. Určiť jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu na segmentoch [1; 4] a [- 4; - jeden].

Rozhodnutie:

Začnime s umiestnením oblasti definície tejto funkcie. V tomto prípade bude mať veľa platných čísel, okrem 0. Inými slovami, d (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Obe segmenty uvedené v stave budú v rámci oblasti definície.

Teraz vypočítať derivátovú funkciu podľa prevodu diferenciácie:

y "\u003d x 3 + 4 x 2" \u003d x 3 + 4 "· x 2 - x 3 + 4 · x 2" x 4 \u003d 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

Sme sa dozvedeli, že odvodená funkcia by existovala vo všetkých bodoch segmentov [1; 4] a [- 4; - jeden].

Teraz musíme definovať stacionárne body funkcie. Urobíme to s rovnicou x 3 - 8 x 3 \u003d 0. Má len jeden platný root rovný 2. Bude to stacionárny bod funkcie a bude spadať do prvého segmentu [1; štyri].

Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch prvého segmentu av tomto bode, t.j. Pre x \u003d 1, x \u003d 2 a x \u003d 4:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 Y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 \u003d 3 Y (4) \u003d 4 3 + 4 4 2 \u003d 4 1 4

Získali sme, že najväčšia hodnota funkcie m a x y ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3 sa dosiahne pri X \u003d 1 a najmenšie M I n y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3 - AT X \u003d 2.

Druhý segment neobsahuje jeden stacionárny bod, takže musíme vypočítať hodnoty funkcie len na koncoch zadaného segmentu:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

To znamená m a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Odpoveď:Pre segment [1; 4] - M A X Y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, m i n y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3, pre segment [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Pozri obrázok:

Pred učením táto metódaOdporúčame vám, aby ste zopakovali, ako správne vypočítať jednostranný limit a limit nekonečna, ako aj naučiť základné metódy ich umiestnenia. Ak chcete nájsť najviac a / alebo najmenšiu hodnotu funkcie na vonkajšom alebo nekonečnom intervale, vykonajte nasledujúce kroky.

1. Najprv musíte skontrolovať, či daný interval bude podmnožinou oblasti definície tejto funkcie.
2. Definujeme všetky body, ktoré sú obsiahnuté v požadovanom intervale a v ktorom nie je prvý derivát. Zvyčajne majú funkcie, kde je argument uzatvorený v príznaku modulu a pri výkonoch s frakčným racionálnym ukazovateľom. Ak tieto body chýbajú, potom sa môžete presunúť na ďalší krok.
3. Teraz definujeme, aké stacionárne body padnú na danú medzeru. Po prvé, vyrovnajte derivát na 0, vyriešte rovnicu a vyberte správne korene. Ak nemáme jeden stacionárny bod, alebo nespadajú do daného intervalu, potom okamžite prejdite na ďalšie akcie. Sú určené pohľadom na interval.

• Ak má interval formulár [A; b) Potom musíme vypočítať hodnotu funkcie v bode X \u003d A a jednostranné obmedzenie limitov X → B - 0 F (X).
• Ak má interval formu (A; B], potom musíme vypočítať hodnotu funkcie v bode X \u003d B a jednostranný limit LIM X → A + 0 F (X).
• Ak má interval formu (A; B), potom musíme vypočítať jednostranné limity LIM X → B - 0 F (X), LIM X → A + 0 F (X).
• Ak má interval formulár [A; + ∞), potom je potrebné vypočítať hodnotu v bode X \u003d A a limit na plus nekonečno LIM X → + ∞ F (X).
• Ak hľadá interval (- ∞, B], vypočítame hodnotu v bode X \u003d B a limit pre mínus nekonečno LIM X → - ∞ F (X).
• Ak - ∞; B, potom považujeme jednostranný limit LIM X → B - 0 F (X) a limit pre mínus Infinity LIM X → - ∞ F (X)
• Ak - ∞; + ∞, považujeme limity mínus a plus nekonečno LIM X → + ∞ F (X), LIM X → - ∞ F (X).

