Z abstraktnosti matematické koncepty niekedy je to také vzdušné a odlúčené, že sa mimovoľne vynára myšlienka: „Prečo je to všetko?“. Napriek prvému dojmu sú však všetky vety, aritmetické operácie, funkcie atď. - nič iné ako túžba uspokojiť okamžité potreby... Zvlášť zreteľne to možno vidieť na príklade vzhľadu rôznych súprav.

Všetko to začalo vzhľadom prirodzené čísla... A aj keď je nepravdepodobné, že teraz niekto bude schopný presne odpovedať, ako to bolo, ale s najväčšou pravdepodobnosťou nohy kráľovnej vied vyrastajú odkiaľsi v jaskyni. Pri analýze počtu koží, kameňov a kmeňov je tu človek množstvom „čísel, ktoré je potrebné počítať“. A to mu stačilo. Do určitej chvíle, samozrejme.

Potom bolo potrebné rozdeliť a vziať kože a kamene. Preto vyvstala potreba aritmetických operácií a s nimi racionálnych operácií, ktoré je možné definovať ako zlomok typu m / n, kde napríklad m je počet koží, n je počet kmeňov.

Zdá sa, že už otvorený matematický aparát stačí na to, aby sme si užívali život. Čoskoro sa však ukázalo, že prípady, kde výsledkom nie je niečo, čo nie je celé číslo, ale dokonca ani zlomok! Odmocninu z dvoch nemožno v skutočnosti vyjadriť iným spôsobom pomocou čitateľa a menovateľa. Alebo napríklad známe číslo Pi, ktoré objavil starogrécky vedec Archimedes, tiež nie je racionálne. A takýchto objavov v priebehu času bolo toľko, že všetky čísla, ktoré sa nehodili na „racionalizáciu“, boli zlúčené a označované za iracionálne.

Vlastnosti

Skôr uvažované množiny patria do súboru základných pojmov matematiky. To znamená, že ich nemožno definovať z hľadiska jednoduchších matematických objektov. To sa však dá dosiahnuť pomocou kategórií (z gréčtiny. „Vyhlásenie“) alebo postulátov. V tomto prípade bolo najlepšie určiť vlastnosti týchto súborov.

o Iracionálne čísla definujú sekcie Dedekind v množine racionálnych čísel, ktoré nemajú najväčšie číslo v spodnej časti a najmenšie číslo v hornom.

o Každé transcendentálne číslo je iracionálne.

o Každé iracionálne číslo je buď algebraické alebo transcendentálne.

o Množina iracionálnych čísel je v číselnom rade všade hustá: medzi akýmikoľvek dvoma číslami je iracionálne číslo.

o Sada iracionálnych čísel je nespočetná, je to súbor druhej kategórie Baire.

o Táto množina je usporiadaná, to znamená, že pre každé dve rôzne racionálne čísla a a b môžete určiť, ktoré z nich je menšie ako ostatné.
o Medzi každým dvoma rôznymi racionálnymi číslami je najmenej jedno ďalšie racionálne číslo, a teda nekonečná množina racionálnych čísel.

o Aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) na dvoch racionálnych číslach sú vždy možné a vedú k určitému racionálnemu číslu. Výnimkou je delenie nulou, čo nie je možné.

o Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako desatinná časť (konečná alebo nekonečná periodická).

Všetky racionálne čísla môžu byť reprezentované ako bežná frakcia... To platí aj pre celé čísla (napríklad 12, -6, 0) a konečné desatinné zlomky (napríklad 0,5; –3,8921) a nekonečné periodické desatinné zlomky (napríklad 0,11 (23); –3, ( 87)).

ale nekonečné neperiodické desatinné miesta nie je možné reprezentovať vo forme bežných zlomkov. Sú tým, čím sú iracionálne čísla(teda iracionálne). Príkladom takéhoto čísla je π, čo je približne 3,14. Čo sa však presne rovná, nie je možné určiť, pretože za číslom 4 je nekonečný rad ďalších čísel, v ktorých nie je možné rozlíšiť opakujúce sa obdobia. Navyše, hoci číslo π nemožno presne vyjadriť, má špecifické geometrický význam... Číslo π je pomer dĺžky ľubovoľného kruhu k dĺžke jeho priemeru. V prírode teda existujú iracionálne čísla, ako aj racionálne čísla.

