Diferenciálne rovnice v celkových diferenciáloch sú príkladmi riešení. Popis riešenia. Metódy riešenia diferenciálnych rovníc v celkových diferenciáloch

Vyhlásenie o probléme v dvojrozmernom prípade

Rekonštrukcia funkcie niekoľkých premenných z jej celkového diferenciálu

9.1. Vyhlásenie o probléme v dvojrozmernom prípade. 72

9.2. Popis riešenia. 72

Toto je jedna z aplikácií krivočiareho integrálu druhého druhu.

Je vyjadrený celkový diferenciál funkcie dvoch premenných:

Nájdite funkciu.

1. Pretože nie každé vyjadrenie formy je totálnym diferenciálom nejakej funkcie U(X,r), potom je potrebné skontrolovať správnosť vyhlásenia o probléme, to znamená skontrolovať potrebnú a dostatočnú podmienku pre celkový diferenciál, ktorý pre funkciu 2 premenných má tvar. Táto podmienka vyplýva z rovnocennosti výrokov (2) a (3) vo vete predchádzajúcej časti. Ak je uvedená podmienka splnená, problém má riešenie, tj. Funkciu U(X,r) môžete obnoviť; ak podmienka nie je splnená, problém nemá riešenie, to znamená, že funkciu nie je možné obnoviť.

2. Funkciu je možné nájsť pomocou jej celkového diferenciálu, napríklad pomocou krivočarého integrálu druhého druhu, ktorý ho vypočítame podľa priamky spájajúcej pevný bod ( X 0 ,r 0) a variabilný bod ( x; y) (Ryža. osemnásť):

Tak bolo získané, že krivočiary integrál druhého druhu celkového diferenciálu dU(X,r) sa rovná rozdielu funkčné hodnoty U(X,r) na konci a počiatočných bodoch integračnej čiary.

Teraz, keď poznáte tento výsledok, musíte namiesto neho nahradiť dU do krivočiareho integrálneho výrazu a vypočítajte integrál pozdĺž prerušovanej čiary ( ACB) vzhľadom na jeho nezávislosť na tvare integračnej čiary:

na ( AC): na ( SV) :

(1)

Získa sa teda vzorec, pomocou ktorého sa funkcia 2 premenných obnoví z jeho celkového diferenciálu.

3. Funkciu je možné obnoviť z jej celkového diferenciálu iba do konštantného členu, pretože d(U+ konšt.) = dU... V dôsledku riešenia problému preto získame súbor funkcií, ktoré sa navzájom líšia konštantným výrazom.

Príklady (obnova funkcie dvoch premenných z jej celkového diferenciálu)

1. Nájdite U(X,r), ak dU = (X 2 – r 2)dx – 2xydy.

Skontrolujeme stav celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Celková diferenciálna podmienka je splnená; preto je funkcia U(X,r) je možné obnoviť.

Kontrola: - pravda.

Odpoveď: U(X,r) = X 3 /3 – xy 2 + C..

2. Nájdite funkciu, ktorá

Skontrolujeme potrebné a dostatočné podmienky pre celkový diferenciál funkcie troch premenných: ,,, ak je daný výraz.

V riešenom probléme

sú splnené všetky podmienky pre celkový diferenciál, preto je možné funkciu obnoviť (problém je položený správne).

Funkciu obnovíme pomocou krivočiareho integrálu druhého druhu a vypočítame ho podľa čiary spájajúcej pevný bod a variabilný bod, pretože

(táto rovnosť je odvodená rovnakým spôsobom ako v dvojrozmernom prípade).

Na druhej strane krivočiary integrál druhého druhu celkového diferenciálu nezávisí od tvaru integračnej čiary; preto je najľahšie počítať ju pozdĺž prerušovanej čiary pozostávajúcej zo segmentov rovnobežných so súradnicovými osami. V tomto prípade môžete ako pevný bod vziať bod so špecifickými číselnými súradnicami iba pre vás a sledovať ho iba tak, aby v tomto mieste a na celom integračnom rade bola splnená podmienka existencie krivočiareho integrálu (tj. , že funkcie, a sú spojité). S touto pripomienkou v tomto probléme môžete vziať pevný bod, napríklad bod M 0. Potom na každom z odkazov prerušovanej čiary budeme mať

10.2. Výpočet povrchového integrálu prvého druhu. 79

10.3. Niektoré aplikácie povrchového integrálu prvého druhu. 81

V tejto téme zvážime metódu obnovy funkcie z jej úplného diferenciálu a uvedieme príklady problémov s úplnou analýzou riešenia.