1. Na konci je potrebné uzavrieť na základe získaných funkcií a limitov. Existuje mnoho možností. Ak je tak jednostranný limit mínus nekonečno alebo plus nekonečno, je okamžite jasné, že o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie nie je možné povedať nič. Nižšie analyzujeme jeden typický príklad. Podrobné popisy vám pomôžu pochopiť, čo. V prípade potreby sa môžete vrátiť na obrázky 4 - 8 v prvej časti materiálu.

Príklad 2.

Podmienka: Funkcia Y \u003d 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 je uvedená. Vypočítať svoju najväčšiu a najmenšiu hodnotu v intervaloch - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Rozhodnutie

Po prvé, nájdeme oblasť definície poľa. V denníku je FRACI štvorcový troj-melan, ktorý by nemal kontaktovať 0:

x2 + X - 6 \u003d 0 D \u003d 1 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 5 2 \u003d - 3 x 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 ⇒ D (Y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Získali sme oblasť definovania funkcie, na ktorú patria všetky intervaly uvedené v stave.

Teraz spĺňajú diferenciáciu funkcie a získajte:

y "\u003d 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4" \u003d 3 · E 1 x 2 + X - 6 "\u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6" \u003d \u003d 3 · E 1 x 2 + X - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 \u003d - 3 · (2 \u200b\u200bx + 1) · E 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

V dôsledku toho existujú deriváty počas svojej definície.

Poďme sa obrátiť na zistenie stacionárnych bodov. Derivát sa vzťahuje na 0 pri X \u003d - 1 2. Toto je stacionárny bod, ktorý je v intervaloch (- 3; 1] a (- 3; 2).

Vypočítajte hodnotu funkcie na X \u003d - 4 pre medzeru (- ∞; - 4], ako aj limit pre mínus nekonečno:

y (- 4) \u003d 3 E 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 E 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 LIM X → - ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

Od 3 E 1 6 - 4\u003e - 1, teda Maxyx ∈ (- ∞; - 4] \u003d Y (- 4) \u003d 3 E 1 6 - 4. Nedáva nám možnosť jednoznačne určiť najmenšiu hodnotu Funkcia. Môžeme len záver, že nižšie je limit - 1, pretože je práve táto hodnota, že funkcia sa blíži asymptoticky pre mínus nekonečno.

Funkciou druhého intervalu je, že nie je jediný stacionárny bod a jeden prísny okraj. V dôsledku toho nebudeme schopní vypočítať najväčšiu ani najmenšiu hodnotu funkcie. Po určení limit pre mínus nekonečno a keď je argument navrhnutý na - 3 na ľavej strane, dostaneme len interval hodnôt:

lIM X → - 3 - 0 3 SK 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 - 0 3 SK 1 (X + 3) (X - 3) - 4 \u003d 3 E 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ LIM X → - ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

To znamená, že hodnoty funkcie budú umiestnené v intervale - 1; + ∞.

Ak chcete nájsť najviac funkcie v tretej medzere, definujeme svoju hodnotu v stacionárnom bode x \u003d - 1 2, ak x \u003d 1. Budeme tiež potrebovať poznať jednostranný limit pre prípad, keď argument usiluje o - 3 na pravej strane:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E4 25 - 4 ≈ - 1. 444 Y (1) \u003d 3 E 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 LIM X → - 3 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → 3 + 0 3 E 1 (X + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (- 0) - 4 \u003d 3 E - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Ukázalo sa, že v stacionárnom bode MaxYX ∈ (3; 1] \u003d Y - 1 2 \u003d 3 E - 4 25 - 4. Pokiaľ ide o najmenšiu hodnotu, nie je možné určiť. Všetko, čo vieme - Toto je prítomnosť obmedzenia z nižšie ako na - 4.

Pre interval (- 3; 2), budeme mať výsledky predchádzajúceho výpočtu a opäť vypočítame, čo sa rovná jednostrannému limitu pri sledovaní 2 na ľavej strane:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 LIM X → - 3 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d - 4 LIM X → 2 - 0 3 SK 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → 3 + 0 3 SK 1 (X + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 + 3) - 4 \u003d 3 E 1 - 0 - 4 \u003d 3 E - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Tak, m a x y x ∈ (- 3; 2) \u003d y - 1 2 \u003d 3 E - 4 25 - 4 a najmenšia hodnota nie je možná a hodnoty funkcie sú obmedzené na dno - 4.