Ďalším príkladom iracionálnych čísel sú odmocniny kladné čísla... Extrahovaním koreňov z niektorých čísel získate racionálne hodnoty, z iných - iracionálne. Napríklad √4 = 2, to znamená, že koreň 4 je racionálne číslo. Ale √2, √5, √7 a mnoho ďalších vedú k iracionálnym číslam, to znamená, že ich možno extrahovať iba s aproximáciou zaokrúhlenou na určité desatinné miesto. V tomto prípade sa zlomok ukáže ako neperiodický. To znamená, že nie je možné presne a rozhodne povedať, čomu sa koreň týchto čísel rovná.

√5 je teda číslo ležiace medzi číslami 2 a 3, pretože √4 = 2 a √9 = 3. Môžete tiež vyvodiť záver, že √5 je bližšie k 2 ako k 3, pretože √4 je bližšie k √5 ako √9 až √5. Skutočne √5 ≈ 2,23 alebo √5 ≈ 2,24.

Iracionálne čísla sa získavajú aj pri iných výpočtoch (a nielen pri extrakcii koreňov), môžu byť negatívne.

Vo vzťahu k iracionálnym číslam môžeme povedať, že bez ohľadu na to, aký segment jednotiek použijeme na meranie dĺžky vyjadrenej takýmto číslom, nemôžeme ju definitívne zmerať.

Iracionálne čísla sa môžu zúčastňovať na aritmetických operáciách spolu s racionálnymi. Súčasne existuje množstvo vzorov. Napríklad, ak sú do aritmetickej operácie zapojené iba racionálne čísla, potom je výsledkom vždy racionálne číslo. Ak sa na operácii zúčastňujú iba iracionálni, potom nie je možné jednoznačne povedať, či sa získa racionálne alebo iracionálne číslo.

Napríklad, ak vynásobíte dve iracionálne čísla √2 * √2, dostanete 2 - toto je racionálne číslo. Na druhej strane √2 * √3 = √6 je iracionálne číslo.

Ak je do aritmetickej operácie zapojené racionálne a iracionálne číslo, potom sa získa iracionálny výsledok. Napríklad 1 + 3,14 ... = 4,14 ...; √17 - 4.

Prečo je √17 - 4 iracionálne číslo? Predstavme si, že dostaneme racionálne číslo x. Potom √17 = x + 4. Ale x + 4 je racionálne číslo, pretože sme predpokladali, že x je racionálne. Číslo 4 je tiež racionálne, takže x + 4 je racionálne. Racionálne číslo sa však nemôže rovnať iracionálnemu √17. Preto je predpoklad, že √17 - 4 dáva racionálny výsledok, nepravdivý. Výsledok aritmetickej operácie bude iracionálny.

Existuje však výnimka z tohto pravidla. Ak iracionálne číslo vynásobíme 0, dostaneme racionálne číslo 0.

Aké čísla sú iracionálne? Iracionálne číslo Nie je racionálne Reálne číslo, t.j. nemôže byť reprezentovaný ako zlomok (ako pomer dvoch celých čísel), kde m- celé číslo, n- prirodzené číslo. Iracionálne číslo možno považovať za nekonečné neperiodické desatinné.

Iracionálne číslo nemôže byť presný. Len vo formáte 3.333333…. Napríklad, druhá odmocnina z dvoch je iracionálne číslo.

Aké číslo je iracionálne? Ir racionálne číslo (na rozdiel od racionálneho) sa nazýva nekonečný desatinný neperiodický zlomok.

Veľa iracionálnych číselčasto označované veľkým latinským písmenom tučným písmom, bez vyplnenia. To .:

Títo. množina iracionálnych čísel je rozdiel medzi množinami reálnych a racionálnych čísel.

Vlastnosti iracionálnych čísel.