Stáva sa, že diferenciálne rovnice (DE) tvaru P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 môžu obsahovať úplné diferenciály niektorých funkcií na ľavej strane. Potom môžeme nájsť všeobecný DE integrál, ak najskôr obnovíme funkciu z jej celkového diferenciálu.

Príklad 1

Uvažujme rovnicu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Jeho ľavá strana obsahuje diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0... Na to musí byť splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Celkový diferenciál funkcie U (x, y) = 0 má tvar d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Berúc do úvahy podmienku ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x získame:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformáciou prvej rovnice z výsledného systému rovníc môžeme získať:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciu φ (y) nájdeme z druhej rovnice predtým získaného systému:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ ydy

Takto sme našli požadovanú funkciu U (x, y) = 0.

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie pre DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Riešenie

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Skontrolujme, či je splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( - 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naša podmienka je splnená.

Na základe výpočtov môžeme dospieť k záveru, že ľavá strana pôvodného DE je celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0. Túto funkciu musíme nájsť.

Pretože (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y je celkový diferenciál funkcie U (x, y) = 0, potom

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Prvú rovnicu systému integrujeme do x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Teraz odlíšime výsledok získaný vzhľadom na y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformovaním druhej rovnice systému získame: ∂ U ∂ y = - 2 x y. Znamená to, že
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kde C je ľubovoľná konštanta.

Dostaneme: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Spoločný integrál pôvodnej rovnice je x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Pozrime sa na inú metódu na nájdenie funkcie zo známeho celkového diferenciálu. Zahŕňa aplikáciu krivočiareho integrálu z pevného bodu (x 0, y 0) do bodu s premennými súradnicami (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

V takýchto prípadoch hodnota integrálu nijako nezávisí od cesty integrácie. Ako integračnú dráhu môžeme použiť krivku, ktorej väzby sú umiestnené rovnobežne so súradnicovými osami.

Príklad 3

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Riešenie

Skontrolujme, či je splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ukazuje sa, že ľavú stranu diferenciálnej rovnice predstavuje celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0. Na nájdenie tejto funkcie je potrebné z bodu vypočítať krivočiary integrál (1 ; 1) predtým (x, y)... Zoberme si ako integračnú cestu krivku, ktorej segmenty budú prechádzať po priamke y = 1 z bodu (1, 1) do (x, 1) a potom z bodu (x, 1) do (x, y):

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1, 1) (x, 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2 xy) dy = (xy - xy 2) y 1 = = xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) = xy - xy 2

Získali sme všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice tvaru x y - x y 2 + C = 0.

Príklad 4

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Riešenie

Skontrolujme, či je splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Pretože ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, podmienka nebude splnená. To znamená, že ľavá strana diferenciálnej rovnice nie je celkovým diferenciálom funkcie. Toto je oddeliteľná diferenciálna rovnica a na jej riešenie sú vhodné iné riešenia.

Ak si v texte všimnete chybu, vyberte ju a stlačte kombináciu klávesov Ctrl + Enter

Diferenciálna sa nazýva rovnica tvaru

P(x, y)dx + Q(x, y)D Y = 0 ,

kde ľavá strana je celkový diferenciál nejakej funkcie dvoch premenných.

Označme neznámu funkciu dvoch premenných (to je to, čo musíme nájsť pri riešení rovníc v plné diferenciály) naprieč F a čoskoro sa k nej vrátime.

Prvá vec, na ktorú by ste mali venovať pozornosť: na pravej strane rovnice musí byť nula a znamienko spájajúce dva výrazy na ľavej strane musí byť plus.