Na základe toho, čo sme urobili v dvoch predchádzajúcich výpočtoch, môžeme tvrdiť, že v intervale [1; 2) Funkcia bude mať najväčšiu hodnotu na X \u003d 1 a nie je možné nájsť najmenší.

Na intervale (2; + ∞) sa funkcia nedosiahne najväčšiu ani najmenšiu hodnotu, t.j. Bude to mať hodnoty z medzery - 1; + ∞.

lIM X → 2 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (X + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ LIM X → + ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

Výpočet, čo bude hodnota funkcie na x \u003d 4, zistíme, že m a x y x ∈ [4; + ∞) \u003d Y (4) \u003d 3 E 1 14 - 4 a špecifikovaná funkcia na plus nekonečna bude asymptoticky blíži k priamym y \u003d - 1.

Je porovnateľný s tým, čo sme sa ukázali v každom výpočte, s grafom danej funkcie. Na obrázkoch sú asymptotes znázornené bodkovanou čiarou.

To je všetko, čo sme chceli povedať o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt funkcie. Sekvencie akcií, ktoré máme LED, pomôžu urobiť potrebné výpočty tak rýchlo a jednoducho. Ale pamätajte, že je často užitočné najprv zistiť, v akom období sa funkcia zníži, a na čo sa zvyšuje, po čom môžete vykonať ďalšie závery. Takže môžete presnejšie určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a odôvodniť získané výsledky.

Ak všimnete chybu v texte, vyberte ho a stlačte kláves CTRL + ENTER

Niekedy úlohy B15 sa stretávajú "zlé" funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondoch, ale teraz tieto úlohy sú tak bežné, že sa už nemôžu pri príprave na tento EGE ignorovať.

V tomto prípade pracujú iné techniky, z ktorých jeden - monotónny.

Funkcia F (x) sa nazýva monotonicky zvyšuje na segmente, ak pre všetky body x 1 a x 2 tohto segmentu nasleduje:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcia F (X) sa nazýva monotónne klesá na segmente, ak pre všetky body x 1 a x 2 tohto segmentu nasleduje:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e F ( x 2).

Inými slovami, pre zvýšenie funkcie, tým väčšie x, tým viac F (x). Pre klesajúcu funkciu, druhý spôsob: tým viac X, menej f (x).

Napríklad logaritmus monotonicky sa zvyšuje, ak je základňa A\u003e 1 a monotónne klesá, ak 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log A X (A\u003e 0; A ≠ 1; X\u003e 0)

Aritmetické námestie (a nielen štvorcové) koreň monotonicky sa zvyšuje v priestore definovania:

Orientačná funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie pri\u003e 1 a znižuje sa na 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d A X (A\u003e 0)

Nakoniec, stupeň s negatívnym ukazovateľom. Môžete ich zaznamenať ako zlomok. Majte bod zlomu, v ktorom je monotónnosť rozbitá.

Všetky tieto funkcie nie sú nikdy v čistej forme. Pridávajú polynómy, zlomky a iné nezmysly, z ktorých je ťažké zvážiť derivát. Čo sa stane - teraz budeme preskúmať.

Súradnice The Vertex Parabola

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza Štvorcový threechlen Zobraziť Y \u003d AX 2 + BX + C. Jeho rozvrh je štandardná parabola, v ktorej sa zaujímame o:

1. PARABOLA Pobočky - môžu ísť hore (na\u003e 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrchol paraboly je extrémne bod kvadratickej funkcie, v ktorej táto funkcia má najmenší (pre\u003e 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčší záujem je top Parabolia.Abscia, ktorá sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli bod extrému kvadratickej funkcie. Ale ak počiatočná funkcia monotonne, bod x 0 bude tiež bodom extrému. Preto formulujeme kľúčové pravidlo:

Extrémne body štvorcových troch štýlov a komplexná funkciav ktorom vstúpi, sa zhoduje. Preto môžete hľadať x 0 pre štvorcové tri-shots a na skóre funkcie.