• Súčet 2 nezáporných iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo.
• Iracionálne čísla definujú sekcie Dedekind v súbore racionálnych čísel, v nižšej triede, ktorá nemá najväčšie číslo, a vo vyššej triede neexistuje žiadna menšia.
• Akékoľvek skutočné transcendentálne číslo je iracionálne číslo.
• Všetky iracionálne čísla sú buď algebraické alebo transcendentálne.
• Množina iracionálnych čísel je na číselnom rade všade hustá: medzi každým párom čísel je iracionálne číslo.
• Poradie na množine iracionálnych čísel je izomorfné k poradiu na množine skutočných transcendentálnych čísel.
• Množina iracionálnych čísel je nekonečná, je to množina 2. kategórie.
• Výsledkom každej aritmetickej operácie s racionálnymi číslami (okrem delenia 0) je racionálne číslo. Výsledkom aritmetických operácií s iracionálnymi číslami môže byť racionálne aj iracionálne číslo.
• Súčet racionálneho a iracionálneho čísla bude vždy iracionálnym číslom.
• Súčet iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo. Napríklad, nechaj byť X vtedy iracionálne y = x * (- 1) tiež iracionálne; x + y = 0, a číslo 0 racionálne (ak napríklad sčítame koreň akéhokoľvek stupňa 7 a mínus koreň rovnakého stupňa sedem, potom dostaneme racionálne číslo 0).

Iracionálne čísla, príklady.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

A svoje korene čerpali z latinského slova „ratio“, ktoré znamená „myseľ“. Na základe doslovného prekladu:

• Racionálne číslo je „rozumné číslo“.
• Iracionálne číslo je teda „nerozumné číslo“.

Všeobecný koncept racionálneho čísla

Racionálne číslo je číslo, ktoré je možné zapísať ako:

1. Obyčajný kladný zlomok.
2. Záporný spoločný zlomok.
3. Ako číslo nula (0).

Inými slovami, pre racionálne číslo sú vhodné nasledujúce definície:

• Akékoľvek prirodzené číslo je vo svojej podstate racionálne, pretože akékoľvek prirodzené číslo môže byť reprezentované ako obyčajný zlomok.
• Akékoľvek celé číslo vrátane čísla nula, pretože akékoľvek celé číslo je možné zapísať ako kladný obyčajný zlomok, ako záporný obyčajný zlomok aj ako číslo nula.
• Akýkoľvek obyčajný zlomok, a tu nezáleží na tom, či je kladný alebo záporný, sa tiež priamo blíži k definícii racionálneho čísla.
• Definícia tiež zahŕňa zmiešané číslo, konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický zlomok.

Racionálne príklady čísel

Zvážte niekoľko príkladov racionálnych čísel:

• Prirodzené čísla - „4“, „202“, „200“.
• Celé čísla - "-36", "0", "42".
• Obyčajné zlomky.

Z vyššie uvedených príkladov je úplne zrejmé, že racionálne čísla môžu byť kladné aj záporné... Prirodzene, číslo 0 (nula), ktoré je tiež racionálnym číslom, zároveň nepatrí do kategórie kladných ani záporných čísel.

Preto by som chcel pripomenúť všeobecný vzdelávací program pomocou nasledujúcej definície: „Racionálne čísla“ sú čísla, ktoré je možné zapísať ako zlomok x / y, kde x (čitateľ) je celé číslo a y (menovateľ) je prirodzené číslo.

Všeobecný koncept a definícia iracionálneho čísla

Okrem „racionálnych čísel“ poznáme aj takzvané „iracionálne čísla“. Pokúsme sa stručne definovať tieto čísla.

Dokonca aj starovekí matematici, ktorí chceli vypočítať uhlopriečku štvorca po jeho stranách, sa dozvedeli o existencii iracionálneho čísla.
Na základe definície racionálnych čísel môžete zostaviť logický reťazec a definovať iracionálne číslo.
Takže v podstate tí reálne čísla, ktoré nie sú racionálne, sú elementárne a sú iracionálne čísla.
Desatinné zlomky, vyjadrujúce iracionálne čísla, nie sú periodické a nekonečné.

Príklady iracionálnych čísel

Pre zrozumiteľnosť zvážime malý príklad iracionálneho čísla. Ako sme už pochopili, nekonečné desatinné neperiodické zlomky sa nazývajú iracionálne, napríklad:

• Číslo „-5,020020002 ... (jasne vidíte, že dvojice sú oddelené postupnosťou jednej, dvoch, troch atď. Núl)
• Číslo „7,040044000444 ... (tu je zrejmé, že počet štvoriek a počet núl vždy, keď sa reťazec zvýši o jednu).
• Známe číslo Pi (3,1415 ...). Áno, áno - je to tiež iracionálne.