Za druhé, musí sa dodržať určitá rovnosť, čo je potvrdenie, že daná diferenciálna rovnica je rovnicou v celkových diferenciáloch. Táto kontrola je povinnou súčasťou algoritmu na riešenie rovníc v celkových diferenciáloch (je v druhom odseku tejto lekcie), takže proces hľadania funkcie F dosť časovo náročné a dôležité pre počiatočná fáza uistite sa, že nemrháme časom.

Neznámu funkciu, ktorú treba nájsť, teda označil F... Súčet parciálnych diferenciálov cez všetky nezávislé premenné dáva celkový diferenciál. Ak je teda rovnica celkovou diferenciálnou rovnicou, ľavá strana rovnice je súčtom parciálnych diferenciálov. Potom podľa definície

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)D Y .

Pripomíname vzorec na výpočet celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Po vyriešení posledných dvoch rovností môžeme písať

Prvá rovnosť je rozlíšiteľná vzhľadom na premennú „hra“, druhá - pokiaľ ide o premennú „x“:

čo je podmienkou, že daná diferenciálna rovnica je skutočne rovnicou v celkových diferenciáloch.

Algoritmus na riešenie diferenciálnych rovníc v celkových diferenciáloch

Krok 1. Overte, či je rovnica celkovou diferenciálnou rovnicou. Aby výraz bol celkový diferenciál nejakej funkcie F(x, y), je to nevyhnutné a dostatočné. Inými slovami, musíte vziať čiastočnú deriváciu vzhľadom na X a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný výraz, a ak sú tieto deriváty rovnaké, potom je rovnica rovnicou v celkových diferenciáloch.

Krok 2. Napíšte systém parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3 Integrujte prvú rovnicu systému - podľa X (r F:

,
r.

Alternatívnou možnosťou (ak je jednoduchšie nájsť integrál týmto spôsobom) je integrovať druhú rovnicu systému - nad r (X zostáva konštantný a je vyňatý z integrálneho znaku). Funkcia sa teda tiež obnoví F:

,
kde je zatiaľ neznáma funkcia NS.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený spoločný integrál) odlíšte od r(alternatívne - od X) a rovnajú sa druhej rovnici systému:

a alternatívne k prvej rovnici systému:

Zo získanej rovnice určíme (alternatívne)

Krok 5. Integrujte a nájdite výsledok kroku 4 (alternatívne nájdite).

Krok 6. Výsledok z kroku 5 nahraďte výsledkom kroku 3 - za funkciu obnovenú čiastočnou integráciou F... Ľubovoľná konštanta C.častejšie napísané za znamienkom rovnosti - na pravej strane rovnice. Získame tak všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v celkových diferenciáloch. Ako už bolo spomenuté, má formu F(x, y) = C..

Príklady riešení diferenciálnych rovníc v celkových diferenciáloch

Príklad 1.

Krok 1. celková diferenciálna rovnica X jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný termín
celková diferenciálna rovnica .

Krok 2. F:

Krok 3 na X (r zostáva konštantný a je vyňatý z integrálneho znaku). Obnovíme teda funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. r

Krok 5.

Krok 6. F... Ľubovoľná konštanta C. :
.

Aká chyba je tu s najväčšou pravdepodobnosťou možná? Najčastejšími chybami sú prevziať parciálny integrál nad jednu z premenných pre obvyklý integrál súčinu funkcií a pokúsiť sa integrovať po častiach alebo náhradnej premennej a tiež vziať parciálnu deriváciu dvoch faktorov ako deriváciu súčin funkcií a hľadajte deriváciu podľa zodpovedajúceho vzorca.

Toto je potrebné pamätať: pri výpočte parciálneho integrálu vzhľadom na jednu z premenných je druhá konštanta a je vyňatá z integrálneho znaku a pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na jednu z premenných je druhá tiež konštanta a deriváciu výrazu nájdeme ako deriváciu „efektívnej“ premennej vynásobenú konštantou.

Medzi rovnice v celkových diferenciáloch nie neobvyklé - príklady s exponentom. Toto je ďalší príklad. Je tiež pozoruhodný skutočnosťou, že pri jeho riešení je použitá alternatívna možnosť.