Z vyššie uvedených dôvodov zostáva nezrozumiteľná, ktorá máme: maximálne alebo minimum. Úlohy sú však špeciálne zostavené tak, aby nezáležalo. Sudca pre seba:

1. Segment chýba v stave problému. Preto nie je potrebné vypočítať f (a) a f (b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
2. Ale iba jedno body sú vrcholom paraboly x 0, ktorých súradnice sa vypočítavajú doslova orálne a bez akýchkoľvek derivátov.

Riešenie problému je teda ostro zjednodušené a príde na dva kroky:

1. Odpíšte parabola rovnicu Y \u003d AX 2 + BX + C a nájdite ho Vertex vzorcom: X 0 \u003d -B / 2A;
2. Nájdite hodnotu zdrojovej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, bude to odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho zdôvodnenie môžu zdať zložité. Zámerne neposielam "nahý" schémy rozhodnutia, pretože bezohľadné uplatňovanie takýchto pravidiel je plná chybov.

Zvážte skutočné úlohy skúšobný eseg V matematike - to je, že táto technika je najčastejšie nájdená. Zároveň uvidíme, že týmto spôsobom sa mnohé úlohy B15 stane takmer orálnym.

Podľa koreňových nákladov kvadrická funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabolické vetvy hore, pretože koeficient A \u003d 1\u003e 0.

TOP Parabola:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Keďže vetvy paraboly sú nasmerované smerom nahor, v bode x 0 \u003d -3, funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13 má najmenšiu hodnotu.

Koreňové monotonicky sa zvyšuje, čo znamená x 0 - bod minimálneho funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu funkciu funkcie:

y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom, kvadratická funkcia: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf - Parabolové pobočky hore, pretože A \u003d 1\u003e 0.

TOP Parabola:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Takže v bode x 0 \u003d -1, kvadratická funkcia má najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y \u003d log 2 x je monotónna, takže:

y min \u003d y (-1) \u003d log 2 (-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Indikátor je kvadratická funkcia y \u003d 1 - 4x - x 2. Prepíšte ho v normálnej forme: Y \u003d -X 2 - 4X + 1.

Samozrejme, harmonogram tejto funkcie je paraboly, vetvy nadol (A \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

Zdrojová funkcia je orientačná, je to monotonne, takže najväčšia hodnota bude v našom mieste x 0 \u003d -2:

Pozorný čitateľ si pravdepodobne všimne, že sme neodpisovali oblasť prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. To sa však nevyžadovalo: vo vnútri funkcií, ktorých sú vždy pozitívne.

Dôsledky z funkcie určovania funkcie

Niekedy na vyriešenie problému B15 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci rezua vôbec nie v mieste extrému. Ak úloha nešpecifikuje segment vôbec, pozeráme sa na plocha prípustných hodnôt Zdrojová funkcia. Konkrétne:

Znova dáTE pozornosť: nula môže byť pod koreňom, ale v logaritme alebo denomotéri, nikdy. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod koreňom, kvadratická funkcia: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf - parabola, ale vetvy nadol, pretože A \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypočítame oblasť prípustných hodnôt (OTZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ≤ x ∈ [-3; jeden]

Teraz nájdeme vrchol parabola:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

Bod x 0 \u003d -1 patrí do segmentu OTZ - a to je dobré. Teraz považujeme hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch OTZ:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

Takže dostali čísla 2 a 0. Sme požiadaní, aby sme našli najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu funkciu funkcie:

y \u003d log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vnútri logaritmu stojí kvadratická funkcia y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabolické vetvy nadol, ale v logaritme nemôže byť negatívne čísla, takže píšeme ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Upozornenie: nerovnosť je prísna, takže konce nepatria do OTZ. Tento logaritmus sa líši od koreňa, kde sú celkom vhodné konce segmentu.

Hľadáme vrchol Parabola:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

Vrchná časť paraboly je vhodný pre odz: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Ale pretože konce segmentu nás nezaujímajú, zvážte hodnotu funkcie len v bode x 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0,5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0,5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0,5 4 \u003d -2

Koncepciu najväčších a najmenších hodnôt funkcie.

Koncepcia bodovania a najmenších hodnôt úzko súvisí s koncepciou kritickej funkcie funkcie.

Definícia 1.

$ x_0 $ sa nazýva kritický bod funkcie $ f (x) $, ak:

1) $ x_0 $ - vnútorný bod oblasti definície;

2) $ f "vľavo (x_0 vpravo) \u003d 0 $ alebo neexistuje.