Vo všeobecnosti sú všetky skutočné čísla racionálne aj iracionálne. Rozprávanie jednoduchými slovami iracionálne číslo nemôže byť reprezentované ako obyčajný zlomok x / r.

Všeobecný záver a krátke porovnanie medzi číslami

Každé číslo sme posudzovali osobitne, je rozdiel medzi racionálnym číslom a iracionálnym:

1. Iracionálne číslo sa vyskytuje pri extrahovaní druhej odmocniny, delení kruhu podľa jeho priemeru atď.
2. Racionálne číslo predstavuje obyčajný zlomok.

Zhrňme náš článok s niekoľkými definíciami:

• Aritmetická operácia vykonaná na racionálnom čísle povedie okrem delenia 0 (nula) k konečnému výsledku aj k racionálnemu číslu.
• Konečný výsledok pri vykonávaní aritmetickej operácie na iracionálnom čísle môže viesť k racionálnej aj iracionálnej hodnote.
• Ak sa obe čísla zúčastnia aritmetickej operácie (okrem delenia alebo násobenia nulou), potom nám výsledok poskytne iracionálne číslo.

Veľa iracionálnych čísel je zvyčajne uvedených veľkým latinským písmenom I (\ Displaystyle \ mathbb (I)) tučným písmom, bez výplne. Preto: I = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ spätné lomítko \ mathbb (Q)), to znamená, že množina iracionálnych čísel je rozdielom medzi množinami reálnych a racionálnych čísel.

Starovekí matematici už vedeli o existencii iracionálnych čísel, presnejšie o segmentoch nesúmerateľných so segmentom jednotkovej dĺžky: poznali napríklad nekombinovateľnosť uhlopriečky a strany štvorca, ktorá je ekvivalentná iracionálnosti číslo.

Collegiate YouTube

• 1 / 5

  Iracionálne sú:

  Príklady dôkazu iracionality

  Koreň 2

  Predpokladajme opak: 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2))) racionálne, to znamená, že je reprezentované ako zlomok m n (\ Displaystyle (\ frac (m) (n))), kde m (\ Displaystyle m) je celé číslo a n (\ Displaystyle n)- prirodzené číslo.

  Predpokladajme rovnosť:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \ Rightarrow m ^ (2) = 2n ^ (2)).

  História

  Starovek

  Koncept iracionálnych čísel bol implicitne prijatý indickými matematikmi v 7. storočí pred n. L., Keď Manava (asi 750 pred n. L. - asi 690 p. N. L.) Prišiel na to, že odmocniny niektorých prirodzených čísel, ako sú 2 a 61, nemožno výslovne vysloviť. vyjadrený [ ] .

  Prvý dôkaz o existencii iracionálnych čísel sa zvyčajne pripisuje Hippasovi z Metaponta (asi 500 pred n. L.), Pytagorejcovi. V čase Pytagorejcov sa verilo, že existuje jediná jednotka dĺžky, dostatočne malá a nedeliteľná, čo je celé číslo, koľkokrát je súčasťou akéhokoľvek segmentu [ ] .

  Neexistujú žiadne presné údaje o iracionálnosti tohto čísla, ktoré dokázal Hippasus. Podľa legendy ho našiel štúdiom dĺžok strán pentagramu. Preto je rozumné predpokladať, že to bol zlatý rez [ ] .

  Grécki matematici nazvali tento pomer nesúmerateľných veličín aalogos(nevýslovne), podľa legiend však Hippasovi nevenovali rešpekt, ktorý si zaslúžil. Legenda hovorí, že Hippasus urobil objav počas námornej plavby a ostatní Pythagorejci ho hodili cez palubu „za vytvorenie prvku vesmíru, ktorý popiera doktrínu, že všetky entity vo vesmíre je možné redukovať na celé čísla a ich vzťahy“. Objavenie Hippasusa predstavovalo vážny problém pre Pytagorovu matematiku a zničilo predpoklad, ktorý je základom celej teórie, že čísla a geometrické objekty sú jedno a neoddeliteľné.