Príklad 2. Vyriešte diferenciálnu rovnicu

Krok 1. Overme, či je rovnica celková diferenciálna rovnica ... Aby sme to urobili, nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na X jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný termín
... Tieto deriváty sú si rovné, čo znamená, že rovnica je celková diferenciálna rovnica .

Krok 2. Zapíšeme si systém parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3 Integrujme druhú rovnicu systému - nad r (X zostáva konštantný a je vyňatý z integrálneho znaku). Obnovíme teda funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia NS.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) je rozlíšený podľa NS

a rovnajú sa prvej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:
.

Krok 6. Výsledok kroku 5 sa nahradí výsledkom kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F... Ľubovoľná konštanta C. píšeme za znamienko rovnosti. Získame tak všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v celkových diferenciáloch :
.

Nasledujúci príklad sa vracia z alternatívna možnosť k tomu hlavnému.

Príklad 3. Vyriešte diferenciálnu rovnicu

Krok 1. Overme, či je rovnica celková diferenciálna rovnica ... Aby sme to urobili, nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na r jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na X iný termín
... Tieto deriváty sú si rovné, čo znamená, že rovnica je celková diferenciálna rovnica .

Krok 2. Zapíšeme si systém parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3 Integrujeme prvú rovnicu systému - na X (r zostáva konštantný a je vyňatý z integrálneho znaku). Obnovíme teda funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) je rozlíšený podľa r

a rovnajú sa druhej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:

Príklad 4. Vyriešte diferenciálnu rovnicu

Krok 2. Zapíšeme si systém parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3 Integrujeme prvú rovnicu systému - na X (r zostáva konštantný a je vyňatý z integrálneho znaku). Obnovíme teda funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) je rozlíšený podľa r

a rovnajú sa druhej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:

Príklad 5. Vyriešte diferenciálnu rovnicu

niektoré funkcie. Ak obnovíme funkciu z jej celkového diferenciálu, potom nájdeme všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. Nižšie budeme hovoriť o metóda obnovy funkcie z jej celkového diferenciálu.

Ľavá strana diferenciálnej rovnice je celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0 ak je podmienka splnená.

Pretože celkový funkčný diferenciál U (x, y) = 0 toto je , preto keď je podmienka splnená, tvrdí sa, že.

Potom, .

Z prvej rovnice systému získame ... Funkciu nájdeme pomocou druhej rovnice systému:

Nájdeme teda požadovanú funkciu U (x, y) = 0.

Príklad.

Nájdeme všeobecné riešenie DE .

Riešenie.

V našom prípade. Podmienka je splnená, pretože:

Potom je ľavá strana počiatočného DE celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0... Túto funkciu musíme nájsť.

Pretože je plný diferenciál funkcie U (x, y) = 0, znamená:

Integrujeme sa nad X 1. rovnica systému a diferencovať vzhľadom na r výsledok:

Z 2. rovnice systému získame. Prostriedky:

Kde S je ľubovoľná konštanta.

Bude teda všeobecný integrál danej rovnice .

Existuje druhý metóda na výpočet funkcie z jej celkového diferenciálu... Spočíva v tom, že sa krivočiary integrál vezme z pevného bodu (x 0, y 0) do bodu s premenlivými súradnicami (x, y): ... V tomto prípade je hodnota integrálu nezávislá na integračnej ceste. Je vhodné vziať za integračnú cestu krivku, ktorej väzby sú rovnobežné s osami súradníc.

Príklad.

Nájdeme všeobecné riešenie DE .

Riešenie.

Kontrolujeme splnenie podmienky:

Ľavá strana DE je teda celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0... Nájdeme túto funkciu výpočtom krivočiareho integrálu z bodu (1; 1) predtým (x, y)... Ako cestu integrácie berieme prerušovanú čiaru: prvá časť prerušovanej čiary pôjde po priamke y = 1 z bodu (1, 1) predtým (x, 1), ako druhý úsek cesty vezmeme z bodu úsečku (x, 1) predtým (x, y):

To znamená, že všeobecné riešenie riadiaceho systému vyzerá takto: .