Teraz zavádzame definície najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie.

Definícia 2.

Funkcia $ y \u003d f (x) $ definovaná na $ x $ cAP dosahuje svoju najväčšiu hodnotu, ak je $ x_0 v X $ Point, takže pre všetky $ x v X $ nerovnomerné

Definícia 3.

Funkcia $ y \u003d f (x) $ definovaná na $ X $ GAP dosahuje svoju najmenšiu hodnotu, ak je $ x_0 v X $ bodu, takže pre všetky $ x x $ nerovnosť sa vykonáva

Weierstrass Theorem na kontinuálnom segmente funkcie

Predstavujeme, že spustíme koncept nepretržitého v segmente funkcie:

Definícia 4.

V ľavej funkcii $ F (vpravo) sa nazýva kontinuálna sekcia $ $, ak je nepretržitá v každom mieste $ (A, B) $ intervalu, a je nepretržitá vpravo na $ X \u003d $ A vľavo na $ X Point \u003d B $.

Formulujeme teorem o nepretržitom funkcii na segmente funkcie.

Teorem 1.

Weierstrass Theorem

Nepretržitá $$ Funkcia $ F, vľavo (vpravo) $ siaha v tomto segmente svojej najväčšej a najmenšej hodnoty, to znamená, že existujú body $ alfa, beta na $ taký, že pre všetky $ x \\ in $ vykonal nerovnosť je $ f (alfa) le f (x) le f (beta) $.

Geometrický interpretácia teorem je znázornený na obrázku 1.

Tu, funkcia $ f (x) $ dosiahne svoju najmenšiu hodnotu v bode $ x \u003d alfa $ dosiahne svoju najvyššiu hodnotu na $ x \u003d beta $.

Schéma hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie $ f (x) $ v segmente $$

1) Nájdite deriváciu $ f "(x) $;

2) Nájdite body, v ktorých derivát $ f "doľava (x vpravo) \u003d 0 $;

3) Nájdite body, v ktorých derivát $ F "(x) $ neexistuje;

4) Vyberte si z tých, ktoré boli získané v odsekoch 2 a 3 tých, ktoré patria do segmentu $$;

5) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch získaných v odseku 4, ako aj na koncoch segmentu $$;

6) Vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu z hodnôt.

Úlohy na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente

Príklad 1.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + $ 1

Rozhodnutie.

1) $ f "vľavo (vpravo) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

2) $ f "vľavo (vpravo) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ 2 vľavo, 3 v $;

5) Hodnoty:

\ \ \ \

6) Najväčší z nájdených hodnôt je $ 33 $, najmenší z nájdených hodnôt je $ 1 $. Dostaneme teda:

Odpoveď: $ Max \u003d 33, min \u003d 1 $.

Príklad 2.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente: $ F, vľavo (x vpravo) \u003d x ^ 3-3x ^ 2-45x + $ 225

Rozhodnutie.

Rozhodnutie sa bude vykonávať na nasledujúcom systéme vyššie.

1) $ f "vľavo (x vpravo) \u003d 3x ^ 2-6x-45 $;

2) $ f "vľavo (vpravo) \u003d 0 $;

\ \ \

3) $ F "(x) $ existuje vo všetkých bodoch definície oblasti;

4) $ -3 NOTIN LIST, \\ 5 V $;

5) Hodnoty:

\ \ \

6) Najväčšie z nájdených hodnôt je $ 225, najmenší z nájdených hodnôt je 50 dolárov. Dostaneme teda:

Odpoveď: $ Max \u003d 225, min \u003d $ 50.

Príklad 3.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente [-2,2]: $ F, vľavo (x vpravo) \u003d frac (x ^ 2-6x + 9) (X - 1) $

Rozhodnutie.

Rozhodnutie sa bude vykonávať na nasledujúcom systéme vyššie.

1) $ f "vľavo (x vpravo) \u003d frac (vľavo (2x-6 vpravo) - (x-1 vpravo) - (x ^ 2-6x + 9)) (((x- 1)) ^ 2) \u003d frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) $;

2) $ f "vľavo (vpravo) \u003d 0 $;

(Frac (x ^ 2-2x-3) (((x - 1)) ^ 2) \u003d 0 \\ t

3) $ f "(x) $ neexistuje v bode $ x \u003d 1 $

4) $ 3 \\ t definícia;

5) Hodnoty:

\ \ \

6) Najväčšie z nájdených hodnôt je $ 1 $, najmenší z nájdených hodnôt je $ -8 frac (1) (3) $. Dostaneme teda: \\ komunáte)

Odpoveď: $ Max \u003d 1, min \u003d\u003d - 8 frac (1) (3) $.

V úlohe B14 z matematiky EGE je potrebné nájsť najmenšiu alebo väčšinu hodnôt funkcie jednej premennej. Toto je pomerne triviálna úloha matematická analýzaA je to z tohto dôvodu, aby sa to naučili riešiť normálne možno každý absolvent strednej školy. Budeme analyzovať niekoľko príkladov, že školáci sa rozhodli diagnostická práca V matematike v Moskve 7. decembra 2011.

V závislosti od medzery, ktorú chcete nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie, jeden z nasledujúcich štandardných algoritmov sa používa na vyriešenie tohto problému.

I. Algoritmus pre nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie na segmente:

• Nájsť derivátovú funkciu.
• Vyberte si z bodov podozrivé do extrémne, tie, ktoré patria do tejto oblasti definície segmentu a funkcie.
• Vypočítať hodnoty funkcie (nie sú odvodené!) V týchto bodoch.
• Medzi získanými hodnotami, vyberte si najväčšiu alebo najmenšiu, bude to požadované.

Príklad 1. Nájdite najmenšiu funkciu
y. = x. 3 – 18x. 2 + 81x. + 23 na segmente.

Rozhodnutie:konáme na algoritme nájdenia najmenšej hodnoty funkcie na segmente:

• Oblasť definície poľa nie je obmedzená: D Y) = R.
• Derivátová funkcia je: y ' = 3x. 2 – 36x. + 81. Rozloha definície derivátovej funkcie nie je obmedzená na: D Y ') = R.
• Zeros Derivát: y ' = 3x. 2 – 36x. + 81 \u003d 0, potom x. 2 – 12x. + 27 \u003d 0, odkiaľ x. \u003d 3 I. x. \u003d 9, v našej medzere vstupuje len x. \u003d 9 (jeden bod, podozrivý do extrému).
• Hodnota funkcie nájdeme v bode, podozrivé do extrému a na okrajoch medzery. Pre pohodlie výpočtovej techniky si predstavte funkciu vo forme: y. = x. 3 – 18x. 2 + 81x. + 23 = x.(x.-9) 2 +23:
  • y.(8) \u003d 8 · (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y.(9) \u003d 9 · (9-9) 2 +23 \u003d 23;
  • y.(13) \u003d 13 · (13-9) 2 +23 \u003d 231.

Takže z získaných hodnôt najmenšieho je 23. Odpoveď: 23.

II. Algoritmus pre nájdenie najväčšej alebo najmenšej hodnoty funkcie:

• Nájdite oblasť definície funkcií.
• Nájsť derivátovú funkciu.
• Určite body, podozrivé do extrému (tie body, v ktorých je derivátová funkcia nakreslená na nulu a body, v ktorých neexistuje žiadny dvojcestný terminálny derivát).
• Označte tieto body a oblasť definície poľa na číselných priamych a definovaní znakov derivát (Nie funkcie!) V výsledných intervaloch.
• Určiť hodnoty funkcie (Nie je odvodené!) V bodoch minima (tie body, v ktorých sa znamenia derivátových zmien z mínus plus), najmenšia hodnota týchto hodnôt bude najmenšia hodnota funkcie. Ak nie sú minimálne žiadne body, funkcia nemá žiadnu najmenšiu hodnotu.
• Určiť hodnoty funkcie (Nie je odvodené!) V bodoch maxima (tie body, v ktorých sa znamenia derivátových zmien z plus do mínus), najväčšou hodnotou funkcie. Ak maximálne body nie sú, funkcia nemá najväčšiu hodnotu.

Príklad 2. Nájsť najväčšiu hodnotu funkcie.