Príklad.

Definujme všeobecné riešenie DE.

Riešenie.

Pretože , čo znamená, že podmienka nie je splnená, potom ľavá strana diferenciálnej rovnice nebude plný diferenciál funkcie a budete musieť použiť druhú metódu riešenia (táto rovnica je diferenciálnou rovnicou s oddeliteľnými premennými).

V štandardnom tvare $ P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy = 0 $, v ktorom ľavá strana je celkový diferenciál nejakej funkcie $ F \ left (x, y \ right) $, sa nazýva celková diferenciálna rovnica.

Rovnicu v celkových diferenciáloch je možné vždy prepísať ako $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $, kde $ F \ left (x, y \ right) $ je funkcia taká, že $ dF \ left (x, y \ right) = P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy $.

Integrujeme obe strany rovnice $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $: $ \ int dF \ left (x, y \ right) = F \ left (x, y \ right) $; integrál nulovej pravej strany sa rovná ľubovoľnej konštante $ C $. Všeobecné riešenie tejto rovnice v implicitnej forme je teda $ F \ left (x, y \ right) = C $.

Na to, aby bola táto diferenciálna rovnica rovnicou v celkových diferenciáloch, je potrebné a dostatočné, aby bola splnená podmienka $ \ frac (\ částečné P) (\ čiastkové y) = \ frac (\ čiastočné Q) (\ čiastkové x) $. Ak je splnená zadaná podmienka, potom existuje taká funkcia $ F \ left (x, y \ right) $, pre ktorú môžete napísať: $ dF = \ frac (\ partial F) (\ partial x) \ cdot dx + \ frac (\ částečné F) (\ čiastočné y) \ cdot dy = P \ vľavo (x, y \ vpravo) \ cdot dx + Q \ vľavo (x, y \ vpravo) \ cdot dy $, odkiaľ dostaneme dve vzťahy: $ \ frac (\ částečné F) (\ částečné x) = P \ vľavo (x, y \ vpravo) $ a $ \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y) = Q \ vľavo (x, y \ vpravo) $.

Integrujeme prvý vzťah $ \ frac (\ partial F) (\ partial x) = P \ left (x, y \ right) $ over $ x $ a dostaneme $ F \ left (x, y \ right) = \ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + U \ left (y \ right) $, kde $ U \ left (y \ right) $ je ľubovoľná funkcia $ y $.

Vyberme to tak, aby bol splnený druhý vzťah $ \ frac (\ částečný F) (\ čiastkový y) = Q \ left (x, y \ right) $. Aby sme to urobili, odlíšime získaný vzťah pre $ F \ left (x, y \ right) $ o $ y $ a výsledok prirovnáme k $ Q \ left (x, y \ right) $. Dostaneme: $ \ frac (\ partial) (\ partial y) \ left (\ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx \ right) + U "\ left (y \ right) = Q \ left (x, y \ vpravo) $.

Ďalšie riešenie je nasledovné:

z poslednej rovnosti nájdeme $ U "\ vľavo (y \ vpravo) $;
integrujte $ U "\ left (y \ right) $ a nájdite $ U \ left (y \ right) $;
dosadiť $ U \ left (y \ right) $ do rovnosti $ F \ left (x, y \ right) = \ int P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + U \ left (y \ right) $ a nakoniec dostaneme funkciu $ F \ left (x, y \ right) $.

Nájdite rozdiel:

Integrujeme $ U "\ left (y \ right) $ cez $ y $ a nájdeme $ U \ left (y \ right) = \ int \ left (-2 \ right) \ cdot dy = -2 \ cdot y $.

Nájdeme výsledok: $ F \ left (x, y \ right) = V \ left (x, y \ right) + U \ left (y \ right) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y $.

Všeobecné riešenie napíšeme v tvare $ F \ left (x, y \ right) = C $, a to:

Nájdite konkrétne riešenie $ F \ left (x, y \ right) = F \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $, kde $ y_ (0) = 3 $, $ x_ (0) = 2 $:

Konkrétnym riešením je: $ 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x \ cdot y-2 \ cdot y = 102 $.